PPT-动力学-第12章 动能定理

求:切削力F的最大值。 解: P P P 3.78kW 无用 输入 有用
60 60 3.78 F P有用 17.19kN πdn π 0.1 42 当 n 112 r / min 时
60 3.78 F 6.45kN π 0.1 112
d πn P有用 Fv F · 2 30
W12 T2 T1
T1 0
1
vC v , 2 C R1 R2
1 1 1 1 2 2 2 T2 ( m1 R1 )1 m2 v2 ( m2 R2 2 )22 2 2 2 2
vC 2 M m2 gs sin (2 m1 3m2 ) 4 s ( M m2 gR1 sin ) s
W12 mg ( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2.弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m) 弹性力的功为
W12 F dr A k ( r l0 )er dr
A1
1
A2
A2
er dr
r 1 1 dr d( r r ) d( r 2 ) dr r 2r 2r
T2 T1 W
(a)
6M 12 M 求导得 2 2 ( 2 m 9 m ) l (2m 9m1 )l 1
注意:轮Ⅰ、Ⅱ接触点C是理想约束,其摩擦力Fs尽管在
空间是移动的,但作用于速度瞬心,故不作功.
例12-7
已知:均质杆OB=AB=l, m，在铅垂面内;M=常量,初始静止, 不计摩擦. 求:当A 运动到O点时,
F
C
P FS FN
§12-2
1.质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2 1 T mi vi 2 2
1 2 T mv 即 C 2
2.质点系的动能
（1）平移刚体的动能
1 1 2 2 T mi vi vC mi 2 2 （2）定轴转动刚体的动能
1 1 1 2 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 2 2
2 得 W12 r r1 k ( r l0 )dr
即 W k ( 2 2 ) 12 1 2
2
1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
δW F dr Ft ds Ft Rd
由
M z Ft R
R1
(a)
vC 2
R1 (2m1 3m2 )
式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得
vC 1 (2 m1 3m2 )vC aC M m2 gvC sin 2 R1 2 ( M m2 gR1 sin )
aC (2 m1 3m2 ) R1
例12-4 已知:冲击试验机m=18kg, l=840mm, 杆重不计，在 1 70 时静止释放，冲断试件后摆至 2 29 求:冲断试件需用的能量。
2
T1
(a)
2 ( F 2mgf ) 得 a0 3m
v0 a0 , , r r
例12-6 已知: r1 , m1 均质;杆m 均质, O1O2 =l , M=常量,小轮纯滚动, 大轮静止，处于水平面内,初始静止.
求: O1O2 转过φ角的 ,
O1 , O2
解:
研究整个系统
系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动能与相对于 质心平移坐标系运动的动能之和。
§12-3
1.质点的动能定理
动能定理
dv 将 m F 两端点乘 vdt dr , dt 1 2 mv dv d( mv ), F dr δW 得 mv dv F dr 2 1 2 因此 d( mv ) δW －－质点动能定理的微分形式 2
第十二章 动 能 定 理
§12-1 力的功
一、常力在直线运动中的功
W F cos s F s
二、变力在曲线运动中的功
元功
δW F cos ds
δW F dr
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
记
W Fx dx Fy dy Fz dz
解:
T1 0, T2 0
0 0 mgl (1 cos 1 )
mgl (1 cos 2 ) Wk
得冲断试件需要的能量为
Wk 78.92J
Wk k A
冲击韧度：衡量材料抵抗冲击能力的指标。
例12-5
已知:均质圆盘R ,m ,F=常量,且很大,使O 向右运动, f 为动摩擦因
vA ？
解:
l W M 2mg (1 cos ) 2 T1 0 vB vB 3 C ABC C l AB AB , OB l l 2
AB OB
v A AB · 2l
1 2 T2 TAB TOB mvC 2 4 1 1 2 2 2 ml 2 AB J C AB J 0 OB
－－质点系动能定理的微分形式
dT δWi T2 T1 Wi
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和. －－质点系动能定理的积分形式
质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等
于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.
3.理想约束及内力的功
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔 索等约束的约束力作功等于零. 为什么？ 称约束力作功等于零的约束为理想约束.
1 ml 2 2 1 1 m1r1 2 T2 ( ) m1 01 ( ) 2 2 3 2 2 2
T1 0
2
1 m 3m1 2 2 ( )l 2 3 2
01 l ( 01 l , 1 ) r1 r1
W M
1 m 3m1 2 2 M ( )l 2 3 2
数,初静止。
求:O 走过S 路程时ω， 。
解: 圆盘速度瞬心为C
W Fs 2mgfs W T
3 Fs 2mgfs mv0 2 4
s v0 2 ( F 2mgf ) 3m 将式(a)两端对t 求导,并利用
v0 R T1 0 2 1 1 mR 3 2 2 T2 mv0 ( ) mv0 2 2 2 2 4
即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 作用在转动刚体上的力的功率为
δW d P Mz M z dt dt 单位W（瓦特）,1W=1J/S
2.功率方程
n n δWi dT Pi dt i 1 dt i 1
功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和.
max
mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
例12-3 已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ， m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。 求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
解:
轮C与轮O共同作为一个质点系
W12 M m2 gs sin
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.
内力作功之和不一定等于零.
思考：
当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？
例12-2 已知:m, h, k, 其它质量不计.
求:
max
解:
T1 0, T2 0
k 2 0 0 mg ( h max ) max 2
M2 2 W12 M δ W M1 M 1 F ·dr
三、几种常见力的功 1.重力的功 质点
Fx Fy 0 Fz mg W12 z z mgdz mg ( z1 z 2 )
2 1
质点系
W
由 得
12
mzC mi zi
m i g ( z i1 z i 2 )
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 mv2 mv12 W12 2 2
－－质点动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用 于质点的力作的功.
2.质点系的动能定理
由 得
1 d( mi vi 2 ) δWi 2
1 2 d( 2mi vi ) δWi
将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力
偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力 系中所有力所作元功的和，有
δW δWi FR ' drC M C d
平面运动刚体
δW FR ' drC M C d
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
C2
~ 2 时,力系的功为
W1 F R
W2 0
W1 W1 W2 F R
例12-1 已知:均质圆盘R ,m ,F =常量,且很大,使O 向右运动, f , 初静止。 求: O 走过S 路程时力的功。
F
解： 重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力F作功，
将力F向质心简化，得
W F ' s M C 2 Fs
2
W12 FR drC M C d
C1
1
说明:1.对任何运动的刚体,上述结论都适用;
2.C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立
3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
思考：
W1 F s
W2 0
W1 W1 W2 F s
F 的功为
δW M z d
从角 1转动到角 2 过程中力