19-20版 第2章 2.5 第1课时 等比数列的前n项和

2.5 等比数列的前n项和
第1课时等比数列的前n项和
学习
目标核心
素养
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点).
2.会用错位相减法求数列的和(重点).
3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．1.通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养.
2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养.
1．等比数列前n项和公式
思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和S n?
[提示]可把等比数列前n项和S n理解为关于n的指数型函数．
2．错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法
一般地，等比数列{a n}的前n项和可写为：
S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①
用公比q乘①的两边，可得
qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1＋a1q n，②
由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1（1－q n ）
1－q
(q ≠1)．
(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1.
思考：等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法吗？
[提示] 根据等比数列的定义，有：a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q ，再由合比定
理，
则得a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n
a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1
＝q ，
即
S n －a 1
S n －a n
＝q ，进而可求S n .
1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…(x ≠0)的前n 项和S n 为( ) A ．1－x n 1－x
B ．1－x n －1
1－x
C ．⎩⎨⎧1－x n
1－x （x ≠1），n （x ＝1）
D ．⎩⎨⎧1－x n －
1
1－x （x ≠1），n （x ＝1）
C [当x ＝1时，数列为常数列，又a 1＝1，所以S n ＝n . 当x ≠1时，q ＝x ，S n ＝a 1（1－x n ）1－x ＝1－x n
1－x
.]
2．等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则S 5＝________． 31 [S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝1－25
1－2
＝31.]
3．数列12，24，38，4
16，…的前10项的和S 10＝________． 509
256
[S 10＝12＋24＋38＋…＋929＋10210， 则12S 10＝14＋28＋…＋9210＋10211.
两式相减得，1
2S10＝
1
2＋
1
4＋
1
8＋…＋
1
210－
10
211＝
1
2⎣⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
1－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
10
1－
1
2
－
10
211，所以S10＝
509
256.]
4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
11(1.15－1)a[去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·
1.1－1.16
1－1.1
＝11(1.15－1)a.]
等比数列基本量的运
算
n
(1)S2＝30，S3＝155，求S n；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝
5
4，求S5；
(3)a1＋a n＝66，a2a n－1＝128，S n＝126，求q.
[解](1)由题意知
⎩
⎨
⎧a1（1＋q）＝30，
a1（1＋q＋q2）＝155，
解得
⎩
⎨
⎧a1＝5，
q＝5
或
⎩⎪
⎨
⎪⎧
a1＝180，
q＝－
5
6.
从而S n＝
1
4×5
n＋1－
5
4或S n＝
1 080×
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
1－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
5
6
n
11.
(2)法一：由题意知
⎩⎪
⎨
⎪⎧
a1＋a1q2＝10，
a1q3＋a1q5＝
5
4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝312. 法二：由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6， 得q 3＝18，从而q ＝12. 又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，
所以a 1＝8，从而S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝31
2.
(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，
所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根． 从而⎩⎨⎧a 1＝2，a n ＝64或⎩⎨⎧a n ＝2，a 1＝64.
又S n ＝a 1－a n q 1－q
＝126，所以q 为2或1
2.
1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
1．在等比数列{a n }中．
(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .
[解] (1)由S n ＝a 1－a n q 1－q 得112＝2－162q
1－q ，∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1
得162＝2(－2)n －1，∴n ＝5.
(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不合题意，∴q ≠1， ∴S 4＝a 1（1－q 4）
1－q
＝1，
S 8＝a 1（1－q 8）1－q
＝17，
两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4
，∴q ＝2或q ＝－2，∴a 1＝115或a 1
＝－15，∴a n ＝115·2n －1或－1
5·(－2)n －1.
等比数列前n 项和公式的实际应用
从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)
思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：
(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．
(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．
[解] 法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，
则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ， a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …
a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a . 由题意，可知a 6＝0，
即1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a ＝0， a ＝1.016×102
1.016－1
.
∵1.016
≈1.061，∴a ＝1.061×102
1.061－1
≈1 739.
故每月应支付1 739元．
法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它
的本利和为
S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．
另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a
＝a [（1＋0.01）6－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102(元)．
由S 1＝S 2，得a ＝1.016×102
1.016－1
.
以下解法同法一，得a ≈1 739，故每月应支付1 739元．
解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
2．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？
[解] 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝4
5a n ，
因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝4
5的等比数列．
热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1（1－
q n ）
1－q ＝
25×⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45
＝125×[1－(45)n
]<125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
错位相减法求和
1．对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?
[提示] 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－264
1－2＝
264－1.
2．由项数相等的等差数列{n }与等比数列{2n }相应项的积构成新的数列{n ·2n }是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n 项和S n 的表达式是什么？
[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n ·2n }既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n 项和S n 的表达式为S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .
3．在等式 S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n 两边同乘以数列{2n }的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求S n 的问题转化为等比数列的前n 项和问题吗？
[提示] 在等式S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 两边同乘以{2n }的公比可变形为
2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，② ②－①得：S n ＝－1·21－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－(21＋22＋23＋…＋2n )＋n ·2n ＋1.
此时可把求S n 的问题转化为求等比数列{2n }的前n 项和问题．我们把这种求由一个等差数列{a n }和一个等比数列{b n }相应项的积构成的数列{a n b n }前n 项和的方法叫错位相减法．
【例3】 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－1
8成等差数列，公比q ∈(0，1)，
(1)求数列{
a n }的通项公式；
(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
思路探究：(1)根据a 1，a 2，a 3－1
8成等差数列求得公比q ，写出通项公式； (2)由b n ＝na n 可知利用错位相减法求和． [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝1
2，
因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－1
8， 即得4q 2－8q ＋3＝0， 解得q ＝12或q ＝3
2，
又因为q ∈(0，1)，所以q ＝1
2， 所以a n ＝12·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1
＝12n .
(2)根据题意得b n ＝na n ＝n
2n ， S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， ① 12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2
n ＋1， ②
作差得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2
n ＋1，S n ＝2－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
.
1．本题中设c n ＝n
a n
，求数列{c n }的前n 项和S n ′.
[解] 由题意知c n ＝n ·2n ，
所以S n ′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －2)×2n －2＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ， 2S n ′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)×2n －1＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得：－S n ′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1
＝2（1－2n）
1－2
－n·2n＋1＝(1－n)·2
n＋1－2，所以S n′＝(n－1)·2n＋1＋2.
2．本题中设d n＝(2n－1)a n，求数列{d n}的前n项和T n.
[解]由题意可得：
T n＝1×
1
2＋3×
1
22＋…＋(2n
－1)
×
1
2n，
1
2T n＝1×
1
22＋3×
1
23＋…＋(2n－3)×
1
2n＋(2n－1)×
1
2n＋1
，
两式相减得
1
2T n＝1×
1
2＋2×
1
22＋ (2)
1
2n－(2n－1)×
1
2n＋1
＝
1
2＋
1
2×
1－
1
2n－1
1－
1
2
－(2n－1)×
1
2n＋1
＝
3
2－
1
2n－1
－
2n－1
2n＋1
，
所以T n＝3－
4
2n－
2n－1
2n＝3－
2n＋3
2n.
错位相减法的适用题目及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n b n}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出S n与qS n的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)S n的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，a n，n，q，S n，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列且公比为q，求数列{a n·b n}
的前n 项和时，可采用错位相减法求和.
1．判断正误
(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1（1－q n ）
1－q 来求．
( )
(2)若首项为a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n 项和为S n ＝na .
( )
(3)若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)，则此数列一定是等比数列．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
[提示] (1)错误．在求等比数列前n 项和时，首先应看公比q 是否为1，若q ≠1，可直接套用，否则应讨论求和．
(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n 项和为S n ＝na .
(3)正确．根据等比数列前n 项和公式S n ＝a 1（1－q n ）
1－q (q ≠0且q ≠1)变形为
S n ＝a 11－q －a 11－q q n (q ≠0且q ≠1)，若令a ＝a 1
1－q
，则和式可变形为S n ＝a －aq n .
2．已知等比数列{a n }的首项a 1＝3，公比q ＝2，则S 5等于( ) A ．93 B ．－93 C ．45 D ．－45 A [S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝3（1－25）1－2
＝93.]
3．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________．
510 [a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝18，a 2＋a 3＝a 1(q ＋q 2)＝12，两式联立解得q ＝2或1
2，而q 为整数，
所以q ＝2，a 1＝2，代入公式求得S 8＝2（1－28）
1－2
＝510.]
4．求和：12＋34＋58＋7
16＋…＋2n －12n . [解] 设S n ＝12＋34＋58＋7
16＋…＋2n －12n ＝12＋322＋523＋7
24＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，①
则12S n ＝122＋323＋5
24＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.②
①－②，得12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －1
2n ＋1
＝12＋12＋122＋…＋1
2n －1－2n －12
n ＋1
＝12＋12－12n －1×1
21－12－2n －12n ＋1＝32－1
2n －1－2n －12n ＋1
＝32－2n ＋3
2
n ＋1，∴S n ＝3－2n ＋32n .
课时分层作业(十五) 等比数列的前n 项和
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A ．n [（－1）n －1]2
B ．（－1）n ＋1＋12
C ．（－1）n ＋12
D ．（－1）n －12
D [S n ＝（－1）[1－（－1）n ]1－（－1）
＝（－1）n －1
2.]
2．已知{a n }是等比数列，a 3＝1，a 6＝1
8，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( ) A ．16(1－4－
n )
B ．16(1－2－
n )
C ．32
3(1－4－n ) D ．32
3(1－2－n )
C [∵a 3＝1，a 6＝18，∴q ＝1
2，∴a 1＝4， ∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝32
3(1－4－n )．]
3．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 1a 5＝1，S 3＝7，则S 5等于( )
A ．152
B ．314
C ．334
D ．172
B [∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 1a 5＝1， ∴a 1·a 1q 4＝1，
又a 1，q >0，∴a 1q 2＝1，即a 3＝1，S 3＝7＝1q 2＋1
q ＋1， ∴6q 2－q －1＝0，解得q ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
q ＝－13舍去，
∴a 1＝1
q 2＝4，S 5＝
4⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－1321－12
＝314.] 4．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝6，a 2＋a 3＋a 4＝－3，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7等于( )
A ．11
8 B ．1916 C ．9
8
D ．34
A [a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝a 2（1＋q ＋q 2）a 1（1＋q ＋q 2）＝a 2a 1＝q ＝－
12， 由a 1＋a 2＋a 3＝6，且q ＝－1
2，得a 1＝8， 可得a 2＝a 1q ＝8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝－4，
∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝S 7－a 1－a 2＝a 1（1－q 7）1－q －a 1－a 2＝8⎣
⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1271－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
－12－8
－(－4)＝11
8.]
5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前5项和等于( )
A ．158或5
B ．31
16或5 C ．3116
D ．158
C [设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9（1－q 3）1－q ＝1－q 6
1－q
，解得
q ＝2(q ＝1舍去)，∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1为首项，1
2为公比的等比数列，前5项和为
1×⎣
⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12
＝3116.] 二、填空题
6．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝63
4，则a 8＝________．
32 [设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨
⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q ＝634，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧a 1＝14，
q ＝2，
所以a 8＝14×27＝25＝32.] 7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．
6 [由题意知，第n 天植树2n 棵，则前n 天共植树2＋22＋…＋2n ＝(2n ＋1－2)棵，令2n ＋1－2≥100，则2n ＋1≥102，
又26＝64，27＝128，且{2n ＋1}单调递增，所以n ≥6，即n 的最小值为6.] 8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．
6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，
∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 又∵S n ＝126，∴2（1－2n ）
1－2＝126，∴n ＝6.]
三、解答题
9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .
[解] (1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－1
2.
(2)由已知可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122
＝3，
故a 1＝4.
从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12＝83⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .
10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋1
3b 3＋…＋1
n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．
(1)求a n 与b n ；
(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .
[解] (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：
当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1
n b n ＝b n ＋1－b n . 整理得b n ＋1n ＋1＝b n
n ，
所以b n ＝n (n ∈N *)．
(2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，
因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．
[能力提升练]
1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等
于( )
A ．(2n －1)2
B ．1
3(2n －1)2 C ．4n －1
D ．1
3(4n －1)
D [a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，即S n ＝2n －1，则S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，则a n
＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)，又a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1
，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13
(4n
－1)．]
2．如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n 个内切圆的面积和为( )
A ．πa 23⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14n
B ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14n π
C ．2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－14n π
D ．3⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－14n π
B [根据条件，第一个内切圆的半径为36×3＝32，面积为3
4π，第二个内切圆的半径为34，面积为3
16π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为34π，公比为1
4，故面积之和为34π⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14n 1－14
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－14n π.]
3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．
192 [设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣
⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，
解得a 1＝192.]
4．等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 22＝a 1a 4，若a 1，a 3，ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，则k n ＝________．
3n ＋
1 [由题意得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，
∴a 1＝d ，∴q ＝a 3a 1
＝3a 1
a 1
＝3.
∴ak n ＝9a 1×3n －1＝k n a 1， ∴k n ＝9×3n －1＝3n ＋1.]
5．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)当d ＞1时，记c n ＝a n
b n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
[解] (1)由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，
a 1d ＝2，
即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，
d ＝29.
故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，
b n ＝2n －
1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），
b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1
.
(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2
n －1
，故c n ＝2n －1
2
n －1，
于是T n ＝1＋32＋522＋723＋9
24＋…＋2n －12
n －1，
①
12T n ＝12＋322＋523＋7
24＋…＋2n －32n －1＋2n －12n . ②
①－②可得
12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.。