点的合成运动-精品

例5-2 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴x作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐
标系，刀尖的运动方程为 xbsi nt 。工件以
等角速度 逆时针转向转动。
求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
已知：xbsin t, t 求: fx,y0
解: 动点：M 动系：工件 O x y
x x t

y


yt
由坐标变换关系有
xyxyO Oxxcsoinsyyscions
例5-1 点M相对于动系 Oxy 沿半径为r的圆周 以速度v作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系 Oxy相 对于定系 Oxy 以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如 图所示。初始时 Oxy与 Oxy 重合，点M与O重合。
例5-4 如图所示曲柄滑道机构，T字形杆BC部分处于 水平位置，DE部分处于铅直位置并放在套筒A中。已知曲柄 OA以匀角速度ω=20rad/s绕O轴转动，OA=r=10cm，试求 当曲柄OA与水平线的夹角φ=0°、30 ° 、60 ° 、90 °时， T形杆的速度。
B
C
D
vr
va
A
ve
φ
E
ω O
解：选套筒A为动点，T字形杆为动系，地面为定系。动点 的绝对运动为圆，绝对速度的大小为 v a rω 1 0 2 0 2 0 0 c m /s
aa

d 2 rM dt2
rO x ' i ' y ' j ' z ' k ' x 'i ' y ' j ' z ' k '
2 ( x ' i ' y ' j ' z ' k ')
因为 2(x'i'y'j'z'k')
2x'ei'y'ej'z'
求：点M的绝对运动方程。
已知：r，相对速度v， ＝ωt， t0 0。
求：点M的绝对运动方程。
解: 动 点 ： M 点 动 系 ： O x y
相对运动方程
xOO1O1Mcos yO1Msin
代入 vt r
已知：r，相对速度v， ＝ωt， t0 0。
求：点M的绝对运动方程。
vA

drA dtຫໍສະໝຸດ erArArO k'
drO dk' dt dt
e(rO k')
因为
vO
drO dt
erO
得
d d kt'ek'， 同理可得 i', j'， 即
i' e i',j' e j',k ' e k '
d2r' ar dt2 x'i'y'j'z'k' aedd 2trM 2 rO x'i'y'j'z'k'
得
va vevr
点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于
它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
点的相对速度、牵连速度、绝对速度三者之间满足平 行四边形合成法则，即绝对速度由相对速度和牵连速度所 构成平行四边形对角线所确定，这个平行四边形称为速度 平行四边形。
应当注意： (1)三种速度有三个大小和三个方向共六个 要素，必须已知其中四个要素，才能求出剩余的 两个要素。因此只要正确地画出上面三种速度的 平行四边形，即可求出剩余的两个要素。 (2)动点和动系的选择是关键，一般不能将 动点和动系选在同一个参考体上。 (3)动系的运动是任意的运动，可以是平移、 转动或者是较为复杂的运动。
(3)应用速度合成定理，作出速度平行四边形。注意 作图时要使绝对速度为速度平行四边形的对角线。
(4)利用速度平行四边形中的几何关系求解未知量。
5.3 点的加速度合成定理
5.3.1 牵连运动是平移时点的加速度合成定理
动点M在定系和动系中的矢径分别用r和r′表示。
有关系式 z
r r o r r o x i y j z k

x


r 1 cos
vt r


y


r sin
vt r
绝对运动方程
xxcosysinr1covrstcotsrsin vrst i nt

yxsinycosr1covrstsi ntrsin vrct ots
杆Bv CB C 的 速v 度e为 v as in r ω s int
(2)求杆BC的加速度 作加速度的平行四边形，如图c所示。动点A的绝对
aa r 2
杆BC的加速度为
a B Ca ea aco srω 2co s t
5.3.2 牵连运动为定轴转动时时点的加速度合成定理
先分析k ' 对时间的导数:
求：在图示位置时，杆AB的速度。
B
B
vr
C
va
θ
A
θ O ve
ω
(a)
ve θ
A
va C θO
vr
(b)
已知：,e,A C R 。 求 ： vA B。
解：1、动点：AB杆上A 动系：凸轮
2、绝对运动：直线运动（AB）
相对运动：圆周运动（半径R）
牵连运动：定轴运动（轴O）
3、
va ve vr
解：由题意，选小环M为动点，曲柄OA为动系，地面为定系。 小环M的绝对运动是在大圆上的运动，因此小环M绝对速度垂 直于大圆的半径R；小环M的相对运动是在曲柄OA上的直线 运动，因此小环M相对速度沿曲柄OA并指向O点，牵连运动 为曲柄OA的定轴转动，小环M的牵连速度垂直于曲柄OA，如 图所示，作速度的平行四边形。即
大小 ? OA ?
方向 √ √ √
vavecotO AO eAe
应用点的速度合成定理解题步骤如下; (1)选取动点、动参考系和定参考系。 其动点和动系的选取原则为：
1)动点和动系不能选在同一个物体上； 2)动点的相对轨迹越简单越直观越好(通常是直线或 圆)； 3)通常选择固定接触点为动点； (2)分析三种运动和三种速度。各种运动的速度都有 大小和方向两个要素，只有已知四个要素时才能画出 速度平行四边形。
ek'

2ex'i'y'j'z'k'
2evr
得 a a a e a r 2e v r
令 aC2evr 称为科氏加速度
有
a aa ea ra C
点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等 于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢 量和。
小环M的牵连速度为 veO M ω 2R ω cos
小环M的绝对速度为
va

ve
cos
2Rω
小环M的相对速度为 v r v e c o t 2 R ω s i n 2 R ω s i n ω t
例5-6 如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮， 以角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移， 杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。
va
aa
牵连速度 v e 和牵连加速度 a e
在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的 速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
5.1.3 利用坐标变换建立三种运动的关系
动点：M 动系：O ' x ' y '
绝对运动运动方程
x x t

y

y t
相对运动运动方程
相对运动方程
x' O M c o s t b sin tc o s t b sin 2 t 2
y OsM itn b s2 itn b (1 c2 ot)s 2 相对运动轨迹
x2 yb2 b2 2 4
5.2 点的速度合成定理
vT20s0i3no 010c0m/s vT20s0i6no 017.2c3m/s
90o
vT20s0i9 no 020c0m/s
例5-5曲柄OA以匀角速度绕O轴转动，其上套 有小环M，而小环M又在固定的大圆环上运动，大 圆环的半径为R，如图所示。试求当曲柄与水平线 成的角φ=ωt时，小环M的绝对速度和相对曲柄OA 的相对速度。
上式在定系中对时间t 求二阶导数，有
a ad d t2 r 2d d 2 tr 2 o d d 2 tx 2 i d d 2 ty 2 j d d 2 tz 2 k
O x
z' M(m)
r k' O'
r'
j'
r'O i'
y'
x'
y
a ad d t2 r 2d d 2 tr 2 o d d 2 tx 2 i d d 2 ty 2 j d d 2 tz 2 k z
第5章 点的合成运动
5.1 概述
5.1.1运动的合成与分解
在工程和实际生活中物体相对于不同参考系运动的例子很多， 如图所示，沿直线滚动的车轮，若在地面上观察轮边缘上点M 的运动轨迹是旋轮线，但在车厢上观察则是一个圆。如图所 示，车床车削工件时，车刀刀尖M相对于地面做直线运动，而 相对于旋转的工件却是沿圆柱面做螺旋运动，因此车刀在工件 的表面切出螺旋线。
从上面的两个例子看出物体相对于不同参考系的运动是不 同的，它们之间存在运动的合成和分解的关系。在上述例 子中，车轮上的点M时沿螺旋线运动，若以车厢作为参考 体，则点M相对于车厢的运动时简单的圆周运动，车厢相 对于地面的运动时简单的平移。这样轮缘上一点的运动可 以看成两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运 动，同时车厢相对于地面作平移运动。也就是说，轮缘上 一点实际上做螺旋线运动，可以分解成两个简单的运动，
d 2 ro dt 2

ao
ae
ar
O
x
aa aear
z' M(m)
r k' O'
r'
j'
r'O i'
y'
x' aO' y
加速度合成定理 ——牵连运动为平移时，点的绝对加速度等 于牵连加速度、相对加速度的矢量和。
例5-7 如图a所示，曲柄OA以匀角速度绕定 轴O转动，T字形杆BC沿水平方向往复平动，滑块 A在铅直槽DE内运动，OA=r，曲柄OA与水平线夹 角为,试求图示瞬时，杆BC的速度及加速度。
例5-3 汽车以速度沿直线的道路行驶，雨滴 以速度铅直下落，如图所示，试求雨滴相对于汽车 的速度。
v1
v1 M
v2 vr
解： (1)建立两种坐标系 定系建立在地面上，动系建立在汽车上。 (2)分析三种运动 雨滴为动点，其绝对速度为 va v2 汽车的速度为牵连速度(牵连点的速度)，因汽车作平移，各点
的速度均相等。即 ve v1 (3)作速度的平行四边形 由于绝对速度va和牵连速度ve的大小和方向都是已知的，如图
所示，只需将速度va和ve矢量的端点连线便可确定雨滴相 对于汽车的速度vr。vr故va 2ve 2v2 2v1 2
雨滴相对于汽车的速度与铅直线的夹角为
tan v1
v2
定系：Ｏxyz，动系：O' x' y' z，' 动点：Ｍ
rMrO r'
r'xi'yj'zk'
rM rM
M ' 为牵连点
vr
dr' dt
xi'yj'zk'
导数上加“～”表示相对导数。
ve

drM dt
rO xi ' yj ' zk '
v a d d r M t r O x i' y j' z k ' x i' y j' z k '
绝对速度的方向垂直于曲柄OA沿角速度ω的方向 由于T字形杆受水平约束，则牵连运动为水平方向；动点 的相对速度为沿BC作直线运动，即为铅直向上，如图所
：
示，作速度的平行四边形。故T字形杆的速度为 vTvevasin
将已知条件代入得
0o
vT20s0i0n0
30o 60o
这就是运动的合成与分解。
5.1.2 绝对运动、相对运动和牵连运动
两个坐标系
定参考坐标系（定系） 动参考坐标系（动系）
三种运动
绝对运动：动点相对于定系的运动。 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
相对轨迹
相对速度 v r 相对加速度 a r
绝对轨迹
绝对速度 绝对加速度
va
vr
D
ω
A
Oφ
B
E
(a)
CO
D
ve
A
φ
B
E
(b)
ae
φ
C
aa
ar
(c)
解：滑块A为动点，T字形杆BC为动系，地面为定系。动点A的 绝对运动是曲柄OA绕轴O的定轴转动；相对运动为滑块A在铅 直槽DE内的直线运动；牵连速度为T字形杆BC沿水平方向的往 复平移。
(1)求杆BC的速度
作速度的平行四边形，如图b所示。动点A的va绝 r对ω速