高等数学复习题库和答案.
高等数学考试题库和答案
高等数学考试题库和答案一、选择题1. 极限的定义是()。
A. 函数在某点的增量B. 函数在某点的导数C. 函数在某点的值D. 函数在某点的无穷小变化答案:D2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4在x = 1处的导数是()。
A. 6B. 2C. 5D. 4答案:C3. 曲线y = x^3 - 3x + 1在x = 1处的切线斜率是()。
A. 1B. -1C. 3D. -3答案:A4. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是()。
A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案:B5. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是()。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案:A二、填空题6. 函数f(x) = 2x + 3在x = 2处的值是_________。
答案:77. 极限lim(x→0) (1 + x)^(1/x)的值是_________。
答案:e8. 函数f(x) = x^2的二阶导数是_________。
答案:29. 曲线y = e^x在x = 0处的切线方程是_________。
答案:y = x + 110. 定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx的值是_________。
答案:1三、解答题11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5在区间[0, 3]上的极值点。
解:首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0,解得x = 1, 3。
检查二阶导数f''(x) = 6x - 12,f''(1) = -6 < 0,所以x = 1是极大值点;f''(3) = 6 > 0,所以x = 3是极小值点。
12. 求曲线y = ln(x)绕x轴旋转一周所形成的立体的体积。
解:使用圆盘法,体积V = ∫(1 to e) π[ln(x)]^2 dx。
高等数学考试题库及答案
高等数学考试题库及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 函数y=x^2+2x+1的导数是:A. 2x+2B. 2x+1C. 2xD. 2答案:A2. 以下哪个选项是无穷小量:A. 0B. 1C. ∞D. ∃答案:A3. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是:A. 0B. 1C. -1D. ∞答案:B4. 以下哪个函数是奇函数:A. y=x^2B. y=x^3C. y=xD. y=1/x答案:B5. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是:A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案:A6. 以下哪个选项是二阶导数:A. dy/dxB. d^2y/dx^2C. d^2y/dxD. d^3y/dx^3答案:B7. 函数y=e^x的不定积分是:A. e^xB. e^x + CC. ln(x) + CD. x^2 + C答案:B8. 以下哪个选项是二重积分:A. ∫∫f(x,y) dxdyB. ∫f(x) dxC. ∫∫f(x) dxD. ∫f(x,y) dydx答案:A9. 以下哪个选项是泰勒级数展开:A. Σ(-1)^n x^(2n)B. Σ(-1)^n x^nC. Σx^n / n!D. Σx^(2n+1) / (2n+1)!答案:C10. 以下哪个选项是定积分的性质:A. ∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to b) g(x) dxB. ∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dxC. ∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dxD. ∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to b) f(-x) dx答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 函数y=x^3的导数是________。
答案:3x^22. 极限lim(x→∞) (1/x)等于________。
高数复习题目和答案
高数复习题目和答案# 高数复习题目和答案题目一:极限的概念与计算题目:计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案:根据洛必达法则,因为分子分母同时趋向于0,我们可以对分子分母同时求导,得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。
题目二:导数的应用题目:设函数 \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\),求其在 \(x = 1\) 处的切线斜率。
答案:首先求导数 \(f'(x) = 6x + 2\),然后将 \(x = 1\) 代入得到切线斜率 \(f'(1) = 6(1) + 2 = 8\)。
题目三:不定积分的计算题目:计算不定积分 \(\int x^2 + 3x + 2 \, dx\)。
答案:利用幂函数的积分公式,得到 \(\int x^2 \, dx =\frac{1}{3}x^3\),\(\int 3x \, dx = \frac{3}{2}x^2\),\(\int 2 \, dx = 2x\)。
将它们相加,得到 \(\frac{1}{3}x^3 +\frac{3}{2}x^2 + 2x + C\)。
题目四:定积分的应用题目:求定积分 \(\int_{0}^{1} (2x + 1) \, dx\)。
答案:先计算不定积分,得到 \(\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x +C\)。
然后计算定积分,得到 \(\int_{0}^{1} (2x + 1) \, dx =[x^2 + x]_{0}^{1} = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2\)。
题目五:级数的收敛性判断题目:判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。
答案:使用比较判别法,由于 \(\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\),且 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = 1\),所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 收敛。
高等数学复习题(含答案)
高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 (一)函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ,(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义,必须满足两种情况,偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正,可建立不等式组,并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知,要使函数有定义,必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负;反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组,并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x即 30<≤x , 因此,所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(,求)(tan x f 的定义域. 解:令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈(k π, k π+4π), k ∈Z ,)(tan x f 的定义域为 x ∈(k π, k π+4π), k ∈Z .3.设)(x f =x-11,求)]([x f f ,{})]([x f f f .解:)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限:(1)123lim 21-+-→x x x x , (2)652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解:原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134lim xx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.(抓大头)= 1-.(恒等变换之后“能代就代”)(3)xx x -+-→222lim 2, (4)330sin tan lim x x x →, 解:原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解:0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. (恒等变换之后“能代就代”) ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.(等价)(5))100sin (lim +∞→x x x , (6) 2121lim()11x x x→--- ,解:原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解: 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 (无穷小的性质) 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++.(7)215lim+-+∞→x x x .解 : 原式=52115lim=+-+∞→xxx .(抓大头) (8)11lim 21-+→x x x .解:因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ,求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决.因为011lim 21=+-→x x x ,所以当1→x 时,112+-x x 是无穷小量,因而它的倒数是无穷大量,即 ∞=-+→11lim 21x x x . (9)limx解:不能直接运用极限运算法则,因为当x →+∞时分子,极限不存在,但sin x 是有界函数,即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ,因此当+∞→x 时,31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理,即得lim0x =.(10)203cos cos limxxx x -→ . 解:分子先用和差化积公式变形,然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x xx x x x .(也可用洛必达法则)(11)xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-,解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=.(12)30tan sin limx x xx →-.解 :x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ 20sin (1cos )1lim cos x x x x x x→-=⋅⋅ =222sin 2limx xx →=21 ( 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ) .(等价替换) 5.求下列极限(1)201cot limx x x x -→ (2))e e ln()3ln(cos lim33--+→x x x x (3))]1ln(11[lim 20x x x x +-→ (4))ln (lim 0x x n x ⋅+→ (5) xxx cos 1lim ++∞→解 :(1)由于0→x 时,1tan cot →=x x x x ,故原极限为0型,用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ (分母等价无穷小代换)20cos sin cos lim3x x x x xx →--=01sin lim 3x x x→-=31-=.(2) 此极限为∞∞,可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x 3e e lim e 1lim 3cos 333--⋅⋅=++→→x x x x xxx e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . (3) 所求极限为∞-∞型 ,不能直接用洛必达法则,通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .(4)所求极限为∞⋅0型,得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ (∞∞型) =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nx n xnxx nx (5)此极限为∞∞型,用洛必达法则,得 1sin 1lim cos lim x x x x x x -=++∞→+∞→不存在,因此洛必达法则失效! 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x .6.求下列函数的极限:(1)42lim 22--→x x x , (2)()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时,)(x f 在0=x 的极限存在. 解: (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限,所以极限不存在.(2)由于函数在分段点0=x 处,两边的表达式不同,因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限.于是,有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→0000lim )1sin (lim )1sin (lim )(lim ,1)1(l i m )(l i m 2=+=++→→x x f x x , 为使)(lim 0x f x →存在,必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→, 因此 ,当a =1 时, )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1.7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x , 在点0=x 处的连续性.解:由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同,因此,一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限.因而有01sin lim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x , 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x , 由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续.8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点,并判断其类型:解:由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义,故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim)(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点. 综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.(二)一元函数微分学1.判断:(1)若曲线y =)(x f 处处有切线,则y =)(x f 必处处可导.答:命题错误. 如:x y 22=处处有切线,但在0=x 处不可导.(2)若A ax a f x f ax =--→)()(lim(A 为常数),试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答:命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ,)(x g 在点0x 处都不可导,则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答:命题不成立.如:)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ,)(x g 在x = 0 处均不可导,但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.(4)若)(x f 在点0x 处可导,)(x g 在点0x 处不可导,则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答:命题成立.原因:若)(x f +)(x g 在0x 处可导,由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导,矛盾.(5))('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答:命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导,且结果为0.(6)设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义,且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆,其中b a ,为常数,下列命题哪个正确?①()x f 在点0x 处可导,且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微,且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 ( ||x ∆很小时). 答:①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =,利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解:xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=,,xx x f 1ln )(0<≥x x ,的导数.解: 当0>x 时,xx f +='11)( ,当0<x 时,1)(='x f ,当0=x 时,xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→, 所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x , 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f , 因此 1)0(='f ,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f .0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=,求dxdy解:)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解:两端对x 求导,得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ,222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+,整理得 x y y x y -='+)( ,故 xy xy y +-=', 上式两端再对x 求导,得22)()())(1())(1(x y x y y x y y x y x y y y x y x y y x y y y ++-'+'--'+-'=+-+'-+-'=''=2)(22x y yy x +-',将 xy xy y +-='代入上式,得2)(22x y y x y xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解:两边取对数:y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导:]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=,求)('x f .解:令xx y e =, 两边取对数得:x y x ln e ln =, 两边关于x 求导数得:xx y y x xe ln e '1+⋅=⋅)e ln e ('xx y y x x+=即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解:xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy=)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.xx y e 4+=, 求y)4(.解:xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩,, 求 22d d x y . 解:d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ,22d d d cos d cos d cos 1()()()d d d d 1sin d 1sin d 1sin d y y t t t t xx x x t t t x t t''===⋅=+++ 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点(1,1)处切线的斜率. 解:由题意知:⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy,曲线在点(1,1)处切线的斜率为3 12. 求函数x x y tan ln e =的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分, 有x x xx x x y xx x d ]sec tan 1e e [d )e (d 2tan ln tan ln tan ln ⋅+='= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分,得 x x xx x x y tan ln tan ln tan ln e d d e )e(d d +==)tan (ln d e d e tan ln tan ln x x x x x +=)tan d(tan 1e d e tan ln tan ln x x x x x x ⋅+= x xx x x x x d cos 1tan 1e d e 2tan ln tan ln ⋅+= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时,x xe e >.证明:令x x f x e e )(-=,易见()f x 在),(+∞-∞内连续,且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时,e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数,即()(1)0.f x f >=当1>x 时,e e )(-='xx f 0>,可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数,即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x x x xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解:函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y , 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知,单调减区间为)3,(-∞,单调增区间为),3(+∞,极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别,此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值, ,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值,最大值与最小值.解:x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4,极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知:)(x f 最大值为200, 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解:函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞,),21(+∞-两部分.当∈x )21,(--∞时,0<''y , 当∈x ),21(+∞-时,0>''y , 曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解:函数的定义域 ),(+∞-∞,,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+='', 令 ,0=''y 得1±=y , 列表由此可知,上凹区间(1,1)-,下凹区间(,1)(1,)-∞-+∞,曲线的拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线 (1)x x y ln = ,(2)1222-+-=x x x y ,(3)()()213--+=x x x y .解 (1)所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ,可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim0, 可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.(2) 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x , +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x , 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线(在1=x 的两侧()f x 的趋向不同).又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim 2,[]b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2, 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.(3)()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为:2,1,0===x x y .19.求解下列各题:(1)设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=, 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量,求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解:边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. (2)设p 为某产品的价格,x 为产品的需求量,且有801.0=+x p , 问p 为何值时,需求弹性大或需求弹性小.解:由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时,需求弹性小.(三)一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中,为何要求0≠k ?答:因为0=k 时,C x x x kf =⎰=⎰d 0d )((任意常数),而不是0. 2. 思考下列问题:(1) 若C x x x f x ++=⎰sin 2d )(,则)(x f 为何? 答:x x x f x f x cos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ,问)(x f 为何? 答:233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ,则dx x f )('⎰为何?答:C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分:(1))sin d(sin 5x x ⎰, (2)x x d cos 3⎰, (3)⎰+x xx x d )sin (,(4)x xe x d 2⎰, (5)⎰-21d xx x , (6)⎰-41d xx x ,(7)⎰x x x d 2ln , (8)x x d )32(2+⎰, (9)⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, (10)⎰+x x x d arctan )1(12, (11)⎰+22d x x , (12)⎰-24d x x .解:(1)C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. (2)x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. (3)x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. (4)C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2.(5)C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.(6)C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .(7(8)C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.(9)C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12.(10)C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.(11)C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. (12)⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112xx ⎰=C x +2arcsin .4. 计算下列不定积分:(1)⎰++x xd 111,(2)x x d 162-⎰,(3)⎰+232)4(d x x ,(4)⎰-x xx d 122.解:(1) 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. (2)令)2π2π(sin 4<<-=t t x ,则t x cos 4162=-,t t x d cos 4d =, 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形,得81641642cos sin 22sin 22xx x x t t t -=-⋅⋅==, 故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. (2)令)2π2π(tan 2<<-=t t x ,则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,x于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形,得24sin xx t +=故C x x x x ++=+⎰223242)4(d .(4) 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x xx +--212arcsin 21. 5.计算下列积分:(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e4,(4)⎰x x xd 4sin e5, (5)⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解:(1))2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .(2)⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰-=⎰+-2241)(d 2arctan xx x x =)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.(3)x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. x221x -1x t(4)5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x xxd 4cose 544sin e5155⎰-=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x xx xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并,得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. (5)⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin =C xx x +-100100cos 10000100sin . (6)⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅-=x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 (1)x x xd e )1(2⎰+ , (2) 3s e c d x x ⎰. 解:(1) 选 12+=x u ,=v d x e x d , =v xe , x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2x e x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =, =v d x e x d , 则 x u d d =,=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e .原式=xe =+--)e e (21C x x x )12(2++x x Cx+e (12C C =),为了简便起见,所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来,其解题步骤如下:⎰x xe dx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e . (2)3secd x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec =sec tan x x -⎰x x d sec3+x x tan sec ln +,式中出现了“循环”,即再出现了⎰x x d sec 3移至左端,整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C . 7. 利用定积分的估值公式,估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解:先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值,由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小,知 11,102427max min =-=f f , 由定积分的估值公式,得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x . 8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1,1]上的平均值.解:平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ,则)(x f '=?解:)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t x xx F d 1sin )(2 , 求 )(x F '.解:)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+.11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解:此极限是“0”型未定型,由洛必达法则,得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分(1)⎰-20d |1|x x , (2)⎰-122d ||x x x , (3)⎰π20d |sin |x x .解:(1)⎰-2d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.(2)⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x=1402444x x +--=4+41741=.(3)⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分(1)⎰--2π2π3d cos cos x x x ,(2)⎰--112d 1x x .解:(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 (1)⎰+-4d 11x xx, (2)⎰4π4d tan sec x x x .解:(1)利用换元积分法,注意在换元时必须同时换限.令 x t =,x 2t = ,t t x d 2d = ,当0=x 时,0=t ,当4=x 时,2=t ,于是⎰+-40d 11x x x=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t tt [].3ln 44021ln 442-=+--=tt t(2)⎰4π4d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x .15. 计算下列定积分:(1)x x xd e )15(405⎰+, (2)x x d )12ln(e21⎰+,(3)x x x d πcos e 10π⎰, (4)x x x x x d )e 3(133⎰++.解:(1)x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x x x =5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x xd πcose 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-= =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰ x x x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-==-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰ 移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. (4)x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算(1)⎰1d arctan x x , (2)x x x d ln 2e e1⎰.解:(1)⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π .(2) 由于在[1,e1]上0ln ≤x ;在[2e ,1]上0ln ≥x ,所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-(412e 1+212e 1)+(4e -414e +41) =21-432e 1+434e . 17.判别下列广义积分的敛散性,如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2) ⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d xx . 解:(1) 因为积分区间为无穷区间,所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21, 故所给广义积分收敛,且其值为21. (2)⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+xx x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x 发散. (3)x xd e1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解:如图,由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点(1,1). 解一 取x 为积分变量,]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x x x x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0,1],32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然,解法二优于解法一.因此作题时,要先画图,然后根据图形选择适当的积分变量,尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线 22xy =与直线42=-y x . 解:先画图,如图所示,并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ,求出交点为(2,1-),(8,2). 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-,2], 在区间[1-,2]上任取一子区间[y ,y +y d ],则面积微元 A d =y y y d )242(2-+,则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = (32324y y y -+)21-=9.解二 取x 为积分变量,x 的变化区间 为[0,8],由图知,若在此区间上任取子区间, 需分成[0,2],[2,8]两部分完成.在区间[0,2]上任取一子区间[x ,x +x d ], 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2,8]上任取一子区间[x ,x +x d ],2)2-y则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得=A 1+A 2 =⎰20d 22x x +x x x d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然,解法一优于解法二.因此作题时,要先画图,然后根据图形选择适当的积分变量,尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解:如右图,所求体积⎰+=122d )1(πx x V⎰++=1024d )12(πx x x=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证x x C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解,并说明是该方程的通解. 证明: x x C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ,故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关,∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立,即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同(个数均为2)的独立任意常数,故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:(1)22d d y x x y =, (2)21d d x yx y -=, (3)y x x x y )1(d d 2++=,且e )0(=y . 解:(1)分离变量得x x yyd d 22=,(0≠y ) 两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 ,x求积分得 3313Cx y +=-,从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.(特别注意,此解不能并入通解) (2)分离变量得21d d xxy y -=,(0≠y ) 两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=,即 )e (e e e 11arcsin arcsin Cx x CC C y ±==±=,从而通解为 x C y arcsin e =,验证0=y 也是方程的解. (3)分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,(0≠y ) 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12 求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=,验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ,得e =C , 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程(1)x b ay y sin '=+(其中b a ,为常数), (2)21d d yx x y +=. 解:(1)因a x P =)(, x b x Q s i n)(=, 故通解为 ⎰⎰⋅+⎰=-]d e sin [e d d x x b C y xa x a⎰⋅+=-)d e sin (e x x b C ax ax)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程,其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为:⎰⋅⎰⋅+⎰=---]d e [e d )1(2d )1(y y C x yy⎰-⋅+=]d e [e 2y y C y y)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解,要熟练掌握常数变易法! 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解:这是可以分离变量的微分方程,将方程分离变量,有x x y y y d 11d 12-=-, 两边积分,得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11,求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-,1222)1ln(1ln C x y +-=-, 1222e )1(1C x y -=-,222)1(e 11-±=-x y C ,记 0e12≠=±C C ,得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时,1±=y ,它们也是原方程的解,因此,式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数,所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y (C 为任意常数). 代入初始条件 20==x y得 3=C ,所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程(1)xy yy +=',(2) x xy y x cos e 22=-'的通解.(1)解一 原方程可化为 1d d +=xyx y x y ,令 x yu =,则 1d d +=+u u x u x u ,即 x x u uu d d 12-=+ ,两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2, 积分得C x u u ln ln ln 1-=-,将xy u =代入原方程,整理得原方程的通解为 yx C y e = (C 为任意常数).解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程,用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ,得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解,代入原方程,化简得 1)(='y y C ,1ln)(C yy C =,所以原方程的通解为 1ln C y y x=,即yxC ye = (C 为任意常数).(2)解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量,得xy x y 2d d =,x x yy d 2d =, 两边积分,得x x y y⎰⎰=d 2d ,C x y +=2ln ,)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=,2e x C y =,用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程,得 x x C x x cos e e )(22=',x x C cos )(=',C x x x x C +==⎰sin d cos )(,故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += (C 为任意常数). 解二 这里x x P 2)(-=,x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d e cos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +(C 为任意常数).6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解:方程中不显含未知函数y ,令P y =',x P y d d ='',代入原方程,得 1d d 23=+P x xP x, 311d d xP x x P =+,这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程,代入常数变易法的通解公式,所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx x x +⎰⎰⎰-) =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-)=13d 1(1C x x x x +⋅⎰)=11(1C x x +-)=x C x 121+-, 由此x y d d =x Cx121+-,⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++, 因此,原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ (21,C C 为任意常数). 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ,11-='=x y 的特解.解:方程不显含x ,令 P y =',y P Py d d ='',则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP , 当 0≠P 时y y P P d 12d -=,于是 21)1(-=y C P .根据 21==x y,11-='=x y ,知12-='=y y 代入上式,得 11-=C ,从而得到x y yd )1(d 2-=-,积分得 211C x y +=-,再由21==x y ,求得 02=C ,于是当0≠P 时,原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11, 当0=P 时,得C y =(常数),显然这个解也满足方程,这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11,即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解:方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量,得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解:(1)0'2''=+-y y y , (2)08'=+y y . 解:(1)特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为x x C C y e )(21+=.(2)特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,(2) x y y sin 2''=+,1)0(',1)0(==y y . 解:(1)先解06'2''=-+y y y ,。
高等数学试题库及答案doc
高等数学试题库及答案doc一、选择题1. 下列函数中,哪一个是偶函数?A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案:A2. 曲线 y = x^2 在点 (1,1) 处的切线斜率是多少?A. 0B. 1C. 2D. -2答案:C二、填空题1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是 __________。
答案:12. 函数 f(x) = x + 1 在 x = 2 处的导数是 __________。
答案:1三、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x 的导数。
解:f'(x) = 3x^2 - 4x + 32. 计算定积分∫(0 到 1) x^2 dx。
解:∫(0 到 1) x^2 dx = [1/3 * x^3] (从0到1) = 1/3四、证明题1. 证明函数 f(x) = e^x 是严格单调递增的。
证明:设任意 x1 < x2,则 f(x1) - f(x2) = e^x1 - e^x2。
由于e^x 是严格单调递增的,所以当 x1 < x2 时,e^x1 < e^x2,从而f(x1) < f(x2)。
因此,函数 f(x) 是严格单调递增的。
五、应用题1. 一个物体从静止开始,以初速度为零的匀加速直线运动,其加速度为 2 m/s²。
求物体在前 3 秒内的位移。
解:根据匀加速直线运动的位移公式 s = 1/2 * a * t²,代入 a = 2 m/s²和 t = 3 s,得到 s = 1/2 * 2 * 3² = 9 m。
六、论述题1. 论述微积分在物理学中的应用。
答案:微积分在物理学中有广泛的应用,例如在力学中计算物体的运动轨迹、在电磁学中分析电场和磁场的变化、在热力学中研究温度分布等。
微积分的基本原理—极限和导数,为物理学家提供了一种强大的工具,用以描述和预测物理现象的变化趋势。
高数复习题答案
高数复习题答案一、选择题1. 若函数f(x)在区间I上连续,则下列说法正确的是:A. f(x)在I上必有界B. f(x)在I上不一定有界C. f(x)在I上必有极值D. f(x)在I上不一定有极值答案:A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为:A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案:B3. 若函数f(x)在x=a处可导,则下列说法正确的是:A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不一定连续C. f(x)在x=a处不可导D. f(x)在x=a处可导答案:D二、填空题1. 函数f(x)=x^2在x=1处的导数为______。
答案:22. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率为______。
答案:-23. 函数f(x)=e^x的不定积分为______。
答案:e^x + C三、计算题1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (2x^2 + 5x - 3)。
答案:1/22. 求函数f(x)=ln(x)的导数。
答案:f'(x) = 1/x3. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案:1/3四、证明题1. 证明:若函数f(x)在区间I上连续,且f(a)=f(b),其中a<b,则存在c∈(a,b)使得f'(c)=0。
答案:根据罗尔定理,由于f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),因此存在c∈(a,b)使得f'(c)=0。
2. 证明:若函数f(x)在x=a处可导,则f(x)在x=a处连续。
答案:由于f(x)在x=a处可导,根据导数的定义,f'(a)=lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]/h存在,这意味着lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]=0,即f(x)在x=a处连续。
五、应用题1. 某工厂生产的产品成本函数为C(x)=0.01x^2+2x+100,其中x为生产量,求生产量为100时的边际成本。
高等数学复习题(附答案)
高等数学复习题一、选择题 1、已知函数)2arctan(2)(-+-=x x x f ,则函数)(x f 的定义域为 ( )①)2,1(-, ②]3,1(-, ③]2,1[, ④]2,(-∞.2、已知函数)(x f 的定义域为[0,1],则函数)2(x f -的定义域为 ( ) ①]2,(-∞, ②(1,2), ③[0,1], ④[1,2].3、已知函数|1|arcsin )(-=x x f ,则函数)(x f 的定义域为 ( ) ①]1,1[-, ②]1,1(-, ③)2,0(, ④]2,0[.4、=∞→xx x πsinlim ( )① 1 ② π ③不存在 ④ 05、下列函数中为奇函数的是 ( )①)1(log 2++x x a , ②2x x e e -+, ③x cos , ④x2.6、下列函数中是相同函数的是 ( ) ① 1)(,)(==x g xxx f ② 33341)(,)(-=-=x x x g x x x f ③ 2)()(,)(x x g x x f == ④ x x g x x f lg 2)(,lg )(2==7、=→xxx 3sin lim0 ( )①1 ② 2 ③ 3 ④ ∞ 8、()=+→xx x 121lim ( )①2-e , ②2e , ③2, ④+∞.9、=→xx x arcsin 0lim( )①0, ②1, ③2, ④不存在.10、=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x 21lim ( )①2-e , ②2e , ③2, ④+∞.11、=++--∞→103422lim 22x x x x x ( ) ①0, ②1, ③2, ④不存在.12、=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 2lim ( )①2-e , ②2e , ③2, ④+∞.13、=∞→xx x arctan lim( )① 0, ② 1, ③ 2, ④不存在. 14、()=+→xx x 1021lim ( )①2-e , ②2e , ③2, ④+∞.15、当0→x 时,下列函数为无穷小量的是 ( ) ①x x sin ②x x 1sin 2③)1ln(1+x x ④x11+ 16、当x x 2tan 0时,与→等价的无穷小量是 ( ) ①x -, ②x , ③2x , ④2x .17、下列函数在指定变化趋势下是无穷小量的是 ( ) ①1,ln →x x , ②+→0,ln x x , ③∞→x e x,, ④+∞→x e x,. 18、下列函数在指定变化趋势下不是无穷小量的是 ( )①1,ln →x x , ②0,cos →x x , ③∞→x x ,sin 1, ④+∞→-x ex,. 19、当x x 2sin 0时,与→等价的无穷小量是 ( ) ①x -, ②x , ③2x , ④2x .20、点0=x 是函数⎩⎨⎧≥-<=0,10,)(x e x x x f x 的 ( )①连续点 ②可去间断点③第二类间断点 ④第一类间断点,但不是可去间断点 21、函数)(x f y =由参数方程0sin cos ≠⎩⎨⎧==a ta y ta x ,则 =dx y d ( )①t sin - ② t tan ③ t cot - ④t sec 22、设==dy ey x则, ( )①dx ex x, ②dx e x, ③xdx e x 2, ④xdx e x23、设==-dy ey x则,1 ( )①dx e x1-, ②dx e x x 121--, ③dx e xx 121-, ④dx e x x 11--24、设,sin 2x y= 则=dy ( )① x x cos sin 2 ② xdx cos 2 ③ xdx sin 2 ④xdx 2sin25、设函数||)(x x f = 则在0=x 点处 ( ) ①不连续, ②连续但左右导数均不存在, ③连续且可导, ④连续但不可导.26、设函数||cos )(x x f = 则在0=x 点处 ( ) ①不连续, ②连续但左右导数均不存在, ③连续且可导, ④连续但不可导. 27、设函数x x f =)(,则)(x f 在点0=x 处 ( ) ①可导 ②不连续③连续,但不可导 ④可微28、设21,1,()31,1x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩,则f (x )在x =1处 ………………………………( )①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 29、函数x y sin =,则 =)12(y( )①x cos ② x cos - ③ x sin ④x sin - 30、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k ( )①3 ②1 ③15 ④ 0 31、设'0000(2)()()limh f x h f x f x h→+-=存在,则 ………………………..….. ( )①'0()f x ②'0()f x h - ③'02()f x h - ④'02()f x32.设函数3)(x x f = , 则在0=x 是函数的 ( ) ① 驻点与极值点; ②不是驻点与极值点; ③极值点; ④驻点. 33、设函数()f x 区间[0,1]满足罗尔定理的是 ( ) ①|5.0|)(-=x x f , ②⎩⎨⎧≥-<=5.0225.02)(x x x xx f , ③)sin()(x x f π=, ④ x x f =)(34、设函数()f x 在0x 的()00f x '=,则()f x 在0x ( ) ① 一定取极大值 ② 一定 取极小值 ③ 一定 不取极值 ④ 极值情况不确定35、设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数,且0)(0='x f ,0)(0<''x f ,则)(0x f 为① 最小值 ②极小值 ③最大值 ④极大值36、⎰='])([dx x F d ( ) ①dx x F )(', ②)(x F , ③dx x F )(, ④. )(x F '37、设x sin 是)(x f 的一个原函数,则⎰=dx x f )( ( )①C x +sin ② C x +cos ③C x x ++cos sin ④C x x +sin 38、⎰=-dx xx 212 ( )①C x +arcsin , ②C x +-21, ③C x +--212, ④C x +2arcsin 2139、⎰=+dx x x212 ( )①C x +arctan , ②C x +2arctan 21, ③C x +2, ④C x ++)1ln(240、下列函数中,为)(222x xe e y --=的原函数的是………………………….( )① x xe e22-- ②)(2122x x e e -- ③x x e e 22-+ ④)(2122x x e e -+41、dx x x e⎰+1)ln 1(1= ( )① 12ln + ②C +2ln ③2 ④2ln42、=⎰badaddx x f )( ( )① )()(a f b f - ②)(a f - ③ f(b ) ④ 0 43、=⎰21sin xdx x dx d ( )① x sin x ②0 ③2 ④344、=⎰badbddx x f )( ( )① )()(a f b f -, ② f(b ), ③)(a f -, ④ 0.二、填空题1、 若)(x f 的定义域为)0,(-∞,则)(ln x f 的定义域为 ;2、 已知函数291)(xx f -=,则函数)(x f 的定义域为 。
高等数学复习题及答案
高等数学复习题及答案一、选择题(每题2分,共10题)1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为:A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. x+1答案:A2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值为:A. 0B. 1C. πD. 2答案:B3. 函数f(x)=e^x的不定积分为:A. e^x+CB. xe^x+CC. 1/e^x+CD. ln(e^x)+C答案:A4. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率为:A. 4C. 0D. 2答案:C5. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为:A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案:B6. 函数f(x)=ln(x)的定义域为:A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案:B7. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值为:A. 0B. 4C. -4D. 8答案:A8. 函数f(x)=x^3的二阶导数为:B. 3xC. 6x^2D. 6x答案:C9. 函数f(x)=x^2+2x+1的值域为:A. [0, +∞)B. (-∞, +∞)C. [1, +∞)D. (1, +∞)答案:C10. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为:A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案:B二、填空题(每题3分,共5题)1. 函数f(x)=x^3的一阶导数为________。
答案:3x^22. 极限lim(x→∞)(1/x)的值为________。
答案:03. 函数f(x)=e^x的原函数为________。
答案:e^x+C4. 曲线y=x^2-2x+1在x=1处的切线方程为________。
答案:y=2x-15. 函数f(x)=x^2-4x+4的顶点坐标为________。
答案:(2, 0)三、解答题(每题10分,共2题)1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点及其对应的极值。
高等数学复习题库和答案
第五套题 (上学期)
一、是非判断题
1、 为( )上的任意函数,则 必是奇函数。 [ ]
2、若 在x0处不可导,则在x0处必不连续。 [ ]
3、若 [ ]
4、若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该
曲线方程为__________ 。
5、 f(x)在[a,b]上可积,则g(x) )在[a,b]上不可积,则f(x)+g(x)在[a,b]上一定不可积。[ ]
8、设有非零向量 ,若 ,则必有
(A)、 = + (B)、 =
(C)、 (D)、
9、下列极限存在的是( )
(A)、 (B)、 (C)、 (D)、
第四套题(上学期)
单项选择题
1、下面四个函数中,与y=|x|不同的是
(A) (B) (C) (D)
2设 在 处可导,则 。
(A) (B)
(C) (D)
3、若 .
(A)
(B)
(C) ( 为 中任一点)
(D)、 ( , 为 中任一点)
三.下列函数是由那些简单初等函数复合而成。
1、 y=
2、 y=
二、填空题
1、若在区间上 ,则F(x)叫做 在该区间上的一个 , 的
所有原函数叫做 在该区间上的__________。
2、 定积分的几何意义知 = , = 。
3、 f(x,y)= ,则 。 。
5、由二重积分的几何意义得到 = .
6、使用Mathematica软件作函数y=x3 图象的输入格式是 ;
10.使用Mathematica软件写出x 0时 求x3极限的输入格式是 ;
大学高数必考试题及答案
大学高数必考试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设函数f(x)在点x=a处可导,则下列说法正确的是:A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处的导数为0D. f(x)在x=a处的导数不存在答案:A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是:A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案:B3. 以下哪个选项不是微分方程:A. dy/dx = yB. d^2y/dx^2 + y = 0C. ∫y dx = x^2 + CD. dy/dx + y = x答案:C4. 若级数∑(1/n^2)收敛,则下列级数中也收敛的是:A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^3)C. ∑(1/n^1.5)D. ∑(1/n^0.5)答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x)=x^3-3x+2,则f'(x)=______。
答案:3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为______。
答案:23. 函数y=ln(x)的不定积分为______。
答案:xln(x)-x+C4. 微分方程dy/dx+2y=x的通解为______。
答案:y=(1/3)e^(-2x)(x+Ce^(2x))三、解答题(每题15分,共30分)1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。
答案:首先求导数f'(x)=2x-4,令f'(x)=0,解得x=2。
在区间[1,3]上,f'(x)在x=2处由负变正,因此x=2是极小值点,f(2)=3-4+3=2。
检查端点值,f(1)=1^2-4+3=0,f(3)=3^2-4*3+3=0。
因此,最小值为0,最大值为2。
2. 求由曲线y=x^2与直线x=1和x轴所围成的面积。
答案:由曲线y=x^2,直线x=1和x轴围成的面积可以通过积分求得。
积分区间为[0,1],被积函数为y=x^2。
高数复习题目和答案
高数复习题目和答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间[-1, 2]上的最大值是:A. 1B. 3C. 5D. 72. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是:A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题3. 若函数f(x)=2x-3在区间[0, 5]上连续,求f(0)+f(5)的值为______。
4. 已知函数g(x)=sin(x)+cos(x),求g'(x)的导数表达式为______。
三、简答题5. 求函数y=x^3-6x^2+9x+2在x=2处的导数,并解释其几何意义。
6. 证明:若函数f(x)在区间(a, b)内连续,并且满足f(a)f(b)<0,则至少存在一点c∈(a, b),使得f(c)=0。
四、计算题7. 计算定积分∫(1, 3) (2x-1)dx。
8. 求解微分方程:dy/dx + 2y = x^2,y(0) = 1。
五、证明题9. 证明:对于任意正整数n,有\( \sum_{k=1}^{n} k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
10. 证明:函数f(x)=e^x是严格单调增函数。
六、应用题11. 某工厂生产某种商品,其成本函数为C(x)=100+5x,其中x是生产数量。
求生产100件商品时的平均成本。
12. 某公司股票价格随时间变化的函数为S(t)=100e^(0.05t),其中t 是时间(以年为单位)。
如果公司决定在两年后卖出股票,求其卖出时的预期价格。
答案:一、选择题1. 正确答案:C. 5解析:f(x)=(x+3/2)^2-1/4,当x=2时,函数取得最大值5。
2. 正确答案:C. 1解析:求导得y'=3x^2-4x+1,代入x=1得到y'(1)=0。
二、填空题3. 答案:7解析:f(0)=-3,f(5)=40,所以f(0)+f(5)=-3+40=37。
4. 答案:g'(x)=cos(x)-sin(x)解析:根据导数的和与三角函数导数公式,得到g'(x)。
高等数学考试题库及答案
高等数学考试题库及答案一、单项选择题(每题4分,共20分)1. 函数y=x^2+2x+1的导数是()。
A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2xD. x^2+2答案:A2. 函数y=sin(x)的不定积分是()。
A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. -sin(x)+C答案:B3. 极限lim(x→0) (1-cos(x))/x的值是()。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案:D4. 微分方程y'=y的通解是()。
A. y=e^xB. y=e^(-x)C. y=e^x+CD. y=e^(-x)+C答案:C5. 函数y=x^3-3x^2+2x的二阶导数是()。
A. 6x-6B. 6x-3C. 6x^2-6xD. 6x^2-6答案:A二、填空题(每题4分,共20分)6. 函数y=x^3的一阶导数是______。
答案:3x^27. 函数y=e^x的不定积分是______。
答案:e^x+C8. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2+1)的值是______。
答案:09. 微分方程y''-2y'+y=0的特征方程是______。
答案:r^2-2r+1=010. 函数y=ln(x)的二阶导数是______。
答案:-1/x^2三、计算题(每题10分,共30分)11. 求函数y=x^2-4x+3的极值点。
解:首先求导数y'=2x-4,令y'=0,解得x=2。
然后求二阶导数y''=2,因为y''>0,所以x=2是极小值点。
将x=2代入原函数,得到极小值y=1。
12. 求极限lim(x→1) (x^3-3x^2+3x-1)/(x-1)。
解:首先将分子进行因式分解,得到(x-1)^3。
然后分子分母同时除以(x-1),得到(x-1)^2。
所以极限为lim(x→1) (x-1)^2=0。
《高等数学》习题库及答案
《高等数学》习题库及答案高等数学(1)复习题一、选择题1.函数112-=x y 的定义域是() A . (-1,1)B .[-1,1]C .(,1][1,)-∞-?+∞D .(,1)(1,)-∞-?+∞ 2、函数13lg(2)y x x =+++的定义域是() A.(3,2)(1,)--?-+∞ B.(2,1)(1,)--?-+∞C. (3,1)(1,)--?-+∞D.(2,)-+∞3、函数1()ln(2)f x x =-的定义域是()A.(2,)+∞ B.(3,)+∞ C.(2,3)(3,)+∞UD.(,2)(2,)-∞+∞U4、下列各式中,运算正确的是()5. 设>≤≤---<+=1,011,11,21)(2x x x x x x f ,则)2(-f = ( )A .23- B .3- C .0 D .25 6.若0lim x x → f (x )存在, 则f (x )在点x 0是()A . 一定有定义B .一定没有定义C .可以有定义, 也可以没有定义D .以上都不对7.下列说法正确的是()。
A . 无穷小量是负无穷大量B .无穷小是非常小的数C .无穷大量就是∞+D .负无穷大是无穷大量8.下列说法正确的是( )A.若函数()f x 在点0x 处无定义,则()f x 在点0x 处无极限。
B.无穷小是一个很小很小的数。
C.函数()f x 在点0x 处连续,则有:00lim ()()x x f x f x →= D.在(,)a b 内连续的函数()f x 在该区间内一定有最大值和最小值。
9.函数11)(2--=x x x f ,当1→x 时的极是()A.2-B. 2C. ∞D.极限不存在 10.极限1lim x →211x x -+=()A .0 B. 1 C .2 D .∞11.函数21()1x f x x -=+,当1x →-时的极限()A .2B . 2-C .∞D .极限不存在12.极限1lim x →211x x ++=()A .0 B. 1 C .2 D .∞13.311lim 1x x x →-=-()A.1B.2C.3D.414. 极限=-++-→221lim 221x x x x x ( ) A. 21D .∞ 15.下列各式中正确的是()A .0sin lim 0=→x xx B .1sin lim =∞→x xxC .0sin lim 1=→x xx D .1sin lim 0=→x xx16.设0sin lim7x ax x →= 时,则a 的值是() A. 17B.1C.5D.7 17、当x →0时,下列各等价无穷小错误的是( )A .arctan x ~xB .sin x 2 ~ x 2C . lg(1+x ) ~ xD .1-cos x ~21x 218、函数xx x x f sin )(+=,当∞→x 时的极限() A .0 B .∞C . -1D .119、当0x →时,ln(1x)+与x 比较是()A.高阶无穷小量B.低阶无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量20、2(1)y x =-在1x =处() A.连续 B.不连续 C.不可导 D.既不连续也不可导≥+<+=0 30 32)(2x a x x x x f 在x = 0处连续,则a 的值是( ) A.3 B. 2 C. 1 D. 022、函数y=ln (2 - x - x 2)的连续区间为()A .(-1,2)B .(-2,1)C .(- ∞,1)∪(- ∞,1)D .(- ∞,-2)∪(1,+∞)23.下列说法错误的是()A .可导一定连续B .不可导的点不一定没有切线C .不可导的点一定不连续D .不连续的点一定不可导24.函数f (x )在点 x 0连续是函数在该点可导的()A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充分必要条件D .既不是充分条件, 也不是必要条件25.已知函数f (x )=,0,10,12>+≤-x x x x 则在x =0处() A .间断 B .不可导C .f '(0) =-1D .f '(0) =126、||x y =在0x =处()A.连续不可导B.可导不连续C.可导且连续D.既不连续也不可导27.设y =x e -,则='y ()A .x e -B . x 1x e --C .-x 1x e --D .-x e -28.导数等于21sin2x 的函数是() A .21sin 2x B .41cos2x C .21cos 2x D .1-21cos2x 29.若下列函数中()的导数不等于1sin 22x A . 1cos 24x B . 21sin 2x C .21cos 2x - D . 11cos 24x - 30、设243y x =-,则()1f '等于()A.0B.-6C.-3D.331.设ln y x x =+,则dy dx=( ) A.1x x + B.1x x + C.1x x +- D.1x x-+ 32.设()y f x =-,则y '=()A.()f x 'B.()f x '-C.()f x '-D.()f x '--33.下列导数计算正确的是( )A.x x e e 22sin sin )(='B.()2112ln ln -='-x x C .22211(arcsin )()x x '=- D .x x 2sin )(sin 2='34.下列导数计算正确的是( )A.sin sin ()x x e e '=B.21(2log )2ln 2ln 2x x x x '+=+C.1()1x x x '+=+D.211)2ln (ln +='+x x 35、半径为R 的金属圆片,加热后半径伸长了dR ,则面积S 的微分dS 是()A .RdR πB .RdR π2C .dR πD .dR π236.设f (x )可微,则d(e f (x ) ) =()A .f '(x )d xB .e f (x )d xC .f '(x ) e f (x )d xD .f '(x ) d(e f (x ) )37、边长为a 的正方形铁片,加热后边长伸长了d a ,则面积S 的微分dS 是()A .a d aB .2a d aC .a 2d aD .d a38、设函数在点0x 可导,且0()f x '=2,则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的倾斜角是()A .锐角B . 0oC .90oD .钝角39.设函数在点x 0可导, 且f '(x 0) >0, 则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线的倾斜角是( )A .00B .900C .锐角D .钝角40.设函数在点x 0可导, 且f '(x 0) =-3, 则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线的倾斜角是( )A .00C .锐角D .钝角41、设函数在点0x 可导,且0()f x '<0,则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的倾斜角是()A .0oB .锐角C .90oD .钝角42.曲线y = ln x 上某点的切线平行于直线y = 2x -3, 该点的坐标是 ( )A .(2, ln 21)B .(2,-ln 21)C .(21,-ln2)D .(21,ln2) 43.设函数在点0x 可导,且02()f x '=-,则曲线)(x f y =在点0x x =处的切线的倾斜角是( ).A .0°B .90°C .120°D .钝角44.设函数在点0x 可导,且3)(0-='x f ,则曲线)(x f y =在点0x x =处的切线的倾斜角是( ).A .0°B .90°C .锐角D .钝角45、函数x x x f -+=)1ln()(的单调减少区间是()A .),0(+∞B .)0,(-∞D .(-1,0)46、函数)1ln()(x x x f +-=的单调减少区间是()A.),0(+∞B.)0,(-∞C.(0,1)D.(-1,0)47. x x y ln 22-=的单调递减区间为( )A .)21,0(B .11(,)(0,)22-∞-?C .),21(+∞D .11(,0)(,)22-?+∞ 48、曲线32y x x =+-在点(1,0)处的切线方程为()A.2(1)y x =-B.4(1)y x =-C.41y x =-D.3(1)y x =-49.函数y = x 2e -x 及其图形在区间(1, 2)内是()A .单调增加且是凸的B . 单调减少且是凸的C .单调增加且是凹的D .单调减少且是凹的50、曲线()y f x =在区间[,]a b 上单调减少且为凸的,则()A .()f x '>0或()0f x ''>B .()f x '>0或()0f x ''<C .()f x '<0且()0f x ''>D .()f x '<0且()0f x ''<51、曲线()y f x =在区间[,]a b 上单调增加且为凹的,则()A .()f x '>0,()0f x ''>B .()f x '<0,()0f x ''<C .()f x '>0,()0f x ''<D .()f x '<0,()0f x ''>52、若在(,)a b 内,函数()f x 的一阶导数()f x '>0,二阶导数()f x ''<0,则函数()f x 在此区间内()A.单调减少,曲线是凹的B.单调减少,曲线是凸的C.单调增加,曲线是凹的D.单调增加,曲线是凸的53.若在(,)a b 内,函数()f x 的一阶导数()f x '<0,二阶导数()f x ''>0,则函数()f x 在此区间内()A.单调减少,曲线是凹的B.单调减少,曲线是凸的C.单调增加,曲线是凹的D.单调增加,曲线是凸的54.若曲线弧位于其上任一点切线的下方,则该曲线弧是( )A.单调增加B.单调减少C.凹弧D.凸弧55.点 x = 0是函数y = x 2 的()A . 驻点但非极值点B .拐点C .驻点且是拐点D .驻点且是极值点56、点0x =是函数4y x =的()A.驻点但不是极值点B.拐点C.驻点且是极值点D.驻点且是拐点57、点0x =是函数3y x =的()A .极值点但不是驻点B .驻点但不是极值点C .驻点且是极值点D .极值点且是拐点58、下列说法正确的是()A.驻点一定是极值点B. 拐点一定是极值点C.极值点一定是拐点D. 极值点一定是驻点或导数不存在的点59、若()00f x '=,则0x 是函数()f x 的()A.极值点B.最值点C.驻点D.非极值点60、函数x e x x f -=)(的极值是()A . 0B . 1C . -1D . 261.函数()y f x =在0x x =处连续,且取得极值,则有( )A.0()0f x '=B.0()0f x ''<C.00()0()f x f x ''=或者不存在D.0()f x '不存在62. 函数)(x f y =在点0x x =处取得极大值,则必有()A . 0()0f x '=B . 0)(0>''x fC . 0()0f x '=且0)(0>''x fD . 0()0f x '=或)(0x f '不存在63、曲线3(1)y x =-的拐点是()A.(1,8)-B.(1,0)C.(0,1)-D.(2,1)64.下列说法正确的是()A.驻点一定是极值点B. 极值点一定是驻点或导数不存在的点C.极值点一定是拐点D. 拐点一定是极值点65、若()(),F x f x '=则()dF x ?=()A.()f xB.()F xC.()F x C +D. ()f x C +66.设?dx x f )(= cos 2x + C ,则f (x ) =()A .sin 2xB .-2sin 2xC .sin x + CD .-sin 2x67.设?dx x f )(= 2cos2x + C ,则f (x ) =() A .sin2x B .-sin 2x C .sin 2x + C D .-2sin 2x 68.若c x x dx x f ++=?cos sin )(,则,=)(x f () A.x x cos sin + B.x x cos sin - C.x x sin cos - D.x x cos sin --69.dxd 52x xe dx ?= ( ) A .42x x e B .52x x e dx C .42x x e dx D .52x x e 70.=dx x xf dxd )( ( ) A.)(21x f B.dx x f )(21 C .)(x xf D .dx x xf )(71.2()d xf x dx ?=()A .21()2f xB .21()2f x dx C .2()xf x dx D .21()2xf x dx 72.2()d x f x dx ?=()A .2()xf xB .2()xf x dxC .2()x f x dxD .2()x f x73. ?=xdx 2cos ()A .2sin2x + CB .2cos2x +C C .12sin2x + CD .12cos2x + C 74.dx xx f 211???? ??'= ( ) A .)1(x f -+ C B .-)1(x f -+ C C .)1(x f + C D .-)1(xf + C 75.?dx x21=() A .C x +1 B .C x+-1 C .C x +2ln D .C x +2ln76、()23sin x e x dx -?=()A. 23cos x e x c ++B. 23cos x e x +C. 23cos x e x -D. 1二、填空题1.函数y =22x -+ arcsin x 的定义域为____________. 2、函数y=2x x -定义域为。
高等数学复习期末试题含答案
高等数学试题(一)(含答案)一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号填在题干的括号内。
第1—10题,每小题1分,第11—20小题,每小题2分,共30分) 1.函数y=5-x +ln(x -1)的定义域是( )A. (0,5]B. (1,5]C. (1,5)D. (1,+∞) 2. limsin 2x xx →∞等于( ) A. 0 B. 1 C.12D. 23.二元函数f(x,y)=ln(x -y)的定义域为( ) A. x -y>0 B. x>0, y>0 C. x<0, y<0 D. x>0, y>0及x<0, y<04.函数y=2|x |-1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导5.设函数f(x)=e 1-2x,则f(x)在x=0处的导数f ′(0)等于( ) A. 0 B. e C. –e D. -2e 6.函数y=x -arctanx 在[-1,1]上( ) A.单调增加 B.单调减少 C.无最大值 D.无最小值7.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f ′(x)>0,则( ) A. f(0)<0 B. f(1)>0 C. f(1)>f(0) D. f(1)<f(0) 8.以下式子中正确的是( ) A. dsinx=-cosx B. dsinx=-cosxdx C. dcosx=-sinxdx D. dcosx=-sinx 9.下列级数中,条件收敛的级数是( )A. n nn n =∞∑-+111()B. n nn =∞∑-11()C.n nn=∞∑-111()D.n nn=∞∑-1211()10.方程y ′—y=0的通解为( )A. y=ce xB. y=ce -xC. y=csinxD. y=c 1e x +c 2e -x11.设函数f(x)=x x x kx +-≠=⎧⎨⎪⎩⎪4200,,在点x=0处连续,则k 等于( )A. 0B. 14C.12D. 212.设F(x)是f(x)的一个原函数,则∫e -x f(e -x )dx 等于( ) A. F(e -x )+c B. -F(e -x )+c C. F(e x )+c D. -F(e x )+c13.下列函数中在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理条件的是( ) A. y=1xB. y=|x|C. y=1-x 2D. y=x -1 14.设f t dt x ()0⎰=a 2x -a 2,f(x)为连续函数,则f(x)等于( )A. 2a 2xB. a 2x lnaC. 2xa 2x -1D. 2a 2x lna 15.下列式子中正确的是( )A. e dx edx xx112⎰⎰≤B.e dx edx xx112⎰⎰≥C.e dx edx xx0112⎰⎰=D.以上都不对16.下列广义积分收敛的是( ) A. cos 1+∞⎰xdxB. sin 1+∞⎰xdxC.ln xdx1+∞⎰D.121xdx+∞⎰17.设f(x)=e x --21,g(x)=x 2,当x →0时( ) A. f(x)是g(x)的高阶无穷小 B. f(x)是g(x)的低阶无穷小C. f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小D. f(x)与g(x)是等价无穷小18.交换二次积分dy f x y dx yy (,)⎰⎰01的积分次序,它等于()A. dxf x y dyxx(,)⎰⎰1B. dxf x y dy xx (,)201⎰⎰C.dxf x y dy xx (,)⎰⎰1D.dxf x y dy xx(,)21⎰⎰19.若级数n n u =∞∑1收敛,记S n =i i u =∞∑1,则( )A. lim n n S →∞=0B.lim n n S S→∞=存在C.lim n nS →∞可能不存在D. {S n }为单调数列20.对于微分方程y ″+3y ′+2y=e -x ,利用待定系数法求其特解y *时,下面特解设法正确的是( )A. y *=ae -xB. y *=(ax+b)e -xC. y *=axe -xD. y *=ax 2e -x 二、填空题(每小题2分,共20分)1. lim x x x →∞+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=121______。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)一、选择题1. 设函数 $ f(x) = x^3 3x + 2 $,则 $ f'(0) $ 的值为多少?A. 0B. 1C. 1D. 3答案:A2. 设 $ f(x) = e^x $,则 $ f''(x) $ 等于多少?A. $ e^x $B. $ e^x + x $C. $ e^x x $D. $ e^x + 2 $答案:A3. 设 $ y = \ln(x + 1) $,则 $ y' $ 等于多少?A. $ \frac{1}{x + 1} $B. $ \frac{1}{x} $C. $ \frac{1}{x 1} $D. $ \frac{1}{x + 2} $答案:A4. 设 $ y = x^2 $,则 $ y'' $ 等于多少?A. 2B. 4D. 1答案:B5. 设 $ y = \sin(x) $,则 $ y' $ 等于多少?A. $ \cos(x) $B. $ \cos(x) $C. $ \tan(x) $D. $ \tan(x) $答案:A二、填空题1. 设函数 $ f(x) = x^4 2x^3 + x^2 $,则 $ f'(x) $ 的表达式为______。
答案:$ 4x^3 6x^2 + 2x $2. 设 $ y = \ln(x) $,则 $ y' $ 的表达式为______。
答案:$ \frac{1}{x} $3. 设 $ y = e^x $,则 $ y'' $ 的表达式为______。
答案:$ e^x $4. 设 $ y = \cos(x) $,则 $ y' $ 的表达式为______。
答案:$ \sin(x) $5. 设 $ y = \sqrt{x} $,则 $ y' $ 的表达式为______。
答案:$ \frac{1}{2\sqrt{x}} $三、解答题1. 求函数 $ f(x) = x^3 3x + 2 $ 在点 $ x = 1 $ 处的切线方程。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)1. 解析:求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。
2. 解析:求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。
3. 解析:求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
4. 解析:求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
5. 解析:求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。
6. 解析:求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。
7. 解析:求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。
8. 解析:求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。
9. 解析:求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。
10. 解析:求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
11. 解析:求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。
12. 解析:求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。
13. 解析:求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
14. 解析:求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
15. 解析:求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
16. 解析:求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
17. 解析:求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。
18. 解析:求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
19. 解析:求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。
20. 解析:求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
高等数学复习题(含答案)
高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 (一)函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ,(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义,必须满足两种情况,偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正,可建立不等式组,并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知,要使函数有定义,必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负;反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组,并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x 即 30<≤x , 因此,所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(,求)(tan x f 的定义域. 解:令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈(k π, k π+4π), k ∈Z ,∴ )(tan x f 的定义域为 x ∈(k π, k π+4π), k ∈Z .3.设)(x f =x-11,求)]([x f f ,{})]([x f f f .解:)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限:(1)123lim 21-+-→x x x x , (2)652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解:原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134limxx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.(抓大头)= 1-.(恒等变换之后“能代就代”)(3)xx x -+-→222lim 2, (4)330sin tan lim x x x →,解:原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解:0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. (恒等变换之后“能代就代”) ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.(等价)(5))100sin (lim +∞→x x x , (6) 2121lim()11x x x→--- ,解:原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解: 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 (无穷小的性质) 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++.(7)215lim+-+∞→x x x .解 : 原式=52115lim=+-+∞→xx x .(抓大头) (8)11lim 21-+→x x x .解:因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ,求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决.因为011lim 21=+-→x x x ,所以当1→x 时,112+-x x 是无穷小量,因而它的倒数是无穷大量,即 ∞=-+→11lim21x x x . (9)limx解:不能直接运用极限运算法则,因为当x →+∞时分子,极限不存在,但sin x 是有界函数,即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ,因此当+∞→x 时,31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理,即得l i 0x =. (10)203cos cos limxxx x -→ . 解:分子先用和差化积公式变形,然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x x x x x x .(也可用洛必达法则) (11)xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-,解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=. (12)30tan sin limx x xx→-. 解 :x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ =2202sin 2limx x x → =21 ( 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ) .(等价替换) 5.求下列极限(1)201cot limxx x x -→ (2))e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x (3))]1ln(11[lim 20x x x x +-→ (4))ln (lim 0x x n x ⋅+→ (5) xxx cos 1lim++∞→解 :(1)由于0→x 时,1tan cot →=x x x x ,故原极限为0型,用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ (分母等价无穷小代换)01sin lim 3x x x→-=31-=.(2) 此极限为∞∞,可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x x x e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . (3) 所求极限为∞-∞型 ,不能直接用洛必达法则,通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .(4)所求极限为∞⋅0型,得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ (∞∞型) =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nxn xnx x nx (5)此极限为 ∞∞型,用洛必达法则,得 1sin 1limcos lim xx x x x x -=++∞→+∞→不存在,因此洛必达法则失效! 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x . 6.求下列函数的极限:(1)42lim 22--→x x x , (2)()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时,)(x f 在0=x 的极限存在. 解: (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限,所以极限不存在.(2)由于函数在分段点0=x 处,两边的表达式不同,因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限.于是,有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→000lim )1sin (lim )1sin(lim )(lim ,1)1(lim )(lim 2=+=++→→x x f x x ,为使)(lim 0x f x →存在,必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→,因此 ,当a =1 时, )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1.7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x , 在点0=x 处的连续性.解:由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同,因此,一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限. 因而有01sinlim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x , 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ,由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续.8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点,并判断其类型:解:由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义,故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim )(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点.综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.(二)一元函数微分学1.判断:(1)若曲线y =)(x f 处处有切线,则y =)(x f 必处处可导. 答:命题错误. 如:x y 22=处处有切线,但在0=x 处不可导. (2)若A ax a f x f ax =--→)()(lim(A 为常数),试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答:命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ,)(x g 在点0x 处都不可导,则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答:命题不成立.如:)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ,)(x g 在x = 0 处均不可导,但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.(4)若)(x f 在点0x 处可导,)(x g 在点0x 处不可导,则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答:命题成立.原因:若)(x f +)(x g 在0x 处可导,由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导,矛盾.(5))('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答:命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导,且结果为0.(6)设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义,且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆,其中b a ,为常数,下列命题哪个正确?①()x f 在点0x 处可导,且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微,且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 ( ||x ∆很小时). 答:①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =,利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解:xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=,,xx x f 1ln )(0<≥x x ,的导数.解: 当0>x 时,xx f +='11)( , 当0<x 时,1)(='x f ,当0=x 时,xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→,所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x , 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ,因此 1)0(='f ,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f.0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=,求dxdy 解:)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解:两端对x 求导,得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ,222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+,整理得 x y y x y -='+)( ,故 xy xy y +-=', 上式两端再对x 求导,得=2)(22x y yy x +-', 将 xy xy y +-='代入上式,得 2)(22x y yxy xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解:两边取对数:y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导:]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=,求)('x f .解:令xx y e =, 两边取对数得:x y xln e ln =, 两边关于x 求导数得:即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解:xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy =)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.x x y e 4+=, 求y)4(.解:xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩,, 求 22d d x y . 解:d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- , 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点(1,1)处切线的斜率. 解:由题意知:⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,∴33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy ,∴曲线在点(1,1)处切线的斜率为312. 求函数xx y tan ln e=的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分, 有x x xx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分,得x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时,x xe e >.证明:令x x f xe e )(-=,易见()f x 在),(+∞-∞内连续,且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时,e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数,即 当1>x 时,e e )(-='x x f 0>,可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数, 即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x xx xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解:函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y , 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知,单调减区间为)3,(-∞,单调增区间为),3(+∞,极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别,此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值,,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值,最大值与最小值. 解:x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4,极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知:)(x f 最大值为200, 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解:函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞,),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时,0<''y , 当∈x ),21(+∞-时,0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解:函数的定义域 ),(+∞-∞,,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+='', 令 ,0=''y 得1±=y , 列表知,上凹区间(1,1)-,下凹区由此可(,1)(1,)-∞-+∞,曲线的间拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线(1)xxy ln = ,(2)1222-+-=x x x y ,(3)()()213--+=x x x y .解 (1)所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ,可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim 0,可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.(2) 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x , +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x , 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线(在1=x 的两侧()f x 的趋向不同).又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim2, []b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2, 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.(3)()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为:2,1,0===x x y .19.求解下列各题:(1)设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=, 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量,求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解:边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. (2)设p 为某产品的价格,x 为产品的需求量,且有801.0=+x p , 问p 为何值时,需求弹性大或需求弹性小.解:由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时,需求弹性小.(三)一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中,为何要求0≠k ?答:因为0=k 时,C x x x kf =⎰=⎰d 0d )((任意常数),而不是0. 2. 思考下列问题:(1) 若C x x x f x++=⎰sin 2d )(,则)(x f 为何? 答:x x x f x f xcos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ,问)(x f 为何?答:233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ,则dx x f )('⎰为何?答:C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分:(1))sin d(sin 5x x ⎰, (2)x x d cos 3⎰, (3)⎰+x xx x d )sin (,(4)x xe xd 2⎰, (5)⎰-21d xx x , (6)⎰-41d xx x ,(7)⎰x xx d 2ln , (8)x x d )32(2+⎰, (9)⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, (10)⎰+x x x d arctan )1(12, (11)⎰+22d x x, (12)⎰-24d x x . 解:(1)C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. (2)x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. (3)x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. (4)C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2. (5)C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.(6)C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .(7(8)C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.(9)C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12. (10)C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.(11)C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. (12)⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112x x⎰=C x+2arcsin . 4. 计算下列不定积分:(1)⎰++x xd 111,(2)x x d 162-⎰,(3)⎰+232)4(d x x ,(4)⎰-x xx d 122.解:(1) 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. (2)令)2π2π(sin 4<<-=t t x ,则t x cos 4162=-,t t x d cos 4d =, 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形,得81641642cos sin 22sin 22x x x x t t t -=-⋅⋅==,故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. (2)令)2π2π(tan 2<<-=t t x ,则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形,得24sin xx t +=故C xx x x ++=+⎰223242)4(d .(4) 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x x x +--212arcsin 21.5.计算下列积分:(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e 4,(4)⎰x x xd 4sine 5, (5) ⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解:(1))2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .(2)⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰- =⎰+-2241)(d 2arctan x x x x=)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.(3)x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. (4)5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x x xd 4cose 544sin e5155⎰-1=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x x x xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并,得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. (5)⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin=C xx x +-100100cos 10000100sin .(6)⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 (1)x xxd e )1(2⎰+ , (2) 3s e c d x x ⎰.解:(1) 选 12+=x u ,=v d x e x d , =v xe , x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2xe x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =, =v d x e x d , 则 x u d d =,=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e .原式=x e =+--)e e (21C x x x )12(2++x x C x+e (12C C =), 为了简便起见,所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来,其解题步骤如下:⎰x xedx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e .(2)3sec d x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec=sec tan x x -⎰x x d sec 3+x x tan sec ln +, 式中出现了“循环”,即再出现了⎰x x d sec 3移至左端,整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C . 7. 利用定积分的估值公式,估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解:先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值,由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小,知 11,102427max min =-=f f , 由定积分的估值公式,得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x .8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1,1]上的平均值.解:平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ,则)(x f '=?解:)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t xxx F d 1sin )(2 , 求 )(x F '.解:)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+.11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解:此极限是“0”型未定型,由洛必达法则,得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分(1)⎰-20d |1|x x , (2)⎰-122d ||x x x , (3)⎰π20d |sin |x x .解:(1)⎰-20d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1. (2)⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰13d x x=10402444x x +--=4+41741=. (3)⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分(1)⎰--2π2π3d cos cos x x x ,(2)⎰--112d 1x x .解:(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 (1)⎰+-4d 11x xx, (2)⎰4π4d tan sec x x x .解:(1)利用换元积分法,注意在换元时必须同时换限.令 x t =,x 2t = ,t t x d 2d = ,当0=x 时,0=t ,当4=x 时,2=t ,于是⎰+-4d 11x xx=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t t t(2)⎰4π04d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x .15. 计算下列定积分:(1)x x x d e )15(405⎰+, (2)x x d )12ln(e21⎰+,(3)x x x d πcos e 10π⎰, (4)x x x x x d )e 3(133⎰++.解:(1)x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x xx =5155e 5e51e 6=--x .(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=. (3) x x x d πcos e 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰ =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 1πxx --⎰ =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=.(4)x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ =4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算(1)⎰1d arctan x x , (2)x x x d ln 2e e1⎰.解:(1)⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π .(2) 由于在[1,e1]上0ln ≤x ;在[2e ,1]上0ln ≥x ,所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-(412e 1+212e 1)+(4e -414e +41) =21-432e 1+434e .17.判别下列广义积分的敛散性,如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2)⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d x x . 解:(1) 因为积分区间为无穷区间,所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21,故所给广义积分收敛,且其值为21. (2)⎰∞+02d 1xx =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00, ∴⎰∞+02d 1x x发散. (3)x xd e 1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x=20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解:如图,由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点(1,1). 解一 取x 为积分变量,]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x xx x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0,1],32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然,解法二优于解法一.因此作题时,要先画图,然后根据图形选择适当的积分变量,尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线22xy =与直线42=-y x . 解:先画图,如图所示,并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ,求出交点为(2,1-),(8,2). 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-,2], 在区间[1-,2]上任取一子区间[y ,y +y d ], 则面积微元 A d =y y y d )242(2-+, 则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = (32324y y y -+)21-=9.解二 取x 为积分变量,x 的变化区间 为[0,8],由图知,若在此区间上任取子区间, 需分成[0,2],[2,8]两部分完成.在区间[0,2]上任取一子区间[x ,x +x d ], 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2,8]上任取一子区间[x ,x +x d ], 则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得A =A 1+A 2A =⎰2d 22x x+A x xx d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然,解法一优于解法二.因此作题时,要先画图,然后根据图形选择适当的积分变量,尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解:如右图,所求体积y=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证xx C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解,并说明是该方程的通解. 证明: xx C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ,故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关,∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立,即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同(个数均为2)的独立任意常数,故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:(1)22d d y x x y =, (2)21d d x y x y -=, (3)y x x x y )1(d d 2++=,且e )0(=y . 解:(1)分离变量得x x yy d d 22=,(0≠y ) 两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 , 求积分得 3313Cx y +=-, 从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.(特别注意,此解不能并入通解)(2)分离变量得21d d xx y y -=,(0≠y )两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=, 即 )e (e ee 11arcsin arcsin C x xCC C y ±==±=,从而通解为 xC y arcsin e =,验证0=y 也是方程的解.(3)分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,(0≠y ) 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=,验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ,得e =C , 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程(1)x b ay y sin '=+(其中b a ,为常数), (2)21d d y x x y +=. 解:(1)因a x P =)(, x b x Q s i n )(=, 故通解为)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程,其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为:)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解,要熟练掌握常数变易法! 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解:这是可以分离变量的微分方程,将方程分离变量,有x x y y y d 11d 12-=-,两边积分,得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11,求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-,1222)1ln(1ln C x y +-=-, 1222e )1(1C x y -=-,222)1(e 11-±=-x y C ,记 0e12≠=±C C ,得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时,1±=y ,它们也是原方程的解,因此,式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数,所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y (C 为任意常数). 代入初始条件 20==x y得 3=C ,所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程(1)xy yy +=',(2) x xy y x cos e 22=-'的通解.(1)解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ,令 x yu =, 则 1d d +=+u u x u x u ,即 x x u u u d d 12-=+ ,两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2, 积分得C x u u ln ln ln 1-=-,将xy u =代入原方程,整理得原方程的通解为 yx C y e = (C 为任意常数).解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程,用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ,得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解,代入原方程,化简得 1)(='y y C ,1ln)(C yy C =, 所以原方程的通解为 1ln C y y x=,即yx C ye = (C 为任意常数).(2)解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量,得xy xy2d d =,x x y y d 2d =, 两边积分,得x x y y ⎰⎰=d 2d ,C x y +=2ln , )e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=,2e x C y =,用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程,得 x x C x x cos e e )(22=',x x C cos )(=',C x x x x C +==⎰sin d cos )(,故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += (C 为任意常数). 解二 这里x x P 2)(-=,x x Q x cos e)(2=代入通解的公式得=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +(C 为任意常数).6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解:方程中不显含未知函数y ,令P y =',x P y d d ='',代入原方程,得 1d d 23=+P x xP x , 311d d xP x x P =+,这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程,代入常数变易法的通解公式,所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx xx +⎰⎰⎰-) =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-)=13d 1(1C x x xx +⋅⎰)=11(1C x x +-)=x C x 121+-, 由此x y d d =x Cx 121+-,⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++, 因此,原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ (21,C C 为任意常数). 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ,11-='=x y 的特解.解:方程不显含x ,令 P y =',y P Py d d ='',则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP , 当 0≠P 时y y P P d 12d -=,于是 21)1(-=y C P . 根据 21==x y,11-='=x y ,知12-='=y y 代入上式,得 11-=C ,从而得到x y yd )1(d 2-=-,积分得211C x y +=-,再由21==x y ,求得 02=C ,于是当0≠P 时,原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11, 当0=P 时,得C y =(常数),显然这个解也满足方程,这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11,即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解:方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量,得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解:(1)0'2''=+-y y y , (2)08'=+y y . 解:(1)特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为xx C C y e )(21+=.(2)特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,(2) x y y sin 2''=+,1)0(',1)0(==y y . 解:(1)先解06'2''=-+y y y ,其特征方程为0622=-+r r , 特征根为711+-=r , 712--=r ,故通解 xxC C y )71(2)71(1e e --+-+=.因x3e-中3-=λ不是特征方程的根,且1)(=x P m , 故设原方程特解xp A y 3e-=,代入原方程化简,得31-=A ,从而原方程通解为x x C C y )71(2)71(1e e --+-+=x 3e 31--.由0)0(=y ,得03121=-+C C , 由0)0('=y ,得11)71()71(21=++-+-C C ,解得42771+=C , 42772-=C , 故所求特解x xxp y 3)71()71(e 31e 4277e 4277---+---++=. (2)先解02=+''y y ,其特征方程为022=+r ,特征根为i 2,i 221-==r r ,故通解x C x C y C 2sin 2cos 21+=.设原方程特解x b x a y s i n c o s *+=,代入原方程,化简得1,0==b a ,故原方程通解x x C x C y sin 2sin 2cos 21++=,由00)0(1==C y 得,由1)0(='y ,得02=C ,故所求特解为x y sin =.11. 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y,10='=x y 的特解.解:对应齐次方程的特征方程为 012=-r ,特征根 12,1±=r .故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根,所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=,代入原方程得 x x b b b 4422010=++,比较同类项系数得 10=b ,11-=b ,从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=, 故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+,由初始条件 0=x 时,0='=y y ,得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ,12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.12.求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解:对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ,特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=.为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''(*)的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根,且1)(=x P m 是零次多项式。
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中国煤炭论坛网络远程教育专升本高等数学复习题库和答案一、选择题1. 下列函数中,表达式为基本初等函数的为().A: y={2x2x>02x+1x≤0B: y=2x+cosx C: y=x D: y=sin2. 下列选项中,满足f(x)=g(x)的是( ).A: f(x)=cosx, g(x)=B: f(x)=x, g(x)=C: f(x)=x, g(x)=arcsin(sinx) D: f(x)=lnx2, g(x)=2lnx3. 设f(x)的定义域为[0,1],则f(2x+1)的定义域为( ).A: ⎡1⎣⎢-2,0⎤⎛-1,0⎫⎦⎝2⎪ C: ⎛1⎭ -,0⎤⎥ B: ⎝2⎥ D: ⎦4. 函数y=f(x)的定义域为[0,1],则函数y=f(x2)的定义域为(A: [0,1]; B: (0,1); C: [-1, 1] D: 5. 设f(x)的定义域为[0,1],则f(2x-1)的定义域为( ).A: ⎡1⎤⎛1⎫⎡1⎢,1 B: ⎣2⎥⎦,1⎝2⎪ C: ⎭⎢,1⎫⎣2⎪ D: ⎭6. 函数f(x)=⎧⎪9-x2x≤3⎨⎪).⎩x2-93<x<4的定义域为( A: [-3, 4] B: (-3, 4) C: [-4, 4] D: 7. lim(1+1)3=n→∞n().A: 1 B: E C: e3D: 第 1 页共 11 页⎡-1,0⎫⎢⎣2⎪⎭). (-1, 1).⎛1 ,1⎤⎝2⎥⎦(-4, 4)∞中国煤炭论坛8. lim(x-1)=(). x→1A: 0 B: 1 C: 2 D: ∞9. 在给定的变化过程中,下列变量不为无穷大量是(). A: 21+2xx1+xx-921, 当x→0 B: ex-1, 当x→∞ C: , 当x→3 D: lgx, 当x→0 +f(x)存在的( ). 10. 函数f(x)在x0有定义是xlim→x0A: 充分条件,但不是必要条件; B: 必要条件,但不是充分条件; C: 充分必要条件; D: 既不是充分条件也不是必要条件. 11. limarctanxxx→0=(). A: 1 B: -π2 C: π2 D: 不存在12. 函数y=x-arctanx在(-∞,+∞)内().A: 单调增加 B: 单调减少 C: 非单调 D: 不连续 13. lim2n-15n+2n→∞=( ). 25A: 1 B:14. limlnx→0 C: -12 D: ∞ sinx x=().A: 0 B: 1 C: 2 D: 不存在15. 当x→0时,x2 与sinx比较,则().A: x是较sinx高阶的无穷小 B: x是与sinx等价的无穷小 C: x 是与sinx同阶但不等价的无穷小 D: x 是较sinx低阶无穷小16. 函数f(x)=A: x=1x-222222的所有间断点是( ).x=±2 C: x=x=±2第 2 页共 11 页中国煤炭论坛17. limx+2x+1x-223x→∞=( ).A: 0 B: 1 C: 2 D: ∞⎧x-1⎪18. 设f(x)=⎨0⎪x+1⎩x<0x=0,则limf(x)=( ). x→1x>0A: -1 B: 2 C: 0 D: 不存在。
19. 当x→0时,与无穷小量x+100x3等价的无穷小量是(A: x B: x C: x D:220. 极限limx-4x→2x-2=(). A: 2 B: 4 C: 3 D:21. y=lnsinx的导数dydx= ( ). A: 1 B: 1 C: tanx D: sinxcosx22. 曲线 y=4+x4-x 上点 (2,3)处的切线斜率是().A: -2 B: -1 C: 1 D: 2 23. 函数y=cos2x+sin2x-x的导数等于( ).A: 1 B: -1 C: 2 D: -224. 函数y=e-x在定义区间内是严格单调( ).A: 增加且凹的 B: 增加且凸的 C: 减少且凹的 D:25. 函数f(x)=ex-x-1在[0, 1]的最小值为( ).A: 0 B: -1 C: 1 D: 226. 函数y=x-ln(1+x)的极大值等于( ).A: 1 B: 12 C: 3 D:27. 设f(x)=lnx,则dyx=1=().第 3 页共 11 页 . x3 12 cotx 减少且凸的不存在)中国煤炭论坛A: 1 B: dx C:dxxD:1x28.曲线y=e-x在点(0,1)处的切线方程是().A: y=x+1 B: y=x-1 C: y=1-x D: y=-x-1 29. 函数y=ln(1+x2)的驻点是x=(). A: 0 B: 1 C: 2 D: 5 30. 函数y(x)=x+2cosx在[0,π]上的最大值是( ). A: π-2 B: 2 C:bπ6+31. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则⎰f(x)dx-a⎰baf(t)dt( ).A: <0 B: =0 C: >0 D: 不能确定32.⎰1e2= ( ).A:22 C: -1 D: -233. 设函数f(x)=x⎰x0e-12t2dt,-∞<x<+∞则f(x)是( ).A: 偶函数 B: 单调递增函数 C: 单调递减函数 D: 无界函数 34. 上限积分⎰f(t)dt是( ). aA: f'(x)的一个原函数 B: f'(x)的全体原函数 C: f(x)的一个原函数 D: f(x)的全体原函数 35. ⎰A:1a1a+xarctan22dx, (a>0)=(). x+C B: -1aarctanxaxa+CC: aarctanaxa+C D: -aarctan5+C36. 设f(2x+1)=xex,则⎰f(x)dx=().3A: 2e2 B: 2e2-e C: e D: e2-e37. ⎰14+9x2x=().第 4 页共 11 页中国煤炭论坛A: 11⎛3⎫⎛2⎫arctan x⎪+C B: arctan x⎪+C 66⎝2⎭⎝3⎭⎛3⎫⎛2⎫x⎪+C D: arctan x⎪+C ⎝2⎭⎝3⎭C: arctan38. ⎰tanxdx=(). A: lncosx+C B: -lncosx+C C: lncosx+C D: -lncosx+C 12x(x+2)39. ⎰dx=( ). 12A: lnx-lnx+2+C B:C: 14(lnx-lnx+2)+C (lnx-lnx+2)+C D: lnx+lnx+2+C40. 设z=ylnx,则二阶偏导数∂z∂x22=(). -yx2y21A: 0 B: C: x D: x41. 设z=xy,则偏导数A: yxy-1∂z∂x=(). y-1 B: yxlnx C: xlnx D: x∂f(x,y)∂y=(). yy42. 设函数f(x+y,xy)=x2+y2+xy,则A: 2x; B: -1 C: 2x+y D: 2y+x 43. 若y=y(x)由方程lnx-yx+y=arctanyx, (x≠0,x≠y)确定, 则dy=( ). A:B: x-yx+ydx C: y-xx+ydx D: x+yx-ydx二、填空题第 5 页共 11 页中国煤炭论坛1. 函数y=arccos1-x3的反函数为⎧⎪2⎪2. 设 f(x)=⎨⎪⎪⎩3-x,2,1,xx<1x=1,则limf(x)= x→1x>13. lim3x+2x+1x-2x-3x+2x-1-x2x→∞3=. 24. limx→12=. 5. 函数y=e6. 函数y=e的单调递增区间为___________. 的驻点为. -x27. 设 f(x)=lnx,g(x)=e3x+1, 则f[g(x)]=.x-1x-1238. limx→1=9. lim+x-1xx→0=10. 设f(x)=lnx,g(x)=e2x+1, 则f[g(x)]=.x-1x-1kx3211. limx→1= 12. lim(1+x→∞)2x=e, 则k=13. 设函数f(x)在点x0处具有导数,且在x0处取得极值,则f'(x0)=. 14. 曲线y=-1 x在点处的切线方程是(1,-1)15. 由方程ey+xy2-3x2=e所确定的函数y=f(x)在点x=0的导数是 . 16. 过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程是y. 17. 函数y=3(x-1)2的单调增加区间是第 6 页共 11 页中国煤炭论坛18. 函数y=(x-1)3的拐点是 19. 函数f(x)=2x3+3x2-1的拐点坐标为π20.21.22. ⎰203sinxcosxdx= . ⎰π0xcosxdx= . π⎰20cos3xdx= .⎧1,⎪⎪1+x23. 设f(x)=⎨⎪1x⎪⎩1+ex≥0, 则x<0⎰ 2 0f(x-1)dx= .24. ⎰2π0sinxdx= .25. ⎰10exx1+edx.1x26. 函数z=ln(x+y)的定义域为 . 27.函数z=三、应用题 x+y)的定义域为 .1. 计算 lim2.计算limn→∞x-1x-123x→1. 2n+1.⎧tan3x⎪3. 设f(x)=⎨x⎪⎩ax≠0,且f(x)在x=0连续,求a. x=04. 设函数f(x+y,xy)=x2+y2-xy,证明∂f(x,y)∂x+∂f(x,y)∂y=2x-3.第 7 页共 11 页中国煤炭论坛5. 求函数y=x2的单调区间. 1+x6. 生产某种商品x个单位的利润是L(x)=2000+2x-0.0025x2(元),则生产多少个单位的商品时,获利润最大?并求出最大利润值.7. 设二元函数为z=arcsinxy,求∂z∂x(0,1).8. 设二元函数为 z=ex+2y,求dz9. 求函数y=x3lnx的二阶导数.(1,1).10. 求由方程cos(x+y)+ey=1所确定的隐函数y=f(x)的微分.11. 求抛物线y2=x与y=x2所围平面图形的面积.12. 由抛物线y=x2与直线y=ax,(a>0)围成的平面图形面积S=13. 求⎰ln(1+x2)dx.0143, 求a的值.⎧tan2x⎪14. 设f(x)=⎨x⎪⎩ax≠0x=0,且f(x)在x=0连续,求a.15. 求抛物线 y2=2x与直线 y=x-4所围平面图形的面积.16. 求曲线y=e-x与x轴、y轴以及直线x=2所围平面图形的面积.答案第 8 页共 11 页中国煤炭论坛2. 解: limn-3n2n+12-=limn→∞31n=. 12n→∞2+n3. 解:limf(x)=limx→03tan3x3x2x→0=3,由f(x)在x=0连续,得a=3. ∂f(x,y)4. 证明:因为 f(x,y)=x-3y, 故+∂x=2x∂f(x,y),=2x-3. ∂y=-3 从而有∂f(x,y)∂x∂f(x,y)∂y第 9 页共 11 页中国煤炭论坛5. 解:首先,函数的定义域是x≠-1,此外函数处处可导.其次令 y=/x(2+x)(1+x)2=0,解得驻点为x=0,-2. 以其为界点将定义域分成为四个区间并进行导数符号判定,得D:y:y:/(-∞,-2)+↑(-2,-1)-↓(-1,0)-↓(0,+∞)+↑故知所求单调增区间为(-∞,-2) (0,+∞),单调减区间为(-2,-1)⋃(-1,0) 6. 解:令L'(x)=2-0.005x=0,得唯一驻点 x=400,故生产400个单位的商品时,获利润最大,最大利润为2400(元)∂z=1-(xy)27. 解:因为∂x⋅1y=1y-x22,所以∂z∂x(0,1)=1.8. 解:∂z∂x=ex+2y,∂z∂y=2ex+2y,∂z∂x(1,1)=e,3∂z∂y(1,1)=2e,3故 dz(1,1)=e(dx+2dy)2339. 解:因为 y'=3xlnx+x⋅1x=3xlnx+x,22所以 y''=6xlnx+3x+2x=6xlnx+5x分10. 解:先求导数。