2020年河北省石家庄市同济中学高一数学文模拟试卷含解析

2020年河北省石家庄市同济中学高一数学文模拟试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么
的解集是
．．．．
参考答案：
B
2. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
参考答案：
B
3. 直线与直线的交点是（）
A、(3,-1)
B、(-1,3)
C、(-3,-1)
D、(3,1)
参考答案：
A
4. 已知集合M={x|x∈R，5－|2x－3|∈N+}，则M的所有非空真子集的个数是
（）
A．254 B．255 C． 510 D． 511
参考答案：
C
5. 在△ABC中角A、B、C的对边分别是，已知,那么△ABC一定是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.正
三角形
参考答案：
A
6. 设全集则下图中阴影部分表示的集合为( ）
A． B．
C．{x|x＞0} D．
参考答案：
C
7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）
B．表面积为
．
外接球的半径为
．体积为D
参考答案：
B
8. 已知函数有两个零点，则有（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
9. 已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值
（）
A．2 B．－1 C．－1或2 D．0
参考答案：
B
10. 已知是等差数列，，，则此数列的通项公式是
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）的图象与函数g（x）=log2x的图象关于直线y=x对称，则f（﹣）= ．
参考答案：
【考点】反函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由函数f（x）的图象与函数g（x）=log2x的图象关于直线y=x对称，可得：函数f（x）与函数g（x）=log2x互为反函数，求出函数解析式，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）的图象与函数g（x）=log2x的图象关于直线y=x对称，
∴函数f（x）与函数g（x）=log2x互为反函数，
∴f（x）=2x，
∴f（﹣）=，
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是反函数，熟练掌握同底的指数函数和对数函数互为反函数，是解答的关键．
12. 如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的中位数为a，乙加工零件个数的平均数为b，则a+b=______.
参考答案：
44.5
【分析】
由茎叶图直接可以求出甲的中位数和乙的平均数，求和即可。

【详解】由茎叶图知，甲加工零件个数的中位数为，
乙加工零件个数的平均数为，则．
【点睛】本题主要考查利用茎叶图求中位数和平均数
13. 在二项式（1+x）n（n∈N*）的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n的最小值为．
参考答案：
【考点】DC：二项式定理的应用．
【分析】由题意可得： =，可得：12r+7=5n，可得n为奇数．经过验证：n=1，3，…，即可得出．
【解答】解：由题意可得： =，
可得：12r+7=5n，n为奇数，
经过验证：n=1，3，…，
可得n的最小值为11．
故答案为：11．
14. 已知tanα=，，则sinα﹣cosα= ．
参考答案：
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得
sinα、cosα的值，可得sinα﹣cosα的值．
【解答】解：∵tanα==，，sin2α+cos2α=1，
∴sinα=﹣，cosα=﹣，∴sinα﹣cosα=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
15. 已知中，,.
参考答案：
16. 已知，函数的最小值是__________．
参考答案：
5
∵，
∴，
，
当且仅当时，“”成立，故最小值为．
17. 数列中,,为的前项和,则=
参考答案：
-1005
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列{a n}的前n项和为S n，点在直线上.
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，若数列的前n项和为T n，求证：. 参考答案：
（1）（2）见解析
【分析】
（1）先利用时，由求出的值，再令，由，得出
，将两式相减得出数列为等比数列，得出该数列的公比，可求出；
（2）利用对数的运算性质以及等差数列的求和公式得出，并将裂项为
，利用裂项法求出，于此可证明出所证不等式成立.
【详解】（1）由题可得.
当时，，即.
由题设，，两式相减得.
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故.
（2）
，
则，
所以
因为，所以，即证.
【点睛】本题考查利用求通项，以及裂项法求和，利用求通项的原则是
，另外在利用裂项法求和时要注意裂项法求和法所适用数列通项的基本类型，熟悉裂项法求和的基本步骤，都是常考题型，属于中等题。

19. 已知数列{a n}满足，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列{a n}的前n项和S n.
参考答案：
(1)证明见解析；(2)
【分析】
（1）将已知条件凑配成，由此证得数列为等差数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，进而求得的表达式，利用分组求和法求得.
【详解】（1）证明：∵
∴
又∵∴
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；
（2）由（1）知，，所以
所以
【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题.
20. 已知函数直线是图像的任意两条对称轴，且的最小值为.
（1）求函数的单调增区间；
（2）若求的值；
（3）若关于的方程在有实数解，求实数的取值.
参考答案：
（3）原方程可化为，即，在有解，令则在有解，
设所以
又所以由图像知. ……………………………………13分
略
21. （8分）某公路段在某一时刻内监测到的车速频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求纵坐标中参数h的值及第三个小长方形的面积；
（Ⅱ）求车速的众数v1，中位数v2的估计值；
（Ⅲ）求平均车速的估计值．
参考答案：
（Ⅰ）∵所有小长形面积之和为1，
∴10h+10×3h+10×4h+10×2h=1，
解得h=0.01，
∴第三个小长方形的面积为：10×4h=10×0.04=0.4．
（Ⅱ）车速的众数v1==65，
车速的中位数是两边直方图的面积相等，
于是得：10×0.01+10×0.03+（v2﹣60）×0.04=0.5，
解得v2=62.5．
（Ⅲ）平均车速=0.01×10×45+0.03×10×55+0.04×10×65+0.02×10×75=62．
22. (本小题满分12分) 如图4，已知是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上任一点,是线段的中点，是线段上的一点.
求证：(Ⅰ)若为线段中点，则∥平面；
(Ⅱ)无论在何处，都有.
参考答案：
（I）分别为的中点,
∥. 4分
又
∥6分
（II）为圆的直径,
.
．
8分
,
. 10分无论在何处,
,
. 12分。