求解平面向量数量积的三种方法

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求解平面向量数量积的三种方法

作者：谢伟杰

来源：《读写算》2018年第34期

摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。

关键词平面向量数量积；解法

中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01

做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。

一、原题呈现

已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则

的值为（）

二、解法展示与对比

解法一：如图1，

解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。则，，

解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故

作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相

反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。