高数下册复习资料(同济第六版)
高等数学第六版上下册全同济大学出版社
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
使
பைடு நூலகம்
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法
— 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
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一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
左 邻域 :
右 邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
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xy
(t)， (t)，
z (t)，
空
间 ( t )
曲
线
：
zy
(x) (x)
切向量
T ((t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
切向量
T (1 , (x) , (x))
法向量
F(x, y, z) 0
空 间 曲 面 ：
n ( Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ) )
x x0 y y0 z z0 fx (x0 , y0 ) f y (x0 ,y0 ) 1
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第十章 重积分
积分类型
二重积分
I f x, yd
D
重积分
计算方法
（1）
利用直角坐标系
X—型 Y—型
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy a (x)
a ax2 a 2 a 2
y
z
和差
c a b ax bx , ay by , az bz
单位向量
方向余弦
点乘（数量积 ） 叉乘（向量积 ）
c ab
垂直 平行
交角余弦
投影
c a b c a－b a 0 ，则 e a
aa
设 a 与 x, y, z 轴的夹角分别为，， ， 则方向余弦分别为cos，cos，cos
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第八章 向量与解析几何
定义 向量
模
向量代数 定义与运算的几何表达
有大小、有方向. 记作a 或 AB
向量a 的模记作 a
在直角坐标系下的表示
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第八章 向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a 或AB u u u r模向量a 的模记作a和差单位向量0a ≠，则a a e a=方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos点乘（数量积）θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b的夹角叉乘（向量积）θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==平面 直线法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M 方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式一般式点法式点向式 三点式参数式截距式两点式面面垂直线线垂直面面平行线线平行线面垂直线面平行点面距离 面面距离面面夹角 线线夹角 线面夹角空间曲线Γ切向量切“线”方程：)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-法平“面”方程：切向量切“线”方程：)()(100000x z z x y y x x ψϕ'-='-=-第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分平面薄片的质量质量=面密（1）利用直角坐标系X—型⎰⎰⎰⎰=Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(φφY—型⎰⎰⎰⎰=d c y yDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3：法平“面”方程：空间曲面∑：法向量切平“面”方程：法“线“方程：或切平“面”方程：法“线“方程：度⨯面积（2）利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x yα+, α为实数 )P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便计算步骤及注意事项1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分空间立体物的质量质量=密度⨯面积(1)利用直角坐标⎩⎨⎧截面法投影法投影⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩbayxzyxzxyxyzzyxfyxVzyxf),(),()()(2121d),,(ddd),,(P159—例1P160—例2（2）利用柱面坐标cossinx ry rz zθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222()()f x y f x z++P161—例3（3）利用球面坐标cos sin cossin sin sincosx ry rz rρθϕθρθϕθϕ==⎧⎪==⎨⎪=⎩适用范围:○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，222()f x y z++P165—10-(1)（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分曲形构件的参数法（转化为定积分）（1）:()L y xϕ=dtttttfI⎰+=βαψϕϕϕ)(')('))(),((22P189-例1P190－3质量质量=线密度⨯弧长（2）():()()x tL ty tϕαβφ=⎧≤≤⎨=⎩dxxyxyxfI ba⎰+=)('1))(,(2（3）()()r rθαθβ=≤≤()cos:()sinx rLy rθθθθ=⎧⎨=⎩平面第二类曲线积分变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分）P196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：dydxyPxQQdyPdxDL⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(应用：⎪⎩⎪⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）P211-例5、等价条件：①yP xQ∂∂=∂∂ ②0=+⎰LQdy Pdx③⎰+LQdy Pdx 与路径无关，与起点、终点有关④Qdy Pdx +具有原函数),(y x u（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）例6、例7（4）两类曲线积分的联系空间第二类曲线积分变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分） （2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：①L 封闭，分段光滑，有向②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数结论：dxdyy p x Q dzdx x Rz P dydz z Q y R RdzQdy Pdx L)()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰∑应用：⎩⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅满足条件直接应用P240-例1第一类曲面积分dvz y x f I ⎰⎰∑=),,(曲面薄片的质量质量=面密度⨯面积投影法 ∑：),(y x z z = 投影到xoy 面类似的还有投影到yoz 面和zox 面的公式 P217-例1、例2第二类曲面积分流体流向曲面一侧的流量（1）投影法 ∑：),(y x z z =，γ为∑的法向量与x 轴的夹角前侧取“+”，cos 0γ>；后侧取“-”，cos 0γ<∑：),(z x y y =，β为∑的法向量与y 轴的夹角右侧取“+”，cos 0β>；左侧取“-”，cos 0β<∑：),(z y x x =，α为∑的法向量与x 轴的夹角上侧取“+”， cos 0α>；下侧取“-”，cos 0α<P226-例2（2）高斯公式 右手法则取定∑的侧条件：①∑封闭，分片光滑，是所围空间闭区域Ω的外侧②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数结论：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(zR y Q x P Rdxdy Qdzdz Pdydz 应用：⎩⎨⎧助面不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用P231-例1、例2（3）两类曲面积分之间的联系转换投影法：()()zzdydz dxdy dzdx dxdy xy∂∂=-=-∂∂ P228-例3所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、以不变代变、求和、取极限； ○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； ○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
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第八章 向量与解析几何向量代数定义 定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+ c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹角z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直zy xz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行//0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔==交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++平面直线法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M方程名称 方程形式及特征方程名称 方程形式及特征一般式0=+++D Cz By Ax一般式⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A点法式0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A点向式pz z n y y m x x 000-=-=- 三点式1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 参数式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 截距式 1x y za b c++= 两点式 000101010---==---x x y y z z x x y y z z面面垂直 0212121=++C C B B A A线线垂直 0212121=++p p n n m m面面平行 212121C C B B A A == 线线平行 212121p p n n m m == 线面垂直pC n B m A == 线面平行 0=++Cp Bn Am点面距离),,(0000z y x M 0=+++D Cz By Ax 面面距离10Ax By Cz D +++= 20+++=Ax By Cz D222000CB A DCz By Ax d +++++=12222D D d A B C-=++面面夹角线线夹角线面夹角},,{1111C B A n =},,{2222C B A n = },,{1111p n m =s },,{2222p n m =s},,{p n m =s },,{C B A =n222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ 222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ 222222sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ空间曲线Γ：()() ()x t y t z t ϕψω=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，)(βα≤≤t 切向量))(,)(,)((000t t t T ωψϕ'''=切“线”方程：)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-法平“面”方程：0))(()()()()(000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ()()y x z x ϕψ=⎧⎨=⎩ 切向量))(,)(,1(x x T ψϕ''= 切“线”方程：)()(100000x z z x y y x x ψϕ'-='-=- 法平“面”方程：0))(()()()(00000=-'+-'+-z z x y y x x x ψϕ空间曲面 ∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z =0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x第十章 重积分重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α+, α为实数 )21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdyf x y x f x y f x y D D ⎧⎪⎪-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩⎰⎰对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分P141—例2应用该性质更方便计算步骤及注意事项1． 画出积分区域2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分⎰⎰⎰Ω=dvz y x f I ),,(空间立体物的质量质量=密度⨯面积(1) 利用直角坐标⎩⎨⎧截面法投影法投影⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωbay x z y x z x y x y z z y x f y x V z y x f ),(),()()(2121d ),,(d d d ),,(P159—例1P160—例2（2） 利用柱面坐标 cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222()()f x y f x z ++ 21()()(,,)d d d (cos ,sin ,)d b r ar f x y z V z f z βθαθθρθρθρρΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰P161—例3（3）利用球面坐标 cos sin cos sin sin sin cos x r y r z r ρθϕθρθϕθϕ==⎧⎪==⎨⎪=⎩dv r drd d =2sin ϕϕθ适用范围:○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. ○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，222()f x y z ++ 222111(,)2(,)d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d I f αβρθϕαβρθϕϕθρϕθρϕθρϕρϕρ=⎰⎰⎰P165—10-(1)（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型 计算方法典型例题第一类曲线积分 ⎰=Lds y x f I ),(曲形构件的质量 质量=线密度⨯弧长参数法（转化为定积分）（1）:()L y x ϕ= dt t t t t f I ⎰+=βαψϕϕϕ)(')('))(),((22（2）():()()x t L t y t ϕαβφ=⎧≤≤⎨=⎩ dx x y x y x f I b a⎰+=)('1))(,(2（3）()()r r θαθβ=≤≤()cos :()sin x r L y r θθθθ=⎧⎨=⎩θθθθθθθβαd r r r r f I ⎰+=)(')()sin )(,cos )((22P189-例1 P190－3平面第二类曲线积分⎰+=LQdy Pdx I变力沿曲线所做的功（1） 参数法（转化为定积分）():()()x t L t y t ϕαβφ=⎧⎨=⎩单调地从到t t t t Q t t t P y Q x P Ld )}()](),([)()](),([{d d ψψϕϕψϕβα'+'=+⎰⎰P196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L 封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D ） ②P ，Q 具有一阶连续偏导数 结论：dy dx yPx Q Qdy Pdx DL⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(应用：⎪⎩⎪⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：①yP x Q ∂∂=∂∂ ②0=+⎰LQdy Pdx③⎰+LQdy Pdx 与路径无关，与起点、终点有关④Qdy Pdx +具有原函数),(y x u（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）P211-例5、例6、例7（4）两类曲线积分的联系⎰⎰+=+=LLds Q P Qdy Pdx I )cos cos (βα空间第二类曲线积分LI Pdx Qdy Rdz =++⎰（1）参数法（转化为定积分）dt t t t t R t t t t Q t t t t P Rdz Qdy Pdx )}()](),(),([ )()](),(),([ )()](),(),([{ωωψϕψωψϕϕωψϕβα'+'+'=++⎰⎰Γ（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分） 条件：①L 封闭，分段光滑，有向②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数P240-例1变力沿曲线所做的功结论：dxdyy p x Q dzdx x Rz P dydz z Q y R RdzQdy Pdx L)()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰∑应用：⎩⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅满足条件直接应用第一类曲面积分 dvz y x f I ⎰⎰∑=),,(曲面薄片的质量 质量=面密度⨯面积 投影法∑：),(y x z z = 投影到xoy 面dxdy z z y x z y x f dv z y x f I xyD y x ⎰⎰⎰⎰++==∑221)),(,,(),,(类似的还有投影到yoz 面和zox 面的公式P217-例1、例2第二类曲面积分I Pdydz Qdzdx R∑=++⎰⎰流体流向曲面一侧的流量（1）投影法○1dydz z y z y x p Pdydz yzD ⎰⎰⎰⎰±=∑),),,(( ∑：),(y x z z =，γ为∑的法向量与x 轴的夹角 前侧取“+”，cos 0γ>；后侧取“-”，cos 0γ<○2dzdx z z x y x p Qdzdx yzD ⎰⎰⎰⎰±=∑)),,(,( ∑：),(z x y y =，β为∑的法向量与y 轴的夹角 右侧取“+”，cos 0β>；左侧取“-”，cos 0β<○3dxdy y x z y x Q Qdxdy yzD ⎰⎰⎰⎰±=∑)),(,,( ∑：),(z y x x =，α为∑的法向量与x 轴的夹角 上侧取“+”， cos 0α>；下侧取“-”，cos 0α< P226-例2（2）高斯公式 右手法则取定∑的侧条件：①∑封闭，分片光滑，是所围空间闭区域Ω的外侧②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数 结论：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(zR y Q x P Rdxdy Qdzdz Pdydz 应用：⎩⎨⎧助面不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用P231-例1、例2（3）两类曲面积分之间的联系(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxd y P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰转换投影法：()()zzdydz dxdy dzdx dxdy xy∂∂=-=-∂∂ P228-例3所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限； ○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； ○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
同济六版高等数学下)知识点整理
（即Prj u a = a cos （P ）,其中邛为向量a 与u 轴的夹角;(a + b)u =(a)u +(b)u (即 Prj u (a + b) =Prj u a+ Prj u b)； (痴)u =M5)u (即 Prj u (九5) =KPrj u a)= (a y b z -a z b y )i ab x -a x b z ) j (a x b y - a y b x )k注：a b = —b a3、二次曲面 22(1)椭圆锥面：与+ 4 = z 2;a b22222（2）椭圆抛物面：与+当=z ；（旋转抛物面： jr =z （把把xOz 面上的抛物线与=2绕 a b a az 轴旋转））22222222（3）椭球面：x2十*十・=1；（旋转椭球面：十4=1 （把xOz 面上的椭圆斗+4 = 1a b c a ca c绕z 轴旋转））2 2 2（旋转单叶双曲面： -号=1 （把xOz 面上的双 a c2 2 2（旋转双叶双曲面： 今-^~^ = 1 （把xOy 面上的双a c2 2曲线0=1绕x 轴旋转）） a c2 2（6）双曲抛物面（马鞍面）：W = z ；a b第八章1、向量在轴上的投影: 性质：（a ）u =acos ：2、两个向量的向量积：设 a =a x i +a y j +a z k , b = b x i +b y j +b z k ,则a yb ya zb zi +(-1)1 2a xb xa zb zj +(-1)1 3a x a yb xb y222（4）单叶双曲面： 冬+4-4=1； a b c22曲线'-1=1绕z 轴旋转））a c 222（5）双叶双曲面：今-々-彳=1； a bc(2)空间直线的对称式(点向式)方程： 七至= 30=9°,其中s=(m,n, p)为直线的一 m n p个方向向量，M (x 0 ,y °,z °)为直线上一点x = x 0 mt(3)空间直线的参数方程：(y = y 0+nt z =〃pt|m 1m 2 +n [n 2 + P 1P 2222 222.m 〔 n 1 P 1 .L m 2 n 2 P 2特殊： 两直线互相垂直 = m 〔m 2+n [n 2 + P 1P 2 =02 2 2 2⑺椭圆柱面：与十4=1；双曲柱面：3-4=1；抛物柱面：x 2=ay 22 2 2a b a b4、平面方程(1)平面的点法式方程：A (x-xJ+B (y-y 0)+C (z-4) =0 ,其中M 0(X o ,y o ,Z 0)是平面上一点,n = (A, B,C)为平面的一个法向量(2) 平面的一般方程：Ax + By +Cz + D =0,其中n = (A,B,C)为平面的一个法向量注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量 n=(A, B,C)若D=0,则平面过原点;右 A = 0, ,'D =0,则平面过x 轴D #0,则平面平行于x 轴右 A = B = 0,,=0,则平面表示xOy 面 :0,则平面平行于xOy 面(3)平面的截距式方程:-+^+-=1,其中a,b,c 分别叫做平面在x,y,z 轴上的截距. a b c5、两平面的夹角: cos 二AA 2 + B 1B 2 +C 1C 2 ,A 2 B 12 C I 2A B 22 C 22特殊：两平面互相垂直 u A 1A 2 + B 1B 2 + C 1C 2 = 0八一, 、.…一 ，…,、 ，、 . |AA+By ° + Cz 0+D 6、点 P (x 0, y 0, z 0)到平面 Ax + By+Cz + D =0 的距离公式：d=^ / —,A 2B 2C 27、空间直线方程(1)空间直线的一般方程:Ax+B 1y + C 1z + D 1 =0、A 2x + B 2y + C 2z + D 2 =08、两直线的夹角：cos 邛 =9、直线与平面的夹角：sin*^—— 1Am+ Bn 4cp i 2 2 2 2 2 2A B C m n pABC特殊：直线与平面垂直 U —m n p直线与平面平行或在平面内： Am Bn Cp = 010、平面束的方程：设直线L由方程组1A x+ B1y+C1z+ D1 —0所确定其中ABC与A2,B2,C2不成比例，则平面A2x+B2y+C2z +D2=0A1x+B1y+C1z+D1 +九(A2x+B2y+C2z+D2)=0为通过直线L的所有平面(不包含平面A2x + B2y +C2z +D2 =0)第九章1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指P(x,y)以任何方式趋于P o(x o，y o)时，f(x,y)都无限接近于A,因此当P(x, y)以不同方式趋于B(x o，y。
高数复习大纲同济六版下册
高等数学下册复习提纲 (向量代数—>无穷级数)第一次课1、向量与空间几何 向量：向量表示((a^b));向量的模: 向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行. 向量运算(向量积)； 1． 向量的加法 2. 向量的减法3．向量与数的乘法设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )即 a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ,则 a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b = (a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )k =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ).λa =λ(a x i +a y j +a z k ) =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k =(λa x , λa y , λa z ). 向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r点A 与点B 间的距离为 →212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==向量的方向：向量a 与b 的夹角 当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值. 类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的 余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ .数量积与投影:由于|b | cos θ =|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量 b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b .同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2.(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b 反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ⇔ a ·b =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示:设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有222222||||cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即 c = a ⨯b . 坐标表示:zy x z y x b b b a a a kj i b a =⨯=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . 向量的方向余弦:设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.||cos r x =α, ||cos r y=β, ||cos r z =γ. 从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα向量的投影向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴.任给向量r , 作→r =OM , 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '(点M '叫作点M 在u 轴上的投影), 则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量. 设→e λ='M O , 则数λ称为向量r 在u 轴上的投影, 记作Prj u r 或(r )u .按此定义, 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x , a y , a z 就是a 在三条坐标轴上的投影, 即a x =Prj x a , a y =Prj y a , a z =Prj z a . 投影的性质:性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)； (1)椭圆锥面由方程22222z by a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面. (2)椭球面由方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面称为椭球面.(3)单叶双曲面由方程1222222=-+cz b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面. (4)双叶双曲面由方程1222=--cz b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面.(5)椭圆抛物面由方程z by a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面 (6)双曲抛物面.由方程z b y a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 椭圆柱面12222=+b y a x ,双曲柱面122=-by a x , 抛物柱面ay x =2, .直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程空间直线L 可以看作是两个平面∏1和∏2的交线.如果两个相交平面∏1和∏2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0和A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0, 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组 ⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A .空间直线的对称式方程与参数方程方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.确定直线的条件: 当直线L 上一点M 0(x 0, y 0, x 0)和它的一方向向量s = (m , n , p )为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.直线方程的确定: 已知直线L 通过点M 0(x 0, y 0, x 0), 且直线的方向向量为s = (m , n , p ), 求直线L 的方程.设M (x , y , z )在直线L 上的任一点, 那么(x -x 0, y -y 0, z -z 0)//s , 从而有pz z n y y m x x 000-=-=-. 这就是直线L 的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 直线L 1和L 2的夹角ϕ可由 |) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ222222212121212121||p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=直线与平面的夹角设直线的方向向量s =(m , n , p ), 平面的法线向量为n =(A , B , C ), 直线与平面的夹角为ϕ , 那么|) , (2|^n s -=πϕ, 因此|) , cos(|sin ^n s =ϕ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 有222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ平面方程：点法式(法向量)、一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示 . Ax +By +Cz +D =0.其中x , y , z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标, 即 n =(A , B , C ). 提示:D =0, 平面过原点.n =(0, B , C ), 法线向量垂直于x 轴, 平面平行于x 轴. n =(A , 0, C ), 法线向量垂直于y 轴, 平面平行于y 轴. n =(A , B , 0), 法线向量垂直于z 轴, 平面平行于z 轴.n =(0, 0, C ), 法线向量垂直于x 轴和y 轴, 平面平行于xOy 平面. n =(A , 0, 0), 法线向量垂直于y 轴和z 轴, 平面平行于yOz 平面. n =(0, B , 0), 法线向量垂直于x 轴和z 轴, 平面平行于zOx 平面.截距式；平面夹角和距离两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.设平面∏1和∏2的法线向量分别为n 1=(A 1, B 1, C 1)和n 2=(A 2, B 2, C 2), 那么平面∏1和∏2的夹角θ 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角, 因此, |) ,cos(|cos 2^1n n =θ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 平面∏1和∏2的夹角θ 可由2222222121212121212^1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++==n n θ.来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论: 平面∏1和∏2垂直相当于A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2=0;平面∏ 1和∏ 2平行或重合相当于212121C C B B A A == 空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F空间曲线的参数方程（33）空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 切平面和切线： 切线与法平面；设空间曲线Г的参数方程为),(),(),(t z t y t x ωφϕ=== 曲线在点),,(000z y x M 处的切线方程为)(00t x x ϕ'-=.)()(0000t z z t y y ωφ'-='- 向量 )}('),('),('{000t t t T ωφϕ=就是曲线Г在点M 处的一个切向量 法平面的方程为0))(('))(('))( ('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφϕ切平面与法线隐式给出曲面方程((,,)0F x y z =)法向量为：)},,,(),,,(),,,({000000000z y x Fz z y x F z y x F n y x = 切平面的方程是))(,,())(,,())(,,(000000000000z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x -+-+-法线方程是.),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-),(y x z =在点),(00y x如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为 ,1cos 22yxx ff f ++-=α ,1c o s 22yxy ff f ++-=β.11cos 22yxff ++=γ2、多元函数微分学多元函数极限：简单复习讲解 偏微分全微分：如果三元函数),,(z y x u φ=可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， du =x u ∂∂dx +y u ∂∂dy ＋zu ∂∂dz 第二次课3、重积分二重积分：利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题。
高数(同济第六版)下册多元函数的积分学及其应用知识点
第十章多元函数的积分学及其应用一、二重积分1．二重积分的概念�定义：设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，“分割、近似、求和、取极限”：01(,)lim (,)n i iii D f x y d f λσξησ→==∆∑∫∫其中：D 为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，d σ为面积元素。
�几何意义：当(,)0f x y ≥，(,)D f x y d σ∫∫表示以区域D 为底、以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。
�非均匀平面薄片的质量：(,)DM x y d µσ=∫∫。
2．二重积分的性质�性质1（线性性质）.),(),()],(),([∫∫∫∫∫∫±=±DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα�性质2（区域具有可加性）如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域1D 和2D ,则.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ�性质3如果在闭区域D 上,σ,1),(=y x f 为D 的面积,则.1σσσ==⋅∫∫∫∫DD d d 几何意义：以D 为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
�性质4（单调性）如果在闭区域D 上,有),,(),(y x g y x f ≤则.),(),(∫∫∫∫≤DD d y x g d y x f σσ推论1.|),(|),(∫∫∫∫≤DD d y x f d y x f σσ推论2设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值,σ为D 的面积,则.),(σσσM d y x f m D≤≤∫∫这个不等式称为二重积分的估值不等式。
�性质5（积分中值定理）如果函数(,)f x y D 上连续，σ是D 的面积，那么在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅∫∫。
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B ABAc
y
特例: R R 记 R2
为平面上的全体点集
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B AB
OA x
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二、 映射
引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
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引例2.
引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
引例2
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
y 1 x
值域 f (D) [0, ) y 2 x
f
(Leabharlann 1 2)21 2
2
O
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
高数下册总结(同济第六版)
高数同济版下高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结：高数同济版下二阶微分方程的解法小结：非齐次方程的特解的形式为：高数同济版下主要一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式2、复合函数的偏导数的求法设，，，则，几种特殊情况： 1），，，则2），，则 3），则3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况，设是由方程唯一确定的隐函数，则，高数同济版下或者视，由方程两边同时对 2）方程组的情况由方程组 . 两边同时对求导解出即可二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 1）设空间曲线Г的参数方程为，则当时，在曲线上对应处的切线方向向量为，切线方程为法平面方程为2）若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为高数同济版下若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，解出驻点，记， 1）若时有极小值 2）若，则在点处无极值 3）若，不能判定在点处是否取得极值，则在点处取得极值，且当时有极大值，当2 条件极值的求法函数在满足条件下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题 2）拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组高数同济版下求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点 3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：高数同济版下高数同济版下*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积 (2)体积（型区域的面积）（横截面面积已知的立体体积）（所围图形绕的立体体积）（所围图形绕体体积）（所围图形绕轴的立体体积）。
高等数学(同济六版)下册期末总复习
G
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
⎧ x = x0 + mt ⎪ 2）参数式方程： ⎨ y = y0 + nt ； ⎪ z = z + pt 0 ⎩
Δ
( Δx ) 2 + ( Δy ) 2
⎧ x = x(t ) ⎪ a、 若曲线 Γ 的方程为参数方程： ⎨ y = y (t ) ，点 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Γ ↔ t = t0 ，则 ⎪ z = z (t ) ⎩
切向量为 T = ( x′(t0 ), y′(t0 ), z ′(t0 )) ， 切线方程为
2） 求导法则：对 x 求偏导，暂时视 y 为常量；对 y 求偏导，暂时视 x 为常量 3） 复合函数的求导法则（链式法则） ：若 z = f (u , v ) 具有连续偏导数，而 u = g ( x, y ) 与 v = h( x, y ) 都具 有偏导数，则复合函数 z = f [ g ( x, y ), h ( x, y )] 的偏导数为：
by bz b G G ； a&b ⇔ x = = （对应坐标成比例） ax a y az
G G G G a ⊥ b ⇔ a ⋅b = 0 ；
G G a ⋅b G G n cos(a , b ) = G G ； | a || b |
G G G G n G b =| b | cos( a , b ) Prja
2） 方程组的情形： （隐函数求导法）
⎧ F ( x, y, z ) = 0 ⎩ z = z ( x ) dy dz 三元方程组确定两个一元隐函数： ⎨ ⇒ , ⎩G ( x, y, z ) = 0 对x求导 dx dx
高等数学第六版(同济版)第六章复习资料
第六章 定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法.第一节 定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念： 一、元素及元素法1.元素：由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 与直线b x a x ==、以及x 轴所围成的曲边梯形的面积为：∑==ni i A A 1∆∑=≈ni i i x f 1)(∆ξ∑==ni i i x d f 1)(ξ⎰=bax d x f )(.(由微分知识得i i x d x =∆)，称x d x f )(为面积元素或面积微元,记为x d x f dA )(=.2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法. 由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的.下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件： 二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为U ) 1．量U 与变量x 的所在区间],[b a 有关; 2．量U 对于区间],[b a 具有可加性；3．量U 的部分量有近似值，即i i i x f U ∆ξ∆)(≈. 三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤：1．由实际情况选一变量如x 为积分变量，确定该其变化区间],[b a .2．分],[b a 为n 个小区间，取其中一个小区间],[x d x x +，计算其上的部分量U ∆的近似值：x d x f U d )(=，的所求量的一个元素.3．以x d x f U d )(=为被积表达式，在],[b a 上作定积分，即得所求量的定积分表达式：⎰=bax d x f U )(.注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等.内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤.第二节 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形:曲线)0)((≥=x f y 与直线)(b a b x a x <==、及x 轴所围成的曲边梯形面积为x d x f A ba )(⎰=，因为面积元素为x d x f A d )(=.2.参数方程情形：若曲线],[,)0)(()(b a x x f x f y ∈≥=的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，且满足(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ;(2). )(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数，且)(t y ψ=连续，则由曲线)(x f y =所围成的曲边图形的面积为：x d x f A ba )(⎰=t d t t )(')(ϕψβα⎰=.3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为]),[,0)(()(βαθθϕθϕρ∈≥=， 且)(θϕ在],[βα上连续，则由曲线)(θϕρ=与射线αθ=以及βθ=所 围成图形的面积为θθϕβαd A ⎰=)(212. 由于当θ在],[βα上变动时，极径)(θϕρ=也随之变动，故不能直接利用扇形面积公式θ221R A =来计算. 推导： ①.取极角θ为积分变量，],[βαθ∈.②.在],[βα上任取一小区间],[θθθd +，其上的曲边扇形面积的近似值：[]θθϕd A d 2)(21=. ③.以[]θθϕd 2)(21为被积表达式，在],[βα上作定积分，得曲边扇形的面积公式： θθϕβαd A ⎰=)(212.例1. 计算两条抛物线22x y x y ==、在第一象限所围所围图形的面积.解：首先确定图形的范围，由⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得交点)0,0(、)1,1(， 取x 为积分变量，由于面积元素()x d x x A d 2-=，所以所求面积为()⎰-=102x d x x A 103233132⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 31=.注：⎰=10x d x A ⎰-12x d x ()⎰-=102x d x x .例2. 计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形的面积.解：由⎩⎨⎧-==422x y xy 得交点)2,2(-、)4,8(，若取x 为积分变量，则有⎰⎰--+=8220)]4(2[22x d x x x d x A 822238223421322324⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x 18=. 若取y 为积分变量，则有18642248232422=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰-y y y y d y y A . 例3. 求椭圆12222=+by a x 所围图形的面积.解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积 为1A ，则所求面积为x d y A A a⎰==0144.设π)20(sin cos ≤≤⎩⎨⎧==t tb y t a x ，当0=x 时，2π=t ，当a x =时，0=t ，且t d t a x d sin -=，于是t d t a t b x d y A a )sin (sin 4402/0-⋅==⎰⎰πt d t ab ⎰=2/02sin 4πt d ts ab ⎰-=2/022cos 14πb a π=. 例4.计算阿基米德螺线)0(>=a a θρ对应θ从0变到π2所围图形面积. 解：由题可知，积分变量],[βαθ∈，于是所求面积为θθπd a A ⎰=202)(211032312θ⋅=a 23π34a =.例5.计算心形线)0()cos 1(>+=a a θρ所围图形的面积.解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为1A ， 则心形线所围成的图形面积为12A .取极角θ为积分变量，],[βαθ∈，于是⎰+=πθθ022)cos 1(212d a A ⎰++=πθθθ022)cos 2cos 1(d a ⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=πθθθ02cos 22cos 2123d a 2π23a =.二、体积1．旋转体的体积：(1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴.注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所围成的立体.(2).旋转体的体积：①．由曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴所围成的曲边梯形 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba <=⎰π.推导：取x 为积分变量，],[b a x ∈，在],[b a 上任取一小区间],[x x x ∆+，其上的窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的薄层的体积近似等于以)(x f 为底面半径、以x d 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为x d x f V d 2)]([π=，以x d x f 2)]([π为被积表达式，在],[b a 上作定积分即得所求旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba<=⎰π.②．由曲线)(y x ϕ=与直线c y =、d y =以及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2d c y d y V dc <=⎰ϕπ.例6.连接坐标原点O 及点),(r h P 的直线、直线h x = 及x 轴围成 一个直角三角形，将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的 圆锥体，求其体积.解：过)0,0(O 及),(r h P 的直线方程为：x hry =. 取x 为积分变量，],0[h x ∈，则所求旋转体的体积为⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=hx d x h r V 02πh r 231π=.例7.计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与x 轴所围成的绕x 轴旋转而成的立体，半椭圆方程为：22x a ab y -=. 取x 为积分变量，],[a a x -∈，则所求立体体积为⎰--=aa x d x a ab V )(2222π234ab π=.例8.计算由摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=相应于π20≤≤t 的一拱， 直线0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解：记摆线绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为x V ，取x 为积分变量，],[a a x -∈，则⎰=a x x d x y V ππ202)(⎰--=ππ2022)cos 1()cos 1(t d t a t •a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(t d t t t •a⎰-=ππ203)cos 31(t d t •a⎰++ππ203)12(cos 23t d t •a ⎰--ππ2023)(sin )sin 1(t d t •a 325a π=.记摆线绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为y V ，取y 为积分变量，]2,0[a y ∈，则⎰⎰-=aay y d y x y d y x V 20212022)()(ππ⎰⎰---=πππππ022222sin )sin (sin )sin (t d t a t t a t d t a t t a⎰-=0222sin )sin (ππt d t a t t a ⎰-+ππ022sin )sin (t d t a t t a ⎰--ππ022sin )sin (t d t a t t a⎰+--=ππ203223)sin sin 2sin (t d t t t t t a⎰-=ππ2023sin t d t t a ⎰-+ππ203)2cos 1(t d t t a ⎰-+ππ2023)(cos )cos 1(t d t a336a π=.2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的 立体介于过点a x =、b x =且垂直于x 轴的两个平面之间， 该立体过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面面积为)(x A ， 则该立体的体积为：⎰=ba dx x A V )(.推导：若)(x A 为连续函数且已知，取x 为积分变量，],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[x d x x +，其上的薄层的体积近似等于底面积为)(x A 、高为x d 的扁圆柱体的体积，即得体积元素：x d x A V d )(=，以x d x A )(为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得所求立体的体积公式：⎰=ba dx x A V )(.例9.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆的中心，并与底面交 成角α，计算着平面截圆柱体所得立体的体积.解：取该平面与圆柱体的底面的交线为x 轴，底面上过圆中心且 垂直于x 轴的直线为y 轴，则底面圆方程为：222R y x =+，该立体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为y 和αtan y ，即22x R -和22tan x R -α，从而截面面积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为⎰--=R R x d x R V αtan )(2122⎰-=R x d •x R 022)(tan ααtan 223R =.例4.求以半径为R 的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解：取底面圆所在的平面为xoy 平面，圆心o 为原点，并使x 轴 与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：222R y x =+，过x 轴上的点]),[(b a x x ∈作垂直于x 轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为22)(x R h y h x A -==，于是，所求正劈锥体的体积为⎰--=RRx d x R h V 22⎰-=R x d x R h 0222⎰=2/022cos 2πθθd h R ⎰+=2/02)2cos 1(πθθd h R 22hR π=.三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长. 1.平面曲线弧长的相关概念(1).平面曲线弧长：若在曲线弧B A 上任取分点0M A =， ,,,,,121i i M M M M -，B M M n n =-,1，依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记|}{|max 11i i ni M M -≤≤=λ，若当分点的数目无限增加且每一个小弧段i i M M1-都缩向一点，即0→λ时，折线的长∑=-n i i i M M 11||的极限存在，则称此极限值为曲线弧B A的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作||lim 10i i M M s -→=λ.(2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线.(3).定理：光滑曲线可求长. 2.光滑曲线弧长的计算(1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为)(x f y =，b x a ≤≤，若)(x f 在],[b a 上具有一阶连续函数，则曲线弧长为x d x f s ba ⎰'+=)(12.推导：取x 为积分变量，曲线)(x f y =上的相应于],[b a 上任意小区间],[x d x x +上的一段弧的长度近似等于曲线在点))(,(x f x 处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为x d x f y d x d 222))('(1)()(+=+，从而有弧长元素x d x f s d 2))('(1+=，以x d x f 2))('(1+为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得弧长公式：x d x f s ba⎰'+=)(12.(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，βα≤≤t ，若)(t ϕ及)(t ψ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为t d t t s ⎰'+'=βαψϕ)()(22.推导：取参数t 为积分变量，曲线上相应于],[βα上任意小区间],[t d t t +上的一段弧的长度的近似值即为弧长元素22)()(y d x d s d +=t d t t )(')('22ψϕ+=，以t d t t )(')('22ψϕ+为被积表达式，在],[βα上作定积分，得弧长公式：t d t t s ⎰+=βαψϕ)(')('22.(3).参数方程情形：设曲线弧的极坐标方程为)(θρρ=，],[βαθ∈，若)(θρ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.推导：由直角坐标与极坐标的关系得：⎩⎨⎧==θθρθθρsin )(cos )(y x ，βθα≤≤，即为曲线的以极角θ为参数的参数方程，弧长元素为 θθρθρθθθd d y x s d )(')()]([)]([2222+='+'=， 于是曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.例11.计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.解：x d x x d x y s baba⎰⎰+=+=1)('12])1()1[(32)1(322323123a b x +-+=+=.例12.计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x )0(>a 一拱π)20(≤≤θ的弧长.解：由于弧长元素为θθθd y x s d )(')('22+=θθθd a a 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=，于是，所求弧长为a d a s 82sin2π20==⎰θθ.例13.求阿基米德螺线)0(>=a a θρ相应于π20≤≤θ一段的一拱. 解：弧长元素为θθρθρd s d )(')(22+=θθd a a 222+=θθd a 21+=，于是，所求弧长为θθd a s ⎰+=π2021⎥⎦⎤+++⎢⎣⎡+=πθθθθ20221ln 2112a )π41π2ln(2π41π22++++=a a .。
高数(同济第六版)下册无穷级数要点
若 lim S n = S ，称数列收敛， S 为级数的和，即：
n →∞
∑u
N =1
n
=S；
若 lim S n 不存在，称级数发散。
n →∞
�
性质：
（1） 若级数 � �
∑u ,∑v
n n
n
都收敛，则
∑ (u
± vn ) 也收敛，且 ∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑ vn
也收敛，且
∑ cu
n =0
幂级数收敛定理——阿贝尔定理
∞
如果幂级数
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时收敛， 则对满足不等式 x < x0 的一切 x ， 幂级
数都收敛，并且是绝对收敛；
∞
如果幂级数 数都发散。
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时发散， 则对满足不等式 x > x0 的一切 x ， 幂级
∑ u ( x) = u ( x) + u ( x ) + ⋯ + u ( x ) + ⋯ 为函数项级数。
n
1 2
∞
n
n =1
∞
�
函数项的收敛点： ∀x0 ∈ I ，
∑ u ( x ) 收敛，称 x 为函数项级数的收敛点；
n
0 0
n =1
∞
函数项的发散点： ∀x0 ∈ I ， � � 收敛域：收敛点的全体。
n →∞
p
∑u
n =1
n
收敛。
∞
�
比值审敛法：设
∑u
n =1
n
是正项级数，则 lim
高数下册复习资料同济第六版
z z0 Fz ( x0 , y 0 , z0 )
切平“面”方程：
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y 0 )( y y 0 ) ( z z0 ) 0
-1- / 9
或
r n ( f x ( x0 , y0 ) ,
f y (x0 , y0 ) , 1)
法“线“方程：
0
2
0
2
（3） 利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当 D 关于 y 轴对称时， （关于 x 轴对称时，有类似结论）
0
f ( x, y )对于 x是奇函数，
即 f ( x, y) f ( x, y)
I 2 f ( x, y) dxdy f ( x, y)对于 x是偶函数，
D1
即 f ( x, y) f ( x, y)
D1是 D的右半部分
计算步骤及注意事项
1． 画出积分区域
2． 选择坐标系
标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数
关于坐标变量易分离
3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙
4． 确定积分限
方法：图示法 先积一条线，后扫积分域
5． 计算要简便
注意：充分利用对称性，奇偶性
-4- / 9
P141—例 2 应用该性质更方便
曲形构件的质量 质 量 = 线密 度 弧长
参数法 （转化为定积分）
（1） L : y ( x)
角
叉乘（向量积）
c ab
c a b sin
为向量 a 与 b 的夹角
向量 c 与 a ， b 都垂直
定理与公式
垂直
a b ab 0
平行
a // b a b 0
同济大学第六版高数下册小总结
注：数字都是书的页数！基础公式和方法，不用说，肯定得记得差不多，才有信心考好，千万别以60分为目标。
1.向量积公式19（对物理计算也有好处）模长公式9 方向余弦10 单位向量112.全微分表达式733.隐函数求导也有公式854.计算曲线的切线和法平面方程需要求什么【切线的方向向量（即要求法平面的法向量）+一点】94例题计算曲面的切平面和法线方程需要求什么【切平面的法向量（即要求法线的方向向量）+一点】99例题当然你写完了方程要知道哪个是直线哪个是平面所以要熟悉直线和平面方程形式！5.极值公式（做题流程）110 111例题当然重要的是偏导公式高数上册中的一些常见求导公式牢记！上册书956.多元复合函数求导（画出关系图）+隐函数高阶求导易错！注意计算细心多检查多动笔计算！7.二重积分几何意义就是以D是底，f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积（直角坐标法138 极坐标法144）更换积分次序8.三重积分需要投影（直角坐标法158 柱面坐标法161 球面坐标法162）注意：能画出图的尽量画图直观清晰！再可以把D xoy或者Ω各个量的取值范围写出来极坐标系中的面积元素代换柱面坐标系和球面坐标系中的体积元素代换9.对弧长的曲线积分计算法187 公式！！！记好三种形式188 其实就一种因为方法都一样（定积分的下限一定要小于上限）10.对坐标的曲线积分计算法194 （L是有向曲线，定积分的下限不一定小于上限，根据终点与起点）11.两类曲线积分的联系转化公式！19912.格林公式202 曲线积分与二重积分的转化联系！（公式到底是P,Q对x求导还是对y，记清楚！）使用条件：1.具有一阶连续偏导（一般都有）2. D是闭区域，L必须封闭（所以有一类题，补充曲线变成封闭，才能使用格林公式，然后再减去补充的曲线的积分205例题）L是D的取正向的边界曲线，正向是逆时针方向13.曲线与路径无关14.全微分求积210 211例题或者复习试卷上5，6题（验证...是某一函数的全微分，并求出函数这种题！）15.对面积的曲面积分计算法217 公式！！！记好16.对坐标的曲面积分计算法224 （Σ是有向曲面，曲面的法向量与相应坐标轴的夹角，cosα>0取正号 ,cosα<0取负号）考试或许它只考第一卦限，或者cosα>0的情况，但是还是多多了解一点！17.两类曲面积分的联系转化联系！22718.高斯公式229 曲面积分和三重积分的转化联系！（注意P,Q,R是对x,y,z进行求导！一一对应）使用条件：1.具有连续一阶偏导（一般都有）2.Ω是闭区域，Σ是闭曲面（当然也有一类题，补充曲面变成封闭，才能使用高斯公式，然后再减去补充的曲面的积分231例题2 复习题中没有这类型题目，或许考试不会考这个吧，但万一它考了呢？！了解一下~）19.对于面积曲面积分：Σ是围成闭区域Ω的闭曲面对于坐标曲面积分：Σ是Ω的整个边界曲面外侧（第一类不分内外侧）曲线积分和曲面积分最终都会转化成二重积分计算，可见二重积分的重要性！然后又可能会运用到各种积分公式，高数上册203代换205 公式可以复习复习！21.等比数列的求和公式22.各种级数的审敛法常用几种：p级数257 p>1 收敛p≤1 发散比较审敛法极限形式258（去记常用的等价无穷小公式！）比值审敛法（达朗贝尔判别法）259ρ<1 收敛ρ>1 发散ρ=1 可能收敛也可能发散莱布尼茨定理（交错级数）262满足两个条件，交错级数才收敛23.绝对级数和条件级数263定理8 如果一个级数绝对收敛，则它必定收敛。
高等数学(下)总复习PPT(同济六版)
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限. 5、判定极限存在的准则
夹逼定理、单调有界原理
2016/8/10 3
6、两个重要极限
(1)
(2)
sin x lim 1 x0 x 1 x lim(1 ) e x x
某过程
3、求导法则
2016/8/10 19
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则——注意不要漏层 (4) 对数求导法——注意适用范围 (5) 隐函数求导法则——注意y的函数的求导 (6) 参变量函数的求导法则——注意不要漏乘
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x ) 的微分形式总是 dy f ( x )dx
2016/8/10 21
1 例12 设 f (a)存在，则 lim n[ f (a) f (a )]. n n
解
1 f (a ) f (a) n 原式= lim n 1 n
(
0 ) 0
sec 2 x 1 lim x 0 3x2
tan x 1 lim 2 x 0 3 x 3
2016/8/10
(
0 ) 0
2
12
1 例8 求极限 lim [ x x ln( 1 )]. ( ) x x
2
1 解： lim[ x x ln(1 )] x x
所以x k , k 0是第二类间断点
(3) x k
2
, k 0， 1， 2
x lim 0 x k tan x
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k π x k π π 时 , cot x 0
2
2
2
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4. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
(2) 初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x0 x0
可表为 y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
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非初等函数举例: 符号函数
取整函数 当
y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
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引例2.
引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
2
例如, 反正弦主值 定义域
又如, 绝对值函数
值域
1 O 1x
2
定义域
值域
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例4. 已知函数
y
f
(x)
2 1
x, x,
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y ex ex
y ch x
O
x
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又如, y f (x) ex ex
y 奇函数 ex ex
2
y sh x
记
sh x 双曲正弦
Ox
再如,
y
sh x ch x
e e
x x
e e
x x
奇函数
y
记
th x 双曲正切
说明: 给定 f (x), x (l, l)
1 y th x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C
狄利克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数
高等数学第六版上下册同济大学出 版社
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在一新映射
使
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k π (k 0, 1, 2,) v x , x (, )
2
可定义复合函数:
k Z
约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
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第八章 向量与解析几何向量代数定义 定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB u u u ra (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===r r r模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+ c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y za a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a aa a a αβγ===r r r ，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹角z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直zy x z y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行//0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔==交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅== 222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++平面直线法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M方程名称 方程形式及特征方程名称 方程形式及特征一般式0=+++D Cz By Ax一般式⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、 多元函数：),(y x f z =，图形：3、 极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(004、 连续：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→5、偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、方向导数：βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。
7、梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ρρ),(),(),(000000+=。
8、全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义： u2）复合函数求导：链式法则若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则 uxz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ z3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） v y（三） 应用 1、 极值 1）无条件极值：求函数),(y x f z=的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令 ),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值，若02>-B AC ，0<A ，函数有极大值；② 若02<-B AC ，函数没有极值；③ 若02=-B AC ，不定。
2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ 2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的 切线方程为：)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2）曲面的切平面与法线 曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α+, α为实数 )21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdyf x y x f x y f x y D D ⎧⎪⎪-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩⎰⎰对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分P141—例2应用该性质更方便计算步骤及注意事项1． 画出积分区域2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
第十二章级数无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，nns∞→lim存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质○1若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛.○2两个收敛级数的和差仍收敛.注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.○3去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性.○4若级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛.○5（必要条件）如果级数收敛,则0lim=→nnu莱布尼茨判别法若1+≥nnuu且0lim=∞→nnu，则∑∞=--11)1(nnn u收敛nu∑和nv∑都是正项级数，且nnvu≤.若nv∑收敛，则nu∑也收敛；若nu∑发散，则nv∑也发散.比较判别法比较判别法的极限形式nu∑和nv∑都是正项级数，且lvunnn=∞→lim，则○1若+∞<<l0,nu∑与nv∑同敛或同散;○2若0=l,nv∑收敛,nu∑也收敛；○3如果+∞=l，nv∑发散，nu∑也发散。
比值判别法根值判别法nu∑是正项级数，ρ=+∞→nnn uu1lim,ρ=∞→nnnulim,则1<ρ时收敛；1>ρ(ρ=+∞)时发散；1=ρ时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数nnnxa∑∞=0,ρ=+∞→nnn aa1lim,1,0;,0;0,.R R Rρρρρ=≠=+∞===+∞缺项级数用比值审敛法求收敛半径)(xs的性质○1在收敛域I上连续;○2在收敛域),(RR-内可导，且可逐项求导;○3和函数)(xs在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式11(11)1nnx xx∞==-<<-∑11()!x nne x xn∞==-∞<<+∞∑22TT lπ==∑∞=++=10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf⎰-=πππdxxfa)(1⎰-=πππnxdxxfancos)(1⎰-=πππnxdxxfbnsin)(1收敛定理x是连续点,收敛于)(xf;x是间断点,收敛于)]()([21+-+xfxf周期延拓)(xf为奇函数，正弦级数，奇延拓；)(xf为偶函数，余弦级数、偶延拓.交错级数。