数值分析复习题
数值分析期末考试复习题及其答案
数值分析期末考试复习题及其答案1.已知都有6位有效数字，求绝对误差限.（4分）解:由已知可知,n=62分2分2.已知求（6分）解：1分1分1分= 2分1分3.设（6分）①写出f(x)=0解的Newton迭代格式②当a为何值时，（k=0,1……)产生的序列收敛于解:①Newton迭代格式为： 3分② 3分4.给定线性方程组Ax=b，其中：，用迭代公式（k=0，1……）求解Ax=b,问取什么实数，可使迭代收敛（8分)解：所给迭代公式的迭代矩阵为2分其特征方程为2分即，解得2分要使其满足题意，须使,当且仅当2分5.设方程Ax=b，其中，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss—Seidel迭代格式（9分）解：3分2分即，由此可知Jacobi迭代收敛1分Gauss-Seidel迭代格式：（k=0,1,2，3 (3)6.用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组:(i=1，2,3)其中，（12分)解：①A= =LU 3分由Ly=b1，即y= 得y= 1分由Ux1=y，即x1= 得x1= 2分②x2=由Ly=b2=x1,即y= 得y= 1分由Ux2=y，即x2= 得x2= 2分③x3=由Ly=b3=x2，即y= 得y= 1分由Ux3=y，即x3= 得x3= 2分7.已知函数y=f（x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H插值多项式,使（6分）解：作重点的差分表，如下:3分=-1+（x+1)-x(x+1）+2x。
x（x+1)= 3分8.有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式（7分）解：由已知条件可作差分表，3分（i=0,1,2，3）为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:=4+5x+x（x—1)= 4分9.求f(x)=x在[—1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差（8分)解：令2分取m=1，n=x，k=,计算得:（m，m）==0 （m，n)= =1 （m，k)= =0（n,k）= =0。
数值分析考试复习题
第五章 思考题 1. 代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的 拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？ 2. 拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？ 3. Runge反例主要说明一个什么样的问题？ 反例主要说明一个什么样的问题？ 反例主要说明一个什么样的问题 第六章 思考题 多项式拟合与代数插值问题有何差异？ 1. 多项式拟合与代数插值问题有何差异？拟合函数 有何特点？ 有何特点？ 曲线拟合的最小二乘法有何特点？ 2. 曲线拟合的最小二乘法有何特点？ 求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？ 3. 求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？
11/14
第三章 思考题 高斯消元法消元过程的目标是什么？ 1. 高斯消元法消元过程的目标是什么？消元过程需 用多少次乘除法？ 用多少次乘除法？有何数学理论支持 解三对角方程组的消元过程有何特点？ 2. 解三对角方程组的消元过程有何特点？ 矩阵的范数和向量的范数有何联系， 3. 矩阵的范数和向量的范数有何联系，条件数是如 何定义的 第四章 思考题 1. 解线性方程组的迭代法有何特点？它与解方程组 解线性方程组的迭代法有何特点？ 的直接法有何不同？ 的直接法有何不同？ 2. 解线性方程组的迭代法收敛定理对迭代产生的向 量序列的误差是如何估计的？ 量序列的误差是如何估计的？ 迭代法求解线性方程组的本质是什么？ 3. 迭代法求解线性方程组的本质是什么？
6/14
0 yk
1 yk+1
2 yk+2
Ex16.推导左矩形求积公式 推导左矩形求积公式
∫
∫
b
a
f ′(η ) f ( x )dx = (b − a ) f (a ) + (b − a )2 2
a+b f ′′(η ) f ( x )dx = (b − a ) f ( )+ (b − a )3 2 24
数值分析复习试题及参考答案
1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x 的绝对误差限。
解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε()07057.00005.0115.80005.01025.621=⨯+⨯≈x x ε2、设430.56,1021.12≈≈x x均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x +的绝对误差限。
解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε0055.0)()()(2121=+=+x x x x εεε3、简答题 （1）已知12622)(256+-+-=x xxxx f ，求]1,0[f 及]6,5,4,3,2,1,0[f 。
解：由f(0)=1,f(1)=5得 []()()41011,0=-=f f f因为最高阶差商只出现在最高次，所以[]26,5,4,3,2,1,0=f（2）求积公式[])1()0(121)]1()0([21)(1f f f f dx x f '-'++≈⎰的代数精度为多少？ 解：令()xx f =，则()21211021==⎰xdx x f ，右边=21，左边=右边同理令()2xx f =，()3xx f =均准确成立，()4xx f =时，左边≠右边所以，上式具有3阶精度4、求满足下表条件的Hermit 插值多项式。
x0 1)(x f -1 0 )(x f '-210解：使用重节点差商表法x y 一阶二阶 三阶 0 -1 0 -1 -2 1 0 1 3 1 010 9 6()()1236163212322---=-++--=x x x x xx x x H5、已知函数)(x f y =的数据如下：x1 2 4 -5 )(x f3 4 1 0（1）求3次Lagrange 插值多项式； （2）求3次Newton 插值多项式； （3）写出插值余项。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
数值分析复习题
γ1 β2
α3
1
γ2 β3
α4
-5-
= LU γ3 β4
由矩阵乘法得
β1 = 2, γ 1 = 1, γ 2 = 1, γ 3 = 1, α 2 = , β 2 = , α 3 = , β 3 = , α4 =
从而
2 1 5 1 1 2 2 3 ，U = 1 1 5 5 10 7 1 − 3 3 3 7 14 （2）解方程 LY = b 得 Y = (1, , , − ) Τ 2 5 3 1 1 2 L=
解： （1）设有分解
1 0 1 0 0 2 0 1 l 1 0 1 = 21 2 4 3 l 31 1 0 3 l 41 1 l32 l 42 1 l 43
由矩阵乘法可逐行、逐列分别求出 u ij 和 lij
1 l 21 l31 l 41 1 1 0 0 1 u 22 = ， 1 2 1 1 0 1 0 1 2 u 23 u 33 0 1 0 2 0 u 24 = 1 0 1 u 34 2 1 u 44 2
3 3 5 1 3 5 9 = l 21 5 9 17 l 31 1 l32 d1 1 d2 d3 1 l 21 1 l31 l32 1
由矩阵乘法可逐行求得 2 5 d1 = 3, d 2 = 2, d 3 = , l 21 = 1, l31 = , l 32 = 2 3 3 （2）解方程组
k →∞
三、各章计算证明题 第二章 代数方程组的直接解法
1 0 1.用杜利特分解法解方程组 1 0 0 2 0 x1 5 1 0 1 x 2 3 = 2 4 3 x3 17 1 0 3 x 4 7 1 1 0 u 22 2 u 23 u 33 0 u 24 u 34 u 44
《数值分析》期末复习题(1)
《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).(A)21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-6 2. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦(B)10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1，B. 2 ，C. 3，D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值，它有（ ）位有效数字； 2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（ ）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x 其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。
数值分析期末考卷
数值分析期末考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. 插值法B. 拟合法C. 微分法D. 积分法A. 高斯消元法B. 高斯赛德尔迭代法C. 共轭梯度法D.SOR方法3. 下列哪个算法不是求解非线性方程的方法？A. 二分法B. 牛顿法C. 割线法D. 高斯消元法A. 梯形法B. 辛普森法C. 高斯积分法D. 复化求积法A. 欧拉法B. 龙格库塔法C.亚当斯法D. 高斯消元法A. 幂法B. 反幂法C. 逆迭代法D. QR算法A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 共轭梯度法D. 高斯消元法A. 拉格朗日插值法B. 牛顿插值法C. 埃尔米特插值法D. 分段插值法A. 前向差分法B. 后向差分法C. 中心差分法D. 拉格朗日插值法A. 牛顿法B. 割线法C. 雅可比迭代法D. 高斯消元法二、填空题（每题4分，共40分）1. 数值分析的主要任务包括数值逼近、数值微积分、数值线性代数和______。
2. 在求解线性方程组时，迭代法的收敛速度与______密切相关。
3. 牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} = x_k f(x_k)/______。
4. 在数值积分中，复化梯形公式的误差为______。
5. 求解常微分方程初值问题，龙格库塔法的阶数取决于______。
6. 矩阵特征值的雅可比方法是一种______方法。
7. 梯度下降法在求解无约束优化问题时，每次迭代的方向为______。
8. 拉格朗日插值多项式的基函数为______。
9. 数值微分中的中心差分公式具有______阶精度。
10. 在求解非线性方程组时，牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} =x_k J(x_k)^{1}______。
三、计算题（每题10分，共60分）1. 给定数据点（1，2），（2，3），（3，5），（4，7），求经过这四个数据点的拉格朗日插值多项式。
2. 用牛顿迭代法求解方程x^3 2x 5 = 0，初始近似值为x0 = 2，计算前三次迭代结果。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
数值分析复习题
数值分析复习题⼀、填空1.近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2.设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的⽜顿迭代格式为 .3.对f(x)=x 3+3x 2-x+5,差商f[0,1,2,3,4]= .4.⽅阵A 的谱半径是指 .5.求积分?ba dx x f )(的近似值，其⾟⼘⽣公式为 .⼆、已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试⽤最⼩⼆乘法求形如xb ax x +=)(?的经验公式。
（10分）三、求⼀个次数不⾼于4的多项式p 4(x)，满⾜下列插值条件 x 0 1 2f(x) 0 1 1)(x f '0 1四、写出计算线性⽅程组=+-=+-=+-272135223121321x x x x x x x 的⾼斯⼀赛德尔迭代格式，并分析此格式的敛散性.五、⽤预估⼀校正法求初值问题=≤≤-='1)0(102y x y x y y在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1。
（要求保留⼩数点后4位）六、把区间分成两等份，⽤复化⾟⼘⽣公式计算dxx+1七、在求⾮线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法⼀般为线性收敛，⽽⽜顿迭代法为平⽅收敛.⼀填空1．近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2．设643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 3．求积分()ba f x dx ?的近似值，其复化梯形公式为4．5点⾼斯求积公式，其代数精度为5．设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的近似值的⽜顿迭代格式为 6．利⽤⼆分法求()0f x =在[,]a b 上根的近似值，误差限为 7．⽅阵A 的谱半径是指 8．矩阵A 的条件数是指 9．能⽤⾼斯消元法求解A x b =的充要条件是 10．设215314278A -??=，则1||||A = ⼆给定线性⽅程组1231232231242122316x x x x x x x x x -++=??-++=??++=? 1. ⽤列主元消元法求解所给线性⽅程组。
数值分析考试
数值分析（100分试题） 第 1 页 共 3 页一、、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、设*0.034x 为经过四舍五入后得到的近似数，则数*x 的有效数字位数是 。
2、设节点,0,1,2,3,,i x i n = ，(),0,1,2,,i l x i n = 是关于上述节点的Lagrange 插值基函数，则对于0,1,2,,k n = ，0()n k i i i x l x ==∑ 。
3、已知矩阵411141114A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 求||||A ∞= ；2()cond A = 。
4、给定方程22cos x x =-,求该方程根的Newton 迭代格式是 。
5、 步长为h 时，求常微分方程初值问题⎩⎨⎧=≤≤=-1)0(,10,0'3y x xy y 的改进的Euler 公式是 。
二、（10分）求一个3次多项式)(x p ,使其满足4)2('',3)2(,2)1(',1)1(====p p p p .三、（10分）给定线性方程组12310112013a x a a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中a 为常数.写出求解上述线性方程组的Jacobi 迭代格式，并分析当a 取何值时Jacobi 迭代法收敛。
四、（10分）用列主元Gauss 消去法解线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡81213612002120321203214321x x x x 五、（10分）求3()f x x = 在区间[1,1]- 上关于()1x ρ= 的最佳平方逼近2次多项式。
六、（10分） 分析方程01224=---x x x 存在几个实根,并用迭代法求出其中一个实根,精确到3位有效数字。
七、（10分）已知求积公式 )53(95)0(98)53(95)(11f f f dx x f ++-≈⎰- 为Gauss 公式,试给出形如)()()()(221100x f A x f A x f A dx x f ba++≈⎰的求积公式,使其代数精度达到5.八、（10分）用初等反射矩阵将111211245A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦分解为QR 的形式，其中Q 为正交矩阵，R 为上三角矩阵。
数值分析考试题
数值分析考试题一、选择题1. 以下哪个方法不是数值分析中常用的数值积分方法？A. 梯形法则B. 辛普森法则C. 牛顿法D. 龙格-库塔法2. 在求解线性方程组的直接方法中，高斯消元法属于以下哪种类型？A. 列主元消去法B. 行主元消去法C. 完全主元消去法D. 选主元消去法3. 非线性方程求根的二分法属于以下哪种类型的数值方法？A. 迭代法B. 直接法C. 优化算法D. 插值法4. 在数值分析中，用于度量舍入误差的常用指标是：A. 截断误差B. 舍入误差C. 估计误差D. 计算误差5. 插值多项式的最高次数与插值节点的数量关系是：A. 次数多于节点数量B. 次数少于节点数量C. 次数等于节点数量D. 与节点数量无关二、填空题1. 在数值分析中，__________是用来描述一个算法在实际运算中所需步数的度量。
2. 线性方程组的雅可比方法是一种__________消去法。
3. 牛顿法在求解非线性方程时，每次迭代都需要计算__________。
4. 龙格现象是指在数值积分中，由于__________而引起的误差。
5. 在多项式插值中，拉格朗日插值法是通过__________来构建插值多项式的。
三、简答题1. 请简述数值分析中的截断误差和舍入误差的区别。
2. 描述高斯-赛德尔迭代法的基本思想，并与雅可比迭代法进行比较。
3. 解释在数值积分中为什么需要使用自适应方法。
4. 讨论在求解非线性方程时，二分法与牛顿法的适用条件和优缺点。
5. 分析多项式插值与样条插值的主要区别及其各自的应用场景。
四、计算题1. 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上使用梯形法则计算积分的近似值，取4个等分点。
2. 设线性方程组如下：\[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 2y + 4z = 14 \\3x + y + 2z = 10\end{cases}\]使用高斯消元法求解该方程组的解。
数值分析期末复习题
一、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数 ，绝对误差为 ， 相对误差为 。
2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为 。
3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。
4.设f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛顿迭代法格式是 。
5.设方程x=ϕ(x)有根x *,且设ϕ(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=ϕ(x k )收敛的充要条件为 。
6.求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为 。
7.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。
8.n 次Legendre 多项式的最高次项系数为 。
9.中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f b a -+=⎰的代数精度为 。
10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈⎰的代数精度为 。
11.在区间[1，2]上满足插值条件⎩⎨⎧==3)2(1)1(P P 的一次多项式P(x)= 。
12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= 。
13．梯形公式和改进的Euler 公式都是 阶精度的。
二、计算题1.利用矩阵的高斯消元法，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。
3.求解超定方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43231211121x x的最小二乘解。
4.给定下列函数值表：求3次自然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建立f(x)的二次（抛物）插值公式，利用插值公式求115的近似值并估计误差。
数值分析复习题
一、判断题1. 区间[a,b]上，若f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。
2. 22/7作为π=3.1415926……近似值，它有3位有效数字。
3. 设P(x)和Q(x)都是n 次多项式，如果在n +1 个不同的节点x i 上都有P(x i )＝Q(x i )，则P(x)≡Q(x) 。
4. 取节点01231, 0, 2 ,4x x x x =-===作2()f x x =的插值多项式()p x ，则()p x 次数为2，插值基函数的次数为3。
5. 插值多项式严格通过所有的节点(x i ，y i )。
6. 若k<=n ，P(x)和Q(x)分别是 x k的通过n +1 个不同的节点的牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式则P(x)≡Q(x)≡x k。
7. 插值多项式次数越高，逼近效果越好。
8. 任何一组互异数据，逼近它们的多项式插值函数仅有一个。
9. 插值多项式次数与拟合曲线都严格通过所给定的数据点。
10. 求积公式：⎰30)(dx x f ≈。
f f f f 是插值型的)]3()2(3)1(3)0([83+++11. 牛顿-科特斯求积公式中的求积节点是等分的。
12. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的单根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
13. 高斯型求积公式是插值型的。
14. 一阶亚当姆斯格式是单步法。
15. 显式的亚当姆斯公式：+-=+-()n n n n h y y f f 1132是单步法。
16. 求初值问题数值解的四阶亚当姆斯公式是多步法。
17. 如果有一常微分方程数值解法的局部截断误差3111()()n n n T y x y O h +++=-=，则该方法是3阶的。
18. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，如其迭代过程()1k k x x ϕ+=发散，则方程()0f x = 的无解。
19. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。
A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。
A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。
A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。
A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。
A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。
A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。
A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。
A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。
A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。
A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。
答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。
答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。
答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。
《数值分析》复习题(14)
《数值分析》复习题一、填空题1. 已知近似数 1.28y *=-，则其绝对误差限为 -0.005 ，相对误差限是 0.39% 。
2. 测量一支铅笔长是16cm ， 那么测量的绝对误差限是 0.5cm ，测量的相对误差限是3.125% 。
3. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 0.5cm ，相对误差限是 0.20% 。
4. 在数值计算中，当a1/(√(a+1) +√a ) 5. 在数值计算中，计算356-应变成3561+来计算。
6. 在数值计算中，计算1cos3-应变为2)5.1(sin 2⨯来计算。
7. 若543()2792100f x x x x x =-+-+，则12345[1,4,4,4,4,4]f =____2__________，123456[1,3,3,3,3,3,3]f = 0 。
8. 函数()f x 关于三个节点012,,x x x 的拉格朗日二次插值多项式为 f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)] ，9. 当()f x x =时，(,)n B f x =∑f （k/n ）Pk(x)=x 。
10. 代数式222236()66x xR x x x +=++ ______________,323222122()23x x R x x x ++=++ __________________. 11. 已知方程组123123123103127322115x x x x x x x x x --=-⎧⎪-++=⎨⎪+-=-⎩，那么收敛的Jacobi 迭代格式为：，收敛的G S -迭代格式为：收敛理由是方程组的系数矩阵为严格对角占优阵12. 已知线性方程组1233111193234184x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么收敛的Jacobi 迭代格式：收敛的G-S 迭代格式： 。
收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,13. 求积公式0()nn kk k I Af x ==∑至少有n 次代数精度的充要条件是__严格对角占优矩阵 __________________;当n 是偶数时，牛顿-柯特斯公式()0()()nn n kk k I b a Cf x ==-∑至少有___n+1________次代数精度；高斯求积公式()()()nbk k ak f x x dx A f x ρ=≈∑⎰至少有___2n+1_______次代数精度。
(完整word版)《数值分析》期末复习题(1)
《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).(A) 21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-62. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦ (B) 10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.104. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1，B. 2 ，C. 3，D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值，它有（ ）位有效数字；2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。
(完整word版)数值分析复习题及答案
数值分析复习题一、选择题1.3.142和3.141分别作为二的近似数具有（）和（）位有效数字A . 4 和 3B . 3 和 2C . 3 和 4D . 4 和 421 r 「2 11 f xdx『1 A f (-)-f (2) 2.已知求积公式6 3 6，则 A =() 11 1 2A .6B .32D . 33•通过点X 0,y 。
，x 1,y 1的拉格朗日插值基函数l ox ,h x 满足（）4.设求方程f X =o的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A .超线性B .平方C .线性D .三次X j 2x 2 x 3 = o “ 2% +2x 2 +3x 3 =35.用列主元消元法解线性方程组 厂X | — 3x 2 = 2 作第一次消元后得到的第3个方程 -X 2 X 3 =2 -2X 2 1.5X 3 二 3.5 C .—2x 2 x 3 = 3x 2 - o.5x 3 二、填空1.设-2.3149541...,取5位有效数字，则所得的近似值 x=f X 1,X 2 =2.设一阶差商 f X 2 - f X x 2 一為 1 -4 2-1 f X 1,X 2,X 3= ___________f X 2,X 3=f X 3 - f X 2X 3 -X 2().=-1.56-1 _ 5 4-2 2I 。
* )= 0, h(X 1 )=0Io (X 。
)= 0,)=1C . I o (X o )= 1 h (X 1 ) = 1Io(Xo ) = 1 h(X 1)=18、若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler )方法的局部截断误差为y=10 +丄 + 2 310、为了使计算 x-1 (x-1) (x-1)的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写12•—阶均差f x ),x1-13.已知n =3时，科茨系数=8，C/心=8，那么C 33 =18.设 X=(2,一3,7)T,则 ||X|1 厂3•设 X =(2, -3,-1),则 ||X ||2 二,l|X Id4 •求方程x 2-X-仁5" 的近似根，用迭代公式 x 「x425，取初始值x=1 ,那么x1二5 •解初始值问题 y 、f(x,y)y (x0)= y °近似解的梯形公式是yk 16、 一5 1丿，则A 的谱半径Q(A)= 7、设f(x) =3x +5, X k=kh, k =0,1,2，...,则f 1人,焉 1,X n.2】 =-塞德尔迭代都11•设 X=(2,3T T ,则 ||X|"l|X||2 =14.因为方程f x =^4 2 =0在区间1,2I 上满足，所以f x =0在区间内有根。
数值分析复习题及答案
数值分析复习题P56 16.1716.试就f （x ）=2x^3+5求商f （1，2，3，4），f （1，2，3，4，5）的值 解：根据n 阶差商定义递推展开式01102110),...,,(),...,,(),...,,(x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-原函数f （x ）=2x^3+5，；令0x =1，1x =2，2x =3，...3)3,2,1()4,3,2()4,3,2,1(x x f f f --==2(n=3)同理对f （12345）进行递推可计算得出等于017.给定函数f （x ）x^3—4x ，试建立关于节点Xi=i+1(i=0,1……，5)的差商表，并列出关于节点x0,x1,x2,x3的插值多项式p （x ） 解：因为x x x f i i x i 4)()5...,1,0(13-==+= 列出差商表如下： i x i y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 五阶差商 1 -3 2 0 3 3 15 15 6 4 48 33 9 1 5 105 57 12 1 0 619287151插值多项式：p(x)=-3+3(x-1)+6(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3) P94 2.3.42.试判断下列求积公式的代数进度：)(41)31(43)(1x f f dx x f +≈⎰解：当f （x ）=1时，左边=1，右边3/4+1/4=1，左边=右边当f （x ）=x 时，左边=1/2，右边3/4X1/3+1/4X1=1/2，左边=右边 当f （x ）=x^2时，左边=1/3，右边3/4x1/9+1/4x1=1/3，右边=右边当f （x ）=x^3时，左边=1/6，右边3/4x1/27+1/4x1=5/18，左边于右边不相等根据代数精度定义求积公式对于mx 次多项式成立，对1+m x不成立则该求积公式具有m次代数精度，所以该求积公式的代数精度为2 次。
西安理工大学研究生《数值分析》复习题
.。
x y
（4）设 I ( f )
则其 2 次 Lagrange 插值多项式为
.，2 次拟合多项式为 。
.。
1
0
1 e x dx ，则用梯形公式所得近似值为
y f ( x, y ), y (a) a xb
（5）求解常微分方程处值问题
6 4 2
b 的经验公式。 x
四、利用矩阵的三角分解法，解方程组 五 给定方程 x Lnx 2 0 。 （1）分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间； （2）构造求近似根 的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。
1 1 1 2 1 3 1 x1 1 x2 六 求解矛盾方程组 2 5 2 1 x3 2 3 1 5
ax 2 bx ，求证：用欧拉法以 h 为步长所得近似解 2
yn 的整体截断误差为 n y( xn ) yn
八 给定线性方程组 Ax b ，其中 A
1 ahxn 。 2
3 2 3 , b ，用迭代公式 x(k 1) x(k ) (b Ax(k ) ) 1 2 1
b 的经验公式。 x
ax 2 bx ，求证：用欧拉法以 h 为步长所得近似解 2
yn 的整体截断误差为 n y( xn ) yn
八 给定线性方程组 Ax b ，其中 A
1 ahxn 。 2
(k 0,1,2 )
3 2 3 , b ，用迭代公式 x( k 1) x( k ) (b Ax( k ) ) 1 2 1
x2
. 试在 M
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 近似数*0.14161x =作为x 的近似值，有 有效数字，误差限为 。
2. 设数据1x ,2x 的绝对误差限分别为0.02和0.005，那么两个数的乘积x 1x 2积的误差限
()12x x ε= 。
3. 已知三个节点x 0, x 1, x 2上函数值()0f x , ()1f x 和()2f x ，那么[]01,f x x = ；
[]012,,f x x x = ；设()321f x x x =+-，则均差[]0,1,2f = 。
4. 求定积分()b a
f x dx ⎰的近似值的梯形求积公式是()b
a
f x dx =⎰ 。
5. 方程组210
x y x y +=⎧⎨-=⎩的雅克比法迭代矩阵为 ；高斯-赛德尔法迭代矩阵
为 。
6. 设求积公式
()()()()1
01
00.516f
x d x f A f B f ≈++⎡⎤⎣⎦⎰具有最高次的代数精确度，则A= 。
二、
三、 求()f x =[]0,1上的一次最佳平方逼近多项式。
四、
五、 试确定常数A , B , C ，使求积公式()()()()2101x dx Af Bf Cf -≈-++⎰具有尽可能高的代
数精确度，指出它的代数精确度并判别是否为高斯型的。
六、 给定线性方程组1231013001011x a a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，
试求：(1) 确定a 的取值范围，使方程组对应的雅克比迭代法收敛。
(2) 当1a =时，用高斯列主元素法求线性方程组的解。
1. 近似数* 1.141x =作为π的近似值，有 有效数字，误差限为 。
2. 设数据1x ，2x 的绝对误差限分别为0.01和0.001，那么两个数的乘积12x x +积的误差限
()12x x ε+= 。
3. 已知三个节点x 0, x 1, x 2上函数值()0f x , ()1f x 和()2f x ，那么[]01,f x x = ；
[]012,,f x x x = ；设()321f x x x =+-，则均差[]0,1,2f = 。
4. 求定积分()b a
f x dx ⎰的近似值的中值定理求积公式是()b
a
f x dx =⎰ 。
5. 方程组210
x y x y +=⎧⎨-=⎩的雅克比法迭代矩阵为 ；高斯-赛德尔法迭代矩阵
为 。
6. 设求积公式()()()()1
01
00.513f
x d x f B f A f ≈++⎡⎤⎣⎦⎰具有最高次的代数精确度，则A= ，B= 。
二、
三、 求()f x =[]0,1上的一次最佳平方逼近多项式。
四、
五、
试确定常数A , B , C ，使求积公式()()2
11022x dx Af Bf Cf -⎛⎫⎛⎫
≈-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰
具有尽可能高的
代数精确度，指出它的代数精确度并判别是否为高斯型的。
六、
给定线性方程组1231012002012x a a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，
试求：(1) 确定a 的取值范围，使方程组对应的雅克比迭代法收敛。
(2) 当1a =时，用高斯列主元素法求线性方程组的解。