求矩阵的秩有下列基本方法(1)用初等变换.即用矩阵的初等行(.

2 5
2 5
2 2
1 0
1 2
r4 r5
2 r1 5r1
0 0
2 5
4 13
1 5
1 3
～ ～ 1 r22r4
0 r4 2r3
2 0
3 0
1 0
1 0
r5 2r4
r12r3 r1r4
1 0
0 1
1 1
0 2
0 0
0 1 5 3 1 0 0 6 5 1
r5
5
r3
0 0
0 0
6 5 12 10
1 2 0 0 1
例
1.
求矩阵A
0 1 1
6 11 19
2 3 7
4 6 14
10
16 34
的秩
解：对A施行初等行变换
A
~
1 0 0
0
2 6 9 21
0 2 3 7
0 4 6 14
1 10 15 35
~
1 0 0 0
2 3 0 0
0 1 0 0
0 2 0 0
1
5 0 0
B
所以
R( A) R(B) 2
1 2
r3 r2 r4
r4 r3 r4
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
～ 1 r1
1 6
r3
0 r2
1 6
r3
0 1
0 0
56 7 6
16 16
0 0 1 56 16
1 6
r3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
由此可知R(B) R( A) 3，小于末知量的个数，故
有一个自由末知量，设自自由末知量为 x4 k可得
(2) XA B
~
A 初等列变换
B
E BA1
X
BA1
或者
初等行变换
~ ( AT BT)
( E (AT )1BT )
X T (AT )1BT X BA1
例 3.设
A
103
0 1 1
104 , 且AX
A
2 X , 求矩阵X .
解：AX A 2X (A - 2E)X A
X
(A - 2E)1 A
所以，方程组 (AT A)x O与方程组 Ax O有
相同的解，故 RAT A RA
1 1 1 1 1 1 1 1
解一：A
1 1
2 1 2 1 a 1
01 0 0 2 a 1
1 2
3 2 3 a 0 5 0 a 3
1 1 1 1
01 0 0 0 a 1
1 0
(a 1)(a 2)
0 0 0 a2
当a 1 or a 2 时，| A | 0,方程组有非 零解。当a 1时，把系数矩阵A化为行 最简矩阵为
注意：在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时 兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．
二、求逆矩阵的初等变换法
要求可逆矩阵A 的逆矩阵,只需对分块矩阵
( A E) 施行初等行变换,当把 A 变成 E 时,原来的
E
就变成了A1。或者对分块矩阵
A E
施行初等
列变换,当把 A 变成 E 时,原来的E 就变成了A1。
三、求解线性方程组
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解．
当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换
法和克莱姆法则．
例 1. 求下面非齐次线性方程组的通解
x1 2x2 3x3 x4 1
32xx11
2 x2 3x2
x3 x3
21
~
1
0
0 0
1 1 0 0
1 0 3 0
1
1
0 0
~
1 0 0
0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1
0
0
从而得到方程组的通解为
x1 0
x
x2 x3 x4
k
1
0 1
(k为任意常数)
解二：用初等行变换把系数矩阵A化 为行阶梯矩阵
1 1 1 1 1 1 1 1
A
1
1 3
2 1 2
1 1 1 1 1 0 1 0
A～
1
1 3
2 1 2
1 1 3
2 11
~
0
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
从而得方程组的通解为
x1 1
x
x2 x3 x4
k
0 1 0
(k为任意常数)
当a 2 时,把系数矩阵A化为行最简矩阵为
A～
1
1
1 3
1 2 1 2
1 1 2 3
1 2
x4 x4
1 1
(1)
2x1 2x2 2x3 x4 1
5x1 5x2 2x3 2
解：对方程组的增广矩阵B进行行的初等 变换，使其成为行最简矩阵。
～ 1
3
2 2
3 1
1 1
1 1
r2 r3
3r1 2 r1
1 0
2 4
3 8
1 1 2 2
B 2 3 1 1 1 0 1 5 3 1
1 4
1 4
1 4
1 1 11
1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
11
7
4
1 4
1 4
1 4
1
4
1
4
1 4
1 4
1
4
1 4
1
4
1 4
1 4
1 4 1 4
1
4
例8. A, B 为两个 n 阶方阵,且 ABA B1
证明： 秩E AB 秩E AB n
证：ABA B1 ABAB E E (AB)2 O (E AB)(E AB) O 所以 R(E AB) n R(E AB) 又 R(E AB) R(E AB)
又
A 2E
1 1 0
0 1 1
102
由于
A
2E
A
110
01 10 12
3 1 0
0 1 1
104～
1 0 0
0 1 0
0 0 1
5 4 2
2 3 2
322
所以：X
(A - 2E)1 A
5 4 2
2 3 2
322
五、综合练习
例 4.设 A为 4 阶方阵,且秩RA 3,则RA* 1
解：RA 3 A 0 A*A O
一、求矩阵的秩
求矩阵的秩有下列基本方法 （1）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列） 变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形 矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等 变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中 非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩． （2）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式 开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子 式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩(很少用).
0 2 1
例
2.
求矩阵A
1 1
1 1
21的逆矩阵.
解：作分块矩阵 A | E ，对该矩阵施行初等行
变换
0 1
2 1
1 2
1 0
0 1
0 0
r1
r2
~
1 0
1 2
2 1
0 1
1 0
0 0
1 1 1 0 0 1 r3r1 0 0 1 0 1 1
r2 r3
~
1 0
1 2
0 0
0 1
1 1
R(E AB E AB) R(E) n
故 秩E AB 秩E AB n
例 9. 设A为m n实矩阵,证明：秩AT A 秩A
证明：设 x 为 n 维列向量 若 x 满足 Ax O AT(Ax) (AT A)x O 若 (AT A)x O xT(AT A)x O (Ax)T Ax O Ax O
100 101 001 111
0 1
0 11
～
0 0
0
11 2 0 02 00
0 0 0 4
5
4
1
2
1 2
1
1
4
1 2
1 2
1
1 4 1 2 1 2
1
1
1 4
2
1 2
1
1 0 0 0
～
0
1
0
0
0 0 1 0
0 0 0 1
7
4
1 4
1 4
1 4
1
4
1
4
1 4
1 4
1
41 4Leabharlann 141 4
1
4
1 11
1 1 1
1 1 1
1 11
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
2 1 0 0 1 0 ～ 0 1 2 2 1 0
1
1
0
0
0
1
0
2
1
1
0
1
1
～ 0
0
1 1 0
1 1 2 2 3 3
0 1 2
0 1
0 ～ 0
1
0
0 1 0
00 00 1 1
1 3 1 3 2 3
0 1 2 1
0000～1000
0 1 0 0
0 1 0 0
00 00
例 6.讨论值的范围,确定矩阵的秩.
1
112
1 10
1
6
152
2
3
1 2
11 4 10 7 17 24
14 33
例 7. 用初等变换求下列矩阵的逆矩阵
1 1 1 1. 2 1 0
1 1 0
解1.
1 1 1 1
2.
1 a 3
2 a1
~
0 0 0
1 2 5
0 a 1
0
1 a23
1 1 1 1
~
0
0 0
1 0 0
0 a 1
0
1
a
0
2
当a 1 or a 2 时，R( A) 4，此时方程组
有非零解，可仿照解法一求出它的通解。
四、解矩阵方程的初等变换法
(1) AX B
初等行变换
~ (A B)
(E A1B) X A1B
说明方程组 A*x O 有非零解，且A的列向量 就是该方程组的解向量；所以 R(A*) 1 又 R(A) 3，R(A*) 1，故 R(A*) 1
例
5.
矩阵A
10 12
0 1 2 1
0 0 0 0
1110的秩是
2
解： 1102
0 1 2 1
0 0 0 0
1110～1111
0 1 2 1
1
3
2 3
1 3
1 1 11
0
1 3
1 3
2 1 1 1
0 0
0
1
1 3
2 3
2 3
1 3
1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
解2.111
1 1 1
1 1 1
1 1 1
01 00 00
0 1 0
0
0 1
～
0 0 0
0 0 2
2 2 2
2 2 0
1 0 1
方程组(1)的通解是 k取任意常数
x
x1 x2 x3 x4
1 6
1
1
1 0
k 6
5 7 5 6
例 2. 当 a 为何值时，下面齐次线性方程组有非零
解，并求通解.
x1 x2 x3 x4 0
x1 x1
2x2 x3 x2 ax3
2 x4 x4
0
0
3x1 2x2 3x3 ax4 0
10 01 00
0 11
1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
解2.
1 11
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
～
0 0 0
0 0 2
2 2 2
2 2 0
1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 11
1
～
0 0 0
11 2 0 02 00
1 2 2 4
2 1
1 2
r2
~
1 0
0 1
0 0
1 2 1
3 2 1
5 2 1
r12r3 0 0 1 0 1
1
r1
r2
0
0
1
2 0
2 1
2 1
1 2 3 2 5 2
A1
12 0
12 1
12 1
.
注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须 始终用行变换，其间不能作任何列变换．同 样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终 用列变换，其间不能作任何行变换．