2019年河南省济源市一模数学试卷
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2019 年河南省济源市一模数学试卷
（满分 120 分，考试时间 100 分钟）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. -5 的绝对值等于（ ）
A ．
- 1
5 B
． 1 5
C ．-5
D ．5
2. 据测定，某种杨絮纤维的直径约为 0.000 010 5 m ，该数值用科学记数法表示
为（ ） A ．1.05×105 B ．1.05×10-4
C ．1.05×10-5
D ．105×10-7
3. 如图所示的一组几何体的俯视图是（
）
A
B C
D
4. 下列运算正确的是（
）
A ． 18 - 8=
B ．(-3xy )2=6x 2y 2
C ．(-21)0=1
D ．a 6÷a 2=a 3
5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A ．对华为某型号手机电池待机时间的调查
B ．对全国中学生观看电影《流浪地球》情况的调查
C ．对中央电视台 2019 年春节联欢晚会满意度的调查
D ．对“长征五号 B ”运载火箭零部件安全性的调查
6. 自 2014 年起，将每年的 10 月 17 日设为“扶贫日”，当天某校八年级两个
班举行了募捐活动，各班均捐款 1 800 元．已知 2 班比 1 班人均捐款多 4 元， 2 班的人数比 1 班的人数少 10%，设 1 班有 x 人，可列分式方程为（ ）
2
7. 一元二次方程 x 2-x +2=0 的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．无实数根
D ．无法确定
8. 小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的
名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、吴承恩、《安徒生童话》、安徒生， 从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ）
A ． 1 2
B ． 1 3
C ． 1 4
D ．
1 6
9. 如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以 B ，C 为圆心，以大于 1
BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M ，
2
N ；
②作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD ． 若 CD =AC ，∠A =50°，则∠ACB 的度数为（ ） A ．90° B ．95° C ．100° D ．105°
10. 如图，在一个单位为 1 的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3 的顶点坐标分别为 A 1(2，0)，A 2(1，-1)，A 3(0，0)，则依图中所示规律，A 2 019 的横坐标为（ ）
A ．-1 008
B ．2
C ．1
D ．1 011
M
C
B D
N
A
3
A
D
C
E
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 计算：2-1-cos60°= ．
13.将△ABC 以 B 为旋转中心，顺时针旋转 80°，得到△DBE ，AB =4，则点 A 经过的路径长为 ．（用含 π 的式子表示）
B
E
14.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，中间的小正方形 ABCD 的边长为 1，分别以 A ，
C 为圆心，1 为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为 ．
15.如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，E 在 AC 上且 AE = 2
AC ，D 是直线 BC
3
上一动点，线段 ED 绕点 E 逆时针旋转 90°，得到线段 EF ，当点 D 运动时， 则线段 AF 的最小值是 ．
A
F
B
D
C
D A
C
B
4
12 10 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 75 分）
17.
（9 分）4 月 23 日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级 50 名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：
时间（小时）
6 7 8 9 10 人数
5
8
12
15
10
（1）填空：这 50 名学生读书时间的众数是 、中位数是
、
平均数是 ；
（2）根据上述表格补全下面的条形统计图；
（3）若学校有 3 000 名学生，试估计读书时间不少于 9 小时的学生有多少人？
人数 16 14 12 10 8 6 5
4 2 0
6
/小时
5
18.
（9 分）已知：如图，一次函数 y =kx +3 的图象与反比例函数 y =
m
（x ＞0） x
的图象交于点 P ，PA ⊥x 轴于点 A ，PB ⊥y 轴于点 B ，一次函数的图象分别交
（1）求点 D 的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当 x 取何值时，一次函数 y =kx +3 的值小于反比例函数
y = m
（x ＞0）的值．
x
19.
（9 分）如图，△ABC 中，AB =AC ，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D ， 与 CA 的延长线相交于点 E ，过点 D 作 DF ⊥AC 于点 F ． （1）试说明 DF 是⊙O 的切线； （2）①当∠C = °时，四边形 AODF 为矩形； ②当 tan C = 时，AC =3AE ．
A
F
O
B
D
C
y D C A
O x
B
P
20.（9 分）如图1 是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路
一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE 高1.8 米，踏板静止时踏板连杆与DE 上的线段AB 重合，BE 长为0.2 米，当踏板连杆绕着点A 旋转到AC 处时，测得∠CAB=37°，此时点C 距离地面的高度CF 为0.45 米，求AB 和AD 的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
扶手 D
A
连杆支架
C
B
F E
图1 图2
21.（10 分）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，
经市场调查得知，种植草莓不超过20 亩时，所得利润y（元）与种植面积m （亩）满足关系式y=1 500 m；超过20 亩时，y=1 380m+2 400．而当种植樱桃的面积不超过15 亩时，每亩可获得利润1 800 元；超过15 亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式为z=-20x+2 100．
（1）设小王家种植x 亩樱桃所获得的利润为P 元，直接写出P 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果小王家计划承包40 亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积（x亩）满足0＜x＜20 时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值．
6
7
19 P
E
A
E
P A
B
D P
22. （10 分）在菱形 ABCD 中，∠ABC =60°，点 P 是射线 BD 上一动点，以 AP
为边向右侧作等边△APE ，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化． （1）探索发现
如图 1，当点 E 在菱形 ABCD 内部或边上时，连接 CE ． 填空：BP 与 CE 的数量关系是 ，CE 与 AD 的位置关系是
．
（2）归纳证明
当点 E 在菱形 ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说理） （3）拓展应用
如图 4，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 B E ，若 AB = 2 3 ，BE = 2 ，
请直接写出四边形 ADPE 的面积．
A
B
D B
D
图1
图2
E
E
A
B
D
P
C
C
图3
图4
23.（11 分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y =-3
x +
9
与x 轴交于点A，4 4
与y 轴交于点B；抛物线y =ax2 +bx +9
（a≠0）过A，B 两点，与x 轴交于4
另一点C(-1，0)，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AB 上方的抛物线上有一动点E，求出点E 到直线AB 的距离的最大值；
（3）如图2，直线AB 与抛物线的对称轴相交于点F，点P 在坐标轴上，且点P 到直线BD，DF 的距离相等，请直接写出点P 的坐标．
图2
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