山东省济南市高三数学上学期期末考试 理 新人教B版

2013年1月高三教学质量调研考试学
本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 考试时间120分钟。

满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题:(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的)
1. 设全集U R =，集合2{|230}M x x x =+-≤，{|14}N x x =-≤≤，则M N I 等
于
A ．{|14}x x ≤≤
B ．}31|{≤≤-x x
C ．{|34}x x -≤≤
D ．{|11}x x -≤≤
2. 复数
12i
i
+-表示复平面内的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3. 设0.3
0.33,log 3,log a b c e π===则,,a b c 的大小关系是
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．c a b << 4. 将函数 ()sin(2)6
f x x π
=+的图象向右平移
6
π
个单位后，所得的图象对应的解析式为
A ．y =sin 2x
B ．y =cos2x
C ．y =2sin(2)3x π+
D ．y =sin(2)6
x π- 5. 已知函数1()()2
x x
f x e e -=
-， 则()f x 的图象 A. 关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称 D. 关于直线y x =对称
6. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是
7. 已知椭圆方程
22
143
x y +=,双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为
23 C. 2
D. 3
8. 设实数,x y 满足不等式组 1103300x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
，则 2z x y =+的最大值为
A. 13
B. 19
C. 24
D. 29
9. 已知等比数列{}n a 满足2
13562,4a a a a =⋅=，则3a 的值为
A.
12
B. 1
C. 2
D. 1
4
10. 非零向量,a b r r 使得||||||a b a b +=-r r r r
成立的一个充分非必要条件是
A. //a b r r
B. 20a b +=r r r
C. ||||
a b
a b =r r
r r D. a b =r r
11. 设函数()2x
f x =，则如图所示的函数图象对应的函数是
A. ()||y f x =
B. ()||y f x =-
C. ()||y f x =--
D. ()||y f x =- 12. 已知定义在R 上的函数()f x ，对任意x R ∈，都有()()()63f x f x f +=+成立，
若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，则()2013f =
A.0
B.2013
C.3
D.2013-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分) 13.
2
21
x dx =⎰
；
14. 已知程序框图如右图所示，则输出的i = ；
15. 若圆C 以抛物线2
4y x =的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆 的标准方程是 ； 16. 根据下面一组等式
开始
1S =结束
3
i =100
S ≥i 输出2
i i =+S S i =⨯是
否
1234567123545615
78+9+10=3411121314156516171819202111122232425262728175 S S S S S S S ==+==++==+=++++==+++++==++++++=L L L L L L
可得 13521n S S S S -++++=L . 三、解答题:(本大题共6小题，共74分) 17. (本小题满分12分)
在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 且满足()2cos cos .b c A a C -= （1）求角A 的大小；
（2
）若2,b c ==||AB AC +u u u r u u u r
.
18. (本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，365,36a S ==， （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2） 设2n a
n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
19. (本小题满分12分)
设函数()sin x f x e x =
（1）求函数()f x 单调递增区间；
（2）当[0,]x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值.
（第20题）
20. (本小题满分12分)
已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形,
1
//,,12
AB CD AD AB AD AB CD ⊥===,
PD ABCD ⊥面,2PD =E 是PC 的中点
（1）证明：//BE PAD 面； （2）求二面角E BD C --的大小.
21. (本小题满分13分)
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>过点()0,1,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成
等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ,
各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点.
22. (本小题满分13分)
设函数()2
ln f x x ax x =+-.
（1）若1a =,试求函数()f x 的单调区间；
（2）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明:切点的横坐标为1； （3）令()()
x f x g x e
=
，若函数()g x 在区间（0，1］上是减函数，求a 的取值范围.
2013届高三教学质量调研考试
理科数学参考答案
一、 选择题:
1.D
2. A
3. B
4. D
5. A
6.C
7.C
8.A
9.B 10.B 11.C 12.A
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分) 13.
73
14. 9 15. 22
(1)13x y -+=; 16. 4n 三、解答题: 17. 解：（1）由正弦定理可得：2sin cos sin cos cos sin ,B A C A C A =+ -----3分
2sin cos sin()sin B A A C B ∴=+= -------5分
1sin 0,cos .2
B A ≠∴=
Q .3A π
∴=
--------------------8分 222(2)2cos AB AC AB AC AB AC A +=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
7=+ --------11分
AB AC ∴+=u u u r u u u r
-----12分
18. 解: （1）设{}n a 的公差为d , 36535a S =⎧∴⎨=⎩;则1125
65
6362a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩
------3分 即112556a d a d +=⎧⎨
+=⎩,解得11
2
a d =⎧⎨=⎩, -------6分
*12(1)21,()n a n n n N ∴=+-=-∈. ------8分
(2) 212
2n
a n n
b -==
13521
2222n n T -∴=++++L
--------------10分
2(14)2(41)
143n n --==-
-----12分
19.解：(1)'
()(sin cos )x
f x e x x =+ ------- --------------------------------2
分
2sin()4x e x π
=+ -----4分
'()0,sin()0.4f x x π
≥∴+≥ --------6分
3
22,22,4
44
k x k k x k π
π
ππππππ∴≤+
≤+-
≤≤+即 3()2,2,44f x k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调增区间为
--------8分
（2）[]0,,
x π∈
3310,,44x x πππ⎡⎤⎡⎤
∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
由（）知，是单调增区间，是单调减区间----10分
3
432(0)0,()0,(),4f f f e πππ===
所以4
3max 2
2)43(π
πe f f =
=,0)()0(min ===πf f f --------12分 20. (本小题满分12分)
证明：取PD 的中点为,F 连接,EF
,2
1
,//CD EF CD EF =------------2分
又,,//CD 21
AB //AB EF AB EF CD AB =∴=
，
且 F
y
z
BE //,
ABEF AF ∴∴是平行四边形，---------4分
BE PAD AF PAD BE //PAD.
⊄⊂∴又面，面，面
-------6
分
（2）建系：以DA ，DB ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴，
),2,0,0(),0,2,0(),0,1,1(P C B 则
(0,1,
2E -------7分
(1,1,0),(1,0,2
DB BE ==-u u u r u u u r
------------------------------8分
(,,)n x y z =r 设平面EDB 的法向量为
002
x y x z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩
(,)(1,n x x x ∴=-=-r
-----10分
令 x=1,
则
(1,n ∴=-r
又因为ABCD (0,0,1),m =u r
平面的法向量为
,2
2
=
二面角C BD E --为.450 ---12分 21.解：(1)设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，焦距为2c ， -------1
分
由题意知 b =1,且2222222）（）（）（c b a =+，又222
a b c =+
得32=a . -------------3分
所以椭圆的方程为1322
=+y x ---------5分
(2) 由题意设),(),,(),0,(),,0(22110y x N y x M x Q m P ，设l 方程为)(m y t x -=， 由MQ PM 1λ=知),(),(110111y x x m y x --=-λ ∴
1
11λy m y -=-，由题意
1≠λ，∴
11
1-=
y m
λ -----------------7分
同理由2PN NQ λ=u u u r u u u r 知22
1m
y λ=- ∵
321-=+λλ，∴0)(2121=++y y m y y （*）
------8分
联立⎩⎨⎧-==+)
(3322m y t x y x 得032)3(2
2222=-+-+m t y mt y t
∴需0)3)(3(442
2
2
4
2>-+-=∆m t t t m （**）
且有3
3
,32222212221+-=+=+t m t y y t mt y y （***） -------10分
（***）代入（*）得023222=⋅+-mt m m t ，∴1)(2
=mt ，
由题意
<mt ，∴
1
-=mt (满足（**）)，
----------12分
得
l 方程为1+=ty x ,过定点(1,0),即P 为定点.
---------------13分
22.解: （1）1a =时, 2
()(0)f x x x lnx x =+-> -------1分
1'()21f x x x ∴=+-
(21)(1)x x x -+=
---------3分
()()110,,'0,,,'022x f x x f x ⎛⎫⎛⎫∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
-------5分
（2）设切点为()()
,M t f t ，()1
'2f x x ax x
=+- 切线的斜率12k t a t
=+-，又切线过原点()
f t k t =
()2221
2ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t
=+-+-=+-∴-+=，即：
-------------7分
1t =满足方程21ln 0t t -+=，由21,ln y x y x =-=图像可知21ln 0x x -+=
有唯一解1x =，切点的横坐标为1； -----8分
或者设()2
1ln t t t ϕ=-+,()1'20t t t
ϕ=+>
()()0+t ϕ∞在，递增,且()1=0ϕ,方程21ln 0t t -+=有唯一解
--------9分 （3）()()()
''x
f x f x
g x e -=
，若函数()g x 在区间（0，1］上是减函数，
则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即，所以()21
2ln 10x x x a x x
-+-+-≥---（*）------------10分
()()21
2ln 1h x x x x a x x =-+
-+-设
()()()222
122111
'222x x x h x x a a x x x
-++=---+=--+ 若2a ≤，则()'0,h x ≤()h x 在(]0,1递减，()()10h x h ≥=
即
不等式
()()',(0,1],
f x f x x ≤∀∈恒
成
立
----------------------11分
若2a >,()()232
112122'20x x x x x x x ϕϕ=---∴=++>Q ()x ϕ在(]0,1上递增,()()12x ϕϕ≤=-
()()000,1,x x a ϕ∃∈=-使得
()()0,1,x x x a ϕ∈>-,即()'0h x >,()(]0,1h x x 在上递增,()()10h x h ≤=
这与(]0,1x ∀∈,()212ln 10x x x a x x -+-+-≥矛盾 ----------------------------12分
综上所述,2a ≤ -----------------------------------------13分
解法二:
()()()''x f x f x g x e -=，若函数()g x 在区间（0，1］上是减函数， 则()()()
(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即，所以()212ln 10x x x a x x -+
-+-≥-----------------10分 显然1x =,不等式成立
当()0,1x ∈时,212ln 1x x x x a x -+-≤-恒成立 -------------------------------------11分
设()()()
22221112ln 21ln ,'11x x x x x x x x x h x h x x x -+--+--+-==-- 设()()()()()2
23121121ln ,'210x x x x x x x x x x x ϕϕ-+=-+--+-=-+> ()x ϕ在()0,1上递增,()()10x ϕϕ<= 所以()'0
h x < -----------------------------12分
()h x 在()0,1上递减,()()221112ln 111lim lim 2221x x x x x x h x h x x x x →→-+-⎛⎫>==-+++= ⎪-⎝
⎭
所以 2a ≤ ----------------------------------------------------------------13分。