2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章 第七节 抛物线

课时规范练 A 组 基础对点练
1．(2018·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝⎛⎭
⎫0，116a D.⎝⎛⎭⎫116，0
解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝1
4a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a ，所以选C. 答案：C
2．(2018·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B.12 C.3
2
D.52
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝3
2.
答案：C
3．(2018·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC
的重心，则|F A →
|＋|FB →
|＋|FC →
|的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×1
2＝32，则|F A →
|＋|FB →
|＋|FC →
|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋3
2＝3.选C. 答案：C
4．(2018·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.
解析：设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝23
3
，设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝4
3.
答案：4
3
5．已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为__________．
解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r ＝2，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴|4－p
2|＝2，解得p ＝12或4.
答案：12或4
6.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．
解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D (图略)，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝3
2，∴抛物线的方程是y 2＝3x .
答案：y 2＝3x
7．已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p . (1)求直线l 的斜率；
(2)若直线l 与抛物线交于A 、B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．
解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，依题意直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)， 所以点W 到直线l 的距离为
|－p －p |
1＋(－m )2
＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±3
3.
(2)由 (1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ，
联立⎩⎨⎧
x ＝3y ＋p ，
y 2＝4px ，
消去x 得y 2－43py －4p 2＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2， 所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p ， 因为△WAB 的面积为8，所以1
2p ×16p ＝8，得p ＝1，
所以抛物线的方程为y 2＝4x .
8．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B .
(1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．
解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝⎛⎭⎫－1，12，半径为|OA |2＝
52
，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝5
4. (2)记A (x 1，x 21
2p )，B (x 2，x 22
2p )．则OB →
＝(x 2，x 22
2p )，AB →
＝(x 2－x 1，x 22－x 2
1
2p )．
由OB →·AB →
＝0知，x 2(x 2－x 1)＋x 22(x 2
2－x 21)
4p
2
＝0. ∵x 2≠0，且
x 1≠x 2，∴x 22＋x 1·
x 2＝－4p 2，∴x 1＝－⎝
⎛⎭⎫x 2＋4p 2
x 2.
∴x 2
1＝x 22＋16p 4
x 2
2＋8p 2
≥216p 4
＋8p 2
＝16p 2
，当且仅当
x 22＝16p 4
x 2
2
，即x 22＝4p 2
时取等号．
又|OA |2
＝x
21＋
x 414p 2＝14p
2(x 41＋4p 2·x 21)，注意到x 21≥16p 2
， ∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2
.而S ＝π·|OA |24
，∴S ≥20πp 2，
即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 22＝4p 2
时取得．
B 组 能力提升练
1．(2018·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，
坐标原点为O ，OA →·OB →
＝12. (1)求抛物线的方程；
(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 2
2
4p
2＝4.
因为OA →·OB →
＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0， y 1＋y 2＝4m ， y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，
则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，
解得m 2＝3，m ＝±3.
所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.
2.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为
“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和⎝⎛⎭⎫－12，3
2.
(1)求“黄金抛物线C ”的方程；
(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
解析：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝⎛⎭⎫－12，32，
∴r 2＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭
⎫3
22＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1. ∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．
(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，
设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1
，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝1－2k
k 2，
y B ＝1－k k ，即B ⎝⎛⎭⎫
1－2k k 2，1－k k ，
∴k BQ ＝
k
1－2k
， 联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1x 2＋y 2＝1，消去y ，
得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0， ∴x A ＝－2k
k 2＋1，y B ＝1－k 2k 2＋1
，
即A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2
k 2＋1， ∴k AQ ＝－1
k
，
∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0， ∴
k 1－2k －1
k
＝0，解得k ＝－1±2， 由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1， ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1， 使得QP 平分∠AQB .。