浙教版人教A版必修2《直线与圆》回扣验收特训(二)含解析

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人教A版高一数学必修二 4.2 直线与圆练习题(解析版)

人教A版高一数学必修二4.2 直线与圆练习一、选择题：1.1.直线x-y+6=0的倾斜角是（）A. 600B. 1200C. 300D. 1500【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．【详解】∵直线的斜率为设直线的倾斜角为，则.∴故选C.【点睛】根据直线的方程求直线的倾斜角，一般写通过直线方程求出直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求出直线的倾斜角.2.2.经过点且在轴上的截距为3的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：直线过，，代入选项验证可知C正确.考点：直线方程．3.3.直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行，则的值为（）A. -或1B. 1C. -D. -或1【答案】C【解析】【分析】直接求出直线的斜率，利用直线平行的充要条件判断的值即可．【详解】∵直线与直线平行∴∴，满足∴时，两条直线平行故选C.【点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，两条直线平行与斜率的关系.对直线文职关系的考查是热点命题方向之一，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）∥；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况.4.4.若直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则a的值为( )A. －3B. 1C. 0或D. 1或－3【答案】D【解析】依题意，两直线垂直，故，解得或.5.5.圆（x-3）2+(y+4)2=2关于直线x+y=0对称的圆的方程是（）A. (x+3)2+(y-4)2=2B. (x-4)2+(y+3)2=2C. (x+4)2+(y-3)2=2D. (x-3)2+(y-4)2=2【答案】B【解析】【分析】求出圆心关于直线对称的点坐标，即可得到圆关于直线对称的圆的方程．【详解】∵圆的圆心坐标为∴关于直线对称的点的坐标为∴圆关于直线对称的圆的方程是故选B.【点睛】本题考查圆的对称性，圆关于某点或某直线对称，关键是求出圆心的对称点即新圆心坐标，而半径保持不变.6.6.若实数x、y满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】求出圆心与半径，令，将转化为直线，利用圆心到直线的距离小于等于半径，求出的取值范围，即可求出最大值．【详解】∵实数、满足∴圆心为，半径为令，即.∴圆心到直线的距离为∴∴的最大值为故选A.【点睛】本题考查了代数式的最值问题，通过函数与方程的思想求出表达式的最值，也可以利用数形结合法解答，考查计算能力，转化思想． 7.7.圆的切线方程中有一个是（） A.B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：已知圆的圆心为，半径为1，圆心只有到直线的距离为1，即此直线与圆相切．故选C ．考点：直线与圆的位置关系． 8.8.若直线与直线互相垂直，那么的值等于（）A. 1B.C.D.【答案】D 【解析】试题分析：由得，故选D ．考点：平面内两直线垂直与平行的判定．9.9.设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设切线方程为,由圆心（0,0）直线的距离，即，解得，，所以选C.考点：1.直线与圆相切的性质.2.点到直线的距离公式.10.10.如果直线的斜率分别为二次方程的两个根，那么与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出两直线的斜率，由一元二次方程根与系数关系得到两直线斜率的和与积，代入夹角公式求得与的夹角．【详解】设直线与的斜率分别为，，与夹角为.∵直线的斜率分别为二次方程的两个根∴，∴∵∴故选A.【点睛】本题考查两条直线的夹角公式，根据三角函数的值求角，解题的关键是运用两条直线的夹角公式.11.11.已知，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为，，若，说明了直线与圆有公共点，则只要满足圆心到直线的距离小于等于半径即可。

高中数学人教A版必修2《直线和圆的位置关系》课后练习一(含解析)

（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学直线和圆的位置关系课后练习一（含解析）新人教A版必修2已知直线y=-2x+m，圆x2+y2+2y=0．（1）m为何值时，直线与圆相交？（2）m为何值时，直线与圆相切？（3）m为何值时，直线与圆相离？题1已知直线l：2x+3y+1=0被圆C：x2+y2=r2所截得的弦长为d，则下列直线中被圆C 截得的弦长同样为d的直线是（）．A．2x+4y-1=0 B．4x+3y-1=0 C．2x-3y-1=0 D．3x+2y=0题2过点M（2，1）作圆x2+y2=5的切线，求切线方程．题3已知点P(x，y)是圆C：(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．题4求与圆x2+（y-2）2= 4相切且在两坐标轴上截距相等的直线方程．题5从直线x-y+3=0上的点向圆（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值是．题6若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．题7已知圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和圆C2：x2+y2−4x+2y−4＝0（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；（3）求两圆公切线所在直线的方程．题8已知圆1C 的圆心在坐标原点O ,且恰好与直线1:l 0x y --=相切． (Ⅰ) 求圆的标准方程；(Ⅱ）设点0,0()A x y 为圆上任意一点,AN x ⊥轴于N ,若动点Q 满足OQ mOA nON =+,(其中1,,0,m n m n m +=≠为常数),试求动点Q 的轨迹方程2C ．题9点M (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内不为圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝a 2与该圆的位置关系是( )．A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交课后练习详解题1答案：（1）1--m <1-+（2）m =1-m =1-（3）m <1-m >1-详解：由y ＝−2x +m 和x 2+y 2+2y ＝0，得5x 2-4(m +1)x +m 2+2m =0．△=16(m +1)2-20(m 2+2m )=-4[(m +1)2-5]，当△＞0时，(m +1)2-5＜0，∴1-m <1-当△=0时，m =1-m =1-+当△＜0时，m <1-或m >1-故5-1-<m <1-m =1--m =1-+m <1--m >1-+题2 答案：C ．详解：∵圆x 2+y 2=r 2的圆心O （0，0）到直线l ：2x +3y +1=0的距离m =1313，又直线l ：2x +3y +1=0被圆C ：x 2+y 2=r 2所截得的弦长为d ， ∴弦心距1313，弦长之半2d与圆半径r 组成的直角三角形，即222)1313()2(+=dr ，∵圆心O （0，0）到直线2x +4y -1=0的距离 1313105421221≠=+=m ，故A 与题意不符；同理可得圆心O （0，0）到直线4x +3y -1=0的距离13132≠m ，故B 与题意不符；圆心O （0，0）到直线2x -3y -1=0的距离13133=m 符合题意；而圆心O （0，0）到直线3x +2y =0的距离13134≠m 故D 与题意不符；故选C ．答案：2x +y -5=0．详解：由圆x 2+y 2=5，得到圆心A 的坐标为（0，0），圆的半径5=r ，而|AM |=r ==+514，所以M 在圆上，则过M 作圆的切线与AM 所在的直线垂直，又M （2，1），得到AM 所在直线的斜率为21，所以切线的斜率为-2，则切线方程为：y -1=-2（x -2）即2x +y -5=0．题3答案：最大值为115，最小值为15．详解：圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为 d ＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋42＝65． ∴P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝115，最小值为d －r ＝65－1＝15．题4答案：y =0或x +y -222±=0．详解：设两坐标轴上截距相等（在坐标轴上截距不为0）的直线l 方程为x +y =a ，则由题意得：x 2+(y −2)2＝4和x +y ＝a ，消去y 得：2x 2+（4-2a ）x +a 2-4a =0，∵l 与圆x 2+（y -2）2=4相切，∴△=（4-2a ）2-4×2（a 2-4a ）=0，解得a =222±，∴l 的方程为：x +y -222±=0，当坐标轴上截距都为0时，y =0与该圆相切；故答案为：y =0或x +y -222±=0．题5 答案：214．详解：如图设从直线x -y +3=0上的点P 向圆C ：（x +2）2+（y +2）2=1引切线PD ，切点为D ，则|CD |=1，在Rt △PDC 中，要使切线长PD 最小，只需圆心C 到直线上点P 的距离最小，∵点C （-2，-2）到直线x -y +3=0的距离CP ′最小为2d =，∴切线长PD 的最小值为214129'22=-=-CD C p 题6 答案：4．详解：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △OO 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4．答案：4 题7答案：（1）相交；（2）6x +4y +13=0；（3）4y =-和2512y +=x ．详解：（1）圆C 1：x 2+y 2+2x +6y +9＝0化成标准形式：（x +1）2+（y +3）2=1 ∴圆心C 1（-1，-3），半径r 1=1同理，得到圆C 2：x 2+y 2−4x +2y −4＝0的圆心C 2（2，-1），半径r 2=3 ∵|r 1-r 2|=2，r 1+r 2=4，圆心距12C C ==∴|r 1-r 2|≤C 1C 2≤r 1+r 2，得两圆的位置关系是相交；（2）∵圆C 1：x 2+y 2+2x +6y +9＝0，圆C 2：x 2+y 2−4x +2y −4＝0∴圆C 1和圆C 2的方程两边对应相减，得6x +4y +13=0，即为两圆公共弦所在直线方程．（3）过C 1作y 轴的平行线，交圆C 1于D 点，过C 2作y 轴的平行线，交圆C 2于C 点，可得D （-1，-4），C （2，-4）∴直线DC 方程为y =-4，且DC 是两圆的一条公切线直线DC 交直线C 1C 2于点A ，则过A 点与圆C 2相切的直线必定与圆C 1也相切设切点为B ，因此直线AB 是两圆的另一条公切线，求得C 1C 2方程：3732y -=x ，可得A （-2．5，-4），设直线AB 方程为y +4=k （x +2．5），即kx -y +2．5k -4=0 ∴点C 2到直线AB 的距离为3d ==，解之得512（k =0舍去），因此直线AB 的方程为2512y +=x ，综上所述，两圆公切线所在直线的方程为4y =-和2512y +=x ．题8答案：（1）224x y +=；（2）222144x y m+= 详解：(Ⅰ)设圆的半径为r ,圆心到直线1l 距离为d ，则2d ==所以圆1C 的方程为224x y +=(Ⅱ）设动点(,)Q x y ,0,0()A x y ,AN x ⊥轴于N ,0(,0)N x由题意,000(,)(,)(,0)x y m x y n x =+，所以000()x m n x x y my =+=⎧⎨=⎩即: 001x xy y m =⎧⎪⎨=⎪⎩，将1(,)A x y m ，代入224x y +=,得222144x y m += 题9 答案：C ．详解：由已知得2200x y +＜a 2，且2200x y +≠0，又∵圆心到直线的距离d 2a ，∴直线与圆相离．。

浙教新版九年级下册《第2章_直线与圆的位置关系》2024年单元测试卷+答案解析

浙教新版九年级下册《第2章直线与圆的位置关系》2024年单元测试卷一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知的半径是5，直线l是的切线，则圆心O到直线l的距离是()A.5B.C.3D.102.如图，AB是的弦，AO的延长线交过点B的的切线于点C，如果，则的度数是()A.B.C.D.3.如图，正六边形ABCDEF内接于，若直线PA与相切于点A，则()A.B.C.D.4.如图，中，，，，以点C为圆心的圆与AB相切，则的半径为()A.B.C.D.5.如图，已知，，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的的切线交BC于点若，，则的半径是()A.3B.4C.D.6.如图，PA、PB分别与相切于A、B两点，若，则的度数为()A.B.C.D.7.如图是的切线，PC经过圆心，交于点B，连结，AC，下列结论中正确的是()A. B. C. D.二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。

8.如图，在矩形ABCD中，，，过点A、D两点的与BC边相切于点E，则的半径为______.9.如图1，将一个量角器与一张等边三角形纸片放置成轴对称图形，，垂足为D，半圆量角器的圆心与点D重合，此时，测得顶点C到量角器最高点的距离，将量角器沿DC方向平移1cm，半圆量角器恰与的边AC，BC相切，如图2，则AB的长为______10.如图，延长的直径AB至点C，CD切于点D，如果，点E是弧上一点，那么______.三、解答题：本题共3小题，共24分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.本小题8分如图，从点P向引两条切线PA，PB，切点为A，B，BC为的直径，AC为弦，若，，求AC的长.12.本小题8分已知：如图，MN为的直径，ME是的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分求证：是的切线；13.本小题8分如图，AB是的直径，过点B作的切线BM，弦，交AB于点F，且弧弧DC，连接AC、AD，延长AD交BM于点求证：是等边三角形；若，求的半径．答案和解析1.【答案】A【解析】解：直线l是的切线，圆心O到直线l的距离等于圆的半径，即圆心O到直线l的距离为5故选：利用切线的性质求解．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．2.【答案】C【解析】解：BC是的切线，OB是的半径，，，，，故选：由BC是的切线，OB是的半径，得到，根据等腰三角形的性质得到，由外角的性质得到，即可求得本题考查了本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，掌握定理是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：连接OB，AD，BD，多边形ABCDEF是正六边形，为外接圆的直径，，直线PA与相切于点A，，故选：连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出的度数，再根据圆周角定理即可求出的度数，利用弦切角定理可求出的度数．本题主要考查了正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．4.【答案】C【解析】解：在中，，，，，，如图：设切点为D，连接CD，是的切线，，，，即，的半径为，故选设切点为D，连接CD，由AB是的切线，即可得，又由在直角中，，，，根据勾股定理求得AB的长，然后由，即可求得以C为圆心与AB 相切的圆的半径的长．此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．5.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了切线的性质和勾股定理，还考查了圆周角定理、三角形的中位线、面积等基础知识，解答此题的关键是要明确：圆的切线垂直于经过切点的半径.首先连接OD、BD，判断出，再根据DE是的切线，推得，所以；然后根据，，，求出DE；最后判断出BD、BC的关系，根据勾股定理，求出BC的值，再根据，求出AB的值，即可求出的半径.【解答】解：如图1，连接OD、BD，是的直径，，，又，，又，是的中位线，，是的切线，，，，，，，，，，，解得负值舍去，，，的半径是故选：6.【答案】C【解析】解：、PB是的切线，，，，又，则故选：由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到，，可得出，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知的度数求出的度数，在四边形PAOB中，根据四边形的内角和即可求出的度数．本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．7.【答案】A【解析】解：是的切线，，，为的直径，，，，，，，，所以A选项符合题意；只有当时，则，所以，此时，，，所以B选项、C选项和D选项不符合题意．故选：根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，则利用等角的余角相等得到，加上，所以，则可对A选项进行判断；由于只有当时，，，，则可对B选项、C选项和D选项进行判断．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．8.【答案】【解析】解：连结EO并延长交AD于F，如图，与BC边相切于点E，，四边形ABCD为矩形，，，，易得四边形ABEF为矩形，则，设的半径为r，则，，在中，，，解得，即的半径为故答案为连结EO并延长交AD于F，如图，由切线的性质得，再利用平行线的性质得到，则根据垂径定理得到，易得四边形ABEF为矩形，则，设的半径为r，则，，然后在中利用勾股定理得到，再解方程求出r即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程．9.【答案】【解析】解：如图，设图②中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，则，，依题意知道，设AB为2xcm，是等边三角形，，而，又将量角器沿DC方向平移1cm，半圆的半径为，，，，，，故答案为：如图，设图②中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到，而根据已知条件可以得到，设AB为2xcm，根据等边三角形得到，而，又将量角器沿DC方向平移1cm，由此得到半圆的半径为，，然后在中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解．本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．10.【答案】【解析】解：连结OD，如图，切于点D，，，，，，，，故答案为：连结OD，如图，先根据切线的性质得到，则可计算出，再利用等腰三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．11.【答案】解：如图所示：连接，PB是切线，又，是直径，又，而，则，即AC的长度为【解析】根据PA，PB是切线，，判断出是正三角形，根据，判断出为，进而得出，再利用三角函数求出AC的长．此题要根据切线的性质、切线长定理和直径所对的圆周角是，找到图中的直角三角形，根据直角三角形的性质解题．12.【答案】证明：平分，，，，，，，，过O，是的切线；连接EN，，MN为的直径，，，∽，，【解析】求出，求出，根据切线的判定得出即可；连接EN，求出，求出∽，根据相似三角形的判定得出即可．本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．13.【答案】证明：是的直径，BM是的切线，，，，，，，，是等边三角形；解：连接OE，过O作于N，由知，是等边三角形，，，，，，设的半径为：r，，，，在与中，，即，则的半径为【解析】由AB是的直径，BM是的切线，得到，由于，得到，根据垂径定理问题即可得证；连接OE，过O作于N，由知，是等边三角形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到，，设的半径为r，在与中，由勾股定理列方程即可得到结论．本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作于N，构造直角三角形是解题的关键．。

人教A版高中数学必修二第三章直线与方程单元测试卷(二) 答案和解析

人教A 版高中数学必修二第三章直线与方程单元测试卷（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．直线的倾斜角和斜率分别是（）A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在2．直线l 1：y ＝kx ＋b 和直线l 2：1x yk b+= (k ≠0，b ≠0)在同一坐标系中，两直线的图形应为( )A ．B ．C ．D ．3．已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则+a b 的值为（） A ．7-B ．1-C ．1D ．74．过点(4,)A a 和(5,)B b 的直线与直线y x m =+平行，则||AB 的值为（）A ．6BC ．2D ．不确定5．从P 点发出的光线l 经过直线x －y －2＝0反射，若反射光线恰好通过点Q (5,1)，且点P 的坐标为(3，－2)，则光线l 所在的直线方程是( ) A ．x ＝3 B ．y ＝1 C ．x －2y －7＝0D ．x ＋2y ＋1＝06．若A (－6,0)、B (0,8)，点P 在线段AB 上，且AP ∶AB ＝3∶5，则点P 到直线15x ＋A ．49100B ．4425 C ．625D ．12257．已知点P(a ，b)是第二象限的点，那么它到直线x －y ＝0的距离是( )A ．2(a －b) B ．b －aC ．2(b －a) D8．直线ax ＋y ＋m ＝0与直线x ＋by ＋2＝0平行，则( ) A ．ab ＝1，bm ≠2 B ．a ＝0，b ＝0，m ≠2 C ．a ＝1，b ＝－1，m ≠2 D ．a ＝1，b ＝1，m ≠29．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y )|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是( ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．0或－110．已知点P (a ，b )与点Q (b ＋1，a －1)关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x ＋3D ．y ＝x －111．已知直线l 1：x ＋2y －6＝0，l 2：x －y －3＝0则l 1、l 2、x 轴、y 轴围成的四边形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．152D ．312．如图，已知()4,0A ，()0,4B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A ．B ．6二、填空题13．直线y＝－x＋b与5x＋3y－31＝0的交点在第一象限，则b的取值范围是________．14．直线l过两点A(0,2)和B3m2＋12m＋15)(m∈R)，则直线l倾斜角α的范围是________．15．已知直线l1和l2的斜率是方程3x2－2x－1＝0的两根，若直线l过点(2,3)，斜率为两根之一，且不过第四象限，则直线l的方程为________________．16．给出下列五个命题：①过点(－1,2)的直线方程一定可以表示为y－2＝k(x＋1)的形式(k∈R)；②过点(－1,2)且在x轴、y轴截距相等的直线方程是x＋y－1＝0；③过点M(－1,2)且与直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)垂直的直线方程是B(x＋1)＋A(y－2)＝0；④设点M(－1,2)不在直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)上，则过点M且与l平行的直线方程是A(x＋1)＋B(y－2)＝0；⑤点P(－1,2)到直线ax＋y＋a2＋a＝0的距离不小于2.以上命题中，正确的序号是________．三、解答题17．已知直线l的斜率为6，求直线l的方程．18．将直线l绕它上面一点P按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)后，所得直线方程是6x＋y－60＝0.若再向同方向旋转90°－α后，所得直线方程是x＋y＝0，求l的方程．19．求经过点A(－1，－2)且到原点距离为1的直线方程．20．已知直线l1：2x＋ay＋4＝0与直线l2平行，且l2过点(2，－2)，并与坐标轴围成的三角形面积为1a，求a的值．21．甲、乙两人要对C处进行考察，甲在A处，乙在B处，基地在O处，此时∠AOB＝90°，测得|AC|＝5 km，|BC|，|AO|＝|BO|＝2 km，如图所示，试问甲、乙两人应以什么方向走，才能使两人的行程之和最小？22．四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0)、A(6,2)、B(4,6)、C(2,6)，直线y＝kx(13<k<3)分四边形OABC为两部分，S表示靠近x轴一侧的那一部分的面积．(1)求S＝f(k)的函数表达式；(2)当k为何值时，直线y＝kx将四边形OABC分为面积相等的两部分？参考答案1．C 【解析】解：∵直线x=1垂直于x 轴，倾斜角为90°，而斜率不存在，故选 C ． 2．D 【解析】直线l 2：1x y k b +=，整理得：bxy b k=-+. 对于A ，直线l 1经过第二、三、四象限，所以0,0k b <<，直线l 2经过第一、三、四象限，所以0,?0bb k-><，所以0k >矛盾，不成立；对于B ，直线l 1经过第一、三、四象限，所以0,0k b ><，直线l 2经过第二、三、四象限，所以0,?0bb k-<<，所以0k <矛盾，不成立；对于C ，两直线的纵截距不一样，不正确；对于D ，直线l 1经过第一、二、三、象限，所以0,0k b >>，直线l 2经过第一、二、四象限，所以0,?0bb k-，所以0k >成立. 故选D.点睛：本题通过对多个图象的选择考查直线的图象与方程，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据直线的斜率、截距、特殊点利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 3．A 【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13，所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-，所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果. 4．B 【解析】试题分析：由题意，利用斜率公式求得，即，所以，故选项为B ．考点：（1）两直线的平行关系；（2）两点间的距离公式． 5．A 【解析】设点Q (5,1)关于直线x －y －2＝0的对称点为M (a,b).则115512022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得33a b =⎧⎨=⎩，所以M (3,3)可得直线PM 方程为：x ＝3，故选A. 6．B 【解析】设(),P x y ，因为AP ∶AB ＝3∶5，所以35AP AB =，所以()()3x 6,y 6,85+= 所以1865245x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得125245x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以1224,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以点P 到直线15x ＋20y －16＝0的距离为44d 25==.故选 B.【解析】∵点()P a b ，是第二象限内的点，∴00.0a b a b ∴<，－.点P 到直线x －y ＝0的距离为)d b a ==-．答案：C. 8．A 【解析】直线ax ＋y ＋m ＝0与直线x ＋by ＋2＝0平行，易知0ab ≠ 所以112a mb =≠，解得12ab bm ≠＝，. 故选A. 9．D 【解析】A B ?＝⋂，即直线()212602320l x a y l a x ay a ：＋＋＝与：－＋＋＝平行，令()2132a aa ⨯＝－，解得01a a ＝或＝－或3a ＝.0a ＝时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1∥l 2.a ＝－1时，l 1：x ＋y ＋6＝0，l 2：－3x －3y －2＝0. l 1∥l 2.a ＝3时，l 1：x ＋9y ＋6＝0，l 2：x ＋9y ＋6＝0，l 1与l 2重合，不合题意． ∴a ＝0或a ＝－1. 答案：D.点睛：本题考查两条直线平行的判定；已知两直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若化成斜截式再判定往往要讨论该直线的斜率是否存在，容易出错，可记住以下结论进行判定：已知直线1111:0l A x B y C ++=， 2222:0l A x B y C ++=，（1）121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠；（2））1212120l l A A B B ⊥⇔+=.【解析】任取a b 、进行赋值，如13a b ＝，＝，则点Q 坐标为(4,0)，求出其中点坐标为53,22⎛⎫⎪⎝⎭，它应该在直线l 上．对各选项逐个检验可排除选项ABC,其满足方程y ＝x －1. 故选D. 11．C 【解析】直线l 1：x ＋2y －6＝0，令x=0，解得y=3，所以C(0,3),令y=0，解得x=6，所以D(6,0).l 2：x －y －3＝0，令x=0，解得y=3，所以C(3，0)由26030x y x y ⎧⎨⎩＋－＝－－＝，解得41x y =⎧⎨=⎩.所以B(4,1) 所以11156331222OABC ODCABDS S S=-=⨯⨯-⨯⨯=. 故选C.点睛：做此类问题需要用图来辅助求解.首先做出直线的图象，得到要求面积的图象，当图像为规则图象是，只需用三角形或平行四边形或梯形的面积公式求解即可，如图象不规则，可以利用图像分割求解. 12．C 【分析】设点P 关于y 轴的对称点C ，点P 关于直线:40AB xy +-=的对称点D ，由对称点可求C 和D 的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为CD .点()2,0P 关于y 轴的对称点C 坐标是()2,0-，设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点(),D a b ，由()0112204022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，根据光的反射原理，可得C 、D 都在直线MN 上，故光线所经过的路程等于CD ==.故选：C. 【点睛】思路点睛：解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，(),P x y 关于直线l 的对称点()',P m n ，利用1l y nk x m-⨯=--，且点,22x m y n ++⎛⎫⎪⎝⎭在对称轴l 上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解. 13．313153b<< 【解析】解直线的方程组成的方程组，求出交点坐标，然后根据交点在第一象限列出不等式即可．由53310y x b x y ⎧⎨⎩＝－＋＋－＝⇒31325312b x b y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.∵交点在第一象限，∴00x y >⎧⎨>⎩，即3130253102b b -⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩⇒313153b <<. 故答案为：313153b <<. 14．3090α︒≤<︒ 【解析】由A ，B 的横坐标不等知90α≠︒，则222)3AB tan k m α=++＝∵22)33m R m ，∈++≥，即tan α30°≤α<90°. 答案：30°≤α<90°. 点睛：当直线与x 轴垂直时，此时直线的倾斜角为90︒，但是斜率不存在；当直线与x 轴不垂直时，直线的斜率为倾斜角的正切值，直线的斜率也可以两点的坐标表示，可以由斜率的范围得倾斜角的范围. 15．x －y ＋1＝0 【解析】方程3x 2－2x －1＝0的两根为1和13-. 直线l 过第四象限，则斜率大于等于0，直线l 斜率为两根之一，所以斜率为1.且过点(2,3)，所以y 3x 2-=-，整理得x －y ＋1＝0. 故答案为x －y ＋1＝0.【解析】直线1x =-过点()1,2-，但无法用()21y k x -=+表示，①不正确；过点()1,2-且在,x y 轴截距相等的直线方程为2y x =-或10x y +-=，②不正确；与直线():00l Ax By C AB ++=≠垂直的直线斜率为BA，则所求直线方程为()21By x A-=+，即()()120B x A y +--=，③不正确；与直线():00l Ax By C AB ++=≠平行的直线斜率为AB-，则所求直线方程为()21Ay x B-=-+，即()(120A x B y ++-=，④正确；点()1,2P -到直线20ax y a a +++=的距离22d ===≥=当且仅当0a =时取等号，⑤正确。

人教A版高中数学必修2检测：第3章直线与圆课后提升作业 20 3.2.2 Word版含解析

精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .课后提升作业二十直线的两点式方程(45分钟70分)一、选择题(每题5分 ,共40分)△ABC三顶点坐标A(1 ,2) ,B(3 ,6) ,C(5 ,2) ,M为AB的中点 ,N为AC的中点 ,那么中位线MN所在直线的截距式方程为( )A. + =1B. + =1C. + =1D. + =1【解析】选A.由题意知M(2 ,4) ,N(3 ,2) ,故直线MN为 = ,即 + =1.2.过M(3 ,2)与N(6 ,2)两点的直线方程为( )A.x =2B.y =2C.x =3D.x =6【解析】选B.由M ,N两点的坐标可知 ,直线MN与x轴平行 ,所以直线方程为y =2 ,应选B.3.(2021·衡阳高一检测)过两点( -1 ,1)和(3 ,9)的直线在x轴上的截距为( )C.【解析】 = ,化为截距式为 + =1 ,那么在x轴上的截距为 -.4.(2021·长沙高一检测)直线 - =1在y轴上的截距为 -3 ,那么q = ( )D.【解析】 - =1化为截距式方程为 + =1 ,由题意知 -q = -3 ,所以q =3.l过点A( -4 , -6) ,B(2 ,6)两点 ,点C(1006 ,b)在直线l上 ,那么b 的值为( )【解析】l过A( -4 , -6) ,B(2 ,6)两点 ,所以直线l的方程为 = ,即y =2x +2.又点C(1006 ,b)在直线l上 ,所以b =2×1006 +2 =2021.【一题多解】选C.由题意三点A( -4 , -6) ,B(2 ,6) ,C(1006 ,b)三点共线 ,故k AB =k BC即 = ,故b =2021.- =1与 - =1的图象可能是图中的哪一个( )【解题指南】将两直线方程化为斜截式 ,根据斜率之间的关系判断. 【解析】 - =1 ,得y =x -n；由 - =1 ,得y =x -m ,即两直线的斜率同号且互为倒数.7.过点P(1 ,4)且在x轴 ,y轴上的截距的绝|对值相等的直线共有( )【解析】选C.当直线经过原点时 ,横、纵截距都为0 ,符合题意 ,当直线不经过原点时 ,设直线方程为 + =1.由题意得解得或综上 ,符合题意的直线共有3条.8.(2021·深圳高一检测)直线 + =1在y轴上的截距是( ) 22 D.±b【解析】2.二、填空题(每题5分 ,共10分)9.过点(0 ,1)和( -2 ,4)的直线的两点式方程是____________.【解析】由直线的两点式方程得 = ,或 =.答案： =10.过点P(1 ,3)的直线l分别与两坐标轴交于A ,B两点 ,假设P为AB 的中点 ,那么直线l的截距式方程是________.【解析】设点A(m ,0) ,B(0 ,n) ,由点P(1 ,3)是AB的中点可得m =2 ,n =6 ,即A ,B的坐标分别为(2 ,0) ,(0 ,6).那么l的方程为 + =1.答案： + =1三、解答题(每题10分 ,共20分)11.(2021·郑州高一检测)在△ABC中,A ,B的坐标分别为( -1 ,2) ,(4 ,3) ,AC的中点M在y轴上 ,BC的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标.(2)求直线MN的方程.【解析】(1)设点C(m ,n) ,AC的中点M在y轴上 ,BC的中点N在x轴上 ,由中点坐标公式得解得所以点C的坐标为(1 , -3).(2)由(1)知：点M ,N的坐标分别为M ,N ,由直线方程的截距式 ,得直线MN的方程是 + =1 ,即y =x -.l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1 ,且过点(6 , -2) ,求直线l的方程.【解析】方法一：设直线l的点斜式方程为y +2 =k(x -6)(k≠0).令x =0 ,得y = -6k -2；令y =0 ,得x = +6.于是 -( -6k -2) =1 ,解得k1 = -或k2 = -.故直线l的方程为y +2 = -(x -6)或y +2 = -(x -6) ,即y = -x +2或y = -x +1.方法二：设直线l的斜截式方程为y =kx +b.令y =0 ,得x = -.依题意 ,得⇒或故直线l的方程为y = -x +1或y = -x +2.【能力挑战题】为了绿化城市 ,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪 ,另外△AEF内部有一文物保护区不能占用 ,经测量AB =100m ,BC =80m ,AE =30m ,AF =20m ,应如何设计才能使草坪面积最|大 ?【解题指南】求出点E ,F的坐标 ,利用直线方程的两点式 ,写出直线EF的方程 ,在线段EF上取点P(m ,n) ,利用点P的坐标表示出草坪的面积 ,从而得出答案.【解析】如图建立坐标系 ,那么E(30 ,0) ,F(0 ,20) ,所以线段EF所在的直线方程为 + =1(0≤x≤30) ,在线段EF上取点P(m ,n) ,作PQ⊥BC于点Q ,做PR⊥CD于点R ,设矩形PQCR的面积为S ,那么S =|PQ|·|PR| =(100 -m)·(80 -n) ,又因为 + =1(0≤x≤30) ,所以n =20 ,所以S =(100 -m) = -(m -5)2 +(0≤m≤30) ,于是当m =5 ,即 =时 ,草坪面积最|大.精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .。

高中数学人教a版(浙江专版)必修2模块综合检测含解析

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．不确定解析：选C 将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C.2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，E的投影点为PA的中点，EC为实线，故B正确．3．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( )A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l∥α，m⊂α，则l∥m解析：选A 对于A，若l⊥α，m⊂α，则根据直线与平面垂直的性质，知l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m⊂α，则l可能在α内，故B不正确；对于C，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C不正确；对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确．故选A.4.过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为( )A．4 B．2C.85D.125解析：选A 根据题意，知点P在圆C上，∴切线l的斜率k＝－1k CP＝－11－42＋2＝4 3，∴切线l的方程为y－4＝43(x＋2)，即4x－3y＋20＝0.又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.故切线l与直线m间的距离d＝|0－20|42＋(－3)2＝4.5．设a，b为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若a不平行于α，则在α内不存在b，使得b平行于aB．若a不垂直于α，则在α内不存在b，使得b垂直于aC．若α不平行于β，则在β内不存在a，使得a平行于αD．若α不垂直于β，则在β内不存在a，使得a垂直于α解析：选D 若a 不平行于α，则当a ⊂α时，在α内存在b ，使得b ∥a ，故A 错误；若a 不垂直于α，则当a ⊂α时，在α内存在直线b ，使得b ⊥a ，故B 错误；若α不平行于β，则在β内存在直线a ，使得a ∥α，故C 错误；由平面与平面垂直的判定定理知D 正确，故选D.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V 1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V 2＝12×π×12×2＝π，∴V ＝13＋π.7．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210C.132D ．310解析：选C 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M.又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径为R ＝OA ＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522＝132.8．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径r ＝1，由圆的性质知S 四边形PACB ＝2S △PBC ，∵四边形PACB 的最小面积是2，∴S △PBC 的最小值为1＝12rd(d 是切线长)，∴d 最小值＝2，|PC|最小值＝22＋12＝ 5.∵圆心到直线的距离就是|PC|的最小值，∴|PC|最小值＝51＋k 2＝5，∵k>0，∴k ＝2，故选D.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝110．已知l 1，l 2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当直线AB 与l 1，l 2均垂直时，l 1，l 2间的距离最大．∵A(1,1)，B(0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2，∴kl 1＝－12.∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝011．已知在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．解析：由于AC ∥A 1C 1，所以∠BA 1C 1或其补角就是异面直线A 1B 与AC 所成的角．连接BC 1，在△BA 1C 1中，A 1B ＝6，A 1C 1＝1，BC 1＝5，所以A 1B 2＝A 1C 21＋BC 21，即∠BC 1A 1＝90°，所以cos ∠BA 1C 1＝66.答案：6612．已知点P(a ，b)关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为________；圆C 与圆C ′的公共弦的长度为________．解析：将圆C 的方程化为标准形式为(x －3)2＋(y －1)2＝10，由已知结论可得圆心C(3,1)关于直线l 的对称点C ′为(2,2)，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝10.将两圆方程相减消去平方项可得公共弦所在直线的方程为x －y －1＝0，故弦长为210－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝10 3813．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．解析：由直线l 1的倾斜角为π4，得－a ＝tan π4＝1，∴a ＝－1.由l 1⊥l 2，得－a ×1＝－1，∴a ＝1.由l 1∥l 2，得a ＝－1，∴直线l 1的方程为x －y ＋1＝0，故两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|2＝22.答案：－1 1 2 214.如图，已知圆C 与x 轴相切于点T(1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B(B 在A 的上方)，且|AB|＝2. (1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．解析：(1)记AB 的中点为D ，在Rt △BDC 中，易得圆C 的半径r ＝BC ＝ 2.因此圆心C 的坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)因为点B 的坐标为(0，2＋1)，C 的坐标为(1，2)，所以直线BC 的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y ＝x ＋2＋1，故切线在x 轴上的截距为－2－1.答案：(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－115．在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为(填写编号)________，此四面体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体的正视图是一个正方形，其顶点坐标分别是(0,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(0,2,2)且一条对角线(左下右上)可见，另一条对角线(左上右下)不可见，故正视图为③，同理，侧视图和俯视图都为②.此四面体体积为V ＝2×2×2－4×13×2×12×2×2＝83.答案：③②②8 3三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，|AD|＝8，BC是⊙O的直径，|AB|＝|AC|＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC.又BC是圆O的直径，所以|OB|＝|OC|.又|AB|＝|AC|＝6，所以OA⊥BC，|BC|＝6 2.所以|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OF|＝3 2.如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．17.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE.证明：(1)由题设知，B1B⊥AB，又AB⊥BC，B1B∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.因为AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12 AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，所以C1F∥平面ABE.18．(本小题满分15分)光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．解：设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得A ′(－4，－3)．由于反射光线所在直线经过点A ′(－4，－3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y －1＝(x －1)·1＋31＋4，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－13.所以入射光线所在直线的方程为y －3＝(x －2)·3＋132＋23，即5x －4y ＋2＝0.19．(本小题满分15分)已知四棱锥P -ABCD 如图所示，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝2，CD ＝PD ＝1，△PAB 为等边三角形．(1)证明：PD ⊥平面PAB ； (2)求二面角P -CB -A 的余弦值．解：(1)证明：如图，连接BD. 易知在梯形ABCD 中，AD ＝5，而PD ＝1，AP ＝2，所以PD 2＋AP 2＝AD 2，则PD ⊥PA ，同理PD ⊥PB ，又PA ∩PB ＝P ，故PD ⊥平面PAB.(2)如图，取AB 的中点M ，连接PM ，DM ，作PN ⊥DM ，垂足为N ，再作NH ⊥BC ，垂足为H ，连接PH.由(1)，得AB ⊥平面DPM ，则平面ABCD ⊥平面DPM ，所以PN ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥BC ，PN ⊥NH. 又NH ⊥BC ，PN ∩NH ＝N ，所以BC ⊥平面NPH ，即∠NHP 是二面角P -CB -A 的平面角．∴在Rt △HNP 中，PN ＝32，NH ＝1，则PH ＝72，cos ∠NHP ＝NH PH ＝277，即二面角P -CB -A 的余弦值为277.20．(本小题满分15分)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点． (1)求四边形PACB 面积的最小值；(2)直线上是否存在点P ，使得∠APB ＝60°？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)如图，连接PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ，－2－34x .因为圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×12×|AP|×|AC|＝|AP|.因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．因为|PC|2＝(1－x)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋2＋34x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫54x ＋12＋9.所以当x ＝－45时，|PC|2min ＝9.所以|AP|min ＝9－1＝22，即四边形PACB 面积的最小值为2 2.(2)假设直线上存在点P 满足题意．因为∠APB ＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2. 设P(x ，y)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25x 2＋40x ＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P 是不存在的．§4 二项分布1．掌握独立重复试验的概念及意义，理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式．(重点)2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．(难点) 3．了解二项分布与超几何分布的关系．(易混点)[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材P48～P50，完成下列问题．1．n次独立重复试验进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互________的结果，可以分别称为“________”和“________”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为；(3)各次试验是相互独立的，则这n次试验称为n次独立重复试验．【答案】(1)对立成功失败(2)1－p2．二项分布(1)若用随机变量X 表示n 次独立重复试验的次数，则P(X ＝k)＝________(k ＝0,1,2，…，n)．(2)若一个随机变量X 的分布列如(1)所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～________.【答案】 (1)C k np k (1－p)n －k (2)B(n ，p)1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】由n 次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】 ①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38.【答案】38[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(即准确或不准确)，符合独立重复试验．【自主解答】(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[再练一题]1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为________．【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＋C 12×23×13×23＝2027.(2)由题意知，C 04p 0(1－p)4＝1－6581，p ＝13. 【答案】 (1)2027 (2)13一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. (2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235.故η的分布列为!1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B(n ，p)中的试验次数n 与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X ＝k)＝C k np k (1－p)n －k (k ＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[再练一题]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．【解】 (1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P(AB ＋A －B －)＝P(A)P(B)＋P(A )P(B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4，12.∴P(ξ＝k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－124－k＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为[探究共研型]探究1 王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？【提示】做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．探究2 王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．探究3 王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．(2016·泰兴高二检测)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．【精彩点拨】 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23；(2)AB 表示事件A 、B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．【自主解答】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p(ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－233＝127，P(ξ＝1)＝C 1323⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－232＝29， P(ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝49，P(ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827.所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ＋D ，且C ，D 互斥，又P(C)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23⎣⎢⎢⎡23×13×12＋13×23×⎦⎥⎥⎤12＋13×13×12＝1034，P(D)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13×13×12＝435，由互斥事件的概率公式得 P(AB)＝P(C)＋P(D) ＝1034＋435＝3435＝34243.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.[再练一题]3．(2016·余姚高二质检)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．【解】记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P(A i )＝12，P(B j )＝13，P(C k )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．P ＝3! P(A 1B 2C 3)＝6P(A 1)P(B 2)P(C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，13，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝127，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＝29，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝49，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827. 故ξ的分布列是法二：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P(D i )＝P(A i ∪C i )＝P(A i )＋P(C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，23，即P(ξ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133－k ，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是[构建·体系]1．(2016·桂林二模)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P(X ＝12)＝( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫382 D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582 【解析】 “X ＝12”表示第12次取到红球，且前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此，P(X ＝12)＝38·C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫582.【答案】 D2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342×14C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342×14【解析】 ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142×34.【答案】 C3．某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________. 【62690039】【解析】每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A 片区房源记为A ，则P(A)＝13，所以恰有2人申请A 片区的概率为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝827. 【答案】8274．设X ～B(4，p)，且P(X ＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p 等于________．【解析】 P(X ＝2)＝C 24p 2(1－p)2＝827，即p 2(1－p)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232，解得p ＝13或p ＝23.【答案】13或235．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．【解】设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A ，B ”，则P(A)＝23，P(B)＝34.(1)甲射击4次，全击中目标的概率为 C 44P 4(A)[1－P(A)]0＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234＝1681. 所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为 1－1681＝6581.(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为 C 24P 2(A)·[1－P(A)]2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝827. 乙恰好击中3次，概率为C 34P 3(B)·[1－P(B)]1＝2764.故所求概率为827×2764＝18.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为( )A．0.93B．1－(1－0.9)3C．C35×0.93×0.12D．C35×0.13×0.92【解析】由独立重复试验恰好发生k次的概率公式知，该事件的概率为C35×0.93×(1－0.9)2.【答案】 C2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为14，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )A.116 B.135512C.45512D.271 024【解析】此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P ＝C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫343＝135512. 【答案】 B3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13 B.25 C.56 D.34【解析】设所求概率为p ，则1－(1－p)4＝6581，得p ＝13. 【答案】 A4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125 B ．C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125C ．C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123 D ．C 25×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125【解析】如图，由题可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次独立重复试验向右恰好发生2次的概率．所以概率为 P ＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125.故选B.【答案】 B5．若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，则P(ξ＝k)最大时，k 的值为( )A ．1或2B ．2或3C ．3或4D ．5【解析】依题意P(ξ＝k)＝C k 5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.可以求得P(ξ＝0)＝32243，P(ξ＝1)＝80243，P(ξ＝2)＝80243，P(ξ＝3)＝40243，P(ξ＝4)＝10243，P(ξ＝5)＝1243.故当k ＝2或1时，P(ξ＝k)最大．【答案】 A 二、填空题6．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________．(已知0.9991 000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1)【解析】设发生车祸的车辆数为X ，则X ～B(1 000，0.001)．(1)记事件A ：“公路上发生车祸”，则P(A)＝1－P(X ＝0)＝1－0.9991 000≈1－0.367 70＝0.632 3.(2)恰好发生一次车祸的概率为P(X ＝1)＝C 11 000×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1. 【答案】 0.632 3 0.368 17．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______．(用数字作答)【解析】由已知可求通项公式为a n ＝10－2n(n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，取得负数的概率为12.∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121＝625. 【答案】6258．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B(10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B(8，p)；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫n ，12.【解析】 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．【答案】 ①② 三、解答题9．(2016·滨州高二检测)某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A 社区医院的人数为X ，求X 的分布列．【解】由已知每位参加保险人员选择A 社区的概率为13，4名人员选择A 社区即4次独立重复试验，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，13，所以P(X ＝k)＝C k 4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234－k (k ＝0,1,2,3,4)，所以X 的分布列为10.(2016·柳州高二检测)甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为35，乙队获胜的概率为25，且每局比赛的胜负是相互独立的．(1)求甲队以3∶2获胜的概率； (2)求乙队获胜的概率．【解】 (1)设甲队以3∶2获胜的概率为P 1，则P 1＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·35＝6483 125. (2)设乙队获胜的概率为P 2，则P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫253＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·35·25＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·25＝9923 125.[能力提升]1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A ．0.216B ．0.36C ．0.432D ．0.648【解析】甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648.【答案】 D2．(2016·孝感高级中学期中)掷一枚质地均匀的骰子n 次，设出现k 次点数为1的概率为P n (k)，若n ＝20，则当P n (k)取最大值时，k 为( )A ．3B ．4C ．8D ．10【解析】掷一枚质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X ，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫20，16，P n (k)＝C k 20·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5620－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16k .P n k P nk －1＝15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1.当1≤k ≤3时， 15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1>1，P n (k)>P n (k －1)．当k ≥4时，15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21k －1<1，P n (k)<P n (k－1)．因此k ＝3时，P n (k)取最大值．故选A.【答案】 A3．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________. 【62690040】【解析】所有同学都不通过的概率为(1－p)n ，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p)n .【答案】 1－(1－p)n4．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列．【解】 (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝13.(2)X 的可能取值分别为0,1,2,3，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，13，则P(X ＝0)＝C 03·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827， P(X ＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝49，P(X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫231＝29，P(X ＝3)＝C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝127.X 的分布列如下：第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点) 2．会应用两个计数原理解决简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材P3“例1”和P4“例2”部分，完成下列问题．两个计数原理的联系与区别：。

高中数学人教A版必修2《直线和圆的综合问题》课后练习二(含解析)

（同步复习精讲辅导）北京市-高中数学直线和圆的综合问题课后练习二（含解析）新人教A 版必修2题1已知直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点，则实数m 的取值范围是____________．题2已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ．若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；题3过原点的直线与圆044222=+--+y x y x 相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．题4在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是．题5已知点P 是半径为5的⊙O 内的一个定点，且OP =3，则过点P 的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（）．A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条题6圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)题7从原点向圆x 2+y 2-12y +27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为．题8已知圆C ：（x -3）2+（y -4）2=4和直线l ：kx -y -4k +3=0．（1）求证：不论k 取什么值，直线和圆总相交；（2）求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．题9若直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），则（）．A ．422≤+b aB ． 422≥+b aC ．41122≤+b aD ．41122≥+b a题10若直线b x y -=与曲线212+-=y x ，有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为．题11如图，在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称（p ，q ）为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有个．课后练习详解题1 答案：222<≤m ．详解：当直线y =x +m 与圆相切时，由题意可得2||2m =， ∴22=m 或22-=m (舍去），当直线y =x +m 过A （-2，0）时，m =2，此时y =x +2过（0，2）点结合图形可得，直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点时，222<≤m ．题2答案：(x －2)2＋y 2＝8．详解：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．题3答案：2x －y ＝0．详解：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－(22)2＝0，即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0．题4答案：（-15，-5）∪（5，15）．详解：由已知可得：圆半径为2，圆心为（0，0）故圆心（0，0）到直线4x -3y +c =0的距离为5||c d =，如图中的直线m 恰好与圆有3个公共点，此时d =OA =2-1，直线n 与圆恰好有1个公共点，此时d =OB =2+1=3，当直线介于m 、n 之间满足题意．故要使圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，只需d 大于1小于3，即35||1<<c ，解得：-15＜c ＜-5，或5＜c ＜15故c 的取值范围是：（-15，-5）∪（5，15）．题5答案：C ．详解：如图，过P 作弦AB ⊥OP ，交⊙O 于A 、B ，连接OA ；Rt△OAP 中，OP =3，OA =5；根据勾股定理，得AP =4；∴AB =2AP =8；故过点P 的弦的长度都在8～10之间；因此弦长为8、9、10；当弦长为8、10时，过P 点的弦分别为弦AB 和过P 点的直径，分别有一条；当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；故弦长为整数的弦共有4条．故选C ．题6答案：A ．详解：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a ＞0，即a ＜2．由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b ＜4，所以选A ．题7答案：60°．详解：设原点为O ，圆心为P （0，6），半径是PA =3，切点为A 、B ，则OP =6，在Rt△AOP 中，∠AOP=30°，所以则这两条切线的夹角的大小为60°．题8答案：（1）省略；（2）k =1，22．详解：（1）证明：由直线l 的方程可得y -3=k （x -4），则直线l 恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C 的方程，得（4-3）2+（3-4）2=2＜4，所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l 与圆C 总相交．（2）设圆心到直线l 的距离为d ，则22211d k k ==+-+（），又设弦长为L ，则2222Lr d =+）（，即222221)224-4(1)322111L k k k k k k +==-+=-≥+++(（）， ∴当k =1时，22L min 2=）（，∴22L min =，所以圆被直线截得最短的弦长为22．题9答案：B ．详解：直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），∴a cos α+b sin α=2，∴a 2+b 2=(a 2+b 2)(cos 2α+sin 2α)≥(a cos α+b sin α)2=4，（当且仅当cos sin a b αα=时等号成立）故选B ．题10 答案：)223[+，．详解：因为曲线212+-=y x ，所以（x -2）2+y 2=1（x ≥2），表示圆心为（2，0），半径为1的右半圆．圆心（2，0），到直线x -y -b =0的距离为12|2|=-=b d 解得22+=b 或2-2=b （舍去），当直线y =x -b 过点B （2，-1）时，直线与圆有两个交点，此时b =3．所以要使直线y =x -b 与曲线212+-=y x 有两个不同的公共点，所以223+<≤b ，即实数b 的取值范围为)223[+，．故答案为：)223[+，．题11答案：4．详解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．故答案为：4．。

人教A版2019浙江专用高中数学必修2：模块复习精要复习课(二) 直线与圆_含解析

复习课(二) 直线与圆两直线的位置关系是常考热点．主要以选择、填空题形式考查，多涉及求参数与直线方程求法，难度中档以下．[考点精要]1．求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法(1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2.(2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. [典例] 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，①又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝－(－b )．④ 由③④联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23 ，b ＝2.[类题通法]已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可．[题组训练]1．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞－1 C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－1解析：选C ∵直线l 的倾斜角为锐角， ∴斜率k ＝m 2－11－2＞0，∴－1＜m ＜1.2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43C ．2D ．3 解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D.3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝32.故选A.直线方程的求法一直是考查重点，多以解答题形式考查，常涉及距离、平行、垂直等知识，有时与对称问题相结合，难度中档以上．[考点精要]1．直线方程的五种形式2．常见的直线系方程(1)经过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2.(2)平行直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0.[典例] 过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．[解] 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝3， ∴B (3,0)，C (3,6)．此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |， ∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)，显然k ≠0且k ≠2. 令y ＝0，得x ＝3＋1k ， ∴B ⎝⎛⎭⎫3＋1k ，0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＋1＝k (x －3)，得点C 的横坐标x C ＝3k ＋1k －2.∵|BC |＝2|AB |，∴|x B －x C |＝2|x A －x B |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ＋1k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪1k ，∴3k ＋1k －2－1k －3＝2k 或3k ＋1k －2－1k －3＝－2k ，解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.[类题通法]求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．[题组训练]1．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9. 故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 2．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎨⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.主要以选择、填空题的形式考查圆的方程的求法，或利用圆的几何性质、数形结合求函数式的最值．也可与其他曲线结合综合考查圆的方程的应用．求圆的方程的主要方法是待定系数法，确定圆的方程需要三个独立的条件，求解时要注意结合图形，观察几何特征，简化运算．[考点精要](1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C 2；②过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ为参数，λ∈R)．[典例] 在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)，经过这三个点的圆记为M .(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的方程．[解] (1)法一：由B (2,0)，C (0，－4)，知BC 的中点D 的坐标为(1，－2)．又A (－3,0)，所以直线AD 的方程为y －0－2－0＝x ＋31＋3，即中线AD 所在直线的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0.法二：由题意，得|AB |＝|AC |＝5，则△ABC 是等腰三角形，所以AD ⊥BC .因为直线BC 的斜率k BC ＝2，所以直线AD 的斜率k AD ＝－12，由直线的点斜式方程，得y －0＝－12(x ＋3)，所以直线AD 的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. (2)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)三点的坐标分别代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧9－3D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，16－4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝52，F ＝－6.所以圆M 的方程是x 2＋y 2＋x ＋52y －6＝0.[类题通法]利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，从而求出D ，E ，F 的值．[题组训练]1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.2．已知圆C 经过点A (2，－3)，B (－2，－5)，且圆心在直线l ：x －2y －3＝0上，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.3．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：联立两圆的方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径长为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.多以选择题、填空题考查直线方程与圆的方程的求法，涉及直线与圆有关的基本问题，对于直线中内容很少单独考查．在解决直线与圆的问题时，充分发挥数形结合思想的运用，尤其是涉及弦长问题，多用几何法．[考点精要]1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．2．过圆外一点(x 0，y 0)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，化成一般式kx －y ＋y 0－kx 0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k ；②当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式为0，求出k .当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．3．圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解．(2)利用圆的弦长公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2(其中x 1，x 2为两交点的横坐标)．(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d 、圆的半径r 与弦长的一半l2为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l ＝2r 2－d 2.4．圆与圆的位置关系：(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．(2)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交．则两圆方程相减后得到的新方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．[典例] (1)直线x ＋y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.22B.32C. 3D. 2(2)若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3(3)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)． ①若l 与圆C 相切，求l 的方程；②若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝22，求此时直线l 的方程． [解析] (1)∵圆心(1,2)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝22，∴|AB |＝212－⎝⎛⎭⎫222＝2，故选D.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3.答案：(1)D (2)C(3)解：①若直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝1，符合题意．若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3,4)到直线l 的距离等于2，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y －3＝0.综上可得，所求直线l 的方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.②由直线l 与圆C 相交可知，直线l 的斜率必定存在，且不为0，设直线l 的方程为k 0x －y －k 0＝0，圆心(3,4)到直线l 的距离为d ，因为|PQ |＝24－d 2＝22，所以d ＝2，即|3k 0－4－k 0|k 20＋1＝2，解得k 0＝1或k 0＝7，所以所求直线l 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.[类题通法]研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k 不存在情形，要注意作出图形进行判断．[题组训练]1．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7D ．3解析：选C 切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.2．P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是( )A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3解析：选C 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.根据对称性可知四边形PACB 的面积等于2S △APC ＝2×12×|PA |×r ＝|PA |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以四边形PACB 面积的最小值为4－1＝ 3. 3．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点．解：假设存在且设l ：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)，则过圆心C 垂直弦AB 的直线为y ＋2＝－x ＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y ＋2＝－x ＋1得AB 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－m ＋12，m －12，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |. 又|AN |＝|CA |2－|CN |2＝ 9－2×⎝⎛⎭⎫m ＋322，|ON |＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122.所以9－2×⎝⎛⎭⎫3＋m 22＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122，解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的．1．点A (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在y 轴内 B ．在xOy 平面内 C ．在xOz 平面内D ．在yOz 平面内解析：选C 点A (2,0,3)的纵坐标为0，所以点A 应在xOz 平面内．2．若直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0的斜率为1，则实数m 的值为( )A ．－1 B.43 C ．－1或43D ．1或12解析：选B 由直线的斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0，－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43，选B.3．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m ，n 满足的关系式是( )A ．(m －2)2＋n 2＝4B ．(m ＋2)2＋n 2＝4C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝8解析：选C 圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心坐标为(2,0)，半径r ＝2.由题意，知(m －2)2＋n 2＝8.4．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)．所以|A ′B |＝(2＋3)2＋(10＋5)2＝510.5．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是( )A ．|b |＝ 2B ．－1<b ≤1或b ＝－ 2C ．－1≤b ≤1D ．非A ，B ，C 的结论解析：选B 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0－b |2＝1，|b |＝2，b ＝±2. 观察图像，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．6．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43解析：选B 在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝ 1＋43＝213，故选B. 7．圆x 2＋y 2－4x ＋6＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________．解析：由题意，知圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线，就是两个圆的圆心的连线．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标为(3,0)，所以所求直线的方程为y ＋33＝x －23－2，即3x －y －9＝0. 答案：3x －y －9＝08．(全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4. 答案：49．过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________．解析：法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x ＋y ＋3＝0，解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1， ∵P (3,0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6，即3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.法二：设直线l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)，∵P (3,0)是线段AB 的中点，则直线l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1－y 1－2＝0，(6－x 1)＋(－y 1)＋3＝0，解得⎩⎨⎧ x 1＝113，y 1＝163，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫113，163，由两点式可得直线l 的方程为8x －y －24＝0.答案：8x －y －24＝010．已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心在直线x ＋3y －15＝0上．设点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值．解：∵线段AB 的中点为(1,2)，直线AB 的斜率为1，∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －2＝－(x －1)，即y ＝－x ＋3.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，x ＋3y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，即圆心C 为(－3,6)，则半径r ＝(－3＋1)2＋62＝210.又|AB |＝(3＋1)2＋42＝42，∴圆心C 到AB 的距离d ＝(210)2－(22)2＝42，∴点P 到AB 的距离的最大值为d ＋r ＝42＋210，∴△PAB 的面积的最大值为12×42×(42＋210)＝16＋8 5. 11.如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1， ∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)， ∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2. 12．已知：以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解：(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴r 2＝OC 2＝t 2＋4t2. 设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2. 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .∴S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB的面积为定值．(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.∵k MN＝－2，∴k O C＝12.∴直线OC的方程是y＝12x.∴2t＝12t.解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝5，此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝15<5，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝95>5，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。

【教育专用】高中数学必修二人教A版练习：4.2.1直线与圆的位置关系含解析

4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【选题明细表】1.(2018·云南昆明模拟)已知直线l:y=x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数m的值等于( C )(A)-7或-1 (B)1或7(C)-1或7 (D)-7或1解析:圆心(0,3)到直线l的距离d==,故+2=6,解得:m=-1或m=7,故选C.2.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( B )(A)(x-3)2+(y-)2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x-)2+(y-1)2=1解析:设圆心为(a,1),由已知得d==1,由a>0,所以a=2.3.(2018·江西新余高一期末)曲线y=1+与直线kx-y-2k+4=0有两个交点时,实数k取值范围是( A )(A)(,) (B)(,)(C)(,) (D)(0,)解析:曲线y=1+,因为x∈[-2,2],y=1+≥1,所以x2+(y-1)2=4,表示圆心为M(0,1),半径r=2的圆的上半部分.直线y=k(x-2)+4表示过定点P(2,4)的直线,当直线与圆相切时,由圆心到直线kx-y+4-2k=0的距离d==2,解得k=.当直线经过点B(-2,1)时,直线PB的斜率为k=.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有<k≤.即实数k的取值范围是(,).4.(2018·河北承德期末)已知直线l:y=kx+2(k∈R),圆M:(x-1)2+y2=6,圆N:x2+(y+1)2=9,则( D )(A)l必与圆M相切,l不可能与圆N相交(B)l必与圆M相交,l不可能与圆N相切(C)l必与圆M相切,l不可能与圆N相切(D)l必与圆M相交,l不可能与圆N相离解析:因为直线l:y=kx+2(k∈R)过点(0,2),(0,2)在圆M:(x-1)2+y2=6内,所以直线l必与圆M相交,因为(0,2)在圆N:x2+(y+1)2=9上,所以l不可能与圆N相离.故选D.5.(2018·湖南益阳高一期末)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是A(1,2),则直线PQ的方程是( B )(A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0(C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0解析:设圆的圆心是O,由题意知,直线PQ过点A(1,2),且和直线OA垂直,故其方程为y-2=-(x-1),整理得x+2y-5=0.故选B.6.(2018·湖南岳阳模拟)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过A(-1,0)的直线l 与圆C相交于P,Q两点.若|PQ|=2,则直线l的方程为. 解析:当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由|PQ|=2,则圆心C(0,3)到直线l的距离d==1,解得k=,此时直线l的方程为y=(x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.答案:x=-1或4x-3y+4=07.(2018·山东枣庄二模)已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为.解析:圆心在y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),因为圆C与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,所以圆心到直线x-y=0的距离等于圆心到直线x-y+4=0的距离,即=,解得a=0,所以圆心坐标为(0,2),r==,圆C的标准方程为x2+(y-2)2=2.答案:x2+(y-2)2=28.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=9,求过M(-2,4)的圆C的切线方程. 解:因为r=3,圆心C(1,0)到点M(-2,4)的距离d=5>r,所以点M(-2,4)在圆C外,切线有两条.(1)当切线的斜率存在时,设过点M(-2,4)的圆C的切线方程为y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.由圆心C(1,0)到切线的距离等于半径3,得=3.解得k=-,代入切线方程得7x+24y-82=0.(2)当切线的斜率不存在时,圆心C(1,0)到直线x=-2的距离等于半径3,所以x=-2也是圆C的切线方程.综上(1)(2),所求圆C的切线方程为x+2=0或7x+24y-82=0.9.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为( C )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,故选C.10.(2018·宁夏中卫市二模)已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点P的坐标为.解析:如图所示,圆心C(-1,2),半径r=.因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2(C为圆心,r为圆的半径),所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).答案:(-,)11.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .解析:依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±12.(2018·河南平顶山高一期末)设有一条光线从P(-2,4)射出,并且经x轴上一点Q(2,0)反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1,l2);(2)设动直线l:x=my-2,当点M(0,-6)到l的距离最大时,求l,l1,l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边相切的圆)的方程.解:(1)因为k PQ=-,所以l1:y=-(x-2),因为l1,l2关于x轴对称,所以l2:y=(x-2).(2)因为l恒过点N(-2,0),当MN⊥l时,M到l的距离最大,因为k MN=-,所以m=,所以l的方程为x=y-2,设所求方程为(x-2)2+(y-t)2=r2,所以r==,得t=2,所以所求方程为(x-2)2+(y-2)2=1.13.(2018·兰州二十七中高二上期末)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax-y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线4x+3y-29=0相切且半径为5,所以=5,即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25.(2)直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,即12a2-5a>0,解得a<0或a>.所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(,+∞).(3)设符合条件的实数a存在,由(2)得a≠0,则直线l的斜率为-,l的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上, 所以1+0+2-4a=0,解得a=.由于∈(,+∞),故存在实数a=,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.。

高一数学人教A版必修2达标训练：423直线与圆的方程的应用含答案.doc

更上一层楼基础•巩固l-辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷篷顶距地面高度不得超过()A.1.4 米B.3.5 米C.3.6 米D.2.0 米思路解析:建立如右图所示直角坐标系，则圆的方程是x1 2 3+y2=(3-6)2,当x=0.8 时，y~3.51.故选B.答案:B2.过点A(0, a),在x轴上截得弦长为2a的动圆圆心轨迹方程是()A.x2+(y-a)2=a2B.y2=2axC.(x-a)2+y2=a2D.x2=2ay思路解析:设圆心为C(x, y),贝|J( J/ +(y _Q)2 )2=( — )2+y2, 整理得x2=2ay.答案:D3.方程71-x2 =fct+2有唯一解，则实数k的范围是()A.k=±V3B.ke(-2, 2)D.k<-2 或k>2 或k=±V3C.k<-2 或k>2思路解析:y= Jl 表示单位圆x2+y2= 1的上半部分，y=kx+2表示过定点(0, 2)的直线,斜率在变化，数形结合即得.答案:D4.设直线2x+3y+l=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线方程是思路解析:由圆x2+y2-2x-3=0 "J得(x-l)2+y2=4.2 3圆心坐标为(1,0), k=一一，所以AB的垂直平分线的斜率为三.3 一从而由点斜式得y-0=—(x-1),所以直线方程为3x-2y-3=0.答案:3x-2y-3=05. ____________________ 己知点A在直线2x+3y-6=0上运动，另一点B在M(x+l)2+y2=l上运动，贝ij I AB I的最小值是.思路解析：丨AB I的最小值就是圆心(・1, 0)到直线2x+3y・6=0的距离减去半径，而,|2x(-l) + 0-6| 只用 d= / ---------- = V22+326. _________________ 过点(1,血)的直线1将圆(x-2)2+y 2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时，直线1的斜率心 .思路解析:由题意可得，点A(1,V2)在该圆的内部，并且容易发现,当该直线截圆所得的弦长最小吋，其截得的劣弧所对的圆心角最小.而要使过定点A 的眩长最短，则需圆心到该直线距离最大,即圆心0与定点A 的连线0A 与直线1垂直时满足条件•圆的圆心0(2,0),由斜率公式得= _^2，所以直线1的斜率k=-一 = — •7. 己知RtAABC 中，ZC=90°, AC=8, BC=6, P 是AABC 内切圆上的动点，求以PA 、PB 、 PC 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.思路解析:本题若直接求解思路较烦琐，需转化的量太多，可以根据题目特点建立适当的坐标系，利用圆的方程及相关性质来求.解:以直角顶点为坐标原点，直角边所在的直线为坐标轴，建立坐标系，如右图所示，则AABC 各顶点的坐标依次为A(8, 0)、B(0, 6)、C(0, 0),易得|AB|=10.设Z^ABC 的内切圆半径为r,由于S= — r (a+b+c)= 12r,2 2・••内切圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设P 为内切圆上的任意一点，其坐标为(x, y),以PA 、PB 、PC 为直径的三个圆的面积之和 =— [(x-8)2+y 2+x 2+(y-6)2+x 2+y 2 ] 4 =—(3x 2+3y 2-l 6x-l 2y+100) 4又 S=—ab = — x6x8=24,8V13-13综合•应用=—[3(x-2)2+3(y-2)2-4x+76].4・・•点P(x, y)在内切圆上，A (x-2)2+(y-2)2=4，且0<x<4,即S= — (3 X4-4X+76)=TT(-X+22)(0<X<4).4S m in=n(-4+22)= 18n, Smax=^(°+22)=22兀.8.在RtAABO中，ZBOA=90°, I OA I =8, |OB|=6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、0的距离的平方和的最大值和最小值.思路解析:考查坐标法的应用、圆的方程的各种形式的应用.解:如右图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,则A(8, 0), B(0,6),内切圆C 的半径r=-( I OA I + I OB I - I AB I )=8 + 6~10=2.2 2・・・圆心坐标为(2, 2).・・・内切圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设P(x, y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d,贝9d= I PA I 2+ I PB I 2+ I PO I 2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3 [(x-2)2+(y-2)2] -4x+76.•・•点P(x, y)在圆上，.\(x-2)2+(y-2)2=4.Ad=3x4-4x+76=88-4x.•・•点P(x, y)是圆C上的任意点，・・・xG [0, 4]・:.当x=0 时,d max=88；当x=4 时,山曲=72.9•有一种商品，A、B两地均有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，冋运的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.己知A、B两地相距10 km,顾客选A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、B两地售货区域的分界线的曲线形状.思路解析:此为一个实际应用问题，关键在于明确题意，掌握建立数学模型的基本方法，把实际问题转化为数学问题解决.解:以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(・5,0), B(5,0),设某地P点的坐标为(x, y),且P地居民选择A地购买这种商品便宜，并设A 地运费为3a元/千米，B地运费为a元/千米，则有3a- J(X +5)2+.J(X_5)2 + y2 ,即(兀+ ”呼.所以以点( ---- ,0)为圆心，—为半径的圆是这两地购货的分界线・4 410•设有半径为3 km的圆形村落，A^ B两人同时从村落屮心出发，A向东而B向北前进.A 出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇.设A、B两人的速度都一定，其比为3 : 1,问A、B两人在何处相遇？思路解析:注意到村落为圆形，且A、B两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动，于是可以以村落的中心为原点，以开始时A、B的前进方向为x、y轴，建立直角坐标系，这就为建立解析儿何模型创造了条件，然后再准确设元，列出方程.解:以开始时A、B的前进方向为x、y轴，建立直角坐标系.由题意可设A、B两人的速度分别为3vkm/h、v km/h,再设A出发x()h后在点P处改变方向，又经yo h在点Q处与B相遇，则P、Q两点的坐标分别为(3vx(), 0)、(0, v(x0+yo))»如右图所示.由于A从P到Q行走的时间是y0 h,于是由勾股定理I OP I 2+ I OQ I 2= I PQ I 2, 有(3vx0)2+[v(xo+yo)] 4=(3vy0)5.化简、整理,得(xo+yo)(5x o-4y o)=O.又xo+yo>0,5x0=4y0. ①于是kpQ=O 一咻。

人教A版高中数学必修二(浙江专版)教学案：4.2直线圆的位置关系含答案

[活学活用] 1．直线 x－ky＋1＝0 与圆 x ＋y ＝1 的位置关系是( A．相交 C．相交或相切 B．相离 D．相切
2 2
)
解析：选 C 直线 x－ky＋1＝0 恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交． 2．设 m＞0，则直线 l： 2(x＋y)＋1＋m＝0 与圆 O：x ＋y ＝m 的位置关系为( A．相切 C．相切或相离解析：选 C 圆心到直线 l 的距离为 d＝ B．相交 D．相交或相切 1＋m 1 ＋m 1 ，圆的半径为 r＝ m， ∵d－r＝－ m＝ 2 2 2
A
D．± 3
A E
解析：选 C 设 l：y＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＝0. 又 l 与圆相切，∴ |2k| 3 . 2＝1.∴k＝± 3 1＋k
2 2
3．直线 y＝2x＋3 被圆 x ＋y －6x－8y＝0 所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x－3) ＋(y－4) ＝25.故圆心为(3,4)，半径 r＝5.又直线方程为 2x － y ＋ 3 ＝ 0 ，所以圆心到直线的距离为 d ＝ 2× 25－5＝2 20＝4 5. 答案：4 5 |2×3－4＋3| 2 2 ＝ 5 ，所以弦长为 2 r －d ＝ 4＋1
是
3k－3 2
2
3 ＝3，解得 k＝－ . 4 k ＋1
故直线的方程为 3x＋4y＋15＝0. 综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为 x＝－3 和 3x＋4y＋15＝0.
求弦长的两种方法涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种： (1)由于半径长 r、弦心距 d、弦长 l 的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理 d ＋ 2
2 2 2 2 2

人教A版必修2数学回扣验收特训(二) 直线与圆

回扣验收特训（二）直线与圆1．点A (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在y 轴内 B ．在xOy 平面内 C ．在xOz 平面内D ．在yOz 平面内解析：选C 点A (2,0,3)的纵坐标为0，所以点A 应在xOz 平面内．2．若直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0的斜率为1，则实数m 的值为( )A ．－1 B.43 C ．－1或43D ．1或12解析：选B 由直线的斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0，－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43，选B.3．已知点M (a ，b )在直线4x －3y ＋c ＝0上，若(a －1)2＋(b －1)2的最小值为4，则实数c 的值为( )A ．－21或19B ．－11或9C ．－21或9D ．－11或19解析：选B ∵点M (a ，b )在直线4x －3y ＋c ＝0上， ∴点(1,1)到此直线的最小距离d ＝|4－3＋c |5＝2，解得c ＝9或－11.故选B.4．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)．所以|A ′B |＝(2＋3)2＋(10＋5)2＝510.5．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是( ) A ．|b |＝ 2 B ．－1<b ≤1或b ＝－ 2 C ．－1≤b ≤1D ．非A ，B ，C 的结论解析：选B 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0－b |2＝1，|b |＝2，b ＝±2.观察图像，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．6．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43解析：选B 在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213，故选B. 7．圆x 2＋y 2－4x ＋6＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________．解析：由题意，知圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线，就是两个圆的圆心的连线．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标为(3,0)，所以所求直线的方程为y ＋33＝x －23－2，即3x －y －9＝0.答案：3x －y －9＝08．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最大值为________．解析：圆心到直线的距离为|－25|32＋42＝255＝5，再加上圆x 2＋y 2＝1的半径，得5＋1＝6，即为所求的最大值．答案：69．过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________．解析：法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x ＋y ＋3＝0，解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1， ∵P (3,0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6，即3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设直线l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3,0)是线段AB 的中点，则直线l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，(6－x 1)＋(－y 1)＋3＝0，解得⎩⎨⎧x 1＝113，y 1＝163，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫113，163，由两点式可得直线l 的方程为8x －y －24＝0. 答案：8x －y －24＝010．已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心在直线x ＋3y －15＝0上．设点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值．解：∵线段AB 的中点为(1,2)，直线AB 的斜率为1，∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －2＝－(x －1)，即y ＝－x ＋3.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，x ＋3y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，即圆心C 为(－3,6)，则半径r ＝(－3＋1)2＋62＝210. 又|AB |＝(3＋1)2＋42＝42，∴圆心C 到AB 的距离d ＝(210)2－(22)2＝42， ∴点P 到AB 的距离的最大值为d ＋r ＝42＋210， ∴△PAB 的面积的最大值为12×42×(42＋210)＝16＋8 5.11.如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.12．已知：以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解：(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴r 2＝OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2. 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .∴S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k O C ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t .解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 点到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 点到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95 >5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。

【浙江专版】人教A版必修2《直线与圆》回扣验收特训(二)含解析(数学试卷新课标人教版)

回扣验收特训(二) 直线与圆1. 点A(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是()A .在y轴内B .在xOy平面内C.在xOz平面内D.在yOz平面内解析：选C 点A(2,0,3)的纵坐标为0，所以点A应在xOz平面内.2. 若直线l: (m2—2m—3)x + (2m2+ m—1)y—2m+ 6= 0的斜率为1,则实数m的值为2「2m + m—1工0,解析：选B由直线的斜率为1，得/ m2—2m —3、2m2+ m — 14解得m= 3，选B.3.过圆x2+ y2—4x= 0外一点(m, n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m, n满足的关系式是()A . (m —2)2+ n2= 4B . (m+ 2)2+ n2= 4C. (m —2)2+ n2= 8D. (m+ 2)2+ n2= 8解析：选C 圆X2+ y2—4x= 0的圆心坐标为(2,0)，半径r = 2•由题意，知(m —2)2+ n2= 8.4 .光线从点A(—3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( )A . 5 .2B . 2 . 5C . 5 .10D . 10 .5解析：选C 根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A '到点B的距离，易求得A' (—3,—5).所以|A' B|= 2 + 3 2+ 10+ 5 2= 5 . 10.5 .直线y= x+ b与曲线x= . 1 —y2有且仅有一个公共点，则b的取值范围是()A . |b|= .2B . —1<b w 1 或b =—. 2C. —1 w b< 1解析：选B作出曲线x=考查它们的关系，寻找解决问题的办法.将曲线x=- .1 — y 2变为X 2+ y 2= 1(x > 0).当直线y = x + b 与曲线x 2 + y 2= 1相切时，则满 |0— 0— b| --足一J 2— = 1，|b|= .2, b =±.2.观察图像，可得当 b =— 2或—1<b w 1时，直线与曲线 x = 1 — y 2有且仅有一个公共占八、、♦6 .已知三点 A(1,0), B(0 , .3) , C(2, .3)，则△ ABC 外接圆的圆心到原点的距离为代5解析：选B 在坐标系中画出厶ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|= |AC|= |BC|= 2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ ABC 为等边三2角形.设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心.所以 |AE| = -|AD|=晋，从而 |OE|= |OA|2 + |AE|2= " ；1 +4 =号，故选 B.7 .圆x 2 + y 2 — 4X + 6= 0和圆x 2+ y 2— 6x = 0交于A , B 两点，则弦 AB 的垂直平分线的方程是 ________ .解析：由题意，知圆 x 2+ y 2 — 4x + 6y = 0和圆x 2+ y 2— 6x = 0交于A , B 两点，则弦 AB 的 2 2 2 垂直平分线，就是两个圆的圆心的连线.圆 x + y— 4x + 6y = 0的圆心坐标为(2, — 3)，圆xy + 3 x — + y — 6x = 0的圆心坐标为(3,0)，所以所求直线的方程为= ，即3x — y — 9= 0. 3 3 — 2答案：3x — y — 9= 0C. 2 *538.(全国丙卷)已知直线l: mx + y+ 3m—.3 = 0与圆x2+ y2= 12交于A, B两点，过A, B 分别作I的垂线与x轴交于C, D两点.若|AB|= 2需，则|CD|= ______________ .解析：由直线I : mx+ y+ 3m— 3 = 0知其过定点(—3, .3)，圆心O到直线I的距离为d |3m—御n以直线1的倾斜角a|AB| 厂 2 ICD 匸丄十=2 3X 3= 4. C0S6 答案：49 .过点P(3,0)作一直线I ，使它被两直线l i ： 2x — y — 2= 0和I 2： x + y + 3= 0所截的线段 AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是 ___________ .解析：法一：设直线l 的方程为y = k(x — 3),将此方程分别与11, 12的方程联立,y = kx —3 ,y =kx —3,得和2x — y — 2= 0 x + y + 3 = 0, 3k — 2 3k — 3解得X A = 禾口 X B =k —2 k + 1••P(3,0)是线段 AB 的中点，••• X A + X B = 6, 3k — 2 3k — 3即二*苗=6，解得k = 8.故直线l 的方程为y = 8(x — 3),即卩8x — y — 24= 0. 法二：设直线丨1上的点A 的坐标为(X 1, y 1),则直线12上的点B 的坐标为(6 — X 1,— y”, 厂r = 11 2x 1 — y 1 — 2 = 0, x1= 3， •解得6— * + — y 1 + 3 = 0,y 1 =仏,32+ (届 =12,解得m =—申•又直线I 的斜率为—口=習，所画出符合题意的图形如图所示，过点由 |AB|= 2 ,3得Rt △CDE 中，可得•••点A的坐标为¥，I36，由两点式可得直线I的方程为8x—y—24= 0.答案：8x —y—24= 010. 已知以点C为圆心的圆经过点A(—1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x+ 3y—15= 0上.设点P在圆C上，求△ PAB的面积的最大值.解：•••线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1,•线段AB的垂直平分线的方程为y—2=—(x—1)，即y= —x+ 3.y=—x+ 3, x=—3,联立解得|x+ 3y —15= 0, |y= 6,即圆心C为(—3,6),则半径r = — 3 + 1 2+ 62= 2 ,10.又|AB|= - 3+ 1 2+ 42= 4 , 2,•圆心 C 到AB 的距离 d = 2.10 2—2 22= 4,2,•••点P到AB的距离的最大值为d+ r = 4.2+ 2 . 10,1• ZPAB 的面积的最大值为x4.2 X (42+ 2 ,10)= 16+ 8 5.11. 如图，已知点A(2,3), B(4,1), △ ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线I: x—2y + 2= 0上.(1) 求AB边上的高CE所在直线的方程；(2) 求厶ABC的面积.解：(1)由题意可知，E为AB的中点，•••E(3,2)，且k cE =—k；B = 1,「•CE所在直线方程为y—2= x—3, 即卩x —y— 1 = 0.x—2y + 2 = 0,⑵由得C(4,3),l x—y—1= 0,•••|AC|= |BC|= 2, AC丄BC,1.••S AABC= 2AC| |BC|= 2.12. 已知：以点C t, 2 (t€ R, t丰0)为圆心的圆与x轴交于点O, A，与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1) 求证：△ OAB的面积为定值；(2) 设直线y =-2x+ 4与圆C交于点M , N，若OM = ON,求圆C的方程.解：⑴证明：T圆C过原点O,「.r2= OC2=t2+丰.设圆C的方程是(x-1)2+ y-彳2= t2+ 44令x= 0,得y i= 0, y2 =-；令y= 0,得x i= 0, X2 = 2t.4 X|2t|= 4,•••S ZOAB= ^lOAI X |OB|= 2 X即△OAB的面积为定值.⑵TOM = ON , CM = CN,「.OC垂直平分线段MN.1 1•「ki MN = —2,.・.k oc= 2•二直线OC 的方程是y = ?x.2 1= ^t.解得t = 2 或t=— 2.当t= 2时，圆心 C 的坐标为(2,1), OC = . 5,此时C点到直线1y= —2x+ 4 的距离d =(5<Q3,圆C与直线y=—2x+ 4相交于两点.当t= —2时，圆心C的坐标为(一2, —1), OC = -. 5,9 厂此时C点到直线y= —2x+ 4的距离4 =码,圆C与直线y=—2x+ 4不相交，•••t=—2不符合题意，舍去.•••圆 C 的方程为(x—2)2+ (y—1)2= 5.。

【浙江专版】人教A版必修2《直线与圆》回扣验收特训(二)含解析

回扣验收特训（二）直线与圆1．点A (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在y 轴内 B ．在xOy 平面内 C ．在xOz 平面内D ．在yOz 平面内解析：选C 点A (2,0,3)的纵坐标为0，所以点A 应在xOz 平面内．2．若直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0的斜率为1，则实数m 的值为( )A ．－1 B.43 C ．－1或43D ．1或12解析：选B由直线的斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧2m2＋m －1≠0，－m2－2m －32m2＋m －1＝1，解得m ＝43，选B.3．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m ，n 满足的关系式是( )A ．(m －2)2＋n 2＝4B ．(m ＋2)2＋n 2＝4C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝8解析：选C 圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心坐标为(2,0)，半径r ＝2.由题意，知(m －2)2＋n 2＝8. 4．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( ) A ．52 B ．25 C ．510D ．105解析：选C 根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)．所以|A ′B |＝错误!＝5错误!. 5．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是( )A ．|b |＝2B ．－1<b ≤1或b ＝－2C ．－1≤b ≤1D ．非A ，B ，C 的结论解析：选B 作出曲线x ＝1－y2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．将曲线x ＝1－y2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0－b|2＝1，|b |＝2，b ＝±2.观察图像，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y2有且仅有一个公共点．6．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43解析：选B 在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA|2＋|AE|2＝1＋43＝213，故选B.7．圆x 2＋y 2－4x ＋6＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________．解析：由题意，知圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线，就是两个圆的圆心的连线．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标为(3,0)，所以所求直线的方程为y ＋33＝x －23－2，即3x －y －9＝0.答案：3x －y －9＝0 8．(全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －3m2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.可得，中CDE △Rt 在.π6＝DCE ∠则，BD ⊥CE 作C 过点，画出符合题意的图形如图所示 4.＝23×32＝|AB|cos π6＝|CD | 答案：4AB＋3＝0所截的线段y ＋x ：2l －2＝0和y －x ：21l ，使它被两直线l (3,0)作一直线P 9．过点以P 为中点，则此直线l 的方程是________．解析：法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，的方程联立，2l ，1l 将此方程分别与错误!和错误!得，3k －3k ＋1＝B x 和3k －2k －2＝A x 解得，6＝B x ＋A x ∴的中点，AB 是线段(3,0)P ∵ 8.＝k ，解得6＝3k －3k ＋1＋3k －2k －2即故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.，)1y ，1x (的坐标为A 上的点1l 设直线法二： ∵P (3,0)是线段AB 的中点，，)1y ，－1x －(6的坐标为B 上的点2l 则直线错误!解得错误!∴ 0.＝24－y －x 8的方程为l ，由两点式可得直线⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163的坐标为A 点∴ 答案：8x －y －24＝010．已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心在直线x ＋3y －15＝0上．设点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值．解：∵线段AB 的中点为(1,2)，直线AB 的斜率为1，∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －2＝－(x －1)，即y ＝－x ＋3.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，x ＋3y －15＝0，联立即圆心C 为(－3,6)， .错误!2＝错误!＝r 则半径，错误!4＝错误!＝|AB |又，错误!4＝错误!＝d 的距离AB 到C 圆心∴ ，102＋24＝r ＋d 的距离的最大值为AB 到P 点∴ .58＋16＝)102＋2(4×24×12的面积的最大值为PAB ∴△ 11.如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，，1＝1kAB＝－CE k ，且)(3,2E ∴ ∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.，(4,3)C 得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，由(2) ∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，2.＝|BC |·|AC |12＝ABC △S ∴ ∈t (⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t C12．已知：以点R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．.4t2＋2t ＝2OC ＝2r ∴，O 过原点C 圆∵证明：(1)解： .4t2＋2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t ＋2)t －x (的方程是C 设圆.t 2＝2x ，0＝1x ，得0＝y ；令4t＝2y ，0＝1y ，得0＝x 令，4＝|t |2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×12＝|OB |×|OA |12＝OAB △S ∴ 即△OAB 的面积为定值．(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . .x 12＝y 的方程是OC 直线∴.12＝C O k ∴，2＝－MN k ∵ 2.＝－t 或2＝t 解得.t 12＝2t ∴ ，5＝OC ，(2,1)的坐标为C 时，圆心2＝t 当，5<15＝d 的距离4＋x 2＝－y 线点到直C 此时圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．，5＝OC ，1)，－2－(的坐标为C 时，圆心2＝－t 当，5> 95＝d 的距离4＋x 2＝－y 点到直线C 此时圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。

【浙江专版】人教A版必修2《直线与圆》回扣验收特训(二)含解析.docx

回扣验收特训(二)直线与圆1. 点力(2,0,3)在空间直角坐标系屮的位置是() A.在y 轴内 B.在欢刀平面内 C.在xOz 平面内D.在yOz 平面内解析：选C 点力(2,0,3)的纵坐标为0,所以点/应在xOz 平面内.2. 若直线/：(加‘一2〃?一3)x+(2〃,+〃?一l)y —2加+ 6=0的斜率为1,则实数m 的值为 () 4A. —1B.亍C. —1或专D ・1或*加一 1H0,解析：选B 由直线的斜率为1,得* m 2— 2m —32nf+m — 13. 过圆x~+y ~4x=0外一点(加，”)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m, n 满足的关系式是()A.(加一2尸 + /=4B. (/n+2)2+/72=4C. (W -2)2+H 2=8D. (W + 2)24-/72=8解析：选C 圆x 2+y 2-4x=0的圆心坐标为(2,0),半径r=2.由题意，知伽一2尸+ / = 8.4. 光线从点力(一3,5)射到兀轴上，经反射后经过点3(2,10),则光线从力到3的距离是A. 5迈 B ・ 2y[5 C. 5A /I0D. 10V5解析：选C 根据光学原理，光线从/到3的距离，等于点/关于x 轴的对称点到点、B 的距离,易求得才(-3, -5).所以|力，B\ =-\/(2 + 3)2 + (10+5)2 = 57^0.5. 直线y=x+b 与曲线x=yj 1 —y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是() A. \b\=y[2 B. T<bW 1 或 b=-^2 C ・一lWbWlD ・非A, B, C 的结论解析：选B 作出曲线x=\l —y 2和直线y=x+b,利用图形直观 B选4-3-得解考查它们的关系，寻找解决问题的办法.将曲线x=yjl—y1变为x2+y2 = 1(x20)・当直线y=x+b与曲线/ yj nf +1观察图像，可得当b=-yf2或一l<bWl时，直线与曲线⑴小一）?有且仅有一个公共6.已知三点J（1,O）, B（0,诵），0（2,诵），则厶仏。

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回扣验收特训（二）直线与圆
1．点A (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在y 轴内 B ．在xOy 平面内 C ．在xOz 平面内
D ．在yOz 平面内
解析：选C 点A (2,0,3)的纵坐标为0，所以点A 应在xOz 平面内．
2．若直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0的斜率为1，则实数m 的值为( )
A ．－1 B.43 C ．－1或4
3
D ．1或1
2
解析：选B 由直线的斜率为1，得⎩⎪⎨⎪
⎧
2m 2
＋m －1≠0，－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，
解得m ＝4
3
，选B.
3．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m ，n 满足的关系式是( )
A ．(m －2)2＋n 2＝4
B ．(m ＋2)2＋n 2＝4
C ．(m －2)2＋n 2＝8
D ．(m ＋2)2＋n 2＝8
解析：选C 圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心坐标为(2,0)，半径r ＝2.由题意，知(m －2)2＋n 2＝8. 4．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( )
A ．5 2
B ．2 5
C ．510
D ．10 5
解析：选C 根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)．
所以|A ′B |＝(2＋3)2＋(10＋5)2＝510.
5．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是( ) A ．|b |＝ 2 B ．－1<b ≤1或b ＝－ 2 C ．－1≤b ≤1
D ．非A ，B ，C 的结论
解析：选B 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．
将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2
＋y 2＝1相切时，则满足|0－0－b |
2
＝1，|b |＝2，b ＝±2.
观察图像，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．
6．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.53
B.
213
C.253
D.43
解析：选B 在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可
得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝2
3|AD |
＝
23
3
，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝ 1＋43＝213
，故选B. 7．圆x 2＋y 2－4x ＋6＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________．
解析：由题意，知圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线，就是两个圆的圆心的连线．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标为(3,0)，所以所求直线的方程为y ＋33＝x －2
3－2
，即3x －y －9＝0.
答案：3x －y －9＝0
8．(全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.
解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2
＋1
.
由|AB |＝23得⎝
⎛⎭
⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2
＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π
6
.
画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π
6.在Rt △CDE 中，可得
|CD |＝
|AB |cos π6
＝23×2
3＝4.
答案：4
9．过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________．
解析：法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，
得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －3)，x ＋y ＋3＝0，
解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1
，
∵P (3,0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6，即
3k －2k －2＋3k －3k ＋1
＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设直线l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3,0)是线段AB 的中点，
则直线l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 1－y 1－2＝0，(6－x 1)＋(－y 1)＋3＝0，解得⎩⎨⎧
x 1＝113
，
y 1
＝163，
∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫
113，163，由两点式可得直线l 的方程为8x －y －24＝0. 答案：8x －y －24＝0
10．已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心在直线x ＋3y －15＝0上．设点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值．
解：∵线段AB 的中点为(1,2)，直线AB 的斜率为1，
∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －2＝－(x －1)，即y ＝－x ＋3.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，x ＋3y －15＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－3，y ＝6，
即圆心C 为(－3,6)，
则半径r ＝(－3＋1)2＋62＝210. 又|AB |＝(3＋1)2＋42＝42，
∴圆心C 到AB 的距离d ＝(210)2－(22)2＝42， ∴点P 到AB 的距离的最大值为d ＋r ＝42＋210， ∴△PAB 的面积的最大值为1
2
×42×(42＋210)＝16＋8 5.
11.如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰
三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．
(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．
解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－
1
k AB
＝1， ∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，
得C (4,3)，
∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝1
2
|AC |·|BC |＝2.
12．已知：以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2
t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解：(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴r 2＝OC 2＝t 2＋4
t 2.
设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t
2. 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4
t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .
∴S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝1
2×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，
即△OAB 的面积为定值．
(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k O C ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝1
2x .
∴2t ＝1
2
t .解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 点到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝1
5
<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，
此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝9
5
>5，
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。