因式分解(第一课时)
初二【数学(人教版)】因式分解——公式法(第一课时)
拓展提升
如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影， 最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方 形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个 图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100+99)(100-99)＋(98+97)(98-97)＋…＋(2+1)(2-1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)． 答：阴影部分的面积和为5050cm2
初中数学
课后作业
1.下列各式能否用平方差公式分解因式？为什么？
(1) x2 y2
(2) x2 y2
(3) x2 y2
(4) x2 y2
4 y
(2) 9a2 4b2 (4) a4 16
3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.
初中数学
例 分解因式：
(1) x4 y4
(2) a3b ab
初中数学
例 分解因式：
(1) x4 y4
此时，因式分 解彻底了吗？
解：原式 (x2 )2 ( y2 )2 (x2 y2 )( x2 y2 ) 还可以继续分解！
(x2 y2 )( x y)( x y)
初中数学
例 分解因式：
初中数学
练习 分解因式：
(3) (a b)3 4(a b)
(4)am1 am1
解：原式 (a b)[(a b)2 4]
解：原式 am1(a2 1)
可以继续分解 (a b)(a b 2)(a b 2)
am1(a 1)(a 1)
八年级《公式法因式分解(第一课时)》评课稿
八年级《公式法因式分解（第一课时）》评课稿《公式法因式分解（第一课时）》是北师大版八年级下册第四章第三节的内容。
听完郑老师的课，主要有以下亮点：亮点一、老师用她特有的温柔如水的声音，亲切的微笑，与学生课前交流“我的青春我做主，我们的课堂我们做主”，“老师喜欢在课堂上微笑的学生”，给学生提出课堂要求，给人一种如沐春风的感觉。
亮点二、整节课设计合理，讲解点拨细致，并善于给学生总结记忆规律，教给学生记忆的方法，且能及时评价鼓励学生，“数学课堂上，你的胆子有多大，你的收获就有多少”，给学生学习的信心。
亮点三、习题设置开放，提高学生的学习兴趣，拓展他们的思维，使学生从学习者——命题者——阅卷人，角色的变化，使所有学生都“动”了起来，课堂气氛活跃。
亮点四、老师整节课站位合适，能够走到学生之间，拉进老师与学生的距离。
亮点五、教会学生学习数学的四个法宝：学会观察——学会表达——学会用符号表示——学会思考，渗透数学思想，培养学生素养。
建议：
1. 学习目标设置应简介直观，有异议的不能出现。
2. 语言需在精炼，评价学生语言单调。
3. 开放习题的设置风险过大，不适合赛讲。
4. 数学思想需渗透，数学方法要学生体会，而不是老师总结强加给学生。
人教版八年级数学上册《因式分解-公式法》第1课时课件
+ − +
= +++ +−−
= 2 + + −
练习
下列因式分解错误的是(
)
4
2
2
2
A −0.01 + = 0.1 +
9
3
3
2
B + = +1
C
D
2
2
− 0.1
3
2 2
− = + −
2
−16 + 1 = 4 + 1 4 − 1
复习引入
问题
什么叫做因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的
形式，这样的变形叫做因式分解.
问题
我们已学习过什么因式分解的方法？
提公因式法.
复习引入
问题
整式乘法中的平方差公式是什么？
2
2
平方差公式： + − = − .
+ −
2
−
2
整式乘法
因式分解
2
−
2
+ −
分析
2
2 2
2
C： − = −
2
= + −
2
− 0.1
3
练习
下列因式分解错误的是( D )
4
2
2
2
A −0.01 + = 0.1 +
9
3
3
2
B + = +1
C
D
2
2
− 0.1
3
2 2
− = + −
因式分解第一课时教案-2023-2024学年高一上学期衔接课
因式分解1班级：_________ 姓名：___________小组：__________ 情景引入：有一边长为a 的方形木料，在其中一个角处切割一个边长为b 的方形木料（b a >），则剩余木料的面积为？22b a -，还有哪些角度？)(2)(2b a b b a -+-；配凑试试：=-+-=-2222b ab ab a b a ；思考：？=-33b a 因此，我们把多项式化为几个最简整式的乘积形式，这种变形称为因式分解课本探究：【课程标准】1.掌握运用提公因式法，公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力；2.经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法；3.使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作的精神，并体会整体数学思想和转化数学思想.【学习目标】1.通过教师导入，熟记平方、立方、两数和立方公式，灵活应用；2.通过研读课本，明确整式乘法与因式分解的互逆关系，体会数学整体之间的连系；3.结合分组分解的方法，合理分组，应用公式法、确定提公因式；4.灵活选择公式法、分组法提公因式，对多项式进行因式分解.【重点难点】重点：公式的熟记及灵活应用，因式分解与整式乘法概念的理解； 难点：拆凑项、整体意识的应用．【感知基础】1.默写出相关公式，并区分立方公式与两数和差立方公式：=+33b a ＿＿＿＿＿ =-33b a ＿＿＿＿＿＿ =++2)(c b a 因式分解：2122-+xx = 2.分组分解使用的条件：多项式各项既无公因式，也不可用公式，一般四项积以上；分组原则：（1）含公因式的两项或三项可一组；（2）两项或三项可用公式；（3）分组方法不唯一.据此分析：=--+124823x x x请从不同角度进行因式分解，易错点在哪？3. 完成P7 T4（4）、（7）；P10习题T2（2）、（3）【能力提升】整体意识：对下式进行因式分解：①2222)(4)(12)(9y x y x y x ++-+-；②12366+--x y x【牛试小刀】1.下列变形是因式分解的为：①1))((122--+=--y x y x y x ； ②)11(22xx x x +=+； ③xy x y x 83242⋅=；④)1)(1(1336-+=-x x x ；⑤)32(2642z y x z y x ++=++；⑥144)12(22++=+x x x ；2. 公式法的应用： 已知31=+a a ，求：①？=+221a a ；②？=+331aa ；③?1=+a a 【知识归纳】一、因式分解的方法：①提取公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法； 公式法：（1）mn ab n m b a 101225492222++--+；（公式的逆用）22)5()23(n m b a --+=（2）课本10页T3（3）：2322)2(y x x y +-（公式的逆用）)1234()1(]1)2[(23422322+++--=+-=x x x x x y x x y 分组分解：（1）123+-x x （2）3)1(2122++-+xx x x 法一：13+--=x x x 3)1(22)1(2++--+=x x xx 法二：2213+--=x x （整体意识）（3）P7 T4(2)：=--+124823x x x法一：=-+-)24()18(23x x x ；法二：=+-+)12()48(23x x x ；法三：=-+-)14()28(23x x x2.注意事项：（1）对象是多项式；（2）整式×整式的形式；（3）分解成最简形式；（4）相同整式写成幂结构.（评板）3.整体思想：2222)(4)(12)(9y x y x y x ++-+-，换元，令y x b y x a -=+=,【综合应用】ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判断ABC ∆的形状．。
华师大版八年级数学上册因式分解(第一课时)课件
①25 x2 ＝ (__5_x__)2 ②36a4 ＝ (__6_a_2_)2
③0.49 b2 ＝ (_0_._7_b_)2 ④64x2y2＝ (_8_x_y__)2
⑤
1 4
b2
＝
(
)2
⑥
9 16
c2＝（ ）2
一、问题情景导入 分解因式
x4-x2
你会做吗？
二、探究新知 1、（a+b)(a-b)=__a_2_-b_2____.
＝(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n)
＝(4m+2n) (2m+4n) ＝4 (2m+n) (m+2n)
分解因式，必须
1、分解因式：
进行到每一个多 项式都不能再分
①x4-y4 ②a3b-ab
解为止。
例3.简便计算：
解： ①x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y)
随堂练习 1、判断正误
(1)x²+y²=(x+y)(x+y) ( ) (2)x²-y²=(x+y)(x-y) ( ) (3)-x²+y²=(-x+y)(-x-y)( ) (4)-x² -y² =-(x+y)(x-y) ( )
2、把下列各式分解因式：
(1)a2b2－m2 (2)(m－a)2－(n＋b)2 (3)x2－(a＋b－c)2
这个公式叫_平__方__差__公__式___。 从左边到右边的这个过程叫_整__式__乘__法____。
2、反过来，a2-b2=（__a_+_b_)_(_a_-b_)_. 从左边到右边的这个过程叫_分__解__因__式____。
(完整版)因式分解——公式法教案
因式分解——公式法（1）一．教课内容人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时二．教材剖析分解因式与数系中分解质因数近似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后边的学习过程中应用宽泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。
所以分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时，在因式分解中表现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
所以，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
依据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完好平方公式）。
所以公式法是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习要点。
三．教课目的知识与技术：理解和掌握平方差公式的构造特色，会运用平方差公式分解因式过程与方法： 1. 培育学生自主研究、合作沟通的能力2.培育学生察看、剖析和创新能力，深入学生逆向思想能力和数学应企图识，浸透整体思想感情、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的愉悦，进而加强学好数学的梦想和信心四．教课重难点要点：会运用平方差公式分解因式难点：正确理解和掌握公式的构造特色，并擅长运用平方差公式分解因式易错点：分解因式不完全五．教课方案（一）温故知新1.什么是因式分解？以下变形过程中，哪个是因式分解？为何？22（1）（ 2x - 1） = 4 x- 4x + 1;(2)3x2 + 9xy - 3x = 3x( x+ 3y + 1);(3)x2 - 4+ 2x = ( x + 2)( x - 2) + 2x.2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将以下多项式分解因式。
（1） a3b3 - 2a2 b - ab ;( 2) - 9 x2 y + 3xy2 - 6 xy.【设计企图】经过复习因式分解的定义和方法，为持续学习公式法作好铺垫。
3.依据乘法公式进行计算：（1）（ x + 1）(x -1)；（2）（ x + 2 y）(x - 2 y).4.依据上题结果分解因式：（1） x2 - 1；（2） x 2 - 4 y 2 .由以上 3、 4 两题，你发现了什么？【设计企图】经过整式乘法中的平方差公式引出公式法因式分解进而引出课题。
《12.5因式分解》作业设计方案-初中数学华东师大版12八年级上册
《因式分解》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业设计的目标是让学生通过《因式分解》的学习和练习，能够理解因式分解的概念和基本方法，掌握因式分解的常用技巧，并能够运用所学知识解决简单的实际问题。
同时，通过作业的完成，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要围绕因式分解的基础知识和基本方法展开。
1. 基础练习：要求学生掌握因式分解的基本概念，包括因式分解的定义、因式分解的必要性等。
通过填空题、选择题等形式进行练习。
2. 技巧训练：通过例题讲解，让学生掌握因式分解的常用技巧，如十字相乘法、分组分解法等。
要求学生完成一定数量的练习题，巩固所学知识。
3. 实际应用：设计一些实际问题，让学生运用所学知识进行因式分解，并解决实际问题。
例如，通过因式分解求多项式的值等。
三、作业要求1. 按时完成：学生需在规定时间内独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 准确无误：学生在完成作业时，应保证答案的准确性和完整性，不得出现明显的计算错误或逻辑错误。
3. 规范书写：学生在答题时，应按照规定的格式和要求进行书写，字迹要清晰、整齐，符号要规范。
4. 思考反思：学生在完成作业后，应对自己的答案进行思考和反思，找出自己的不足之处，以便在后续学习中加以改进。
四、作业评价教师将对学生的作业进行认真批改和评价。
评价标准主要包括以下几个方面：1. 正确性：评价学生答案的正确性，看是否符合题目要求和数学原理。
2. 完整性：评价学生答案的完整性，看是否包含了所有必要的步骤和计算过程。
3. 规范性：评价学生书写的规范性，看是否符合规定的格式和要求。
4. 进步性：评价学生在本次作业中的进步情况，看是否有明显的提高和改进。
五、作业反馈教师将根据学生的作业情况，进行有针对性的作业反馈。
具体包括以下几个方面：1. 对学生的正确答案进行肯定和表扬，鼓励学生继续努力。
2. 对学生的错误答案进行纠正和指导，帮助学生找出错误原因并加以改正。
初二【数学(人教版)】因式分解——公式法(第一课时) 教学设计
2分钟1.5分钟0.5分钟归纳总结拓展提升例：利用因式分解计算22224914.35114.3)2(202120202020)1(⨯-⨯-+分析：(1)中2220212020-可利用平方差公式分解成)20212020()20212020(-⨯+，进而再进行化简运算；（1）中可以先提取共同的因数3.14，再利用平方差公式分解计算.解：2021202120202020)1()20212020(2020)20212020()20212020(2020202120202020)1(22-=--=-⨯++=-⨯++=-+28.6210014.3)4951()4951(14.3)4951(14.34914.35114.3)2(2222=⨯⨯=-⨯+⨯=-⨯=⨯-⨯例：如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各减去一个边长为b的正方形，其中a=1.86，b=0.34，求剩余部分面积.分析：求正方形减去四角后的面积，即用大正方形的面积，减去四个小正方面即可。
先可以列出式子为a2-4b2，若直接带入数值，发现运算量较大，所以可以先将a2-4b2因式分解后，再代入数值运算，可大大简化运算过程。
解：S剩= a2-4b2=(a+2b)(a-2b)把a=1.86，b=0.34带入S剩=(1.86+2×0.34)×(1.86-2×0.34)=2.72×1 =2.72四．归纳总结问题：今天我们主要学了哪些知识？利用平方差公式分解因式：))((22bababa-+=-问题：怎样判断能否利用平方差公式因式分解？利用平方差公式分解需要满足所给多项式能够写成两项平方差的形课后作业式，或者在变形后能够写成两项平方差的形式.平方差公式中的字母a,b可以表示数、单项式或多项式.问题：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意哪些问题？(1)若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；(2)因式分解要彻底，直到不能继续再分解为止.五．拓展提升如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.六．课后作业1.下列所向是能否用平方差公式分解因式？为什么？22222222)4()3()2()1(yxyxyxyx--+--+2.分解因式16)4(4)3(49)2(251)1(422222+----ayyxbaba3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.。
因式分解(第一课时)学案
高一年级学案 高一年级学案
因式分解(第一课时)学案
出题人：李爱书
一． 学习目标：掌握分组分解法分解因式
会用十字相乘法分解二次项系数为１的二次三项式 二．知识导学：
１．分解因式常用的方法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ２．=+±222b ab a ＿＿＿＿＿；=-22b a ＿＿＿＿＿． ３．把下列各式分解因式
①=-x x 2＿＿＿＿＿；②=-2294y x ＿＿＿＿＿； ③=+
-4
1
2x x ＿＿＿＿＿；④=--+y y x x 2222＿＿＿＿＿； ⑤=+-232x x ＿＿＿＿＿．
４．十字相乘法分解二次项系数为１的二次三项式，如果常数项是正数，那么就把它分解成两个＿＿因数，它们的符号和＿＿＿系数的符号＿＿；如果常数项系数是负数，那么把它分解成两个＿＿因数，其中绝对值＿＿的因数和＿＿＿系数的符号＿＿． 三．典型例题与练习
例１．把下列各式分解因式
①bx b ax a +--33； ②x xz z x 43342--+；
③mn n m 2122+--； ④22269n n m m -+-．
例２．把下列各式分解因式
①862++x x ； ②1272+-x x ；
③1872-+t t ； ④1522--x x ；
⑤22128y xy x +-．。
因式分解(第1课时)
把
8a b +12ab c
33 23Fra bibliotek分解因式．
解：
8a b +12ab c
2 2 2
3 2
= 4ab 2a + 4ab 3bc
= 4ab （2a +3bc）.
2
2
例2 解：
把
2（ a b+c）（ -3 b+c）
分解因式．
2（ a b+c）（ -3 b+c）
=（b+c） （2a-3）.
练习2 把下列各式分解因式： ax+ay； （ 1） （ 2） 3mx-6my；
八年级
上册
14.3 因式分解 （第1课时）
我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式 的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在整式的变 形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的 形式． 请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（ x x+1 ） ； x +x= _______________ 2 （x+1） （x-1） x -1= ________________.
2
将一个多项式化成几个整式的积的形式，这 种式子变形叫做这个多项式的因 式分解，也叫 做把这个多项式分解因式．
因式分解与整式乘法是互逆变形关系．
练习1 下列变形中，属于因式分解的是：
a b+c） =ab+ac； （1）（
2 （2）x3 + 2 x 2 -3=x（ x+ 2） -3；
（3）a 2 -b 2 =（a+b） （a-b） .
你能试着将多项式 pa+pb+pc 因式分解吗？ （1）这个多项式有什么特点？ （2）因式分解的依据是什么？ （3）分解后的各因式与原多项式有何关系？
因式分解ppt(共22张PPT)
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
初中数学七年级《因式分解》第一课时公开课教学设计及导学案
公开课教学设计及导学案【教学设计】8.4因式分解（第一课时）因式分解的定义和提公因式法分解因式一、教学背景（一）教材分析本节课是沪科版数学七年级上册第八章第四节第一个内容，它是整式乘除后的又一重要内容，是整式乘法的延续，与前面的知识联系相当紧密，也为以后所学内容铺垫，为今后学习分式的化简，解一元二次方程等内容提供基础，因此学好因式分解对今后的数学学习具有重要的意义。
本节课主要讲解因式分解的定义和提公因式法分解因式，理解因式分解与整式乘法互为逆运算，知道怎样正确找出公因式是本课的主要内容。
(二) 学情分析学生在小学时已经接触过因数分解，但对于因式分解还比较陌生，在引入因式分解时可类比因数分解，可能比较好理解一点。
小学时学生就已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且前面刚学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的提公因式法还是可以理解的，但对于公因式的确定，掌握起来比较困难，需要通过大量的练习加以巩固。
二、教学目标1. 使学生了解因式分解的定义，因式分解与整式乘法的关系，公因式的定义。
2.会找公因式，利用提公因式法分解因式。
3. 由整式乘法到因式分解，发展学生的逆向思维能力，培养学生的分析问题的能力与综合应用能力。
三、教学重、难点教学重点：因式分解的概念及提公因式法分解因式。
教学难点：正确找出多项式中各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
四、教学方法分析及学习方法指导（一）教学方法分析本节课利用整式乘法的逆运算来推导因式分解，采用类比的思想。
（二）学习方法指导在学习的过程中一定要理解整式乘法与因式分解的关系，怎样确定公因式也是本节课的难点，尽量让学生自己去发现、理解、运用。
五、教学过程（一） 情景导入计算下列各式的值（1）m(a+b+c) （动笔练习，请学生回答）2)2)(2(b a +)3)(3)(3(y x y x -+解答：（1）m （a+b+c ）=ma+mb+mc(2)22244)2(b ab a b a ++=+(3)229)3)(3(y x y x y x -=-+观察上式左右两边有什么特点？左边：几个整式相乘；右边：一个多项式。
初中数学七年级《因式分解》第一课时公开课教学课件
(4)3(x y) 2a(x y) 公因式是（x+y）
2.填空
(1) 2R 2r 2π (R r)
(2) 2R 2r 2 (R r)
(3)
1 2
gt12
1 2
gt22
1 2
g
(t12 t22 )
(4) 3x3 6x2 3x2 (x 2)
(5) 7a2 21a 7a ( a 3 )
有没有什么变化？ ( 项数相等，常利用这一点检验提公因式时是否出现“漏项”的错 误) (3) 以上4个式子从左向右的变形过程是提公因式分解因式 , 那从右向左的 变形过程是 单项式乘多项式 ，所以它们之间的关系是 互逆的 ； 因式的结果是否正确，我们可以采用什么方法呢？
( 利用单项式乘多项式的法则乘回去，进行验证 )
（4）x2 3x 1 x( x 3) 1不是
（5） x2 1 x( x 1 ) 不是 x
（6）18a3bc 3a2b6ac 不是
（7）x 4 ( x 2)( x 2) 不是
下列各题的因式分解有什么特点？
(1)3a2 a a(3a 1) (2)3a 6c 3(a 2c) (3)2(a b) x(a b) (a b)(2 x) 都提取各式中相同的因式
8.4 因式分解
第一课时
提公因式法分解因式
计算下列各式
（1）m(a+b+c) = ma+mb+mc
(2)(2a b)2 4a2 4ab b2
(3)(x 3y)(x 3y) x2 9 y2
上面各式特点： 左边：几个整式相乘 右边：一个上面各式反过来是否成立？
注意：1、符合因式分解的条件是，整式中的多 项式。 2、左边是一个多项式，右边化成几个整 式的积的形式
数学人教版八年级上册14.3.2 因式分解 公式法(第一课时)
14.3.2 因式分解公式法（第一课时）一、内容和内容解析1.内容因式分解平方差公式2.内容解析本节课是在学习了提公因式法后,公式法因式分解的第一课时，它是整式乘法中平方差公式的逆向应用，在教材中处于重要的地位。
平方差公式因式分解要充分理解公式的含义,掌握公式的形式与特点. 公式左边的多项式形式上是二项式,且两项符号相反;公式左边的每一项都可以化成某一个数或式的平方形式。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式分解因式。
二、目标和目标解析1、目标（1）进一步理解因式分解的概念，体会因式分解在简化计算上的应用。
（2）会用平方差公式进行因式分解，并从中体验“整体”的思路，树立“换元”的意识。
2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出因式分解中平方差公式的特点。
知道这里的平方差公式与整式乘法中的平方差公式是互逆变形的关系。
达成目标（2）的标志是：学生在数学活动过程中，体会平方差公式的结构、特征及公式中字母的广泛含义，理解平方差公式的意义，掌握运用平方差公式解决问题的方法.并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深对公式的理解。
三、教学问题诊断分析虽然有了第一节提公因式法做基础，但学生有时还会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。
学生在运用平方差公式分解因式的过程中经常遇到的困难是找不准哪个数或式相当于公式中的a ， b 。
因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课的教学难点是：灵活运用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求。
四、教学过程设计1.复习引入问题1 你能叙述多项式因式分解的定义吗？提公因式法的定义是什么？因式分解:（1）3mx-6nx 2;（2）4a 2b+10ab-2ab 3;（3）252 y 师生活动：学生独立思考并解答,找同学的答案投影展示。
因式分解教案(第一课时)
陈佳慧学员数学科目第 1 次个性化教案授课时间2014/6/11 教师姓名陈瑞旺备课时间2014/6/10 学员年级初三课题名称中考复习课时总数共10 课时教育顾问柯老师学管秦老师教学目标复习所学的知识教学重点对考点进行复习教学难点对知识点联系应用教学过程教师活动分解因式一、教学目标（一）知识与技能目标：1.了解分解因式的意义2.理解分解因式与整式乘法的关系（二）过程与方法目标：1.通过观察发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察很概括能力。
2.在探索提取公因式分解因式过程学会逆向思维及渗透化归的思想方法。
（三）情感、态度和价值观目标：1.培养学生积极主动参与的意识，使学生养成良好的学习习惯。
二、教学重、难点（一）教学重点：用提公因式法分解因式（二）教学难点：如何确定公因式及提出公因式后的另外一个因式。
三、教学过程1.创设问题情境，引入新课口答：xxxx+=+2)1((x+1)(x-1)=12-x2x(3x+7)= xx1462+问题 630可以被哪些整数整除?我们把630进行分解因数75326302⨯⨯⨯=类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式以便更好的解决一些问题。
试试看（将下列几个多项式写成几个整式的乘积）=+xx2 x(x+1)=-12x (x+1)(x-1)上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式分解因式。
分解因式12-x （x+1)（x-1)整式乘法分解因式与整式乘法是逆变形依照定义判断下列变形是不是分解因式（多项式化成了几个整式的积）①4)2)(2(2-=-+x x x②3334326xy y x y x ∙=③)23)(23(492242x x x x x x -+=-④y x y x y x 222235+=下面两个式子中哪个是分解因式mc mb ma c b a m ++=++)()(c b a m mc mb ma ++=++在式子mc mb ma ++中，m 是这个多项式中每一项都含有的因式，叫做公因式。
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问题3：你能将a2-b2分解 因式吗？
多项式的乘法公式的逆向应用，就 是多项式的因式分解公式，如果被 分称为运用公式 法．今天我们就来学习利用平方差 公式分解因式
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例4 分解因式: (1)x4-y4; (2) a3b – ab.
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分解因式:
(1) a2b— b
(2) a2(x-y)-x+y
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观察平方差公式：
a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指 数、符号有什么特点？
（1）左边是二项式，每项都是 平方的形式，两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一 个因式是两数的和，另一个因式是 这两数的差．
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问题2：运用提公因式法分 解因式的步骤是什么？
分解因式（1）8m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2
(3)2a(y-z)-3b(z-y)
(4)a2-b2
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(3) –a4+16
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北师版八年级下册因式分解第一课时
因式分解目标1了解因式分解意义，理解因式分解的概念，以及它与整式乘法的关系。
2经历从因数分解到因式分解的类比过程，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力3让学生体会类比、数形结合的数学思想。
重点理解因式分解的意义，准确辨析整式乘法与因式分解这两个变形 难点对因式分解与整式乘法关系的理解。
教学过程一丶计算下列各式（1）66×42- 42×6（2）811.15819.16⨯+⨯ （3）-30×67.3 + 67.3×2.6 + 67.3×17.4（4）22b a -（5）222b ab a +±想一想①99993-能被100整除吗？②把a a -3化成几个整式乘积的形式。
做一做Mac1 1 11x X因式分解分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
因式分解也称为分解因式。
做一做（1）3x(x-1)=（2）(m+4)(m-4)= 整式乘法（3）(y-3)2=（4）m(a+b-c) =根据上面的算式进行因式分解可逆3x2-3x=m2-16=y2-6y+9= 因式分解ma+mb-mc=通过上面的观察，我们可以得出整式乘法与因式分解的关系整式乘法整式积的形式多项式整式乘法因式分解可逆做一做下列哪些是因式分解？哪些是整式乘法？①x2-4y2=(x+2y)(x-2y) ②(a+2)(a-2)=a2-4 ③ax2-4=a(x+2)(x-2) ④x(x+y+1)=x2+xy+x⑤a2-2ab+b2=(a-b)2 ⑥m(x-y)=mx-my ⑦x2-9=(x+3)(x-3)⑧m2-7m+12=(m-4)(m-3) ⑨a(a-b)=a2-ab小结1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解2 因式分解与整式乘法关系作业习题4.1。
初三上册数学 第一章_因式分解备课 第一课时因式分解
因式分解教案主备人审核人使用人时间月日教学目标：1．了解因式分解的意义。
2．初步了解因式分解在解决其他数学总是中的桥梁作用，如解方程、简化计算等方面都常用因式分解。
3．理解因式分解是多项式乘法的逆变形。
教学重点：因式分解的概念。
教学难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法．教学过程一、复习回顾:问题一整式乘法有几种形式?问题二乘法公式有哪些?(1)单项式乘以单项式(1)平方差公式:：(2)单项式乘以多项式：a(m+n)= (2)完全平方公式：(3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)=问题三计算：（2）（m+4）（m－4）=__________；（1）23=（3）（y－3）2=__________；（4）3x（x－1）=__________；（5）m（a+b+c）=__________；（6）a（a+1）（a－1）=__________。
二导入新课：什么是因式分解呢？它和整式乘法有什么关系？本节课我们一起学习。
三探究新知：自学课本完成以下探究：探究1、你能尝试把它们化成几个整式的乘积的形式吗？22a b -=___________；222a ab b -+=_______22060x x += 探究2、一般地，把一个 化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解。
探究3、思考：由a(a+1)(a-1)得到a 3-a 的变形是什么运算?由a 3-a 得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同?因式分解与整式的乘法有什么区别和联系？交流检测自学情况 ，教师适时点拨。
六总结收获：本节课你有那些收获？还有困惑吗？1、因式分解与整式乘法互为逆过程，2、 因式分解等号的左边是一个多项式，右边是整式的积的形式。
七堂淸检测1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1) 2x -3x+1=x(x-3)+1 ；(2) (m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；(3) 2m(m-n)=22m -2mn ； (4) 42x -4x+1= ()221x -；(5) 32a +6a=3a （a+2）； （6）()()243223x x x x x -+=-++八作业布置九教学反思。
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练一练：
把下列各式分解因式:
(1) 2a(x-8)+bn(x-8) (2)(a+2)2 – 2a(a+2)
（3） 7(x–3)–x(3–x)
(4) a(x-y) – x + y
(5) a(x-y)+by-bx
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因式 4 a b2 相同字母 最低指数
最大公约数 观察 方向
一看系数 二看字母 三看指数
说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； (2)4kx－ 8ky ； (3)5y3+20y2 ； (4)a2b－2ab2+ab .
(5)-9 x + 6 x y 2
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，像这 样的式子变形叫做把这个把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式。
二、整式乘法与因式分解的关系
m(a b)
整式乘法
整式乘法 因式分解 逆变形
am bm
因式分解
整式乘法与因式分解是相反方向的逆变形
判断哪些是因式分解？并说明理由。
(1)a( x y ) ax ay ( 2)3a bc 3 a a b c
因式分解
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式。
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：形如 2 x y 2、单项式乘多项式：形如 m(a b) am bm 3、多项式乘多项式：形如 (m n)(a b) am an bm bn
整式的乘法实际上把几个多项式的积转化一个多项式
那么：am+bm+cm=m(a+b+c)
像上面这样，把多项式am+bm+cm各项都含有的公 因式m提到括号外面，将多项式写成积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法
提公因式法分解因式的关 键是什么？
找出公因式
试找出下列式子的公因式：（并由此总 结找公因式的方法）
(1) x xy2Leabharlann ( 2)8m n 2mn
提公因式法
怎样将 am
bm cm 分解因式？
7 7 7 ( 2) 13 6 2 9 9 9
1、计算
(1)11 98 11 2
方法：逆用乘法分配律，先提出公 因数,化成两项积的形式。
观察式子 am+bm+cm 有什么特点
它的各项都有一个公共的因式m，那么 我们就把m叫做这个多项式的公因式。
2
( 3) x 2 x 1 x ( x 2) 1
2
(4) x 2 xy y 1 x( x 2 y ) ( y 1)( y 1)
2 2
(5)ax 9a a( x 3)( x 3)
2
(6) x x 6 ( x 2)( x 3)
(6)3a(b-c)+8(b-c)
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
例2
把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c)
4ab(2ac-1) -x(x+3)
7、 –x2 + 3x
注：1 公因式可以是单项式也可以是多项 式。 2 若多项式中其中一项与公因式相同， 提取公因式后余下的是1而不是0 。 3 若多项式的首项是负的，应先提取 “-”号使括号内的多项式首项为正。 4 提公因式法分解因式的结果中，一 项是公因式，另一项则用多项式除以公因 式，所得的商就是积的另一个因式
=(b+c)(2a-3).
练一练：
把下列各式分解因式:
1、21x2 y +7xy
2、-4x2+8ax+2x 3、 2ax2+ay 4、4a2b+10ab-2ab2 5、-3x2y+12xy2-27xy 6、 8a2bc -4ab
7xy（3x+1） -2x（2x-4a-1）
a(2x2+y) 2ab(2a+5-b) -3xy(x-4y+9)
2
( 3)12xyz 9 x y
2 2 2
2
(4)2a( y z ) 3b( y z ) (5) p(a b ) q(a b )
2 2
怎样找出一个多项式的公因式？
1、看系数： 公因式的系数是各项系数的最大公约数。 2、看字母： 一是取各项相同的字母；而是取相同字 母的最低次幂。 3、确定符号：如果多项式的首项是负的，应提取"-" 号，使括号内的多项式首项为正
下列的分解因式对吗？如不对，请指出原因:
（1）2x2 + 3x3 + x = x(2x +3x2) 应为: 原式=x(2x +3x2+1) （2）a2c - 6a3c = 3a2(c - 2ac) 应为: 原式=a2c(1 -2a) （3）-2s3 + 4s2 - 6s = - s(2s2 + 4s - 6) 应为:
原式=-2s(s2-2s+3)
（4）a2b + 6ab2 - 8a = -2ab(2a-3b) - 8a
应为: 原式= a (ab+6b2-8)
练习:
1.把下列各式分解因式: (1)8m2n+2mn; (2)-12xyz+9x2y2; (3)p(a2+b2)-q(a2+b2 ) (4)2a(y-z)-3b(z-y);. 2.先分解因式,再求值: 4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3. 3.计算5×34+24×33+63×32.
2
1、因式分解是整式乘法的逆变形。 2、因式分解的对象应是多项式。 3、因式分解的结果一定是积的形式。 4、结果中的每一个因式都必须是整式。 5、要分解到再也不能分解为止。
理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是 因式分解? (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； 因式分解 (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法 (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； 整式乘法 (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； 因式分解 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 整式乘法 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ； 因式分解 (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解
一、扩建绿地面积：
m
a am
b
bm
n
扩建后的面积：
an
bn
(a b)(m n) = am an bm bn
整式乘法
am an bm bn = (a b)(m n)
因式分解
二、把下列各式写成整式乘积的形式：
(1) x x
2
( 2) x 1
2
像上面这样把一个多项式化成几个整式 积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项 式因式分解