2014年高考数学总复习教案：第四章 平面向量与复数第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示
高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数
A.12a ＋12b
B.12a ＋13b
C.14a ＋12b
D.12a ＋14b
解析：∵在△ABC 中，BE 是边 AC 上的中线，
∴―A→E ＝12―A→C .∵O 是边 BE 的中点，
∴―A→O ＝12(―A→B ＋―A→E )＝12―A→B ＋14―A→C ＝12a ＋14b .
答案：D
2．已知向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2
第二 节
平面向量的基本定理及坐标表示
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过基 础知 识
1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ， 有且只有 一对实数λ1，λ2，使 a ＝_λ_1e_1_＋__λ_2e_2_. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组 基底 ．
＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一 平面向量基本定理及其应用 [考什么·怎么考]
高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表 示其他向量，一般多以选择题、填空题的形式出现， 难度中等.
1.如图，在△ABC 中，BE 是边 AC 的中线，O 是边 BE 的中点，若―A→B ＝a ，―A→C ＝b ，则―A→O ＝( )
2．平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a －b ＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa ＝ (λx1，λy1) ，|a |＝___x_21＋__y_21__.
高中数学复习教案平面向量的基本概念回顾
高中数学复习教案平面向量的基本概念回顾高中数学复习教案：平面向量的基本概念回顾一、引言在高中数学学习中，平面向量是一个重要且基础的概念。
本教案将回顾平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法以及向量的运算规则。
通过复习这些基本知识，学生们将能够更好地理解和应用向量相关的数学问题。
二、向量的定义向量可以看作是有大小和方向的量，通常用一个有方向的箭头来表示。
在二维平面中，一个向量由两个坐标表示，分别表示向量在横轴和纵轴上的分量。
假设有向量`AB`，则可以表示为`(x,y)`。
三、向量的表示方法1. 坐标表示法：向量`AB`可以用坐标`A(x1,y1)`和`B(x2,y2)`来表示，即`AB=(x2-x1, y2-y1)`。
2. 分量表示法：向量`AB`可以用其横轴分量`a`和纵轴分量`b`来表示，即`AB=(a,b)`。
3. 简化表示法：向量`AB`可以用一个小写字母加上一个向右箭头的符号来表示，即`→v`。
四、向量的运算规则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于向量`→v`、`→u`和`→w`，有`→v+→u=→u+→v`和`→v+(→u+→w)=(→v+→u)+→w`。
2. 向量的数量乘法：向量与一个实数相乘，其结果是一个方向相同（或相反）且长度是原向量长度的绝对值倍数的向量。
即对于实数`k`和向量`→v`，有`k→v=(kx, ky)`。
3. 向量的减法：向量的减法可以看作是加上一个相反向量。
即对于向量`→v`和`→u`，`→v-→u=→v+(-→u)`。
五、向量的基本性质1. 零向量：零向量是一个特殊的向量，表示大小和方向都为零。
记作`→0`。
2. 负向量：对于向量`→v`，其负向量是方向相反、长度相同的向量，记作`-→v`。
3. 向量的模：向量的模表示向量的长度，记作`|→v|`。
在二维平面中，向量`→v=(x,y)`的模为`|→v|=√(x^2+y^2)`。
4. 单位向量：单位向量是长度为1的向量。
高中数学讲义 第四章 平面向量与复数(超级详细)
高中数学复习讲义第四章平面向量与复数【知识图解】Ⅰ.平面向量知识结构表Ⅱ.复数的知识结构表【方法点拨】由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。
所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。
从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.第1课 向量的概念及基本运算【考点导读】1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ，//b c ，则//a c 。
其中，正确命题材的序号是②③2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r得03.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝2133+a b ，OQ u u u r ＝1233+a b (用a 、b 表示)【范例导析】例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r.分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ，由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（1）由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r，代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.例1例2.已知,OA OB u u u r u u u r不共线，OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ,求证：A,P ,B 三点共线的充要条件是1a b +=分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.解：先证必要性：若A,P ,B 三点共线，则存在实数λ，使得AP AB λ=u u u r u u u r ,即()OP OA OB OA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,∴()1,OP OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r ∵OP aOA bOB =+u u ur u u u r u u u r ,∴1,a b λλ=-=，∴ 1.a b +=再证充分性：若 1.a b +=则AP OP OA =-u u u r u u u r u u u r =()()1a OA bOB b OB OA -+=-u u u r u u u r u u u r u u u r=bAB u u u r ,∴AP u u u r 与AB u u u r共线，∴A,P,B 三点共线.点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】1．已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（C ）A. |a |－|b |=|a －b |B. |a |－|b |=|a +b |C.|a |＋|b |=|a －b |D. |a |＋|b |=|a +b |2.设四边形ABCD 中，有1,2DC AB AD BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r则这个四边形是（C ）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形 3.设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：①AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ， ②DB AC BD ++u u u r u u u r u u u r ， ③OA OC OB CO --+-u u u r u u u r u u u r u u u r 。
平面向量复习课教案
平面向量复习课一.考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二.知识梳理1. 向量的概念：向量，零向量，单位向量，平行向量(共线向量)，相等向量，向量的模等。
2. 向量的基本运算(1)向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设 a =(x i,y”, b =(X2,y2)则a+b=(x i+X2,y i+y2) a-b=(x i- X2,y i-y 2)(2)平面向量的数量积：a *b=a b cos日设 a =(x i,y i), b =(X2,y2)贝U a • b=x i X2+y i y2r(3)两个向量平行的充要条件一：// 一"二入:-若-i =(x i,y i), " =(x2,y 2)，贝U ：i // : - x i y2-X2y i=0r ‘r r3. 两个非零向量垂直的充要条件是一；丄一；• 1 =0f设」=(x i,y i)，- =(x2,y 2)，则富丄1 x i X2+y i y2=0三.教学过程(一)基础知识训练1. 下列命题正确的是( )(A)单位向量都相等(B)任一向量与它的相反向量不相等(C)平行向量不一定是共线向量(D)模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若AB二a，FA二b，则BC -( )1 1 1(A) 一(a -b) (B) 一(a - b) (C) a —b (D) 一a - b2 2 23. 已知向量e10，「- R， a = ej • ' e2, b =2e1若向量a与b共线，则下列关系一定成立是( )(A) ' =0 (B) e? =0 (C) e i // e2 (D) e“ // e?或，=04.若向量a=(—1,x) , b=(—x,2)共线且方向相同，x= ____________________ 。
2014届高考数学一轮复习 第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》(第2课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》（第2课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2013·合肥质检)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)解析：选A.依题意得a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)． 2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b 解析：选B.设c ＝m a ＋n b ，则(4,2)＝(m －n ，m ＋n )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝4m ＋n ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝－1，∴c ＝3a －b . 3．(2013·鞍山质检)设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α为( )A.π6B.π4C.π3D.512π 解析：选B.∵a ∥b ，∴4sin α·3cos α＝2×3， ∴sin 2α＝1， ∵α为锐角．∴α＝π4.故选B.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：选B.AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)， ∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)． PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)， ∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．故选B.5．(2011·高考广东卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2解析：选B.∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)且(a ＋λb )∥c ， ∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.二、填空题6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0. ∴m ＝－1. 答案：－17．已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．解析：由已知得A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)， 则AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)， ∴2AB →＋3BC →＋AC →＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)． 答案：(3,4) 8．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝(m ，m2＋sin α)，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是________________________________________________________________________．解析：根据已知条件得2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，又a ＝2b ，所以λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤62λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，故λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2∈[－6,1]． 答案：[－6,1] 三、解答题9．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，试以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →.解：由已知得：AB →＝(1,3)，AC →＝(2,4)， AD →＝(－3,5)，BD →＝(－4,2)，CD →＝(－5,1)， ∴AD →＋BD →＋CD →＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1) ＝(－12,8)． 设AD →＋BD →＋CD →＝λ1AB →＋λ2AC →， 则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝－12，3λ1＋4λ2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝32，λ2＝－22. ∴AD →＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →.10．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．一、选择题1．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.∵OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)， ∴OC →＝－BA →，∴ OC →∥ BA →.又由坐标知点O 、C 、A 、B 不共线，∴OC ∥BA ，①正确； ∵AB →＋BC →＝AC →，∴②错误； ∵OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，∴③正确； ∵OB →－2OA →＝(－4,0)，AC →＝(－4,0)，∴④正确．故选C.2．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量的集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)} 解析：选A.因为a ＝(1，m )，b ＝(1－n,1＋n )． 可得P ∩Q ＝{(1,1)}，故选A. 二、填空题3．e 1，e 2是不共线向量，且a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，若b ，c 为一组基底，则a ＝________.解析：设a ＝λ1b ＋λ2c ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)， 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c .答案：－118b ＋727c4.(2012·高考山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．解析：如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ ，Q 为垂足．根据题意得劣弧DP ＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－π2弧度，|CQ |＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2，|PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2，所以点P 的横坐标为2－|CQ |＝2－sin2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos2，所以P 点的坐标为(2－sin2,1－cos2)， 故OP →＝(2－sin2,1－cos2)． 答案：(2－sin2,1－cos2) 三、解答题5．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值，若不能，请说明理由．解：(1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )，若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →， ∵⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，无解， 所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第四章 平面向量与复数第1课时 平面向量的概念与线性运算.pdf
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章 平面向量与复数第1课时 平面向量的概念与线性运算 考情分析考点新知① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. 掌握向量加、减法和数乘运算理解其几何意义；理解向量共线定理. 了解向量的线性运算性质及其几何意义． 掌握向量加、减法、数乘的运算以及两个向. 1. (必修4练习第1题改编)ABCD中为DC边的中点且＝a＝b则＝________． 答案：b－解析：＝＋＋＝－a＋b＋＝b－(必修4例4改编)在△ABC中＝c＝b.若点D满足＝2则＝________．(用b、c表示)答案：＋解析：因为＝2所以－＝2(－)即3＝＋2＝c＋2b故＝＋(必修4练习第6题改编设四边形ABCD中有＝且|＝则这个四边形是________．答案：等腰梯形解析：＝∥，且|＝|，∴ ABCD为梯形．又|＝|，∴ 四边形ABCD的形状为等腰梯形．(必修4练习第2题改编)a、b是两个不共线向量＝2a＋pb＝a＋b＝a－2b.若A、B、D三点共线则实数p＝________．答案：－1解析：∵ ＝＋＝2a－b又A、B、D三点共线存在实数λ使＝λ即＝－1. 1. 向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度(或模)记作|. (2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量其方向是任意的．(3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．向量加法与减法运算(1) 向量的加法定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．法则：三角形法则；平行四边形法则．运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋b＋c)．(2) 向量的减法定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法．法则：三角形法则．向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a的积是一个向量记作λa它的长度与方向规定如下：＝|λ||a|；当λ>0时与a的方向相同；当λ<0时与a的方向相反；当λ＝0时＝0.(2) 运算律：设λ、μ∈R则：①λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb．向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得b＝λa．[备课札记] 题型1 平面向量的基本概念 给出下列六个命题：两个向量相等则它们的起点相同终点相同；若|a|＝|b|则a＝b；若＝则A、B、C、D四点构成平行四边形；在中一定有＝；若m＝n＝p则m＝p；若a∥bb∥c，则a∥c.其中错误的命题有________(填序号)答案：①②③⑥解析：两向量起点相同终点相同则两向量相等；但两相等向量不一定有相同的起点和终点故①不正确；|a|＝|b|由于a与b方a、b不一定相等故②不正确；＝可能有A、B、C、D在一条直线上的情况所以③不正确；零向量与任一向量平行故a∥b时若b＝0则a与c不一定平行故⑥不正确． 设a为单位向量若a为平面内的某个向量则a＝|a|·a；②若a与a平行则a＝|a|·a；③若a与a平行且|a|＝1则a＝a上述命题中假命题个数是________．答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量与|a|a模相同但方向不一定相同故①是假命题；若a与a平行则a与a方向有两种情况：一是同向二是反向反向时a＝－|a|a故②、③也是假命题填3.题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB的对角线交点为C＝＝＝a＝b用a、b表示、、 解：＝a－b＝＝－＝＋＝＋＝a＋b＝＋＝＋＝＝＋＝－＝－ 在△ABC中、F分别为AC、AB的中点与CF相交于G点设＝a＝b试用a表示 解：＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－)＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋又＝＋＝＋m＝＋(＋)＝(1－m)＋＝＋(1－m)b解得λ＝m＝＝＋. 题型3 共线向量例3 设两个非零向量a与b不共线．(1) 若＝a＋b＝2a＋8b＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2) 试确定实数k使ka＋b和a＋kb共线．(1) 证明：∵＝a＋b＝2a＋8b＝3(a－b)＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，共线．又它们有公共点B、B、D三点共线．(2) 解：∵ ka＋b与a＋kb共线存在实数ka＋b＝λ(a＋kb)即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a、b是两不共线的非零向量－λ＝λk－1＝0.－1＝0.∴ k＝±1. 已知a、b是不共线的向量＝λa＋b＝a＋μb(λ、μ∈R)当A、B、C三点共线时λ、μ满足的条件为________答案：λμ＝1解析：由＝λa＋b＝a＋μb(λ、μ∈R)及A、B、C三点共线得＝t所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb即可得所以λμ＝1.题型4 向量共线的应用例4 如图所示设O是△ABC内部一点且＋＝－2则△AOB与△AOC的面积之比为________． 答案： 解析：如图所示设M是AC的中点则＋＝2又＋＝－2＝－即O是BM的中点＝S＝＝. 如图中在AC上取一点N使AN＝；在AB上取一点M使得AM＝；在BN的延长线上取点P使得NP＝；在CM的延长线上取点Q使得＝时＝试确定λ的值． 解：∵＝－＝(－)＝(＋)＝＝－＝＋λ又∵＝＋λ＝即λ＝＝ 1. 如图在四边形ABCD中和BD相交于点O设＝a＝b若＝2则＝________．(用向量a和b表示) 答案：＋解析：因为＝＋＝＋＝a＋又＝2所以＝＝＝＋(2013·四川)如图在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O＋＝λ则λ＝________． 答案：2解析：＋＝＝2则λ＝2.(2013·江苏)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点AB，BE＝若＝λ＋λ(λ1、λ为实数)则λ＋λ＝________．答案：解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝λ＋λ，故λ＝－＝则λ＋λ＝已知点P在△ABC所在的平面内若2＋3＋＝3则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．答案：解析：由2＋3＋4＝3得＋4＝3＋，∴ 2＋4＝，即4＝5＝＝＝1. 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O＋＝λ则λ＝________答案：2 解析：ABCD为平行四边形对角线AC与BD交于点O所以＋＝又O为AC的中点所以＝2所以＋＝2因为＋＝λ所以λ＝2. 已知平面内O四点其中A三点共线且＝x＋y则x＋y＝________答案：1解析：∵ A三点共线＝λ即－＝λ－λ＝(1－λ)＋λ即x＝1－λ＝λ＋y＝1.设D分别是△ABC的边AB上的点＝＝若＝λ＋λ(λ1，λ2为实数)则＋＝________答案：解析：易知DE＝＋＝＋(－)＝－＋所以λ＋λ＝已知点G是△ABO的重心是AB边的中点．(1) 求＋＋；(2) 若PQ过△ABO的重心G且＝a＝b＝ma＝nb求证：＋＝3.(1) 解：因为＋＝2又2＝－所以＋＋＝－＋＝(2) 证明：因为＝(a＋b)且G是△ABO的重心所以＝＝(a＋b由P、G、Q三点共线得，所以有且只有一个实数λ使＝λ又＝－＝(a＋b)－ma＝＋＝－＝nb－(a＋b)＝－＋所以＋＝. 又a、b不共线所以消去λ整理得3mn＝m＋n故＋＝3. 1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题其关键在于透彻理解平面向量的概念还应注意零向量的特殊性以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．在进行向量线性运算时要尽可平行向量定理的条件和结论是充要条件关系既可以证明向量共线也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点． [备课札记]。
(完整版)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. A(起点)B（终点）aOABaaa bb b7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到A BCa +ba +baa b b aｂｂ ａan 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = aOabBa ba -b作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λO ABa B’b-b bBa + (-b )a b a -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-ba ρ=2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ.由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x ba λ§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两C个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a ba ⋅5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |第8课时二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )C证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | C5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。
高中数学教案复数与平面向量
高中数学教案复数与平面向量高中数学教案：复数与平面向量引言：本教案旨在帮助高中数学教师教授复数与平面向量这一重要的数学概念。
复数和平面向量在解决数学问题和实际应用中具有重要作用。
本教案将侧重于复数的基本概念、运算规则以及平面向量的定义、运算法则和相关应用，旨在帮助学生深入理解和掌握这两个概念。
一、复数的基本概念复数由实部和虚部组成，用符号 z=a+bi 表示，其中 a 和 b 分别表示实数部分和虚数部分。
复数可以用坐标形式表示，并在复平面上对应一个点。
1.1 复数的定义复数是实数与虚数的和，其中实数部分和虚数部分分别用 a 和 b 表示。
实部用 a 表示，虚部用 b 表示。
1.2 复数的表示形式复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为 z=a+bi，三角形式为z=r(cosθ+isinθ)，其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角。
1.3 复数的运算规则复数的加法、减法、乘法、除法运算规则需要掌握。
具体运算规则如下：- 加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i- 减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i- 乘法：z1*z2=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i- 除法：z1/z2=(a1*a2+b1*b2)/(a2^2+b2^2)+((b1*a2-a1*b2)/(a2^2+b2^2))i二、复数的应用复数在实际应用中具有广泛的应用，例如在电路分析、信号处理、量子力学等领域。
以下是一些常见的应用案例：2.1 电路分析复数在电路分析中用于计算交流电路中的电压、电流和功率。
通过将电路中的电阻、电感和电容与复数形式的阻抗相结合，可以简化计算过程。
2.2 信号处理复数在信号处理中用于表示和分析模拟和数字信号。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将时域信号转换为频域信号，并使用复数进行频域分析。
2.3 量子力学复数在量子力学中用于描述粒子的波函数。
波函数是一个复数函数，描述了粒子的位置和动量的概率分布。
高中数学 平面向量复习课教案
【教学内容及解析】本课时是人教社普通高中课程标准实验教科书A版必修（4）第二章《平面向量》的复习课。
它是对本章内容的总结与升华；这节课既要展示平面向量的形的特性，又要具备数的特性，因此向量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一起的。
向量是沟通代数,几何,三角函数的工具,向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法,学生应该对相应的基本概念比较清楚,因此在复习时,应该在引导学生得到结果基础之上,让同学理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机的结合在一起。
【教学目标】1.复习向量的有关概念;2.会向量的线性运算,会向量数乘的运算，并体会其几何意义.3.学会平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.4.会求平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。
5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题.领会向量作为工具性的魅力。
【教学重难点】1.重点是让学生学会向量的相关概念和向量的运算2.难点是如何用向量的方法解决一些问题.【教辅工具】教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规（三）教学过程【教学反思】本节复习课在设计中主要体现对本章知识的回顾和梳理，在教学过程中，力求做到以下几点：（1）关注解题方法产生的思维过程引导学生探究如何将把问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.（2）强化学生的应用意识一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.（3）引导学生探究解题规律指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.。
平面向量运算复习课教案
平面向量运算复习课教案一、知识概述1.向量的定义平面向量平面向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
2.向量的表示向量有多种表示方法，常用的有以下几种：- 以带箭头的有向线段表示，箭头所指的方向为向量的方向；- 以字母表示；- 以坐标形式表示。
3.向量的运算加法- 几何意义：将两个向量的初点合并，终点相连得到一个新向量；- 可以满足交换律和结合律。
减法- 几何意义：将被减向量平移至与减向量重合，然后连接两个向量的起点和终点来得到一个新向量；- 等价于加上对应的相反向量。
数乘- 几何意义：将向量的长度乘上一个实数得到一个与原向量方向相同或相反的向量，当实数为负时，向量方向相反；- 支持分配律和结合律。
数量积- 几何意义：两个向量的数量积是一个标量，它等于一个向量的模长乘以另一个向量在这个向量上的投影长度；- 支持交换律和分配律。
二、教学目标- 理解向量的定义和表示方法；- 掌握向量的加、减和数乘运算；- 熟悉向量的数量积及其应用。
三、教学重点和难点1.教学重点- 向量的加、减和数乘运算；- 向量的数量积及其应用。
2.教学难点- 向量的数量积的理解和应用。
四、教学方法- 以例题带动思考；- 鼓励学生自主思考，课后布置练。
五、教学过程1.引入- 向学生提出问题：有两个向量 a 和 b，如何求它们的和？- 让学生自由讨论一段时间，然后引出向量的加法运算。
2.讲解向量的加法、减法和数乘运算- 通过几何图形演示，讲解向量加法、减法和数乘的定义、性质和计算方法。
3.讲解向量的数量积- 通过几何图形演示，讲解向量数量积的定义和计算方法；- 通过例题，讲解向量数量积的性质和应用。
六、教学效果评估1.课堂测验- 布置一些选择题和填空题，考察学生对向量的定义、表示、运算和数量积的掌握情况。
2.作业- 布置一些练题和思考题，巩固和拓展学生对向量的理解和应用。
七、板书设计- 向量的定义；- 向量的表示；- 向量的加、减和数乘运算；- 向量的数量积及其应用。
高中数学高三第四章平面向量与复数平面向量基本定理及坐标运算(教案)
高三一轮复习第四章平面向量与复数4。
2 平面向量基本定理及坐标运算【教学目标】1.了解平面向量基本定理及其意义．2。
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3。
会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4。
理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
【重点难点】1。
教学重点:了解平面向量基本定理，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运，算理解用坐标表示的平面向量共线的条件；2。
教学难点:学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】AH的中点,若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________.【解析】由B,H，C三点共线知,错误!＝k错误!(k≠0，1），则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋k错误!＝错误!＋k（错误!－错误!)＝(1－k）错误!＋k错误!，所以错误!＝错误!错误!＝错误!(1－k)错误!＋错误!错误!，又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以错误!从而λ＋μ＝错误!。
【答案】错误!归纳：应用平面向量基本定理的关键点1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。
教师引导学生及时总结，以帮助学生引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知表示出来．3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．考点二：平面向量的坐标运算(1)向量a,b，c在正方形网格中的位置如图42。
2所示，若c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则错误!＝________.图4。
2。
2(2）已知A（2,3）,B（5，4),C(7,10）,①求错误!;②若错误!＝m错误!＋n错误!，求m，形成完整的认知结构。
人教A版高中数学 高三一轮第四章 平面向量与复数 4-2
高三 一轮复习第四章 平面向量与复数4.2平面向量基本定理及坐标运算 学案【考纲传真】1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识扫描】知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.向量e 1，e 2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底．知识点2 平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.知识点3 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．必会结论(1)若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)平面向量的基底中一定不含零向量．2．必清误区若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，而应该表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，向量AB →、BC →的夹角为∠ABC .( )(3)同一向量在不同的基底下的表示是相同的．( )(4)设a 、b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )2．已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)3．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)4.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)5．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为________．6.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为______．参考答案1.【解析】 (1)错误．不共线的两个向量才能作为基底．(2)错误.AB →与BC →的夹角为∠ABC 的补角．(3)错误．同一向量在不同的基底下的表示是不同的．(4)正确．由题知a (λ1－λ2)＝b (μ2－μ1)，由于a 与b 不共线，所以λ1－λ2＝0，μ2－μ1＝0，即λ1＝λ2，μ2＝μ1.【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√2.【解析】 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－a n ＝(－3，－4)．【答案】 C3.【解析】 AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.【答案】 A4.【解析】 法一 若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.法二 因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B. 答案 B5.【解析】 设a ＝λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝λ，1＝λm ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，m ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，m ＝1，由于λ<0，∴m ＝－1.【答案】 －16.【解析】 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，【答案】 7。
2014年高考数学总复习教案：第四章 平面向量与复数第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示
第四章平面向量与复数第2课时平面向量的基本定理及坐标表示(对应学生用书(文)、(理)63～64页)考情分析考点新知①了解平面向量的基本定理及其意义.②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件．能正确用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，以及熟练掌握用坐标表示的平面向量共线的条件.1. (必修4P75习题2.3第3题改编)若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x ＝________．答案：－6解析：a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.2. (必修4P75习题2.3第2题改编)若向量BA→＝(2，3)，CA→＝(4，7)，则BC→＝________．答案：(－2，－4)解析：BC→＝BA→＋AC→＝BA→－CA→＝(－2，－4)．3. (必修4P74例5改编)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ＝________．答案：－1解析：λa＋b＝(λ＋2，2λ)，∵向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，∴(λ＋2)×(－2)＝2λ×1，解得λ＝－1.4. (必修4P 75习题2.3第5题改编)已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫2，72 解析：设D(x ，y)，则由BC →＝2AD →，得(4，3)＝2(x ，y －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4，2（y －2）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.5. 已知e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝2e 1－5e 2，CD →＝λe 1－e 2.若三点A 、B 、D 共线，则λ＝________．答案：8解析：∵ A 、B 、D 共线，∴ AB →与BD →共线，∴ 存在实数μ，使AB →＝μBD →.∵ BD →＝CD →－CB →＝(λ－2)e 1＋4e 2，∴ 3e 1＋2e 2＝μ(λ－2)e 1＋4μe 2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧μ（λ－2）＝3，4μ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝8.1. 平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2．我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2. 平面向量的直角坐标运算(1) 已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．a ∥b x 1y 2－x 2y 1＝0.[备课札记]题型1 向量的坐标运算例1 已知A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M 、N 及MN →的坐标．解：∵ A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴ CA →＝(1，8)，CB →＝(6，3)，∴ CM →＝3CA →＝(3，24)，CN →＝2CB →＝(12，6)．设M(x ，y)，则有CM →＝(x ＋3，y ＋4)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，∴ M 点的坐标为(0，20)．同理可求得N 点的坐标为(9，2)，因此MN →＝(9，－18)．故所求点M 、N 的坐标分别为(0，20)、(9，2)，MN →的坐标为(9，－18)．备选变式（教师专享）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝________． 答案：(－3，－5)解析：由题意，得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．题型2 向量共线的条件例2 已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，求m 的值． 解：a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1，2)． ∵ (a ＋b )∥c ，∴ 1－1＝m －12，∴ m ＝－1.变式训练已知向量a ＝(6，2)，b ＝(－3，k)，若a ∥b ，求实数k 的值． 解：(解法1)∵ a ∥b ， ∴ 存在实数λ，使b ＝λa ，∴ (－3，k)＝(6λ，2λ)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝－3，2λ＝k ，∴ k ＝－1.(解法2)∵ a ∥b ，∴ －36＝k2，∴ k ＝－1.题型3 平面向量基本定理例3 如图，已知△ABC 的面积为14，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，AE 与CD 交于P.设存在λ和μ使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .(1) 求λ及μ； (2) 用a 、b 表示BP →； (3) 求△PAC 的面积．解：(1) 由于AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .AP →＝λAE →＝λ⎝⎛⎭⎫a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ⎝⎛⎭⎫13a ＋b ， AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →，即23a ＋μ(13a ＋b )＝λ⎝⎛⎭⎫a ＋23b . ⎩⎨⎧λ＝23＋13μ，μ＝23λ，解得λ＝67，μ＝47.(2) BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b . (3) 设△ABC 、△PAB 、△PBC 的高分别为h 、h 1、h 2， h 1∶h ＝|PD →|∶|CD →|＝μ＝47，S △PAB ＝47S △ABC ＝8.h 2∶h ＝|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17，S △PBC ＝17S △ABC ＝2，∴ S △PAC ＝4.备选变式（教师专享）如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B 、C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________．答案：12解析：由B 、H 、C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x)AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x)AC →. 又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x)＝12.1. 在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S)满足p ∥q ，则C ＝________．答案：π4解析：由p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S)且p ∥q ，得4S ＝a 2＋b 2－c 2，即2abcosC ＝4S ＝2absinC ，所以tanC ＝1.又0＜C ＜π，所以C ＝π4.2. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，则a ∶b ∶c ＝________．答案：20∶15∶12解析：∵ 3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，∴ 3a(BA →＋AC →)＋4bCA →＋5cAB →＝0，∴ (3a －5c)BA →＋(3a －4b)AC →＝0.∵ 在△ABC 中，∴ BA →、AC →不共线，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝5c ，3a ＝4b ，解得⎩⎨⎧c ＝35a ，b ＝34a.∴ a ∶b ∶c ＝a ∶34a ∶35a ＝20∶15∶12.3. (2013·北京文)向量a 、b 、c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R )，则λμ＝________．答案：4解析：以向量a 、b 的交点为原点作直角坐标系，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ＝λ(－1，1)＋μ(6，2)⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4. 4. 在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一条直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(xy ≠0)，则4x ＋y 的最小值是________．答案：94解析：因为D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，所以AE →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)．又AB →＝1x AM →，AC →＝1y AN →，所以AE →＝14x AM →＋14yAN →.因为M 、E 、N 三点共线，所以14x ＋14y ＝1，所以4x ＋y ＝(4x ＋y)⎝⎛⎭⎫14x ＋14y ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4x y ＋y x ≥14⎝⎛⎭⎫5＋24x y ·y x ＝94.1. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．答案：1＋3232解析：(解法1)以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)．令AB ＝2，则AB →＝(2，0)，AC →＝(0，2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线为F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →＝(2＋3，3)．∵AD →＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x ，2y)．即有⎩⎨⎧x ＝1＋32，y ＝32.(解法2)过D 点作DF ⊥AB 交AB 的延长线为F.由已知可求得BF ＝DF ＝32AB ，AD →＝AF →＋FD →＝⎝⎛⎭⎫1＋32AB →＋32AC →，所以x ＝1＋32，y ＝32. 2. 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若AP →＝AB →＋λ·AC →(λ∈R )，试问： (1) λ为何值时，点P 在第一、三象限角平分线上； (2) λ为何值时，点P 在第三象限．解：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP →＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)，AB →＋λAC →＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．由AP →＝AB →＋λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ，∴ 点P 坐标为(5＋5λ，4＋7λ)．(1) 若点P 在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴ λ＝12.(2) 若点P 在第三象限内，则5＋5λ<0且4＋7λ<0， ∴ λ<－1.3. 如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.4. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求1x ＋1y的值．解：设AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝x a ，AN →＝y b ， AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )．∴MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝⎛⎭⎫14－x a ＋14b ， MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG →与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →. ∴⎝⎛⎭⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧14－x ＝－λx ，14＝λy ，消去λ，得1x ＋1y＝4.1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]。
2014届高三数学总复习教案：4.1平面向量的概念与线性运算
第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算(对应学生用书(文)、(理)60～62页)考情分析考点新知①了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.②掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理.③了解向量的线性运算性质及其几何意义．掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.1. (必修4P63练习第1题改编)如图在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则BE→＝________．答案：b－12a解析：BE→＝BA→＋AD→＋12DC→＝－a＋b＋12a＝b－12a.2. (必修4P65例4改编)在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝________．(用b、c表示)答案：23b＋13c解析：因为BD→＝2DC→，所以AD→－AB→＝2(AC→－AD→)，即3AD→＝AB→＋2AC→＝c＋2b，故AD→＝23b ＋13c . 3. (必修4P 63练习第6题改编)设四边形ABCD 中，有12DC →＝AB →且|AD →|＝||BC →，则这个四边形是________．答案：等腰梯形解析：AB →＝12DC →AB →∥DC →，且|AB →|＝12|DC →|，∴ ABCD 为梯形．又|AD →|＝|BC →|，∴ 四边形ABCD 的形状为等腰梯形．4. (必修4P 66练习第2题改编)设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p ＝________．答案：－1解析：∵ BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴ 存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴ p ＝－1.1. 向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的长度(或模)，记作|AB →|.(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则．③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则．3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝|λ||a|；② 当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝(λμ)a ；② (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．4. 向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．[备课札记]题型1 平面向量的基本概念例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m)AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m)b ，∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1) 证明：∵ AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴ BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴ AB →，BD →共线．又它们有公共点B ，∴ A 、B 、D 三点共线． (2) 解：∵ k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴ 存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a 、b 是两不共线的非零向量， ∴ k －λ＝λk －1＝0. ∴ k 2－1＝0.∴ k ＝±1. 备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．答案：λμ＝1解析：由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa＋b ＝t(a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．答案：12解析：如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________．(用向量a 和b 表示)答案：23a ＋13b解析：因为AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，又AB →＝2DC →，所以AO →＝23AC →＝23⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝23a ＋13b . 2. (2013·四川)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，则λ＝2.3. (2013·江苏)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23DC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →＝λ1AB →＋λ2AC →，故λ1＝－16，λ2＝23，则λ1＋λ2＝12.4. 已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________．答案：45解析：由2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2PA →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，∴ 2PA →＋4PC →＝3AP →，即4PC →＝5AP →.∴ |AP →||PC →|＝45，S △PAB S △PBC ＝|AP →||PC →|＝45.1. 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →，因为AB →＋AD →＝λAO →，所以λ＝2.2. 已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________．答案：1解析：∵ A ，B ，C 三点共线，∴ AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λOB →－λOA →，∴ OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即x ＝1－λ，y ＝λ，∴ x ＋y ＝1.3. 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：易知DE ＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.4. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1) 求GA →＋GB →＋GO →；(2) 若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1) 解：因为GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2) 证明：因为OM →＝12(a ＋b )，且G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.又PG →＝OG →－OP →＝13(a＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ，所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。
第2讲 平面向量、复数(教案) (2)
第2讲 平面向量、复数1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化． 2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2017·北京市海淀区适应性考试)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列各式中成立的是( )A ．c ＝32b －12a B ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12b答案 A解析 因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ， 所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB →－OA →)＝32OB →－12OA →＝32b －12a ，故选A. (2)(2017届福建福州外国语学校期中)已知e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝2e 1－5e 2，CD →＝λe 1－e 2，若三点A ，B ，D 共线，则λ＝________. 答案 8解析 ∵A ，B ，D 共线，∴AB →与BD →共线，∴存在实数μ，使AB →＝μBD →， ∵BD →＝CD →－CB →＝(λ－2)e 1＋4e 2， ∴ 3e 1＋2e 2＝μ(λ－2)e 1＋4μe 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧μ(λ－2)＝3，4μ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝8.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2017届广西陆川县中学二模)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝4BD →，CA →＝3CE →，则DE →等于( )A.34b －13aB.512a －34bC.34a －13bD.512b －34a 答案 D解析 BC →＝AC →－AB →＝b －a ， DE →＝DC →＋CE →＝34(b －a )－13b＝512b －34a . (2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4) 答案 B解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B.热点二 平面向量的数量积 1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2 (1)(2017·湖北省武汉市武昌区调研)在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4 ，AD ＝3，则AN →·MN →等于( ) A ．－7 B ．0 C.7 D ．7 答案 B解析 AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋34DC →＝AD →＋34AB → ，MN →＝MC →＋CN →＝13BC →＋⎝⎛⎭⎫－14DC →＝13AD →－14AB → ，那么AN →·MN →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋34AB →·⎝⎛⎭⎫13AD →－14AB → ＝13AD →2－316AB →2＝3－3＝0 ，故选B. (2)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案 A解析 |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6， 将上面两式左右两边分别相减，得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1答案 B解析 方法一 (解析法)建立平面直角坐标系如图①所示， 则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)． 设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34 ≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →|·|PD →|的最大值． 图② 又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，当且仅当|P A →|＝|PD →|时取等号，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________.答案 2解析 因为|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝2π3，故a ·b ＝2cos 〈a ，b 〉＝－1，则(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4＋4＝4，即|a ＋2b |＝2. 热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 (2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )．(1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝22，求sin α的值．解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )， c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )为减函数．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 又f ⎝⎛⎭⎫α2＝22，则2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22，sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4＋cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝±32. 又sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4， 所以当cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32时， sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64.真题体验1．(2017·北京改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．2．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是____________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e21＋(3λ－1)e1·e2－λe2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.3．(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 答案311解析 由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22 ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )． 由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝|AQ →||AP →|＝x ＋2(x ＋2)2＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二 如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)，所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立． 押题预测1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( ) A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝AD AB .因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.2．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式． 答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝⎛⎭⎫132＋0－1＝－89.3．在△ABC 中，AB →＝(cos 32°，cos 58°)，BC →＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为( ) A.14 B.38C.32 D.34押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点． 答案 B 解析 |AB →|＝cos 232°＋cos 258°＝cos 232°＋sin 232°＝1，BC →＝⎝⎛⎭⎫32cos 28°，－32sin 28°，所以|BC →|＝⎝⎛⎭⎫32cos 28°2＋⎝⎛⎭⎫－32sin 28°2＝32. 则AB →·BC →＝cos 32°×32cos 28°－sin 32°×32sin 28°＝32(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) ＝32cos(32°＋28°)＝32cos 60°＝34， 故cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝341×32＝12.又〈AB →，BC →〉∈[0°，180°]，所以〈AB →，BC →〉＝60°， 故B ＝180°－〈AB →，BC →〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC 的面积为 S ＝12·|AB →|·|BC →|sin B＝12×1×32×sin 120°＝38.故选B. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ， 所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝⎛⎭⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →答案 D解析 由已知，设AC 与BD 交于点M ，OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝OM →＋MA →＋OM →＋MB →＋OM →＋MC →＋OM →＋MD →＝4OM →＋(MA →＋MC →)＋(MB →＋MD →)＝4OM →，故选D.2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112B.112C ．－292D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，xλ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．4 答案 C解析 a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )， ∴2a －b ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )， 由(2a －b )⊥b ⇒3×(－1)＋x 2＝0， 解得x ＝－3或x ＝3， ∴a ＝(1，－3)或a ＝(1，3)， ∴|a |＝12＋(－3)2＝2或|a |＝12＋(3)2＝2.故选C.4．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3答案 B解析 若m ∥n ，则(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理可得(a ＋b )(b －a )－c (3a ＋c )＝0， 化为a 2＋c 2－b 2＝－3ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32.∵B ∈(0，π)，∴B ＝5π6，故选B.5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75B ．－77125C.77125D.75 答案 B解析 由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35， 由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，若∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12B.3－1C.3－22 D.3＋12答案 A解析 因为D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，所以BD →＝tBA →，不妨设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，AD ＝2(1－t )，在△ACD 中，∠ACD ＝60°，∠CAD ＝45°，则∠ADC ＝75°，由正弦定理，得1sin 75°＝2(1－t )sin 60°，解得t ＝3－12.故选A. 7．(2017·广东省广雅中学、江西省南昌二中联合测试)已知O 是△ABC 内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2，且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( ) A.12 B.33C.32 D.23答案 B解析 因为OA →＋OB →＋OC →＝0， 所以OA →＋OB →＝－OC →，所以O 为△ABC 的重心， 所以△OBC 的面积为△ABC 的13.因为AB →·AC →＝2，所以|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝2， 因为∠BAC ＝60°，所以|AB →||AC →|＝4， △ABC 的面积为12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝3，所以△OBC 的面积为33，故选B. 8．已知向量OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，其中O 为原点，若向量OA →与OB →的夹角在区间⎣⎡⎦⎤0，π12内变化，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤33，3解析 因为OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )， 所以OA →·OB →＝1＋a .又OA →·OB →＝2·1＋a 2cos θ， 故cos θ＝1＋a2(1＋a 2)，因为θ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，故cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1， 即1＋a2(1＋a 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，解得33≤a ≤ 3. 9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______． 答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233.10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S . 解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2. 由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋2， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.B 组 能力提高11．(2017届江西上饶一模)已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD →·PC →的最小值为( ) A.62 B.32C ．2 D. 2答案 B解析 由面积为2可知，边长为2，在正方形中建立平面直角坐标系，设A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，所以P (x,0)，其中x ∈[0，2]，所以PD →·PC →＝(－x ，2)·(2－x ，2)＝x 2－2x ＋2， 当x ＝22时取得最小值32， 故选B.12．(2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥P A →·PB →，则 λ的最大值是( ) A ．1 B.2－22C.22D. 2 答案 A解析 因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →，故由CP →·AB →≥P A →·PB →，可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2，也即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ，所以1－22≤λ≤1，故选A. 13．(2017届云南师大附中月考)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，a •b ＝b ·c ＝1，a •c ＝2，则|a ＋b ＋c |的最小值是________． 答案 4解析 不妨设a ＝(1,0)，b ＝(m ，n )，c ＝(p ，q )，则m ＝1，p ＝2，b ·c ＝2＋nq ＝1⇒nq ＝－1，n ＝－1q ，∴b ＝⎝⎛⎭⎫1，－1q ，c ＝(2，q )．|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1q 2＋4＋q 2＋2＋2＋4 ＝14＋q 2＋1q2≥14＋2＝16，∴|a ＋b ＋c |≥4，当且仅当q 2＝1，即q ＝±1时“＝”成立．14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a ＝(－1,0)，b ＝(cos α，sin α)，c ＝(cos β，sin β)． (1)求|a ＋c |的最大值；(2)若α＝π4，且向量b 与向量(a ＋c )垂直，求cos β的值．解 (1)a ＋c ＝(cos β－1，sin β)， |a ＋c |＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2－2cos β，当cos β＝－1时，|a ＋c |＝2，|a ＋c |的最大值为2. (2)若α＝π4，则b ＝⎝⎛⎭⎫22，22，a ＋c ＝(cos β－1，sin β)， ∵向量b 与向量a ＋c 垂直， ∴22(cos β－1)＋22sin β＝0， ∴sin β＋cos β＝1，故sin 2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos 2β， cos 2β－cos β＝0， ∴cos β＝0或1.当cos β＝1时，sin β＝0，a ＋c ＝(0,0)不符合条件， ∴cos β＝0.。
2014年高考数学总复习教案：第四章 平面向量与复数第4课时 复数
第四章 平面向量与复数第4课时 复 数(对应学生用书(文)、(理)68～69页)考情分析考点新知① 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件. 能准确用复数的四则运算法则进行复数加减乘除的运算.② 理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算．1. (课本改编题)复数z ＝2＋i 的共轭复数为________． 答案：2－i解析：∵ z ＝2＋i ，∴ z －＝2－i.2. (课本改编题)已知z ＝(a －i)(1＋i)(a ∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝________． 答案：1解析：z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，∵ z 在复平面内对应的点在实轴上，∴ a －1＝0，从而a ＝1.3. (课本改编题)已知i 是虚数单位，则（2＋i ）23－4i ＝________．答案：－725＋2425i解析：（2＋i ）23－4i ＝（3＋4i ）（3＋4i ）25＝－7＋24i 25＝－725＋2425i.4. (课本改编题)设(1＋2i)z －＝3－4i(i 为虚数单位)，则|z|＝________．答案：5解析：由已知，|(1＋2i)z －|＝|3－4i|， 即5|z －|＝5，∴ |z|＝|z －|＝ 5.5. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别对应复数3＋3i ，－2＋i ，－5i ，则第四个顶点D 对应的复数为________．答案：5－3i解析：BC →对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i ，AD →对应复数为z D －(3＋3i)，平行四边形ABCD 中，AD →＝BC →，则z D －(3＋3i)＝2－6i ，即z D ＝5－3i.1. 复数的概念(1) 虚数单位i: i 2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律． (2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R )，其中a 叫实部，b 叫虚部． 2. 复数的分类复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R )中， z 是实数Ûb ＝0，z 是虚数b ≠0， z 是纯虚数Ûa ＝0，b ≠0．3. a ＋bi 与a －bi(a ，b ∈R )互为共轭复数．4. 复数相等的条件a ＋bi ＝c ＋di(a 、b 、c 、d ∈R ) Ûa ＝c 且b ＝d. 特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b ∈R ) Ûa ＝0且b ＝0.5. 设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ →|＝a 2＋b 2.6. 运算法则z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di ，(a 、b 、c 、d ∈R )． (1) z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ；(2) z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；(3) z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc －ad c 2＋d 2i.[备课札记]题型1 复数的概念例1 已知复数z ＝m 2－7m ＋6m 2－1＋(m 2－5m －6)i(m ∈R )，试求实数m 分别取什么值时，z分别为：(1) 实数； (2) 虚数； (3) 纯虚数．解：(1) 当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －6＝0，m 2－1≠0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝6，m ≠±1，所以m ＝6，即m ＝6时，z 为实数．(2) 当z 为虚数时，则有m 2－5m －6≠0且m 2－7m ＋6m 2－1有意义，所以m ≠－1且m ≠6且m ≠1.∴ m ≠±1且m ≠6.所以当m ∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3) 当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －6≠0，m 2－7m ＋6m 2－1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1且m ≠6，m ＝6且m ≠±1.故不存在实数m 使z 为纯虚数．变式训练已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时．(1) z ∈R ； (2) z 是虚数； (3) z 是纯虚数．解：(1) 由z ∈R ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.(2) 由z 是虚数，得m 2＋2m －3≠0，且m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3) 由z 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋2）＝0，m －1≠0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.题型2 复数相等的条件例2 若(a －2i)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，求点P(a ，b)到原点的距离．解：由已知ai ＋2＝b －i ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴ 点P(－1，2)到原点距离|OP|＝ 5.备选变式（教师专享）设复数i －11＋i ＝a ＋bi(a 、b ∈R )，则a ＋b ＝________．答案：1解析：由i －11＋i ＝－（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，得a ＝0，b ＝1，所以a ＋b ＝1.题型3 复数代数形式的运算例3 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：(z 1－2)(1＋i)＝1－i z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i. ∵ z 1·z 2∈R ，∴ a ＝4.∴ z 2＝4＋2i. 备选变式（教师专享）设i 是虚数单位，若z ＝11＋i ＋ai 是实数，则实数a ＝________．答案：12解析：z ＝11＋i ＋ai ＝1－i 2＋ai ＝12＋⎝⎛⎭⎫a －12i ∈R ，所以a －12＝0，a ＝12. 题型4 复数的几何意义例4 已知O 为坐标原点，向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i(a ∈R )，若z －1＋z 2是实数． (1) 求实数a 的值；(2) 求以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的面积．解：(1) ∵ z －1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2＋2a －15)i 是实数，∴ a 2＋2a －15＝0.∴ a ＝3，a ＝－5(舍)．(2) 由(1)知，z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i ，∴ OZ 1→＝⎝⎛⎭⎫38，1，OZ 2→＝(－1，1)，∴ |OZ 1→|＝738，|OZ 2→|＝2，cos 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝OZ 1→·OZ 2→|OZ 1→||OZ 2→|＝－38＋1738×2＝5146.∴ sin 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝1－25146＝11146，∴ S ＝|OZ 1→||OZ 2→|sin 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝738×2×11146＝118.∴ 平行四边形的面积为118.备选变式（教师专享）如图所示，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0、3＋2i 、－2＋4i ，试求： (1) AO →、BC →所表示的复数； (2) 对角线CA →所表示的复数； (3) 求B 点对应的复数．[审题视点]结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解． 解：(1) AO →＝－OA →，所以AO →所表示的复数为－3－2i. 因为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i.(2) CA →＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3) OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.1. (2013·江苏)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 答案：5解析：z ＝(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，|z|＝32＋（－4）2＝5.2. 若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为________． 答案：0解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 3. 设a 、b ∈R ，a ＋bi ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________．答案：8解析：由a ＋bi ＝11－7i 1－2i ，得a ＋bi ＝（11－7i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝11＋15i ＋141＋4＝5＋3i ，所以a＝5，b ＝3，a ＋b ＝8.4. (2013·南通二模)设复数z 满足|z|＝|z －1|＝1，则复数z 的实部为________． 答案：12解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )．∵ 复数z 满足|z|＝|z －1|＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，（a －1）2＋b 2＝1，解得a ＝12.∴ 复数z 的实部为12.1. (2013·重庆卷)已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．答案：5解析：z ＝5i1＋2i＝5i （1－2i ）5＝2＋i|z|＝ 5.2. (2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于________．答案：第四象限解析：(2－i)2＝3－4i 对应的点为(3，－4)位于第四象限．3. (2013·上海卷)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________．答案：－2解析：由m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0Þm ＝－2.4. m 取何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.(1) 是实数；(2) 是虚数；(3) 是纯虚数．解：(1) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m ＋3≠0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5或m ＝－3，m ≠－3时，∴当m ＝5时，z 是实数．(2) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠5且m ≠－3，m ≠－3时，∴当m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数．(3) 当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－2，m ≠－3，m ≠5且m ≠－3时，∴当m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．5. 设复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，ω＝sinθ－icosθ(θ∈R )．求z 的值和|z －ω|的取值范围． 解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z ＝a －bi ，代入4z ＋2z ＝33＋i ，得4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝33＋i.∴解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12，∴z ＝32＋12i. |z －ω|＝⎪⎪⎪⎪32＋12i －（sinθ－icosθ）＝⎝⎛⎭⎫32－sinθ2＋⎝⎛⎭⎫12＋cosθ2＝2－3sinθ＋cosθ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤1，∴0≤2－2sin -6p q （）≤4. ∴0≤|z －ω|≤2.1. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程．3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．请使用课时训练(B)第4课时(见活页)．。
高中数学 高三一轮第四章 平面向量与复数 4.1 平面向量的概念与线性运算(学案)
高三一轮复习第四章平面向量与复数4。
1 平面向量的概念与线性运算学案【考纲传真】1。
了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3。
理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.【知识扫描】知识点 1 向量的有关概念性运算加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a。
（2)结合律:（a＋b)＋c＝a＋（b＋c)。
减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b）数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）|λa|＝|λ｜|a|;(2）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ〈0λ(μa）＝（λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ（a＋b)＝λa＋知识点3 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
1．必会结论(1）一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即错误!＋错误!＋错误!＋…＋A n－1A n＝错误!，特别地,一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．(2）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!)．(3）错误!＝λ错误!＋μ错误!(λ，μ为实数),若点A，B,C 共线,则λ＋μ＝1.2．必知联系（1）向量平行与直线平行的联系与区别．(2)向量共线与三点共线的区别与联系(当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线)．(3）向量的加、减、数乘运算的结果仍是向量,如a－a＝0,0·a＝0。
【学情自测】1．判断下列结论的正误．（正确的打“√"，错误的打“×"）(1)0的模为0,没有方向．( )(2）若a∥b,b∥c，则a∥c。
（)(3）错误!＋错误!＝0.（）（4)a与λa共线，方向相同．（)(5）0·0＝0。
高中数学 高三一轮第四章 平面向量与复数 4.4 平面向量应用举例(教案)
高三一轮复习第四章平面向量与复数4。
4 平面向量应用举例【教学目标】1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【重点难点】1。
教学重点:会用向量方法解决平面几何问题与其他一些实际问题;2。
教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，B（2,0)，C错误!，D错误!，错误!＝错误!－（2，0)＝错误!，错误!＝错误!－错误!＝（1,0）．∵错误!＝λ错误!＝错误!，∴E错误!。
∵DF→＝错误!错误!＝错误!，∴F错误!.∴错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!错误!＋错误!λ＝错误!＋错误!＋错误!λ≥错误!＋2错误!＝错误!.当且仅当错误!＝错误!λ，即λ＝错误!时取等号,符合题意．∴错误!·错误!的最小值为错误!.【答案】错误!2。
（2015·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形,｜错误!|学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角.形，且D是△ABC的中心。
错误!·错误!＝｜错误!|｜错误! |cos∠ADB＝|错误!｜|错误!｜×错误!＝－2⇒｜错误!|＝2，所以正三角形ABC的边长为23；我们以A为原点建立直角坐标系，B,C，D三点坐标分别为B(3,－错误!），C（3，错误!),D(2，0）,由|错误!｜＝1,设P点的坐标为（cos θ,sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而错误!＝错误!，即M是PC的中点，可以写出M的坐标为M错误!则|错误!|2＝错误!错误!＋错误!错误!引导学生通过对基础知识的逐点扫描,来澄清概念，加强理由常见问题的解决和总结,使学生形成解题模块,提高模式识别能力和解题效率。
教师引导＋错误!＋错误!＝0，则点G是△ABC的重心．2．必清误区（1）注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价．（2）注意向量共线和两直线平行的关系．考点分项突破考点一：向量在平面几何中的应用1．如图在等腰三角形ABC中，底边BC＝2，错误!＝错误!，错误!＝错误!错误!,若错误!·错误!＝－错误!，则错误!·错误!＝（）技能。
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第四章 平面向量与复数第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示(对应学生用书(文)、(理)63～64页)1. (必修4P 75习题2.3第3题改编)若向量a ＝(2，3)，b ＝(x ，－9)，且a ∥b ，则实数x ＝________．答案：－6解析：a ∥b ，所以2×(－9)－3x ＝0，解得x ＝－6.2. (必修4P 75习题2.3第2题改编)若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →＝________． 答案：(－2，－4)解析：BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(－2，－4)．3. (必修4P 74例5改编)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ＝________．答案：－1解析：λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，∵ 向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，∴ (λ＋2)×(－2)＝2λ×1，解得λ＝－1.4. (必修4P 75习题2.3第5题改编)已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫2，72 解析：设D(x ，y)，则由BC →＝2AD →，得(4，3)＝2(x ，y －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4，2（y －2）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.5. 已知e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝2e 1－5e 2，CD →＝λe 1－e 2.若三点A 、B 、D 共线，则λ＝________．答案：8解析：∵ A 、B 、D 共线，∴ AB →与BD →共线，∴ 存在实数μ，使AB →＝μBD →.∵ BD →＝CD →－CB →＝(λ－2)e 1＋4e 2，∴ 3e 1＋2e 2＝μ(λ－2)e 1＋4μe 2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧μ（λ－2）＝3，4μ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝8.1. 平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2．我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2. 平面向量的直角坐标运算(1) 已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．a ∥b x 1y 2－x 2y 1＝0.[备课札记]题型1 向量的坐标运算例1 已知A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M 、N 及MN →的坐标．解：∵ A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴ CA →＝(1，8)，CB →＝(6，3)，∴ CM →＝3CA →＝(3，24)，CN →＝2CB →＝(12，6)．设M(x ，y)，则有CM →＝(x ＋3，y ＋4)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，∴ M 点的坐标为(0，20)．同理可求得N 点的坐标为(9，2)，因此MN →＝(9，－18)．故所求点M 、N 的坐标分别为(0，20)、(9，2)，MN →的坐标为(9，－18)．备选变式（教师专享）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝________． 答案：(－3，－5)解析：由题意，得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．题型2 向量共线的条件例2 已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，求m 的值． 解：a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1，2)． ∵ (a ＋b )∥c ，∴1－1＝m －12，∴ m ＝－1.变式训练已知向量a ＝(6，2)，b ＝(－3，k)，若a ∥b ，求实数k 的值． 解：(解法1)∵ a ∥b ，∴ 存在实数λ，使b ＝λa ，∴ (－3，k)＝(6λ，2λ)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝－3，2λ＝k ，∴ k ＝－1.(解法2)∵ a ∥b ，∴－36＝k2，∴ k ＝－1. 题型3 平面向量基本定理例3 如图，已知△ABC 的面积为14，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，AE 与CD 交于P.设存在λ和μ使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .(1) 求λ及μ； (2) 用a 、b 表示BP →； (3) 求△PAC 的面积．解：(1) 由于AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .AP →＝λAE →＝λ⎝⎛⎭⎫a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ⎝⎛⎭⎫13a ＋b ，AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →，即23a ＋μ(13a ＋b )＝λ⎝⎛⎭⎫a ＋23b . ⎩⎨⎧λ＝23＋13μ，μ＝23λ，解得λ＝67，μ＝47.(2) BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b . (3) 设△ABC 、△PAB 、△PBC 的高分别为h 、h 1、h 2， h 1∶h ＝|PD →|∶|CD →|＝μ＝47，S △PAB ＝47S △ABC ＝8.h 2∶h ＝|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17，S △PBC ＝17S △ABC ＝2，∴ S △PAC ＝4.备选变式（教师专享）如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B 、C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________．答案：12解析：由B 、H 、C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x)AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x)AC →. 又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x)＝12.1. 在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S)满足p ∥q ，则C ＝________．答案：π4解析：由p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S)且p ∥q ，得4S ＝a 2＋b 2－c 2，即2abcosC ＝4S ＝2absinC ，所以tanC ＝1.又0＜C ＜π，所以C ＝π4.2. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，则a ∶b ∶c ＝________．答案：20∶15∶12解析：∵ 3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，∴ 3a(BA →＋AC →)＋4bCA →＋5cAB →＝0，∴ (3a －5c)BA →＋(3a －4b)AC →＝0.∵ 在△ABC 中，∴ BA →、AC →不共线，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝5c ，3a ＝4b ，解得⎩⎨⎧c ＝35a ，b ＝34a.∴ a ∶b ∶c ＝a ∶34a ∶35a ＝20∶15∶12.3. (2013·北京文)向量a 、b 、c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R )，则λμ＝________．答案：4解析：以向量a 、b 的交点为原点作直角坐标系，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ＝λ(－1，1)＋μ(6，2)⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4. 4. 在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一条直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(xy ≠0)，则4x ＋y 的最小值是________．答案：94解析：因为D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，所以AE →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)．又AB →＝1x AM →，AC →＝1y AN →，所以AE →＝14x AM →＋14yAN →.因为M 、E 、N 三点共线，所以14x ＋14y ＝1，所以4x ＋y ＝(4x ＋y)⎝⎛⎭⎫14x ＋14y ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4x y ＋y x ≥14⎝⎛⎭⎫5＋24x y ·y x＝94.1. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．答案：1＋32 32解析：(解法1)以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)．令AB ＝2，则AB →＝(2，0)，AC →＝(0，2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线为F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →＝(2＋3，3)．∵AD →＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x ，2y)．即有⎩⎨⎧x ＝1＋32，y ＝32.(解法2)过D 点作DF ⊥AB 交AB 的延长线为F.由已知可求得BF ＝DF ＝32AB ，AD →＝AF →＋FD →＝⎝⎛⎭⎫1＋32AB →＋32AC →，所以x ＝1＋32，y ＝32. 2. 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若AP →＝AB →＋λ·AC →(λ∈R )，试问： (1) λ为何值时，点P 在第一、三象限角平分线上； (2) λ为何值时，点P 在第三象限．解：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP →＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)，AB →＋λAC →＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．由AP →＝AB →＋λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ，∴ 点P 坐标为(5＋5λ，4＋7λ)． (1) 若点P 在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴ λ＝12.(2) 若点P 在第三象限内，则5＋5λ<0且4＋7λ<0， ∴ λ<－1.3. 如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.4. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求1x ＋1y的值．解：设AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝x a ，AN →＝y b ， AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )．∴MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝⎛⎭⎫14－x a ＋14b ， MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG →与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →. ∴⎝⎛⎭⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧14－x ＝－λx ，14＝λy ，消去λ，得1x ＋1y＝4.1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]。