生物统计学7参数估计

2、显著性测验和区间估计的关系：
（1）对于假设 “ H 0 ： = 0 ”： 若（L1，L2）包含0 ，则接受H 0 ： = 0 。 若（L1，L2）不包含 0，且 L1 和 L2 均大于 0，则拒绝 H 0 ： = 0 ，接受HA： ＞ 0 。 若（L1，L2）不包含 0，且 L1 和 L2 均小于 0，则拒绝 H 0 ： = 0 ，接受HA： ＜ 0 。
已知 =0.40g，现从该动物群体中抽出含量为 n = 10 的样本， 并已经计算出了样本平均数为10.23g， 问该批动物 µ的 95% 的置信区间是什么？该批动物可否用于实验？
解：①当已知时， µ的 95%的置信区间为：
L1,2
x u / 2
n
10.23 1.96
0.4 10
L1 = 9.98 , L2 = 10.48 ，µ的 95%的置信区间为（9.98，10.48）。
s12 s22 n1 n2
t分布的自由度：df
k2
1
1 k 2
df1 df2
df 取整数，不 4 舍 5 入。
其中 df1= n1－1, df2= n2 － 1,
s12
k
n1 s12 s22
n1 n2
（三）配对数据 µd 的 1- 置信区间：
L1,2
d
t / 2,n1
sd , n
df n 1
I：做方差的齐性检验，确定1 与2 是否相等。
假设：H0： 1 = 2， HA： 1 ≠ 2 ，
= 0.05
F
s12 s22
1.1,
F0.05/ 2,9,9 4.026 , F9,9,0.975 0.248
F0.975 F F0.025
∴接受H0： 1 = 2 ，方差具有齐性。
II：平均数的显著性测验 H0：µ1-µ2 = 0， HA：µ1-µ2 ≠ 0,
例3：研究两种激素类药物对肾脏组织切片的氧的消耗的影
响，结果是： (1) : n1 9, x1 27.92, s12 8.673; (2) : n2 6, x2 25.11, s22 1.843
问两种药物对肾切片氧消耗的影响差异是否显著？ µ1 - µ2 的 95% 的置信区间是什么？
L1,2 x1 x2 t /2
s12 s22 n
99.2 98.9 2.10 0.84 0.77
10
L1 = - 0.54 , L2 = 1.14 。 即 (µ1 - µ2) 的 95%的置信区间为(- 0.54, 1.14)。 ③ 因为在(µ1 - µ2) 的 95%的置信区间(- 0.54, 1.14) 内包含 “µ1-µ2 = 0” ， 所以接受H0：µ1-µ2 = 0
解：①显著性测验
I：做方差的齐性检验，确定1 与2 是否相等。 假设：H0： 1 = 2， HA： 1 ≠ 2 ， = 0.05
F
s12 s22
8.673 1.843
4.71
F0.05/2,8,5 6.757 , F F0.025 ∴接受H0： 1 = 2 ，方差具有齐性。
II：平均数的显著性测验 H0：µ1-µ2 = 0， HA：µ1-µ2 ≠ 0,
s2
由上式可以得出 1/ 2 的 1- 的置信区间为：
L1 s2
s1 Fdf 1,df 2, / 2
L2 s1
Fdf 2,df 1, / 2 s2
四、显著性测验和区间估计的关系
1、应用实例
例1：用实验动物做实验材料，要求动物的平均体重µ0 = 10.00g 若 µ< 10.00g，则需再饲养，若 µ>10.00g，则应淘汰。
② 解： H0： µ= µ0 ， HA： µ≠µ0 = 0.05
x u
10.23 10.00 0.40
1.82
n
10
∵u 0.05/2 = 1.96 ∴| u |﹤ u 0.05/2 ∴接受H0 ： µ= µ0 = 10.0g
③ 因为在µ的 95%的置信区间（9.98，10.48）内，包含 µ= µ0 = 10.0g ， 所以，接受H0 ： µ= µ0 = 10.0g。
（四）二项分布参数 p 的1-置信区间：
1、利用正态分布进行近似的估计
二项分布的总体参数为：µ= p ，2 = pq ，当我们以n为样本
容量进行抽样时，在 n 次试验中某类型的结果出现了 x 次,
且 pˆ x ，则有： n
L1,2 pˆ u / 2
pˆ (1 pˆ ) n
，
其中n ≥ 30，np ≥ 5，nq ≥ 5 。 2、利用二项分布p的置信区间表进行估计 附表 8 给出了二项分布 p（）的置信区间，在相应的 n 和 x 下，就能求出p 的置信上限和置信下限。
② µ1 - µ2的 95%的置信区间为：
L1,2 x1 x2 t /2 sx1x2 99.2 98.9 2.160 1.296
L1 = 0.01 , L2 = 5.61 , (µ1 - µ2) 的 95%的置信区间为( 0.01, 5.61)。 ③ 因为在(µ1 - µ2) 的 95%的置信区间( 0.01, 5.61 ) 内，不包 含 “µ1-µ2 = 0” ，所以拒绝H0：µ1-µ2 = 0，接受HA：µ1-µ2 ≠ 0
（2）对于假设：H0：µ1-µ2 = 0， 若（L1，L2）异号，则接受H 0 ：µ1-µ2 = 0。 若（L1，L2）同号，且 L1＞ 0，L2 ＞ 0 ，则拒绝 H 0 ： µ1-µ2 = 0 ，接受HA：µ1 - µ2＞0。 若 （L1，L2） 同号，且L1 ＜ 0， L2 ＜ 0 ，则拒绝 H 0 ： µ1-µ2 = 0 ，接受HA：µ1 - µ2 ＜ 0。
P
s12
s22 Fdf 2,df
1,
/
2
2 2
2 1
s F 2 2 df 1,df 2, / 2 s12
1
P
s1
s2
2 s2
F df 2,df 1, / 2
1
Fdf 1,df 2, / 2 1
s1
P
s2
s1
1 s1
F df 1,df 2, / 2
2
Fdf 2,df 1, / 2 1
也就是：
P(1.96
x
1.96)
0.95
n
对
1.96
x
1.96
n
变换，各项同乘/n，
x 则： 1.96 x 1.96
n
n
, 各项同减
，
则：
1.96 x 1.96 x
n
n
, 各项同乘 -1，
则： x 1.96 x 1.96
n
n
因此有： P x 1.96 x 1.96 0.95
（五） 的1- 置信区间：
2 n1
n
1s 2
2
P12 / 2
n 1s2
2
2
/
2
1
n 1s2
P
2 /2
2
n 1s2
2 1 / 2
1
Ps
n 1
2 /2
s
n 1
2 1 / 2
1
所以 的1-的置信区间为：
L1 s
n 1
2 /2
n 1
L2 s
2 1 / 2
（六）标准差比1/ 2的1-的置信区间：
3、关于置信区间的长度 ①与有关，②与样本容量n有关。加大样本容量，可以缩 短置信区间的长度，使区间估计更可靠。
3.复习思考题： ①显著性测验与参数区间估计的关系？
差↗ 异 显 著 性 测 验↘
变异性（稳定性）：
2
n
1
s
2 2
单↗ 个 样
本↘
已知：u 检验 ↗ 平均数
u
x
n
↘ 未知：t检验
t
x
s
0.05
t x1 x2 s12 s22 n
99.2 98.9 0.84 0.77 10
0.75
t0.05/ 2,18 2.101, t t0.05/ 2,18
∴接受H0：µ1-µ2 = 0， 结论是两个品种从播种到抽穗的天数差异不显著。
② µ1 - µ2的 95%的置信区间为：
P x t / 2,n1
s n
x t / 2,n1
s 1
n
L1,2 x t / 2,n1
s n
（二）、平均数差（µ1-µ2）的置信区间 1、在 i 为已知时，（µ1-µ2）的 1- 置信区间：
L1,2 (x1 x2 ) u / 2
2 1
2 2
n1 n2
2、i 为未知但相等时，（µ1-µ2）的 1- 置信区间：
0.05
s x1x2
n1 1 s12 (n2 1)s22 ( 1 1 ) 1.296
n1 n2 2
n1 n2
t x1 x2 27.92 25.11 2.168
sx1 x2
1.269
t13,0.025 2.160 , t t0.025
∴拒绝H0：µ1-µ2 = 0，接受HA：µ1-µ2 ≠ 0 结论：两种药物对肾切片氧消耗的影响差异是显著的。
n1
1s12 n2 1s22
n1 n2 2
1 n1
1 n2
6.5
L1,2 pˆ u / 2
pˆ (1 pˆ )
0.52 1.96
0 L2 ）是否包含 50%?
统计假设测验
{ { 统计推断
总体参数估计
点估计
区间估计
第五节 参数的区间估计
一、参数的区间估计 利用样本统计量，以一定的概率做保证，估计出参数可能在 内的一个区间或范围，这个区间，就称为参数的置信区间； 区间的下限和上限称为参数的置信下限 L1 和置信上限 L2；
置信半径
保证参数在该区间的概率，一般以 P = 1- 表示，称为置信水 平或置信度； 以上这种估计，就称为参数的区间估计。
n
n
L1 x 1.96
, n
L2 x 1.96 n
（L1，L2）为 µ的 95% 置信区间
L1
x 1.96
,
n
L2 x 1.96 n
（L1，L2）为µ 的95%置信区间，它的意义为： 在（L1，L2）区间内，包含µ 的概率为95%。 在 为已知时，µ的 1- 置信区间可由下式确立：
P x u / 2
n
x u / 2
1
n
所以：
L1, 2
x u / 2
n
三、几种情况下参数的置信区间 (一)、µ 的区间估计 1、在 为已知时，µ 的 1- 置信区间：
P x u / 2
n
x u / 2
1
n
L1,2
x u / 2
n
2、在 为未知时，µ 的 1- 置信区间：
二、区间估计的原理
在一个正态总体 N（µ，2）中，抽取含量为 n 的样本，样本
平均数 x 服从正态分布 N (, 2 ) ，
n
标准化随机变量
u
x
服从N（0，1）分布。
n
u 落在区间（-1.96，1.96）内的概率，可以从下式中算出。
P1.96 u 1.96 1.96 1.96
0.975 0.025 0.95
n
两 ↗ 变异性（稳定性）：F检验（方差的齐性分析）
个 样
已知时： u 检验
本
{ ↘ 平 { 均
成组数据
未知、但相等：t 检验（自由度不校正） 未知且不相等：t 检验（自由度要校正）
数 配对数据：t检验 自由度 = n - 1
6.1
L1,2 x t0.05 / 2,14
s n
6.2
L1,2 x t0.05 / 2,df
s12
2
Fdf 1,df 2
1
s22
2 2
Fdf 1,df
2
s12 s22
2 2
12
P Fdf 1,df 2,1 / 2
s12
2 2
s22
2 1
Fdf 1,df 2, / 2
1
P
s22 s12
Fdf 1,df 2,1 / 2
2 2
2 1
s22 s12
Fdf 1,df 2, / 2 1
例2：二个小麦品种从播种到抽穗所需天数见下表，问两者 所需的天数差异是否显著？ µ1 - µ2的 95%的置信区间是什么？
品种甲：101，100，99，99，98，100，98，99，99，99
品种乙：100，98，100，99，98，99，98，98，99，100
解：① 先作数据处理， x1 99.2, s12 0.84, x2 98.9, s22 0.77
L1,2 x1 x2 t / 2
n1
1s12
n1
n2 1s22
n2 2
1 n1
1 n2
若n1- n2 = n，则：
L1,2 x1 x2 t / 2
s12 s22 n
其中，df = n1+ n2 - 2
3、 i 为未知且不相等时，（µ1-µ2）的 1- 置信区间：
L1,2 x1 x2 t / 2
s n
L1,2 x u0.05 / 2
s n
L1,2
2.8 2.160
0.3 15
因为n > 200 ~
L1,2
1.57
1.96
0.077 265
6.3
L1, 2
d
t / 2,df
sd n
6.4
第一种方式： L1,2
d
t / 2,df
sd n
第二种方式：
L1,2 x1 x2 t / 2