高考数学总复习考前三个月考前回扣9矩阵与变换理(2021学年)

（江苏专用）20１8届高考数学总复习考前三个月考前回扣9 矩阵与变换理
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回扣９矩阵与变换
1．矩阵乘法的定义
一般地,我们规定行矩阵[a11a12]与列矩阵错误!的乘法规则为[a１１a1２]错误!=［a11×b1１+a1２×b ］，二阶矩阵错误!与列矩阵错误!的乘法规则为错误!错误!=错误!。

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一般地，对于平面上的任意一个点(向量）(x，y),若按照对应法则Ｔ,总能对应唯一的一个平面点（向量)(x′,ｙ′)，则称T为一个变换，简记为Ｔ:（x,y）→（x′,y′)或T：错误!→错误!。

2.几种常见的平面变换
(1）恒等变换．（2）伸压变换．(３）反射变换.（4)旋转变换．（５）投影变换.(６)切变变换．３.矩阵的逆矩阵
(1)逆矩阵的有关概念
对于二阶矩阵A,Ｂ,若有AB=BＡ=E，则称Ａ是可逆的,B称为A的逆矩阵.若二阶矩阵A存在逆矩阵Ｂ,则逆矩阵是唯一的,通常记Ａ的逆矩阵为A－1,A－1＝B.
（２）逆矩阵的求法
一般地,对于二阶可逆矩阵A=错误!（ad-bc≠0）,它的逆矩阵为A－1＝错误!。

(3)逆矩阵的简单性质
①若二阶矩阵A,B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AＢ)-1=Ｂ－1A－１.
②已知A,B，C为二阶矩阵,且AB=AＣ，若矩阵A存在逆矩阵,则B=C．
(4)逆矩阵与二元一次方程组
对于二元一次方程组错误!若将Ｘ=错误!看成是原先的向量，而将Ｂ=错误!看成是经过系数矩阵A ＝错误!（ａd－bc≠0)对应的变换作用后得到的向量,则可将其记为矩阵方程AX=B，错误!错误!=错误!,则Ｘ=A－1Ｂ，其中Ａ－1=错误!。

４.二阶矩阵的特征值和特征向量
(1）特征值与特征向量的概念
设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ,存在一个非零向量α，使得Ａα=λα,那么λ称为Ａ的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.
（2)特征向量的几何意义
从几何上看，特征向量经过矩阵A对应的变换作用后,与原向量保持在同一条直线上,这时特征向量或者方向不变（λ〉0），或者方向相反（λ〈0),特别地，当λ＝0时,特征向量就被变成
了０向量．
（3）特征多项式
设λ是二阶矩阵A=错误!的一个特征值,它的一个特征向量为α=错误!，则A错误!＝λ错误!,即错误!满足二元一次方程组错误!故错误!(＊)
由特征向量的定义知α≠0,因此x，y不全为0，此时Ｄx=0，D y＝0,因此,若要上述二元一次方程组有不全为０的解,则必有D＝0,即错误!=0．
定义:设A＝错误!是一个二阶矩阵,λ∈R,我们把行列式f(λ）=错误!=λ2－(ａ＋d)λ+ad-bc 称为A的特征多项式．
（4）求矩阵的特征值与特征向量
如果λ是二阶矩阵Ａ的特征值,则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根,它满足ｆ(λ)=０.此时,将λ代入二元一次方程组（*)，就可以得到一组非零解错误!,于是,非零向量错误!即为A的属于λ的一个特征向量.
1.矩阵的乘法不满足交换律:对于二阶矩阵A，B来说，尽管AB,BA均有意义,但可能AB≠ＢA。

矩阵的乘法满足结合律：设M，Ｎ，P均为二阶矩阵,则一定有（MN）P＝Ｍ(ＮP)．矩阵的乘法不满足消去律：设Ａ，Ｂ，C为二阶矩阵，当AB＝AＣ时，可能B≠C．
２．关于乘法的消去律：已知A,B,C为二阶矩阵,且ＡB=ＡＣ,若矩阵Ａ存在逆矩阵,则Ｂ=Ｃ.
3.在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚,防止混淆．
４．对于图象变换，一定要分清哪个是变换前的，哪个是变换后的，以及变换的途径,防止因颠倒而出错．
１.（20１7·苏州期末）已知矩阵A＝错误!，B=错误!，求矩阵C，使得AＣ=B。

解因为ＡC＝Ｂ，所以C＝A-1B。

由|Ａ｜=错误!＝6－1＝5，得A-１=错误!错误!。

所以C=1
5错误!错误!
=错误!错误!＝错误!
2.（２017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设矩阵Ａ满足A错误!=错误!,求矩阵A的逆矩阵A-1．
解A=错误!错误!-１
=错误!·错误!
＝错误!，
因为｜A|＝－错误!,所以A-1＝错误!。

3．(2０17·南京学情调研)已知矩阵Ａ=错误!,Ｂ＝错误!,设M＝AB。

(１）求矩阵M;
(2）求矩阵M的特征值.
解 (1）M=AＢ=错误!错误!=错误!.
(2)矩阵M的特征多项式为
f(λ)＝错误!=（λ-2）(λ－3）－2=λ2－5λ+４，
令f(λ)=0，解得λ１＝1，λ2=４，
所以矩阵M的特征值为1和4.
4.(2017·苏北四市模拟）求椭圆C：＼f(ｘ2，9)+错误!＝１在矩阵A=错误!对应的变换作用下所得的曲线的方程.
解设椭圆C上的点(x１，ｙ1)在矩阵Ａ对应的变换作用下得到点(x,ｙ),
则错误!错误!=错误!＝错误!,
则错误!代入椭圆方程错误!＋错误!＝１,得ｘ2＋y２=１,
所以所求曲线的方程为ｘ2＋y2＝１。

5.已知实数a,b,矩阵A＝错误!对应的变换将直线x－y－１＝0变换为自身,求a，ｂ的值．
解设直线x-y－1=0上任意一点Ｐ（ｘ,ｙ)在变换T A的作用下变成点P′（ｘ′，y′),
由错误!错误!＝错误!，得错误!
因为点P′（x′,y′)在直线x－ｙ－1＝0上，
所以x′-ｙ′-１＝0,即(-1－ｂ)x+(a-３)y－１＝0.
又P(x，y)在直线ｘ－y-１=0上，所以x－y-１＝０．
因此错误!
解得a=2,ｂ=－2.
6．已知矩阵Ａ＝错误!,向量α=错误!，计算A5α.
解矩阵Ａ的特征多项式为f(λ)=错误!＝λ２－５λ＋6，由f（λ)=0,得λ=2或λ=3。

当λ＝2时，矩阵A对应的一个特征向量为α1=错误!;当λ＝3时,矩阵Ａ对应的一个特征向量为α2=错误!．
设错误!=ｍ错误!+n错误!，解得错误!
所以A5α=2×25错误!＋１×35错误!=错误!。

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