因式分解课件公开课
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因式分解课件
分组分解法
方法介绍
将多项式分组，利用组与组之间的公 因式提取，使每个组都可以进行因式 分解。
实例说明
例如，对于$ax^2+bx+c$，可以分成 两组$(x+1)(x-1)$和$c(x+1)(x-1)$， 得到$(x+1)(x-1)(x+c)$。
03 因式分解的应用
在数学解题中的应用
约分
因式分解可以将一个较复 杂的分数转化为几个简单 的分数的乘积，简化计算 和约分。
现代数学已经形成了一套完整的因式分解理论和方法，包括各种高级的
分解技巧和算法。同时，因式分解也被广泛应用于其他学科领域的研究
和实践中。
02 因式分解的基本 方法
提公因式法
01
02
03
确定公因式
提取各项的公共因式，将 其放在括号外面，剩下的 因式留在括号内。
提公因式的依据
根据乘法的交换律和分配 律，提取公因式可以使表 达式简化。
变型公式
通过对公式进行适当的变形，可以将一些看似无法直接分解的多项式转化为可以分解的形式。例如， 对于形如x^2-1的多项式，可以通过变形转化为(x+1)(x-1)，再进一步进行因式分解。
如何进行复杂的分组分解
分组分解
对于一些包含多个不同项的多项式，可 以将其分为不同的组，然后分别对每一 组进行因式分解。例如，对于形如 x^2+2xy+y^2-z^2的多项式，可以将 其分为两个组：(x+y)^2-(z)^2，再分别 对两个组进行因式分解。
以简化方程的解法。
促进数学发展
因式分解的发展推动了数学理论 的发展，促进了数学与其他学科
的交叉融合。
因式分解的历史与发展
2.4《因式分解法》课件(共35张PPT)
2、用适当方法解下列方程 ① -5x2-7x+6=0
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
课件《因式分解》PPT_完美课件_人教版2
所学的解题过程，我们应用了如下关系：
x(a−b)3+y(b−a)3=(a−b)3(x+y)
因式分解与整式乘法是互逆过程.
（1）8a3b2+12ab3c (6) m2－4=(m+2)(m－2)
14.3.1 提公因式法因式分解
理解公因式的概念，会根据“三定法”确定公因式。
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r)
新的多项式中若 有小括号，要化
简
即是提公因式后剩下的另一个因式.
练一练
下面的因式分解正确吗？
➢ 3x2y−9xy2=3x(xy−3y2) 3xy (x−3y) ➢ 4x2y−6xy2+2xy=2xy(2x−3y) 2xy (2x−3y+1) ➢ x(a−b)3+y(b−a)3=(a−b)3(x+y) (a−b)3(x−y)
分解因式
例1: 找 3x 2 – 6 x3y 的公因式.
因式分解与整式乘法有何关系?
提公因式并确定另一个因式：要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式.
所以，公因式是3x2 .
所以，公因式是3x2 . 所以，公因式是3x2 . 所以，公因式是3x2 .
第十四章 整式的乘法
(5) (a－3)(a+3)=a2－9
定系数，再确定字母，最后确定公因式字母 【名师点拨】别忘记最后核实括号内的多项式是否还有公因式。
2）(x+2)(x-2)= 这种分解因式方法叫提公因式法。
6）a2+2ab+b2= 是pa+pb+pc除以p的商
2xy (2x−3y+1)
的指数；
《因式分解》PPT课件 (公开课获奖)2022年湘教版
答：记为-8的足球质量好一些。
因为│－20│=20，│+10│=10，│+12│=12， │－8│=8，│－11│=11
所以│－8│ < │+10│ < │－11│ < │+12│ < │－20│
也就是说记为-8的足球与规定的质量相差比较小， 因此其质量比较好
本章小结
• 一个正数的绝对值等于它本身 • 一个负数的绝对值等于它的相反数 • 0的绝对值等于0 • 互为相反数的两个数的绝对值相等
做一做
〔1〕在数轴上表示以下各数，并比较它 们的大小：-15，-3，-1，-5；
〔2〕求出〔1〕中各数的绝对值，并比 较它们的大小；
〔3〕你发现了什么？
判断： (1)假设一个数的绝对值是 2 ， 那么这 个数是2 ； (2)|5|＝|－5|； (3)|－0.3|＝|0.3|； (4)|3|＞0； (5)|－1.4|＞0； (6)有理数的绝对值一定是正数； (7)假设a＝b，那么|a|＝|b|； (8)假设|a|＝|b|，那么a＝b； (9)假设|a|＝－a，那么a必为负数； (10)互为相反数的两个数的绝对值相等；
.
【解析】原式=2x(y-2x).
答案:2x(y-2x)
考点 2 用公式法因式分解 【知识点睛】 符合用平方差公式因式分解的多项式一般有以下特点: 1.有两项. 2.两项都能写成平方的形式. 3.符号相反.
符合用完全平方公式因式分解的多项式一般有以下特点: 1.有三项. 2.其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方的形式. 3.另一项为哪一项这两数(或两式)的乘积(或乘积相反数)的2 倍.
0；
│-3│ 1；
3. 判断〔对的打“√〞，错的打“×〞
因为│－20│=20，│+10│=10，│+12│=12， │－8│=8，│－11│=11
所以│－8│ < │+10│ < │－11│ < │+12│ < │－20│
也就是说记为-8的足球与规定的质量相差比较小， 因此其质量比较好
本章小结
• 一个正数的绝对值等于它本身 • 一个负数的绝对值等于它的相反数 • 0的绝对值等于0 • 互为相反数的两个数的绝对值相等
做一做
〔1〕在数轴上表示以下各数，并比较它 们的大小：-15，-3，-1，-5；
〔2〕求出〔1〕中各数的绝对值，并比 较它们的大小；
〔3〕你发现了什么？
判断： (1)假设一个数的绝对值是 2 ， 那么这 个数是2 ； (2)|5|＝|－5|； (3)|－0.3|＝|0.3|； (4)|3|＞0； (5)|－1.4|＞0； (6)有理数的绝对值一定是正数； (7)假设a＝b，那么|a|＝|b|； (8)假设|a|＝|b|，那么a＝b； (9)假设|a|＝－a，那么a必为负数； (10)互为相反数的两个数的绝对值相等；
.
【解析】原式=2x(y-2x).
答案:2x(y-2x)
考点 2 用公式法因式分解 【知识点睛】 符合用平方差公式因式分解的多项式一般有以下特点: 1.有两项. 2.两项都能写成平方的形式. 3.符号相反.
符合用完全平方公式因式分解的多项式一般有以下特点: 1.有三项. 2.其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方的形式. 3.另一项为哪一项这两数(或两式)的乘积(或乘积相反数)的2 倍.
0；
│-3│ 1；
3. 判断〔对的打“√〞，错的打“×〞
因式分解ppt课件
方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.
第3课 因式分解 公开课一等奖 课件
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
2．用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特 征．
【典例 3】 (2016·舟山)因式分解：a2－9＝
．
【解析】 运用平方差公式，得 a2－9＝(a＋3)(a－3)． 【答案】 (a＋3)(a－3)
【类题演练 3】 (2016·深圳)分解因式：a2b＋2ab2＋b3
【解析】 原式＝b(a2＋2ab＋b2) ＝b(a＋b)2．
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
解得 y＝－16，∴x＝16.
【答案】
1 6
－16
5．运用简便方法计算：
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
《因式分解》PPT课件 (公开课获奖)2022年华师大版 (2)
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？为 什么？
∠A=40°,∠B=80°, ∠A′=40°, ∠C′=60°
A
40°
80°
B C
A′
40°
B′
60 °
C′
根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？
DG GE
A
BH HC
D B
E G
H
C
如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P 从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰 好与⊿ABC相似？ A
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法
E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似
2、有两角对应相等的两个三角形相似
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ABC相似的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
变式三：把下列各式分解因式.
（1）x5-x³ (2) x4-y4 解：
(3) a2 (a2-1)-a2+1
(1) x5-x³
(2) x4-y4
(3) a2 (a2-1)-a2+1
= x³(x2-1) = x³(x+1)(x-1)
《因式分解》PPT教学课件
2
m+n=1+ 3= 5.
22
课堂小结
因式分解
定义
把一个多项式化为几个整式的乘 积的形式,像这样的式子变形叫做 把这个多项式因式分解，也叫做 把这个多项式分解因式.其中，每 个整式叫做这个多项式的因式
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
x
随堂练习
2.把x2+3x+c分解因式得x2+3x+c=(x+1)·(x+2)，则c的值 为（ A ）
历史课件： . /kejian/lishi/
c
b
a
ห้องสมุดไป่ตู้c n
d
方法一： （a+b+c）（n+d）
方法二： an+bn+cn+ad+bd+cd
（a+b+c）（n+d） =an+bn+cn+ad+bd+cd
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
第四章 因式分解
4.1 因式分解
新知导入
课程讲授
随堂练习
-.
课堂小结
知识要点
因式分解的定义即相关概念
m+n=1+ 3= 5.
22
课堂小结
因式分解
定义
把一个多项式化为几个整式的乘 积的形式,像这样的式子变形叫做 把这个多项式因式分解，也叫做 把这个多项式分解因式.其中，每 个整式叫做这个多项式的因式
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
x
随堂练习
2.把x2+3x+c分解因式得x2+3x+c=(x+1)·(x+2)，则c的值 为（ A ）
历史课件： . /kejian/lishi/
c
b
a
ห้องสมุดไป่ตู้c n
d
方法一： （a+b+c）（n+d）
方法二： an+bn+cn+ad+bd+cd
（a+b+c）（n+d） =an+bn+cn+ad+bd+cd
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
第四章 因式分解
4.1 因式分解
新知导入
课程讲授
随堂练习
-.
课堂小结
知识要点
因式分解的定义即相关概念
因式分解法 (公开课)
一起放飞理想的翅膀 在知识的天空中自由翱翔
复习回顾
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法
x2=p (p≥0)
配方法
(mx+n)2=p (p≥0)
公式法 x b b2 4ac . b2 4ac 0 .
2.什么叫因式分解? 2a
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做因式分解.
∴
x1=-2
,
x2=
5 3
(2)(3x+1)2－5= 0
解：原方程可变形为
平方差 公式.
(3x 1 5)(3x 1 5) 0
3x 1 5 0
3x 1 5 0
则x1
1 3
5
,
x2
1 3
5
梳理
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1、方程右边化为 零 。 2、将方程左边分解成两个一次因式的 乘积。 3、至少有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4、两个 一元一次方程就的是解 原方程的解。
用因式分解法解方程:
(3)x2+6x-7=0
(3)(x 1)(x 7) 0
x 1 0或x 7 0
x1 1, x2 7
解方程：
(1)x2 4x 3 0;(2)x2 2x 3 0 (3)x2 10x 21 0;(4)x2 6x 7 0
对于一般的二次三项式ax＋2 bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
例2 分解因式 3x2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例3 分解因式 5x2－17x－12
复习回顾
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法
x2=p (p≥0)
配方法
(mx+n)2=p (p≥0)
公式法 x b b2 4ac . b2 4ac 0 .
2.什么叫因式分解? 2a
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做因式分解.
∴
x1=-2
,
x2=
5 3
(2)(3x+1)2－5= 0
解：原方程可变形为
平方差 公式.
(3x 1 5)(3x 1 5) 0
3x 1 5 0
3x 1 5 0
则x1
1 3
5
,
x2
1 3
5
梳理
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1、方程右边化为 零 。 2、将方程左边分解成两个一次因式的 乘积。 3、至少有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4、两个 一元一次方程就的是解 原方程的解。
用因式分解法解方程:
(3)x2+6x-7=0
(3)(x 1)(x 7) 0
x 1 0或x 7 0
x1 1, x2 7
解方程：
(1)x2 4x 3 0;(2)x2 2x 3 0 (3)x2 10x 21 0;(4)x2 6x 7 0
对于一般的二次三项式ax＋2 bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
例2 分解因式 3x2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例3 分解因式 5x2－17x－12
《因式分解》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (4)
➢ 本章要点聚焦
一、四边形的概念 1.定义：在同一平面内 ,由不在同一直线上的四条线段首 ||尾顺次相接组成的图形. 2.四边形的内角和与外角和均为360°. 3.四边形具有不稳定性. 4.多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n -2)·180° 5.多边形外角和定理：n边形的外角和等于360°. 6.多边形的对角线.
夹在两条平行线间的垂线段相等
4.平行四边形的判定: 定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 定理1: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
推论1:有一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形 .
四分之一 ,这个多边形是正 十 边形 .
5、下例不能判定四边形ABCD是平行四边形的是〔 C 〕
A、AB =CD AD =BC
B、AB =CD AB∥CD
C、AB =CD AD∥BC D、AB ∥CD AD∥BC
6、如以以以下图 ,在△ABC中 ,D、E、F分别为AB、BC、
CA边的中点 ,那么图中共有平行四边形C(
中|心对称图形: 一个图形绕一点旋转180度后与原
来图形重合.
关于一点成 一个图形绕一点旋转180度后与 中|心对称: 另一图形互相重合.
性质: 对称中|心平分连接两个对称点的线
直角坐标段系中, 点(x,y)关于原点对称的点是 ( -x, -y)
根底练习
1、在四边形中ABCD ,∠A =500 ,∠B =900 ,∠C
二.重要知识规律总结:
1.多边形的对角线.
n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3) 条(n≥3).
《因式分解》数学公开课PPT1人教版
x1 = 3 , x2 = 1.
2.解一元二次方程的方法：
直接开平方法 配方法
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= A解
课后作业：
习题21.2 第6题、第10题
m.
小 结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1o方程右边化为 零 。
一次因式 2 将方程左边分解成两个 o 2x＋1=0或2x－1=0,
A解
的乘
解：设小圆形场地的半径为r
积。 根据题意 π( r + 5 )2 =2πr2.
= (－10)2－4×4.
o 有一个 a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
这种解法是不是 很简单？
讨论
以上解方程 10x4.9x20的方法是如何
使二次方程降为一次的？
x10 4.9x 0
x 0 或 1 0 4.9x 0,
讨论
可以发现,上述解法中,是先因式分解使方程化 为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次 式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解 法.
的乘积。
x－2＝0或x＋1=0, = (－10)2－4×4.
以上解方程
的方法是如何使二次方程降为一次的？
2x＋1=0或2x－1=0,
x1=2，x2=－1.
于是得
11 x1 2 , x2 2 .
1.解下列方程：
练习
解：因式分解，得
x x 2 3 0.
得 x 0 或 x 2 3 0, x1 0, x2 2 3.
《因式分解》PPT课件 (公开课获奖)2022年湘教版 (2)
相等
()
〔5〕 互为相反数的两个数的绝||对值相等 ( )
4. 有三个数a、b、c在数轴上的位置 如以以以以下图所示
c
b
0a
那么a、b、c三个数从小到大的顺序 是： C ＜ b ＜ a
那么│a│＜ │c│, │b│＜ │c│
5. 足球比赛中对所用的足球有严格的规定 ,下面是5个足 球的质量检测结果〔用正数表示超过规定质量的克数 ,用 负数表示缺乏规定质量的克数〕
也就是说记为 -8的足球与规定的质量相差比较小 , 因此其质量比较好
本章小结
• 一个正数的绝||对值等于它本身 • 一个负数的绝||对值等于它的相反数 • 0的绝||对值等于0 • 互为相反数的两个数的绝||对值相等
提公因式法
系数 - -取各项系数的最||大公约数
字母〔或多项式的因式〕 - -取各项 均含有的字母〔或多项式的因式〕中 的最||低次幂
公式法
平方差公式 x2y2(xy)x (y)
完全平方公式 x22x yy2(xy)2
x22x yy2(xy)2
分组分解法
常见的分组方法有： 按字母分组 按次数分组 按系数分组
如图 ,在数轴上表示－5的点与原点的距离是5 , 即－5的绝||对值是5 ,记作|－5|＝5.
议一议 一个数的绝||对值与这个数有 什么关系 ? 例如：|3|＝3 ,|＋7|＝7 一个正数的绝||对值是它本身；
例如：|－3|＝3 ,|－2.3|＝2.3
一个负数的绝||对值是它的相反数；
0的绝||对值是0.
十字相乘法
x2( pq) p x q ( xp)q (x )
解因式分解题时 ,首||先考虑是否有公因式 , 如果有 ,先提公因式；如果没有公因式或 提取公因式后 ,通常分以下几种情况考虑：
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2).a2-b2=( a+b)(a-b) 3).a2+2ab+b2=(a+b)2
式化为几 个整式的 积的形式
第12章 整式的乘除
12.5 因式分解（第1课时）
因式分解
定义
把一个多项式化为几个整式的乘积的
形式,这就是因式分解.
比一比
因式分解与整式乘法的关系 ◆ 因式分解的特点：由和差
形式（多项式）转化成整式的积 的形式；
◆ 整式乘法的特点：由整式 积的形式转化成和差形式（多项 式）。
快言快语
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)2x(x-3y) = 2x2-6xy
整式乘法
(2)x2+4x+4 = (x+2)2
因式分解
(3) m2-4 = (m+2)(m-2)
因式分解
(4)2πR+ 2πr = 2π(R+r)
(2)a2 b2 （a b ）（a b ）
(3)a2 2ab b2 （a b ）2
练习并对比
分解下列三个数的质因数
（1）42=7×3×2 （2）70= 7×5×2
（3）15= 5×3
42、70、15这几个数可以化 为几个整数的积，叫做因数 分解。
比 较
1).ma+mb+mc= m•( a+b+c) 都是多项
a-3
2. 多项式中的公因式是如何确定的？ （提示：从公因式的系数，字母，字母的指数）
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
公因式的系数是多项式各项系 定系数 数的最大公约数。
字母取多项式各项中都含有的 定字母 相同的字母。
定指数
相同字母的指数取各项中最小 的一个，即字母最低次幂
例: 找 3 x 2 – 6 x 的公因式。
（2）已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2
的值.
结果是：15
拓展题
２、把下列各式因式分解：
(1)2m(x+y)+n(x+y);
提炼
(2)a(p-q)-4b(q-p);
公因式既可以是一个单项式 (3)4a(x-y)2-2b(y-x)2; 的形式，也可以是一个多项式的
(4)2(a-3)2-a+3.
因式分解
ma mb mc
公因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
小组探究过关武器：
1. 确定下列各多项式中的公因式？
（1） a c+ b c
c
（2）3 x2 +9x
3x
（3） a2 b – 2a b2 + ab
ab
（4） 7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)
当多项式第一项系 数是负数，通常先 提出“-”号，使括 号内第一项系数变 为正数，注意括号 内各项都要变号。
小明解的有误吗？
把9x2 6xy 3x因式分解.
解：原式 3x • 3x 3x • 2y 3x •1
3x(3x 2y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式
后剩余的项是1。
4、用提公因式法因式分解应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏掉； （3）多项式的首项取正号；
（4）公因式是多项式时，要注意符号问题。
巧妙计算 （1）13.8×0.125+86.2×1/8
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100 =12.5
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ，（即将 多项式化为两个因式的乘积）.
（2）把 -24x3 –12x2 +28x 因式分解.
解：原式= (24x3 12x2)28x (4x • 6x2 4x •3x 4x• 7) = 4x(6x2 3x 7)
3
系数：最大 公约数。
1 指数：相同
x
字母的最低
字母：相 次幂
同字母
所以公因式是3 x 。
ma+mb+mc=m( a+b+c )
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的 方法叫做提公因式法。
寻找过关武器
例1 把 3a2-9ab因式分解.
解:2x3+6x2+2x =2x(x2+3x)
聪明的同学你认为他们的解法正确吗？试说明理 由。
1、计算（-2）101+（-2）100.
2、已知, 2x y 4 , xy 3 求代
数式 2x2 y xy2 的值。
谢谢大家！
看你能否过关？
把下列各式因式分解：
3x3 3x2 9x
4a3b3 6a2b 2ab ③ 5x(x y) 2y(x y)
a
小结
1、什么叫因式分解？
2、确定公因式的方法：
（1）定系数 （2）定字母 （3）定指数 3、提公因式法因式分解步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）
12.5 因式分解
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1)m(a b c) ma mb mc
(2)(a b)(a b) a2 b2
(3)(a b)2 a2 2ab b2
试一试
你能发现这 两组等式之 间的联系和 区别吗?
填空：
(1)ma mb mc （m）（ a b c）
形式.
整体思想是拓展题
１、把下列多项式因式分解：
（1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz； （3）2x3+6x2+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：
甲同学：
乙同学：
丙同学：
解:12x2y+18xy2 =3xy(4x+6y)
解:-x2+xy-xz =-x(x+y-z)