重庆市巴蜀中学高2021届高一(下)半期考试数学试题

合集下载

重庆市巴蜀中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题含解析

重庆巴蜀中学2021-2022高一下学期月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知()()2,3,,4a b m == ，若a b ⊥，则m =（）A.-6B.6C.83D.-22.在△ABC 中，sin 455A ACB ==∠= ，则BC =（）A. B.C. D.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ；若()sin sin sin a A b B A c C +=，则C =（）A.30°B.60︒C.120︒D.150︒4.已知()4,1,0a b ==- ，且()2a b b +⊥ ，则a 与b的夹角为（）A.30°B.60︒C.120︒D.150︒5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos cos +=B a C c A b ，1lg sin lg 3lg 22C =-，则△ABC 的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形6.已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 22cos 1αα+-=()A.1B.15C.15-D.57.已知πsin α123⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 2α3⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.3 B.3-C.13 D.13-8.在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（）A.-6B.-8C.-9D.-12二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.若//,//a b b c，则//a cB.若a b = ，则23a b<C.对任意非零向量a，a a是和它共线的一个单位向量D.零向量没有方向10.在△ABC 中，下列说法正确的是（）A.若2sin a b A =，则6B π=B.若A B >，则sin sin A B>C.45AB B ∠︒==，若AC =，则这样的三角形有两个D.若222b c a +>，则△ABG 为锐角三角形11.下列说法正确的是（）A.在△ABC 中，12BD DC = ，E 为AC 的中点，则1263DE AC AB=-B.已知非零向量AB 与AC满足()0AB AC BC AB AC+⋅=，则△ABC 是等腰三角形C.已知(1,2),(,1)a b λ=-= ，若a 与b的夹角是钝角，则2λ<D.在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且3BE EC =，点F 是CD 中点，则8AE BF ⋅=12.已知函数()()2cos ωcosωω0f x x x x =+>，，则下列说法正确的有（）A.若1ω2=，则f （x ）的对称中心为ππ,06k k Z⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭B.若f （x ）向左平移6π个单位后，关于y 轴对称则ω的最小值为1C.若f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，则ω的取值范围是（32，116]D.已知f （x ）在[3π，2π]上单调递增，且ω为整数，若f （x ）在[m ，n ]上的值域为[12-，1]，则n m -的取值范围是[6π，3π]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()3,40,1a b ==-，，则a 在b 上的投影向量是___________.14.2sin 35cos5sin 5-=________.15.李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多A 游客打卡拍照.阿伟为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB ，采取了以下方法：在观最台的D 点处测得站台A 点处的仰角为45 ；后退15米后，在F 点处测很站台A 点处的仰角为30 ，已知阿伟的眼睛距离地面高度为 1.5CD EF ==米，则季子坝站站台F 的高度AB 为___________米.16.在 ABC 中，AB a AC b ==，，点D 在边AC 上，且满足2CD DA =，E 为AB 中点，CE 和BD 交于点F ，G 是 ABC 的重心，则GF =___________（用a b，表示）四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()()2,1,3,4,1,2a b c =-=-=（1）若c a b λμ=+，求实数λ，u 的值；（2）若()//ma b c + ，求mb c + 与a夹角的余弦值.18.在①sin sin sin B C b a A b c +-=-；②cos cos 2C cB a b=-；这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足.（1）求角C ；（2）若8a =，5b =，D 在线段AB 上，且满足37AD AB =，求线段CD 的长度19.已知()32cosαsin αβ52=-=，，,(0,)2παβ∈（1）求πcos 2α4⎛⎫-⎪⎝⎭的值：（2）求()sin βa +的值.20.为了庆祝重庆市直辖25周年，重庆市政府计划在部分主干道两旁的路灯杆上悬挂宣传板.该宣传板由两个三角形AB C 和PBC 拼接而成（如图），其中901ACB CPB AB CH AB ∠∠===⊥ ，，，设πα0,3CBA ∠⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，（1）若要达到最好的宣传效果，则需要满足PBC CBA ∠∠=，且CA PB +达到最大值，求α为多少时，CA PB +达到最大值，最大值为多少？（2）若要让宣传板达到最佳稳定性，则需要满足120PCH ∠= ，且CH CP +达到最大值，求a 为多少时，CH CP +达到最大值，最大值为多少？21.已知向量()ππcos ω,sin 2ω,4sin ω,262a x x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，其中0>ω，记()f x a b =⋅ ，且()f x 的最小正周期为π（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足222223a c b ba cb ⎧+=-⎨-=--⎩，求()f C 的值.22.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =且222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，（1）求△ABC 的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值.高2024届高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()()2,3,,4a b m == ，若a b ⊥，则m =（）A.-6B.6C.83D.-2【1题答案】【答案】A 【解析】【分析】由ab ⊥，得0a b ⋅= ，列方程可求出m 的值【详解】因为(2,3),(,4),ab m a b ==⊥，所以2120a b m ⋅=+=，解得6m =-，故选：A2.在△ABC中，sin455A ACB ==∠= ，则BC =（）A.B.C.D.【2题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理直接计算即可.【详解】由正弦定理知，sin sin BC ACA B=,sin sin 2AC ABC B∴==，故选：D 3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c；若()sin sin sin a A b B A c C +=，则C =（）A.30°B.60︒ C.120︒D.150︒【3题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理将已知式转化为边的形式，然后再利用余弦定理可求得结果【详解】因为sin (sin )sin a A b B A c C +=，所以由正弦定理得22()a b b c++=，化简得222a b c +-=，所以由余弦定理得222cos 222a b c C ab ab +-===-，因为(0,)C π∈，所以56Cπ=，即150C =︒故选：D4.已知()4,1,0a b ==- ，且()2a b b +⊥ ，则a 与b的夹角为（）A.30°B.60︒C.120︒D.150︒【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】由()2a b b +⊥，得()20a b b +⋅= ，化简可得两向量的夹角【详解】由(1,0)b =-，得1b = ，因为()2a b b +⊥，所以()20a b b +⋅= ，所以220a b b ⋅+= ，所以2cos ,20a b a b b+= ，因为4a =，所以4cos ,20a b += ，所以1cos ,2a b =- ，因为,[0,]a b π∈ ，所以2,3a b π= ，即,120a b =︒ 故选：C5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos cos +=B a C c A b ，1lg sin lg 3lg 22C =-，则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】结合()2cos cos cos +=B a C c A b ，根据正弦定理边化角和三角恒等变换可求角B ；根据1lg sin lg 3lg 22C =-即可求出C ，由此可判断三角形的形状.【详解】∵()2cos acos ccos BC A b +=，∴根据正弦定理得，()2cos sin cos cos sin sin BA C A CB +=，()2cos sin sin +=B A C B ，()2cos sin sin B B B π-=，2cos sin sin B B B ⋅=，()0,,sin 0B B π∈∴≠ ，1cos 2B ∴=，3B π∴=；∵1lg sin lg 3lg 22C =-，∴lg sin lg 2C =，∴sin 2C =，()0,C π∈ ，3C π∴=或23π，2,,333B C C πππ=∴≠∴= ，3A B C π∴===，∴△ABC 为等边三角形.故选：C.6.已知1tan 43πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 22cos 1αα+-=()A.1B.15C.15-D.5【6题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据1tan 43πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，结合正切的差角公式求出tan α，22222222sin cos cos 2tan 1tan s 2sin s t i in 1n 2cos a 1s n co ααααααααααα++-+-++=-=，代值计算即可.【详解】tan 11tan 3tan 31tan tan 241tan 3παααααα-⎛⎫-==⇒-=+⇒=⎪+⎝⎭，22222222sin cos cos 2tan 1tan s 2sin s t i in 1n 2cos a 1s n co ααααααααααα++-+-++=-=＝2222121125⨯+-=+.故选：B.7.已知πsinα123⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 2α3⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.3B.3-C.13D.13-【7题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式可得1cos(2)63πα-=，利用诱导公式二、五可得sin(2cos(236ππαα+=-，进而得出结果.【详解】因为sin(123πα-=，所以21cos(2cos[2()]12sin ()612123πππααα-=-=--=，所以1sin(2)cos[(2)]cos(2)]cos(2323663πππππαααα+=-+=-=-=.故选：C8.在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅= （）A.-6B.-8C.-9D.-12【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFACFB βα∠=∠=.由余弦定理得到22cos 2r r α=-，和22cos 8r r β=-.把CF AB ⋅ 整理为CF AB ⋅ 22cos cos r r βα=-，整体代入即可.【详解】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFACFB βα∠=∠=.由余弦定理得：2222cos BC BF CF BF CF α=+- ，即222cos r r α=-,所以22cos 2r r α=-2222cos AC AF CF AF CF β=+- ，即228cos r r β=-.所以22cos 8rr β=-.所以()CF AB CF AF FB+⋅=⋅CF AF CF FB=+⋅⋅ 22cos cos cos cos r FC FA FC FB FC FA FC F r B βαβα=⋅⋅⋅⋅-=-=-因为22cos 2r r α=-，22cos 8r r β=-，所以()2222cos cos 826CF AB r r r r βα⋅=-=---=- .故选：A【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.若//,//a b b c，则// a cB.若ab=，则23ab<C.对任意非零向量a，a a是和它共线的一个单位向量 D.零向量没有方向【9题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，举例判断即可，对于B ，向量不能比较大小，对于C ，由单位向量的定义判断，对于D ，由向量的定义判断【详解】对于A ，当0b=时，满足//,//a b b c，而a 与c 不一定共线，所以A 错误，对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以向量不能比较大小，所以B 错误，对于C ，因为a是非零向量，所以a a是和它共线的一个单位向量，所以C 正确，对于D ，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，它的方向是任意的，所以D 错误，故选：ABD10.在△ABC 中，下列说法正确的是（）A.若2sin a b A =，则6B π=B.若A B >，则sin sin A B >C.45AB B ∠︒==，若AC =，则这样的三角形有两个D.若222b c a +>，则△ABG 为锐角三角形【10题答案】【答案】BC 【解析】【分析】由正弦定理对选项ABC 进行变形求解，由余弦定理判断D ．【详解】选项A ，2sin a b A =由正弦定理得sin 2sin sin A B A =，三角形中sin 0A ≠，所以1sin 2B =，而(0,)B π∈，所以6B π=或56B π=，A 错；选项B ，△ABC 中，sin sin a bA B=，所以sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，B 正确；选项C ，由于sin sin AB ACC B=，sin 3C π=，又AC AB <，所以C B >，C 角可能为锐角也可能为钝角，三角形有两解，C 正确；选项D ，222b c a +>，由余弦定理得cos 0A >，A 为锐角，但,B C 两个角大小不确定，不能得出其为锐角三角形，D 错．故选：BC ．11.下列说法正确的是（）A.在△ABC 中，12BD DC = ，E 为AC 的中点，则1263DE AC AB=-B.已知非零向量AB 与AC满足()0AB AC BC AB AC+⋅=，则△ABC 是等腰三角形C.已知(1,2),(,1)a b λ=-= ，若a 与b的夹角是钝角，则2λ<D.在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且3BE EC=，点F 是CD 中点，则8AE BF ⋅=【11题答案】【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用平面向量基本定理根据题意将DE用AB ，AC表示出来再判断，对于B ，由向量的加法法则判断，对于C ，由题意可知，a b ⋅<，且两向量不共线，从而可求出λ的范围，对于D ，如图，以A 为原点建立直角坐标，表示,AE BF ，然后利用数量积的万物复苏示运算求解【详解】对于A ，因为△ABC 中，12BD DC =，E 为AC 的中点，所以2132DE DC CE BC CA=+=+ 21()32AC AB AC =--1263AC AB =-,所以A 正确，对于B ，因为AB 与AC是非零向量，所以AB AC AB AC+所在的直线平分BAC ∠，因为()0AB AC BC AB AC+⋅=，所以)ACBC AC +⊥，所以△ABC 是等腰三角形，所以B 正确，对于C ，因为a 与b的夹角是钝角，所以0a b ⋅< ，且两向量不共线，由0a b ⋅< ，得20λ-<，得2λ<，当a 与b 共线时，112λ=-，得12λ=-，所以当a 与b 的夹角是钝角时，2λ<且12λ≠-，所以C 错误，对于D ，如图，以A 为原点建立直角坐标，则由题意可得(0,0),(4,0),(4,3),(2,4)A B E F ，所以(4,3),(2,4)AE BF ==- ，所以8124AE BF ⋅=-+=，所以D 错误，故选：AB12.已知函数()()2cos ωcosωω0f x x x x =+>，，则下列说法正确的有（）A.若1ω2=，则f （x ）的对称中心为ππ,06k k Z⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭B.若f （x ）向左平移6π个单位后，关于y 轴对称则ω的最小值为1C.若f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，则ω的取值范围是（32，116]D.已知f （x ）在[3π，2π]上单调递增，且ω为整数，若f （x ）在[m ，n ]上的值域为[12-，1]，则n m -的取值范围是[6π，3π]【12题答案】【答案】BCD 【解析】【分析】把()f x 为化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质判断各选项．【详解】1cos 21()sin 2sin(2)2262x f x x x ωπωω+=+=++,选项A ，12ω=，1()sin(62f x x π=++，6x k ππ+=，6x k ππ=-，对称中心是1(,),62k k Z ππ-∈，A 错；选项B ，若f （x ）图象向左平移6π个单位后得解析式为()sin[2()66g x x ππω=++sin(236x ωππω=++，它的图象关于y 轴对称，则362k ωππππ+=+，k Z ∈，1ω=时，362ωπππ+=，满足题意，B 正确；选项C ，f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，即在(0,)π上1sin(262x πω+=-有三个解，0x =时，266x ππω+=，且0>ω，因此19232666πππωπ<+≤，解得31126ω<≤，C 正确；选项D ，,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 是增函数，0>ω，22[,[,636622x k k k Z πωπππππωωπππ+∈++-+∈，23ωπωππ-≤，3ω≤，正整数ω只能取1，2，3，1ω=，257[,[,]36666ωπππππωπ++=，不合题意，2ω=，231335[,][,[,3662622ωπππππππωπ++=⊆，满足题意，3ω=，21119[,][,]36666ωπππππωπ++=，不合题意，所以2ω=，1462f (x )sin(x )π=++，11sin(4)1262x π-≤++≤，则11sin(4)62x π-≤+≤，74666k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，由周期性，不妨取0k =，03x π-≤≤，其中()16f π-=-，因此为了满足题意，必须有：3m π=-时，06n π-≤≤或36m ππ-≤≤-，0n =，因此63n m ππ≤-≤，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()3,40,1ab ==-，，则a 在b上的投影向量是___________.【13题答案】【答案】()0,4【解析】【分析】根据平面向量投影向量的运算公式进行计算.【详解】a 在b上的投影向量为()()()()3,40,10,10,411a b b bb⋅--⋅⋅=⨯=故答案为：()0,414.2sin 35cos5sin 5-=________.【14题答案】【分析】利用两角和的正弦公式求解.【详解】解：2sin 35cos5sin 5-，()2sin 305cos5sin 5+-=，12cos55cos522sin 5⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭==，15.李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多A 游客打卡拍照.阿伟为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB ，采取了以下方法：在观最台的D 点处测得站台A 点处的仰角为45 ；后退15米后，在F 点处测很站台A 点处的仰角为30 ，已知阿伟的眼睛距离地面高度为1.5CD EF ==米，则季子坝站站台F的高度AB 为___________米.【15题答案】【答案】182【解析】【分析】假设AG长度，AGC使用勾股定理，AEC△使用正弦定理，解出AG高度，进而求出AB 高度.【详解】假设AG 高度为x 米，则AC米，对AEC△使用正弦定理得：sin sin AC CEAEC CAE=行，所以sin 30sin(4530)AC CE=-o o，所以15sin 30sin 45cos30cos 45sin 30=-o o o o o ，所以124=解得151)2x =+，所以151318222）==AB +，故答案为：182.16.在ABC 中，AB a AC b == ，，点D 在边AC 上，且满足2CD DA =，E 为AB 中点，CE 和BD 交于点F ，G 是ABC 的重心，则GF=___________（用a b，表示）【16题答案】【答案】121515a b -【解析】【分析】根据C ，F ，E 共线，设CFCE =λ，用,AB AC 表示AF ，同理由B ，F ，D 共线，设BF BD μ= ，用,AB AC 表示AF，利用向量相等，求得AF，再根据G 为重心，得到AG，由GF AF AG =- 求解.【详解】解：如图所示：因为C ，F ，E 共线，设CFCE =λ，则()12AF AC AE AC AB AC λλ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以()112AF AB AC λλ=+- ，因为B ，F ，D 共线，设BF BD μ=，则()13AF AB AD AB AC AB μμ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以()113AF AB AC μμ=-+ ，所以()()111123AB AC AB AC λλμμ+-=-+，则112113λμμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得4535λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2155AF AB AC =+ ，又因为G 为重心，所以2113233AB AC AG AB AC +=⨯=+，所以21111255331515GF AF AG AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，即121515GF a b =- ，故答案为；121515a b -.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()()2,1,3,4,1,2a b c =-=-=（1）若ca b λμ=+，求实数λ，u 的值；（2）若()//ma b c + ，求mb c + 与a夹角的余弦值.【17~18题答案】【答案】（1）2,1λμ==（2）45-．【解析】【分析】（1）由平面向量线性运算的坐标表示求解；（2）由平面向量共线的坐标表示求出参数m 的值，然后由向量夹角的坐标表示计算．【小问1详解】(23,4)a b λμλμλμ+=--+ ，所以23142λμλμ-=⎧⎨-+=⎩，解得21λμ=⎧⎨=⎩；【小问2详解】(23,4)ma b m m +=--+，()//ma b c + ，则2(23)(4)0m m ---+=，解得2m =，(5,10)mb c +=-，()4cos ,5mb c a mb c a mb c a+⋅<+>==-+．18.在①sin sin sin B C b aA b c+-=-；②cos cos 2C cB a b=-；这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足.（1）求角C ；（2）若8a =，5b =，D 在线段AB 上，且满足37AD AB =，求线段CD 的长度【18~19题答案】【答案】（1）3Cπ=；（2）7CD=【解析】【分析】（1）选择条件①：利用正弦定理和余弦定理得到1cos 2C=，即可求出角C ；选择条件②：把cos cos 2C c B a b =-整理为2cos cos cos a C c B b C =+，利用正弦定理和诱导公式得到1cos 2C =，即可求出角C.（2）用向量表示3477CD CB CA =+，利用数量积求模长.【小问1详解】选择条件①：sin sin sin B C b aA b c +-=-.由正弦定理得：b c b aa b c+-=-，即222b c ab a -=-，所以222b a c ab +-=.由余弦定理得：2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈,所以3C π=.选择条件②：cos cos 2C cB a b=-.所以2cos cos cos a C b C c B -=，即2cos cos cos a C c B b C=+由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A C C B B C =+，即()2sin cos sin +A C C B =.因为A B C π++=，所以B C A +=π-,所以()()sin sin sin B C A A π+=-=.因为()0,A π∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =.因为()0,C π∈,所以3C π=.【小问2详解】因为D 在线段AB 上，且满足37AD AB = ，所以()33347777CD CA AD CA AB CA CB CA CBCA ==+==.所以22227234934169.774974CD CB CA CB CB CA CA⎛⎫== ⎪++⨯⎝⎭+ 22934116858549772249=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯145649=.所以7CD=.19.已知()3cosαsin αβ52=-=，,(0,)2παβ∈（1）求πcos 2α4⎛⎫-⎪⎝⎭的值：（2）求()sin βa +的值.【19~20题答案】【答案】（1）50（2）50【解析】【分析】（1）先由cos α，求出sin α，再利用二倍角公式可求出cos 2,sin 2αα，然后利用两角差的余弦公式化简计算，（2）由sin()αβ-，可求出cos()αβ-，而2()αβααβ+=--，利用两面三刀角和的正弦公式化简计算【小问1详解】因为3cos,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5α===，所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，2167cos 212sin 122525αα=-=-⨯=-，所以cos 2cos 2cos 2sin444πππααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭72425225250=-⨯+⨯=，【小问2详解】因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为sin()2αβ-=，所以()cos2αβ-==，所以sin()sin[2()]αβααβ+=--sin 2cos()cos 2sin()ααβααβ=---24725225250⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭20.为了庆祝重庆市直辖25周年，重庆市政府计划在部分主干道两旁的路灯杆上悬挂宣传板.该宣传板由两个三角形AB C 和PBC 拼接而成（如图），其中901ACB CPB AB CH AB∠∠===⊥，，，设πα0,3CBA ∠⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，（1）若要达到最好的宣传效果，则需要满足PBC CBA ∠∠=，且CA PB +达到最大值，求α为多少时，CA PB +达到最大值，最大值为多少？（2）若要让宣传板达到最佳稳定性，则需要满足120PCH ∠= ，且CH CP +达到最大值，求a 为多少时，CH CP +达到最大值，最大值为多少？【20~21题答案】【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）分别在Rt ABC 和Rt PBC △中，利用三角函数的定义得到22cos sin sin sin 1CA PB αααα+=+=-++求解；（2）由2211ABCSAC B BC A CH =⋅⋅= ，得到sin cos CHαα=⋅，由()cos 12090PC BC α⎡⎤=⋅--⎣⎦，得到CH CP +13sin 2234πα⎛⎫=++⎪⎝⎭求解.【小问1详解】解：如图所示：在Rt ABC 中，sin sin ,cos cos CA AB CB AB αααα=⋅=⋅=，在Rt PBC △中，2cos cos PB CB αα=⋅=，所以22cos sin sin sin 1CA PB αααα+=+=-++，令3sin 0,2tα⎛=∈ ⎝⎭，则21y t t =-++，21524t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当12t=，即6πα=时，CA PB +达到最大值，最大值为54；【小问2详解】因为2211ABCSAC B BC A CH =⋅⋅= ，又sin ,cos AC BC αα==，所以sin cos CH αα=⋅，()cos 12090PC BC α⎡⎤=⋅--⎣⎦，()cos 30BC α=⋅+ ，()cos cos 30αα=⋅+，21sin cos 22ααα=-⋅，所以21cos sin cos 22CH CP ααα=+⋅+，12sin 2444αα=++，1sin 2234πα⎛⎫=++⎪⎝⎭.因为0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 23πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当232ππα+=，即12πα=时，CH CP +达到最大值，最大值为24+.21.已知向量()ππcos ω,sin 2ω,4sin ω,262a x x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，其中0>ω，记()f x a b =⋅ ，且()f x 的最小正周期为π（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足222223a cb ba cb ⎧+=-⎨-=--⎩，求()f C 的值.【21~22题答案】【答案】（1）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）1-【解析】【分析】（1）由向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简变形可得()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由周期为π，可求出1ω=，从而可求得函数解析式，再由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，可求出其增区间，（2）先解已知的方程组可得221134241344a b b c b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，然后利用余弦定理可求出角C，从而可求出()f C 的值【小问1详解】因为()cos ,sin 2,4sin ,262a x x b x ππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4sin cos 2sin 262f x a b x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=⋅=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin cos cos sin sin 2cos 266x x x xππωωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭14sin sin 2cos 222x x x x ωωωω⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2sin 2cos 2x x x xωωωω=++2cos 21x x ωω=++2sin 216x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，【小问2详解】由222223a c b b a c b ⎧+=-⎨-=--⎩，解得221134241344a b b c b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以2222()()cos 22ab c a c a c b C abab+-+-+==222111322221132424b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭3232113142413222b b b b b b -++==---因为()0,C π∈，所以23C π=，所以223()2sin 212sin 113362f C f ππππ⎛⎫⎛⎫==⨯++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =且222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，（1）求△ABC 的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅ 的最小值.【22~23题答案】【答案】（1）245（2）4825【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理求得b =6.设ADB θ∠=,则ADC πθ∠=-，利用余弦定理可得：表示出()cos ,cos πθθ-，列方程解得边长5a=.求出4sin 5A =,即可求得△ABC 的面积；（2）设AE m = ，AF n = 由△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，得到6mn =.利用平面向量的运算表示出()()26mn mn AG AB AC m n m n =+++ ，62n m EF AC AB =-,得到24812156AG EF m ⎛⎫⋅=-+ ⎪+⎝⎭，利用函数求最值.【小问1详解】由余弦定理得：2222cos a c b ac B =+-，所以222223a c b cosA bc ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭可化为：22cos 23ac B cosA bc ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1cos .3a B bcosA b +=由正弦定理得：1 sin cos sin sin 3A BBcosA A +=，所以1sin sin 3A B B +=（）因为C A B π++=，所以C A B π+=-，所以sin sin C sinC A B π+=-=，即1sinCsin 3B =.由正弦定理得：c 13b =.因为2c =，所以b =6.在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，所以62CD AC BD AB ==,不妨设,3BD t CD t ==.设ADB θ∠=,则ADC πθ∠=-.由余弦定理可得：22222225cos 25t AD BD AB AD BD θ⎛⎫+- ⎪+-==⋅，()()222222365cos 25t AD CD AC AD CD πθ⎛⎫+- ⎪+--==⋅因为()cos cos πθθ-=-()22222223655055t t ⎛⎫⎛+-+- ⎪ ⎪，解得：5t =.所以边长45a t ==.由余弦定理可得：2222222653cos 2265AB AC BC A ⎛+- +-⎝⎭===⨯⨯,且()0,A π∈，所以4sin 5A ===,所以△ABC 的面积为11424sin 622255bc A =⨯⨯⨯=.【小问2详解】设AE m = ，AF n = .因为△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，所以11412sin 2255mn A mn =⨯=，所以6mn =.因为AD 为∠BAC 的角平分线，所以31CD BD =，所以3144AD AB AC =+ 设3134444AG AD AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭.因为E 、F 、G 三点共线，所以()()1126m n AG AE AF AB AC μμμμ=+-=+-.所以()342146m n λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去λ，得到n m n μ=+.所以()()26mn mn AG AB AC m n m n =+++.而62n m EF AC AB =- ,所以()()2662mn mn n m AG EF AB AC AC AB m n m n ⎡⎤⎛⎫=+⋅-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()12362mn n m AB AC AC AB m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()2222186mn m n n m AB AC AC AB m n -⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭.而336cos 2655AC AB AC AB A ⋅=⨯⨯=⨯⨯= .所以()()()836222655mn n m mn n m AG EF n m m n m n --⎛⎫⋅=-+⨯= ⎪++⎝⎭因为6mn =，02,06m n <≤<≤，所以606m<≤，解得：12m ≤≤，所以()()22264848648121656565m m m AG EF m m m m ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭⋅===-+ ⎪+⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .因为12m ≤≤，所以214m ≤≤，所以27610m ≤+≤，所以21111067m ≤≤+，所以21212121067m ≤≤+，所以2212511067m ≤-+≤+，所以248481248125567m ⎛⎫≤-+≤ ⎪+⎝⎭，所以AG EF ⋅ 的最小值为4825.【点睛】（1）在几何图形中进行向量运算:①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.（2）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择．。

重庆巴蜀中学2020-2021学年下期高一第一次月考数学试题和参考答案

2sin C 2sin C cos 2 C cos 2C sin C ，即 2 2cos2 C cos 2C=4cos2 C 1 ，
得到 cos C 3 即 C=30 ，进而 A 60 ， B 90 ，由 a 3 ，得到 c 2
由 SABC
1 (a 2
b
c)r
即
33 2
= 1（3+3 2
得到 3 ( AB BC)2 75 ， 4
即 ( AB BC)max 10 km （当且仅当 AB BC 时取得最值）……12 分
22、解析：（1） OA 0, 2 2e2 ， OB 2, 1 2e1 e2 ，其中 e1 、 e2 是成 60 夹角的两单位向量
第4页共5页
则
选项 B : 向量 a 、 b 、 c 都为非零向量时，平行具有传递性，选项 B 正确；
选项 C : 向量 a 与 b 模长相等，但是方向不一定相同或相反，可以为任意夹角，选项 C 错误；
选项 D :
由
|
a
b
||
a
b
|
得到
a
2
2a
b
2 b
a
2
2a
b
b
2
，即 a b 0 ，选项 D 正确。
故选 BD ．
10、解析：由正弦定理
a sin
A
b sin
B
知
sin
2 45
b sin
B
，得
sin
B
b 2
第1页共5页
选项 A : sin B 5 无解，选项 A 正确； 2
选项 B : sin B 1 ，恰有一解 B ，选项 B 正确； 2
选项 C : sin B 3 ，解得 B 或 B 2 ，有两解，选项 C 正确；

重庆市鲁能巴蜀中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

高2026届高一（下）半期考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.梯形的直观图是（）A.梯形 B.矩形C.三角形D.任意四边形【答案】A 【解析】【分析】根据斜二测画法判断即可.【详解】直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的线段长度，故梯形的直观图仍是梯形.故选：A2.已知复数23i i i 1iz ++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.0B.12C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，进而可求z z ⋅.【详解】∵()()23i i i 11i 11i 1i 1i 1i 1i 22z ++--+====-++++-，所以1111111i i =2222442z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．3.在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 分别所对的边，260,B b ac ∠=︒=，则ABC 一定是（）A.底边和腰不相等的等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理可得a c =，结合=60B ∠︒可得答案.【详解】因为260,B b ac ∠=︒=，所以，由余弦定理有2222cos60b a c ac ac =+-︒=，整理得()20a c -=，即a c =，ABC 为等腰三角形，又=60B ∠︒，所以ABC 为等边三角形.故选：D4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//m α，//n α，则//m nB.若αβ⊥，γβ⊥，且m αγ= ，则m β⊥C.若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD.若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥【答案】B 【解析】【分析】利用空间线面、面面平行与垂直的判定定理分别去判断各个选项，即可判断出正误.【详解】解：对于选项A ，若//m α，//n α，则m 与n 可以平行，相交，或为异面直线，因此不正确；对于选项B ，若αβ⊥，γβ⊥且m αγ= ，则m β⊥，因此正确；对于选项C ，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则α与β不一定平行，因此不正确；对于选项D ，若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 不一定垂直，因此不正确.综上，正确的命题是B.故选：B.【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的合理运用，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.5.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BB =，1AC 与平面ABCD 所成的角为45 ，则直线1CD 与1BC 所成角的余弦值为（） A.13B.23C.22D.63【答案】B 【解析】【分析】连接AC ，1A B ，11A C ，由1CC ⊥平面ABCD ，可推出145CAC ∠=，易证11//CD A B ，故11A BC ∠或其补角即为所求，在11A BC V 中，由余弦定理求11cos A BC ∠的值即可求解.【详解】连接AC ，1A B ，11A C ，∵1CC ⊥平面ABCD ，∴1CAC ∠即为1AC 与平面ABCD 所成的角，即145CAC ∠=，∵1CC AC ⊥，∴1ACC △为等腰直角三角形，∴11AC CC BB ===∵2AB =，∴2BC =，由长方体的性质知：11//A D BC ，1=A D BC ，∴四边形11A BCD 为平行四边形，∴11//CD A B ，∴11A BC ∠或其补角是直线1CD 与1BC 所成的角，由勾股定理知，11A B C B ==，在11A BC V中，由余弦定理知，222111111112cos 23A B BC A C A BC A B BC +-∠==⋅，∴直线1CD 与1BC 所成角的余弦值为23，故选：B .6.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝120°，OA ＝2OC ＝2，点E 在弧CD 上，则EA EB ⋅的最小值是（）A.－1B.1C.－3D.3【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示EA EB ⋅，结合三角函数的知识求得正确答案.【详解】以O 为原点，OB为x 轴的正方形建立平面直角坐标系，则((),2,0A B -，设()cos ,sin ,0120E θθθ︒≤≤︒，EA EB ⋅()()1cos sin 2cos ,sin θθθθ=--⋅--()())1cos 2cos sin sin θθθθ=--⋅--⋅()cos 12sin 301θθθ=--=-+︒-，所以当60θ=︒时，EA EB ⋅取得最小值213--=-.故选：C7.在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若8,sin 2sin cos 0ac B C A =+=，则ABC 面积的最大值为()A.1B.3C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据sin 2sin cos 0B C A +=利用三角恒等变换和正余弦定理得到2222b a c =-，再根据余弦定理和基本不等式可得cos B 的范围，由此得B 的范围，从而得到sin B 的最大值，从而根据1sin 2ABC S ac B = 可求△ABC 面积的最大值．【详解】sin 2sin cos 0B C A += ，()sin 2sin cos 0A C C A ∴++=，即sin cos cos sin 2sin cos 0A C A C C A ++=，即sin cos 3cos sin 0A C A C +=，则2222223022b a c b c a a c ab bc+-+-⋅+⨯⨯=，整理得2222b a c =-，∴22222222232cos 22442a c a c a cb ac B ac ac ac ac -+-+-+====，当且仅当2=32⇔==83时取等号，π10sin 62B B ⎛⎤∴∈∴ ⎥⎝⎦，，，则111sin 82222ABC S ac B =⨯⨯= ．故选：C ．8.母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（）A.22π3 B.23π3C.D.26π3【答案】D 【解析】【分析】利用母线长得到底面半径与高的关系，利用圆锥的体积公式将体积表示成底面半径的函数，将函数凑成乘积为定值的形式，利用基本不等式求函数的最值．【详解】解：设圆锥底面半径为r ，高为h ，则圆锥体积21π3V r h =⋅又221r h h +=∴= ∴圆锥体积212ππ33V r =222112233r r r ++-= ，当且仅当2212r r =-时，即当3r =时圆锥体积V 取得最大值∴侧面展开图圆心角2π2πr ϕ==故选：D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1z ，2z 是方程210x x ++=的两根，则（）A.121z z +=B.121z z ==C .212z z = D.111R z z +∈【答案】BD 【解析】【分析】解方程可得1z 与2z ，进而判断各选项.【详解】由210x x ++=，得11i 22z =-+，21i 22z =--，故121z z +=-，A选项错误；11z ==，21z =，B 选项正确；22121313313i 2242422z z ⎛⎫=-+=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；11113i 122z z +=+=-，D 选项正确.故选：BD.10.如图所示，在ABC 中，D 、E 是BC 边上两点，连接AD 、AE ，若4ACB ADC π∠=∠=，ABC 、ABD △、ABE 的外接圆直径分别为d 、e 、f ，则下列不等式成立的是（）A.d e =B.d e <C.f e <D.d f<【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦定理求解.【详解】解；∵4ACB ADC π∠=∠=，∴AD AC =，∴AD AC AE =>，又∵sin AC d B =，sin AD e B =，sin AEf B=，所以d e f =>，故选：AC.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F，且2EF =，则下列结论中正确的有（）A.当E 点运动时，1A C AE ⊥总成立B.当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小C.二面角E AB C --的最小值为45°D.EF 在CB 方向上的投影向量为12CB【答案】ACD 【解析】【分析】通过证明1A C ⊥平面11AB D ，即可由线面垂直证明线线垂直，即可判断A ，根据几何特点，即可直接判断B ，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，即可判断C ，利用向量的投影向量计算即可得解，即可判断D.【详解】对A ：因为11111111111,,B D A C B D A A A C A A A ⊥⊥⋂=，111,A C A A ⊂面11A C CA ，所以11B D ⊥面11A C CA ，因为1AC ⊂面11A C CA ，所以111B D AC ⊥，同理可证11AD AC ⊥，因为1111AD B D D ⋂=，111,AD B D ⊂面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为AE ⊂平面11AB D ，所以1A C AE ⊥总成立，故选项A 正确；对B ：平面EFB 即平面11BDD B ，而平面EFA 即平面11AB D ，所以当E 向1D 运动时，二面角A EF B --大小不变，选项B 不正确；对C则1(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1)A B C D D ，因为E ，F 在11B D 上，且EF =131(,1,1),,,1,1222E t tF t t t ⎛⎫---≤≤ ⎪⎝⎭(1,,1)AE t t =-- ，设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =，又(1,0,0)AB =-，所以()()010x t x t y z -=⎧⎨-+-+=⎩，取1y =，则(0,1,)m t =，平面ABC 的法向量为(0,0,1)n =，所以cos ,m n 〈〉= 设二面角E AB C --的平面角为θ，则θ为锐角，故cos θ==，当112t ≤≤，≤≤所以cos 52θ≤≤，当且仅当1t =时cos θ取最大值2，即θ取最小值45︒，故C 正确；对D ：因为22EF =，11D B =，所以1112D EF B = ，故EF 在CB方向上的投影向量为211221111cos 45221221CB CB EF CB CB CB CB CB CB CB CB CB CBD B DB ⋅⋅⨯⋅⋅=⋅==⋅=⨯︒ ，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的三分之一，则该球的体积等于____________.【答案】【解析】【分析】根据球的半径、截面圆的半径、球心到截面距离满足勾股定理求出半径，然后可得体积.【详解】记球的半径为R ，则由球的性质可知，(2223R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2R =，所以该球的体积334436ππ332V R ⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：.13.在复平面内，已知复数z 满足i 1z -=（i 为虚数单位），记02i z =-对应的点为点0Z ，z 对应的点为点Z ，则点0Z 与点Z 之间距离的最小值______________.【答案】1-【解析】【分析】根据题意可得点Z 的轨迹方程是为(0,1)为圆心，1为半径的圆，则将问题转化为0Z 与圆上的点的最小值，从而可求得结果.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则由i 1z -=，得(1)i 1a b +-=，所以22)1(1+-=a b ，所以z 对应的点为点Z 的轨迹方程为22(1)1y x +-=，即为(0,1)为圆心，1为半径的圆，因为02i z =-对应的点为点0(2,1)Z -，所以点0Z 与点Z 之间距离的最小值为11-=-.故答案为：1-14.已知等腰直角ABC 的斜边AB 长为2，其所在平面上两动点O P 、满足()123131231,0OP OA OB OC λλλλλλλλλ=++++=≥ 、、，若OP = ，则·OAOB的最大值为_______________.【答案】3+3【解析】【分析】将已知化为12CP CA CB λλ=+，可判断点P 在ABC 内部及其边界上，记点D 为AB 的中点，将·OAOB 转化为21OD - ，结合图形求OD 的最大值即可得解.【详解】因为1231λλλ++=，所以()12121OP OA OB OC λλλλ=++-- ，整理得()()12OP OC OA OC OB OC λλ-=-+- ，即12CP CA CB λλ=+ ，因为1231231,,,0λλλλλλ++=≥，所以1201λλ≤+≤，所以，点P 在ABC 内部及其边界上，记点D 为AB 的中点，易知，当点P 与,,A B C 重合时，DP 取得最大值1，则()()()()22·OAOB OD DA OD DB OD DA OD DA OD DA =+⋅+=+⋅-=- ，又112DA AB ==，所以2·1OAOB OD =- ，所以当点O 到点D 距离最大时，·OAOB 取得最大值，因为3OP = ，所以点O 在以P 为圆心，3为半径的圆上，所以当点P 与点,,A B C 重合，且,,O C D 或,,D B O 或,,D A O 三点共线时，OD 取得最大值313CD +=+，所以·OAOB 的最大值为()2131323+-=+故答案为：323+【点睛】关键点睛：本题解答关键在于对已知条件得转化，根据平面向量基本定理判断点P 位置，然后作出图形，结合3OP = OD 的最大距离即可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、，已知()cos sin b A A c -=.（1）求B ；（2）若2b =，82sin sin 15A C +=，求ABC 的周长.【答案】（1）3π4（2）6215【解析】【分析】（1）由正弦定理及两角和差正弦公式计算求出正切值求角即可；（2）由正弦定理结合和比定理求出a c +进而得出周长即可.【小问1详解】因为()cos sin b A A c -=，由正弦定理可得()sin cos sin sin B A A C -=，在ABC 中，()()sin cos sin sin sin cos cos sin B A A A B B A B A -=+=+，sin sin cos sin ,sin 0A B B A A -=>，()sin cos ,tan 1,0,πB B B B -=∴=-∈，3π4B ∴=.【小问2详解】3π,24B b == ，,,sin sin sin sin sin sin b a c b a c B A C B A C +∴==∴=+3215282215a c =∴+=，所以ABC ∆的周长为326221515a c b ++=+=.16.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，M 是CD 的中点.（1）证明：1//B D 平面1BC M ；（2）求异面直线1B D 与1MC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接1B C 交1BC 相交于E 点，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）取11C D 的中点F ，可得四边形1FC MD 为平行四边形，得1//C M FD ，1FDB ∠或其补角即为即为所求，在1DB F 中利用余弦定理可得答案.【小问1详解】连接1B C 交1BC 相交于E 点，则E 点为1BC 的中点，连接EM ，所以1//EM B D ，因为EM ⊂平面1BC M ，1B D ⊄平面1BC M ，所以1//B D 平面1BC M ；【小问2详解】取11C D 的中点F ，连接1、DF B F ，所以1=FC DM ，1//FC DM ，所以四边形1FC MD 为平行四边形，可得1//C M FD ，所以直线1B D 与FD 所成角1FDB ∠或其补角即为异面直线1B D 与1MC所成角，=DF，1=B F13DB ==，在1DB F中由余弦定理得222111125cos 25+-∠===⨯DF DB B F FDB DF DB ，所以异面直线1B D 与1MC 所成角的余弦值为255.17.已知在ABC 中，3cos 5BAC ∠=，D 在线段BC 上，且2AD =.（1）若D 是BC 的中点，求ABC 面积的最大值；（2）若π4BAD ∠=，求ABC 面积的最小值.【答案】（1）2（2）1【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出sin BAC ∠，由D 是BC 的中点，得1()2AD AB AC =+ ，两边平方化简后结合基本不等式可求得5bc ≤，再利用三角形的面积公式可求得其最大值；（2）利用两角差的正弦公式表示出sin CAD ∠，由ABC ADC ABD S S S =+△△△结合基本不等式可求得52bc ≥，再利用三角形的面积公式可求得其最小值.【小问1详解】因为3cos 5BAC ∠=，()0,πBAC ∠∈，所以4sin 5BAC ∠==，因为D 是BC 的中点，所以1()2AD AB AC =+ ，所以2221(2)4AD AB AB AC AC =+⋅+ ，所以2231625c bc b =+⨯+，所以226616162555bc b c bc bc bc =++≥++=，当且仅当b c =时取等号，所以5bc ≤，当且仅当b c =时取等号，所以ABC 面积为1142sin 522255bc BAC bc ∠=⨯≤⨯=，当且仅当b c =时取等号，所以ABC 面积的最大值为2；【小问2详解】由（1）知4sin 5BAC ∠=，3cos 5BAC ∠=，πsin sin()sin(4CAD CAB DAB CAB ∠=∠-∠=∠-ππsin cos cos sin 44CAB CAB =∠-∠42322525210=⨯-⨯=，因为ABC ADC ABD S S S =+△△△，所以111sin sin sin 222bc BAC b AD CAD c AD DAB ∠=⋅∠+⋅∠，所以2225102bc b c =+，所以2225102bc b c =+≥=，当且仅当102b c =，即5b c =时取等号，所以15bc ≥，所以52bc ≥，当且仅当5b c =时取等号，所以1225sin 12552ABC S bc BAC bc =∠=≥⨯= ，当且仅当5b c =时取等号，所以ABC 面积的最小值为1.18.已知四棱锥P ABCD -ABCD 是直角梯形，//AB CD ，090BAD ∠=，且PO ⊥平面ABCD ，垂足O 在线段AD （不含端点）上，点E 在棱PD 上，OPD EAD ∠=∠，平面ABE 与棱PC 交于点F .（1）证明：BF PD ⊥；（2）若2AE AB PE ===，3EF =；①求四棱锥P ABFE -的体积；②求二面角B PC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）①103；②1414【解析】【分析】（1）先证PD ⊥平面ABFE ，根据线面垂直证线线垂直.（2）利用锥体的体积公式求四棱锥体积；构造PBF △在平面PCD 内的射影三角形，利用三角形面积的关系求二面角的余弦.【小问1详解】因为PO ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以PO AD ⊥，PO CD ⊥，又因为四边形ABCD 是直角梯形，且//AB CD ，90BAD ∠=︒，所以CD AD ⊥，AD ，PO ⊂平面PAD ，且AD PO O = ，所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ，所以//CD 平面ABFE .而CD ⊂平面PCD ，平面PCD 平面ABFE EF =，所以//CD EF .所以EF ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以EF PD ⊥.又PO AD ⊥，所以90OPD ODP ∠+∠=︒,因为OPD EAD ∠=∠，所以90EAD ODP ∠+∠=︒，所以90AED ∠=︒，即AE PD ⊥,EF ，AE ⊂平面ABFE ，且EF AE E = ，所以PD ⊥平面ABFE ，因为BF ⊂平面ABFE ，所以BFPD ⊥.【小问2详解】①由（1）知：四边形ABFE 是直角梯形，且2AB AE ==，3EF =所以()123252ABFE S =+⨯=梯形，又PD ⊥平面ABFE ，且2PE =，所以四棱锥P ABFE -的体积为：1105233V =⨯⨯=.②因为AE PD ⊥，AE CD ⊥，,PD CD ⊂平面PCD ，所以⊥AE 平面PCD .AE ⊂平面ABFE ，所以平面ABFE ⊥平面PCD .如图：作BM EF ⊥于M ，则BM ⊥平面PCD ，连接MP设二面角B PC D --为θ，则cos θPBF PMF S S ⋅= ，且1112122PMF S MF PE =⋅⋅=⨯⨯=，PM =，在PBF △中，PB ==,PF ==BF ==,由余弦定理，222cos 2BP BF FP PBF BP BF +-∠=⋅⋅1515==,所以sin PBF ∠=所以1sin 2PBF S BP BF PBF =⋅⋅⋅∠=.所以14cosθ14PMF PBF S S === .19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中()1,2,,,3i Q i k k =≥ 为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.（1）求四棱锥S ABCD -在各个顶点处的离散曲率的和；（2）如图，现已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.①若OS =，求该四棱锥在S 处的离散曲率S ∅；②若该四棱锥在S 处的离散曲率13=，求直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值.【答案】（1）2（2）①12；②1323-【解析】【分析】（1）根据离散曲率的定义，直接计算，即可得答案；（2）①求出,SA SB 的值，利用余弦定理求出顶点S 处的侧面的顶角大小，即可求得答案；②根据四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，求出棱锥的高，再根据线面角的定义，即可求解答案.【小问1详解】由题意可知四棱锥S ABCD -在各个顶点处的角的和ASB BSC CSD SDA ∠+∠+∠++∠ ，即等于四个侧面上的三角形和底面四边形的内角和，即4π2π6π+=，故四棱锥S ABCD -在各个顶点处的离散曲率的和为：156π22π-⨯=；【小问2详解】①连接BD ，由于底面ABCD 是边长为2的菱形，故,BD AC 交于点O ，2AC =，则ABC为正三角形，则OB =,SO ⊥底面ABCD ，,OA OB ⊂底面ABCD ，故SO OA ⊥，SO OB ⊥，则SA ==，SB ==，则222cos 2SA SB AB ASB SA SB +-∠==⋅2==，由于ASB ∠为三角形内角，故π4ASB ∠=；同理求得π4BSC CSD DSA ∠=∠=∠=，故该四棱锥在S 处的离散曲率1π1142π42S ∅=-⨯⨯=；②由题意可知四棱锥S ABCD -的是个侧面三角形全等，即得ASB BSC CSD DSA ∠=∠=∠=∠，四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则11π1432π3ASB,ASB =-⨯⨯∠∴∠=，设SO h =，则SA ==，而2AB =，故22221cos 22SA SB AB ASB SA SB +-∠==⋅，解得h=作CE AB ⊥于E ，则E 为AB 中点，结合题意知ABC为正三角形，故CE =，作OF AB ⊥于F ，则OF CE ∥，且1322OF CE ==，则SF ==连接SF ，由于SO ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，故SO AB ⊥，OF SF F ,OF ,SF =⊂ 平面SOF ，故AB ⊥平面SOF ，AB ⊂平面SAB ，故平面SAB ⊥平面SOF ，平面SAB 平面SOF SF =，作OG SF ⊥于G ，则OG ⊥平面SAB ，则OSG ∠即OSF ∠为直线OS 与平面SAB 所成角，则31322sin 3OF OSF SF -∠===.【点睛】关键点睛：本题考查空间几何的新定义问题，解答的关键是要理解新定义，并能根据新定义的含义去解决问题；解答第二问时，要能根据四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，求出棱锥的高，进而根据线面角定义解决问题.。

2020-2021重庆巴蜀中学高一数学下期中模拟试卷(带答案)

2020-2021重庆巴蜀中学高一数学下期中模拟试卷(带答案)一、选择题1．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥，直线c 与直线a 成30角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+3．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（） A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=5．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）6．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③ 7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 8．设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①m αβ=，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．-2或010．若方程124kx k =-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,124 11．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1012．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．14．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．15．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)16．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.17．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.18．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．19．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．20．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.三、解答题21．如图，在以,,,,A B C D E 为顶点的五面体中，O 为AB 的中点，AD ⊥平面ABC ，AD ∥BE ，AC CB ⊥，22AC =，244AB BE AD ===.（1）试在线段BE 找一点F 使得OF //平面CDE ，并证明你的结论；（2）求证：AC ⊥平面BCE ；（3）求直线DE 与平面BCE 所成角的正切值.22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．23．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．24．如图四棱锥C ABDE -的侧面ABC ∆是正三角形，BD ⊥面ABC ，//BD AE 且2BD AE =，F 为CD 的中点.（1）求证：//EF 面ABC（2）若6BD AB ==，求BF 与平面BCE 所成角的正弦值25．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥，且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =（1）证明：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面ECD 的距离；26．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内，若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内，且,l αβαβ⊥=，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.2．B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 3．D解析：D 【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。

重庆市巴蜀中学高2021届高一(下)期末考试

重庆市巴蜀中学高2021届高一（下）期末考试数学试题考试时间：120分钟，总分：150分一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1.已知向量),1,4(),,1(==CD k AB 若CD AB ⊥，则k=（） A.41 B. 4 C. 41- D.－4 2.已知命题p:0),,1(<-+∞∈∀x e x x ,则p ⌝为（）A.0],1,(≥--∞∈∀x e x xB.0),,1(000≥-+∞∈∃x ex x C.0),,1(≥-+∞∈∀x e x x D.0],1,(000≥--∞∈∃x ex x 3.已知b a >>0，下列不等式一定成立的是（）A.22b a >B.1>-b aC.bc a c ||||> D.33b a > 4.若等差数列}{n a 满足420193=+a a ，则}{n a 的前2021项之和2021S =（）A.2021B.2020C.4042D.40405.在△ABC 中，已知 30,3==A a ，则△ABC 的外接圆面积等于（）A.9πB.36πC.6πD.24π6.已知角)2,0(πα∈，则αα22cos 1sin 1+的最小值为（） A. 2 B. 1 C. 4 D. 37.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≤--04202201y x y x y x ，则y x z -=的最小值为（）A. -3B. -2C. 1D. 28.已知直线0)1(:1=+++m y m x l ，012:2=++y mx l ，则“1l ∥2l ”的必要不充分条件是（）A.2-=mB.1=mC.2-=m 或1=mD.2=m 或1=m9.已知实数2≥m ，则直线02:=++y mx l 与圆m m y x C =-++22)()1(:的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.相交或相切10.在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列，且角B=3π，c=3，则△ABC 的内切圆周长为（） A.23π B.43π C.43π D.π3 11.若圆)0(10)1()(:221>=-+-m y m x C 始终平分圆2)1()1(:222=+++y x C 的周长，则直线0343=++y x 被圆1C 所截得的弦长为（） A.52 B.62 C.22 D.3212.在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，使所得B A cC B a C A b cos cos cos cos cos cos )222(+=+，则角B 的最小值为（） A.4π B.6π C.3π D.125π 二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分） 13.已知单位向量b a ,夹角为3π，则||b a -= . 14.已知直线0586:,0243:21=++=++y x l y x l ，则1l 与2l 之间的距离为 .15.已知数列}{n a 满足：11=a ，且对任意的*,N n m ∈，都有：mn a a a n m n m ++=+，则19a = .16.已知点P 为△ABC 内的一点，且AC AB AP 3241+=，则=∆ABCACP S S △ . 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，满分70分）17.已知圆124)4()(:222-=-+-m y x m x C ，圆心在直线0124=--y x 上. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过点A(6，0)，且与圆C 相切，求直线l 的方程.18.在三角形ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，向量a n m B b n a A m =⋅=-=),cos ,(),,(sin .（1）求角B ；（2）若b=3，且sin(C+A)+sin(C-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.19.已知数列}{n a 为等比数列，公比q ＞0，n S 为其前n 项和，且28,431==S a .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 满足：)(*N n a n b n n ∈⋅=,求数列}{n b 的前n 项和n T .20.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.（1）若4,1,2π===A b a ，求角B ；（2）若4,216sin(=+=++b a B A π,求△ABC 周长的取值范围.21.已知数列}{n a 各项均为正数，前n 项和为n S ，且n S 满足：n n n a a S N n 24,2*+=∈∀.（1）求1a 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）若)()1(1*2N n n n b n ∈+=，且n n n b a c ⨯=.证明：对一切正整数n ，有23121<++⋯++-n n c c c c .22.已知圆4:22=+y x O ，直线l 过点M （3，3），且OM l ⊥.（1）若点N （00,y x ）上直线l 的动点，在圆O 上是否存在一点E ，使得∠ONE=30°，若现在，求0y 的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）过点F （1,0）作两条互相垂直的直线，分别交圆O 于A,C 和B,D ，设线段AC ，DB 的中点分别为P 、Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.。

重庆市巴蜀中学校2021-2022学年高一下学期期中数学试题

重庆巴蜀中学高2024届高一（下）期中考试数学试卷一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数121i,2i z z =-+=+（i 为虚数单位），则在复平面内12z z +对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(2,2),(,1)(R)a b x x =-=∈ ，若a b ⊥，则||a b += （）A ．10B ．3C ．D 3．已知三条直线a ，b ，c 和两个平面,αβ，下列命题正确的是（）A ．若//,//a a b α，则//b αB ．若//,a b b α⊂，则//a αC ．若//,//,//a a b b αβ，则//βαD ．若,,,//a b c b c αβαβ=⊂⊂ ，则//a b 4．sin10cos 50sin100cos 40︒︒+︒︒=（）A B C ．2D ．125．已知点A ，B ，C 在球心为O 的球面上，且A ，B ，C ，O 四点共面，若,3BAC BC π∠==则球O 的体积为（）A ．323πB ．83πC ．4πD ．8π6．已知3sin cos 44ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 26πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1-B CD ．7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 0a B c +=，则tan C 的最大值是（）A ．1BC D 8．在ABC 中，5460AB AC BAC ==∠=︒，，，D 为BC 的中点，点E 满足4AE EB =，直线CE 与AD 交于点P ，则cos DPE ∠=（）A ．45B ．122C ．482D ．2425二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．若复数i,(,R)z a b a b =+∈（i 为虚数单位），其中真命题为（）A ．若R z ∈，则0b =B ．若0z z +=，则z 为纯虚数C ．若1a b ==，则44z =-D ．若1a b ==，则12z=10．已知向量(2,1),(2,1)AB AC ==-，则下列说法正确的是（）A ．若AD AB AC =+，则四边形ABDC 为菱形B ．向量AB在向量AC 上的投影向量为35AC- C ．若AD AB AC =+ ，E ，F 分别满足11(),23CE CA CB CF DF =+=-，则35,24EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．若点G 为三角形ABC 的重心，则29GB GA ⋅=11．已知()5sin 12cos ,(R)f x x x x =+∈在0x x =处取得最大值a ，则（）A ．13a =B ．0132f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ．05sin 13x =D ．0cos 24338x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭12．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则（）A ．1AC MNB ．直线PQ ∥平面11A BC C ．正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D ．点Q 的轨迹长度为2π三､填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知ABC 中，点D 满足2DC BD =uuu r uu u r，若13AD AC AB λ=+ ，则λ=___________.14．已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形OAB ，斜边长1OB =，若该直三棱柱的侧棱长为2，则该直三棱柱的侧面积为___________.15．已知方程220(R)x x m m -+=∈有两个虚根12,x x ，若123i x x -=（i 为虚数单位），则m 的值是___________.16．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且56,,24a cb A B ===，则ABC 的内切圆的面积为___________.四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知点()2(1,1),(4,1),,5A B C m .(1)当2m =时，求向量AB与BC 的夹角；(2)求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值及此时m 的值.18．已知0,022ππαβ<<<<，且3cos ,cos()5ααβ=+=(1)求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求β的值.19．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,1AB AA ==，点D 是AB 的中点.(1)证明：1AC ∥平面1CDB ；(2)求异面直线1AC 和BC 所成角的余弦值.20．如图所示，已知某海域有三座海洋观察站A ，B ，C ，这三座海洋观察站在一条直线上，AB 与BC 都等于10n mile .工作人员发现在点M 处有一艘渔船.(1)若某一时刻这艘渔船M 在B 的正东方，在A 的北偏东45︒方向，在C 的南偏东75︒方向，求sin sin MCAMAC∠∠的值；(2)若渔船M 在行驶过程中始终保持对观察站A ，C 的张角不变，即始终有60CMA ∠=︒，求BM 的最大值.21．在正三棱锥D ABC -中，O ，E ，F 分别是线段AC ，AD ，BD 的中点，G 是OC 的中点，且4,6DA AB ==.(1)在BC 上是否存在一点H ？使得平面//FGH 平面BOE ；(2)若点M 是FG 的靠近点F 的三等分点，求三棱锥E BOM -的体积.22．正方形ABCD 中，4AB =，点O 为正方形内一个动点，且OA,0,2OAB πθθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当3πθ=时，求22OB OD +的值；(2)若P 为平面ABCD 外一点，满足,2POA POB POD PO π∠=∠=∠==cos ()BPD f θ∠=，求()f θ的取值范围.1．A 【分析】由复数加法求12z z +，进而判断对应点所在象限.【详解】由题设，121i 2i 12i z z +=-+++=+，故其对应点为(1,2)在第一象限.故选：A 2．D 【分析】由向量垂直的坐标表示求x ，再确定a b +坐标，应用模长的坐标运算求模长.【详解】由题设，220a b x ⋅=-=，可得1x =，则(1,1)b = ，所以(1,3)a b +=-rr ，则||a b += .故选：D 3．D 【分析】根据线线、线面位置关系，结合平面基本性质判断A 、B 、C ；根据平面基本性质知b β⊄且α⊄c ，由线面平行的判定、性质有//c a ，即可判断D.【详解】A ：//,//a a b α，则//b α或b α⊂，错误；B ：//,a b b α⊂，则//a α或a α⊂，错误；C ：//,//,//a a b b αβ，则,βα可能相交或平行，错误；D ：由,αβ为两个平面且,b c αβ⊂⊂、//b c ，故b β⊄且α⊄c ，由b α⊂，则//c α，又a αβ⋂=，c β⊂，α⊄c ，则//c a ，所以//a b ，正确.故选：D 4．C 【分析】利用诱导公式及和角正弦公式即可求值.【详解】sin10cos50sin100cos 40sin10cos50cos10sin 50sin 602︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=.故选：C 5．A 【分析】先判断出A ，B ，C 在以O 为圆心R 为半径的圆上，结合正弦定理求得2R =，即可求出球O 的体积.【详解】设球的半径为R ，由A ，B ，C ，O 四点共面可知A ，B ，C 在以O 为圆心R 为半径的圆上，由正弦定理可得24sin sin 3BC R BAC π===∠，则2R =，球的体积为343233R ππ=.故选：A.6．C 【分析】根据3sin cos 44ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求得θ，从而可求得答案.【详解】解：因为3sin cos 44ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，θθθθ=，所以cos 0θ=，所以,Z 2k k πθπ=+∈，故tan 2tan 2tan 666k πππθππ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.7．B 【分析】根据已知及余弦定理可得2222a c b +=，再由222cos 2a b c C ab+-=及基本不等式求C 的范围，进而求tan C 的最大值.【详解】由余弦定理，2222cos 0a c b a B c c c+-+=+=，即2222a c b +=，而222223cos 2442a b c a b C ab ab ab +-+==≥=，当且仅当b =时等号成立，又0C π<<，则06C π<≤，故max 6C π=，所以tan C故选：B 8．B 【分析】如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，则c c s ,o os CE AP DPE ∠=，利用向量的坐标运算求出cos ,CE AP ，即可得解.【详解】解：如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，则()()(()0,0,5,0,2,,4,0A B C E ，因为D 为BC的中点，故72D ⎛ ⎝，则(72,,2CE AD ⎛=-= ⎝ ，故cos ,CE AP CE AP CE AP⋅=所以2c cos ,12os CE P DPE A =∠= .故选：B.9．AC 【分析】A 由复数的类型确定b 值即可；由1a b ==，结合共轭复数的概念、复数的乘方、除法及模运算判断B 、C 、D.A ：i R z a b =+∈，则0b =，真命题；B ：若1i z =+，则1i z =-，此时0z z +=，但z 不为纯虚数，假命题；1a b ==，则1i z =+、111i 1i 2z -==+，所以()()4241i 2i 4z =+==-且122z =，C 为真命题，D 为假命题；故选：AC 10．AB 【分析】A 由已知有CD AB = 、AC BD =uuu r uu u r即可判断；B 根据向量数量积的几何意义及投影向量的定义求结果；C 、D 由12C A E AB C -= 、14CF AB = 、2()3AG AB AC =+、2433BG AC AB =- 分别求出坐标，再应用向量的坐标运算求结果.【详解】A ：由AD AB AC =+，则AD CA CD AB +== ，故//AB CD 且AB CD =，同理//AC BD 且AC BD =，又||||AB AC =ABDC 为菱形，正确；B ：AB在AC 上的投影向量为3||cos ,5||||||AC AB AC AC AC AC AC AC AC AB AB ⋅<>⋅=⋅=-，正确；C ：由A 知：四边形ABDC 为菱形，则111(2)(3,)222C CA AB AB A E C +=--== ，1111(,)4424CF CD AB === ，所以53,24EF CF CE -⎛⎫=- ⎪⎝⎭= ，错误；D ：由G 为三角形ABC 的重心，则()120,33AG AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，故20,3GA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()11212,3333BG BA BC AC ⎛⎫=+=-=-- ⎪⎝⎭ ，故12,3GB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以29GB GA ⋅=- ，错误.故选：AB 11．ACD 【分析】应用辅助角公式及正弦函数的性质即可判断A ；由A 分析知0sin()1x ϕ+=且0013cos()2f x x πϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而有022x k ππϕ=+-分别求出0sin x 、0cos x ，结合和角余弦公式判断B 、C 、D.由题设()13sin()f x x ϕ=+且125sin ,cos 1313ϕϕ==，则00()13sin()13f x x a ϕ=+==，A 正确；所以0sin()1x ϕ+=，而00013sin()13cos()022f x x x ππϕϕ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭，B 错误；由上知：022x k ππϕ=+-且Z k ∈，则05sin sin()cos 213x πϕϕ=-==，C 正确；同理012cos 13x =，则2000000cos 22sin 2)(2cos 12sin cos )422338x x x x x x π⎛⎫+=-=--=- ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ACD 12．BCD 【分析】取1BC 中点H ，由1AC MH 即可判断A 选项；取棱111,,D A A A BC 的中点,,E F G ，由,,,EF EP GM GN ⊂平面MNP 即可判断C 选项；先判断平面EFMGNP 平面11A BC ，由PQ ⊂平面EFMGNP 即可判断B 选项；连接1DB ，先判断1DB ⊥平面MNP ，进而求得点Q 的轨迹为以O 为圆心1为半径的圆即可判断D 选项.【详解】连接11,AC BC ，取1BC 中点H ，连接MH ，易得1AC MH ，则1AC MN ,不平行，A 错误；如图，取棱111,,D A A A BC 的中点,,E F G ，易得MF NP ，M ∈平面MNP ，则MF ⊂面MNP ，同理可得,,,EF EP GM GN ⊂平面MNP ，即正六边形EFMGNP 为正方体被平面MNP 截得的截面，C 正确；由C 选项知：平面MNP 即平面EFMGNP ，易得1FM A B ，又FM ⊄平面11A BC ，1A B ⊂平面11A BC ，则FM 平面11A BC ，同理可得NG 平面11A BC ，又NG PM ，则PM 平面11A BC ，PM FM M ⋂=，则平面EFMGNP 平面11A BC ，又PQ ⊂平面EFMGNP ，则直线PQ ∥平面11A BC ，B 正确；连接1DB ，易得1DB 与平面EFMGNP 交于正方体的体心O ，连接DB ，易得DB MG ⊥，又1B B ⊥平面ABCD ，MG ⊂平面ABCD ，则1B B MG ⊥，又1,DB BB ⊂平面1DBB ，1DB BB B ⋂=，则MG ⊥平面1DBB ，1DB ⊂平面1DBB ，则1MG DB ⊥，同理可得1GN DB ⊥，又,MG GN ⊂平面MNP ，MG GN G =I ，则1DB ⊥平面MNP ，OQ ⊂平面MNP ，则1DB OQ ⊥，又11122DO DB ==1OQ =，即点Q 的轨迹为以O 为圆心1为半径的圆，故点Q 的轨迹长度为2π，D 正确.故选：BCD.13．23【分析】利用平面向量基本定理将AD 用,AB AC表示，即可得解.【详解】解：()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，又13AD AC AB λ=+ ，所以23λ=.故答案为：23.14．2(1【分析】由题设及斜二测法知,OA AB求其侧面积即可.【详解】由题意知：OA =斜二测法知：原直三棱柱中，OAABOB 对应边长不变，故底面周长为1+2，故其侧面积为2(1+.故答案为：2(115．134##3.25【分析】由实系数方程有虚根的性质求出12,x x ，再由根系关系12x x m =即可求m 值.【详解】由题意121223i x x x x +=⎧⎨-=⎩且12,x x 互为共轭复数，若1i x a b =+，则2i x a b =-且,R a b ∈，所以1a =，32b =，而12913144x x m ==+=，经验证满足题设.故答案为：13416．74π##74π【分析】先由2A B =结合正弦定理、余弦定理求得22222a c b a b ac+-=⋅，再由56,4a c b ==解出4b =，进而求得1cos 8A =，sin 8A =，求出三角形面积，由2ABC S r a b c =++△求出内切圆半径，即可求出内切圆面积.【详解】由2A B =可得sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理结合余弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅，又56,4a cb ==，即22253616625124b b b b+-=⋅⋅，解得4b =，则5c =，则2221625361cos 2408b c a A bc +-+-===，sin 8A =，1sin 2ABC S bc A ==设ABC 的内切圆圆心为O ，半径为r ，则ABC OAB OAC OBC S S S S =++，可得22456ABC S r a b c ===++++ 则内切圆的面积为274r ππ=.故答案为：74π.17．(1)2π；(2)AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值为-3且0m =.【分析】（1）应用向量坐标表示写出AB与BC 的坐标，再由向量数量积的坐标表示可得0AB BC ⋅= ，即可确定夹角.（2）应用向量坐标表示写出,AB AC的坐标，利用向量数量积的坐标表示及二次函数性质求最小值，并确定对应m 值.(1)由题设(3,0)=AB ，(0,4)BC = ，所以0AB BC ⋅=，即AB BC ⊥ ，故向量AB与BC 的夹角为2π.(2)由题设(3,0)=AB ，2(1,4)AC m =- ，所以23(1)3AB AC m ⋅=-≥-uu u r uuu r，当0m =时等号成立，故AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值为3-，此时0m =.18．(1)50；(2)4πβ=.【分析】（1）由同角平方关系可得4sin 5α=，再由二倍角正余弦公式有7cos 225α=-、24sin 225α=，最后利用和角正弦公式求值.（2）由题设可得sin()10αβ+=，根据()βαβα=+-，结合差角余弦公式求出β对应三角函数值，由角的范围确定角的大小.【详解】（1）由02πα<<，3cos 5α=，则4sin 5α=，所以27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 22sin cos 25ααα==，而1717sin 2(sin 2cos 2)4222550αααπ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭.（2）由题设0αβ<+<π，而cos()10αβ+=-，则sin()10αβ+=，而cos cos[()]cos()cos 3sin (45)si 5n βαβααβααβα=+-=+++==又02βπ<<，则4πβ=.19．(1)证明见解析；【分析】（1）连接1BC 交1B C 于M ，证明1MD AC ，即可得证；（2）由11B C BC ∥将异面直线1AC 和BC 所成角转化为11AC B ∠或其补角，由勾股定理求出相关边长，由余弦定理求出余弦值即可.【详解】（1）如图，连接1BC 交1B C 于M ，易得M 为1BC 的中点，又点D 是AB 的中点，则1MD AC ，又1AC ⊄平面1CDB ，MD ⊂平面1CDB ，则1AC ∥平面1CDB ；（2）连接1AB ，易得11//B C BC ，则11AC B ∠或其补角即为异面直线1AC 和BC 所成角，又由正三棱柱111ABC A B C -可得11,B B AB C C AC ⊥⊥，11112,1AC AB B C BB CC =====，则11AB AC ==，则222111111111cos 25AC B C AB AC B AC B C +-∠==⋅，即异面直线1AC 和BC20．(2)n mile .【分析】（1）由已知可得15,45CMB AMB ∠=︒∠=︒，应用正弦定理可得sin sin sin sin MCA CMBMAC AMB∠∠=∠∠，结合差角正弦公式即可求值.（2）据题意知M 在△ABC 的外接圆弦AC 对应的优弧上行驶，由圆的性质判断BM 最大时M 的位置，即△ABC 的形状，即可求最大值.(1)由题设15,45CMB AMB ∠=︒∠=︒，则sin sin BM BC C CMB =∠，sin sin BM ABA AMB=∠，又AB BC =，则sin sin sin sin(4530)sin sin sin sin 45MCA C CMB MAC A AMB ∠∠︒-︒====∠∠︒(2)由题设，M 在△ABC 的外接圆弦AC 对应的优弧上行驶，要使BM 最大，则外接圆圆心在,M B 之间且三点共线，则MB 垂直平分AC ，所以△ABC 为等边三角形，此时MB最大为n mile .21．(1)存在H 为BC 中点，使面//FGH 面BOE ；【分析】（1）H 为BC 中点，连接,FH GH ，由中位线性质及线面、面面平行的判定证得面//FGH 面BOE ，即可判断存在性.（2）由（1）易得//FG 面BOE ，根据已知中点有18E BOM D ABC V V --=，应用锥体的体积公式求体积即可.（1）若H 为BC 中点，连接,FH GH ，又O ，E ，F ，G 分别是AC ，AD ，BD ，OC 的中点，则//,//OE CD FH CD ，故//FH OE ，且//OB GH ，而FH ⊄面BOE ，OE ⊂面BOE ，则//FH 面BOE ，又GH ⊄面BOE ，OB ⊂面BOE ，则//GH 面BOE ，由FH GH H = ，则面//FGH 面BOE ，所以，存在H 为BC 中点，使面//FGH 面BOE ；（2）由（1）知：面//FGH 面BOE ，而FG ⊂面FGH ，则//FG 面BOE ，所以111248E BOM M BOEF BOE E BOD A BOD D ABC V V V V V V ------=====，在正三棱锥D ABC -中，4,6DA AB ==，即4,6DB DC BC AC ====，所以,OD AC OB AC ⊥⊥，OD OB O ⋂=，则AC ⊥面BOD ，AC ⊂面ABC ，所以面ABC ⊥面BOD ，故三棱锥D ABC -的体高即为△BOD 底边OB 上的高h ，而OB =，又底面ABC 为等边三角形，则D 在底面的投影为底面中心在OB 上且到各顶点距离，即外接圆半径23r OB ==所以2h ===，又166sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒= ，所以11834E BOM ABC V hS -=⨯= .22．(1)36-(2)1[,3-.【分析】（1）构建平面直角坐标系得到,B D ，O 坐标，进而写出OB 、OD uuu r坐标，应用向量模长的坐标表示求目标式的值.（2）以A 为原点构建空间直角坐标系，确定,PB PD的坐标，利用向量夹角的坐标表示得到cos ()BPD f θ∠=，结合换元法及三角函数、二次函数性质求范围.【详解】（1）构建如下图示的平面直角坐标系，则(0,4),(4,0)B D ，)O θθ，当3πθ=，则()22O ，故()2OB =- ，(4)2OD = ，所以222()(4)1822OB =-+-=- ，222(4)()1822OD =-+-=-则2236OB OD =-+（2）由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，所以(0,4,0),(4,0,0),B D P θθ且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(,4,(4,,PB PD θθθθ==，所以cos ()||||PB PD BPD f PB PD θ⋅∠===，令sin cos 4t πθθθ=+=+∈，则22sin cos 1t θθ=-，可得cos BPD ∠=若11,1]m =-∈，则11)m ∈，此时cos BPD ∠=11)m ∈上递增，所以1cos [,3BPD ∠∈--.【点睛】关键点点睛：构建坐标系，利用坐标表示相关向量，由向量模长、夹角的坐标表示求值、得到cos ()BPD f θ∠=，结合相关函数的性质求范围.。

2022-2023学年重庆市巴蜀中学高一下学期期末考试数学试题 PDF版答案

高2025届高一（下）数学期末考试参考答案一、单选题12345678ADADBCCD1.【答案】A【详解】由题知，这个人体重减轻的概率为59100.故选：A 2．【答案】D【详解】在复平面内，复数85i z -=对应的点81(,)55-位于第四象限.故选：D3【答案】A【详解】在ABC 中，最大角为角C ，222222121317313289cos 022910180a b c C ab +-+--===>⨯⨯.所以角(0,)2C π∈，则三角形为锐角三角形，故选：A 4【答案】D【详解】【详解】因为甲，乙通过面试的概率都是45，且两人通过面试相互之间没有影响，所以他们只有一人通过面试的概率为4444811555525⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选:D5．【答案】B【详解】由图象知，函数的最小正周期24433T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2π14π2ω==，A =，由五点对应法则代入2π3⎛ ⎝12π23ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即12ππ2π,Z 232k k ϕ=⨯++∈，因为π||2ϕ<，解得π6ϕ=，所以()1π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1π226f x x θθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭为偶函数，有π()262k k Z θππ+=+∈，22()3k k Z πθπ=+∈，当41,3k πθ=-=-，故选：B 6．【答案】C【详解】因为//,//a a b α，所以b 与平面α平行或直线b 在平面α内，A 错误，C 正确；对选项B ，当c αβÇ=，且////a c b ，此时也符合//,b a ββ⊄，所以B 错误，当b α⊂，此时不存在平面β与α，D 不正确.故选：C 7.【答案】C【详解】在三角形ABP 中，180ABP γβ∠=-+ ，180()180()(180)BPA ABP αβαβγβγα∠=---∠=----+=- ，正弦定理：sin sin AP ABABP APB=∠∠，所以sin sin()sin sin()AB ABP AB AP APB γβγα∠-==∠-，sin sin()sin 45sin 41sin 20041186.12sin()sin 30PQ AP AB αγβαγα-===⨯=≈-，故选C ，8.【答案】D【详解】由222||||||24a b a b a b -=+-⋅= ，所以25||22a b b ⋅=- ，又非零向量,a b 不共线，所以||,||,||a b a b -为三角形三边，所以||||||||||a b a b a b +>->- ，所以3||2||b b >> ，22||3b >> ，258||2(,8)29a b b ⋅=-∈- 选D二、多选题9101112ABABDABDBCD9．【答案】AB【详解】由图可知，[)40,500.05f =，[)50,6010f x =，[)60,700.2f =，[)70,800.3f =，[)80,900.25f =，[]90,1000.05f =，由频率之和为1可得100.15x =，故0.015x =；所以选项A 对；因为[]90,10050.05f N==，所以100N =，所以选项B 对；由[)[)[)40,5050,6060,700.4f f f ++=，所以中位数位于区间[)70,80，设中位数为a ，则(70)0.030.1a -⨯=，解得73.33a =，所以选项C 错；平均数为450.05550.15650.2750.3850.25950.0572⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以选项D 错；综上所述，AB 正确，而CD 错误；故选：AB 10．【答案】ABD【详解】依题意，113i z =-，则112z OZ ==，故A 正确；又113i z =+，()21223i z =-+，21223i z =--，21223i z =-+，即()2211z z =，故B 正确；对于选项C:2211||1||z z z z ==，故C 错误；由复数几何意义知D 选项对，故选：ABD.11．【答案】ABD【详解】由题意π43sin cos 2sin 63ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又(0,)2πα∈，知2(,)663πππα+∈，当2(,)633πππα+∈时，π3sin (,1]62α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而π23sin 632α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以(0,)6πα∈所以7cos(2)6πα+，则2πcos 1sin 635(6παα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭），则πππ45sin22sin cos 6669ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22πππ1cos2cos sin 6669ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以24102sin 2sin(2())[sin(2())cos(2())]126426618πππππαααα-⎛⎫+=+-=+-+= ⎪⎝⎭.故答案为ABD12．【答案】BCD【详解】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则491317AP =+=<，故A 错误；对于B ，当'1PC =，所以'BPB 中，''5,2PB BP BB ===，则'2sin 5PBB Ð=，设'BPB 外接圆半径为r ，则由正弦定理知：''52sin 2PB r PBB ==Ð，则54r =，又'AB BPB ^，设三棱锥B ABP '-的外接球半径为R ，则2222541()121616AB R r =+=+=，所以三棱锥B ABP '-的外接球表面积24144S R ππ==，故B 正确；对于C ，如图：因为DD '平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DD AC '⊥，又AC BD ⊥，DD BD D '= ，DD '，BD ⊂平面DD B '，所以AC ⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B '.所以AC BD '⊥'，同理可得BD AB ''⊥，AC AC A ⋂'=，AC ，AB '⊂平面ACB '.所以BD '⊥平面ACB '.所以过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，由//AB C D ''，可得//PG AB '，PG ⊄平面ACB '，AB '⊂平面ACB '，所以//PG 平面ACB '，同理可得//GF 平面ACB '.则平面//PGF 平面ACB '.设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，由点P 在棱CC '上，且12PC '=，可得13,||22DG DF AF AE ====，所以33242EF A D ='=，故C 正确；对于D ，如图：延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，所以平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '.PCH D DH ~' ，所以34PH PC HC D H DD DH ''===.ICH ADH ~ ，所以34CI HC IH DA DH AH ===，所以34PH IH PI D H AH AD ='=='，所以//PI AD '，且PI AD ≠'，所以截面AIPD '为梯形，141742AI PD ==+='，所以截面AIPD '为等腰梯形.所以'117233733()22288AIPD S AD BP h '=⨯+=⨯⨯=，故D 正确.故选：BCD.三、填空题1314151642i-+382921213．【答案】42i-+【详解】由题知：(1,2),(3,4)OA OB ==- ，则(4,2)AB OB OA =-=-，对应复数为42i-+14.【答案】38【详解】由2(sin cos )12sin cos αααα+=+，则112sin 24β=-，所以3sin 28β=。

重庆市巴蜀中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题

D． -4i
A． 3 2
B．
1 2
C． 3 3
D． -
3 3
3．直角梯形 ABCD 中， AB ^ AD, AB//CD, AB = 6,CD = 2, AD = 2 2 ，现采用斜二测画
法，若平面直角坐标系的 x 轴平行于上、下底边，则直角梯形 ABCD 的直观图
A¢B¢C¢D¢ 的面积为（）
A．2
D、G
为
VABC
所在平面内的点，
uuur AD
=
1 4
uuur AB
+
3 4
uuur AC
，
uuur AG
=
1 3
uuur uuur AB + AC
，
记 S△△ABC、S
BDG 分别为 VABC 、 VBDG 的面积，那么 S△BDG S△ABC
=（
）
A． 1 4
B． 1 5
C． 1 6
D． 1 7
=
V
(9 - 7 cosq ) cos2 q
，请计算这个简易火
炬燃烧的最长时间.
试卷第61 页，共33 页
1．B
参考答案：
【分析】直接根据复数虚部的概念得到答案.
【详解】复数 z = 3 - 4i ，则 z 的虚部是 -4 . 故选：B 2．B 【分析】根据诱导公式和正弦的和角公式，对原式进行化简，可得结果.
3
sin C
+
cos C
=
a
+ b
c
,c
=
2
.
(1)求角 B 的大小；
(2)若 VABC 是锐角三角形，求 VABC 的面积的取值范围. 22．2022 年北京冬奥会期间，小明对火炬（图 22-1）产生了浓厚的兴趣，于是准备动手制作一个简易火炬（图 22-2）.通过思考，小明初步设计了一个平面图，如图 22-3 所

2021届重庆市巴蜀中学高三下学期期中测试(线上)理科数学(word版含答案)

巴蜀中学2021届高三下学期期中测试(线上)(满分: 150分考试时间: 120分钟) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.设复数z=(a+i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a 的值是A. -1B.1.C.D 2.质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数,掷两次骰子，得到向上一面的两个点数,则下列事件中，发生可能性最大的是A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知函数2()(0,0)f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点.12,,x x -2和12,x x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数f(x)的解析式为2.()54A f x x x =-- B.2()54f x x x =++ 2.()54C f x x x =-+D.2()54f x x x =+- 4.若l,m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”是“l//α”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数222,0(),|log |,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩,若1234,x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===。

现有结论:122,x x +=-①341,x x =②412,x <<③12340 1.x x x x <<④这四个结论中正确的个数有A.1B.2C.3D.4 6.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,点00()2p M x x >时抛物线C.上的一点，以点M 为圆心与直线2p x =交于E ，G 两点,若1sin ,3MFG ∠=则抛物线C 的方程是 2.A y x = 2.2B y x = 2.4C y x = 2.8D y x =7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,||,24ππϕ-＜为f(x)的零点:且()|()|4f x f π恒成立，f(x)在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值，则0的最大值是A.11B.13C.15D.17 8.图1是某县橙子辅导参加2020年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为1A 、210A A (如2A 表示身高(单位: cm)在[150, 155)内的人数]. 图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。

重庆巴蜀中学校2024年高一下学期5月期中考试数学试题+答案

高2026届高一（下）期中考试数学试卷注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数5i12iz =+，则在复平面内表示复数z 的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在正方体1111ABCD A B C D −中，直线AC 和直线1BC 所成的角为（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．已知等腰ABC △中，2π3A =，则BC 在BA 上的投影向量为（）A ．32BAB ．32BA −C ．3BAD ．3BA − 4．已知平面向量,a b 满足()()2,,1,1a b k a b +=−= ．若//a b，则k =（）A ．－2B ．12−C ．12D ．25．设α是给定的平面，,A B 是不在α内的任意两点，则（） A ．在α内存在直线与直线AB 平行 B ．存在过直线AB 的平面与α垂直 C ．在α内不存在直线与直线AB 异面D ．在α内不存在直线与直线AB 垂直6．已知非零向量a 和单位向量b 满足a b ⊥ ，且向量a b + 与a 的夹角为30，则a = （）A B ．13CD ．37．已知正四棱台1111ABCD A B C D −，其所有顶点均在同一个表面积为32π的球面上，且该球的球心在底而ABCD 上，则棱台1111ABCD A B C D −的体积为（）A B ．C D ．8．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚A 测得山顶B 的仰角为45 ，他沿着坡角为15 的斜坡向上走了100米后到达C ，在C 处测得山顶B 的仰角为60 ．设山高为BD ，若,,,A B C D 在同一铅垂面，且在该铅锤面上,A C 位于直线BD 的同侧，则BD =（） A．米 B． C．−米D．+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．下列各组向量中，可以用来表示向量()1,2a =−的是（） A ．()()121,1,1,2e e ==B ．()()121,1,2,2e e =−=−C ．()()121,2,3,6e e =−=−D ．()()121,2,3,4e e ==−−10．已知复数()122,0z z z ≠，下列命题中正确的是（） A ．若21z ∈R ，则1z ∈RB ．若12z z ∈R ，则12z z ∈R C ．若1222z z z =，则114z z =D ．若2121z z z =，则12z z =11．满足下列条件的四面体存在的是（） A ．15条棱长均为1 B ．1条棱长为1，其余5C ．24条棱长均为1D ．2条棱长为1，其余4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．一个母线长为2的圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面积为______．13．在直三棱柱111ABC A B C −中，所有棱长均相等，则二面角1C AB C −−的正切值为______． 14．在ABC △中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c，已知1,,sin sin c b c B C =>，且sin sin sin a A b B B C −=+，则A =______，ABC △的面积为______．．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是菱形，E 是1DD 的中点．（1）求证：1//BD 平面AEC ；（2）求证：平面AEC ⊥平面1BDD ． 16．（15分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC △的面积为S ，已知2c =，且224a b +=+．（1）求C ；（2a −的取值范围． 17．（15分）如图，在三棱锥V ABC −中，VAB △和ABC △均是边长为4的等边三角形，VC =（1）证明：AB VC ⊥；（2）已知平面α满足//,//VA AC αα，且平面α 平面VBC l =，求直线l 与平面ABC 所成角的正弦值． 18．（17分）在ABC △中，3, 1.BC AB AC M =−=为边BC 上一点，1,BM D =为边AB 上一点，AM 交CD 于P ．（1）若3,2AC AD ==，求AM CD ⋅ ．（2）若35,22BD CD ==，（i ）求AC ；（ii ）求APD △和MPC △的面积之差． 19．（17分）定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为1A ，终点为2A 的空间向量记作12A A，其大小称为12A A 的模，记作1212,A A A A 等于12,A A 两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作0．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量,,a b c ，均有3a a a a++=a b b a +=+ ，00a a a +=+=，()()a b c a b c a b c ++=++=++ ；对任意实数λ和空间向量a ，均有a a λλ= ；对任意三点123,,A A A ，均有122313A A A A A A +=等．已知体积为()1,2,,24i V i = 的三棱锥()1,2,,24i P ABC i −=的底面均为ABC △，在ABC △中，AB Q =是ABC △内一点，120AQB ∠=．记241i i V V ==∑．（1）若(),,30,1,2,,24i AQ CQ AB AC ACQ P i ⊥⊥∠==到平面ABC 的距离均为1，求V ；（2）若Q 是ABC △的重心，且对任意1,2,,24i = ，均有i i i AP BP CP i ++=．（i ）求V 的最大值；（ii ）当V 最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组()(),1,2,24,,,1,2,,5j j j a a a j = 满足对任意1,2,,5,1,2,,24j i =，均有,j l a =，且对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 均有1224,,10j i j i i a a ==∑ 求证：12,,j i j l a a =不可能对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．（参考公式：22421211111;2,300nn n i n i i i j i i i i j i x x x x x x x x i ==≤<≤= =+++=+=∑∑∑∑∑ ）巴蜀中学2023－2024学年高一下期中考数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B1．()5ii 12i 2i 12iz ==−=++，对应的点在第一象限，故选A ． 2．直线AC 和直线1BC 所成的角等于13D AC π∠=，故选C ．3．由图可知，BC 在BA 上的投影向量为32BA，故选A ．4．由//a b知，()()//a b a b +− ，则2k =，（也可求出向量坐标），故选D ．5．当直线AB 与α相交时，在α内不存在直线与直线AB 平行；易知存在过直线AB 的平面与α垂直；在α内存在直线与直线AB 异面；在α内存在直线与直线AB 垂直；故选B ．6．由于a b ⊥ ，且向量a b + 与a 的夹角为30 ，作图可知，a = ，故选C ．7．设球心为O ，则球O 的半径R =，由于O 在底面ABCD 上，底面ABCD 为正方形，易得正方形ABCD4=，面积为16；设底面1111A B C D 的外接圆半径为r ，则r =正方形1111A B C D 2=，面积为4；所以正四棱台1111ABCD A B C D −的体积为(11643V =×++=，故选C ．8．在ABC △中，135,15,100,ACB ABC AC AB ∠=∠=== ，由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，解得5050sin15BD ==米，故选B ．二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ACD 10．BC 11．BCD9．选项A 和D 中的两个向量不共线，均可构成平面的一组基底，故可以用来表示向量a，选项C 中的两个非零向量均与a 共线，所以也可以用来表示向量a ，选项B 中的两个非零向量选项共线，但与a不共线，不能用来表示向量a，故选ACD ．10．取12i,i z z ==−知，选项A 和D 错误，由复数的性质知，选项B 和C 正确，故选BC ．11．解法一：（1）当有1条边为a ，5条边为1时，不妨设四面体ABCD 满足1AB BC CA BD CD =====，设BC 中点为E ，则AE DE ==AED θ∠=，则2AD a θ==，所以(a ∈；所以当有1条边为1，5条边为a 时，a∈+∞，故A 错误，B 正确；（2）当有2条边为a ，4条边为1时，分两种情况：①长为a 的两条棱有一公共顶点，不妨设为BD CD a ==，设AD 与平面ABC 所成的角为,BC θ中点为E ，则a ；②长为a 的两条棱为相对棱，不妨设为BC AD a ==，设BC 中点为E ，则2sin 22a AE θθ==<0a <<，综上可知，(;a ∈所以当有2条边为1，4条边为a 时，a ∈+∞，故C ，D 正确；故选BCD ．解法二：（1）当有1条边为a ，5条边为1时，不妨设四面体ABCD 满足1AB BC CA BD CD =====，由正弦定理易得，ACD △1<（极限位置为共面的情形时，点B 在平面ACD 内的射影为ACD △的外心），所以(a ∈；所以当有1条边为1，5条边为a 时，a∈+∞，故A 错误，B 正确；（2）当有2条边为a ，4条边为1时，分两种情况：①长为a 的两条棱有一公共顶点，不妨设为BD CD a ==，由正弦定理易得，ACD △的外接圆半径为1<则a ∈；②长为a BC AD a ==，故其可放入一个长方体中，不妨设长方体边长分别为,,x y z ，不妨设22222221,x y z x y z a +=+=+=，则222221110,022x a y z a =−>==>，所以0a <<，综上可知，(;a ∈所以当有2条边为1，4条边为a 时，a ∈+∞，故C ，D 正确；故选BCD ．三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．12．2π 13 14．31;42π（仅答对一空给3分） 12．设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2l =，且22rl r ππ=，所以1r =，侧面积为2π． 13．不妨设直三棱柱111ABC A B C −的所有棱长均为2，取AB 中点P ，则1C PC ∠为二面角1C AB C −−的平面角，11tan C C C PC CP ∠=，即二面角1C AB C −−． 14．在ABC △中，由正弦定理得，sin sin sin a b c AB C==，又因为sin sin sin sin a A b B B c C −=+，所以222a b c −=+，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +−==，因为()0,A π∈，所以34A π=；因为在ABC △中，由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==1sin sin bB C=，所以2sin sin 2b B C a=，所以2a =，所以221a b =+=，所以2220b −+=，所以b =或b =（舍），因为ABC △的面积为11sin 22Sbc A =．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．证明：（1）设,AC BD 交于点O ．四边形ABCD 为菱形，所以O 是AC 的中点，因为E 是1DD 的中点，连接OE ，所以1//OE BD ，因为OE ⊂平面1,AEC BD ⊂/AEC ，所以1//BD 平面AEC（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，因为1DD ⊥底面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1BB ⊂平面1,BDD BD ⊂平面11,BDD BB BD B = ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面1BDD ．16．解：（1）因为221sin ,42Sab C a b =+=+，所以22sin 4a b C +=+，在ABC △中，由余弦定理，得2222cos a b c ab C +−=，因为2c =，所以2242cos a b ab C +=+，所以cos C C =，所以tan C =(0,π)C ∈，所以π6C =．（2）在ABC △中，由正弦定理，得4sin sin sin ab cAB C===4sin a B A −− 5ππ4sin 2sin 4sin 63A A A A A−−=+=+因为5π0,6A∈ ，所以ππ7π,336A +∈ ，所以π1sin ,132A +∈−，(]2,4a −∈−a −的取值范围为(]2,4−． 17．解：（1）如图，设AB 的中点为D ，连结,DV DC ，因为VAB △和ABC △均为等边三角形，所以,VD AB CD AB ⊥⊥，又因为,VD CD D VD =⊂平面,VCD CD ⊂平面VCD ，所以AB ⊥平面VCD ，又因为VC ⊂平面VCD ，所以AB VC ⊥．（2）因为//,//,VA AC VA AC A αα= ，且,VA AC ⊂平面VAC ，所以//α平面VAC ，又平面α 平面VBC l =，平面VAC 平面VBC VC =，所以//VC l ，所以直线l 与平面ABC 所成角等于直线VC 与平面ABC 所成的角．在平面VCD 内作VO CD ⊥，则由（1）知，AB ⊥平面VCD ，又VO ⊂平面VCD ，所以VO AB ⊥．又因为,AB CD D AB =⊂ 平面,ABC CD ⊂平面ABC ，所以VO ⊥平面ABC ，所以VCD ∠是直线VC 与平面ABC 所成的角．因为VAB △和ABC △均是边长为4的等边三角形，所以VD CD ==又因为VC =VCD △中，12cos VCVCD CD ∠==所以sin VCD ∠==，所以直线l 与平面ABC18．解：（1）如图，因为1,3AB AC AC −==，所以4AB =，因为D 为边AB 上一点，2AD =，所以D 为AB 中点，所以12AD AB =，所以12CD AB AC =− ，因为113BM BC ==，所以13BM BC = ，所以2133AM AB AC =+ ，在ABC △中，因为AC BC =，所以2cos 3AD BAC AC ∠==，所以2212111152333233AM CD AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=−⋅+=−⋅−=−．（2）（i ）如图，在BCD △中，由余弦定理得，2225cos 29BD BC CD DBC BD BC +−∠==⋅，所以5cos 9ABC ∠=，设AC x =，则1AB x =+，在ABC △中，由余弦定理得，()22222(1)95cos 22139BA BC AC x x ABC BA BC x +−++−∠===⋅+×，解得5x =，所以5AC =．（ii ）由（i ）知5AC =，所以6AB =，又因为0ABC ∠π<<，所以sin ABC ∠ABM △的面积1sin 2ABM S AB BM ABM ∠⋅⋅ BCD △的面积1sin 2BCD S BD BC ABM =⋅⋅∠= ，所以APD △和MPC △的面积之差APD MPC APD BDPM BDPM MPC ABM BCD S S S S S S S S −=+−−=−，即APD △和MPC △． 19．解：（1）如图，在ACQ △中，1sin 2AQ ACACQ AC ∠==．因为,AC AB AQ CQ ⊥⊥，所以30QAB ACQ ∠=∠= ，所以，在ABQ △中，18030QBA AQB QAB QAB ∠=−∠−∠==∠ ，所以在ABQ △中，122cos ABAQ BQ QAB===∠，所以4AC =，所以ABC △的面积为12S AB AC =⋅=，所以13i i P ABC V Sd →==241ii V V ===∑．（2）（i ）因为Q 是ABC △的重心，所以ABC △的面积为3QABSS AQ BQ =⋅ ，在ABQ △中，由余弦定理得，2222cos AB AQ BQ AQ BQ AQB =+−⋅∠，即2212AQ BQ AQ BQ ++⋅=，由基本不等式知，22123AQ BQ AQ BQ AQ BQ ++⋅=≥⋅，所以4AQ BQ ⋅≤，故S ≤，等号当且仅当2AQBQ ==时成立，又由Q 是ABC △的重心知，0AQ BQ CQ ++=，所以3i i i i i i AP BP CP AQ QP BQ QP CQ QP QP ++=+++++= ，所以()1,2,,243i i QP i ==，所以()111,2,,2433i i P ABCV S d S QP i →=⋅≤⋅≤= ，所以242411i i V V i ==≤=∑，等号当且仅当2AQ BQ ==，且i QP ⊥平面ABC 时成立，所以V的最大值为．（ii ）由（i）知，i V =，所以对任意1,2,,5,1,2,,24j i = ，均有,1j i a =，故2,1j i a =，记1,2,5,i i i i S a a a =+++ ，则()2152221,2,5,,,52j i i i i i j i j i S a a a a a ≤<≤=+++=+∑所以2224242,,11151202i j i j i i i i j S a a ==≤<≤=+∑∑∑，由于任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 均有224,,10j i j i i a a ==∑，所以21224,,1150j i j i i j i a a ≤<≤=∑∑，所以2421120i i S ==∑．假设2,,j i j i a a =对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．则对于1,2,,5i = ，均有()()2221,2,5,1,525i i i i i S a a a a =+++== ，所以24524522221161125i i ii i i i i S S S S ====+≥=∑∑∑∑，与2421120i i S ==∑矛盾，所以假设不成立，即2,,j i j i a a =不可能对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．。

重庆市第八中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)

重庆八中2020-2021学年度（下）半期考试高一年级数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(1)2i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（） A ．1322i - B ．1122i + C ．3322i - D ．3122i + 2．如图，已知水平放置的ABC 按斜二测画法得到的直观图为A B C '''，若31,2A B A C '''='=，则ABC 的面积为（）A ．3B ．2 C ．32 D ．343．已知m ，n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，则下列命题中正确的是（） A ．如果,,m n m n αβ⊥⊥⊥，那么αβ∥ B ．如果,,m n m n αβ⊥⊥∥，那么αβ∥ C ．如果,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，那么αβ∥ D ．如果,,m n αβαβ⊂⊂∥，那么m n ∥4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若45,75a B C ==︒=︒，则b =（）A B C D 5．在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 上靠近B 的三等分点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，,AB a AD b ==，则向量NM =（）A ．13a b -B ．13a b -C ．13b a -D ．13b a - 6．已知两个非零向量b 与a 的夹角为60︒，且2,243a a b =-=，则b =（） A ． B ．6 C ．4 D ．27．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面ABCD 所成的角分别为30︒和45︒，则异面直线1B C和1C D 所成角的余弦值为（）A ．14 B ．34C ． D8．设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是3，1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒，则此直三棱柱的高是（）A ．1B ．2C ．D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量(,2),(1,5)a m b =-=，若()a b a +⊥，则（） A ．2m =-或3m = B ．2m =或3m =-C ．32a b +=或13a b +=D ．10a b +=或5a b += 10．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z R ∈，则z R ∈ D ．若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”：四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马” B ．四棱锥11B A ACC -体积最大为23C ．四面体11AC CB 为“鳖臑”D ．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B ⊥ 12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C 为钝角，且2cos c b b A -=，则下列结论中正确的是（）A ．2()a b b c =+ B ．2A B = C ．10sin 2B <<D ．10cos 2A << 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设i 是虚数单位，若复数()21(1)()z m m i m R =-+-∈是纯虚数，则m =________．14．如图所示，为了测量山高MN ，分别选择山下平地的A 处和另一座山的山顶C 处为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角45NAM ∠=︒，C 点的仰角30BAC ∠=︒以及75MAC ∠=︒，从C 点测得60ACM ∠=︒，已知山高50BC =米，则山高MN =_________米．15．已知正ABC 的边长为D 是BC 边上的动点（含端点），则()()DF DA DB DC +⋅+的取值范围是________．16．如图，一圆锥形物体的母线长为3cm ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于_______cm ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．17．（10分）已知复数(1)(12)12()z ai i i a R =+-++∈．（Ⅰ）若z 在复平面中所对应的点在直线0x y -=上，求a 的值；（Ⅱ）求1z -的取值范围．18．（12分）在四边形ABCD 中，已知(6,1)AB =，(,)BC x y =，(2,3)CD =--，BC AD ∥．（Ⅰ）求x 、y 的关系式；（Ⅱ）若AC BD ⊥，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，E ，F 分别为11AC ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：1C F ∥平面ABE ．20．（12分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若cos (2)cos 0b C a c B ++=，（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若ABC ，求b ． 21．（12分）已知向量(sin ,cos ),(3cos ,cos ),()()a x x b x x f x a b x R ===⋅∈．（Ⅰ）求()f x 值域；（Ⅱ）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且3sin a B C ==，若()1f A =，求ABC 的周长．22．（12分）如图①所示，在四棱锥S ABCD -中，290BAD CDA CBD ABD ∠∠∠∠====︒，平面SBD ⊥平面ABCD ，且SBD 是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）求证：CB DS ⊥．（Ⅱ）过点S 作ST BD ∥，使得四边形STDB 为菱形，连接,,TA TD TC ，得到的图形如图②所示，已知平面BMN ∥平面ADT ，且直线DC 平面BMN M =，直线TC平面BMN N =，求三棱锥D MNB-的体积．重庆八中2020-2021学年度（下）半期考试高一年级数学参考答案一、单选题（40分）5．【解析】∵333BM BC AD b===，33NA AD b=-=-，则121333NM NA AB BM b a b a b =++=+-=-．故选B ．6．【解析】由题可知，2(2)48a b -=，∴224||4||||cos60||48a a b b -⋅︒+=，即214442482b b ⨯-⨯⨯⨯+=，解得8b =（负值舍去），故选A ．7．【解析】如图：∵1B B ⊥平面ABCD ，∴1BCB ∠是1B C 与底面所成角，∴130BCB ∠=︒，∵1CC ⊥底面ABCD ，∴1CDC ∠是1C D 与底面所成的角，∴145CDC ∠=︒，连接1A D ，11AC ，则11//A D B C ． ∴11A DC ∠或其补角为异面直线1B C 与1C D 所成的角．不妨设11BB =，则11CC =，112CB DA ==，BC =，∴1C D =112A C =．在等腰11AC D 中，111112cos 4C D A DC A D ∠==，所以异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为4，故选C ．8．【解析】设12AB AC AA m ===．因为120BAC ∠=︒，所以30ACB ∠=︒，于是22sin 30mr =︒（r 是ABC 外接圆的半径），2r m =．又球心到平面ABC 的距离等于侧棱长1AA 的一半，所以球的半径为=．所以球的表面积为N 34)3π=，解得1m =．于是直三棱柱的高是122AA m ==．故选B ．二、多选题（20分）11．【解析】在选项B 中，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC =时取等号，1111111243333B A ACC A AC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，故B 不正确；其余选项均证明可得，故选ACD ．12．【解析】对选项A ：由余弦定理得22222222b c a b c a c b b bc c+-+--==，化简得22()a b bc b b c =+=+，故A 正确；对选项B ：由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=，又sin sin()C A B =+， ∴sin()sin sin cos cos sin sin 2sin cos A B B A B A B B B A +-=+-=，化简得sin cos sin cos sin()sin A B B A A B B -=-=∵,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,22A B ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴A B B -=故2A B =，B 正确；对选项C ：∵30,2A B B π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭∴10,,sin 0,62B B π⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对选项D ：∵30,22A B A π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭∴10,,cos ,132A A π⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 不正确；故选ABC ．三、填空题（20分）16．【解析】由圆锥的侧面展开图得知：3,OA OB AB ===，故3AOB ∠=，设圆锥的底面半径为r ，利用2323r ππ⨯=，解得1r =．四、解答题（70分）17．解：（Ⅰ）∵12(2)1222z a a i i a ai =++-++=++， ∴z 在复平面中所对应的点的坐标为(22,)a a +，在直线0x y -=上， ∴220a a +-=，得2a =-．（Ⅱ）112z a ai -=++==a R ∈，且215415a a ++≥，所以1z -≥1z -的取值范围为5⎫+∞⎪⎣⎭． 10分18．解：（Ⅰ）∵(4,2)AD AB BC CD x y =++=+-， 2分,(,)BC AD BC x y =∥，∴(2)(4)0x y x y --+=，即20x y +=． 5分（Ⅱ）由题意，得(6,1)AC AB BC x y =+=++，(2,3)BD BC CD x y =+=--．∵AC BD ⊥，∴0AC BD ⋅=，即(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=由（Ⅰ）可知2x y =-，∴2230y y --=，∴3y =或1y =-． 8分 ①当3y =时，6x =-，此时(6,3)BC =-，(0,4)AC =，(8,0)BD =- ∴4AC =，8BD =，∴ 1162ABCD S AC BD ==四边形． 10分 ②当1y =-时，2x =，此时(2,1),(8,0),(0,4)BC AC BD =-==- ∴8AC =，4BD =，∴1162ABCD S AC BD ==四边形．综上可知：63x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩，16ABCD S =四边形． 12分19．证明：（Ⅰ）在直三棱柱111ABC A B C -中，∵1BB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴1BB AB ⊥．又∵90ABC ∠=︒，∴AB BC ⊥．又1BB BC B =，∴AB ⊥平面11BB C C ，又AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面11BB C C ． 6分（Ⅱ）取AB 的中点G ，连接EG 、GF ，如图所示． ∵G 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴FG AC ∥，且12FG AC =．又∵E 为11AC 的中点，∴1111122EC AC AC ==，且11//AC AC ． ∴1//GF EC ，且1GF EC =，∴四边形1EGFC 是平行四边形，∴1//C F EG ．又∵1C F ⊄平面ABE ，EG ⊂平面ABE ，∴1C F ∥平面ABE ． 12分20．解：（Ⅰ）由正弦定理可得：sin cos (2sin sin )cos 0B C A C B ++= ∴sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=-，∴sin()2sin cos B C A B +=-，又sin()sin()sin B C A A π+=-=，∴sin 2sin cos A A B =-，∵(0,)A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又(0,)B π∈，∴23B π=； 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理可知：2222cos a c b ac B +-=，∴222a c b ac +-=- 由基本不等式得22222ac a c b ac b -=+-≥-，∴23b ac ≤，当且仅当a c =时等号成立，∴21sin 2ABCSac B ==≤，又ABC的面积的最大值为6，∴b = 12分 21．解：（Ⅰ）∵2()(sin ,cos ),cos )cos cos f x x x x x x x x =⋅=+1112cos2sin 222262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵x R ∈，∴113sin 22622x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭，故()f x 值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5分（Ⅱ）∵sin 3sin B C =，∴3b c = ①由()1f A =可得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0A π<<，∴5266A ππ+=，解得3A π=，又∵a =2214b c bc =+- ② 10分联立①②解得b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ABC的周长为+ 12分22．（Ⅰ）证明：∵90CBD ∠=︒，∴CB BD ⊥． ∵面SBD面ABCD BD =，面SBD ⊥面ABCD ，CB ⊂面ABCD ，∴CB ⊥面SBD ．又∵ S D ⊂面SBD ，∴CB DS ⊥． 5分（Ⅱ）解：如图，取BD 的中点为O ，连接 , , , SO SM TB TM ．由面 //BMN 面ADT ，得//,//AD BM DT MN ．∵90CDA ∠=︒，∴90BMC ∠=︒，即BM CD ⊥．∵90BAD CDA ∠=∠=︒，∴//AB CD ．∵290CBD ABD ∠=∠=︒，45ABD CDB ∠=∠=︒，即CBD 为等腰直角三角形．∴DM MC == 8分在CDT 中，∵//MN DT ，∴M 是DC 的中点，∴N 是TC 的中点． ∴1122D MNB N DMB T DMB S DMB V V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥． 10分 ∵DS DB BS ==，∴SO DB ⊥．∵面SBD ⊥面ABCD ，∴SO ⊥面ABCD ，∴1111122366BDM D MNB S DMB V V SO S --==⨯⨯⨯==三棱锥三棱锥． 12分。

重庆市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案

重庆市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知复数，则的虚部是（）A．﹣i B．﹣1C．i D．12．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（）A．9B．9πC．36D．36π4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A．B．2C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（）A．B．C．D．8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的模等于13B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为﹣2﹣3iD．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（）A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2B．的最小值为2C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（）A．A1F∥平面BCC1B1B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4C．存在点F，使得A1F∥B1ED．线段A1F的长度的取值范围为[，]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

重庆2021-2021年高一下学期期末考试数学试卷及答案

秘密★启用前重庆高一下学期期末考试数学数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1. 已知等差数列{}n a 中，282a a += ，5118a a +=，则其公差是（） A ． 6 B ．3 C ．2 D ．12. 已知直线01)1(:1=+++y a ax l ，02:2=++ay x l ，则“2-=a ”是“21l l ⊥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)（单位：元），其中支出在[)30,50（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n 的值为（）A ．100B ．120C ．130D ．3904.(原创)口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球， A ．15 B. 25 C. 13 D. 165.如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填（） A. i ≥10 B. i ≥11 开始输出s i = 12 , s = 1s = s i是否频率/组距元0.0370.0230.011020304050C. i ≤11D. i ≥126.圆()221x a y -+=与直线y x =相切于第三象限，则a 的值是（）．A ．2B ．2-C ．2D ．27.已知点(,)P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（）A.[]2,1--B. []1,2-C. []2,1-D.[]1,28.设{}n a 是公比为q 的等比数列，令1n n b a =+，*n N ∈，若数列{}n b 的连续四项在集合}{53,23,19,37,82--中，则q 等于( )A ．43-B ．32-C ．32-或23- D ．34-或43- 9.已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2223x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线10x y -+=垂直.若直线l 与圆C 交于A B 、两点，则OAB ∆的面积为（）A ．1B 2C ．2D ．2210. (原创) 设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若A B φ＝，则实数m 的取值范围是（）A 221m ≤≤ B. 022m <<+ C. 221m m <->或 D. 1222m m <>+或第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.11. 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b = . 12.在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->的概率为． 13.若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则ba 121+的最小值为14. (原创)给出下列四个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23； ②一组有六个数的数据是1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中，2,1,3,b x y ===则1a =；其中正确的命题有（请填上所有正确命题的序号） 15. (原创) 数列{}n a 满足*1142(1),()32nn n n a a a n N a n ++==∈+－,则n a 的最小值是三、解答题：(本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).16.（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列. （1）求n a ；（2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .17. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且2,60c C ==︒． (1)求sin sin a bA B++的值；(2)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆．18. （本小题满分13分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10. （1）求m ，n 的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差2S 甲和2S 乙，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格” 的概率．（注：方差2222121[()()()n s x x x x x x n=-+-++-，x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数）19. （本小题满分12分） (原创)已知函数f (x ) =bx ax ++（a 、b 为常数）. （1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<；（2）若1a =,当x ∈[1-，2]时， 21()()f x x b ->+恒成立，求b 的取值范围.20. （本小题满分12分）(原创)已知圆M ：22224x y y +-= ，直线l ：x ＋y ＝11,l 上一点A 的横坐标为a , 过点A 作圆M 的两条切线1l , 2l , 切点分别为B ,C.（1）当a ＝0时，求直线1l , 2l 的方程；（2）当直线 1l , 2l 互相垂直时，求a 的值；（3）是否存在点A ，使得2AB AC •=-？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：2*1121()n n n a a a n N n--=+∈ （1）若数列{}n a 是以常数1a 为首项，公差也为1a 的等差数列，求1a 的值；y xA MBCO（2）若00a >，求证：21111n n a a n--<对任意*n N ∈都成立；（3）若012a =，求证：12n n a n n +<<+对任意*n N ∈都成立；数学答案1—10DAACB CBCAD 11.7 12. 0.3 13.3222+ 14. ②③ 15.8-； 16.（13分）【解】（1）设{}n a 的公比为q ，由14a ，22a ，3a 成等差数列，得13244a a a +=. 又11a =，则244q q +=，解得2q =. ∴12n n a -=（*N n ∈ ）.（2）12log 21n n b n -==-，∴11n n b b +-=，{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列，它的前n 项和(1)2n n n S -=.17. （13分）18. （13分）解：（1）m=3,n=8(2)2 5.2S 甲＝, 2S 乙＝2,所以两组技工水平基本相当，乙组更稳定些。

重庆巴蜀中学2020-2021学年度高一期末考试数学试题

重庆巴蜀中学2020——2021学年度高一期末检测数学试题时量：120分钟满分：150分姓名班级学号一、选择题：每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项. 1.命题“0,1x x e x ∃> =+”的否定形式为（）A. 0,1x x e x ∀ ≠+≤B. 0,1x x e x ∀> ≠+C. 0,1x x e x ∃ =+≤D. 0,1x x e x ∃> ≠+ 2.已知函数()f x 满足(1)2f x x −=，则()f x 的解析式为（） A. ()21f x x =− B. ()2(1)f x x =− C. ()21f x x =+ D. ()2(1)f x x =+ 3.已知圆心角为3 rad 的扇形的弧长为6，则该扇形的面积为（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4.已知幂函数2()(31)m f x m m x =−−在其定义域内不单调，则实数m 等于（）A. 23− B. 1 C. 23 D. 1−5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如：地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震级数M 之间的关系式为地亚发生6.5级地震所释放出来的能量大约是2020震的（）倍A. 65B. 100 6.已知sin 2cos 0x x −=，则tan 2x =（）44(π)f ，且()f x 在区间[0,]6上单调递减，则实数ω的最大值为（）A. 14− B. 74 C. 154 D. 274二、多选题：每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项. 9.已知α是第二象限角，则π2α+的终边在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 10.已知实数,a b 满足1a b >>，则下列关系式中恒成立的是（） A. 2ab b > B. 11a b a b+>+ C. 11()()22a b > D. log 1b a >11.已知ππ4α≤≤，3ππ2β≤≤，4sin 2,cos()510ααβ= +=，则（）A. cos 10α=B. sin cos 5αα−= C. 3π4βα−=D. cos cos αβ=12.已知函数236,0()362,0x x x f x x x x ⎧−+ >⎪=⎨+−− <⎪⎩，则下列说法正确的是（）A. 当2,2m n <− <−时，()()()8f m n f m f n +=++B. 12(0,),(,0)x x ∀∈+∞ ∈−∞都有12()()3f x f x −≤C. 函数(())()y f f x a a =+∈R 可能有6个不同的零点D. 满足不等式(())0x f x a −≥成立的整数x 恰有两个，则整数a 的取值有9个三、填空题：每小题5分，共20分.13.已知集合{}{}{}0,1,2,3,4,5,1,4,1,2,3U M N = = =，则()U MN =14.求值：sin 70sin50cos110sin 40+=15.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：12(4)(),,[0,2],f x f x x x +=− ∀ ∈ 当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x −<−，且(1)0f =，则不等式()0f x >在[2019,2023] 上的解集为16.已知22,,48a b a b + ∈ +=R ，则2a b +的最大值为；4122a b++的最小值为四、解答题：第17小题满分10分，18——22小题满分各12分，共70分. 17.已知点(1,2)P 为角α终边上一点. （1）求sin 2cos αα+的值；（2）求πsin(2π)cos(π)(cos )23πcos(π)sin(π)sin()2αααααα−+−−−+的值.18.已知函数2()21xx a f x −=+是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）解不等式1()12x f x −<−.19.已知函数1π()sin(2)()26f x x x =+∈R（1）填写下表，并在下面的坐标系中，用“五点法”作出()f x 在[0,π]上的简图；（2）将()f x 的图像先向上平移1个单位，再横坐标缩短为原来的12，再向右平移π4个单位，得到()g x 的图像，求()g x 图像的对称轴方程.20.已知函数13()log (1)f x x =+（1）求函数()(2)y f x f x =+−的定义域；（2）设213()log (312)()g x x x f x =−+−，若()g x 在(1,]m 上的最大值为1−，求m 的取值范围.21.已知函数2πππ()3sin()cos()2cos ()1(0)212212212xx x f x ωωωω=++−++ >图像上相邻两个最高点之间的距离为π.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）是否存在两个不同的实数12π,[0,]2x x ∈，使得点1122(,()),(,())x f x x f x 关于直线π8x =的对称点都在函数cos y x x a =+的图像上？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.22.已知函数()f x 满足：(2)2()()f x f x a a +=+ ∈R ，若(1)2f =，且当(2,4]x ∈时，2()2611f x x x =−+ （1）求a 的值；（2）当(0,2]x ∈时，求()f x 的解析式，并判断()f x 在(0,4]上的单调性(单调性不必证明)；（3）设24ππ()log (2),()2cos cos2,[,]2231x g x h x x m x x =+ =+ ∈−−，若[()][()]f h x g h x ≥，求实数m 的值.。

〖2021年整理〗重庆市巴蜀中学高一下学期期中考试数学试配套精选卷

巴蜀中学2021-2021学年高一下学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1 22cos 15sin 15︒-︒=（） A 12 B 12-D 2 等差数列{} n a 的首项为1，523a a =+，则3a =（）3 对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是（）A 若 a b >，则22ac bc >B 若22ac bc >，则 a b >C 若0a b <<，则11a b <D 若0a b <<，则b aa b <4 在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（）A 直角三角形B 等腰三角形C 等腰直角三角形D 等腰或直角三角形5 当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A (],2-∞B [)2,+∞C [)3,+∞D (],3-∞6 等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（）A 4:1B 6:1C 7:1D 9:17 在数列{} n a 中，13a =，且有133nn na a a +=+，则2020a =（） A 12020 B 32020 C 20203 D 2020128 若将函数()sin 2y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位，所得函数图像关于原点成中心对称，则sin 2ϕ= （） A 12- B 12C9 已知数列{} n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（）A 若11a =，34a =，则57a =B 若13 0a a +>，则240a a +>C 若21 a a >，则32 a a >D 若210a a >>，则1322a a a +> 10 设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a =（） A 12- B 1211 如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，有一艘观测船在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60︒方向，则A 、B 两岛屿的距离为（）海里A B C D12 ABC 中，若::3:2AC AB CM MB ==，60AMB ∠=︒，则sin CAB ∠=（）A 4B 5C 11D 14二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共202113 求111112233420192020++++=⨯⨯⨯⨯____________ 14 已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________15 已知,a b 为单位向量，且12a b ⋅=，若c a b λμ=+且22λμ+=，则c 的最小值为____________ 16 设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b +取得最小值三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余各题每题12分共70分）17 已知 2a =，4b =，a 与b 的夹角为60︒（1）计算()a a b ⋅+的值；（2）若()0a a kb ⋅-=，求实数的值18 已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭ （1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围 19 ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知cos 2cos 2cos A C c a B b--= （1）求sin sin C A的值；（2）若1cos 4B =，ABC 的周长为5，求b 的长 2021知数列{} n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，()1135432n n n n S a a S n --=-+≥（1）求数列{} n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{} n b 的前n 项和n T21 ,,A B C 是ABC 的三个内角，已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin ,sin sin n B A C =--，且//m n（1）求角C 的大小；（2）若向量()0,1s =-，2cos ,2cos 2B t A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试求s t +的取值范围 22 数列{} n a 中，1a x =，()1412n n a a n n -+=-≥（1）若2x =，求n a 及2n S （2）对任意正整数n ，()()221228n n a a +-+-≥恒成立，求实数的取值范围高2021届高一下半期数学考试答案选择题：1-5：CBBAD 6-10：CBCDA 11-12：AD填空题：13 20192020 14 50 15 1 16 20202019a =- 11【解析】10sin 30sin 45AD =︒︒AD ⇒=((222:2cos60ADB x =+-⨯︒50200100150=+-=，x ∴=12【解析】()()sin 602sin sin sin 603sin sin AM BM BM B AM CM CM C θθθθ⎫=⎪︒-⎪⇒==⎬︒+⎪=⎪⎭，1sin 2tan 3θθθ-⇒==⇒=22tan sin 21tan θθθ∴==+ 15【解析】12a b ⋅=60AOB =⇒∠︒，则22c a b a b μλμλ=+=+⋅，,,C A B '∴三点共线，min 1O l c d OA →∴===16【解析】由已知有：0a <，0b >，222202*********a a a b a b a b a a b++=++212020≥-+221140392202020202020=-+⨯=，当且仅当22020a b a b=时，等号成立即222202020192020a a b ⇒=-= 解答题：17【解析】（1）()2424cos608a a b a a b ⋅+=+⋅=+⨯⨯︒= （2）()0a a kb ⋅-=，即2424cos60440a ka b k k -⋅=-⨯⨯⨯︒=-=，1k ∴= 18【解析】（1）()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2sin cos x x x =1cos 22x -=1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， T π∴=（2）50,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()30,2f x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦19【解析】（1）cos 2cos 22sin sin cos sin A C c a C A B b B---== cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B ⇒-=-()()sin 2sin sin 2sin A B B C C A +=+=⇒⇒sin 2sin C A∴= （2）由（1）得2c a =，22222251cos 244a c b a b B ac a +--===2242b a b a ⇒⇒==，551ABC C a b c a a =++=⇒==，2b ∴=2021析】（1）()()()1111354323542n n n n n n n n S a a S n S S a a n ----⇒=-+≥-=-≥，()()11354222n n n n n a a a n a a n --=-≥=≥⇒，{}n a ∴是以1 2a =为首项，2q =为公比的等比数列，{}n a ∴的通项公式为： 2n n a =（2）2n n b n =⋅，1231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅ ①()23121222122n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ ② ②-①得：()111221222221n n n n n T n n +++-=-+⋅=-+⋅+-()1122n n +=-⋅+21【解析】（1）//m n ()()()() sin sin sin sin sin sin sin A C A C B A B ⇒+-=--，222sin sin sin sin sin C A B A B =+-⇒，222cos 231c a b ab C C π⇒⇒=+-=⇒= （2）2cos ,2cos 12B s t A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 2222cos 2cos 12B A s t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝∴⎭ 22cos cos A B =+222cos cos 3A A π⎛⎫ ⎪⎝=+⎭- 1cos 2214A A =+ 11sin 226A π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由27023666A A ππππ<<⇒-<-<， 1sin 2126A π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭，21524s t ∴≤+<52s t ⇒≤+< 22【解析】（1）()()()121241243453n n n n n n a a n n a a n a a n n ----+=-≥⎫⎪+=≥⎬+=-≥⇒⎪⎭①135,,,a a a 是等差数列，首项为12a =，公差为4； ∴n 为奇数时，12422n n a n -=+⨯= ②246 ,,,a a a 是等差数列，首项为2 7a x =-，公差为4；∴n 为偶数时，514212n na n ⎛⎫=+-⨯=+ ⎪⎝⎭ 综上，2,21,n n n a n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 ()()221124544322n n n n n S S S n n n n --=+=+⨯++⨯=+奇偶（2）同（1）方法得：2223n n x n a n x n +-⎧=⎨+-⎩，为奇数，为偶数 ①n 为奇数时，()()221228n n a a +-+-≥即为 ()()222522228n x n x +--++--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()222141742x x n n -+≥--⇒对任意正整数n 恒成立，n 为奇数时，()2max 424n n ⎡⎤--=-⎣⎦，2214174x x ∴-+≥-x ⇒≤x ≥ ②n 为偶数时，()()221228n n a a +-+-≥即为()()22222328n x n x +-++--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()2226342x x n n ⇒--≥--对任意正整数n 恒成立，n 为偶数时，()x 2ma 4224n n ⎡⎤--=-⎣⎦，222632426210x x x x x R ∴--≥-+≥⇒⇒-∈，综上：72x ≤或72x ≥。

2020-2021重庆巴蜀中学高一数学下期末模拟试卷(带答案)

由已知三边，利用余弦定理可得，结合，为锐角，可得，利用三角形内角和定理即可求的值．
【详解】
在中，，，，
由余弦定理可得：，
，故为锐角，可得，
，故选．
【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的解的个数，于此可得出正确选项.
解析：，
【解析】
【分析】
设点 ,得出向量 ,代入坐标运算即得的坐标，得到关于的方程，从而可得结果.
【详解】
设点 ,
因为点在直线,且 ,
,
或, ，
即或 ,
解得或 ;
即点的坐标是， .
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.
∴f（x）的周期为4；∴f（2018）=f（2+4×504）=f（2）=f（0）， , ∵x∈[0，1]时，f（x）=2x-cosx单调递增；∴f(0)＜＜ ∴ ,故选C.
【点睛】
本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
解析： .
【解析】
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．
故所求的最小值为．
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
18．【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析：由得平移直线由图象可知当过时目标函数的最大值为即则当且仅当即时取等号故的最小值为考点：1利用可行域求线性目标函数的最值；2利用基本不等式求最值【方法点晴】

2021-2022学年重庆奉节县巴蜀中学高一数学文联考试题含解析

2021-2022学年重庆奉节县巴蜀中学高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 的值等于（）A. B. C.D.参考答案：C2. 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）的一个对称中心为(，0)B．f（x）的图象关于直线x=﹣π对称C．f（x）在[﹣π，﹣]上是增函数D．f（x）的周期为参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：根据函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=3，==﹣，∴ω=2，再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，∴y=3sin（2x+）．显然，它的周期为=π，故排除D；当x=时，函数y=f（x）=3sin（2x+）=0，故函数的图象关于点对称，故A正确．当时，f（x）=，不是最值，故f（x）的图象不关于直线对称，故排除B；在上，2x+∈[﹣，﹣]，y=3sin（2x+）不是增函数，故排除C，故选：A．3. 在映射，，且，则A中的元素的象为A. B. C. D.参考答案：A4. 下列命题正确的是（）A．如果一条直线平行一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面B．如果一条直线平行一个平面，那么这条直线平行这个平面内的所有直线C．如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直这个平面D．如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直这个平面内的所有直线参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．[来源:学科网]【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，这条直线有可能包含于这个平面；在B中，这条直线和这个平面内的所有直线平行或异面；在C中，当这无数条直线没有交点时，那么这条直线不一定垂直这个平面；在D中，由直线与平面垂直的性质定理得这条直线垂直这个平面内的所有直线．【解答】解：在A中，如果一条直线平行一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面或包含于这个平面，故A错误；在B中，如果一条直线平行一个平面，那么这条直线和这个平面内的所有直线平行或异面，故B错误；在C中，如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，当这无数条直线没有交点时，那么这条直线不一定垂直这个平面，故C错误；在D中，如果一条直线垂直一个平面，那么由直线与平面垂直的性质定理得这条直线垂直这个平面内的所有直线，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5. 数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a n＋1＝3S n(n≥1)，则a6＝( )A．3×44 B．3×44＋1 C．45D．44＋1参考答案：A6. 已知f（x）的定义域为[-2，2]，则函数,则的定义域为（）A. B. C. D.参考答案：A略7. 已知集合A={x|0＜x≤2}，B={x|﹣1＜x＜}，则A∪B是( )A．（0，）B．（0，2）C．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）D．（﹣1，2]参考答案：D【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；分析法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：集合A={x|0＜x≤2}=（0，2]，B={x|﹣1＜x＜}=（﹣1，），则A∪B=（﹣1，2]，故选：D．【点评】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．8. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】分子分母同时除以，可将所求式子化为关于的式子，代入求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查求解正弦、余弦的齐次式的值的问题，关键是能够通过除法运算构造出关于正切值的式子，属于常考题型.9. 在△ABC中，∠A=30°, ,b=4,满足条件的△ABC ( )A. 无解B. 有解C.有两解D.不能确定参考答案：C略10. 设，，，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数幂函数的单调性即可得出．【解答】解：∵＜＜，∴b ＜c ＜a ．故选：A ．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f （x ）在R 上为奇函数，且x ＞0时，f （x ）=+1，则当x ＜0时，f （x）= ．参考答案：﹣﹣1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f （x ）为奇函数且x ＞0时，f （x）=+1，设x ＜0则有﹣x ＞0，可得f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣（+1）．【解答】解：∵f（x ）为奇函数，x ＞0时，f （x ）=+1，∴当x ＜0时，﹣x ＞0， f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣（+1）即x ＜0时，f （x ）=﹣（+1）=﹣﹣1．故答案为：﹣﹣112. 函数y=的定义域为．参考答案：{x|k π≤x＜k，k∈Z}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则tanx+≥0，即tanx≥﹣，则k π≤x≤k，k∈Z，故函数的定义域为{x|k π≤x＜k，k∈Z}，故答案为：{x|k π≤x＜k，k∈Z}【点评】本题主要考查函数定义域的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．13. 已知向量满足：，则与夹角的大小是_________.参考答案：略14. 随机调查某校50个学生在“六一”儿童节的午餐费，结果如下表：这50个学生“六一”节午餐费的平均值和方差分别是---- . 参考答案：，15. 已知函数，则函数的最小值为．参考答案：16. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当时，，则当时，函数f (x )的解析式是．参考答案：17. 已知数列{a n }满足，若{a n }为单调递增的等差数列，其前n 项和为S n ，则__________；若{a n }为单调递减的等比数列，其前n 项和为，则n =__________.参考答案：370 6【分析】（1）为单调递增的等差数列，则公差．由数列满足，，可得，，可得，为一元二次方程的两个实数根，且，解得再利用通项公式与求和公式即可得出．②设等比数列的公比为，根据已知可得，是一元二次方的两个实数根，又为单调递减的等比数列，可得，．再利用通项公式与求和公式即可得出．【详解】①为单调递增的等差数列，则公差．数列满足，，，，则，为一元二次方程的两个实数根，且，解得，，可得，，解得．．②设等比数列的公比为，数列满足，，，是一元二次方程的两个实数根，又为单调递减的等比数列，，．，解得．，解得．，解得．故答案为：(1). 370 (2). 6【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

巴蜀高一下期末数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. 3C. -5D. 12. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的图像是（）A. 顶点在x轴上的抛物线B. 顶点在y轴上的抛物线C. 顶点在x轴上的双曲线D. 顶点在y轴上的双曲线3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，S5 = 30，则公差d等于（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列各函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^45. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的实部等于（）A. 0B. 1C. -1D. 26. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则该圆的半径为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的大小为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°8. 下列各对数式中，成立的是（）A. log2(3) = log3(2)B. log2(4) = log4(2)C. log2(8) = log8(2)D. log2(16) = log16(2)9. 若向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则向量a与向量b的夹角θ满足（）A. θ = 0°B. θ = 45°C. θ = 90°D. θ = 180°10. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 3，f(2) = 5，则f(3)的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10 = _______。

2021年重庆奉节县巴蜀中学高一数学理模拟试题含解析

2021年重庆奉节县巴蜀中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1+a4， a2+a5， a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列 B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列 D．非等差数列参考答案：B2. 已知中，，则( )A． B．或 C． D．或参考答案：D3. 已知,函数f(x)=sin(x+)在（，π）单调递减。

则的取值范围是A.[,]B.[,]C.(O,]D.(0,2]参考答案：A略4. 调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0~60分钟内的学生的频率是] （）A. 680B. 320C. 0.68D. 0.3 2参考答案：C5. 如果一组数的平均数是,方差是,则另一组数的平均数和方差分别是 ( )A. B. C. D.参考答案：C略6. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则y=f（x）在R上的解析式为（）A．f（x）=﹣x（x+2）B．f（x）=|x|（x﹣2）C．f（x）=x（|x|﹣2）D．f（x）=|x|（|x|﹣2）参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】直接根据奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x），求出x＜0时对应的解析式，即可求出函数y=f （x）的解析式【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．当x＜0时，﹣x＞0时，∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x=﹣f（x）即x＜0时f（x）=﹣x2﹣2x．∴f（x）==x（|x|﹣2）．故选C．C略8. 设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质；函数单调性的性质．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．9. 若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（）A、1，-1B、2，-2C、1D、-1参考答案：D略10. 甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列数学正确的是（）A．，乙比甲成绩稳定B．，甲比乙成绩稳定C.，乙比甲成绩稳定D．，甲比乙成绩稳定参考答案：C甲的平均成绩，甲的成绩的方差；乙的平均成绩，乙的成绩的方差.∴，乙比甲成绩稳定.故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 关于函数f(x)＝4sin(2x＋), (x∈R)有下列命题：①y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y＝f(x)可改写为y＝4cos(2x－)；③y＝f(x)的图象关于(－，0)对称；④ y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称；其中正确的序号为。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。