高中数学解题常用思想方法四--等价转化思想方法
等价转化思想方法
四、等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
高中数学七大基本思想方法讲解
在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系
数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化
第三：分类与整合思想
（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法
（2）从具体出发，选取适当的分类标准
（5） 高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向
第六：有限与无限的思想：
（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向
（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用
（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查
第七：或然与必然的思想：
（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性
（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然
（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点
（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化
第五： 特殊与一般思想
（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程
（4） 构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法
高中数学19种答题方法+6种解题思想
高中数学19种答题方法 6种解题思想1.函数函数题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用三合一定理。
2.方程或不等式如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.初等函数面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴4.选择与填空中的不等式选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；5.参数的取值范围求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线问题圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.曲线方程求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.离心率求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列问题数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何问题立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接心心距创造直角三角形解题；13.导数导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；14.概率概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15.换元法遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；16.二项分布注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；17.绝对值问题绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；18.平移与平移有关的，注意口诀左加右减，上加下减只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；19.中心对称关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
高中数学解题思想之等价变换思想.
等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
高中数学常用思想方法
高中数学常用的思想方法摘要：在数学教学的每一个环节中，都要重视数学思想方法的教学。
“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生。
关键词：数学方法思想中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为基础知识，另一个称为深层知识.基础知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。
基础知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识.学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的基础知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。
深层知识蕴含于基础知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着基础知识。
实施以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育，是我国面向二十一世纪的战略选择，是教育走向现代化的开端。
那种只重视讲授基础知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略基础知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛.因此，数学思想、方法的教学应与整个基础知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。
这也是数学思想方法教学的基本原则。
一、函数与方程的思想方法函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画。
因此，函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。
很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。
函数知识涉及到的知识点多，面广，在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求，有利于检测学生的深刻性、独创性思维。
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。
而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
常用数学思想方法有：1、数形结合的思想方法2、分类讨论的思想方法3、函数与方程的思想方法4、转化（化归）的思想方法5、分类讨论的思想方法6、整体的思想方法。
更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。
一、数形结合的数学思想方法数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
1、导读：2、相关内容：3、再现性题组：1.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sinθ2＝1-sinθ,那么θ2是_____。
A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角2.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。
A. 12B.33C.32D. 34、巩固性题组：1.已知5x＋12y＝60，则x y22+的最小值是_____。
A. 6013 B. 135C. 1312D. 12.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。
A. 1B. 2C. 3D.以上都不对3.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。
二、分类讨论的数学思想方法①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
高中四大数学思想方法
高中四大数学思想方法高中四大数学思想方法数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
下面是店铺整理的高中四大数学思想方法，希望对你有所帮助！一、数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。
运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线。
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
二、分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。
分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”。
应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏。
如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结。
高考数学：数学解题七大基本思想方法
高考数学：数学解题七大基本思想方法为您准备“高考数学：数学解题七大基本思想方法”，欢迎阅读参考，更多有关内容请密切关注本网站高考栏目。
高考数学：数学解题七大基本思想方法数学学科有自己独特的思维模式，所以在解决数学问题时，就要以数学的基本方法去考虑，这样才能在最有效的时间内答对题目。
第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面(2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想(1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向(3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用(4)随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想(1)随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2)偶然中找必然，再用必然规律解决偶然(3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
等价的思想方法
等价转化的思想方法(1)一、等价转化的几种情况１. 概念和载体之间的相互转化依据题意，从定义、定理、公式、概念出发，化抽象为具体，化复杂为简单，从纵向和横向进行联想转化.【例１】函数极限的值为（）.解：本题借用函数极限的具体形式，旨在考查学生对导数定义的正确理解，因而转化为求函数y=ln在x=x0处的导数，故选Ｃ.2. 特殊和一般之间的转化【例２】数列｛a n｝中，a1=，a n+a n+1（a1+a2+…+a n）= .解：通过求猜想从而达到解决问题的目的.也可以利用数列极限的含义进行重组变形，可转化为无穷等比递缩数列的求和，原式，选Ｃ.利用结构进行从特殊到一般的转化，既可缩短解题时间，又可提高运算准确性，同时考查思维的灵活性和代数变形能力.3. 变量与常量之间的转化【例３】已知函数f（x）＝ln（２－x）+ax在开区间（０，１）内是增函数.（1）求实数a的取值范围；（２）若数列｛a n｝满足a1∈（０，１），a n+1=ln（２－a n）+a n（n∈N+），证明：０<a n<a n+1<1.分析：若用函数单调性定义解题，难度大，若利用导数的性质转化为求f ′（x）在（０，１）上恒不小于零的充要条件，不难得出a≥1.（２）问先用数学归纳法证明0<an<1，再根据题目的递推关系式与函数解析式的相似性进行联想转化，只须令a=1即可知道f（x）＝ln（2-x）+x在（０，１）上是增函数.4. 曲直之间的转化【例４】如图，在正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＢ＝３，ＡＡ１＝４，Ｍ为ＡＡ１的中点，Ｐ是ＢＣ上一点，且由Ｐ沿棱柱侧面经过棱ＣＣ１到Ｍ的最短路线长为，设这条最短路线与ＣＣ１的交点为Ｎ，求：（Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（Ⅱ）ＰＣ和ＮＣ的长；（Ⅲ）平面ＭＮＰ与平面ＡＢＣ所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）.解：（Ⅰ）正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的侧面展开图是一个长为９，宽为４的矩形，其对角线边长为.（Ⅱ）如上图，将侧面ＢＢ１Ｃ１Ｃ绕棱ＣＣ１旋转１２０°使其与侧面ＡＡ１ＣＣ在同一平面上，点Ｐ运动到点Ｐ１的位置，连接ＭＰ１，则ＭＰ１就是由点Ｐ沿棱１柱侧面经过棱ＣＣ１到点Ｍ的最短路线.设ＰＣ＝x，则Ｐ１Ｃ＝x，在Ｒt△ＭＡＰ１中，由勾股定理得（３＋x）2+22=29，求得x=2，∴ＰＣ＝Ｐ１Ｃ＝２.∵（Ⅲ）如图，连结ＰＰ１，则ＰＰ１就是平面MＮＰ与平面ＡＢＣ的交线，作ＮＨ⊥ＰＰ１于Ｈ，又ＣＣ１⊥平面ＡＢＣ，连结ＣＨ，由三垂线定理得ＣＨ⊥ＰＰ１.∠NHC就是平面ＭNＰ与平面ＡＢＣ所成二面角的平面角（锐角）.在Ｒt△PHC 中，∵∠ＰＣＨ＝∠ＰＣP1＝６０°，∴ＣＨ＝＝１，在Ｒt△ＮＣＨ中，tan ∠NHC=，故平面ＮＭＰ与平面ＡＢＣ所成二面角（锐角）的大小为arctan.【点评】翻折问题、对称问题一般采用曲直互化，可以把立体问题平面化，解决问题时简捷、直观.５. 数学各分支之间的转化【例５】给定抛物线Ｃ：y2=4x，Ｆ是Ｃ的焦点，过点Ｆ的直线l与Ｃ相交于Ａ、Ｂ两点.（Ⅰ）设l的斜率为１，求ＯＡ与ＯＢ的夹角的大小；（Ⅱ）设［４，９］，求l在y轴上截距的变化范围.解：（Ⅰ）Ｆ（１，０），l:y=x-1，将其代入y2=4x消去y得x2-6x+1=0，设Ａ（x1，y1），Ｂ（x2，y2），则x1+x2=6，x1·x2=1，y1=x1-1，y2=x2-1，＝x1x2+y1y2＝2x1x2-（x1+x2）+1=-3.Ｂ点坐标（λ，２）或（λ，-２）.若Ｂ点坐标为（λ，-２），则直线l在y轴的截距b的表达式为b=f（λ）=（λ∈［４，９］）为减函数，同理若Ｂ点坐标为（λ，２），则【点评】在各地高考试题和模拟试题中各分支之间转化试题占很大的比重，像函数和不等式、向量和三角、向量和几何、函数和数列、导数和函数等都是相互转化的好素材.融向量、解析几何、函数、方程、不等式等知识于一体，有效地考查了学生分析问题和解决问题的能力，是一道考查学生综合素质的好题二、等价转化的思想方法的应用1.立体几何中的转化思想高考中的立体几何试题常以多面体为载体，融线面关系于几何体之中，融推理论证于几何量的计算之中，因而蕴含丰富的数学思想方法，其中最重要的就是转化的思想方法.本文从以下几个方面来阐述.(1) 位置关系的转化与化归【例6】设矩形ＡＢＣＤ，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ的中点，以ＥＦ为棱将矩形折成二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ１（如图１）.求证：平面ＡＢ１E∥平面Ｃ１ＤＦ.解法1：因为ＡＥ∥ＤＦ，ＡＥ平面Ｃ１ＤＦ，所以ＡＥ∥平面Ｃ１ＤＦ.同理Ｂ１Ｅ∥平面Ｃ１ＤＦ.又ＡＥ∩Ｂ１Ｅ＝Ｅ，所以平面ＡＢ１Ｅ∥平面Ｃ１ＤＦ.解法2：因为ＡＥ⊥ＥＦ，Ｂ１Ｅ⊥ＥＦ，且ＡＥ∩Ｂ１Ｅ＝Ｅ，所以ＥＦ⊥平面ＡＢ１Ｅ.同理ＥＦ⊥平面Ｃ１ＤＦ.故平面ＡＢ１Ｅ∥平面Ｃ１ＤＦ.（2）. 空间向平面转化【例7】如图２，在正四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝１，ＢＢ１＝＋１，Ｅ为ＢＢ１上使Ｂ１Ｅ＝１的点.平面ＡＥＣ１交ＤＤ１于Ｆ，交Ａ１Ｄ１的延长线于Ｇ.求：（１）异面直线ＡＤ与Ｃ１Ｇ所成的角的大小；（２）二面角Ａ－Ｃ１Ｇ－Ａ１的正切值.解: （１）由ＡＤ∥Ａ１Ｄ１知∠Ｃ１ＧＤ１为异面直线ＡＤ与Ｃ１Ｇ所成的角.连结Ｃ１Ｆ.因为ＡＥ和Ｃ１Ｆ分别是平行平面ＡＢＢ１Ａ１和ＣＣ１Ｄ１Ｄ与平面ＡＥＣ１Ｇ的交线，所以ＡＥ∥Ｃ１Ｆ.由此可得Ｄ１Ｆ＝ＢＥ＝由△ＦＤ１Ｇ∽△ＦＤＡ，得Ｄ１Ｇ＝在Rt△C１Ｄ１G中，Ｃ１Ｄ１＝１，Ｄ１Ｇ＝所以∠Ｃ１ＧＤ１＝.（２）作Ｄ１Ｈ⊥Ｃ１Ｇ于Ｈ，连结ＦＨ．由三垂线定理知ＦＨ⊥Ｃ１Ｇ，故∠Ｄ１ＨＦ为二面角Ｆ－Ｃ１Ｇ－Ｄ１即二面角Ａ－Ｃ１Ｇ－Ａ１的平面角.在Rt△GHD１中，Ｄ１Ｇ＝，∠Ｄ１ＧＨ＝，所以Ｄ１Ｈ＝注：实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的有：平移法、射影法、展开法和辅助平面法等.（3）. 割补转化【例8】如图3，三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，已知ＰＡ⊥ＢＣ，ＰＡ＝ＢＣ＝n，ＰＡ与ＢＣ的公垂线ＥＤ＝h，求证：三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积Ｖ＝n2h.此题证法很多，下面用割补法证明如下：解法１：如图３，连结ＡＤ、ＰＤ.因为ＢＣ⊥ＤＥ，ＢＣ⊥ＡＰ，所以ＢＣ⊥平面ＡＰＤ，又ＤＥ⊥ＡＰ，所以ＶＰ－ＡＢＣ＝ＶＢ－ＡＰＤ＋ＶＣ－ＡＰＤ解法２：如图４以三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的底面为底面，侧棱ＰＡ为侧棱，补成三棱柱ＰＢ１Ｃ１－ＡＢＣ，连结ＥＣ、ＥＢ，则易证ＡＰ⊥平面ＥＢＣ，（4） . 等积转化【例9】如图５，已知ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１是棱长为a的正方体，Ｅ、Ｆ分别为棱ＡＡ１与CC１的中点，求四棱锥Ａ１－ＥＢＦＤ１的体积.解：易证四边形ＥＢＦＤ１是菱形，连结Ａ１Ｃ１、ＥＣ１、ＡＣ１、ＡＤ１，则【例10】球O的半径为r，Ａ、Ｂ、Ｃ是球面上三点，弧ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ的度数分别是９０°、９０°、６０°.求球Ｏ夹在二面角Ｂ－ＡＯ－Ｃ间部分的体积.解析：此题难点在于空间想象，比较抽象.题目条件即∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＝９０°，∠ＢＯＣ＝６０°，然后给出图形（如图６所示），于是题意即可想象为用刀沿６０°二面角将一个西瓜切下一块，则这一块西瓜的体积为整个体积的2.解析几何中的转化【例12】.已知定点Ｆ１（－，０），Ｆ２（，０），满足条件的点Ｐ的轨迹是曲线Ｅ，直线y=kx-1与曲线Ｅ交于Ａ、Ｂ两点.（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）如果＝６，且曲线Ｅ上存在点Ｃ，使＝求m的值和△ＡＢＣ的面积Ｓ.解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线Ｅ是以Ｆ１（－，０），Ｆ２（，０）为焦点的双曲线的左支，且c=，a=1，易知b=1，曲线Ｅ的方程为x2-y2=1（x<0）.设Ａ（x1，y1），Ｂ（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0又由已知直线与双曲线左支交于两点Ａ，Ｂ有（Ⅱ）（略）【点评】解析几何是用代数的方法研究几何问题，这要求我们要善于将几何条件等价地转化为代数条件，本题的（Ⅰ）问关于k的不等式组就是将直线y=kx-1与曲线Ｅ交于Ａ、Ｂ两点转化来的.【例13】（如图３）椭圆：=1，直线l：，Ｐ是l上一点，射线ＯＰ交椭圆于点Ｒ，又点Ｑ在ＯＰ上且满足2，当点Ｐ在l上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：设点Ｑ、Ｒ、Ｐ的坐标为：Ｑ（x，y），Ｒ（xＲ，yＲ），Ｐ（x P，y P）.把关系式２投影到x轴上，得又设ＯＰ的方程为y=kx，轨迹的参数方程，k为参数.消去k，化为标准方程当点Ｐ在y轴上时，k不存在，此时，Ｑ点的坐标（０，２）满足方程，因此点Ｑ的轨迹是以（１，１）为中心，长轴平行于x轴，长、短半袖分别为的椭圆（除去点（０，０））.【点评】将条件２投影到x轴上是求解本题及简化运算的关键. 解答数学问题，有时采用以退为进的策略，如对于空间的问题转化为平面的问题来处理；对于平面的问题，通过投影转化为直线的问题，对于高次的问题通过换元转化为低次的问题来解决3、数列中的转化【例14】数列｛a n｝满足a1=1且a n+1=（Ⅰ）用数学归纳法证明：a n≥2（n≥2）；（Ⅱ）已知不等式ln（１＋x）<x对x>0成立，证明：a n<e2（n≥1）.其中无理数e＝２.71828…….分析与求解：（Ⅰ）证明：（１）当n=2时，a2=2≥2，不等式成立.（２）假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a k≥２（k≥２），那么这就是说，当n=k+1时不等式成立.根据（１）、（２）可知：a n≥２对所有n≥２成立.（Ⅱ）要证明a n＜e2（n≥１），就要证明lna n<2，这就涉及到题设的不等式ln（1+x）<x，就需要对已知的递推公式a n+1=（１＋（n≥1）进行转化.由递推公式及（Ⅰ）的结论有（n≥１）两边取对数并利用已知不等式得这又化归到逐差法求和．上式从１到n-1求和可得【例15】设｛a n｝是首项为１的正项数列，且（n=１，２，３……），则它们的通项公式是a n= .解析：这是已知数列前后两项的关系（这里是隐性关系），求数列的通项.若直接求解有一定难度，当我们运用转化与方程的思想方法，将隐性关系转化为前后两项的显性关系，再运用特殊的思想方法，由特殊归纳出通项公式.4.方程和函数中的转化【例16】（１）求函数y=+3x（x>0）的最小值.（２）若关于x的方程log4x2=log2（x+4）-a的根在区间（－２，－１）内时，求实数a的取值范围.分析：对函数的定义域、值域，可用其概念化归为不等式或不等式组.对方程根的分布，用等价命题的转化，也可化归为不等式或不等式组.不论哪一种化归必须注意的是：等价转化，即要注意不等式或不等式组成立的条件.解：（１）函数，x3=8，即x=2时，y有最小值为９.说明：该题要注意的是：①x>0的条件必须具有应用a+b+c≥的条件：即a，b，c≥0；②拆项时必须均匀拆项.即3x=x+x.若3x=2x+x.那么应用基本不等式取等号的条件就不能成立，2x=x=的x值取不到.（２）方程log4x2=log2（x+4）-a变形为a=log2（x+4）-log4x2（－１<x<1）.把a看作是x的函数，其中，方程根在（－２，－１）之间看作是函数的定义域为（－２，－１）.其中当x■（－２，－１）时，log２（x+4）是增函数，-log4x2也是增函数.∴a=log2（x+4）-log4x2，x∈（－２，－１）是增函数.所以值域a∈（0，log23）.说明：为什么要用函数的叠加及函数的单调性来处理这个问题呢？因为a=log2（x+4）-log4x2，转化为a=log4（x+4）2-log4x2，x的取值范围扩大了，容易得出错误的结论.但只要在扩大范围的过程中一直同时保持x∈（－２，－１）这个条件，那么也可以得到正确的结论的.另解：a=log2（x+4）-log4x2，x∈（－２，－１）注:这里把方程和函数化归为不等式,不宜采用缩小x范围的转化.【例17】已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：分析：由于二次方程x2+ax+b=0的两个实数根为二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点的横坐标，因此本题可通过研究二次函数y=x2+ax+b的图象获解.证明：（１）∵二次函数f（x）＝x2+ax+b开口向上，故必有f（±２）>0，即4+２a+b>0，4-2a+b>0，∴２a>-（４＋b），２a<4+b，∴2a<4+b.又由韦达定理，得可得4+２a+b>0，4-2a+b>0，∴f（２）>0，f（－２）>0，由f（x）=x2＋ax+b的图象可知，f（x）＝0的每个实根或者均在区间（－∞，－２）之内，或者均在区间（－２，２）之内，或者均在区间（２，＋∞）之内.若两根α、β均在区间（－∞，－２）之内，或者均在区间（２，＋∞）之内，则有而这与已知条件矛盾，∴α、β均在区间（－２，２）之内.即【点评】本题充分抓住“三个二次”之间的内在联系，将二次方程实根的研究等价地转化为对二次函数图象的研究与讨论，整个解题过程充满转化与化归.【例18】在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点Ａ、Ｂ，试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点Ｃ，使∠ＡＣＢ取得最大值.解：如图，此题转化为正切函数来解.设点Ａ的坐标为（０，a）点Ｂ的坐标为（０，b），a>b>0，又设所求的点Ｃ的坐标为（x，０），x>0，则∠ＯＣＡ＝α＋β，显然，0<α<，令，那么当x=时，y取得最小值２，因此，当x=时，tanα取得最大值.∵在（０，）内tanα是增函数，∴当x=时，∠ＡＣＢ取最大值arctan.故所求点Ｃ的坐标为（，０）.【点评】将求角的最值问题等价地转化为三角函数最值问题是求解本题的关键.小结:有些数学问题，本身并无明显的函数关系，但经仔细分析后，可以找到一个函数，通过对此函数的研究，运用函数的有关性质，打通解题的思路.【例19】若正数a、b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.解析：此题若由ab=a+b+3想直接推出ab的取值范围是走不通的，现在只能换一个角度，用转化的思想，由于a、b是正数，显然a＋b≥２成立，当且仅当a=b时取等号.把等式ab=a+b+3转化为关于ab的不等式：ab≥２＋３，这是关键的一步.解不等式（）２－２－３≥０得≥３，或≤－１（舍去）∴ab≥９即ab的取值范围是ab≥９.【点评】“遇困难，要转化”，这是解题的基本思想方法，本题在a、b为正数的条件下，运用基本不等式a+b≥２，将等式转化为不等式，通过解不等式求得ab 的取值范围，这里有一定的技巧，但也含有思维的基本规律.【例20】.设x、y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的范围。
高考中的数学思想方法
高考中的数学思想方法高考复习有别于新知识的教学。
它是在学生基本掌握了中学数学知识体系、具备了一定的解题经验的基础上的复课数学，也是在学生基本认识了各种数学基本方法、思维方法及数学思想的基础上的复课数学。
其目的在于深化学生对基础知识的理解，完善学生的知识结构，在综合性强的练习中进一步形成基本技能，优化思维品质，使学生在多次的练习中充分运用数学思想方法，提高数学能力。
高考复习是学生发展数学思想，熟练掌握数学方法理想的难得的深化过程。
我们今天来了解高考数学的思想方法高考试题重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活运用。
它着眼于知识点新颖巧妙的组合，试题新而不偏，活而不过难;着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。
尤其是近几年的高考试题加大了对考生应用能力的考查，高考《考试说明》中明确指出：“能综合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决在相关学科、生产生活中的数学问题……”、“有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度……”。
高考的这种积极导向，决定了我们的数学复习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。
高考复习有别于新知识的教学。
它是在学生基本掌握了中学数学知识体系、具备了一定的解题经验的基础上的复课数学，也是在学生基本认识了各种数学基本方法、思维方法及数学思想的基础上的复课数学。
其目的在于深化学生对基础知识的理解，完善学生的知识结构，在综合性强的练习中进一步形成基本技能，优化思维品质，使学生在多次的练习中充分运用数学思想方法，提高数学能力。
高考复习是学生发展数学思想，熟练掌握数学方法理想的难得的深化过程。
中学数学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为基础知识，另一个称为深层知识.基础知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。
基础知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识.学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的基础知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。
高考数学二轮复习第二部分方法篇类型4等价转化思想求解数学问题最常用的方法课件文
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则 A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，M(0,2)，N(2，32)， 那么M→N＝(2，－12)，A→B＝(4,0)，A→C＝(0,3)， 由M→N＝xA→B＋yA→C，可得(2，－12)＝x(4,0)＋y(0,3)，(特例转化)
即(2，－12)＝(4x,3y)，则有43xy＝＝－2，12，
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方法3
特殊(tèshū) 转化法
试题(shì审tí题)指导(zh解ǐd题ǎo过)程
方法1 方法2
方法3
方法4
[例 12] (2015·高考北京卷)在△ABC 中，点 M，N 满足A→M＝2M→C， B→N＝N→C.若M→N＝xA→B＋yA→C，则 x＝____12____；y＝__－__16____.
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方法 (fāngfǎ)2
试题(shìt解í)析(jiě
方法1 方法2
方法3
方法4
11．已知 a 为正常数，若不等式 1＋x≥1＋x2－2xa2对一切非负实 数 x 恒成立，则 a 的最大值为____4____．
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方法 (fāngfǎ)2
方法1
方法2
方法3
方法4
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方法 (fāngfǎ)4
试题(shìtí解) 析(ji
方法1 方法2 方法3 方法4
13．对任意 x，y∈R，不等式 x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，
则实数 a 的取值范围为( B )
A．(－∞，1]
B．[1，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．(－∞，－1]
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解得xy＝＝－12，16，
2022高考数学考前15天解题方法突破：等价转化思想方法
2022高考数学考前15天解题方法突破：等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范畴内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
闻名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题确实是把要解题转化为差不多解过的题”。
数学的解题过程，确实是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。
它能够在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它能够在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，一般语言向数学语言的翻译；它能够在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范畴问题等等，都表达了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
能够说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，幸免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
高中数学七大数学基本思想方法
高中数学七大数学基本思想方法（一）第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。
（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。
第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。
第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。
（2）从具体出发，选取适当的分类。
（3）划分只是手段，分类研究才是目的。
（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。
（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。
第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。
（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。
第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。
（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。
（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题方向。
第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。
（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。
高中数学等价思想总结归纳
高中数学等价思想总结归纳高中数学等价思想主要包括等价变形、等价代换、等价关系和等价性质四个方面。
这些等价思想在数学的各个分支领域中普遍存在，并具有重要的理论和应用价值。
下面将对这四个方面进行归纳总结。
等价变形是数学中常用的一种推理方法。
它通过对数学表达式、方程式或不等式进行一系列的代数运算，使其形式上发生变化，而保证其数学意义不变。
等价变形的核心思想是利用数学运算的性质来调整表达式的形式，以达到简化、解决问题的目的。
常见的等价变形方法有因式分解、通分、配方法、换元等。
例如，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以通过配方法将其变形为(a'x+p)^2+q=0的形式，从而更便于解方程。
等价变形在解决各种类型的数学问题中起到了重要的作用，使复杂的问题变得简单。
等价代换是利用代数等式的等价性质进行推理的方法。
它将一个数学表达式或方程中的某个量用其它的等价形式进行替代，以便于化简或求解问题。
等价代换一般包括两个步骤：找到等价量并进行替代。
等价量指的是在数学运算过程中，可以与原有量进行等价替换的数学表达式或方程。
常见的等价代换方法有因式分解、代入法、递推法等。
例如，求解二次函数f(x)=ax^2+bx+c的最值问题，可以利用等价代换将其转换为求解一元二次方程的问题，进而应用二次函数的性质完成最值问题的求解。
等价关系是指在数学领域中具有某种关联的两个数学事物之间存在着一种特定的关系。
等价关系由三个性质构成：自反性、对称性和传递性。
自反性指的是任何元素与自身之间满足这种关系；对称性指的是如果x与y之间存在这种关系，那么y与x之间也存在这种关系；传递性指的是如果x与y之间存在这种关系，y与z之间也存在这种关系，那么x与z之间也存在这种关系。
等价关系在数学中具有广泛的应用，例如，等价关系可以用于划分集合，进行分类和归纳，也可以用于构建等价类以进行证明和推理。
等价性质是在数学中常用的一种判断两个事物是否具有相同性质或结构的方法。
数学中的四大思想
数学中的四大思想
1.函数与方程的思想
用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想;函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括;是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础;运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程;得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去.
2．数形结合思想
在中学数学里;我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开;也就是说;代数问题可以几何化;几何问题也可以代数化;“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.
3．分类讨论思想
在数学中;我们常常需要根据研究对象性质的差异.分各种不同情况予以考察;这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ;引起分类讨论的因素较多;归纳起来主要有以下几个方面：1由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；2由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；3由于图形的不确定性引起的讨论；4由于题目含有字母而引起的讨论.
分类讨论的解题步骤一般是：1确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；2合理分类;统一标准;做到既无遗漏又无重复；3逐步讨论;分级进行；4归纳总结作出整个题目的结论.
4.等价转化思想
等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论;或通过适当的代换转化问题的形式;或利用互为逆否命题的等价关系来实现.
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化.。
高中数学解题思想之等价变换思想
等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
高中数学解题思想之等价变换思想
等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
高中数学解题常用思想方法(四)--等价转化思想方法
【高中数学解题常用思想方法】四、等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
高考数学：数学解题七大基本思想方法
高考数学：数学解题七大基本思想方法高考数学：数学解题七大基本思想方法数学学科有自己独特的思维模式，所以在解决数学问题时，就要以数学的基本方法去考虑，这样才能在最有效的时间内答对题目。
第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面(2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想(1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向(3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用(4)随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想(1)随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2)偶然中找必然，再用必然规律解决偶然(3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
高中数学常用的数学思想
高中数学常用的数学思想摘要：数学思想是一种数学意识，是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，用以对数学问题的认识处理和解决。
在高中常用数学思想有：数形结合思想，分类讨论思想，转化思想，函数与方程思想,特殊与一般的思想等，注意这些思想在解题中的指导作用，加强运用数学思想的解题意识，可以找到一些解题思想或简化解题过程。
关键词：方法；练习一、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
二、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
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【高中数学解题常用思想方法】四、等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
Ⅰ、再现性题组：1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。
A. 0.5B. －0.5C. 1.5D. －1.52.设f(x)＝3x－2，则f-1[f(x)]等于______。
A. x+89B. 9x－8C. xD.132x-3. 若m、n、p、q∈R且m2＋n2＝a，p2＋q2＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。
A. a b+2B. abC.a b222+D.aba b+4. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。
A. 1B. 2C. 2D. 55. 设椭圆ya22＋xb22＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于2217c，则椭圆的离心率为_____。
A. 14B.12C.33D.226. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。
A. 152B. 10C.252D.352【简解】1小题：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B；2小题：设f(x)＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C；3小题：由mp＋nq≤m p222+＋n q222+容易求解，选A；4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；5小题：ab＝2217c×a b22+，变形为12e4－31e2＋7＝0，再解出e，选B；6小题：由S∆ADE ＝14S∆ABC和三棱椎的等体积转化容易求，选A。
Ⅱ、示范性题组：例1. 若x、y、z∈R+且x＋y＋z＝1，求(1x－1)(1y－1)(1z－1)的最小值。
【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。
所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。
【解】(1x－1)(1y－1)(1z－1)＝1xyz（1－x）(1－y)(1－z)＝1xyz(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝1xyz(xy＋yz＋zx－xyz)＝1x＋1y＋1z－1≥313xyz－1＝33xyz－1≥33x y z++－1＝9【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。
将问题转化为求1x＋1y＋1z的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。
此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。
例2. 设x、y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的范围。
【分析】设k＝x2＋y2，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。
其中要注意隐含条件，即x的范围。
【解】由6x－3x2＝2y2≥0得0≤x≤2。
设k＝x2＋y2，则y2＝k－x2，代入已知等式得：x2－6x＋2k＝0 ，即k＝－12x2＋3x，其对称轴为x＝3。
由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4。
【另解】数形结合法（转化为解析几何问题）：由3x2＋2y2＝6x得(x－1)2＋y232＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。
x2＋y2的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。
由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。
设圆方程为x2＋y2＝k，代入椭圆中消y得x2－6x＋2k＝0。
由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4。
【再解】三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：由3x2＋2y2＝6x得(x－1)2＋y232＝1，设xy-==⎧⎨⎪⎩⎪162cossinαα，则x2＋y2＝1＋2cosα＋cos2α＋32sin2α＝1＋32＋2cosα－12cos2α＝－12cos2α＋2cosα＋52∈[0,4]所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4。
【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。
此题还可以利用均值换元法进行解答。
各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。
例3. 求值：ctg10°－4cos10°【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。
【解一】ctg10°－4cos10°＝cossin1010°°－4cos10°＝cos sin cossin104101010°°°°-＝sin sinsin8022010°°°-＝sin sin sinsin80202010°°°°--＝250302010cos sin sinsin°°°°-＝sin sinsin402010°°°-＝2301010cos sinsin°°°＝3（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）【解二】ctg10°－4cos10°＝cossin1010°°－4cos10°＝cos sin cossin104101010°°°°-＝sin sinsin8022010°°°-＝2128022010·°°°sin sinsin-＝2608022010cos sin sinsin°°°°-＝sin sin()sinsin1402022010°°°°---＝sin sinsin1402010°°°-＝2806010cos sinsin°°°＝3（基本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积）【解三】ctg10°－4cos10°＝cossin1010°°－4cos10°＝cos sin cossin104101010°°°°-＝sin sinsin8022010°°°-＝sin()sinsin602022010︒+︒-°°＝3220122022010cos sin sinsin︒+︒-°°＝31220322010(cos sin)sin︒-︒°＝3602010cos()sin︒+︒°＝3（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。
此种题型属于三角变换型。
一般对，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。
对此，我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。
例4. 已知f(x)＝tgx ，x ∈(0, π2)，若x 1、x 2∈(0, π2)且x 1≠x 2， 求证：12[f(x 1)＋f(x 2)]>f(x x 122+) （94年全国高考） 【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。
【证明】12[f(x 1)＋f(x 2)]>f(x x 122+) ⇔ 12[tgx 1＋tgx 2]>tg x x 122+ ⇔12(sin cos x x 11＋sin cos x x 22)>sin()cos()x x x x 12121+++ ⇔ 12sin()cos cos x x x x 1212+>sin()cos()x x x x 12121+++ ⇔ 1＋cos(x 1＋x 2)>2cosx 1cosx 2 ⇔ 1＋cosx 1cosx 2＋sinx 1sinx 2>2cosx 1cosx 2⇔ cosx 1cosx 2＋sinx 1sinx 2<1 ⇔ cos(x 1－x 2)<1由已知显然cos(x 1－x 2)<1成立，所以12[f(x 1)＋f(x 2)]>f(x x 122+) 【注】 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步实施的都是等价转化。