矩阵及其运算习题课17页PPT
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线性代数矩阵及其运算ppt课件
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
4 . 同型矩阵 两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵
5. 矩阵 AB 相等 充要条件是:
1）A、B是 同 型 矩 阵
2）ai j bi j(第i，j位 置 上 的 元)素 相 等
证明 （1）、（2）、（3）易证，下证明(4). 设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
负矩阵 : A= ( aij)
减法：Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘
定义2.3 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
a1
k
dia(ga1,a2,an)
a2
;
kI
k
an
k
5. 上（下）三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
a 22
a
2
n
a
nn
b11
B
b21
b22
bn1
bn2
bnn
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
矩阵的运算优秀课件
(A
E )n
An
Cn1 An1
C
2 n
An2
Cnn1 A
E
3. 求矩阵A的n次幂的方法. 措施一 数学归纳法
先计算A2, A3等, 发现Ak的规律,再用数学归纳法证明之.
例1
设
A
1 0
11 , 求 An
解
A2
1 0
12 1
10
11 10
11
1 0
2 1
同理,
A3
A2
A
1 0
13
猜测
An
,
求An
1
1
n
1
n n
n
解
将A分解成A
E
1 n
B,
其中B
111
1
1
1
111,容易得出B2 nB
于是 A2
(E
1 n
B)2
E2
2 n
EB
1 n2
B2
E
2 n
B
1 n2
nB
E 1 B A(幂等矩阵),故An A.
n
措施三 利用乘法结合律 若A T , 其中 , 都是n 1矩阵(列矩阵).利用乘法结合律,
三、矩阵旳幂乘
1、定义 设A是一种n阶矩阵，对于正整数k, Ak AA A
k个
称为A旳k次幂。 2、幂乘旳运算规律：任意正整数 k , l ,有
Ak Al Akl , Ak l Akl
但一般来说 ( AB)k Ak Bk ,
例题 设A, B为n阶方阵, E为n阶单位矩阵,以下式子哪些成立 ?
由矩阵相等旳定义,得
x1 x3
x2 x4
得
《矩阵运算和行列式》PPT课件
例1. 某厂家向三个代理商发送四种产品.
单价 重量
数量(箱)
(元/箱) (Kg/箱) 南京 苏州 常州
啤酒(瓶装) 20
16 200 180 190
啤酒(易拉罐) 50
20 100 120 100
干啤
30
16 150 160 140
生啤
25
16 180 150 150
20 50 30 25 A = 16 20 16 16
a1
n维列向量: n1矩阵 a2
… an
第i分量: ai (i = 1, …, n)
第二章 矩阵运算和行列式
§2.1 矩阵及其运算
4. 两个矩阵的行数相等, 列数也相等时, 称 它们是同型矩阵.
5. 假设两个同型矩阵A = [aij]m n与B = [b
满足: 对于任意的1 i m, 1 j n,
生啤
25 16 180 150 150
总价(元) 18000 18150 16750
总重(Kg) 10480 10240 9680
200 180 190
20 50 30 25
100 120 100
A = 16 20 16 16 B = 150 160 140
180 150 150
第二章 矩阵运算和行列式
第二章 矩阵运算和行列式
§2.1 矩阵及其运算
1 1 2 2 2 4
12
1 0
0 1
=
0 0
0 0
12 1 0 01
11 2 2
§2.1 矩阵及其运算
例5. 四个城市间的单向航线如下图.
1
4
假设aij表示从i市直达j市航线的条数,
那么右图可用矩阵表示为
《矩阵及其运算 》课件
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂 ，最终得到特征值和特征 向量。
反迭代法
利用已知的特征向量x， 通过反迭代计算得到对应 的特征值λ。
06
应用实例
在物理中的应用
线性变换
矩阵可以表示线性变换，如平移、旋转、缩放等，在物理中广泛应 用于描述物体运动和力的作用。
振动分析
矩阵可以用于分析多自由度系统的振动，通过矩阵表示系统的运动 方程，简化计算过程。
详细描述
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并 且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。在计算过程中，对应元素相乘并求和，得到新 矩阵的一个元素。
矩阵的转置
总结词
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行的一种运算。
详细描述
矩阵的转置可以通过交换原矩阵的行和列得到，也可以通过计算元素的代数余 子式得到。转置后的矩阵与原矩阵的行列式值相等，但元素的位置发生了变化 。
《矩阵及其运算》PPT课件
目 录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 特征值与特征向量 • 应用实例
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，通常表示为二维数 组。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标 和列标，表示其在矩阵中的 位置。
回带法
在消元过程中，每一步都需要回带， 以确保解的正确性。
解的判定
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时 ，线性方程组有唯一解；否则，无解 或有无数多解。
线性方程组的解的结构
解的表示
线性方程组的解可以表示为一个向量与自由变量 的线性组合。
线性代数矩阵及其运算 ppt课件
1 2 2 .5 8 3 1 3 0 .5 89
1 2 4 .5 9 3 6 3 .5
83
22
三、 矩阵的乘法
定义1.5 (P5)
设矩阵A=(aij)ml的列数与矩阵B=(bij)ln的行数相等, 则由元素
C
2
8
4
求AB、BA和BC
解 AB 816 1362
BA
0 0
0 0
BC
0 0
0 0
AB≠BA , BA=BC
(1) AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但A≠C,可见，矩阵乘法不满足消去率
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
16
判断下列各组矩阵是否相等
(1)
8
(3)2
5 2 0
s9in61
2 2 2.5 0.5
9 0 8
(2)
0 0
0 0
0 0
00
0 0
1 0 0
(3)
0
0
1 0
0 1
(1 )
am1x1am2x 2 amn xn bm
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12
a
21
a 22
a m 1 a m 2
a1n
a2n
a m n
a11 a12
a21
a22
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
矩阵及其运算PPT课件
第9页/共2题 (课后题2题)：
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
第22页/共24页
六、方阵的行列式
2010年期末考题(I)
二、选择（每题4分，共16分）
1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是( B )
A. |AB|=0,则A=0或B=0; B. |AB|=0,则|A|=0或|B|=0； C. AB=0,则A=0或B=0; D. AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；
T ，
则An ____1___12.
1 3
23
3
n
1
2
1
2 3
矩阵拆分相乘
3
3
1
2
第13页/共24页
2012年期末考试题
二项式法
1
4、设A
0
0 0
2012年期末考试题
0
1
,
则A
n
n nn1
_0____n .
0
0
n(n 1) n2
2
nn1
n
五.(10分)(线性代数I，36学时专业学时做 )设
转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
第2页/共24页
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
第22页/共24页
六、方阵的行列式
2010年期末考题(I)
二、选择（每题4分，共16分）
1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是( B )
A. |AB|=0,则A=0或B=0; B. |AB|=0,则|A|=0或|B|=0； C. AB=0,则A=0或B=0; D. AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；
T ，
则An ____1___12.
1 3
23
3
n
1
2
1
2 3
矩阵拆分相乘
3
3
1
2
第13页/共24页
2012年期末考试题
二项式法
1
4、设A
0
0 0
2012年期末考试题
0
1
,
则A
n
n nn1
_0____n .
0
0
n(n 1) n2
2
nn1
n
五.(10分)(线性代数I，36学时专业学时做 )设
转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
第2页/共24页
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
线性代数03矩阵及其运算PPT课件
3）
1 1
00 11
10
1 1
0 0
1 2
00 11
0 1
1 1
0 0
➢若 AB BA, 则称矩阵 A乘积、可交B换.
26
第26页/共59页
例题
例5
求矩阵
A
1 2
0 1
3 0
21 与
4
B
1 2 1
1 1 0 3
0
3
1 4
的乘积 AB.
A B 4 3 解 析： 是 矩阵， 是 矩阵， 的列数等
7
第7页/共59页
n 例4 个变量
x与1 , m 个x变2 ,量之间, 的xn关系式
y1 , y2 ,, ym
称为从变量
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn ,
(1)
ym am1 x1 am2 x2 amn xn ,
13
第13页/共59页
❖西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897），他是犹太 人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优 异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和 律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大 学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津 大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了 《美国数学杂志》。在长达50多年的时间内，他是 行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。
元(的i,矩j阵) 可简记作
或
.
(aij ) (aij )mn
m n 矩阵 A也记作
Amn .
注意
（1）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线） 是不同的，这是两个不同的概念，注意区别.
《矩阵及其运算》PPT课件
其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。 在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。其调 用格式为：
linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元 素总数。
显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。
4．建立大矩阵 大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。(自学)
《矩阵及其运算》PPT课件
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谢谢 本课件仅供大家学习学习
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第2章 MATLAB矩阵及其运算
2.1 变量和数据操作 2.2 MATLAB矩阵 2.3 MATLAB运算 2.4 矩阵分析 2.5 矩阵的超越函数 2.6 字符串 2.7 结构数据和单元数据 2.8 稀疏矩阵
前面已讲。
2.2 MATLAB矩阵
1．直接输入法
直接输入需遵循以下基本规则： •整个矩阵应以“ [ ]”为首尾，即整个输入矩阵必须包含在 方括号中； •矩 阵 中 ， 行 与 行 之 间 必 须 用 分 号 “ ； ” 或 Enter 键 ( 按 Enter键)分隔； •每行中的元素用逗号“ ，”或空格分隔； •矩阵中的元素可以是数字或表达式，但表达式中不可包含 未知的变量，MATLAB用表达式的值为该位置的矩阵元素赋 值。 •当 矩 阵 中 没 有 任 何 元 素 时 ， 该 矩 阵 被 称 作 “ 空 阵 ” （Empty Matrix）。
例：x=5*(6-1/0.5); 5*(6-1/0.5)+3;
MATLAB的基本算术运算符有：＋(加)、－(减)、*(乘)、 /(右除)、\(左除)、^(乘方)，等等。 注: 运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只 是一种特例。
linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元 素总数。
显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。
4．建立大矩阵 大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。(自学)
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第2章 MATLAB矩阵及其运算
2.1 变量和数据操作 2.2 MATLAB矩阵 2.3 MATLAB运算 2.4 矩阵分析 2.5 矩阵的超越函数 2.6 字符串 2.7 结构数据和单元数据 2.8 稀疏矩阵
前面已讲。
2.2 MATLAB矩阵
1．直接输入法
直接输入需遵循以下基本规则： •整个矩阵应以“ [ ]”为首尾，即整个输入矩阵必须包含在 方括号中； •矩 阵 中 ， 行 与 行 之 间 必 须 用 分 号 “ ； ” 或 Enter 键 ( 按 Enter键)分隔； •每行中的元素用逗号“ ，”或空格分隔； •矩阵中的元素可以是数字或表达式，但表达式中不可包含 未知的变量，MATLAB用表达式的值为该位置的矩阵元素赋 值。 •当 矩 阵 中 没 有 任 何 元 素 时 ， 该 矩 阵 被 称 作 “ 空 阵 ” （Empty Matrix）。
例：x=5*(6-1/0.5); 5*(6-1/0.5)+3;
MATLAB的基本算术运算符有：＋(加)、－(减)、*(乘)、 /(右除)、\(左除)、^(乘方)，等等。 注: 运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只 是一种特例。
大学文科数学3-2 矩阵及其运算ppt
设矩阵 A＝(aij)m×s，B＝(bij)s×n，则以 cij＝ai1b1j＋ai2b2j＋…＋aisbsj 为元素的矩阵 C＝(cij) m×n 称为 A 与 B 的乘积 乘积，记为 乘积 AB＝C
定义4 定义
a11 L a1 j L a1s b11 L b1 j L b1n M M M M M M ai1 L aij L ais bi1 L bij L bin M M M M M M a L amj L ams as1 L bsj L asn m1
文科数学
几种特殊矩阵 ①.行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵 方阵 （Square Matrix）， aii (i=1,…, n) 称为主对角元素； ②.只有一行的矩阵 (a1, a2,…,an) 称为行矩阵 行矩阵（Row Matrix）或 n 维行向量； 行向量； 行矩阵 行向量 只有一列的矩阵
例如
7 −2
−1 8 10 5
文科数学
注意：法运算。
1 2 3 0 9 4 5 6 + 8 4 7 8 9 3 1
同型矩阵
由于矩阵的加法最终归结为它们对应位置元素的 加法，即数的加法，而数的加法满足结合律和交换 律，因此，矩阵的加法也满足这些性质。
20 x1 + 30 x2 B= 15 x1 + 10 x2 总产矩阵
矩阵 B 的第一个元素是矩阵 A 的第一行与向量 X 的对应位置元素的乘积之和； 矩阵 B 的第二个元素是矩阵 A 的第二行与向量 X 的对应位置元素的乘积之和。 因为总产量应是单卷产量与所用布卷量之积，所 以总量向量可看作是单产矩阵与用料向量的乘积， 即表示为： B＝AX
线性代数课件_第二章_矩阵及其运算——习题课
2019/9/1
课件
11
７ 矩阵相乘
设A (aij)ms , B (bij)sn,规定A与B的乘积 是一个mn矩阵C (cij)mn,其中
s
cij ai1b1j ai2b2 j aisbsj aik bkj
k 1
(i 1,2,,m; j 1,2,n), 记作 C AB.
2019/9/1
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21
相关定理及性质
方阵 A可逆的充分必要A条 0件 . 是 若矩 A可 阵,逆 则 A1A.
(A1)1A;(A)11A A 1(0);
(AT)1(A1)T. 若同A 阶 与 B 都 方可 ,那 阵A 逆 么 也 B 可 ,且逆
(A) B 1B 1A 1.
E 0 (E是n阶单位阵) 0 E
AX11E,AX12O, 依矩阵相等 C的 X11定 BX义 21O 有 ,
CX12BX22E,
2019/9/1
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39
从而X 得 1 1A 1,
X 1 2O ,
X2 1B 1CA 1, X2 2B 1,
如果 A(aij)与B(bij)是同型矩 ,并阵 且它 们的对应元,素 即相等
aijbij (i 1,2,,m;j1,2,,n). 那么就称A矩 与阵 矩B阵 相等 ,记作 AB.
2019/9/1
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8
４ 零矩阵 单位矩阵
元素都是零的矩 零阵 矩,称 阵 记为 作 O.
主对角线上的 1,其 元余 素元 都素 是都是 n阶方,叫 阵做 n阶单位 ,简阵 记E.作
故
D 1 B A 1C 1A 1
O B 1 .
2019/9/1
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