人教版八年级数学下册第十七章 勾股定理 教案
人教版初中数学八年级下册《勾股定理》教案
人教版初中数学八年级下册《勾股定理》教案一. 教材分析人教版初中数学八年级下册《勾股定理》是学生在学习了平面几何基本概念和性质、三角形的知识后，进一步研究直角三角形的一个重要性质。
本节课通过探究勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，为后续学习勾股定理的运用和解决实际问题打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察、操作、推理能力。
但勾股定理的证明较为抽象，需要学生能够克服困难，积极思考，理解并掌握证明过程。
三. 教学目标1.了解勾股定理的定义和证明过程。
2.能够运用勾股定理解决直角三角形的相关问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：勾股定理的定义和证明过程。
2.教学难点：勾股定理的证明过程和运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法、讲解法、实践操作法等，引导学生主动参与，积极思考，培养学生的创新精神和实践能力。
六. 教学准备1.教具：直角三角形、尺子、三角板、多媒体设备。
2.学具：学生用书、练习册、文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示古代数学家赵爽的《勾股定理图》，引导学生观察、思考，提出问题：“为什么说这是一个直角三角形？它的两条直角边的边长是多少？”2.呈现（10分钟）教师引导学生观察、操作，发现直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
教师呈现勾股定理的表述：“在一个直角三角形中，斜边和直角边的平方和等于斜边的平方。
”3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作，运用勾股定理计算直角三角形的边长。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师通过多媒体展示一系列直角三角形的问题，引导学生运用勾股定理解决问题。
学生独立思考，教师选取部分学生进行讲解。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：“勾股定理在其他领域的应用有哪些？”学生分组讨论，分享自己的看法。
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八年级下册数学第十七章勾股定理集体备课（教课设计）17．1 勾股定理（一）一、教课目的1．认识勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培育在实质生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所获得的成就，激发学生的爱国热忱，促其勤劳学习。
二、教课要点、难点1．要点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
三、讲堂引入当前生界上很多科学家正在试图找寻其余星球的“人”， 为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类的语言、 音乐、各样图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反应勾股定理的图形， 假如宇宙人是“文明人”， 那么他们必定会辨别这类语言的。
这个事实能够说明勾股定理的重要意义。
特别是在两千年前， 是特别了不起的成就。
让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ ABC ，用刻度尺量出 AB 的长。
以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的， 他说：“把一根直尺折成直角，两段连接得向来角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。
再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ ABC ，用刻度尺量 AB 的长。
你能否发现 32 +42 与 52 的关系， 52+122 和 132 的关系，即 32+42 =52，52+122=132，那么就有勾 2 +股 2=弦 2 。
关于随意的直角三角形也有这个性质吗？达成 23 页的研究，增补下表，你能发现正方形 A 、B 、C 的关系吗？A 的面积（单位面B 的面积（单位面C 的面积（单位面 积） 积） 积）图 1 图 2由此我们能够得出什么结论？可猜想：命题 1：假如直角三角形的两直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ， 那么 。
四、合作研究：方法 1：已知：在△ ABC 中，∠ C=90°，∠ A 、∠ B 、 DC∠ C 的对边为 a 、b 、c 。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元教学设计
1.关注学生对勾股定理概念的理解，引导他们从几何角度和代数角度去认识、理解勾股定理。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以一个与勾股定理相关的实际问题导入新课，激发学生的兴趣和思考。
-提问：同学们，你们知道如何测量学校旗杆的高度吗？
-引导学生思考：如果我们知道旗杆底部到某一点的距离和该点到旗杆顶部的垂直距离，能否计算出旗杆的高度？
-揭示：今天我们就来学习一个与直角三角形有关的定理，它可以帮助我们解决这类问题，这就是勾股定理。
-通过课堂提问、课后作业、小测验等方式，了解学生的学习进度和掌握程度；
-给予学生积极的评价，鼓励他们克服困难，不断提高。
6.结合实际情境，开展课外实践活动，让学生在实际操作中感受勾股定理的魅力。
-例如，组织学生测量学校内的直角三角形物体，如楼梯、窗户等，将所学知识应用于实际，提高他们的数学应用能力。
1.勾股定理的理解与运用：学生需从几何和代数两个角度理解勾股定理，并将其应用于解决实际问题。
2.证明方法的掌握：学生需要掌握几何法、代数法等多种证明勾股定理的方法，提高逻辑思维和创新能力。
3.空间想象能力的培养：通过丰富的实例和操作活动，帮助学生建立直角三角形的空间概念。
教学设想：
1.采用情境导入法，以实际问题引入勾股定理，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
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17.1 勾股定理（第1课时）【教学任务分析】【教学环节安排】突出一下，换成下图你有什发现？说出你的观点其它直角三角形是否也存在这种关系？的面积C的面积：如果直角三角形的两直角边长分别为页，理解，提示：面积关系是图18.1-22.已知：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，长3. 已知：如图，等边△ABC的边长是6cm教师布置作业，并提出要求学生课下独立完成，延续课堂17.1 勾股定理（第2课时）【教学任务分析】【教学环节安排】图18.1--73m长的梯子AB,斜靠在一竖直的2.5m,如果梯子的顶端A0.5m吗?由图根据勾股定理可求BD的长，看看是否是AB和CD是什么关系？分别求出OB、OD即可.提示：① AD 与BD17.1 勾股定理（第3课时）【教学任务分析】【教学环节安排】解：①在数轴上找到点A，使OA=3②过A点作直线L垂直于OA，，在③以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点教材69页，练习1、2题.2. 如图18.1-14，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固.，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则求AC的长。
图18.1-16 图18.1-1718.1 第6题18.1 第10题17.1 勾股定理（第4课时）【教学任务分析】【教学环节安排】图18.1-26已知：如图，四边形ABCD中，°，CD=1cm，求BC的长。
17章勾股定理（小结与复习）【教学任务分析】【教学环节安排】78.解：提示：配成完全平方式9. 放置露在-短，(251010. 5秒和0都垂直.学习小组互相讨论,交流,展示第17章勾股定理教学活动【教学任务分析】【教学环节安排】2..如图，某学校（与公路车站（D店（C点），使之与该校之间的距离．如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理(教案)
b.在实际问题中，如何判断一个三角形是否为直角三角形，并运用勾股定理解决问题。
-解决方案：通过动画、实物模型等直观教具帮助学生形象地理解勾股定理的证明过程，采用分组讨论、师生互动等方式引导学生主动探究，突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
课堂上，我尝试采用了多种教学方法，如分组讨论、实验操作等，让学生在实践中学习和探索。这种做法在很大程度上提高了学生的参与度和积极性，但我也发现，在小组讨论过程中，部分学生依赖性强，不够主动参与。为此，我将在后续的教学中加强对学生的引导，鼓励他们提出自己的观点和疑问。
此外，我发现学生们在解决勾股定理相关问题时，有时会忽略细节，如单位不统一、计算错误等。针对这一问题，我将在今后的教学中加强对学生细节方面的指导，培养他们严谨的解题态度。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用绳子、直尺等工具制作直角三角形，并验证勾股定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
理的证明过程，提高学生观察、分析、归纳的数学思维，增强几何直观和空间观念；
3.运用勾股数解决实际问题时，培养学生数学建模和数学应用的素养，激发创新意识；
4.通过勾股定理在生活中的实例探讨，增强学生数学与现实生活联系的意识，提高数学文化素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的概念及其证明过程，这是本节课的核心内容。通过讲解勾股定理的起源、证明方法（如欧几里得的证明、我国古代的证明等），使学生深入理解定理的本质。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理勾股定理的证明教学设计
（一）教学重难点
1.理解并掌握勾股定理的表达式及其适用条件。
2.运用勾股定理解决实际问题，特别是计算直角三角形斜边长度。
3.理解并掌握勾股定理的证明过程，提高逻辑思维能力。
4.培养学生运用勾股定理发现和解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
通过呈现生活中的直角三角形实例，如楼梯、墙壁等，引导学生观察、思考，激发学生的好奇心和求知欲，为新课的学习做好铺垫。
（二）过程与方法
1.通过对勾股定理的探究，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
2.通过小组合作、讨论交流，培养学生团队协作精神和沟通能力。
3.引导学生运用多种方法证明勾股定理，培养学生的发散思维和创新能力。
4.设计实际情境，让学生在实际问题中运用勾股定理，提高学生的应用能力。
（三）情感态度与价值观
3.教师强调勾股定理在实际问题中的应用价值，鼓励学生在生活中发现数学的美。
4.教师布置课后作业，要求学生运用勾股定理解决实际问题，巩固课堂所学布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，特布置以下作业：
1.请同学们运用勾股定理，计算以下直角三角形的斜边长度：
1.引入勾股定理的概念，引导学生了解勾股定理的背景和意义。
2.通过实例演示，让学生直观地感受勾股定理的应用。
3.采用多种方法证明勾股定理，如几何法、代数法等，培养学生的逻辑思维和创新能力。
4.设计丰富的练习题，巩固学生对勾股定理的理解和应用。
5.结合生活实际，让学生在实际情境中运用勾股定理，提高学生的应用能力。
某建筑工地需要测量一块直角三角形的斜边长度，已知两条直角边的长度分别为10米和24米。由于工地条件有限，无法直接测量斜边长度。请问：如何利用勾股定理计算斜边长度？
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习教学设计
4.借助勾股定理这一数学工具，引导学生发现数学与生活、艺术的紧密联系，培养他们的审美情趣和跨学科素养。
二、学情分析
八年级学生在学习勾股定理之前，已经具备了平面几何的基础知识，掌握了三角形的基本概念和性质，能够识别直角三角形，并对直角三角形的边长关系有初步的了解。在此基础上，他们对勾股定理的学习将更加深入和系统。然而，学生在运用勾股定理解决问题时，可能会遇到以下困难：对勾股定理的理解不够深刻，不能灵活运用定理解决实际问题；对勾股数的性质掌握不牢固，容易混淆；在解决复杂问题时，缺乏解题思路和方法。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，引导他们通过合作学习、自主探究等方式，逐步克服困难，提高解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，使他们主动参与到勾股定理的学习中，为后续数学知识的学习打下坚实基础。
-设计意图：巩固学生的基础知识，为解决复杂问题打下基础。
4.例题解析：选择不同类型的例题，包括简单应用和综合应用，逐步引导学生掌握勾股定理的运用。
-设计意图：通过梯度性练习，使学生在解决问题的过程中逐步提高解题能力。
5.课堂互动：鼓励学生主动提问，开展小组讨论，分享解题思路，促进师生之间、生生之间的互动交流。
-设计意图：激发学生的学习兴趣，增强他们对数学知识实用性的认识。
2.新课呈现：采用探究式教学方法，引导学生通过观察、猜想、验证等步骤，发现并理解勾股定理。
-设计意图：培养学生的逻辑思维能力和探索精神，加深对勾股定理的理解。
3.课堂讲解：结合教材，详细讲解勾股定理的证明过程，以及勾股数的性质和判定方法。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习教学设计
第十七章-人教版勾股定理教案
第十七章勾股定理（一）教材所处的地位1、教材分析：本章是人教版《数学》八年级下册第17章，本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的勾股定理，介绍勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用。
勾股定理是直角三角形的一个很重要的性质，反映了直角三角形三边之间的数量关系。
在理论和实践上都有广泛的应用。
勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法。
在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中，勾股定理知识将得到更重要的应用。
2、教材特点：①在呈现方式上，突出实践性与研究性。
（对勾股定理是通过问题引出加以探索认识的。
②突出学数学、用数学的意识与过程，勾股定理的应用尽量和实际问题联系起来。
③对实际问题的选取，注意联系学生的实际生活。
④注意扩大学生的知识面。
（本章安排了两个阅读材料和一个课题学习）⑤注意训练系统的科学性，减少操作性习题，增加探索性问题的比重。
（二)单元教学目标（包括情感目标）知识与技能目标：1、经历由情境引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。
2、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会运用勾股定理解决相关问题。
3、掌握勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），会运用勾股定理逆定理解决相关问题。
4、运用勾股定理及其逆宣解决简单的实际问题。
情感与态度目标：5、感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。
（三）单元教学重难点教学重点：1、探索勾股定理并掌握勾股定理；2、直角三角形的判定方法（勾股定理的逆定理）；3、勾股定理及其逆定理的应用；教学难点：1、从多个角度（代数、几何）探究勾股定理；2、勾股定理逆定理的应用；3、在勾股定理的应用过程中构造适用勾股定理的几何模型。
（四）单元教学策略1、教学步骤：①整个章节的教学可分四步：探索结论——验证结论——初步应用结论——应用结论解决实际问题。
人教版八年级数学下册第17章 勾股定理 教案
第十七章勾股定理17.1 勾股定理第1课时勾股定理1.了解勾股定理的发现过程.2.掌握勾股定理的内容.3.会用面积法证明勾股定理.自学指导：阅读课本22页至24页，完成下列问题.知识探究1.毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现了用砖铺的地面反映了直角三角形三边的某种数量关系.2.通过你的观察，你发现了等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.命题一：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c，那么a2+b2=c2.4.汉代赵爽利用弦图证明了命题一，把这个命题称作勾股定理.而西方人认为是毕达哥拉斯证明，所以西方人称作毕达哥拉斯定理.自学反馈1.在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.在直角三角形中，两直角边分别为3、4，那么斜边为5.3.在直角三角形中，斜边为10，一直角边为6，则另一直角边为8.运用勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”计算.活动1 小组讨论探究一：探究勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.(1)如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积.解：A的面积=4；B的面积=9；C 的面积=52-4×12(2×3)=13; 所以A+B=C.A ′=9；B ′=25；C ′=82-4×12(5×3)=34; 所以A ′+B ′=C ′.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)赵爽弦图解：朱实=12ab ；黄实=(a-b)2； 正方形的面积=4朱实+黄实=(a-b)2+12ab ×4=a 2+b 2-2ab+2ab=a 2+b 2； 又正方形的面积=c 2，所以a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方. 探究二：求出直角三角形中未知边的长度.解：∵Rt △ABC 中，∠C 为直角,∴BC 2+AC 2=AB 2,即62+AC 2=102. ∴AC 2=64. ∵AC>0,∴AC=8.探究三：一个门框的尺寸如图所示，一块长3米，宽2.2米的薄木板能否从门框内通过？为什么？分析：木板横着、竖着，都不可能从门框内通过，所以只能试试斜着能否通过. 对角线AC(或BD)是斜着能通过的最大长度.求出AC，再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.解：∵Rt△ABC中，∠B为直角，根据勾股定理，得：AC2=AB2+BC2=12+22=5.∴≈2.236.∵AC大于木板的宽，∴木板能从门框通过.活动2 跟踪训练1.在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，∠C=90°.(1)已知a=3,b=4.则c=5.(2)已知c=25,b=15.则a=20.(3)已知c=19,a=13.则.(结果保留根号)(4)已知a∶b=3∶4,c=15,则b=12.利用方程的思想求直角三角形有关线段的长.2.(1)直角三角形两条直角边的长分别为6和8,则斜边上的中线为5.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，则BC∶AC∶(3)在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=BC，则AC∶BC∶若AB=8,则又若CD⊥AB于D,则CD=4.3.一个3 m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米，如果梯子的顶端A沿着墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？解：∵在Rt△AOB中，OB2=AB2-AO2=32-2.52=2.75，∴OB≈1.658（m).在Rt△COD中，OD2=CD2-CO2=32-22=5，∴OD≈2.236（m)，BD=OD-OB≈2.236-1.658=0.578（m)，BD≠0.5（m).4.等边△ABC的边长为a,则高AD=？面积S=？解：添加辅助线：作AD ⊥BC 构建直角三角形.∵三角形ABC 为等边三角形， ∴AD 平分BC,BD=12a. 在Rt △ABD 中，AD 2=a 2-(12a)2=34a 2，∴AD=2a ，S=12·a ·2a=4a 2. 活动3 课堂小结1.勾股定理的内容及证明.2.勾股定理的简单应用.第2课时勾股定理的应用1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.2.在运用勾股定理解决实际问题过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值.自学指导：阅读课本25页至27页，完成下列问题.知识探究1.勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.的线段是直角边为正整数1，1的直角三角形的斜边.3，2的直角三角形的斜边.自学反馈1.的线段.2.的线段.活动1 小组讨论例1 .解：2，3的直角三角形的斜边.(1)画数轴，取点A，使OA=3；(2)过点A画数轴的垂线a，在a上取点B，使AB=2.(3)以点O为圆心，OB的长为半径作弧，弧与数轴的交点为C.点C.例2…的点.活动2 跟踪训练1.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)已知:a=9,b=40,则c=41;(2)已知:a=6,c=10,则b=8;(3)已知:b=5,c=13,则a=12;(4)已知c=n2+1，b=2n，则a=|n2-1|.利用勾股定理，(1)是已知直角边求斜边.(2)(3)是已知斜边和一直角边求另一直角边或的斜边是个多项式，运算要注意.2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5 000米，飞机每小时飞行多少千米？解：540千米求速度，要把20秒换算成小时，20秒=1180小时.3.小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗？解：582+462=5 480；742=5 476，荧屏对角线大约为74厘米.售货员没有搞错.我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度.活动3 课堂小结把实际问题转化成直角三角形，利用勾股定理进行计算.17.2 勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理及其作用.2.什么是互逆命题.3.什么是互逆定理.4.能灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.自学指导：阅读课本31页至33页，完成下列问题.知识探究1.古埃及人画直角的方法是：在一根绳子上打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，然后用木桩钉成一个三角形，其中一个角是直角.2.互逆命题：在一对命题中，第一个命题的题设恰好为第二个命题的结论，而第一个命题的结论恰好是第二个命题的题设，像这样的两个命题叫做互逆命题.我们把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题.3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，这两个定理为互逆定理.4.勾股定理是：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.它的逆定理是：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2；那么这个三角形是直角三角形.5.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数(或勾股弦数).自学反馈1.说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.(1)原命题：猫有四只脚.(√)逆命题：有四只脚的是猫.(×)(2)原命题：对顶角相等.(√)逆命题：相等的角是对顶角.(×)(3)原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端的距离相等.(√)逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(√)(4)原命题：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.(√)逆命题：在角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(√)任何一个命题都有逆命题；原命题正确，逆命题不一定正确，原命题不正确，逆命题可能正确.2.下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1)a=25 b=20 c=15解：是；∠A=90°(2)a=13 b=2 c=15解：不是(3)a=1 b=2解：是；∠B=90°(4)a∶b∶c=3∶4∶5解：是；∠C=90°根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方.大边对的是大角，即大边对的角是直角.活动1 小组讨论例1证明：勾股定理的逆定理.已知：△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a2+b2=c2；求证：△ABC是直角三角形.证明：画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b,∠C′=90°.在Rt△A′B′C′中，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2,又a2+b2=c2,∴A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中，B′C′=a=BC；A′C′=b=AC；A′B′=c=AB,∴△ABC≌△A′B′C′.∴∠C=∠C′=90°,即△ABC是直角三角形.例2判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.解：(1)因为152+82=225+64=289,172=289,所以152+82=172，这个三角形是直角三角形.(2)因为132+142=169+196=365,152=225,所以132+142≠152，这个三角形不是直角三角形.例3某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿那个方向航行吗？分析：我们根据题意画出图，可以看出由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.解：根据题意，画图如下PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°.由“远航”号沿东北方向航向可知，∠QPS=45°,所以∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行.活动2 跟踪训练1.如果三条线段长a、b、c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形.解：是.因为a2=c2-b22.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( C )A.5，6，7B.10，8，4C.7，25，24D.9，17，153.以下面各组正数为边长，能组成直角三角形的是( C )A.a-1，2a，a+1B.a-1，2，a+1C.a-1，a+1D.a-1a，a+14.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？(1)两直线平行，内错角相等.(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.(3)全等三角形的对应角相等.(4)等腰三角形的底角相等.解：(1)内错角相等，两直线平行.√(2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等.×(3)对应角相等的三角形全等.×(4)底角相等的三角形是等腰三角形.√5.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a、b、c为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？解：对.因为a2+b2=(2m)2+(m2-1)2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1=(m2+1)2,而c2=(m2+1)2,所以a2+b2=c2,即a、b、c是勾股数.m=2时，勾股数为4、3、5；m=3时，勾股数为6、8、10；m=4时，勾股数为8、15、17.6.欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=169.∵132=169,AB>0,∴AB=13.∴至少需要13米的梯子.活动3 课堂小结1.勾股定理的逆定理.2.互逆命题.3.互逆定理.4.勾股数.5.勾股定理的应用:(1)判断三角形的形状.(2)用于求角度.(3)用于求边长.(4)用于求面积.(5)用于证垂直.。
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理说课稿
（3）在解决直角三角形问题时，如何引导学生发现并运用勾股定理，是教学中的难点。
二、学情分析
（一）学生特点
本节课所面向的学生为八年级学生，他们正处于青春期，具有以下特点：首先，年龄特征上，他们好奇心强，思维活跃，具有一定的抽象思维能力，但仍然需要具体形象的支撑。其次，在认知水平上，学生已经掌握了平面几何的基本知识，具备了一定的逻辑推理和空间想象能力。在学习兴趣上，学生对新知识充满好奇，但可能对理论性较强的内容感到枯燥。在学习习惯上，学生可能习惯于机械记忆，缺乏深度思考和探究的习惯。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将按照以下步骤逐步呈现知识点：
1.首先介绍勾股定理的定义，通过直观的图形展示，让学生理解直角三角形两条直角边与斜边之间的关系。
2.接着，通过几何画板的动态演示，让学生观察直角三角形的变化，并引导学生发现无论三角形大小如何变化，勾股定理始终成立。
3.然后，我会提供几种不同的证明方法，包括几何拼贴法、代数法等，让学生在理解定理的同时，也了解不同的证明思路。
主要知识点包括：
1.勾股定理的定义及表述。
2.勾股定理的证明方法。
3.勾股定理的应用，包括解决直角三角形中的问题以及实际生活中的应用。
（二）教学目标
1.知识与技能目标：
（1）使学生掌握勾股定理的定义、表述及证明方法。
（2）培养学生运用勾股定理解决直角三角形中的问题，能够熟练运用勾股定理进行计算和证明。
板书的主要内容包括勾股定理的表述、证明步骤、应用案例以及相关的数学公式。风格上，我会使用简洁明了的文字和图表，以及不同颜色的粉笔来区分不同类别的内容，增强视觉效果。
板书在教学过程中的作用是提供结构化的信息，帮助学生理解和记忆。为确保板书清晰简洁，我会提前规划板书内容，避免过度拥挤，并在教学过程中适时擦拭不必要的部分，保持板书的整洁。同时，我会用箭头和编号来指示逻辑关系，帮助学生把握知识结构。
人教版数学八年级下册第十七章《数学活动——勾股定理的应用及其证明方法的探究》教学设计
人教版数学八年级下册第十七章《数学活动——勾股定理的应用及其证明方法的探究》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册第十七章《数学活动——勾股定理的应用及其证明方法的探究》主要包括勾股定理的发现、证明及应用。
本章通过探究勾股定理的证明方法，让学生加深对勾股定理的理解，提高运用勾股定理解决实际问题的能力。
教材内容丰富，既有理论探究，又有实践操作，旨在培养学生的动手操作能力、观察能力及创新能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了勾股定理的基本知识，但对勾股定理的证明方法了解不多。
本章内容有利于拓展学生对数学知识的理解，提高学生解决实际问题的能力。
在学习过程中，学生需要动手操作，观察分析，合作交流，从而更好地理解勾股定理的证明方法及其应用。
三. 教学目标1.理解勾股定理的证明方法，提高运用勾股定理解决实际问题的能力。
2.培养学生的动手操作能力、观察能力及创新能力。
3.增强学生对数学知识的兴趣，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：勾股定理的证明方法及其应用。
2.教学难点：不同证明方法的推导过程及运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体情境，激发学生的学习兴趣，提高学生运用勾股定理解决实际问题的能力。
2.探究式教学法：引导学生动手操作，观察分析，合作交流，从而掌握勾股定理的证明方法。
3.案例教学法：分析实际问题，让学生学会将理论知识应用于实际情境中。
六. 教学准备1.准备相关教学素材，如图片、视频、PPT等。
2.准备实验器材，如直尺、三角板、绳子等。
3.提前布置学生预习本章内容，了解勾股定理的证明方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示勾股定理的实例，如古代建筑、现代科技等，引导学生思考勾股定理在实际生活中的应用。
2.呈现（10分钟）介绍勾股定理的证明方法，如几何画板、三角板等，让学生直观地了解证明过程。
3.操练（10分钟）分组进行实验，让学生动手操作，验证勾股定理。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理单元整体教学设计
5.学生对数学的兴趣和情感态度：在本章节教学中，教师应关注学生的情感态度，激发他们对数学的兴趣，使他们能够积极主动地投入到勾股定理的学习中。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
8.教学评价，关注成长
教师对学生的学习过程进行评价，关注他们在知识掌握、能力提升、情感态度等方面的成长。通过评价，为学生提供反馈，帮助他们不断调整学习方法，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教师通过一个生活实例，如测量学校旗杆的高度，引出问题：如何用一根绳子测量旗杆的高度？从而引发学生对直角三角形边长关系的思考。
1.学生对勾股定理的认知程度：大部分学生可能对勾股定理的概念较为陌生，教师需要通过生动的实例和形象的解释，帮助学生理解并掌握这一重要定理。
2.学生在实际问题中的应用能力：八年级学生在解决实际问题过程中，可能对如何运用勾股定理感到困惑。教师应设计丰富的例题和练习，引导学生将理论知识运用到实际情境中。
3.学生的数学思维和逻辑推理能力：在本章节教学中，教师应关注学生的数学思维发展，引导他们通过观察、分析、归纳等方法发现勾股定理及其逆定理，提高学生的逻辑推理能力。
2.自主探究，发现定理
教师组织学生进行自主探究，引导他们观察直角三角形的性质，发现勾股定理。在此过程中，教师给予适当的提示和指导，帮助学生理解定理的本质。
3.精讲精练，掌握方法
教师通过讲解典型例题，让学生掌握勾股定理的运用方法。同时，设计具有梯度性的练习题，使学生在实践中逐步提高解题能力。
4.小组合作，交流分享
教师在教学过程中关注学生的情感态度，通过表扬、鼓励等方式，激发学生对数学学习的兴趣。同时，让学生认识到勾股定理在生活中的广泛应用，增强他们的学习动力。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理小结(教案)
一、教学内容
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理小结：
1.勾股定理的概念及表述；
2.勾股定理的证明方法（几何法和代数法）；
3.勾股数及其性质；
4.勾股定理在实际问题中的应用；
5.勾股定理与相似三角形、锐角三角函数的联系。
二、核心素养目标
1.培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力，提高数学应用意识；
在小组讨论中，我努力扮演好引导者的角色，尽量提出一些启发性的问题，引导学生发现问题、分析问题并解决问题。但从学生的反馈来看，部分学生在解决问题的过程中仍然显得有些迷茫，这让我认识到，在今后的教学中，我要更加关注学生的个体差异，针对性地给予指导。
-对于勾股数的识别，学生可能会局限于整数勾股数的认识，难以推广到分数或小数勾股数，教师需要提供更多例子，拓展学生的认知范围；
-在实际问题中应用勾股定理时，学生可能难以将问题转化为数学模型，教师应引导学生分析问题，明确已知和未知量，建立方程；
-对于勾股定理与其他数学知识的联系，学生可能难以自主发现，教师需要设计相关练习和讨论活动，帮助学生建立知识网络。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理小结》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”（如测量国旗杆的高度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述和证明这两个重点。对于难点部分，如几何法和代数法的证明过程，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
人教版八年级下册第十七章17.1勾股定理教学设计
3.请举出三个生活中的例子，说明勾股定理的应用。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的内容，总结勾股定理的定义、证明方法和应用。同时，强调勾股定理在数学和生活中的重要性，激发学生学习数学的兴趣。
最后，我会告诉学生：“勾股定理是数学中的一个重要定理，它揭示了直角三角形边长之间的内在联系。希望同学们能够掌握这个定理，并在今后的学习和生活中，善于运用它，解决实际问题。”通过总结，使学生对勾股定理的认识更加深刻，提高他们的数学素养。
2.通过实际操作和练习，使学生熟练掌握勾股定理的计算方法，提高数学运算能力。
3.引导学生从多个角度去思考问题，培养学生的逻辑思维和发散思维。
4.通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对待数学问题的积极态度，克服困难，勇于挑战。
2.使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强数学应用的意识。
在这个过程中，我会注重学生的参与和思考，鼓励他们提出问题，发表自己的看法。通过师生互动，使学生更好地理解和掌握勾股定理。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，让他们针对以下问题进行讨论：
1.勾股定理的发现过程是怎样的？
2.你能想到哪些方法证明勾股定理？
3.勾股定理在生活中的应用有哪些？
4.应用环节：设计具有实际背景的练习题，让学生运用勾股定理解决问题。教师应关注学生的解题过程，指导他们正确建立数学模型，提高问题解决能力。
5.巩固环节：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对勾股定理的理解和应用。同时，开展小组互评、讨论等活动，促进学生之间的交流与合作。
人教版八年级数学下册17.1勾股定理教学设计
2.提出问题：
-在直角三角形中，我们学过哪些关于边长的关系？
-你觉得直角三角形中的斜边和两个直角边之间是否存在某种特定的关系？
3.目标导向：
通过导入环节，激发学生对勾股定理的兴趣，明确本节课的学习目标，即理解并掌握勾股定理。
（二）讲授新知
1.勾股定理的表述：
-以直观的图形和具体的数字为例，引导学生观察直角三角形中斜边和两个直角边之间的关系。
-给出勾股定理的表述：直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
2.勾股定理的证明：
-采用数学归纳法，引导学生通过实际操作和逻辑推理，证明勾股定理的正确性。
-结合多媒体演示，形象直观地展示勾股定理的证明过程。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
-组织学生回顾本节课的学习内容，总结勾股定理的表述、证明和应用。
-引导学生反思学习过程中的收获和不足，为下一节课的学习做好准备。
2.归纳总结：
-勾股定理是直角三角形中一个重要的边长关系，具有广泛的应用价值。
-学生通过自主探究、小组讨论和课堂练习，掌握了勾股定理的证明和应用。
1.学生对勾股定理的认知程度：大部分学生可能只知道勾股定理的表述，但对其证明过程和应用范围了解不深，需要引导学生通过实例和练习，逐步加深理解。
2.学生的逻辑推理能力：在本章节的教学过程中，要注重培养学生的逻辑推理能力，引导学生运用已知知识推导出勾股定理，并能够运用定理解决实际问题。
3.学生的动手操作能力：通过设计丰富的实践环节，让学生在实际操作中感受勾股定理的奥妙，提高学生运用勾股定理解决问题的能力。
4.引导学生总结勾股定理的相关性质和规律，形成知识体系，提高学生的总结概括能力。
2017-2018学年度人教版八年级数学下册第十七章勾股定理(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形相关问题的重要工具，有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们要计算一个直角三角形的斜边长度，我们可以利用勾股定理来解决这个问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出浓厚的兴趣。他们对于直角三角形的三边关系有了直观的认识，特别是在实验操作环节，通过亲自动手构建直角三角形，验证勾股定理，这个过程极大地激发了他们的学习热情。
不过，我也注意到，在定理的证明环节，部分学生对于图形的构造和逻辑推理过程感到困惑。这让我意识到，对于这部分难点内容，我需要采用更直观、更具体的教学方法，比如使用多媒体动画或者实物模型来辅助教学，帮助学生更好地理解和掌握证明过程。
3.培养学生数学运算与数据分析能力，掌握勾股数的特点，解决相关习题，提高运算准确性；
4.培养学生问题发现与解决能力，运用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，增强数学应用意识；
5.培养学生合作交流与反思能力，通过小组讨论、问题探究，提高学生对勾股定理及其应用的理解深度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-勾股定理逆定理的深入理解：理解并能够运用逆定理解决复杂问题，如判断非整数勾股数；
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总结
6
10
A C
B
图18.1-26
已知:如图,四边形ABCD中,
°,CD=1cm,求BC的长。
17章勾股定理(小结与复习
【教学任务分析】【教学环节安排】
,
,其中斜
,AB=1,
,则
④直角三几步而走捷径,于是在草坪上开辟了一条“新路”,
.
㎝长的细木棒放入长、宽、高分别
㎝的长方体无盖盒子中,求细木棒教师:出示题目,提出要求,
布置完成.
学生:完成后,小组内核对
讨论,提出问题.
教师:根据学生存在问题讲解.
答案:
1. 5
2.D
3.1
4. 120
5. 7
6. A
7. 2步
8.解:提示:配成完全平方
式
9.放置露在盒外面的最短,(25102cm
-
,
10. 5秒和0秒时,PA与腰
都垂直.
7
学习小组互相讨论,交流,展示
丰阳中学闫志晓第17章勾股定理教学活动【教学任务分析】知识教学目情感标重点难点态度技能过程方法1.会证明勾股定理，了解勾股定理的多种证明方法. 2.数学来源于生活，服务于生活生产，学会应用勾股定理解决实际问题.经历勾股定理的证明及应用过程，让学生学会动手、动脑、学会观察，善于发现.养成良好的思维习惯和学习习惯.. 1.经历勾股定理证明及应用，学会创新，善于在生活中发现问题，运用数学知识解决问题. 2.感受解决问题的方式方法的多样，善于创新，学以致用.理解认识动手制作模型是研究、理解数学的一种好方法.勾股定理的证明多样性和应用.勾股定理在实际中的应用.【教学环节安排】环节教学问1.什么是勾股定理？题设计教学活动设计教师：，出示题目，提出问题.教师：出示问题，提出要求学生：回答完成.教师总结：创建直角三角形利用勾股定理解决情境引入自主探究合作交流尝4. 1.小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿，如果电梯11 2.利用勾股定理求解实际问题？活动一：怎样证明勾股定理？注意：提前布置作业，教材78页，活动1，让学生查阅资料，搜集勾股定理的证明方法.学生以组为单位，介绍勾股定理的证明方法.教师：提出问题、引导学生说明勾股定理的证明方法.学生：以组为单位，在班内介绍勾股定理的证明方法，学生互相交流.教师：听、鼓励，引导.活动二：你有办法测量吗？结合所学，说说你的方法.学生讲述.教师注意鼓励学生创新.教师：提出问题和要求.学生：分组讨论提出方案，部分组派一名学生在黑板上画图讲解.注意：发挥学生能动性.培养学生动脑、动手、动口，让学生学会自己查阅材料、自己学习.教师：出示题目，提出要求.学生：1题，制作一个少一立面的
17.1勾股定理(第1课时【教学任务分析】
【教学环节安排】
突出一下,换成下图你有什发现?说出你的观点
其它直角三角形是否也存在这种关系?
的面积C的面积
:如果直角三角形的两直角边长分别为
页,理解,提示:面积关系是
1.求出下列各直角三角形中未知边x的长度.
2.已知:如图在Rt△ABC中,∠C=90°,A B=15,AC=12,求BC的长
2.如图18.1-14,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固
.
,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在
垂直江岸,测得BC=50米,∠B=60°,则
求AC的长。
图18.1-16图18.1-17
18.1第6题
18.1第10题
17.1勾股定理(第4课时
【教学任务分析】【教学环节安排】
______________.
(2长是13的线段怎么画?是由直角边长为_____和______整数组成的直角三角形的斜边?
(3怎样在数轴上画出表示13得点?
解:①在数轴上找到点A,使OA=3,
②过A点作直线L垂直于OA,,在L上截取AB=2,
③以O为圆心,以OB为半径画弧,交数轴于点C,教师:
教师:适当点评
你知道
教材69页,练习1、2题.
3.已知:如图,等边△ABC的边长是6cm, AD为BC边上的高,求AD的长2.
3.
必做题:教师布置作业,并提出要求
学生课下独立完成,延续课堂
17.1勾股定理(第2课时
图18.1-2
【教学任务分析】
【教学环节安排】
图18.1--7果梯子的顶端A
0.5m吗?
由图根据勾股定理可求BD的长,看看是否是
AB和CD是什么关系?
分别求出OB、OD即可.
提示:① AD与BD
17.1勾股定理(第3课时
【教学任务分析】【教学环节安排】
【问题1】:数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示13的点吗?
分析引导:(1你能画出长为2的线段吗?怎么画?说说你的画法.
丰阳中学闫志晓试应用的长、宽、高分别是4尺、3尺、12尺，那么，你能帮小明估计一下买的竹竿至多是多少尺吗？（结果取整数）长方体，操作尝试说明竹竿怎样进才能取最大长度？学生完成后，展示答案，师生共同进行订正.学生自主完成，如果遇到困难，可让学生在组内讨论后完成，并进行展示2..如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．成果展示引导学生对上面的问题进行展示交流——知识点，做题的方法，技巧，心得及困惑. 1.在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？学习小组互相讨论,交流,补充,展示针对前几个环节出现的问题，进行针对性的补偿，对学有余力的学生拓展提高.补分析:根据题意分析蚂蚁爬行的偿提高5.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？路线有三种情况,由勾股定理可求得爬行的路线最短.作业设计必做题：教材80页复习题18.第8两题选做题：教材80页复习题18.第9两题教师布置作业，并提出要求.学生课下独立完成，延续课堂. 12
【问题1】: 1.求出下列直角三角形中未知的边
(1
(2
2. (1在在Rt△ABC中,∠C=90°,A a
∠的对边为,
B b
∠的对边为,c
斜边为,且a:b=3:4,c=15,求a、b (2小刚准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶学生:教师: