以高考题谈平面向量数量积的求法
平面向量数量积问题的三种解法
平面向量的数量积问题侧重于考查平面向量的加法、减法、数乘运算法则，数量积公式和向量的模的公式.平面向量的数量积问题的常见命题形式是：根据已知图形、向量及其关系，求两个向量的数量积或其范围.本文主要谈一谈解答平面向量的数量积问题的三种方法.一、公式法已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||||a →||||||b →cos θ称为a 和b 的数量积，即a ⋅b =||||||a →||||||b →cos θ.运用公式法解答平面向量的数量积问题主要就是利用平面向量的数量积公式，求出||||||a →、||||||b →及两个向量a →和b →的夹角的余弦值，即可求得两个平面向量a 和b 的数量积.特别要注意的是，在求两个向量的夹角θ时，需要使a 和b共起点.例1.在边长为1的正三角形ABC 中，D ,E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近点B ），求 AD ⋅AE .解：因为D ,E 是边BC 的两个三等分点，所以BD =DE =CE =13，在△ABD 中，AD 2= BD 2+ AB 2-2 BD ∙ AB ∙cos 60°=æèöø132+12-2×13×1×12=79，即AD .同理可得AE ，在△ADE 中，由余弦定理可得cos ∠DAE = AD 2+ AE 2- DE 22 AD ⋅ AE 7979æö132=1314，所以 AD ⋅ AE =|| AD |AE cos ∠DAE =×1314=1318.对于本题，需要先用余弦定理求出两个向量的夹角的余弦值，再利用向量数量积的公式求解.当题目中两个向量的夹角或向量的模未知时，可以先利用解三角形知识求出它们的夹角或者向量的模，再将其代入数量积公式，运用公式法求解.二、基底法运用基底法求解平面向量的数量积问题，首先要确定一组基底，将题目中涉及的向量分别用这组基底表示出来，将问题转化为基底间的运算问题，通过向量运算求得问题的答案.此方法通常适用于向量的模或夹角不明确，无法用公式直接求出的题目.例2.如图1所示，已知正方形ABCD 的边长为1，E 是AB 边上的动点，则 DE ⋅ CB 的值为_____； DE ⋅ DC的最大值为_______.解：因为 DE = AE -AD ，所以 DE ⋅ CB =( AE - AD )⋅ CB = AE ⋅ CB - AD ⋅CB =1；DE ⋅ DC =( AE - AD )⋅ DC = AE ⋅ DC - AD ⋅ DC =|| AE ⋅|| DC ≤|| DC 2，所以() DE ⋅ DC max =|| DC max=1.解答本题，需以 AD 、AE 为基底，运用基底法求解.运用基底法求解向量的数量积问题，关键是根据已知条件选取恰当的基底，将所求向量用基底来表示，从而将问题简化.三、坐标法坐标法是指通过建立平面直角坐标系，用坐标的形式来表示各个向量，通过坐标运算求得问题的答案.运用坐标法解答平面向量的数量积问题，关键是根据题意或已知图形建立合适的平面直角坐标系.通常可以矩形的两条相邻的边为坐标轴；以直角三角形的两条直角边为坐标轴；正三角形的中线和底边为坐标轴来建立平面直角坐标系.例3.如图2，在直角△ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 的中点，AB =2，AC =4，求 AD ⋅AB .解：建立如图2所示的平面直角坐标系，由题意可得 AD =(2,1)， AB =(0,2)，所以 AD ⋅AB =(2,1)⋅(0,2)=2.该三角形为直角三角形，于是以该直角三角形的两条直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，便可通过向量坐标运算求解.总之，在求解平面向量的数量积问题时，同学们要根据题意和图形，灵活选用合适的方法进行求解，这样才能简化运算过程，达到快速解题的目的.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）图1图2考点透视36。
高考向量题型和解题方法
高考向量题型和解题方法高考向量题型主要涉及向量的基本运算、向量的数量积和向量的叉乘。
以下是几种经典的向量题型及其解题方法：1. 向量加减法题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $\vec{a}-\vec{b}$。
解题思路：直接将向量的对应元素相加或相减即可，即：$$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$$$$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$$2. 向量数量积题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求它们的数量积 $\vec{a}\cdot\vec{b}$。
解题思路：数量积的公式为$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，将向量的对应元素相乘后相加即可。
3. 向量叉乘题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求它们的叉乘 $\vec{a}\times\vec{b}$。
解题思路：叉乘的公式为：$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}$$其中 $\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$ 分别为 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴的单位向量。
求解时将行列式按第一行展开即可。
4. 空间向量共面题型给定空间向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$，若它们共面，求 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面上的投影向量。
高考平面向量题型归纳总结
高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。
平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。
本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。
一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。
二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。
1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。
另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。
2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。
三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。
2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。
在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
专题83平面向量的数量积(精讲精析篇)-新高考高中数学核心知识点全透视
专题8.3 平面向量的数量积（精讲精析篇）一、核心素养1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．二、考试要求1.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.三、主干知识梳理（一）两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（二）平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0.2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．（三）数量积的运算律1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．（四）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a .2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，|a 4．cos θ＝||||⋅a b a b .(θ为a 与b 的夹角) 5．|a ·b |≤|a ||b |.（七）数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则：1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.3．|a |＝a 21＋a 22.4．cos θ＝||||⋅a b a b ＝112222221212a b a b a a b b +++.(θ为a 与b 的夹角) （八）平面向量的应用1.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2．向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到． 3．向量与三角的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．4.平面向量在物理中的应用一、命题规律（1）数量积、夹角及模的计算问题；（2）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．二、真题展示1．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP =，2||(cos 1OP=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin |2AP α===，同理2||(cos 2|sin |2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．【答案】11120 【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=， 2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311(3)(12)(1)53151020x x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120. 故答案为：1；1120.考点01 平面向量数量积的运算【典例1】（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.【典例2】（2019·全国高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【典例3】（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.【答案】0 3【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以,a b 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+=，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.【典例4】（2020·全国高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.【答案】5【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.【典例5】（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132 【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭， 解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭, ∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，333,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.总结提升：（1）.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．（2）已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．考点02 平面向量的模、夹角【典例6】（2021·天津·南开大学附属中学高三月考）已知平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，则a ，b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π 【答案】A【分析】 直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．【详解】解：平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，设a ，b 的夹角是θ，可得53cos 25a b a b θ⋅===⨯[]0,θπ∈，所以a ，b 的夹角是：6π． 故选：A ． 【典例7】（2020·全国高考真题（理））已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=. ()2222257a b a b a a b b +=+=+⋅+=-=， 因此，()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D. 【典例8】（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【典例9】（2020·全国高考真题（理））设,ab 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 3．平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．考点03 平面向量的综合应用【典例10】（2020·山东海南省高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【典例11】（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．B ．C ．2D ．【答案】A 【解析】 设，则由得， 由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】 先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【典例12】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________. 【答案】25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得252x y z +-=，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，， 则()20a b c m n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =， 所以d a -在c 方向上的投影()221()22||5m x ny d a c x yz c m n-+-⋅-+===±+， 即252x y z +=,所以()()()22222222221122152510105x y z x y z x yz⎡⎤++=++±++≥+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当215252x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.【典例13】（2020·重庆高一期末）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．0【答案】B 【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤，∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+，06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B.【典例14】（2020·吉林长春·一模（理））长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度1v 的大小1||10km/h v =，水流的速度2v 的大小2||4km/h v =，设1v 和2v 所成角为 (0)θθπ<<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于（ ）A ．215-B ．25-C ．35D ．45-【答案】B 【解析】由题意知()2120,v v v +⋅=有2212||c ||os 0,v v v θ+=即2104cos 40,θ⨯+=所以2cos 5θ=-， 故选：B ．【典例15】（2020·上海高三专题练习）用向量的方法证明：三角形ABC 中 （1）正弦定理：sin sin sin a b cA B C==； （2）余弦定理：2222cos a b c bc A =+-． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）如图（a ）所示，过顶点A 作对边BC 的高AH ，则0()AH BC AH AC AB =⋅=⋅-，即0AH AC AH AB ⋅-⋅=． ∴()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-． 如图（b ）所示，如果B 为钝角，有()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-∴sin sin b C c B =．上述关系对直角三角形显然成立[图（c ）] ∴sin sin sin a b cA B C==． （2）在ABC 中，BC AC AB =-．∴2222()()2BC AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅． 即2222cos a b c bc A =+-．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D 【解析】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.故选：D.2．（2020·福建省福州格致中学期末）已知两个不相等的非零向量a b ，，满足2b =，且b 与b a -的夹角为45°，则a 的取值范围是（ ） A ．(02⎤⎦，B ．)22⎡⎣，C ．（0，2]D ．)2∞⎡+⎣，【答案】D 【解析】如图所示，设AB b =，AC a =，∠CAB ＝45°，由图可知，当BC ⊥AC 时，a 的取值最小，此时，则2a =， 而a 没有最大值，故a 的取值范围为)2,⎡+∞⎣. 故选：D.3．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．4.（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= ∴32b =.故答案为：5．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =.故答案为：2． 6．（2020·浙江省高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 7.（2019·江苏高考真题）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=8．（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 9. （2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】3 【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．10.（2019·天津高考真题（理）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE(3y x =-， 直线AE的斜率为-y x =.由3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -. 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.。
分类例析平面向量数量积的求法
◇ 山东 徐 忠 平
求 ２个 向量数 量积 时 ， ２个 向量 的模 和夹 角 都 这
不 容易 求 出来 的 时候 ， 常 用其 他 已知 了或很 容 易 求 经 出来模 和夹 角 的向量 表 示 这 ２个 向量 ， 样 求 已知 ２ 这 个 向量 数量 积就可 以转 化 为求 这些 向量 的数 量 积 ， 使 问题得 到解 决． 体现 了等价 转化 的数 学思想 ． 也 例 ３ （ ）已知 向量 ｎ ｂ ｃ 足 ｎ－ ｂ￣ 一０ 且 １ 、、满 ］ －ｃ － － ，
Ｂ 的 中 点 ， 是 ＡＢ 上 靠 近 Ａ Ｃ Ｅ
的、 １个 ３等分 点 ， 求ＡＤ ・ Ｅ． Ｃ
量
析
Ａ （３
，
以 Ｂ为原 点 ， 线 Ｂ 为 ｚ 轴 ， 立 如 图 ２ 直 Ｃ 建 所 示 的 直 角 坐 标 系 易 知 Ｃ（ ，） ２ Ｏ ，Ｄ（ ，） １Ｏ ，
．
） ，Ｅ（ ， ） １ ．
一 （ １ 一
， 一
），
一
（ ，３ ． 一１√ ）所以 Ａ ・ Ｅ＝寺 一音一一４ Ｄ Ｃ ．
２ 坐 标 法 ；
向量数 量积 的几何 意义 ： 量积 ａ ｂ等 于 ｎ的长 数 ・ 度 与 ｂ在 ａ方 向上投影 Ｉ ｉＯ Ｓ０的乘 积． ｂＣ
根 据平 面 两 向量 数 量积 的坐标 公 式 ， ａ （ 设 ＝ ｚ，
ｙ ） ６ （ ２ ２ ， １ ６ ｚ Ｘ ４ ｙ ｙ ． １ ，一 １ ， ） 贝 有 ２ 一 １ ２－ ｌ２ ｚ ・
作 用． 这种题 型 经 常 出现在 高 考试 卷 是 ， 何 求 ２个 如 向量 的数量 积也 就非 常重要 ， 为帮 助 同学 们 学好 平 面 向量 ， 本文介 绍求 平 面向量 数量积 的常 见几种 方法 ．
高考数学中的向量运算及其应用技巧
高考数学中的向量运算及其应用技巧向量是高中数学中非常重要的一部分，它不仅有着广泛的应用，而且在高考中也是不可或缺的一部分。
在高考数学中，向量作为基础知识，被广泛应用于解析几何、平面几何、三角函数等领域。
本文将为大家介绍高考数学中的向量运算及其应用技巧，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、向量运算1. 向量的加减法向量的加减法是向量运算中的基本操作。
向量的减法要用到相反向量。
向量的相反向量是指与其大小相等，方向相反的向量。
设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$，则它们的加法与减法运算如下：$$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$$$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=\vec{d}$$其中 $\vec{c}$ 为向量的和， $\vec{d}$ 为向量的差。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指向量与一个实数的积，用来改变向量的大小和方向。
设向量$\vec{a}$，实数$k$，则它们的数量乘法如下：$$k\vec{a}=\vec{b}$$其中 $\vec{b}$ 的大小是 $\vec{a}$ 的大小的 $|k|$ 倍，如果$k$ 是正数，方向与 $\vec{a}$ 方向相同；如果 $k$ 是负数，方向与 $\vec{a}$ 方向相反。
3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量相乘，得到的是一个实数。
设向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，则它们的数量积如下：$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta $$其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。
由于 $\cos\theta$ 的范围是 $[-1,1]$，如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角小于$90^{\circ}$，那么它们的数量积是正数；如果夹角是$90^{\circ}$，那么数量积是 $0$；如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大于$90^{\circ}$，那么数量积是负数。
2023年新高考数学大一轮复习专题22 平面向量的数量积及其应用(解析版)
专题22 平面向量的数量积及其应用【考点预测】一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与b ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即⋅a b =||||cos θa b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． （2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积． 二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ； ③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ． 三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||=a ． ④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤． 四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤.（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=. 当0a ≠时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠.（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()()，这是因为a b c ⋅()是一个与c 共线的向量，而b c a ⋅()是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅()不一定等于b c a ⋅()，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0a b ⋅>且(0)a b λλ≠>（或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠< 【方法技巧与总结】(1)b 在a 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．(2)数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅=，但0a b ⋅=时不能得到0a =或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=． (3)根据平面向量数量积的性质：||a a a =⋅，cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅=等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．(4)若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=(0a ≠)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (5)数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，这是由于()a b c ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等．【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算 题型二：平面向量的夹角 题型三：平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量 题型五：平面向量的垂直问题 题型六：建立坐标系解决向量问题 【典例例题】题型一：平面向量的数量积运算例1．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，π3ABC ∠=，O 为ABC 的外心，2BA BO ⋅=，4BC BO ⋅=，则BA BC ⋅=（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】 【分析】设,AB BC 的中点为D,E ，将2BA BO ⋅=，变为2BD BO ⋅，根据数量积的几何意义可得||1BD =，同理求得||BC ，根据数量积的定义即可求得答案. 【详解】如图，设,AB BC 的中点为D,E ，连接OD,OE ,则,OD AB OE BC ⊥⊥ ,故2BA BO ⋅=，即22||||cos 2BD BO BD BO OBD ⋅=⋅∠= , 即2||1,||1BD BD ==，故||2BA =,4BC BO ⋅=，即22||||cos 4BE BO BE BO OBE ⋅=⋅∠= ,即2||2,||2BE BE ==，故||22BC =故1||||cos 22BA BC BA BC BAC ⋅=⋅∠=⨯=故选：B例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，点M 在线段AH 上，满足()82+⋅=MB MC AH MB MC ⋅=（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由()82+⋅=MB MC AH 2MH =，由AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，可得28HC HB AH ⋅==，然后对()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+化简可求得结果因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH = 所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅==, 因为()82+⋅=MB MC AH所以()82MH MH A HB HC H +⋅=++ 所以282MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅= 所以42MH AH ⋅=， 所以42MH AH ⋅= 所以2MH =，所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+ 2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅2cos MH HC HB π=+⋅ 228(1)4=+⨯-=-,故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，故选：C.例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，正六边形ABCDEF 中，2AB =，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，则AP AB ⋅=______．【答案】2 【解析】 【分析】找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可. 【详解】在正六边形中，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，60PAB ︒=∴∠，且2AP AB ==, 1cos602222AP AB AP AB ︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：2.例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量,,a b c 满足0,||1,||3,||4a b c a b c ++====，则a b ⋅=_________．【答案】3 【解析】 【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案 【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-， 两边平方，得2222a a b b c +⋅+=， 因为134a b c ===，，， 所以12916a b +⋅+=，得·3a b =. 故答案为：3.例6．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量()1,a x =，()0,1b =，若25a b +=，则⋅=a b __________ 【答案】0或4-##4-或0. 【解析】 【分析】由向量模长坐标运算可求得x ，由向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】()21,2a b x +=+，(21a b x ∴+=+0x =或4x =-；当0x =时，()1,0a =，0a b ∴⋅=；当4x =-时，()1,4a =-，044a b ∴⋅=-=-； 0a b ∴⋅=或4-.故答案为：0或4-.例7．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________． 【答案】1或14【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BP CP ，用AB AC ，表示出来，再用1BP CP ⋅=-建立方程，解出λ的值. 【详解】由AP AB AC λ=+，得AP AB AC λ-=，即BP AC λ=， (1)CP AP AC AB AC λ=-=+-，在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒， 所以2((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+-22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=-， 即24510λλ-+=，解得1λ=或14λ= 所以实数λ的值为1或14. 故答案为：1或14. 例8．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====，则AC DB ⋅值为__________． 【答案】94【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-， 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====， 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：94例9．（2022·福建省福州第一中学三模）过点M 的直线与22:(3)16C x y -+=交于A ，B 两点，当M 为线段AB中点时，CA CB ⋅=___________. 【答案】-8 【解析】 【分析】由题意可得M 在C 内，又由M 为线段AB 中点AB CM ⊥，由两点间距离公式得2CM =＝12AC ,进而求得120ACB ∠=︒，再由向量的数量积公式计算即可得答案. 【详解】解：因为点M 在22:(3)16Cx y -+=内， 所以当M 为线段AB 中点时，AB CM ⊥，又因为C 的半径为4,2CM =＝12AC ,所以60ACM ∠=°， 所以120ACB ∠=︒，所以，CA CB ⋅=||||cos120CA CB ︒＝144()82⨯⨯-=-.故答案为：-8.例10．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量a 与b 不共线，且()2a a b ⋅+=，1a =，若()()22a b a b -⊥+，则()b a b ⋅-=___________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由()2a a b ⋅+=得1a b ⋅=，由()()22a b a b -⊥+得2b =，即可求解结果． 【详解】由()212a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=得1a b ⋅=由()()22a b a b -⊥+得()()222240a b a b a b -⋅+=-=，所以2b = 则()2143b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- 故答案为：3-例11．（2022·全国·高三专题练习（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．例12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 组成的．若E 为线段BF 的中点，则AF BC ⋅=______．【答案】4 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义求解. 【详解】 解：如图所示：设CF x =，由题可得2BF x =， 所以()2225x x +=， 解得1x =．过F 作BC 的垂线，垂足设为Q ， 故24AF BC BQ BC BF ⋅=⋅==， 故答案为：4． 【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a 在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅． （4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±()a b c ab ac +=+公式都可通用 异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角） 22222cos ma nb m a mn a b n b θ±=±+，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．ma nb ma nb ma nb -≤±≤+，通常是求ma nb ±最值的时候用． 题型二：平面向量的夹角例13．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知非零向量a →，b →满足a b a →→→-=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则a→与b →夹角为______． 【答案】4π##45 【解析】 【分析】根据已知求出2=a a b →→→，||b a →→，即得解. 【详解】解：因为a b a →→→-=，所以22222,2a b a b a b a b →→→→→→→→+-=∴=.因为a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，所以22=0,=aa b a a b a a b →→→→→→→→→⎛⎫--=∴ ⎪⎝⎭， 所以22=2||b a b a →→→→∴，.设a →与b →夹角为θ，所以22cos =2|||||a ba ba b a θ→→→→→→→==. 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.例14．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________. 【答案】2π##90 【解析】【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=， 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）两不共线的向量a ，b ，满足3a b =，且t R ∀∈，a tb a b -≥-，则cos ,a b =（ ）A ．12 B C ．13D 【答案】C 【解析】 【分析】由a tb a b -≥-两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断0∆≤，整理后可知∆只能为0，即可解得答案. 【详解】 解：由题意得：t R ∀∈，a tb a b -≥-t R ∴∀∈，2222222a t b ta b a b a b +-⋅≥+-⋅即222226cos ,6cos ,0t b t b a b b b a b --+≥ 0b ≠t R ∴∀∈，26cos ,16cos ,0t t a b a b --+≥()221Δ36cos ,46cos ,136cos ,03a b a b a b ⎛⎫∴=--=-≤ ⎪⎝⎭1cos ,03a b ∴-=，即1cos ,3a b =故选：C例16．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出a b +的坐标，求得当a 与a b +共线时12t =，根据向量a 与向量a b +的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案. 【详解】因为(23)a b t +=--，，又a 与a b +的夹角为钝角， 当a 与a b +共线时，162(2)0,2t t t ---==， 所以()0a a b ⋅+<且a 与a b +的不共线，即2230t t --<且12t ≠， 所以111322t ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 故选：D ．例17．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知向量()cos30,sin 210a =︒-︒，(3,1)b =-，则a 与b 夹角的余弦值为_________． 【答案】12-【解析】 【分析】化简向量a ，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解. 【详解】由()cos30,sin210a =︒-︒知31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故31(1122a b ⋅=⨯+⨯=-，||1a =，||2b =，记a 与b 的夹角为θ，则11cos 122||||a b a b θ⋅-===-⨯⨯．故答案为：12-.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例19．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-=，则向量b 与向量a b -夹角的余弦值为（ ）A ．B ．0C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据0a b ⋅=，设(1,0)a =，(0,)b t =，根据()()0a b a b +⋅-=求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解. 【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a =，(0,)b t =，则(1,)a b t +=，(1,)a b t -=-， 因为()()0a b a b +⋅-=，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a bb a b b a b ⋅-<->=⋅-2==，故选：A.例20．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量a ，b 满足3a b a b -=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】 【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得； 【详解】解：因为a ，b 为单位向量，所以1a b ==， 又3a b a b -=+，所以()()223a b a b -=+，即()2222232a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，所以()22240a a b b +⋅+=，即()22240a a b b+⋅+=，所以12a b ⋅=-， 所以1cos ,2a ba b a b ⋅==-⋅，因为[],0,a b π∈，所以2,3a b π=；故选：C例21．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，则,a b a -=（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -，然后利用向量的夹角公式可求出结果 【详解】因为a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=， 所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=，222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,2a b a a b a a b a⋅--===-， 因为[],0,πa b a -∈， 所以π,4a b a -=， 故选：B例22．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，若||5a =，则a 与a b +的夹角的余弦值为（ ）A B C D ．12【答案】A 【解析】 【分析】利用向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量,a b 的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果. 【详解】平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，则()()0a b a b +⋅-=且||2||a b a b +=-，得22a b =，又||5a =，则||||5a b ==，将||2||a b a b +=-平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得=3a b ⋅，222|=216a b a a b b +|+⋅+=,则4a b +=，设a 与a b +的夹角为θ，则()25+3cos =54a ab aa ba a ba a bθ⋅++⋅===⨯++ 故选：A.例23．（多选题）（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量,a b 的夹角为120︒,则以下说法正确的是（ ） A ．||1a b += B ．(2)a b a +⊥C ．3cos ,2a b b 〈-〉= D ．2a b +与2a b +可以作为平面内的一组基底【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可 【详解】据题意221,1,11cos1202a b a b ︒==⋅=⨯⨯=-因为2221()211212a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭所以||1a b +=,所以A 对因为21(2)21202a b a a a b ⎛⎫+⋅=+⋅=+⨯-= ⎪⎝⎭,所以(2)a b a +⊥,所以B 对.因为222213()1,()2322a b b a b b a b a b a b -⋅=⋅-=--=--=++⋅=所以3()2cos ,||||31a b b a b b a b b --⋅〈-〉===-⋅⨯所以C 错因为2a b +与2a b +不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以D 正确 故选：ABD例24．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（ ） A ．若(2)a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=- C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞- 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A ，利用向量坐标的表示可判断B ，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C ，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A ，因为2(1,4)a b +=，(,1)c λ=-，(2)a b c +⊥，所以14(1)0λ⨯+⨯-=，解得4λ=，所以A 正确. 对于B ，由a tb c =+，得(3,2)(2,1)(,1)(2,1)t t t λλ-=+-=+-，则32,21,t t λ-=+⎧⎨=-⎩解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，所以B 正确.对于C ，因为(3,2)(2,1)(23,2)a bμμμμ+=-+=-+，所以a b μ+==则当45μ=时，a b μ+取得最小值，为，所以C 正确. 对于D ，因为(1,3)a b +=-，2(4,1)b c λ+=+，向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角， 所以()(2)1(4)310a b b c λ⋅+=-⨯+⨯++>，解得1λ<-；当向量a b +与向量2b c +共线时，113(4)0λ-⨯-⨯+=，解得133λ=-， 所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确.故选：ABC.例25．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知1e ，2e 是单位向量，122a e e =-，123b e e =+，若a b ⊥，则1e ，2e 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．12C ．13D ．15【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意知121e e ==，()()22121212122303250a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=⇒--⋅=，即1215e e ⋅=，所以121cos 5e e ⋅=. 故选：D.例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=， 所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B例27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3【答案】C 【解析】 【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅=，从而得到0a b ⋅=，得到a 与b 的夹角. 【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+，因为向量a ，b 为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅=. 因为0λ≠，所以0a b ⋅=，即a 与b 的夹角为π2. 故选：C【方法技巧与总结】 求夹角，用数量积，由||||cos a b a b 得121222221122cos||||x x y y a b a b xyx y ，进而求得向量,a b 的夹角.题型三：平面向量的模长例28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，9b c -=，则a =______． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知条件可得出a b c =--，根据平面向量的数量积可求得22b c +、b c ⋅的值，结合平面向量的数量积可求得a 的值. 【详解】由已知可得a b c =--，则()()()()()()22220a b a c b c b c b c b c -⋅-=--⋅--=+⋅+=， 即222250b c b c ++⋅=，因为9b c -=，则22281b c b c +-⋅=，所以，2245b c +=，18b c ⋅=-，因此，()2222229a a b c b c b c ==--=++⋅=，故3a =.故答案为：3.例29．（2022·辽宁沈阳·三模）已知平面向量,,a b c 满足1,1,0,1a c a b c a b ==++=⋅=-，则b =_______．【解析】【分析】由题意得c a b =--，直接平方即得结果. 【详解】由0a b c ++=可得c a b =--，两边同时平方得2222c a a b b =+⋅+，1,1,1a c a b ==⋅=-，2112b ∴=-+，解得2b =..例30．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+a b .故选：D例31．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=，则|c |的可能取值有（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)c a b x y --=--，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4x y -+-=，分析可得C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，设OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴的正方向建立坐标系， 则(1,0)A ，(0,1)B ，设(,)C x y ，则(1,1)c a b x y --=--，若||2b c a --=，则有22(1)(1)4x y -+-=，则C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M ，则||OM =||||||r OM OC r OM -+， 即22||22OC +，则||c 的取值范围为22⎡⎣；故选：D ．例32．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量a ，b 满足2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=（ ）AB C D ．3【答案】C 【解析】 【分析】 由()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+求解.【详解】解：因为2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π， 所以()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+，==，故选：C例33．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知非零向量a ，b 的夹角为6π，()||3,a a a b =⊥-，则||b =___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】由()a a b ⊥-得22π3()||||||||cos3||062a ab a a b a a b b ⋅-=-⋅=-⋅=-=， 解得||2b =. 故答案为：2例34．（2022·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，且||1a =，||2b =，||3c =，求|23|a b c -+．9 【解析】【分析】由三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等得 ,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0，再分别计算求解即可 【详解】因为三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0 ．当,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒时，2|23|(23)a b c a b c -+=-+222||||9||4126a b c b b c a c a =++-⋅+⋅-⋅==当,,,0a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=︒，即a ，b ，c 共线时． |23|2||||3||2299a b c a b c -+=-+=-+=∣∣．9例35．（2022·全国·高三专题练习）已知2=a ，3b =，a 与b 的夹角为120，求a b +及a b -的值． 【答案】7a b +=，19a b -=. 【解析】 【分析】利用向量数量积定义可求得a b ⋅，由向量数量积的运算律可求得2a b +和2a b -，由此可得结果. 【详解】cos ,6cos1203a b a b a b ⋅=⋅<>==-，22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=，222246919a b a a b b -=-⋅+=++=，7a b ∴+=，19a b -=.例36．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量(0,1)=a ,(,3)b t =，若,a b 的夹角为π3，则||b =___________.【答案】【解析】 【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果. 【详解】 由πcos3||||a b a b ⋅=⋅,得132||b ,得||23b =.故答案为：【方法技巧与总结】 求模长，用平方，2||a a .题型四：平面向量的投影、投影向量例37．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））设a ，b 是两个非零向量，AB a =，CD b =，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，得到11A B ，则11A B 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如下图，已知扇形AOB 的半径为1，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，则弧AB 的中点C 的坐标为________；向量CO 在OB 上的投影向量为________ .【答案】12⎫⎪⎪⎝⎭3()4- 【解析】 【分析】由已知，根据给到的OA ，OB 先求解OA 与OB 的夹角，然后再利用点C 是弧AB 的中点，即可求解出AOC ∠，从而求解点C 的坐标；根据前面求解出的点C 的坐标，写出OB 和CO ，先计算向量CO 在OB 上的投影，然后根据OB 即可写出向量CO 在OB 上的投影向量. 【详解】由已知，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，所以112cos ,112OA OB OA OB OA OB ===⨯， 所以π3AOB ∠=，因为点C 为弧AB 的中点，所以π6AOC ∠=， 扇形AOB 的半径为1，所以弧AB 满足的曲线参数方程为cos π()sin 3xy αααα=⎧≤≤⎨=⎩为参数，0， 所以中点C 的坐标为πcos 6π1sin 62x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以C的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，12CO ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12OB ⎛=⎝⎭， 向量CO 在OB 上的投影为3441CO OB OB-== 因为12OB ⎛= ⎝⎭，所以向量CO 在OB 上的投影向量为3()4-.故答案为：12⎫⎪⎪⎝⎭；3()4- 例38．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知向量,,(3,1),||2,(2)3a b a b a b b ==-⋅=，则b 在a 方向上的投影为_________ 【答案】54【解析】 【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可． 【详解】因为(3,1)a =，||2b =，所以2||1(2a =+，22b =，因为(2)3a b b -⋅=，所以222223a b b b a b b a b ⋅-⋅=⋅-=⋅-=，所以52a b ⋅=， 所以b 在a 方向上的投影为5||4a b a ⋅=， 故答案为：54． 例39．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知向量()1,2a =-，()3,b t =，且a 在b 上的投影等于1-，则t =___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号. 【详解】因为a 在b 上的投影等于1-，即cos ,1a b a a b b⋅〈〉==-1=-，且320t -<，解得4t =.故答案为：4例40．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知||2a =，b 在a 上的投影为1，则a b +在a 上的投影为（ ）A ．-1B ．2C ．3D 【答案】C 【解析】 【分析】先利用b 在a 上的投影为1求出a b ⋅，然后可求a b +在a 上的投影. 【详解】因为||2a =，b 在a 上的投影为1，所以1||a ba ⋅=，即2ab ⋅=； 所以a b +在a 上的投影为()24232||||a b a aa b a a +⋅+⋅+===；故选：C.例41．（2022·四川成都·三模（理））在ABC 中，已知7π12A ∠=，π6C ∠=，AC =BA在BC 方向上的投影为（ ）．A ．B ．2CD ．【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得4B π∠=、2AB =，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设4B π∠=，则sin sin AB AC C B=，可得122AB ==， 所以向量BA 在BC 方向上的投影为||cos 2BA B ==故选：C例42．（2022·广西桂林·二模（文））已知向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的投影公式直接计算即可． 【详解】向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为2||cos ,21||a b a a b b ⋅-<>===-， 故选：B ．例43．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，a 与b 的夹角为6π，3a =，则c 在b 上的正射影的数量为（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答. 【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅=，即c b a b ⋅=⋅，又a 与b 的夹角为6π，3a =， 所以c 在b 上的正射影的数量3||cos ,||cos 62||||c b a b c c b a b b π⋅⋅〈〉====故选：D例44．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量,a b 满足||1a b -=，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12bB ．12b -C ．12aD ．12a -【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式，即可求解. 【详解】22221a b a a b b -=-⋅+=，因为1==a b ，所以12a b ⋅=， 所以a 在b 方向上的投影向量为12a b b b b b ⋅⋅=. 故选：A例45．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．12⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-， 所以a 在b方向上的投影向量为22cos 13(1,3)(2a b a b b bbπ⋅⋅⋅⋅=⋅-=- ，故选：C题型五：平面向量的垂直问题例46．（2022·海南海口·二模）已知向量a ，b 的夹角为45°，2a =，且2a b ，若()a b b λ+⊥，则λ=______． 【答案】-2 【解析】 【分析】先利用数量积的运算求解b ，再利用向量垂直数量积为0即可求解. 【详解】因为cos 452a b a b ⋅=︒=得2b =， 又因为()a b b λ+⊥，所以()2240a b b a b b λλλ+⋅=⋅+=+=，所以2λ=-． 故答案为：-2.例47．（2022·广东茂名·二模）已知向量a =（t ，2t ），b ＝（﹣t ，1），若（a ﹣b ）⊥（a +b ），则t ＝_____． 【答案】12±【解析】 【分析】由（a ﹣b ）⊥（a +b ），由垂直向量的坐标运算可得出a b =，再由模长的公式即可求出t . 【详解】因为（a ﹣b ）⊥（a +b ），所以()()0a b a b -⋅+=，所以220a b -=，则a b =，所以22241t t t +=+，所以12t =±.故答案为：12±．例48．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知向量()1,1a =-，()1,b m =，若()3a b a +⊥，则m =______．【答案】13【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解. 【详解】()()23,3030a b a a b a aa b +⊥∴+⋅=⇒+⋅= ，所以()123103m m +-+=⇒=故答案为：13例49．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量1e 与2e 的夹角为3π，若122a e e =+，12b e me =+，且a b ⊥，则实数m =（ ） A ．45-B ．45 C ．54-D ．54【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得221122(2)20e m e e m e ++⋅+=，结合已知即可求m 的值.【详解】由题意1222121122)()(220()2a b e me m e e m e e e e ⋅=⋅+=++⋅++=， 又1e 与2e 的夹角为3π且为单位向量， 所以22021m m +++=，可得45m =-.故选：A例50．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量(22,4),1,cos 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a b θ，其中(0,π)θ∈，若a b ⊥，则sin θ=___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即14cos0cos22θθ-+=⇒=，因为(0,π)θ∈，所以π(0,)22θ∈，因此ππ242θθ=⇒=，所以sin 1θ=， 故答案为：1例51．（2022·全国·模拟预测（文））设向量()2,1a =，()1,b x =-，若()a b a ⊥-，则b =___________.【答案】【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解 【详解】()3,1b a x -=--，由题意得()0a b a ⋅-=，即610x -+-=，得7x =149b =+=.故答案为：【方法技巧与总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例52．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF =，即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．例53．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在边长为2的正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，则AC DE ⋅=（ ） A ．2 B ．2-C ．4-D ．4【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用向量法即可 【详解】在平面直角坐标系中以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，则()0,0A ，()0,2D ，()2,2C ，()2,1E ，所以()()2,22,1422AC DE ⋅=⋅-=-=， 故选：A例54．（2022·江苏·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，(4,1)AB =，(2,3)DC =，(2,)AC m =-，若0E A F C =⋅，则实数m 的值是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得分别求出AD 和BC 的坐标，再分别求出AE 和BF 的坐标，EF EA AB BF =++，再利用数量积坐标运算求解即可. 【详解】根据题意得：(4,3)AD CD CA AC DC m =-=-=--，(6,1)BC AC AB m =-=--, 因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以13(2,)22m AE AD -==-，11(3,)22m BF BC -==-， 所以()3,2EF EA AB BF =++=，又0E A F C =⋅，即()2320m -⨯+⨯=，解得3m =. 故选：D.例55．（2022·四川南充·三模（理））在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，3AC =，2AM MC =，12AN AB =，CN 与BM 交于点P ，则cos BPN ∠的值为（ ）A B ．C ．D 【答案】D 【解析】 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M , 得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ 故选：D.例56．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形ABCD 中，1AB BC CD DA DC ===⋅=，12⋅=BA BC ，则（ ） A ．1AC = B ．CA CD CA CD +=-C ．2AD BC = D ．BD CD ⋅=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】因为1AB BC CD ===，1cos 2BA BC BA BC B ⋅==，可得3B π=，所以ABC 为等边三角形，则1AC = ，故A 正确；因为1CD =，所以21CD =，又1DA DC ⋅=，所以2CD DA DC =⋅ ，得()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=，所以AC CD ⊥，则CA CD CA CD +=-，故B 正确； 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误； 建立如上图所示的平面直角坐标系，则1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，12BD ⎫=⎪⎪⎝⎭，3122CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BD CD ⋅=，故D 正确； 故选：ABD.例57．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量a b c ，，满足2222a b a b c c =-=-==，则可能成立的结果为（ ） A ．34b =B ．54b =C ．34b c ⋅= D ．54b c ⋅=【答案】BCD 【解析】 【分析】不妨设()10C ，，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解. 【详解】对于选项A 、B ，由题意2=a ，1c =，1a b b c -=-=，设OA a =，OB b =，OC c =，不妨设()10C ，，如图，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足1AB =， 圆C 方程是22(1)1x y -+=.当B 在圆C 上运动时，由AB OB OA +≥，得1OB ≥，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取等号，又由图易知2OB ≤，即12b ≤≤，故选项A 不满足，选项B 满足；对于选项C 、D ，设()B x y ，，则()()10b c x y x ⋅=⋅=，，， 由22221(1)1x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12B x ∴≥， 又2B x ≤.即122x ≤≤. 122b c ⎡⎤∴⋅∈⎢⎥⎣⎦，，选项C ，D 满足.故选：BCD例58．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则（ ）A ．20OB OE OG ++=B ．22OA OD ⋅=- C ．4AH EH += D ．4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立的平面直角坐标系，作AM HD ⊥，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正八边形ABCDEFGH ，所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠====DOE COB COD =∠=∠=∠360458==， 作AM HD ⊥，则OM AM =，因为2OA =，所以OM AM =(A ，同理可得其余各点坐标，()0,2B -，E ，(G ，()2,0D ，()2,0H -，对于A (02(2),2222)0OE OG ++=++--++=，故A 正确；对于B 中，(2(0OA OD ⋅=-⨯+⨯=-B 正确；对于C 中，(2AH =-，(2EH =-，(4,0)AH EH +=-，所以(4AH EH +=-=，故C 正确；对于D 中，(2AH =-，(2GH =-，(4AH GH +=-+，(4AH GH =-+=-D 不正确.故选：ABC.例59．（2022·江苏南京·模拟预测）在ABC 中，0AB AC ⋅=，3AB =，4AC =，O 为ABC 的重心，D 在边BC 上，且AD BC ⊥，则AD AO ⋅______． 【答案】9625【解析】根据O 为ABC 的重心，得到()13=+AO AB AC ，再由0AB AC ⋅=和AD BC ⊥，利用等面积法求得AD ，进而得到DB ，方法一：利用基底法求解；方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】解：因为O 为ABC 的重心， 所以()13=+AO AB AC ， 因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，则5BC =，因为AD BC ⊥，所以1122ABC S AB AC AD BC =⋅=⋅△， 即1134522AD ⨯⨯=⨯， 所以125AD =，在Rt ADB 中，95DB =． 方法一：因为925=+=+AD AB BD AB BC ， ()9916252525=+-=+AB AC AB AC AB ， 所以()191632525⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭AD AO AB AC AC AB ，221916963252525⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭AC AB ． 方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0AC =，()0,3AB =，由方法一可知9163648,25252525AD AC AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()14,133AO AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以136489513252525AD AO ⋅=⨯+⨯=．例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则PD =___________；PE PD ⋅=___________.【答案】 10 【解析】 【详解】解：以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系， 所以()()()0,0,2,0,2,1A B E ，()0,2D ，设(),P x y ，所以()()(),,2,1,2,0AP x y AE AD ===，因为2AP AE AD =-，所以()()4,0,4,2P PD =-，所以25PD = 又()2,1PE =-，所以10PE PD ⋅=.故答案为：10.例61．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，若线段EF 上存在一点M ，使得5162AM AB AD =+，则||AM =__________，若点N 为线段BD 上一个动点，则AN MN ⋅的取值范围为__________.【答案】73 371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M 坐标然后可得||AM ，再用坐标表示出AN MN ⋅，由二次函数性质可得所求范围. 【详解】因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，以BD 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为2AB =，60BAD ∠=︒，所以1,OB OD OC OA ====则(0,(1,0),(1,0)A B D -，设((,0)M m N n 43(1,3),(1,3),(,),(,3),3AB AD AM m AN n ==-==因为5162AM AB AD =+，所以51((62m =+-解得13m =，所以17||93AM =又1(,3MN n =-所以21137()1()3636AN MN n n n ⋅=--=--因为11n -≤≤，所以当16n =时，AN MN ⋅有最小值3736-， 当1n =-时，AN MN ⋅有最大值13，所以AN MN ⋅的取值范围为371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：73，371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
高考数学技巧解决平面向量的数量积与向量积问题
高考数学技巧解决平面向量的数量积与向量积问题在高考数学中，平面向量是常见的考点之一，而数量积和向量积是平面向量的两个重要运算。
掌握解决平面向量的数量积与向量积问题的技巧，可以帮助我们更好地应对考试。
1. 数量积的计算技巧数量积，也被称为点积或内积，可以用来计算两个向量之间的夹角、判定向量是否垂直以及计算向量的模长等问题。
以下是一些解决数量积问题的技巧：1.1 向量坐标法当给定两个向量的坐标时，可以直接利用数量积的定义公式\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \)来计算数量积。
其中，\( \vec{a} = (a_x, a_y) \) 和 \( \vec{b} = (b_x,b_y) \) 分别表示两个向量的坐标。
1.2 向量解法在某些情况下，我们可以将两个向量表示为已知向量的线性组合。
例如，已知向量 \( \vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} \) 和 \( \vec{b} = 4\vec{i} - \vec{j} \)，我们可以利用数量积的性质，将向量的线性组合展开并计算数量积：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2\vec{i} + 3\vec{j}) \cdot (4\vec{i} - \vec{j}) = 8 + (-3) = 5 \)2. 向量积的计算技巧向量积，也被称为叉积或外积，可以用来计算两个向量之间的夹角、判定向量是否共线以及计算向量的面积等问题。
以下是一些解决向量积问题的技巧：2.1 行列式法对于平面向量 \( \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} \) 和 \( \vec{b} =b_x\vec{i} + b_y\vec{j} \)，利用向量积的定义公式\( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} \\ a_x &a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} = (a_xb_y - a_yb_x)\vec{k} \)可以通过行列式的运算求得向量积。
平面向量数量积的常见求法
平面向量数量积的常见求法平面向量数量积是江苏省高考数学中的C 级知识点，每年均以不同形式来考查．试题例题：(1)设|a |＝12，|b |＝9，a ·b ＝－542，求a 与b 的夹角θ；(2)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2.如果向量a ＋k b 与5a ＋b 垂直，求实数k 的值；(3)已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a ，b 的夹角的大小．变式1已知|a |＝2，|b |＝4，向量a ，b 的夹角为π3，若向量k a ＋b ，a －2b 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．变式2已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，若AE →·AF →＝1，则λ的值为________________．串讲1已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x －3y ＋3＝0与圆O 交于A ，B 两点，求OA →·OB →的值．串讲2已知椭圆O ：x 24＋y 23＝1，直线l ：y ＝x －1与圆O 交于A ，B 两点，求OA →·OB →的值．(2018·南京三模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 为BC 上一点．若AB →·AD →＝5，AC →·AD →＝－23，则AC →·AB →的值为________________．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2DB ，求AD →·BC →.答案：－83.解法1AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝(AB →＋13BC →)·(AC →－AB →)＝13[|AC →|2＋AB →·AC →－2|AB →|2]＝13[1＋2×1×cos 120°－2×4]＝－83.6分解法2如图以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(1，0)，B(－1，3)，BC →＝(2，－3)，2分,由BD →＝13BC →，设D(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＋1＝23，y －3＝－33，得D ⎝⎛⎭⎫－13，233，4分,AD →·BC →＝－23－2＝－83.6分例题答案：(1)135°；(2)194；(3)60°.解析：(1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－54212×9＝－22，∵0°＜θ＜180°，∴θ＝135°. (2)由题意a ·b ＝|a ||b |cos120°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，∵(a ＋kb )⊥(5a ＋b )， ∴(a ＋kb )·(5a ＋b )＝0，即5a 2＋(5k ＋1)a ·b ＋kb 2＝0，∴5|a |2＋(5k ＋1)·(－4)＋k |b |2＝0，∴5×16－(20k ＋4)＋4k ＝0，∴k ＝194. (3)因为a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直， ∴⎩⎨⎧（a ＋3b ）·（7a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2b ）＝0，⎝ ⎛7a 2＋16a ·b －15b 2＝0①，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0 ②， ①－②得：2a ·b ＝b 2③，将③代入①得a 2＝b 2即|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.又∵0°＜θ＜180°，∴θ＝60°.变式联想变式1答案：⎝⎛⎭⎫－7，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 解析：因为向量k a ＋b ，a －2b 的夹角为钝角，所以(ka ＋b )·(a －2b )＜0且排除ka ＋b ，a －2b 共线反向．(ka ＋b )·(a －2b )＝ka 2－2b 2＋(1－2k )a ·b ＝4k －32＋4(1－2k )＜0，所以k ＞－7.设ka ＋b ＝λ(a －2b )，所以λ＝k ＝－12.所以实数λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－12∪⎝⎛－12， )＋∞.变式2答案：2.解析：由题意可知AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝AD →＋1λAB →，又AE →·AF →＝1，所以⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →·⎝⎛⎭⎫AD →＋1λAB →＝1，即⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·AD →＋1λAB →2＋13AD →2＝1，即⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＋1λ×4＋13×4＝1，解之得λ＝2.串讲激活串讲1 答案：－115.解析：如图，过点O 作OC 垂直于AB 于点C ，由点到直线的距离公式可得OC ＝310，在Rt △OAC 中，cos ∠AOC ＝3210，则cos ∠AOB ＝ 2cos 2∠AOC －1＝2×⎝⎛⎭⎫32102－1＝－1120，从而OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝2×2×⎝⎛⎭⎫－1120＝－115. 串讲2 答案：－177.解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x －1，得7x 2－8x －8＝0，Δ＞0，由韦达定理可知x 1＋x 2＝87，x 1·x 2＝－87，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－167－87＋1＝－177.新题在线答案：－3.解析：因为D 为边BC 上一点，故可设BD →＝λBC →(0≤λ≤1)，所以AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，两边分别同乘AC →，AB →，得到一个关于AC →·AB →与λ的方程组，进而解得AC →·AB →＝－3.。
高考数学专题二 微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题
微专题19
平面向量的数量积 及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一， 其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向 量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标 函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值 或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份， 所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难 度较大.
＝x－322＋(y－2)2－245.
又x－322＋(y－2)2 表示圆 x2＋y2＝1 上一点到点32，2距离的平方，圆 心(0,0)到点32，2的距离为52， 所以P→A·P→B∈52－12－245，52＋12－245， 即P→A·P→B∈[－4,6].
跟踪训练2 (1)如图，已知 AOB 是半径为 4，圆心角为π2的扇形，点 E，
(2)已知向量 a，b 满足a－b＝3，a＝2b，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 θ， 则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t， 则a－b2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9， 由 5t－9＝2a·b≤2ab＝4t 得 t≤9， 由 5t－9＝2a·b≥－2ab＝－4t 得 t≥1， 所以 1≤t≤9，a＋b＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10t－9， 所以 cos θ＝aa＋＋bb·aa－－bb＝ 1a02t－－b92×3＝ 10tt－9＝ 10tt－2 9， 令 y＝10tt－2 9，显然 y>0，t2－10yt＋9y＝0，
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
例谈高考中平面向量数量积的三种探求思路
解 法 探 究
２ ０ １ ３ 年 １ ２月
例谈 高考 中平面 向量数量积 的三种探 求思路
⑧ 江 苏 省 启 东 市 汇龙 中 学 施 伟 琛
平面 向量是高 中数学 的核心 知识 ． 把平 面向量 （ 高 中
一 —
ｌ
— 一
Ｘ—
１ —
＝ — 一
、 ／ １ ０ ．
内容 ） 与平面几何 （ 初中内容 ） 融合命题 ， 并 以选择题或填 空题 的形式呈现 ，这已形成新 高考试题 中的一道靓丽风
所 以 ・ 百 ＝ ４ ＋ ０ — ２ ： ２ ．
点评 ： 由平面向量的基本定理知 ， 同一 平 面 内的 任 一
（ ３ ） 本 题设计科学 合理 ， 语 言 自然 简洁 ， 图形 简明直
观． 以平 面 向量为背 景 ， 通过求 平面 向量 的数量积 ， 入口
较宽， 解法 灵活 ， 有效考查 了平 面 向量 的核心知 识． 上面
所 以由余弦定理得
Ｂ Ｄ ２ ＋ Ｂ Ｉ ａ － ＤＦ ｅ
Ｃ ０Ｓ ＝ — — — — 一 ： ———
准备 ： （ １ ） 数量 积的定义 ： 已知两个非零向量ａ 与ｂ ， 它
们的夹角为０ ， 则口 ・ ６ ＝ Ｉ ａ ｌ ・ Ｊ Ｉ ｃ ｏ ｓ Ｏ ． 其中Ｊ ｂ Ｉ ｃ ｏ ｓ ０ 称为向量
、 ／
１ ０ ： ２ ．
１ Ｕ
景． 而平面向量 的数量 积则是高考重点考查 的内容． ｛ ２ ０ １ ３ 年普通高等 学校招生全 国统一考试 大纲》 （ 文科数 学 ・ 课
程标准实验 版 ） 要求 ： 掌握数量积 的坐标表 达式 ， 会进行 平面 向量数量积 的运算． 可见 ， 这 已是较高要求． 那如何求 平面 向量 的数量积 呢？ 高考 中常有 三种不 同的探 求思路． 下面 以一道高考试题 为例谈谈具体的探求过程 ，以期 对 大家有一定的启发． 题目 （ ２ ０ １ ３ 年高考课标 Ⅱ卷理 １ ３ 文１ ４ ） 已知正方形
从一道多解题看平面向量数量积的求法
４
—
—
１
４
点 评： 应 用 公 式 吾 ． ６ ：
到事 半 功 倍 的 效果 ．
： 二 二 解 数量 积 有 时 能 达
．
解法三 ： （ 转化法 ） 由已知可得Ｉ 商Ｉ － ２ ， Ｉ Ｉ ： ３ ， － ａ ｇ － ． ： ０
６
上 的投 影为 ，由解法 一可 知 ￣Ｏ Ｂ Ａ ： ４ ５ 。 － ＿ ． ． Ｉ 歃 ｌ － Ｉ 魂 Ｉ ：
２
。 ． 。
ｉ Ｚ ￣ Ａ Ｏ Ｂ： 垒 里
ｚ ＡＯＢ： １ ０ ．
：
、 ／ 了ｘ ２ 、 ／
ｆ Ｏ ： ３Ｘ／
— —
Ｉ 积ｌ Ｉ － ｏ － ｇ － ｌ
・ ． ．
２
４
－ ｏ － Ｘ ・ …ｌ ｘ ２ ＋ （２ ） × （ 一 ２ ） ： ２ ．
碲： （ ＋ 商） ２ 一 （ 一 甜） ４ 魂‘ 一 武‘ １ ７ —９
．
点评 ： 题 目 中有 明显 的 直 角 ， 通过建立 直角坐标系 ， 表 示 出各 点 的 坐 标 ， 算 出相 应 的 向量 的坐 标 ， 利用 数量 积 的 坐标 公 式计算出来 ， 简单易操作 ， 是 平 面 向 量数 量积 的常 用 求 法 ．
丑 Ｄ Ｃ
商 一 吾 ． 蕊 。 ＋ ＝ 一 ２ ＋
４ ＝２
点评 ： 在 求 两 个 平 面 向量 数 量 积 时 ， 这 两个 平 面 向量 的模 和 夹 角 不 容 易求 出 时 ，经 常用 其 他 已 知或 容易 算 ｍ模 和 夹 角 的两 个 不 共线 向量 来 表 示 这 两个 向量 ．这 样 未 知难 求 的 向量 数 量 积 就 转化 为 已 知易 求 的 向量 的数 量 积 ． 问题得以解决 ． 也 体 现 了 等 价转 化 的思 想 ．
高中数学向量数量积解题技巧
高中数学向量数量积解题技巧高中数学中，向量数量积是一个重要的概念和技巧，在解题过程中经常会遇到。
正确理解和掌握向量数量积的性质和运算规律，可以帮助我们更好地解决相关问题。
本文将从几个常见的题型入手，介绍一些解题技巧和方法，帮助高中学生或他们的父母更好地理解和应用向量数量积。
一、平面向量的数量积在平面向量的数量积中，有一个重要的性质：向量的数量积等于两个向量的模长之积与它们夹角的余弦值的乘积。
即对于向量a和向量b，它们的数量积为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
举例说明：假设有两个向量a=(2, 3)和b=(4, 1)，我们需要求解它们的数量积。
首先计算向量的模长，|a|=√(2^2+3^2)=√13，|b|=√(4^2+1^2)=√17。
然后计算夹角的余弦值，cosθ=(2×4+3×1)/(√13×√17)=11/(√13×√17)。
最后，将模长和夹角的余弦值代入公式a·b=|a||b|cosθ，即可得到结果。
二、向量的数量积与垂直关系在解决与向量垂直关系相关的问题时，我们可以利用向量数量积的性质来判断。
根据性质，两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为0。
即若向量a·b=0，则向量a和向量b垂直。
举例说明：假设有两个向量a=(1, 2)和b=(2, -1)，我们需要判断它们是否垂直。
计算向量的数量积，a·b=(1×2)+(2×(-1))=0。
由于数量积为0，可以得出结论，向量a和向量b垂直。
三、数量积与平行关系在解决与向量平行关系相关的问题时，我们同样可以利用向量数量积的性质。
根据性质，两个向量平行的充分必要条件是它们的夹角的余弦值等于1或-1。
即若向量a·b=|a||b|，则向量a和向量b平行。
举例说明：假设有两个向量a=(3, 4)和b=(6, 8)，我们需要判断它们是否平行。
习题范例解决平面向量的加减与数量积问题
习题范例解决平面向量的加减与数量积问题平面向量的加减与数量积问题是数学学科中的基础内容，也是解决实际问题的关键技巧之一。
本文将通过习题范例的方式，详细介绍平面向量的加减、数量积运算，并提供解题思路和方法。
1. 加减运算平面向量的加减运算是指将两个向量相加或相减，得到一个新的向量。
加法运算可以表示向量的合成，而减法运算则表示向量的分解。
例题1：已知向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，求向量a+b和向量a-b。
解析：根据向量的加法和减法定义，向量a+b的x分量等于a的x分量与b的x分量之和，y分量同理；向量a-b的x分量等于a的x分量与b的x分量之差，y分量同理。
计算得到：向量a+b = (2+4, 3+(-1)) = (6, 2)向量a-b = (2-4, 3-(-1)) = (-2, 4)答案：向量a+b = (6, 2)，向量a-b = (-2, 4)2. 数量积数量积又称点积或内积，是平面向量运算中的一种重要形式。
它将两个向量的长度和夹角联系起来，可以判断两个向量是否垂直、平行，以及求解夹角的大小。
例题2：已知向量a(3, 4)和向量b(-2, 5)，求它们的数量积。
解析：数量积的定义是向量a与向量b的对应分量的乘积之和。
计算得到：数量积a·b = (3×(-2)) + (4×5) = -6 + 20 = 14答案：数量积a·b = 143. 习题范例解析接下来，我们通过两个习题范例来进一步理解平面向量的加减与数量积问题：例题3：设向量a(2, 1)和向量b(3, 2)，确定实数k的值，使得向量ka与向量b垂直。
解析：根据向量垂直的性质，两个向量的数量积为0时，它们垂直。
设ka与b垂直，则有：(2k)×3 + 1×2 = 0解方程得到：6k + 2 = 06k = -2k = -1/3答案：当k = -1/3时，向量ka与向量b垂直。
以高考题谈平面向量数量积的求法
总之 ，“ 稚 化 思 维” 教 学法 ，妙 哉 ！
参考文献 ［ １ ］ 钱军 先 ． 例 谈 稚化 思维 的教 学策 略 ［ Ｊ ］ ． 中学数 学教 学参 考 （ 上旬 ） ， ２ ０ １ ６
（ １ － ２ ） ：３ ８ － ３ ９
以高考题谈 平面向量数量积 的求法
管 勇 江 苏省徐 州 市 睢宁高 级 中学 （ ２ ２ １ ２ ０ ０ ）
究． 而“ 稚化思维” 教学法 ， 通过教师的稚化 ， 教师产 生“ 疑 惑” ， 很 自然 地激 发学 生想 帮助 老师 ， 无 形 中产 生“ 自主” 、“ 合作” 、“ 探究” ． 很自 然 的做到生生、师 生互动 ，吻合了现代 的教学理念 ． ３ ． ２吻合 当今提倡和流行的“ 翻转课堂” 理念 传 统 教 学模 式 ，教 师 按 预 先备 课 立 下 的“ 预设”
２
Ｉ 一
２
： ． ＋ ． ＋ 丽 ． 丽 ＋ 丽 ．
： ． ＋ 砭 ． ：一 ． （ 一１ ） ＋ １ ． ２＝ ．
＝
（ ＿ １ ） （ 厨 ＋
＝ ．
解法 ２ （ 基底法）选不共线的两向量 Ａ Ｂ，Ａ Ｄ
３ ２
福建中学数学
：
（ ＋
（ ＋
一
） ． ［ 一 Ａ Ｄ＋ （ ＤＦ一 一 ） ］
） ． ［ 一 Ａ Ｄ＋ （ 一 １ ） ） ］
解法 １ （ 定义法 ）由Ａ Ｂ・ ＝ √ ２，
得『 Ａ Ｂ１ ． １ Ａ Ｆｌ Ｃ Ｏ Ｓ Ｌ Ｂ Ａ Ｆ＝４ ２，
：
又Ａ Ｂ＝４ ２，所 以 ｌ Ａ Ｆｃ ｏ ｓ Ｌ Ｂ Ａ Ｆ＝１ ， 即Ｄ Ｆ＝１ ，所 以 Ｃ Ｆ＝４ ２— １ ，
一
高中数学解题方法系列：平面向量数量积运算的解题策略
2 ⎣⎦⎣⎦高中数学解题方法系列：平面向量数量积运算的解题策略平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法 上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数 例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。
一 利用数量积的几何意义求解例 1 如图, 已知正六边形 P 1P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 ，下列向量的数量积中最大的是（ ） （A ） P 1P 2 ⋅ P 1P 3 （C ） P 1P 2 ⋅ P 1P 5（B ） P 1P 2 ⋅ P 1P 4 （D ） P 1P 2 ⋅ P 1P 6解析： 选项中均有向量 P 1P 2 ，根据数量积的几何意义， 要找P 1P 2 ⋅ P 1P i (i = 3, 4,5, 6) 的最大值,只需求 P 1P i (i = 3, 4, 5, 6) 在 P 1 P 2 方向上的投影最大即可，画图可知只有 P 1P 3 在 P 1 P 2 方向上的投影最大，故最大选 A .练习 1：正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 ，正方体所在空间的动点 P 满足PB 1 + PC = 2 ，则 AP ⋅ AD 1 的取值范围是（）A ． [0, 4]B ． [1, 4]C ．⎡0, 2 2 ⎤ D ．⎡1, 2 2 ⎤解析：点 P 的轨迹是球面，球心是正方形 BB 1C 1C 的中心，半径为 1， AP ⋅ AD 1 的几何意义是 乘以动向量 AD 1 在 AP 方向上的投影，故可选 A .练习 2：正四面体 A －BCD 的棱长为 2，空间动点 P 满足| PB + PC | =2，则 AP ⋅ AD 的取值范围是解析：类似练习 1，答案是[0, 4].AP二 借助向量的拆分将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积.例 2 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 120°，AB = 2，AC = 1 ， D 是边 BC 上一点，DC = 2BD ，则 A D ·B C = .解析：直接利用定义求 AD ·BC 较困难，题目中给出了∠BAC =120°，AB = 2，AC =1，可以利用定义直接求出 A B ·A C ，这样问题就转化为能否将向量 AD ,BC 都用 AB ,AC 形式表示.由 DC = 2BD 得 AC - AD = 2(AD - AB ) 即 AD =1 AC + 2AB ， BC = AC - AB∴ AD BC =12AC1 + AC ⋅ AB -22AB 3 3= - 8.3 33 3练习：2018 年天津市数学（文）高考试卷第 8 题 在如图的平面图形中，已知OM = 1.ON = 2, ∠MON = 120 , BM = 2MA ,CN = 2NA , 则 BC ·OM 的值为（ ）（A ） -15 （C ） -6（B ） -9 （D ）0解析：连结 MN , 则 MN 平行于 BC ,BC • OM = 3MN • OM = 3(ON - OM ) • OM2= 3ON • OM - 3OM = -3 - 3 = -6.故可选（C ） -6 .三 利用极化恒等式求数量积例 3.(2012 年浙江文 15) 在 ∆ABC 中， M 是 BC 的中点， AM = 3, BC = 10 ， 则AB ⋅ A C = .解：因为 M 是 BC 的中点，由极化恒等式得： AB ⋅ AC = AM 2 - 1 BC 2 =9- 1⨯100 =4 4-16练习 1.（2013 浙江理 7）在∆ABC 中, P 是边 AB 上一定点，满足 P B = 1AB ，且对于4边 AB 上任一点 P ，恒有 PB ⋅ PC ≥ P 0 B ⋅ P 0C .则( )A. ∠ABC = 90B.∠BAC = 90PB 0 0 C. AB = ACD. AC = BC解析: D 由题意，设|→A B |=4，则|P →B |=1，过点 C 作 A B 的 垂线，垂足为 H ，在 A B 上任取一点 P ，设 H P 0=a ，则由 数量积的几何意义可得，→P B ∙→P C =|→P H ||→P B |=( |→P B | − AP(a +1))|→P B |，P →B ∙P →C =−|P →H ||P →B |=−a ，于是→P B ∙→P C ≥P →B ∙CP →C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→P B |≥−a 恒成立，整理得|→P B |2−(a +1)|→P B |+a ≥0 恒成 立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0 即可，于是 a =1，因此我们得到 H B =2，即 H 是 A B 的 中点，故△A BC 是等腰三角形，所以 A C =B C练习 2： (8) 如图，在平面四边形A B C D 中，AB ⊥ BC ，AD ⊥ CD ，∠BAD = 120︒ ，AB = AD = 1. 若点 E 为边 C D 上的动点，则 AE ⋅ BE 的最小值为 （）21 (A )16 3 (B)225 (C )16(D ) 3解析：延长CD 和 BA 交于点 F ，取 BA 的中点 H ,过点 H 作 HK 的垂线交CF 于点 K ,则 25AE • BE = EA• EB =212- 1 4 2 AB = EH 2 - 1 ,当 4 EH = 16 时有对应的最小值 16,故可选 A 选项。
高考数学—平面向量数量积求解的几种途径—逆袭高考140+
高考数学—平面向量数量积求解的几种途径—逆袭高考140+
平面向量数量积是平面向量一章中重要的内容，是高中数学三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇点，也是高考重点考察的知识，许多学生在解此类问题时感觉困难，究其原因，就是因为学生对数量积的概念理解不透彻，下面就求解方法归纳如下
一、定义法
从定义来看求两个非零向量的数量积关键要弄清楚两向量的模和夹角；若从数量积的几何意义来看就是一向量的模与它在另一向量方向上的投影的乘积。
二、坐标法
把两向量都设成坐标的形式，利用向量相乘公式进行计算．用此方法解决向量数量积问题，必须先建立合适的平面坐标系，把向量坐标化
三、分解转化基底法
平面向量基本定理：如果e ，e 是同一个平面内两个不共线的向
量，那么对于这一平面内的任一向量口，有且只有一对实数A1，A 2，使n：A．e +A e2．其中我们把不共线的两个向量．，e，叫做这一平面内所有向量的一组基底．。
平面向量数量积的若干求法教学与分析
平面向量数量积的若干求法教学与分析发布时间：2022-03-31T05:33:46.416Z 来源：《教育学文摘》2021年10月30期作者：杨金诺[导读] 平面向量数量积这一内容是每年高考必考的内容之一，也是学生的薄弱环节杨金诺黑龙江省伊春市第一中学 153000摘要：平面向量数量积这一内容是每年高考必考的内容之一，也是学生的薄弱环节，在这部分内容中丢分严重，这给教师的教学带来了困难，所以解决这一问题迫在眉睫。
为此，本文就当下平面向量数量积的教学现状和过程进行了分析，并且四种不同的求法进行总结和阐述，以期帮助学生掌握这类题目的作答，轻松迎战高考，提升自身的数学成绩，迈进自己心仪的高校，最终解决这一教学难点，促进高中数学教学的发展。
关键词：平面向量数量积；求法；数学课堂教学“高中数学课程标准”是教师设计教学目标和活动的主要依据，它强调向量教学在高中数学教学中的地位，并提出向量教学的要求，所以课程标准一直指引教师的教学方向。
然而当下学生对向量的概念理解不透彻，对向量的几何背景掌握度不够，不能从数学思想的高度把握向量类题目的考查知识点。
因此，教师在教学过程中应改进现有的教学模式和方法，进一步提高学生的解题能力和数学思维，进而帮助学生提升解题能力，让学生在面对向量题目时能够迎刃而解，不再害怕。
为此，笔者结合自身的教学经验对向量教学中新授课和复习课中的教学不足进行分析，并提出改进措施。
之后，针对向量数量积的解题方法进行探究，以期帮助学生树立数学思维，为未来的成长与法治奠定基础。
一、平面向量数量积教学中的缺失与对策1.新授课学生在学习平面向量数量积时由于对概念的理解不到位，导致学生在理解平面向量数量积时只处于表面。
教师在讲解的过程中，学生只是在听，但是缺乏动手操作环节。
再者，在讲解向量数量积运算时，教师应对将其与数的运算进行对比，让学生理解向量运算是数的运算的扩充，但是与数的运算又不同，它是建立在一个新的运算法则上，是一种新的量，自身有独特的运算法则，很多学生掌握不了其新的运算法则时，就会在运算中出现错误。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以
22，
所以 AE BF ( AB BE) (BC CF )
( AB
1 2
AD)
[ AD
(DF
DC)]
( AB
1 2
AD)
[ AD
由已知
OF
1 3
OA
，
OE
2 3
OA
，
所以 F(b，c) ， E(2b，2c)， 所以 BA (3b a，3c) ， CA (3b a，3c) ， BF (b a，c) ， CF(b a，c) ， BE (2b a，2c)，CE (2b a，2c) ， 又 BA CA 4 ， BF CF 1 ，
OA
，
OE
2 3
OA ，
所以 E(0，2b) ， F (0，b) ， 所以 BA (a，3b)， CA (a，3b) ， BF (a，b) ， CF (a，b) ， BE (a，2b) ， CE(a，2b) 又 BA CA 4 ， BF CF 1 ，
（2）此题属关于“向量数量积”的常规题，解题
思路和平时一样，从不同的视角入手，会得出不同
解法求向量的数量积，通常有三种方法：
①定义法： a b | a || b | cos a，b ；
②基底法：选定两个不共线的向量作基底，将
题目中的向量尽可能地用基底中的两个向量表示，
然后进一步求解；
③坐标法：在直角坐标系中，若 a (x1，y1) ， b (x2，y2 ) ，则 a b x1x2 y1 y2 ．
所以 9b2 a2 9c2 4 ， b2 a2 c2 1 ，
解之得 b2 c2
5 8
，
a2
13 8
，
所以 BE CE (2b a，2c) (2b a，2c)
4b2
a2
4c2
20 8
13 8
7 8
．
y A E F
B D (O) C
(
1) AB)]
AB
AD
(
1) AB
2
1 2
2 AD
1 2
(
1) AD
AB
0
(
1)
AB
2
1 2
2 AD
0
(
2 2
1)(
2)2
1 2
22
2．
万方数据
32
福建中学数学
在矩形 ABCD 中， AB 2 ，BC 2 ，点 E 为BC的 中点，点 F 在边 CD 上，若 AB AF 2 ，则 AE BF
的值为
．
解法1 （定义法）由 AB AF 2 ，
得 | AB | | AF | cos BAF 2 ，
又 AB 2 ，所以 | AF cos BAF 1 ，
即 DF1，所以CF 2 1， 所以AE BF (AB BE) (BC CF) AB BC AB CF BE BC BE CF AB CF BE BC 2 ( 2 1) 1 2 2 ． 解法 2 （基底法）选不共线的两向量 AB ， AD
，
OF
1 2
OD
，
F
( 18 ，
3 8
)
，
所以
AF
BC
(1 8
，
5
3 8
)
(1，0)
1 8
，故选
B．
y
A
D
B
C E (O) x
DP
所以 a2
5 8
，b2
13 8
，
所以
BE CE
4a 2
b2
45 8
13 8
7 8
．
解法 2 （坐标法）以 BC 所在直线为 x 轴，线段
BC 的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如图
3)，则 D(0，0) ，设 B(a，0) ， C(a，0) ， A(3b，3c) ，
所以 a2 9b2 4 ， a2 b2 1 ，
解之得 a2
13 8
， b2
5 8
，
万方数据
2016 年第 11 期
福建中学数学
33
所以 BE CE
a 2
4b2
13 8
20 8
7 8
．
点评 （1）此题注重基础，不偏不怪，贴近课
本，体现以本为本的数学教学理念，公平公正．
又 AB AF 2 ，所以 2x 2 ，
所以 x 1， F (1，2) ， 所以 AE BF ( 2，1) (1 2，2)
2(1 2) 2 2 ．
点评 （1）这一道向量综合题主要考查向量数
量积的求法，同时考查平面向量共线定理、平面向 量基本定理、向量的和差运算等基础知识，考查“数 形结合”和“等价转化”思想，考查运算求解能力．
参考文献 [1]钱军先．例谈稚化思维的教学策略[J]．中学数学教学参考（上旬），2016 （1-2）：38-39
以高考题谈平面向量数量积的求法
管 勇 江苏省徐州市睢宁高级中学（221200）
“平面向量的数量积”为近几年高考必考的一个 知识点，是江苏省《考试大纲》中 8 个 C 级考点之
一，但在高考中相应的试题并不一定是难题． 案例 1 （2012 年高考江苏卷·理 9）如图 1，
2016 年第 11 期
D FC E
y D FC
E
AB 图1
A Bx 图2
解法 3 （坐标法）以 A 为原点， AB 所在直线为
x 轴， AD 所在直线为 y 轴，建立如图 2 所示的平面
直角坐标系，则 A(0，0) ，B(2，0) ，D(0，2)，C( 2，2) ， E( 2，1)， 设F (x，2) ，则 AB ( 2，0) ， AF (x，2) ，
（2）因为此题是填空题，所以才能“不妨”把三
角形 ABC 当作等腰三角形来看，然后再建系，这样
可更快得到答案，但要强调的是此题不能把三角形
ABC 当作正三角形．
（3）通过比较可见解法三是最简捷的．
案例 3 （2016 年高考天津卷·理 7）已知 ABC
是边长为 1 的等边三角形，点 D ， E 分别是边
是
．
解法 1 （基底法）选不共线的两向 量 DB ， DF
作基底（如 图 3），并 设 DF a， DB b ，
则 DC b ， DE 2a ， DA 3a ，
BA 3a b ，C A 3a b ，BE 2a b ，
A B ， BF a b，CF a b ，
则 BA CA 9a2 b2 ，B F CF a2 b2 ，
由 BA CA 4 ， BF CF 1 ，
可得 9a2 b2 4 ， a2 b2 1 ，
y
A
E F
x
B D (O) C
图3
图4
解法 3 （特殊法、坐标法）不妨把三角形 ABC
当作等腰三角形，以 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC
的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如图 4)，则
D(0，0) ，设 B(a，0) ， C(a，0) ， A(0，3b) ，
由已知
OF
1 3
AB ， BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 DE 2EF ，则 AF BC 的值为
A．
5 8
B．
1 8
C．
1 4
D．
11 8
解法 1 （基底法与定义法 并用）选不共线的两 向量 AB ， AC 作基底，则 BC AC AB ，
作基底，设 DF D C，又AB AF 2，
而 AB AF AB ( AD DF ) AB AD AB DF
0 2 2 2 ，
只要在平时教学中，学生能及时归纳、总结、
记录，并经常复习回顾，高考中遇此类题目，学生 会因有清晰的记忆、明确的思考方向，而“有计可施”，
并能进行“优法采撷”，利用解法三求解最简捷． 案例 2 （2016 年高考江苏卷·理 13）如图 3，
在 ABC 中， D是 BC 的中 点， E，F 是 AD上两 个三 等分点， BACA 4 ， BF CF 1 ，则 BE CE 的值
3.3 吻合学生学习过程和认知规律的理念 在上面案例片段中，教师精心设计问题串中， 总是选择学生知识的最近发展区，循序渐近，层层 引入，再时时通过自我“稚化思维”甚至有时表现弱 智，无意中对学生产生的引力，在迫切想“战胜或帮 助”教师愿望下，也按问题串循序思维，认知也就很 自然地也逐步深入，结果是通过师生、生生互动， 双向合作交流，主动构建，很自然地完成学生认知 结构，内化了新知，最终吻合了学生的学习过程和 认知规律理念． 总之，“稚化思维”教学法，妙哉！
3 教学启示 从上面案例片段可以看出，“稚化思维”的教学法 不仅盘活了课堂，而且激发了学生热情和兴趣，引 起学生共鸣，促进了学生积极主动地参与课堂教学 活动．又由于通过问题串的引入，真正做到了因势 利导，强化了教学效果，而且吻合了现代教学理论． 3.1 吻合现代的教学理念 课标课程提倡的是：课堂教学活动应该以学生 为主体，教师为主导，让学生在课堂上真正体现出“自 主”、“合作”，它不仅师生互助，而且能真正生生互 动，使学生由原来的被动学习变为主动学习、探 究．而“稚化思维”教学法，通过教师的稚化，教师产 生“疑惑”，很自然地激发学生想帮助老师，无形中产 生“自主”、“合作”、“探究”．很自然的做到生生、师 生互动，吻合了现代的教学理念． 3.2 吻合当今提倡和流行的“翻转课堂”理念 传统教学模式，教师按预先备课立下的“预设”