2021-2022九年级数学上期中模拟试卷(及答案)

一、选择题
1．如图所示，一个大正方形的面上，编号为1,2,3,4的地块，是四个全等的等腰直角三角形空地，中间是小正方形绿色草坪，一名训练有素的跳伞运动员，每次跳伞都能落在大正方形地面上，则跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率是（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
16
D ．
18
2．连续掷两次骰子，出现点数之和等于4的概率为（ ） A ．
136
B ．
118
C ．
112
D ．
19
3．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（ ） 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数
48
98
144
193
489
784
981
A ．12
B ．24
C ．1188
D ．1176
4．不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
5．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行，2列，两边各加一条竖直线记成
a b c d
，定义
a b ad bc c d
=-，上述记号就叫做2阶行列式．若
211
71
x x x +-=+，则x 的值为（ ）
A ．±2
B ．
10
C ．±4
D ．2
6．一元二次方程20x x +=的根的情况为（ ） A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根
D ．有两个不相等的实数根
7．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ） A ．10
B ．12
C ．14
D ．12或14
8．下列关于一元二次方程，说法正确的是（ ） A ．方程2450x x --=配方变形为2(2)2x -= B ．方程2x x =的解为1x =
C ．关于x 的方程2230ax x +-=有实数根，则13
a
- D ．方程221x x -=的解为
121x x ==
9．如图，将等边ABC 与正方形DEFG 按图示叠放，其中D ，E 两点分别在AB ，
BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC 的面积为（ ）
A ．4
B ．23
C ．2
D ．1
10．给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ） ①四条边相等的四边形是正方形； ②四边形具有不稳定性；
③有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； ④一组对边平行的四边形是平行四边形． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到
ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '
的距离为（ ）
A 33
B ．
321
7
C 7
D 1312．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是（ ）
A ．（2，10）
B ．（﹣2，0）
C ．（2，10）或（﹣2，0）
D ．（10，2）或（﹣2，0）
二、填空题
13．在一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球不放回，再随机摸取一个小球，两次摸出的小球的标号的和等于4的概率是____________．
14．为了解早高峰期间A ，B 两邻近地铁站乘客的乘车等待时间（指乘客从进站到乘上车的时间），某部门在同一上班高峰时段对A 、B 两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间（单位：分钟）的数据，统计如表： 等待时的频数间 乘车等待时间 地铁站 5≤t≤10
10＜t≤15
15＜t≤20
20＜t≤25
25＜t≤30
合计
A 50 50 152 148 100 500 B
45
215
167
43
30
500
据此估计，早高峰期间，在A 地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为_____；夏老师家正好位于A ，B 两地铁站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从_____地铁站上车．（填“A”或“B”）
15．若关于x 的一元二次方程()2
2
367120m x x m m -++-+=有一个根是0，那么m 的
值为______．
16．若m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，则2020﹣m 2+3m ＝_____． 17．一元二次方程221x x -=的两根α、β，则αβαβ++⋅=______．
18．如图，已知正方形OPQR 的顶点O 是正方形ABCD 对角线AC 与BD 的交点，正方形OPQR 绕点O 逆时针旋转一定角度后，△OPR 能与△OBC 重合，已知∠BOR=55°，那么旋转角等于________．
∆的三边长分别为5，26，1，比较三边长的大小，并用“<”连接起来，19．若ABC
___________，最长边上的中线长为___________．
20．如图将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠2=70°，则∠1的度数是___________．
三、解答题
21．2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．
22．森林防火，人人有责．前不久，华蓥市公安局结合华蓥山竹林风景线建设，在华蓥山国家森林公园、石林景区，以“严防森林火灾、保护绿水青山”为主题，开展了森林防灭火知识宣传．广安市某校为了解九年学生对森林防灭火知识的了解程度，在九年级学生中做了一次抽样调查，并将结果分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调査结果绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的学生一共有______人，并补全条形统计图．
（2）若该校九年级共有1000名学生，请你估计该校九年级学生中“基本了解”森林防灭火知识的学生有多少人？
（3）九（2）班被调查的学生中A等级的有5人，其中3名男生2名女生．现打算从这5名学生中任意抽取2名进行电话采访，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一男一女的概率．
23．解下列关于x的方程．
（1）x（x+1）＝3x+3；
（2）5x2﹣3x＝x+1．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1＝﹣1时，求另一个根x2的值．
25．如图，长方形ABCD中，AD＝a cm，AB＝b cm，且a、b满足|8－a|＋(b－4)2＝0．
（1）长方形ABCD的面积为；
（2）动点P在AD所在直线上，从A出发向左运动，速度为2cm/s，动点Q在DC所在直线上，从D出发向上运动，速度为4cm/s．动点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．
①当点P在线段AD上运动时，求以D、P、B、Q为顶点的四边形面积；（用含t的式子表示）
②求当t为何值时，S△BAP＝S△CQB．
26．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， AB＝BC，D是AC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交BC于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）连接EF，求∠DEF的度数；
（3）若AC=2，直接写出EF的取值范围．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
设大正方形的边长为2a ，从而可得大正方形的面积为24a ，先求出小正方形绿色草坪的面积，再根据简单事件的几何概率公式即可得． 【详解】
设大正方形的边长为2a ，则大正方形的面积为22(2)4a a =， 编号为1,2,3,4的地块是四个全等的等腰直角三角形空地，
∴等腰直角三角形的直角边均相等，且长为a ，
22a a 2a +=， 2a ，
∴小正方形绿色草坪的面积为22(2)2a a =，
则跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率是22
21
42
a P a ==， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了简单事件的几何概率计算公式、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，根据全等三角形的性质和勾股定理求出小正方形绿色草坪的边长是解题关键．
2．C
解析：C 【分析】
列举出所有情况，看点数之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】
解：如图所示：
4的情况为13，22，31共3种，于是P（点数之
和等于4）=31
= 3612
．
故选：C．
【点睛】
本题考查概率的求法与运用，由于两次实验出现的情况较多，用列表法较好．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．B
解析：B
【分析】
由表中数据可判断合格衬衣的频率稳定在0.98，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，从而得出结论．
【详解】
解：根据表中数据可得任抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，次品的概率为0.02，
出售1200件衬衣，其中次品大约有1200×0.02=24（件），
故选：B．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
4．B
解析：B
【分析】
利用树状图列举出所有等可能的情况，确定两次记录的数字之和为4的次数，根据概率公式计算得出答案．
【详解】
列树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中两次记录的数字之和为4的有3种， ∴P （两次记录的数字之和为4）=3193
=， 故选：B ． 【点睛】
此题考查树状图法求事件的概率，概率的计算公式，根据题意正确列举出事件发生的所有可能的情况是解题的关键．
5．A
解析：A 【分析】
直接利用已知将原式变形进而解方程得出答案． 【详解】 解：由题意可得：
211
71
x x x +-=+，
则（x+1）2-2（x-1）=7， 解得：x=±2． 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了解一元二次方程，正确将原式变形是解题关键．
6．D
解析：D 【分析】
确定a 、b 、c 计算根的判别式，利用根的判别式直接得出结论； 【详解】 ∵20x x += ， ∴ △=1-0=1＞0，
∴ 原方程有两个不相等的实数根； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了根的判别式、一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式△，正确掌握△的值与根的个数的关系是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
用因式分解法求得方程的根，后根据三角形三边关系判断三角形的存在性，后计算周长. 【详解】
∵212350x x -+=， ∴（x-7）(x-5)=0, ∴x=7或x=5； 当x=7时, 3+4=7， ∴三角形不存在； 当x=5时, 3+4＞5， ∴三角形存在，
∴三角形的周长为3+4+5=12； 故选B. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的因式分解求解法和三角形的存在性，熟练求方程的根，准确判断三角形的存在性是解题的关键.
8．C
解析：C 【分析】
根据一元二次方程的解法及一元二次方程根的判别式来判断即可 【详解】
解：A.用配方法解方程2450x x --=，
245x x -=，
24454x x -+=+，
∴()2
29x -=，故A 不正确；
B.用因式分解法解方程2x x =，
20x x -=，
()10x x -=，
∴120,1x x ==，故B 不正确；
C.∵ 关于x 的方程2230ax x +-=有实数根， ∴当a=0，时，230x -=，方程有实根，
当a 0≠时，()2
24a 30=-⨯-≥△ ，解得13
a ≥-，
综上所述，若方程有实根时，则13
a ≥-，故C 正确； D.解方程221x x -=，
22111x x -+=+，
()
2
12x +=，
12x ∴+=± ，
1221,21x x ∴=-=-- ，故D 不正确；
故选：C ． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，正确理解一元二次方程的解法是解本题的关键，解题时运用了分类讨论思想．
9．C
解析：C 【分析】
过F 作FQ ⊥BC 于Q ，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE ＝2，∠BED ＝60°，∠DEF ＝90°，EF ＝2，求出∠FEQ ，求出CE 和FQ ，即可求出答案． 【详解】
过F 作FQ ⊥BC 于Q ，则∠FQE ＝90°，
∵△ABC 是等边三角形，AB ＝6， ∴BC ＝AB ＝6，∠B ＝60°， ∵BD ＝BE ，DE ＝2，
∴△BED 是等边三角形，且边长为2， ∴BE ＝DE ＝2，∠BED ＝60°， ∴CE ＝BC−BE ＝4，
∵四边形DEFG 是正方形，DE ＝2， ∴EF ＝DE ＝2，∠DEF ＝90°， ∴∠FEC ＝180°−60°−90°＝30°， ∴QF ＝
1
2
EF ＝1， ∴△EFC 的面积=12×CE×FQ ＝1
2
×4×1＝2， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点，能求出CE和FQ的长度是解此题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
利用正方形的判定、直角三角形全等的判定、平行四边形的判定定理对每个选项依次判定解答．
【详解】
①四条边相等的四边形是菱形，故①错误；
②四边形具有不稳定性，故②正确；
③两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA，不能判定全等，故③错误；
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故④错误；
综上，错误的命题有①③④共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定、平行四边形的判定及直角三角形全等的判定．
11．B
解析：B
【分析】
过点D作DF⊥BC'，垂足为F，过点A作AG⊥BC'，交BC'的延长线于G，则四边形ADFG是矩形，计算AC'的长，后利用三角形ADC'M面积的不同计算方法计算即可.
【详解】
如图，过点D作DF⊥BC'，垂足为F，过点A作AG⊥BC'，交BC'的延长线于G，
△沿AD翻折，得到ADC'，
∵把ACD
∴DC=DC'，∠ADC=∠A DC'，
∵D是BC边上的中点，
∴DC=BD ， ∵2BD BC ='=， ∴DC '=2BD BC ='=，
∴
BDC '是等边三角形，
∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°， ∴BG ∥AD ，
∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'， ∴四边形ADFG 是矩形， ∴BF=FC'=1，FG=AD=3，
=
，
∴
GC '=2，
∴AC '
=，
设点D 到AC '的距离为h ， ∴11
22AC h AD DF '=，
∴
11
322
h =⨯，
∴h=
7， 故选B. 【点睛】
本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.
12．C
解析：C 【分析】
分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可． 【详解】
解：∵点D （5，3）在边AB 上， ∴BC ＝5，BD ＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点D 在x 轴上，O D ＝2， 所以，D （﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D 到x 轴的距离为10，到y 轴的距离为2， 所以，D （2，10），
综上所述，点D 的坐标为（2，10）或（﹣2，0）． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
二、填空题
13．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种然后根据概率的概念计算即可【详解】画树状图得：由树状图可知：所有可能情况有12种其中两次摸出的小球标号的和等于4
解析：1 6
【分析】
先画树状图展示所有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．
【详解】
画树状图得：
由树状图可知：所有可能情况有12种，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占2种，
所以其概率＝
21 126
，
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
14．B【分析】用用时不超过15分钟的人数除以总人数即可求得概率；先分别求出A线路不超过20分钟的人数和B线路不超过20分钟的人数再进行比较即可得出答案【详解】∵在A地铁站乘车等待时间不超过15分钟有50
解析：1
5
B
【分析】
用“用时不超过15分钟”的人数除以总人数即可求得概率；
先分别求出A线路不超过20分钟的人数和B线路不超过20分钟的人数，再进行比较即可得出答案．
【详解】
∵在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟有50+50＝100人，
∴在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为100
500
＝
1
5
，
∵A线路不超过20分钟的有50+50+152＝252人，B线路不超过20分钟的有45+215+167＝427人，∴选择B线路，
故答案为：1
5
，B．
【点睛】
此题考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．4【分析】先把x=0代入（m-3）x2+6x+m2-7m+12=0得m2-7m+12=0再解关于m的方程然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值【详解】解：把x=0代入（m-3）x2+6x+m
解析：4
【分析】
先把x=0代入（m-3）x2+6x+m2-7m+12=0得m2-7m+12=0，再解关于m的方程，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
【详解】
解：把x=0代入（m-3）x2+6x+m2-7m+12=0得m2-7m+12=0，
解得m1=4，m2=3，
∵m-3≠0，即：m≠3
∴m的值为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
16．2021【分析】先根据意元二次方程根的定义得到m2＝3m﹣1然后把m2＝3m﹣1代入2020﹣m2+3m中后合并即可【详解】解：∵m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根∴m2﹣3m+1＝0∴m2
解析：2021
【分析】
先根据意元二次方程根的定义得到m2＝3m﹣1，然后把m2＝3m﹣1代入2020﹣m2+3m中后合并即可．
【详解】
解：∵m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m2＝3m﹣1，
∴2020﹣m2+3m＝2020﹣（3m﹣1）+3m
＝2020﹣3m+1+3m
＝2021．
故答案为2021． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法解决此类问题．
17．1【分析】根据根与系数的关系得到+=2=-1把+和的值代入求出代数式的值【详解】解：∵是一元二次方程()的两根∴+=2=-1∴2-1=1故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系利用根
解析：1 【分析】
根据根与系数的关系，得到α+β=2，αβ=-1，把α+β和αβ的值代入，求出代数式的值． 【详解】
解：∵α、β是一元二次方程221x x -=(2210x x --=)的两根， ∴α+β=2，αβ=-1， ∴αβαβ++⋅=2-1=1． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值．
18．35°【分析】利用正方形的性质得BA=BC ∠ABC=90°然后根据旋转的定义可判断旋转角为35°【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形∴∠BOC=90°∵四边形OPQR 是正方形∴∠POR=90°∴∠P
解析：35° 【分析】
利用正方形的性质得BA=BC ，∠ABC=90°，然后根据旋转的定义可判断旋转角为35°． 【详解】
解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠BOC=90°，
∵四边形OPQR 是正方形， ∴∠POR=90°，
∴∠POB=90°-∠BOR=35°，
∵△OPR 逆时针旋转后能与△OBC 重合， ∴旋转角∠POB=35°； 故答案为：35°． 【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
19．5【分析】先判断三条边的大小进而判断三角形为直角三角形根据直角三角
形性质求解即可【详解】解：∵∴三边大小关系为∵∴为直角三角形5为斜边长∴最长边上中线即斜边上中线长为25故答案为：；25【点睛】本题
解析：15
<< 5
【分析】
先判断三条边的大小，进而判断三角形为直角三角形，根据直角三角形性质求解即可．【详解】
解：∵
∴
三边大小关系为15
<<，
∵(2
22
1=25=5
+，
∴ABC
∆为直角三角形，5为斜边长，
∴最长边上中线即斜边上中线长为2.5．
故答案为：15
<；2.5．
【点睛】
本题考查了二次根式化简，勾股定理逆定理，直角三角形性质，根据三边长判断出三角形是直角三角形是解题关键．
20．55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°再根据折叠的性质可得答案【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC∴∠B′FC=∠2=70°∴∠1+∠B′FE=180°-∠B
解析：55°
【分析】
先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°，再根据折叠的性质可得答案．【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠B′FC=∠2=70°，
∴∠1+∠B′FE=180°-∠B′FC=110°，
由折叠知∠1=∠B′FE，
∴∠1=∠B′FE=55°，
故答案为：55°．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握矩形的对边平行、两直线平行同位角相等性质．
三、解答题
21．4
9
．
【分析】
画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出甲乙两人选择同款套餐的情况数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】
解：根据题意画图如下：
所有等可能的情况有9种，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩的有4种，
小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率为：4 9
【点睛】
本题考查概率问题，掌握概率的意义，树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
22．（1）200，补图见解析；（2）估计该校九年级学生中“基本了解”森林防灭火知识的学
生有400人；（3）3
5
．
【分析】
（1）由“不了解”的人数及其所占的百分比即可求出总人数．根据总人数可求出C等级的人数，即可补全统计图．
（2）利用C等级的人数所占的百分比乘以该校九年级的人数即可估算．
（3）利用列表法列举出所有事件发生的情况，再找出抽到一男一女的情况，最后根据概率公式计算即可．
【详解】
（1）2010%=200
÷人．
C等级的人数为200(406020)80
-++=（人），补全条形统计图如下：
（2）
80
1000400
200
⨯=（人），
故估计该校九年级学生中“基本了解”森林防灭火知识的学生有400人．（3）列表如下：
故恰好抽到一男一女的概率为123 205
=．
【点睛】
本题考查条形和扇形统计图相关联，列表法或树状图法求概率．掌握条形和扇形统计图的特点和能够正确列出表格是解答本题的关键．
23．（1）x1＝﹣1，x2＝3；（2）x1＝1，x2＝﹣0.2
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先整理成一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵x（x+1）＝3x+3，
∴x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
则（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3；
（2）5x2﹣3x＝x+1
整理，得：5x2﹣4x﹣1＝0，
∴（x﹣1）（5x+1）＝0，
则x﹣1＝0或5x+1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣0.2．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
24．（1）m<1；（2）另一个根x2的值是3．
【分析】
(1)根据题意可得根的判别式△>0,再代入可得4-4m>0，再解即可； (2) 根据根与系数的关系可得12b
x x a
+=-， 再代入可得答案． 【详解】
解：（1）一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2． △＝4﹣4m ＞0， ∴m ＜1，
（2）根据根与系数的关系可知：x 1+x 2＝2，因为x 1＝-1，所以x 2＝3． 【点睛】
本题考查根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．
25．（1）32cm 2；（2）①四边形的面积为S ＝12t ＋16（cm 2）；②当t ＝43或4
5
时，S △BAP ＝S △CQB ． 【分析】
(1) 由|8－a|＋(b －4)2＝0．可求=8=4a b ，，可求长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)； (2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，可求S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ＝12t ＋16(cm 2)； ②由S △BAP ＝S △CQB ，可列方程12×2t×4＝1
2
×|4t －4|×8，化去绝对值44t t -=±分类解方程即可． 【详解】
解：(1) a 、b 满足|8－a|＋(b －4)2＝0． ∵()2
8-0,40a b ≥-≥，
∴8-=04=0a b -，， ∴=8=4a b ，， ∴AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，
∴长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)；
(2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，
S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ， ＝
12(8－2t)×4＋1
2
×4t×8，
＝12t＋16(cm2)；
②由S△BAP＝S△CQB，得：1
2
×2t×4＝
1
2
×|4t－4|×8，
即|4t－4|＝t，
44
t t
-=±，
44
t t
-=或44
t t
-=-，
解得：t＝4
3
或
4
5
，
当t＝4
3
或
4
5
时，S△BAP＝S△CQB．
【点睛】
本题考查非负数和的性质，矩形面积，四边形面积，一元一次方程，掌握非负数的性质，利用非负数求出AD，AB，会求矩形面积，以及四边形面积，会利用三角形面积列方程解决问题是解题关键．
26．（1）见解析；（2）∠DEF=45°；（3）≤EF≤4
【分析】
（1）连结BD，由等腰直角三角形，结合D为AC中点可得AD=BD=CD，BD⊥AC,可求
∠A=∠DBF=45º，由DE⊥DF，可得∠ADE=∠BDF，再证△ADE≌△BDF（ASA）即可；（2）由△ADE≌△BDF得DE=DF，由DE⊥DF，可证△DEF是等腰直角三角形即可；
（3）由AC=，利用勾股定理AB=BC=4，当点E与点A重合时EF最大=4，当DE⊥AB
时，由∠DEB=∠B=∠EDF=90º，DE=DF，可证四边形EBFD正方形，可得EF最小=BD=
即可求出EF的取值范围为．
【详解】
解：（1）证明：连结BD，
∵在△ABC中，∠ABC＝90°， AB＝BC，
∴∠A=∠C=45º，
∵D是AC的中点，
∴AD=BD=CD，BD⊥AC,
∴∠DBC=∠DBA=45º，
∴∠A=∠DBF=45º，
∵DE⊥DF，
∴∠ADE+∠EDB=90°，∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE=BF，
（2）∵△ADE≌△BDF，
∴DE=DF，
∵DE⊥DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°；
（3）若AC=2，
在Rt△ABC中，由勾股定理AB=BC=
22
AC=42=4 22
，
当点E与点A重合时EF最大=4，
当DE⊥AB时，
∵∠DEB=∠B=∠EDF=90º，DE=DF，
四边形EBFD正方形，
EF最小=BD=22
EF的取值范围为22．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质与判定方法，三角形全等判定的方法与性质，正方形的判定方法与性质，勾股定理的应用是解题关键．。