北航机电控制工程基础(自动控制原理)第四章2_广义根轨迹
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自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制理论_哈尔滨工业大学_4 第4章根轨迹法_(4.4.1) 4.4广义根轨迹
a
i 1
j 1
nm
②渐近线与实轴的夹角改为
a
2q 180 nm
q 0,1,2,, n m 1
(3) 根轨迹的出射角和入射角
在开环复数极点处根轨迹的出射角为
离开开环极点pa处的出射角为：
m
n
a j i
j 1
i1
ia
φj为该极点到各个开环零点的相角之和。 θi为该极点到其它各个开环极点的相角之和。
正反馈系统的相角条件是180°的偶数倍，所以叫零度根轨迹。
与负反馈系统的常规根轨迹不同，需要修改的规则：些线段右 边的开环零点和开环极点的数目之和为偶数。
(2) 根轨迹的渐近线
①渐近线与实轴的交点σa与常规根轨迹相同。
n
m
pi z j
2
五、滞后系统的根轨迹
系统的闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
esG(s) 1 esG(s)
R(s) ＋－
G1(s)
es C(s)
特征方程为
1 esG(s) 0
—超越方程，方程有无穷多个根。
上式可以化为
esG(s) 1 e j180(2q1) q 0,1,2,
1
s3 2.33
-2.33 -2.33z2
p1 1
S´1
z1 0.57
0.57
0σ
σ
G(s) K1(s 0.6)(s 2)
S´3 -p23 -2 -1 --10.33 -00.33 p4
s[(s s1)(s s2 )(s s3)]
可以绘出以K1为参数
Kf=1.03
自动控制原理 第4章第二次课
2
1s
1
试绘制以时间常数 为参变量的广义根轨迹。
解：该系统的闭环特征方程式为
ss 1s 1 2 0
s3 s2 s2 s 2 s3 s2 s2 s 2 0
用 s2 s 2 除方程的两端
1
s2s 1
s2 s 2
0
其等效开环传递函数为
GsH s
s2s 1
s2 s 2
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
11
自动控制原理
Step Response
原系统 简化后系统
6
8
10
12
14
16
18
Time (sec)
4-4 系统性能的分析
自动控制原理
二. 闭环偶极子
一对相距很近的闭环零点、极点。
如果这对偶极子不十分靠近坐标原点和其他极点，则它们对
动态性能的影响可以忽略不计。
等效开环传递函数
1 A P(s) 0 A P(s) 1
Q(s)
Q(s)
A为除K*外，系统任意变化的参数
注意：等效意义在于特征方程相同，而此时闭环零点是不同的。
1
4-3 广义根轨迹
自动控制原理
例 设单位反馈系统的开环传递函数为 G(s) 4 s(s a) 绘制以a为参变量的根轨迹
(s) G(s)
j
闭环系统具有1个实数根和一对共轭复数根， 它们均位于复平面左半部，系统有衰减振荡的 动态分量，阶跃响应呈现欠阻尼状态。
-3
-2
-1
0
30
4-4 系统性能的分析
'
s
s2
0.436 0.66s
北航自动控制原理-Chapter04复域分析法——根轨迹法
s p1 0
z3
p4
例：
Rule#5. 根轨迹的渐近方位(The asymptotes of root loci)
渐近线与实轴正方向的夹角(The angle between adjacent
asymptotes)
a
(2k 1)
nm
(k 0, 1, 2, )
渐近线与实轴交点坐标(The asymptotes’ center)
开环极点(Poles)：p1=0, p2=2， 开环无零点( No zeros)
闭环传递函数(Closed-loop transfer function)：
C(s)
K
K
(s)
R(s) s(0.5s 1) K 0.5s2 s K
闭环特征方程(Closed-loop system characteristic equation)：
可不求解特征方程，而根据开环传递函数的零点、极点来确 定根轨迹(Thus, we may find out the root locus by use of the zeros and
poles of the open-loop transfer function, without solving the characteristic equation).
i1
j 1
闭环特征根是由开环极点pi、开环零点zj及根轨迹增益K*决定
(The characteristic roots of the closed-loop system are determined by openloop poles pi, open-loop zeros zj and gain K*).
0
-0.2 G1=tf(1,[0.5 1 0]); figure(1);
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
自动控制原理第四章--根轨迹法
G(s)H(s) 1
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
《自动控制原理》第四章 第2讲
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。注意 × × ”表示。 在原点有两个极点，双重极点用“
法则5.两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开 的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d 是下列方程的 解：
n 1 1 =∑ ∑ i =1 d − z i j =1 d − p j m
分离点
B
× − p −z
2
× − A p1
实轴上的分离点有以下两个特点: (1) 若实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段有 根轨迹, 则这两相邻点之间必有一个分离点。这两个相邻的极 点或两个相邻的零点中有一个可以是无限极点或零点. （2）如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则此区段 上要么没有分离点, 如有, 则不止一个。
∴θ1c = (2k + 1)π + 45 − 90 − 135 − 26.6 = π − 206.6 = −26.6 (考虑到周期性)
z −× p4 −
β4
−1
− p3
×
β3
−× p2
β2
根据对称性，可知 − p点的出射角为： θ 2 c = 26.6 2 请根据相角条件自行计算。 [注意]： 相角要注意符号；逆时针为正，顺时针为负； 注意矢量的方向。 − p2 → − p1 , α → − p1
[例]如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的起始角。 − p1 = −1 + j1,− p2 = −1 − j1,− p3 = 0,− p4 = −3,− z = −2
tgα = 1, α = 45 ; β 2 = 90 ; β 3 = 135 ; [解]：
− p1×
α
θ1c
自动控制原理4 根轨迹法的基本概念
K*
K* 8.16
1.1
pi 71.6
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3,
z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线.
G(s) K * (s 20) s(s2 24s 144)
m
n
pi ( pl zi ) ( pl pi )
izl zi )
j 1
jl
p2 1800 56.50 190 590 (108.50 900 370 )
790
z2 1800 1530 1990 1210 63.50 1170 900
（2）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。 （需专门研究）
j1
（3）
m
K*
(s z j )
m
(zj)
K limsνG(s) H(s) limsν
（4）根轨迹法 s0
s0
sν
j1 nν
(s
pi )
K*
j1 nν
( pi )
根轨迹图
闭环极点
闭环传递函数
性i 1能指标
i 1
3.根轨迹方程
4-2 根轨迹绘制的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点。 法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性。 法则3 根轨迹的渐近线 法则4 实轴上的根轨迹 法则5 根轨迹的分离点和分离角 法则6 根轨迹的起始角与终止角 法则7 根轨迹与虚轴的交点 法则8 根之和
法则一、根轨迹的对称性、分支数和分布性
1．根轨迹连续且对称于实轴。 2. 根轨迹的分支数与开环有限零点数m与有 限个极点数n中的最大者相等。
自动控制原理第4章根轨迹分析
渐近线与实轴的交点为
n
m
pi zj
a
i1
j1
nm
(015)02 30
根轨迹的渐近线如图4-5所示。
34
图4-5 例4-3根轨迹的渐近线
35
【法则4】 实轴上的根轨迹。
实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应 为奇数。
上述结论可由根轨迹的相角条件方程(4-4)证明。 在s平面的实轴上任取一个实验点s1，其左侧的每个开 环实数零点或开环实数极点到s1的向量的相角均为0°。对 于s平面上共轭复数形式的开环零、极点，每对共轭的开环 零点或开环极点到s1的向量的相角之和均为0°。实验点s1 右侧的每个开环实数零点或开环实数极点到s1的向量的相 角均为180°。因此，根据根轨迹的相角条件方程，如果实 验点s1所在的实轴段是根轨迹，则其右侧的开环零、极点数 目之和应为奇数。
9
图4-2 例4-1根轨迹图
10
当Kg＝1时，特征根为相等的负实数，系统处于临界阻 尼状态，阶跃响应也无超调。
当Kg＞1时，特征根为一对共轭复数根，系统处于欠阻 尼状态，阶跃响应振荡衰减。
因此，所谓根轨迹，是指系统开环传递函数中的某个 参数变化时，闭环特征根在复平面上所走过的轨迹。这里 所说的某个参数，通常是指根轨迹增益Kg。除Kg外，有时 亦可取其他的可变参数。
19
4.2 绘制根轨迹的基本法则
根据幅值条件方程和相角条件方程，利用解析法或试 探法可以绘制低阶系统的根轨迹，但对于高阶系统，绘制 过程是很繁琐的，不便于实际使用。在控制工程中，通常 使用以两类条件方程为基础建立起来的一些基本法则来绘 制根轨迹。使用这些法则能够迅速地绘制出根轨迹的大致 形状和变化趋势。
15
式(4-3)也可写为以下形式：
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
一般有两个解，从中
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
自动控制原理第4章-根轨迹
zl
1800
m
( zl
j 1 jl
zj)
n
( zl
j 1
p
j
)
第四章 根轨迹法
4.2.3 绘图示例
G(s)H (s)
K
s(s 1)(s 2)
闭环特征方程 : s3 3s2 2s K 0
按7个基本规则绘制根轨迹图：
首先，系统有三个无穷远
零点，有三个开环极点：
p1=0，p2=-1，p3=-2，将它们 标在复平面上。
第四章 根轨迹法
7、 根轨迹的出射角和入射角
根轨迹从某个开环极点出发时的切线与正实轴的夹角称
为出射角，根轨迹从开环极点pi出发的出射角为：
pi
1800
m
( pi
j 1
zj)
n
( pi
j 1
p
j
)
ji
根轨迹进入某个开环零点的切线与正实轴的夹角称为 入射角，根轨迹进入开环零点Zl的入射角为：
根据规则1)和2)，根轨
迹将有3支，分别开始于这
三个开环极点，趋向无穷
远。
第四章 根轨迹法
根据规则3)，根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是：
k
(2k
1)1800 3
,
k 0,1,2
0 600 ,1 1800 ,2 3000
所有渐近线交于实轴上 的一点，其坐标为：
0 1 2 1
3
1 K (s z1 )(s z2 )....(s zm ) 0 (s p1 )(s p2 )....(s pn )
m
上式变形： K (s zl )
l 1 n
1 0 ——典型根轨迹方程
(s pi )
自动控制原理第四章汇总
规则3 根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角)
当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，有n-m条趋向无 限零点的根轨迹的走向。
（1）渐近线与实轴的倾角
a
(2k 1)
nm
;
k 0,1, 2,
（2）渐近线与实轴的交点
n
m
p j zi
a
j 1
i 1
nm
,n m 1
式中，zi , p分j 别为开环系统的零点和极点。 注：只有在(n m) 2时，需要计算渐近线与实轴的交点和 夹角。
1.76
交角：
(2k 1) nm
60
,
k 0
(2k 1) nm
180
,
k 1
(2k 1) nm
300
,
k2
G(s)
K *(s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
规则4 根轨迹在实轴上的分布 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数
之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 jω
×
×
×
×σ
j 1
nm
汇合于a点，然后分离，分别沿90º， －90º的渐近线趋向无穷远。
0 (0.5) 0 0.25 20
规则5 根轨迹的分离点与分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开 的点，称为根轨迹的分离点（或会合点），它对应于特征 方程中的二重根。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线 方向与离开分离点的切线方向的夹角。
K1 K1 0
K1 0
K1
K1
分分离离点点
K1 0 K1
分离? 点? ?
K1 0
分离点坐标d：
m
1
n
机电控制工程基础：第四章 根轨迹法2
C(s) A0 A1 ... An A0 n Ak
s s s1
s sn s k1 s sk
m
K* (s z j )
A0
j 1 n
s0 (0)
(s si )
i 1
m
m
K* (s z j )
K* (sk z j )
Ak
j 1
n
(s si )
s sk
j 1
n
1、稳定性Stability 。如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳 定的，即稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。
2、快速性Rapidity 。要提高系统的快速性，应使上述阶跃响应式（1）
中的每一个分量 eskt 快速衰减，则闭环极点 sk 应远离虚轴。
一阶系统：first-order system:
A
P(s) Q(s)
其中，A为不含 K*的系统任意变化的参数，而P(s) 和 Q(s) 为两个与A无 关的多项式。
例：系统的开环传递函数为
G(s)H
(s)
(s a) s(s2 2s
2)
绘制以a为参变量的参数根轨迹，并讨论a值对系统稳定性的 影响。
解：作参数根轨迹的关键是引入等效传递函数 ，在等效传递
3）23.4K<时，闭环两个极点又为负实数，阶 跃响应呈非周期性，但由于极点远离虚轴，而K增 加后出现一对偶极子，故响应快速性大大提高； 当然，K过大会降低系统对输入端噪声抑制
例 某负反馈系统的开环传递函数
G(s)
s( s
K *(s 1) 1)(s2 4s
16)
试作系统K* (由0)变动的闭环根轨迹，并
闭环特征方程为 Ts 1 0
自动控制原理第四章2
10
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点(续)
F(s) =
K
,
s(s + a)(s + b)
C
a > 0, b > a.
z 给F(s)增加零点： s = – c， c > b .
原系统根轨迹的共轭复 根部分向左弯曲
增加零点可以改善系统 的相对稳定程度
12
开、闭环零极点与根轨迹设计
增加开环零点对根轨迹的影响
渐近中心: ？ C
有两条复根根轨迹，向右弯曲得更厉害
D
给F(s)增加极点将使根轨迹的 主导部分向右半s平面移动 9
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点
z增加一个实零点：
F (s)
=
K(s + b) ,
s(s + a)
a > 0, b > a.
z增加一对共轭复零点： B
σ
A
原系统根轨迹的共轭复根部分向
F(s)
=
K(s + s2(s +
b) a)
.
图C a = 8.
图D a = 3.
图E
a = b = 1.
极点 s = – a 和 零点 s = – b 相互抵消
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
± 1 a 2 − 10 a + 9 4
对于 a < 9 无意义
系统退化为二 阶情形，根轨 迹为整个虚轴
17
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
±
1 4
a2 − 10a + 9
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点(续)
F(s) =
K
,
s(s + a)(s + b)
C
a > 0, b > a.
z 给F(s)增加零点： s = – c， c > b .
原系统根轨迹的共轭复 根部分向左弯曲
增加零点可以改善系统 的相对稳定程度
12
开、闭环零极点与根轨迹设计
增加开环零点对根轨迹的影响
渐近中心: ？ C
有两条复根根轨迹，向右弯曲得更厉害
D
给F(s)增加极点将使根轨迹的 主导部分向右半s平面移动 9
开、闭环零极点与根轨迹设计
给F(s)增加零点
z增加一个实零点：
F (s)
=
K(s + b) ,
s(s + a)
a > 0, b > a.
z增加一对共轭复零点： B
σ
A
原系统根轨迹的共轭复根部分向
F(s)
=
K(s + s2(s +
b) a)
.
图C a = 8.
图D a = 3.
图E
a = b = 1.
极点 s = – a 和 零点 s = – b 相互抵消
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
± 1 a 2 − 10 a + 9 4
对于 a < 9 无意义
系统退化为二 阶情形，根轨 迹为整个虚轴
17
分离点式子
s1,2
=
−
a
+ 4
3
±
1 4
a2 − 10a + 9
北航程鹏自控原理第四章
主要内容 4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 开环零、极点变化时的根轨迹 4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃
响应的关系 4-5 系统阶跃响应的根轨迹分析
返回主目录
基本要求 1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的
④ 离开复平面极点的起始角为
p1 180
z1 p1
p2 p1
180 116.57 90 206.57
206.57 p2
⑤ 渐近线
a
1.5
j11.5 21
j11
Байду номын сангаас
2
a
(2k 1) 21
π
⑥求分离点坐标d
1 1 1 d1.5j1 d1.5j1 d1 d1 2.12,d2 0.12 （舍去）
m
n
pk (2k1)π pkzj pkpi
j1
i1
ik
终止角计算公式：
n
m
zk (2k1)π zkpi zkzj
i1
j1
jk
例4－5
•设系统开环传递函数
G(s)H(s)K*(s2j)(s2j) (s1j2)(s1j2)
试绘制系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在图4－12的根平面 上，逐步画图：
s1 p1 s1 p2 90 90 ππ(2k1)π ，(k1)
22
s 以 为试验点，可得 2
s1 p1 s2 p2 90o 90o ππ π(2k1)π
22 (k=0)
可见， 所以，
s , s 都满足相角方程，
点是1 闭环极2 点。
响应的关系 4-5 系统阶跃响应的根轨迹分析
返回主目录
基本要求 1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的
④ 离开复平面极点的起始角为
p1 180
z1 p1
p2 p1
180 116.57 90 206.57
206.57 p2
⑤ 渐近线
a
1.5
j11.5 21
j11
Байду номын сангаас
2
a
(2k 1) 21
π
⑥求分离点坐标d
1 1 1 d1.5j1 d1.5j1 d1 d1 2.12,d2 0.12 （舍去）
m
n
pk (2k1)π pkzj pkpi
j1
i1
ik
终止角计算公式：
n
m
zk (2k1)π zkpi zkzj
i1
j1
jk
例4－5
•设系统开环传递函数
G(s)H(s)K*(s2j)(s2j) (s1j2)(s1j2)
试绘制系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在图4－12的根平面 上，逐步画图：
s1 p1 s1 p2 90 90 ππ(2k1)π ，(k1)
22
s 以 为试验点，可得 2
s1 p1 s2 p2 90o 90o ππ π(2k1)π
22 (k=0)
可见， 所以，
s , s 都满足相角方程，
点是1 闭环极2 点。
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j 1 n
si 为闭环传递函数的极点。
设输入为单位阶跃信号，r(t)=1(t)，则R(s)=1/s，代入上式得，
C ( s)
袁松梅教授 Tel：82339630
K ( s z j )
*
m
(s s )
i 1 i
j 1 n
1 s
Email：yuansm@
北京航空航天大学 4.3利用根轨迹分析系统的动态性能
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
The analysis of system dynamic performance using root locus
4.3.1用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式
the qualitative relationship between Closed-loop zero and pole distribution and the step response
1、稳定性Stability 。如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳 定的，即稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。
1 1 1 d d 1 d 1 K t'
1 K t' 1 d2 ' Kt Kt'
K K 两个分离点对应的开环增益分别为 d1 d2
j 1
当 0 K K d ， K K d 时系统单位 阶跃响应为单调； 当 K d K K d 时，系统单位阶跃响应为振荡衰 减。
北京航空航天大学 二阶系统： Second-order system
2 2 闭环特征方程为 s 2n s n 0
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
s1,2 n jn 1 2 闭环特征根在欠阻尼 1 0 情况下为复根， 于 s 平面左侧，
s 2 6s 10 0
得闭环极点 p1,2 3 j1 得
n 3, n 1- 1
2
无闭环零点 解得
3 , 10
n 10
tp 3.14s 2 1 故 n 1
3 ts 1 n 3
3
% e
袁松梅教授
1 2
试估算系统的性能指标 % ， t s 由图看出，极点 s1 与零点 z1 构成偶极子，故主导极点
不再是 s1 而应为 s2,3 ,系统近似为二阶系统,即：
1 ( s) 0.01 s2 0.08s 1 100 ( s) 2 s 8s 100
s2
j
(0.9s 1) ( s ) ( s 1)(0.01 s2 0.08s 1)
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
例：设控制系统如图所示，试概略绘， 0 Kt' 1 ，时的根轨迹和 单位阶跃响应曲线。若取 Kt' 0.5，试求出 K 10 时的闭环零、极 点，并估算系统的动态性能。
解：开环传递函数为
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
3、平稳性 Stationarity。要提高系统的平稳性减小响应的超调，应使闭环 极点 s k 靠近实轴，复数极点最好设置在最佳阻尼线（即
n阶系统的闭环传递函数可写成
* K (s z j ) m
C ( s) b0 s m b1s m1 .... bm ( s) n n 1 R( s) a0 s a1s ... an
式中 z j 为闭环传递函数的零点，
(s s )
i 1 i
s1t
1 T ，位于s平面左侧。 1
t T
ts 3T
可以看出，为提高快速性，减小调整时间 t s，应使时间常数T小一些，即 1 特征根（或称闭环极点）的绝对值 s1 要大一些，亦即 s1 应远离虚轴。 T 如此将使响应中的指数项衰减加快。
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@
(, 1 ],[1, 0] ' Kt
袁松梅教授
Tel：82339630
Email：yuansm@
北京航空航天大学 3）分离点Separation point ： 解得：
1 K t' 1 d1 ' Kt K t'
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
R( s)
' t
1 KK ( s ) ' ' K (1 Kt s) Kt G( s) H (s) s( s 1) s( s 1)
0 Kt' 1
-
K s( s 1)
C ( s)
1 Kt' s
当
时，
1）n=2，有2条根轨迹分支，n-m=1条趋于无穷远； 2）实轴根轨迹：
北京航空航天大学
4.3.3利用主导极点估算系统性能指标
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
s2
j
Estimate of system performance using the dominant pole
例：1
( s )
实轴成 45 的夹角线）附近。
s 平面中与负
袁松梅教授
Tel：82339630
Email：yuansm@
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
4、要求动态过程尽快结束，则式（1）中的系数 Ak 应小一些，Ak 小，暂态
或表示为
z1 s1
4
（偶极子）
对照标准式知 n 10 、 0.4 ，则 3 2 1 0.75秒 % e 25% t s
0
n
系统阶跃响应为指数振荡型。
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@
s3
北京航空航天大学
k
si )
系统单位阶跃响应
C (t ) (0) Ak e sk t
k 1
n
(1)Leabharlann 系统响应与闭环零、极点密切相关。
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@
北京航空航天大学 机电控制工程基础 Fundamentals of Mechatronic Control Engineering 4.3.2闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系
(s)
则由时域分析法可知，响应按指数规律变化，且
袁松梅教授
1 s 1
% 0
Tel：82339630
T s 3t 31 3秒
Email：yuansm@
北京航空航天大学 例：2 三阶系统闭环传递函数
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
A0 K ( s z j )
* m j 1 n s 0
(s s )
i 1 i
(0)
m
Ak
K ( s z j )
*
m
i 1, k
(s s )
i
j 1 n
s sk
K ( sk z j )
*
i 1, k
(s
j 1 n
北京航空航天大学
如 ( s ) 无重极点，可将上式分解为部分分式，
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
A0 An A0 n Ak A1 C ( s) ... s s s1 s sn s k 1 s sk
北京航空航天大学
5、偶极子及主导极点。Dipole and Dominant pole
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
一对靠得很近的闭环零、极点，常称之为偶极子(Dipole) 。 构成偶极子的闭环极点响应分量 Ak e sk t 的数值很小，c(t ) 中的分量可 忽略不计。
100% e9.42 100% 0
Tel：82339630
Email：yuansm@
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
R(s)
K * ( s 4) s( s 2)
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1 -2 -3
1
袁松梅教授
Tel：82339630
Email：yuansm@
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
系统闭环响应分析
1）0<K 0.686时，闭环有两个负实数极点，系 统阶跃响应呈非周期性； 2）0.686<K<23.4时，闭环有一对共轭复数极点， 阶跃响应呈振荡衰减性； 3）23.4K<时，闭环两个极点又为负实数，阶 跃响应呈非周期性，但由于极点远离虚轴，而K增 加后出现一对偶极子，故响应快速性大大提高； 当然，K过大会降低系统对输入端噪声抑制