高中数学解题基本方法 换元法

高中数学解题基本方法--换元法

高中数学解题基本方法--换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t 0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋

的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r 0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t 0和α∈[0,]。

Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx??cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设 f x＋1 ＝log 4－x （a 1），则 f x 的值域是_______________。

3.已知数列 a 中，a＝－1，a??a＝a－a，则数列通项a＝___________。

4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程＝3的解是_______________。

6.不等式log 2－1 ??log 2－2 〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；

2小题：设x＋1＝t t≥1 ，则f t ＝log[- t-1 ＋4]，所以值域为－∞,log4]；

3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋ n－1 -1 ＝－n，所以a＝－；

4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k ≥1或k≤－1；

5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

6小题：设log 2－1 ＝y，则y y＋1 2，解得－2 y 1，所以x ∈ log,log3 。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （①式），设S＝x ＋y，求＋的值。（93年全国高中数学联赛题）

【分析】由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值。

【解】设代入①式得： 4S－5S??sinαcosα＝5

解得 S＝；

∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴≤≤

∴＋＝＋＝＝

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，

则xy＝±代入①式得：4S±5 5，

移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。

∴ 39S－160S＋100≤0 解得：≤S≤

∴＋＝＋＝＝

【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,]，所以S＝ a－b ＋ a＋b ＝2 a ＋b ＝＋a∈[,]，再求＋的值。

例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全国理）

【分析】由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设，再代入可求cosα即cos。

【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,

由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：

＋＝＋＝＋＝＝＝－2,

解得：cosα＝，即：cos＝。

【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－＝－2，设＝－＋m，＝－－m ，

所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：

cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，

cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，

即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝。

【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和积互化得：

2coscos＝－[cos A+C ＋cos A-C ，即cos＝－cos A-C ＝－2cos－1 ，整理得：4cos＋2cos－3＝0,

解得：cos＝

y

, ,

－ x

例3. 设a 0，求f x ＝2a sinx＋cosx －sinx??cosx－2a的最大值和最小值。

【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由 sinx＋cosx ＝1＋