《高等数学》上册期末考试题附答案

2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A 卷)

一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分)

1.已知=++=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+)(,31122x f x x x x f 则 ____________.

2.设)(0x f '存在,则()()

=--+→h

h x f h x f h 000

lim

____________.

3.设)(x f 的原函数为

x

x

ln ,则()='⎰dx x f ____________. 4.向量{}4,3,4-=a

在向量{}1,2,2=b 上的投影是____________.

5. )1(1

)(+=

x x

x f 按的幂展开到n 阶的泰勒公式是_________ . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.设()x f 可导且()2

1

0=

'x f ，当0→∆x 时，()x f 在0x 处的微分dy 与x ∆比较是（ ）无穷小.

(A ) 等价 (B ) 同阶 (C ) 低阶 (D ) 高阶

2．已知c bx ax x y +++=3323,在1-=x 处取得极大值,点(0,3)是拐点, 则（ ）.

3,0,1)

(3

,1,0)(==-==-==c b a B c b a A 均错以上)

( 0,1,3)

(D c b a C =-==

3．设)(x f 在[-5，5]上连续，则下列积分正确的是（ ）.

[][]0)()()(0)()()(5

55

5=--

=-+⎰⎰--dx x f x f B dx x f x f A

[][]0)()()

(0

)()()

(5

5

0=--

=-+

⎰⎰dx x f x f D dx x f x f C

4. 设直线L 为

1

2241z

y x =-+=-,平面0224:=-+-z y x π 则( ). 上；在；平行于ππL L A )

B ()

(.(D)

;)(斜交与垂直于ππL L C

5. 若0532<-b a ,则方程043235=++-c bx ax x ( ) (A ) 无实根; (B ) 有五个不同的实根.

(C ) 有三个不同的实根; (D ) 有惟一实根;

三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分)

1. .,1

ln 2sec 22dx dy e e y x x

x

求+-=

2．设)(x y y =是由方程)ln()(2y x y x x y --=-确定的隐函数，求d y .

3．求3

20

)21ln(lim

x

dt

t x

x ⎰

+→.

4. 求由参数方程()

⎩⎨⎧=+=t y t x arctan 1ln 2所确定的函数的二阶导数.22dx y

d

四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1.dx x x ⎰-2

1

ln . 2.⎰-dx x

x 4

2 . 3.()

.ln 11 1

2

dx x x e

⎰

-

五、(7分)设,ln 1)(,1x x

x f b a +=

<<求证：)(41

)()(0a b a f b f -≤-<.

六、(7分)已知直线L 在平面01:=-++z y x π上,并且与直线⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-=+=t z t y t x L 11

:1

垂直相交,求L 的方程.

七、(7分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .

(1) 求D 的面积A .

(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所成的旋转体的体积V .

2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A 卷)答案

一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1．1)(2+=x x f ； 2. )(20x f '; 3.

C x

x

+-2

ln 1; 4. 2; 5.[]

之间与介于1,)1()1()1()1()1(1112

12-+-++++++++-=+++x x x x x x n n n n

ξξ

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1. B 2. A 3. B 4. C 5. D

三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分)

1. 解：()

'⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-'='1ln 2sec 22x

x x e e y 2分 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+--=122212tan 2sec 2ln 222x

x x

x

x

e e 6分 1

1

2tan 2sec 2ln 22+-

=x

x x x e 7分 2. 解：[]1)ln()(2+--=-y x dy dx dx dy 5分 ()()

dx y x y x dy -+-+=

ln 3ln 2 7分 3. 解：2

203

20

3)

21ln(lim )21ln(lim

x x x dt

t x x x +=+→→⎰ 4分 ⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛

+==→→x

x x x x x x 6214lim

32lim 2022

032= 7分 4. 解： t t t t dx dy 211211

2

2=++= 4分

32

2

2

224112121

t t t t t

dx y d +-=+⋅-= 7分