中职数学 指数函数与对数函数 (2)
中职数学第四章指数函数与对数函数地位和作用
中职数学第四章指数函数与对数函数地位和作用在中职数学中，第四章主要介绍指数函数与对数函数的地位和作用，这两种函数在数学和自然科学中至关重要，也是我们生活中经常使用的数学工具。
指数函数是指具有如下形式的函数：y=a^某，其中a表示常数，某表示自变量。
指数函数具有很多特殊性质，其中最引人注意的就是指数函数具有单调性。
当a>1时，指数函数的图像上升；当0<a<1时，指数函数的图像下降。
指数函数的图像呈现出的是一种趋势式增长或者趋势式下降的状态。
指数函数在很多自然科学领域中都有着广泛的应用，例如在生物学中，很多生长模型都可以用指数函数来描述；在经济学中，很多增长模型也可以用指数函数来表示。
指数函数的应用不仅限于此，它还可以被用来描述化学反应速率、电子理论中的原子轨道等等。
和指数函数一样，对数函数也是一种非常常见的数学函数。
对数函数也有如下的形式：y=loga(某)，其中a表示底数，某表示真数。
对数函数和指数函数是一组互逆函数，指数函数和对数函数可以相互抵消，这个特殊性质可以被用来做一些很有用的运算。
对数函数在自然科学领域中也有着广泛的应用，例如在物理学中，沿着地球表面的航线可以用对数函数来描述；在化学中，用对数函数可以描述酸碱度、浓度等物理量。
另外，对数函数也被广泛应用在经济金融、电子技术等领域中，可以发现在我们的生活中，对数函数随处可见。
指数函数和对数函数是一对至关重要的数学工具，在科学研究和工程领域有着广泛的应用。
它们的应用范围不断扩展，不仅服务于数学和自然科学，也服务于人类的生产生活。
查询指数函数和对数函数的运用，既可以提高我们的日常工作效率，又可以拓展我们的知识渊博，充实我们的学习生活。
【高教版】中职数学基础模块上册4.7《指数函数、对数函数的应用》教案
“15/20/10”集体备课导学案
课题：指数函数、对数函数实际应用第课时总第个导学案
任课教师：授课时间：年月日
教学
三维
目标
知识目标：指数型函数、对数型函数的实际应用；
能力目标：掌握由指数型函数求幂的问题转化为求对数值的问题的方法；
情感目标：培养良好的思维习惯，树立数学应用于实际的理念。
解：设在他工作后的第x年，他当年的存款额为
Y=1000(1+20%)x
由1000(1+20%)x=4000，
得1.2x=4
两边取常用对数，得x㏒1.2=lg4
利用计算器求得x= ≈7.6
所以，从他工作后的第八年开始，他当年的存款数额超过4000元
例2通常候鸟每年秋天从北方飞往南方过冬。若某种候鸟的飞行速度y（m/s）可以表示为函数y=5log,其中x为这种候鸟在飞行过程中耗氧量的单位数。
(1）该种候鸟的耗氧量是40个单位时，它的飞行速度是多少？
（2）该种候鸟的飞行速度为15 m/s时，它的耗氧量是多少个单位？
解：（1）由题意，y=5㏒2 =5㏒24=10
因此，候鸟此时飞行速度为10m/s。
(2)由题意，15=5㏒2
所以3=㏒2 ， =23
X=80
因此，候鸟此时耗氧量是80个单位。
1.认真读题，找出函数解析式模型
教学重点
从实际背景中抽象出函数模型的方法
教学难点
从实际背景中抽象出函数模型
教具学具
教学
环节
教学活动过程
思考与调整
活动内容
学生活动
教师活动
温故知新
自主体验
活动一：指数函数、对数函数的实际应用
中职生数学基础模块上册课《指数、对数函数的应用》
课程重点与难点
指数函数和对数 1 函数的基本概念 和性质
指数函数和对数 2 函数的图像和性
质
指数函数和对数 3 函数的应用
指数函数和对数 4 函数的计算方法
和技巧
指数函数和对数 5 函数的综合应用
指数函数的应用
指数函数的定义与性质
性质：指数函数具有以下 性质：
极限：当x→∞时，y→∞； 当x→-∞时，y→0。
中职生数学基础模块上册课 《指数、对数函数的应用》
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目录
CONTENTS
1 课程概述 2 指数函数的应用 3 对数函数的应用 4 指数、对数函数在生活中的应用 5 指数、对数函数在数学中的重要性 6 总结与展望
课程概述
课程目标
01
02
03
04
掌握指数、对数 函数的基本概念 和性质
医学影像处理： 利用指数和对 数函数对医学 影像进行增强 和降噪处理
生物信息学： 利用指数和对 数函数分析基 因序列和蛋白 质结构
工程学中的应用
A
B
C
D
建筑设计：利用指数函 数计算建筑物的高度和
宽度
桥梁设计：利用对数函 数计算桥梁的跨度和承
重能力
机械设计：利用指数函 数计算机械设备的速度
和功率
电子设计：利用对数函 数计算电子设备的功耗
03
指数和对数函数 的组合：用于描 述更复杂的数据， 如人口增长、 GDP增长等
04
指数和对数函数 的应用：在统计 学中，指数和对 数函数被广泛用 于数据分析、建 模和预测。
医学中的应用
01
02
03
04
药物剂量计算： 利用指数函数 计算药物的剂 量和浓度
第4章 指数函数与对数函数(二)(含答案)
2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷第4章指数函数对数函数（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x2.下列各函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．22xy -=B．y =C ．21y x x =++D ．113x y +=3.已知2log 3x =，则13x -等于（）A ．2B ．12C．D4．已知a ＝512，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的关系为()A ．m ＋n<0B ．m ＋n>0C ．m>nD ．m<n5．已知函数12log ,0()2,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，若关于x 方程()f x k =有两不等实数根，则k 的取值范围（）A ．（0，+∞）B ．（,0-∞）C ．（1，+∞）D ．(0,1]【6.若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（）A ．4B ．2C ．eD ．18.（2020全国III 卷）.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．109310.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减12．设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（）．A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．．若lg 2m =，31log 10=n，则用m ，n 表示5log 6等于________.14．已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则________.15.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）16．若函数()2,1,x a x af x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．18.(本小题满分12分)．已知函数()2x f x =，x A ∈的值域为，函数2222()(log )log g x x x =-.（1）求集合A ；（2）求函数()y g x =，x A ∈的值域.19(本小题满分12分)．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422xxf -<．20(本小题满分12分)．已知函数()()lg 101xf x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）设函数()()()lg 101xg x f x =-+，若关于x 的不等式()g x t <恒成立，求实数t 的取值范围.21(本小题满分12分).某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）22.（本小题满分12分）已知函数xy a =（0a >且1a ≠）在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xxa f x a =+．（1）求a 的值；（2）证明：()(1)1f x f x +-=；（3）求1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++ 的值．2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷第4章指数函数对数函数（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x【答案】D 【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为()42xf x =，故选D ．2.下列各函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．22x y -=B ．y =C ．21y x x =++D ．113x y +=【答案】A 【解析】A ，y ＝(22)x的值域为(0，＋∞)．B ，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0，y (－∞，0]，所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1，所以y [0,1)．C ，y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34的值域是[34，＋∞)，D ，因为11x +∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝113x +的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．选A ．3.已知2log 3x =，则13x -等于（）A ．2B ．12C．D【答案】B 【解析】由2log 3x =知328x ==，所以()1131331222x---===，故选B ．4．已知a＝12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的关系为()A ．m ＋n<0B ．m ＋n>0C ．m>nD ．m<n【答案】D 【解析】∵0＜512-＜1∴f （x ）=a x 在R 上单调递减，又∵f （m ）＞f （n ），∴m ＜n ，故选D ．5．已知函数12log ,0()2,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，若关于x 方程()f x k =有两不等实数根，则k 的取值范围（）A ．（0，+∞）B ．（,0-∞）C ．（1，+∞）D ．(0,1]【答案】D 【解析】作出函数()y f x =和y k =的图象，如图所示由图可知当方程()f x k =有两不等实数根时，则实数k 的取值范围是(0,1]故选D6.若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<【答案】B 【解析】因为函数x y a =的图像在第一、二象限内，所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将x y a =向下移动，因为当01a <<时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有当1a >时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故1a >，因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故11m -<-，0m <，故选：B ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（）A ．4B ．2C ．eD ．1【答案】A 【解析】因为1x 是方程4x xe =的解，所以1x 是函数x y e =与4y x=交点P 的横坐标；又2x 是方程ln 4x x =的解，所以2x 是函数ln y x =与4y x=交点Q 的横坐标；因为函数x y e =与ln y x =互为反函数，所以函数x y e =与ln y x =图像关于直线y x =对称，又4y x=的图像关于直线y x =对称，因此，P ，Q 两点关于直线y x =对称，所以有1221x y x y =⎧⎨=⎩，因此12114==x x x y .故选：A8.（2020全国III 卷）.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】：：易知,,(0,1)a b c ∈，由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144a b +==⋅<==<知a b <，因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==，又因为544558,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <，综上所述：a b c <<.故选：A ．9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】：设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg 3lg10361lg 38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D ．10.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】当1x <时，()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝当1≥x 时，()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦ 函数()f x 的值域为(),+∞a 114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D ．12．设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（）．A ．a b c <<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<【答案】D 【解析】依题意可得，12121,log ,()2xy x y x y ===的图象与1y x =-的图象交点的横坐标为,,a b c ，作出图象如图：由图象可知，b c a <<，故选：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．．若lg 2m =，31log 10=n，则用m ，n 表示5log 6等于________.【答案】1+-m n m【解析】因为31log 10=n，所以11lg 3=n ，得到lg3n =.5lg 6lg 2lg 3log 6lg 5lg10lg 21++===--m nm .故答案为：1+-m n m14．已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则________.【答案】2【解析】设lg 2a =，则1lgln 22a =-=-，()())ln 31f a f a a +-=++()22ln 31ln 1992ln122a a a ⎫++=+-+=+=⎪⎭，所以()1lg 2lg 22f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以答案为215.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）【答案】10【解析】设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能测到碳14，则1121000n x x ⋅<，即10.0012n<，由参考数据可知，910.001950.0012=>，10110.001950.0009750.00122=⨯=<，所以10n =，故答案为：10.16．若函数()2,1,x a x a f x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】(](],10,1-∞- 【解析】函数21y x =-的零点为±1.①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-；②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤；③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞- .故答案为：(](],10,1-∞- .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．【解析】解法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg 3－2>0由零点存在性定理，f (x )在(0,2)上存在实根又f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)为增函数，故f (x )有且只有一个零点．解法二：(数形结合)在同一坐标系中作出g (x )＝2－2x 和h (x )＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，由图象可知有且只有一个交点，即函数f (x )有且只有一个零点．18.(本小题满分12分)．已知函数()2x f x =，x A ∈的值域为[2,16]，函数2222()(log )log g x x x =-.（1）求集合A ；（2）求函数()y g x =，x A ∈的值域.【答案】（1）1[,4]2；（2）[1,3]-【解析】（1）因为函数()2xf x =的值域为⎤⎦216x ≤≤，所以142x ≤≤，即函数()f x 的定义域1,42A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（2）令2log t x =，因为142x ≤≤，所以21log 2x -≤≤，即12t -≤≤，所以函数()y g x =，x A ∈可以化为()22u t t t =-（12t -≤≤），所以()()min 11u t u ==-，()()max 13u t u =-=，即函数()y g x =，x A ∈值域为[]1,3-.19(本小题满分12分)．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x x f -<．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x <【解析】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f .（2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-，∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数．在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <，∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112x x f f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x -<，即()()12022x x +<-，∵210x +>，∴220x -<，解得1x <，故原不等式的解集为{}|1x x <.20(本小题满分12分)．已知函数()()lg 101x f x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）设函数()()()lg 101x g x f x =-+，若关于x 的不等式()g x t <恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（Ⅰ）定义域为()0,x ∈+∞.值域为R .（Ⅱ）0t ≥【解析】（Ⅰ）∵1010x ->，∴01010x >，∴()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.又∵1010x ->，∴()f x 的值域为R .（Ⅱ）()()()()()lg lg 1101l 0101g 1x x xg x f x =-+=--+1012lg lg 1101101x x x ⎛⎫-⎛⎫==- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.∵100x >，∴1011x +>，∴202101x <<+，∴220101x -<-<+，∴2011101x <-<+，∴2lg 10101x ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，∴()g x 的值域为(),0-∞.∵关于x 的不等式()g x t <恒成立，∴0t ≥.21(本小题满分12分).某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】（1）11021x =-；（2）5年；（3）至少还需要26年.【解析】解：（1）设增长率为x ，依题意可得()1012a x a +=所以()1110101012x ⎡⎤+=⎣⎦即11012x +=，解得11021x =-（2）设已经植树造林n 年，则110121n a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即1110222n =解得5n =，故已经植树造林5年.（3）设至少还需要m 年，则1101216m a a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭即11026m ≥即2221log 6log 2log 310m ≥=+解得lg 3101025.8lg 2m ≥+≈故至少还需要26年22.（本小题满分12分）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+．（1）求a 的值；（2）证明：()(1)1f x f x +-=；（3）求1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++ 的值．【答案】（1）20；（2）见答案（3）1008【解析】（1）函数x y a =（0a >且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，∴220a a +=，得4a =或5a =-（舍去）．（2）由（1）知4()42xx f x =+，∴1144444()(1)442424224x x xx x x x x f x f x --+-=+=+++++2044421422444242x x x x x x =+=+=+⋅+++．（3）由（2）知12016(()120172017f f +=，22015()(120172017f f +=， ，10081009()(120172017f f +=，∴123201612016(()(([()(201720172017201720172017f f f f f f ++++=+ 2201510081009[(()][(()]11110082017201720172017f f f f +++++=+++=。
《对数》指数函数与对数函数PPT教学课件(第二课时对数的运算)
第二课时 对数的运算
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
核心素养
对数的运算 掌握对数的运算性质，能运用运算性 数学运算
性质 质进行对数的有关计算
了解换底公式，能用换底公式将一般
换底公式
数学运算
对数化为自然对数或常用对数
能灵活运用对数的基本性质、对数的 对数运算的
运算性质及换底公式解决对数运算 综合问题
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第四章 指数函数与对数函数
■名师点拨 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意 义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5) 是错误的． 2．换底公式
logcb logab＝__l_o_g_ca_____ (a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．
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第四章 指数函数与对数函数
2. 1 1＋ 1 1＝________． log149 log513 11
解析：log14119＋log11513＝llgg419＋llgg513＝－ －22llgg23＋－ －llgg53＝llgg23＋llgg53＝lg13＝ log310. 答案：log310
)
A．8
B．6
C．－8
D．－6
解析：选 C.log219·log3215·log514＝log23－2·log35－2·log52－2＝ －8log23·log35·log52＝－8.
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第四章 指数函数与对数函数
4．已知
a2＝1861(a>0)，则
log2a＝________． 3
解析：由 a2＝1861(a>0)得 a＝49， 所以 log3249＝log23232＝2. 答案：2
【全文】指数函数与对数函数PPT课件 (2)
2.
y
(1)
1 x3
2
x≠ - 3
1 0 x3
y≠1, y>0
值域为 (0,1)∪(1,+∞)
平移变换
指数函数3(函数的图象变换)
1. y=f(x) →y=f(x-a)：左右平移
y=f(x-a)，a<0
y=f(x) y=f(x-a)，a>0
a>0时，向右平移a个单位； a<0时，向左平移|a|个单位.
5
1). a 2 a , a 2
11
a3 3 a2 ,
a3
3
a a, a4
3. 计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 ); 4a
13
(2)(m 4 n 8 )8.
要点：分别计算系数和指数
m2n3
4. 计算下列各式：
5
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围。
（1）定义域为{x|x≠1}；
1 0
x 1
值域为{y|y>0且y≠1}
1
⑴ y 0.4 x1
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
（2） 定义域为{x| x 1 } 5
值域为{y|y≥1}
1
m
an
(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)
0的正分数指数幂等于0
0的负分数指数幂无意义 有理指数幂的运算性质
a m a n a mn (m, n Q) (a m )n a mn (m, n Q) (ab)n a n bn (n Q)
职高复习第一轮教案02指数函数和对数函数
指数式与对数式一、高考要求：1. 掌握指数的概念、指数幂的运算法则.掌握对数的概念、性质和对数的运算法则,掌握换底公式,了解常用对数和自然对数. 二、知识要点： 指数的定义及性质:(1)有理数指数幂的定义:①)0(10≠=a a ; ②),0(1+-∈≠=N n a a a n n ;③),,0(为既约分数且、nmN n m a m an nm +∈>=; ④),,0(1为既约分数且、nmN n m a mannm +-∈>=. (2)实数指数幂的运算法则:①n m n m a a a +=⋅; ②mn n m a a =)(; ③n n n b a ab ⋅=)(. 对数的定义及性质:对数的定义:令N=b a (a ＞0且a≠1)中,b 叫做以a 为底N 的对数,N 叫做真数,记作:b N a =log .对数的性质:①真数必须是正数,即零和负数没有对数; ②01log =a (a ＞0且a≠1); ③1log =a a (a ＞0且a≠1); ④对数恒等式:N a N a =log (a ＞0且a≠1). 对数的运算法则:当a ＞0且a≠1,M ＞0,N ＞0时,有①N M MN a a a log log )(log += ②N M NMa a a log log log -=③M n M a n a log log = ④M n M a n a log 1log =换底公式:aNN b b a log log log =. 常用对数:底是10的对数叫做常用对数,即N N lg log 10=.自然对数:底是e 的对数叫做自然对数,即N N e ln log = (其中无理数e≈ . 自然对数和常用对数的关系是:eNN lg lg ln =. 三、典型例题： 例1:计算: (1) 31213125.01041027.010])833(81[])87(3[)0081.0(⨯-+⋅⨯------;(2)3log 333558log 932log 2log 2-+-.例2:化简: (1)43)1(1)1(--a a ; (2)50lg 2lg )5(lg 2⋅+例3: (1)已知a =2log 14,求7log 2的值; (2)设,518,9log 18==ba 求45log 36的值.例4:解下列方程:(1)32x-2=81; (2)lg(x-1)2=2; (3)53443)()(=x ; (4)lg(2-x 2)=lg(2-3x)-lg2;(5)803322=--+x x ; (6)1log 38log 28=-x x .四、归纳小结：掌握指数和对数的定义、性质以及运算法则是正确进行指数式和对数式的计算与化简的关键,特别是运算法则及换底公式的灵活运用.指数、对数方程属于初等超越方程,可以化成代数方程后求解的简单的指数、对数方程主要有以下几种类型:基本型:b a x =⇔b x a log =和b x a =log ⇔b a x =; 同底数型:)()(x g x f a a =⇔)()(x g x f =和)(log )(log x g x f a a =⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>=0)(0)()()(x g x f x g x f ; 需代换型:作代换)(x f a y =或)(log x f y a =后化为y 的代数方程,解出y 后转化为基本型求解.五、基础知识训练： （一）选择题：下列运算正确的是( )A.2332)()(a a -=-B.3232)(+-=-a aC.3232)(+=-a aD.632332)1()(a a a -=-=-⨯ 考查如下四个结论:(1)当a ＜0时,3232)(a a =; (2)函数021)73()2(---=x x y 的定义域是x ≥2; (3)3121)5()3(-<-a a ; (4)已知,210,50100==b a ,则2a+b=1. 其中正确的结论有( )个 个 个 个 下列各式中计算错误的是( )A.873222)()(b a ab b a -=-⋅-B.3332332)()(b a ab b a =-÷-C.663223)()(b a b a =-⋅-D.181833223])()[(b a b a -=-⋅- 与对数式)1,0,0(log ≠>>=b b a N a b 对应的指数式是( )A.N a b =B.N b a =C.b a N =D.a b N =431681-⎪⎭⎫⎝⎛的值是( ) A.278 B.278- C.23 D.23- 若0)lg(log 3=x ,则x=( ).3 C 或10 下列等式不成立的是( ) A.b b a n a n log log = B.N N a alog 2log =C.a b b a log 1log =D.N N a a log 31log 3= 设a,b 是正数,且a b b a =,b=9a,则a 的值为( )A.91B.99C.39D.43 若238log =x ,则x 的值是( )B.4C.21D.41如果0)](log [log log 235=x ,那么4x =( )A.42B.432C.32D.23 已知b a ==5log ,3log 22,则59log 2=( )B.2a-bC.b a 2D.ba2若a ＞b ＞1,P=b a lg lg ⋅,Q=)lg (lg 21b a +,R=2lg ba +,则( )＞P ＞R ＞Q ＞P ＞P ＞Q ＞R ＞P （二）填空题：若23=a ,53=b ,则b a -23= . 已知82121=+-xx ,则xx 12+= .（三）解答题：已知)2lg(2lg lg y x y x -=+,求yx的值.设3643==y x ,求yx 12+的值.指数函数和对数函数 一、高考要求：掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质. 掌握指数函数和对数函数在实际问题中的应用. 二、知识要点：名 指数函数 对数函数 形式)1,0(≠>=a a a y x)1,0(log ≠>=a a x y a 函数图象定义(-∞,+∞) (0,+∞) 值(0,+∞)(-∞,+∞)例1:已知函数11)(-+=x x a a x f (a ＞0且a≠1).求)(x f 的定义域和值域; 讨论)(x f 的奇偶性; 讨论)(x f 的单调性.例2:求函数)82(log 25.0++-=x x y 的定义域及单调区间.例3:已知0>a 且1≠a ,)(1)(log 12--⋅-=x x a a x f a . 求)(x f ;判断)(x f 的奇偶性和单调性;对于)(x f ,当)1,1(-∈x 时,有0)1()1(2<-+-m f m f ,求m 的取值范围.四、归纳小结：函数x a y =与函数x a y -=的图象关于y 轴对称；函数x y a log =与函数x y a1log =的图象关于x 轴对称；函数x a y =与函数x y a log =的图象关于直线y=x 对称.指数函数和对数函数互为反函数.它们的性质可以用类比的方法进行记忆. 指数不等式、对数不等式的求解主要依据指、对函数的单调性. 五、基础知识训练： （一）选择题：同时具有以下性质:①图象经过点(0,1); ②在区间(0,+∞)上是减函数; ③是偶函数 的函数是( )A.x x f 2)(=B.x x f -=2)(C.1)(2+=x x fD.1)(2+-=x x f 下列函数图象中,一定通过点(0,1)的是( )A.2x y =B.x y =C.x y 2=D.x y 2log = 若4545a a >-,则a 的取值范围是( )＞1 ＜0 C.0＜a ＜1 已知函数)1lg()2lg()(++-=x x x f ,关于此函数的命题有 函数)(x f 的定义域为(2,+∞),在定义域内是增函数; 函数)(x f 的定义域为(-1,+∞),在定义域内是增函数; 函数)(x f 的值为1时,则x 的值为4; 函数)(x f 在定义域内为奇函数.其中正确的说法是( )A.(1) (3)B.(2) (4)C.(1) (2)D.(3) (4) 若集合A={y|y=x 2,x ∈R},B={y|y=2x ,x ∈R },则( ) ⊆B=B函数x x f a log )(=与)(log x y a -=的图象关于( )轴对称 轴对称 C.直线y=x 对称 D.原点对称 函数)1(log )(21-=x x f 的定义域是( )A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(1,2] 函数3log )(2+=x x f (x≥1),则反函数)(1x f-的定义域是( )B.{x|x≥1}C.{x|0＜x ＜1}D.{x|x≥3} 函数)(x f y =的反函数为3)1lg(+-=x y (x ＞1),则)(x f =( )A.1103++xB.1103--xC.1103-+xD.1103+-x 函数)23(log 221+-=x x y 的单调递增区间是( )A.(-∞,1)B.(2,+∞)C.(-∞,23) D.(23,+∞) （二）填空题：若1>a ,试将5.0log 1a,1log a ,6.0log 1a从小到大用不等号连接,则有若132log >a,则a 的取值范围是 . （三）解答题：已知)1,0,(11)(≠>∈+-=a a R k a a ka x f xx 、是R 上的奇函数, 求k 值; （2）求)(x f 的反函数)(1x f -；（3）解不等式0)(1>-x f已知函数a x f x +-=121)(是x≠0上的奇函数,a 是常数,求a 的值. 已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).判断)(x f 的奇偶性; 求)(x f 的值域;证明)(x f 是区间(-∞,+∞)上的增函数.。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，也是应用数学中常见的数学模型。
指数函数与对数函数既有相似之处又有一些不同点，下面是对这两个函数的一些基本特点进行总结。
一、指数函数指数函数的定义形式为：y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0，且a≠1。
1. 基本性质：（1）当a>1时，指数函数是增函数；当0<a<1时，指数函数是减函数。
（2）当x>0时，指数函数是正值函数；当x<0时，指数函数是正值函数。
（3）当x=0时，指数函数的值为1。
（4）当x为无穷大时，指数函数可能趋于无穷大或者趋于0。
2. 反函数：指数函数的反函数称为对数函数，记作y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。
3. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。
（2）当x=1时，对数函数的值为0。
（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。
（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。
4. 常用公式：（1）换底公式：logₐb=logₐc·log_cb，可用于将对数函数的底数换成我们熟悉的底数，如换底公式常用来求解以10为底和以e为底的对数函数。
（2）指数函数的复合函数性质：如果f(x)是指数函数y=a^x，g(x)是一个函数，那么(f°g)(x)=a^(g(x))。
二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，对数函数的定义形式为：y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。
1. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。
（2）当x=1时，对数函数的值为0。
（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。
（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。
专题2.函数、指数函数与对数函数-答案
1 / 103.函数函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学模型和数学工具，有广泛的实际应用.函数是贯穿中职数学的主线.本单元的学习，可以帮助学生在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，从集合与对应出发，进一步学习和研究函数的概念，深刻理解函数的本质；通过对函数图像与性质的研究，提升直观想象素养；利用函数的基本表示方法、单调性、奇偶性解决实际生活中的问题，体会函数的实际背景和实际应用，提升数学抽象、逻辑思维和数学应用素养.知识点一：函数的概念（.约需3分钟）.内容包括：对应与映射的概念，函数的概念，定义域，函数值的求法. 学习水平一级水平：了解对应与映射的概念，会判断一些简单的对应是否为映射；理解函数的概念，理解函数的定义域、值域、对应法则的概念；能由已知表达式求函数值. 例3.1.1判断下列各图所示对应关系是否函数？解：只要一个x对应唯一的一个y ，就是函数．所以第二个不是，其余两个都是函数．练习：下列三个图象中，能表示 y 是 x 的函数图象的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3解：第一个图象，对给定的x 的值，有两个y 值与之对应，不是函数图象． 综上所述，表示y 是x 的函数的有第一个、第二个，共2个． 故选C ．2 / 10例3.1.2已知函数 321)(-=x x f ，求)1(-f ，)2(f ，)1(+a f .解：513)1(21)1(-=--=-f ；13221)2(=-⨯=f ；1213)1(21)1(-=-+=+a a a f练习：已知函数32)(-=x x f ，求)1(+a f ，)2(a f 。
二级水平：理解函数的三要素，会求函数的定义域，会判断两个函数是否同一函数. 例3.1.3求下列函数的定义域：（1）. 51)(-=x x f ;（2）12)(-=x x g ；（3）12)(-+=x x x h解：（１）．X ≠5；（2）. 21≥x ；（3）.012≥-+x x ；x ≥－2或x>1 . 练习：求下列函数的定义域：（１）．132)(2+-=x x x f （2）．x x x f 212)(2-=例3.1.4指出下列各函数中，哪个与函数y = x 是同一个函数？（1）xx y 2=; （2）2x y =; （3）s =t .解：函数y = x 中：R y R x ∈∈,；s =t 与y=x 是同一个函数. 练习：上例中，哪个与函数y = |x| 是同一个函数？三级水平：会求简单复合函数的定义域及函数值.例3.1.5设函数)(x f 的定义域是（a ，b ）,求函数)1(+x f 的定义域. 解：∵a<x+1<b,∴a-1<x<b-1 练习：知识点二：函数的表示法.约需3学时. 内容包括：函数的解析法、列表法、图像法. 学习水平一级水平：能判断点与图像的关系，会利用“描点法”作简单函数的图像.掌握正比例函数，反比例函数，一次函数等几个常用函数的解析式及图像.3 / 10例3.2.1判断点P （1，1），Q （-1，-3）是否在 f (x) =3x 2 ＋ x －5 的图像上. 解：３＋１－５＝－１，３－１－５＝－３．所以点Ｑ（－１，－３）在f(x)图像上 例3.2.2点A （a ，3）在函数352+-=x x y 上，求a. 解： 3523+-=a a ; 3a+9=2a-5;a=-14例3.2.3反比例函数经过点（4，81-），求解析式. 解：481k =-；k=21-;x y 21-=二级水平：掌握二次函数的图像及性质，能用待定系数法求二次函数的解析式；结合实例理解分段函数的意义，能由分段函数的解析式直接求值.例3.2.4已知一元二次函数的顶点为（6，-12），与x 轴的一个交点为（8，0），求这个函数的解析式. 解：y=a(x －6)2－12；a(8-6)2-12=0；例3.2.5函数 y ＝ax ＋ a 和y ＝ax 2 的图像只可能是（ ）.练习：在图中，函数y=-ax 2与y=ax+b 的图象可能是（ ）A.B. C. D.根据图象判断两函数式中，a 的符号是否相符；A 、由函数y=-ax 2的图象知a ＜0，由函数y=ax+b 的图象知a ＞0，不相符；B 、由函数y=-ax 2的图象知a ＞0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，不相符；C 、由函数y=-ax 2的图象知a ＞0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，不相符；D 、由函数y=-ax 2的图象知a ＜0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，相符． 故选D ．4 / 10例3.2.6设)0(3)0(4{)(≤->+=x x x x x f ，则(1).=)2(f ；(1).=-))3((f f .三级水平:能用适当方法表示生活中的函数关系.例3.2.7文具店内出售某种铅笔，每支售价0.12元,应付款是购买铅笔数的函数,当购买6支以内(含6支)的铅笔时,请用三种方法表示这个函数.例3.2.8国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克而不超过40克付邮资160分，试写出x(0≤x ≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，作出函数的图象.知识点三：函数的单调性和奇偶性.约需 4 学时.内容包括：函数单调性、奇偶性的定义，判断函数的单调性和奇偶性；函数单调性、奇偶性的应用. 学习水平一级水平：结合实例理解函数的单调性及奇偶性的定义，能根据函数图像判断函数的单调性和奇偶性. 例 3.3.1 结合下列函数的图像，判断函数的单调性： （1）函数y =2x+3在R 上是 函数；（2）函数y=2x 2 + 4x-3 的单调递增区间是 ，单调减区间是 ； （3）函数xy 1-=在（0，+∞）上是 函数.例 3.3.2 结合下列函数的图像，判断函数的奇偶性： （1） f (x)= x 3 ; （2） f(x)=2x2;（3） f (x)= x+1.二级水平：能利用函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，能利用函数奇偶性求 函数值；能根据函数的单调性比较函数值的大小. 例 3.3.3 已知 f (x) =x 5+ bx 3 + cx 且 f(-2)=10，那么 f(2) =.例 3.3.4 已知奇函数 f (x)在(1，5)上单调递减，比较 f (-1), f (-3), f (-5)的大小关系.三级水平：能根据函数单调性定义判断、证明函数的单调性；能解决含有参数的实际问题，能解决有关函数奇偶性、单调性的综合问题.例 3.3.5 已知 f (x)= x 3 + ax + bsin x-1，且 f (4) =3，求 f (-4).5 / 10例 3.3.6 已知函数 f (x) = (m 2－1)x2＋(m －1)x ＋ (n ＋ 2) 为奇函数，则m ＝，n ＝.例 3.3.7 已知函数 f (x)＝ x 2 ＋2(a －1)x ＋2 在区间（－∞，4）上是减函数，求实数a 的取值范围.例 3.3.8 判断函数xx x f 1)(+=在（1，＋∞）上的单调性.例 3.3.9 已知函数为偶函数，在［－1，0］上是增函数，且最大值为5，那么 f (x)在［0，1）］是 函数，最大值是 .知识点四：函数的实际应用举例.约需 2 学时. 内容包括：选择函数模型解决实际问题. 学习水平三级水平：学会将实际问题转化为数学问题，选择适当的函数模型（分段函数、二次函数）刻画实际问题.培养学生的作图及读图的能力.例 3.4.1 某城市供电不足，供电部门规定，每户每月用电不超过 200kW .h ，收费标准为 0.51 元/（kW . h ），当用电超过 200kW . h ，但不超过400kW . h 时，超过的部分按 0.8 元/（kW .h ）收费，当用电超过 400kW . h 时，就停止用电.（1）写出每月用电费 y 元与用电量x 之间的函数解析式，并求函数的定义域； （2）求出 f(150)，f(300)的值； （3）作出函数的图像.例 3.4.2 设 f (x)表示某事物温度随时间的变化规律，有一下函数的关系式 （1）比较第 5 分钟与第 25 分钟时该物体温度值得大小； （2）求在什么时候该物体温度最高？最高温度是多少？例 3.4.3 某商品的进价为每件 50 元，根据市场调查，如果售价为每件50 元时，每天可卖出 400 件；商品的售价每上涨 1 元，则每天少卖10件.设每件商品的定价为x 元（x ≥50，x ∈N ）.（1）求每天销售量与自变量x 的函数关系式； （2）求每天销售量利润与自变量x 的函数关系式；（3）每件商品的售价定为多少时，每天可获得最大利润？最大的日利润是多少元？6 / 105.指数函数与对数函数指数函数与对数函数是基本函数，在科技领域内应用广泛.本单元学习，可以帮助学生理解指数、对数的概念及运算法则和指数函数、对数函数的有关概念，利用图像研究指数函数、对数函数的基本性质，提升数学运算、逻辑思维和直观想象素养；在研究过程中进一步领会研究函数的基本方法，认识指数函数、对数函数在现实生活中的广泛应用，提升数学抽象和数学应用素养.知识点一：有理数指数幂和实数指数幂.约需 3 学时.内容包括：n 次根式、分数指数幂、有理数指数幂的概念，根式、分数指数幂的互化，实数指数幂的运算性质及运用. 学习水平一级水平：能理解分数指数幂、有理数指数幂的概念，会对根式、分数指数幂进行互化，能运用实数指数幂的运算性质进行计算和化简.例 5.1.1 将下列各根式写成分数指数幂.（1）13= （2）431a=例 5.1.2 将下列各分数指数幂写成根式的形式. （1）412= （2）324=例 5.1.3 计算：（1）3227= （2）31256.0=例 5.1.4 化简：（1）33231a a a ∙∙ （2）))((212212b a b a -+ .二级水平：能运用实数指数幂的运算性质进行幂的计算和化简，并能利用幂 的性质解决根式的计算问题. 例 5.1.5 计算： 43411643216∙∙-例 5.1.6 计算：543812793⨯⨯⨯三级水平：能熟练运用根式、指数幂的相关知识进行化简和计算.例 5.1.7 化简：(1).()323233ba b a abb(2). 32238791)2(413⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯7 / 10知识点二：指数函数.约需 3 学时.内容包括：指数函数定义，指数函数图像及性质，指数函数模型及其应用. 学习水平一级水平：理解指数函数定义、图像及性质，能用“描点法”作指数函数图像，能理解 0＜a ＜1 与 a ＞1 两种情况的指数函数图像的总体特征，能结合图像分析并指出基本型指数函数的有关性质（单调性、值域、定点）.例 5.2.1 判断下列指数函数在),(+∞-∞内的单调性：y= 0.7x ; （2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=23例 5.2.2 函数 y=2x 的大致图像是（ ）.二级水平：能作出指数函数简图，能判断指数函数的单调性，并应用指数函数的单调性求函数的定义域和值域，能判断指数增长模型或指数衰减模型、比较同底指数幂的大小关系，能用待定系数法求指数函数解析式.例 5.2.3 求下列函数的定义域：（1）121-=xy ; （2） 273-=xy例 5.2.4 判断下列函数在),(+∞-∞内的单调性：（1）xy -⎪⎭⎫⎝⎛=121 （2） 33x y =例 5.2.5 已知指数函数 f (x) =a x 的图像过点 )94,2( ，求 f (3)的值.8 / 10例 5.2.6 比较大小：(1). 313 1；(2)312 252⎪⎭⎫⎝⎛三级水平：能从实际情境中建立指数函数模型，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.例 5.2.7 林阳的家长于 2015 年 7 月 1 日存入银行 10000 元人民币，整存整取一年期的年利率为 3.20%，他按照一年期存入，如果每过一年连本带息转存，那么三年后连本带息共有多少元（结果保留两位小数）？例 5.2.8 某种抗生素类药物服药后，每经过 1 小时，药物在体内的剩余量为32，问 4 小时后的剩余量为多少？知识点三：对数.约需 4 学时.内容包括：对数的概念（含常用对数、自然对数）及性质，对数与指数的关系，指数式与对数式的互化，积、商、幂的对数.学习水平一级水平：能熟练完成指数式与对数式的互化，能运用对数性质求值，初步了解积、商、幂对数的公式及简单运用.例 5.3.1 将下列指数式写成对数式：（1）8134= ; (2)10x ＝ y .例 5.3.2 将下列对数式写成指数式：（1）log 10 1000 ＝ 3 ;（2）log 5 625＝4 .例 5.3.3 求下列对数的值：（1）log 5 5;（2）log 8 1 .例 5.3.4 用lgx ， lgy ，lgz 表示下列各式：（1）zxylg ; (2)x lg .二级水平：理解并熟记积商幂的对数公式，能运用公式解决相关计算问题. 例 5.3.5 设x>0，y >0，下列各式中正确的是（ ）.A. ln(x ＋ y) ＝lnx ＋lnyB. ln(xy) ＝lnxlnyC. ln(xy)＝lnx ＋lnyD.yxy x ln ln ln =9 / 10例 5.3.6 计算下列各式的值：（1）21lg 5lg - ; （2）lg125＋lg8.三级水平：能运用积、商、幂的对数运算法则解决综合性计算问题. 例 5.3.7 计算：（1）（lg 2）2＋ lg 20×lg5 ; （2）5.0lg 85lg 125lg +-例 5.3.8 已知log 2 3 = a ，log 2 5＝b ，则59log 2＝（ ）. A. a 2－b B. 2a － b C.ba 2D. b a 2知识点四：对数函数.约需 3 学时.内容包括：对数函数定义，对数函数图像、性质及其应用. 学习水平一级水平：理解对数函数定义、图像及性质，能用“描点法”作对数函数图像，能理解记忆 0＜a ＜1 与 a ＞1 两种情况的对数函数图像的总体特征，能结合图像分析基本型对数函数的有关性质（单调性、值域、定点），会求简单对数函数的定义域.例 5.4.1 作出函数y ＝log 2 x 的简图.例 5.4.2 求下列函数的定义域.（1）y ＝ log 2(x ＋1) ；（2）xy ln 1=.例 5.4.3 函数y ＝ log 3 x 的大致图像是（ ）.10 / 10例 5.4.4 若函数y ＝ log a x 的图像经过点（），则底数a ＝.二级水平：能结合对数函数简图，比较同底对数的大小关系，能求含有对数式的函数的定义域. 例 5.4.5 比较大小：（1）log 2 7与log 2 9; （2）4log 5log 2121与.例 5.4.6 求下列函数的定义域：（1）x y ln =; （2）xy 3log 11-=三级水平：应用对数函数解决实际问题，体会数学知识的应用.例 5.4.7 某钢铁公司今年年产量为a 万吨，计划每年比上一年增产5%，设经过 x 年后产量番一翻，则 x 的值是（ ）. A.(1＋5%)2 B. log 1.05 2 C. alog 1.05 2 D.a2log 05.1例 5.4.8 某地区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 8%，要增长到原来的x 倍，需要经过y 年，则函数y ＝ f(x)的图像大致为（ ）.。
中职数学第一册第4单指数、对数函数教案
二、合作讨论，构建新知
（一）、探究：
已知x n=a,填写下表并回答问题：
a 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、合作讨论，构建新知
1、如果某种生物分裂次数为
分裂次数
细胞个数
二、合作讨论，构建新知
1、探究：
某种细胞在分裂过程中，分裂次数与分裂后得到的细胞个数之间的函数关系式为y＝2x，那么该细胞在经过多少次分裂后得到的细胞
()0,+∞.
因为24x ->.
一、常用对数Nlg及自然对数Nln 例：求下列各对数值（精确到0.0001）（1）4.1lg （2）5
2
lg （3）7.0ln （4ln 二、一般底的对数Nalog
例：求下列各对数值（精确到0.0001）
（1）8.5log115 （2）7log2
（3）699log（4）3.10log9
4
三、问题解决
在解决实际问题中，有时用到式子）为正整数，，，1(acbacabx，那么如何求未知
数x呢？
例：已知83.0)501(400x，求x（精确到0.01）。
27
.25
.0lg)483.0lg()483.0lg(5.0lg,
483.05.083
.0)501(400
xxxxx用计算器求得：两边取对数，解：
四、课堂小结
谈谈你在本节课的收获
y x为这种候鸟在飞行过程中耗氧量的单位数。
（1）该种候鸟的耗氧量是。
中职数学（人教版）：讲指数与对数函数教学教案
第07讲 指数与对数函数一、指数与对数运算： （一）知识归纳： 1．根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n .②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a nn=；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n2．幂的有关概念：①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *， 2）)0(10≠=a a ， n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）， 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rr r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 3．对数的概念：①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数. 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）， 2）01log =a ， 3）1log =a a ， 4）对数恒等式：N aNa =log③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M NMa a alog log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）. ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ， 2）.log log b mnb a na m = （二）学习要点：1．b N N a a N a bn ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底.2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.【例1】解答下述问题：（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---[解析]原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+-922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=（2）计算1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅.[解析]分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；分母=41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+； ∴原式=43. （3）化简：.)2(2485332332323323134aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--[解析]原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.（4）已知：36log ,518,9log 3018求==ba 值. [解析],5log ,51818b b=∴=ab a b -+-=-+-+=++=∴22)2(2)3log 18(log )9log 18(log 16log 5log 2log 18log 36log 181818181818181830.[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.【例2】解答下述问题：（1）已知1log 2log log ≠=+x x x x b c a 且， 求证：b a ac c log 2)(= [解析]0log ,1,log log 2log log log ≠∴≠=+x x bxc x x a a a a a a ，2log log )1(log log 2log 2log 11c b c c bc a a a a a a ⇒+=⇒=+∴=b b a a a a a ac c ac b ac log 2log )()(log log )(log =⇒=⋅（2）若0lg lg )][lg(lg lg lg lg lg lg 2=-++++yx y x y y x x y x ，求)(log 2xy 的值.[解析]去分母得0)][lg()lg (lg 22=-++y x y x⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=+∴110)lg(0lg lg y x xy y x y x ， x ∴、y -是二次方程012=--t t 的两实根，且y x y x y x >≠≠>>,1,1,0,0，解得251±=t ， 0)(log ,215,215,02=+∴-=+=∴>y x y x x [评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多从这种练习中积累经验. 二、指数函数与对数函数（一）学习要点： 1．指数函数：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数，1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数.②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴），3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称.③函数值的变化特征：2．对数函数：①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞， 2）函数的值域为R ， 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数，4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数.②1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）.4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x ya 1log log ==与的图象关于x 轴对称.③函数值的变化特征：（二）学习要点：1．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.2．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.【例1】已知11log )(--=x mxx f a 是奇函数 （其中)1,0≠>a a ， （1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性； （3）求)(x f 的反函数)(1x f-；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值.[解析]（1）011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-xx m x mx x mx x f x f a a a 对定义域内的任意x 恒成立，10)1(11122222±=⇒=-⇒=--∴m x m xx m ， 当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ， （2）∴-+=,11log )(x x x f a 定义域为),1()1,(+∞--∞ ， 求导得e x x f a log 12)(2--='， ①当1>a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； ②当10<<a 时，),1()1,()(,0)(+∞--∞∴>'与在x f x f 上都是增函数； （另解）设11)(-+=x x x g ，任取111221>>-<<x x x x 或， 0)1)(1()(21111)()(2112112212<----=-+--+=-∴x x x x x x x x x g x g ， )()(12x g x g <∴，结论同上；（3）111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y yy y a a a x a x a x x a x x y ， )10,0(11)(,0,011≠>≠-+=∴≠∴≠--a a x a a x f y a x x y且（4）)2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在 上为减函数，∴命题等价于1)2(=-a f ，即014131log 2=+-⇒=--a a a a a， 解得32+=a .[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.【例2】对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围. [解答]记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0 恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ，a ∴ 的取值范围是)3,3(-；（2）这是一个较难理解的问题。
四川省中等职业学校对口升学考试-数学-第四章《指数函数与对数函数》总复习-课件
一
知识点二 函数的定义域
(6)几个常见幂函数的图像和性质如表4-1所示.
一
典例解析
例1
计算：
（21/40.5+（0.1）-2-（22）-23-12-3+（2+1）0.
注意：
【解析】
【技巧点拨】进行有理数指数幂运算时，若底数是带分数，则通常将带分数化为假分数
；若底数为小数，则将小数化成分数；若底数为根式，则将底数化成有理数指数幂的形
【技巧点拨】 对数的真数一定要大于零.
一
典例解析
例4 求函数=log1/3 (3-2x-x2)的单调区间.
【解析】 函数y=log1/3 (3-2x-x2)的定义域为{x|3-2x-x2>0}={x|-3<x<1}.
令t=3-2x-x2,x∈(-3,1),y=log1/3t在其定义域内为减函数.
注意：
；当α<0时，幂函数图像只经过（1，1）点，此时函数在（0，+∞）内为减函数；当α=0时，图像不经
过点（0，0）.而当x>0时，y>0.故本题选B.
【技巧点拨】首先要明确幂函数的一般形式：y=xα，判断出函数是否是幂函数，然后确定指数α的值，
不同的值所对应的图像和性质都会发生变化，然后确定它的定义域.
一
知识清单
2.对数函数的概念、图像和性质
(1)对数函数的概念:y=logax(a>0,a≠1,x>0).(2)对数函数的图像和性质.对数函数的图像和性质
见表3-2
一
典例解析
例 1 求下列各式的值.
注意：
【解析】（1）由logaab=b知，lg(1/100)=lg10-2=-2.
(2)由alogaN=N，知(1/2)log23=(2-1)log23=(2log23)-1=3-1=1/3.
中职数学单招一轮总复习《指数函数与对数函数》复习课件
第 13 页
知识回顾
3．幂函数 2）常见幂函数的图象和性质
第 14 页
知识回顾
3．幂函数 2）常见幂函数的图象和性质
第 15 页
知识回顾
3．幂函数 2）常见幂函数的图象和性质
第 16 页
典例精讲
第 17 页
例1 计算以下各式．
2
（1） 1 3； 27
3
（2） 16 2； 9
1
42
，③错误；设函数 y
1
x3
2 ，因为
1
0 ，所以
y
1
x3
在
(0， )
内是减函数，又因为
3
4，所以
3
1 3
4
1 3
，④正确．故选D．
3
【名师点睛】 本题主要利用幂函数的单调性来比较式子的大小．
典例精讲
第 26 页
变式训练4 试比较下列各组值的大小．
3
3
（1）1.55 与 1.75 ；
1
1
第5页
目录
01
实数指数幂和幂函数
知识回顾 典例精讲 活学活练
知识回顾
1．n次根式
第7页
如果 xn a（nN* 且 n 1），那么 x 叫 a 作的 n 次方根．xn a 解的情况及性质如表所示．
敲黑板
第8页
形如 n a（n N* 且 n 1 ）
的式子叫作的 n 次根式，其中 n 叫 作根指数，a 叫作被开方数．
所以 0.23 0.33，①正确；设函数 y x0.2 ，因为0.2 0，所以 y x0.2 在 (0， ) 内是增函数，
又因为 0.2 0.3，所以 0.20.2
中职数学第一册第四单元 指数函数与对数函数
第四章指数函数与对数函数4.1.1有理指数(一)【教学目标】1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算．2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质．【教学重点】零指数幂、负整指数幂的定义．【教学难点】零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．在引入指数幂时，以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材，既体现数学的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的a ma n＝am-n (m＞n，a ≠ 0)这一法则出发，通过取消m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指数幂推广到整数指数幂．在本节教学中，要以取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大胆地猜想，以此增强学生的参与意识，从而提高学生的学习兴趣．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入在一个国际象棋棋盘上放一些米粒，第一格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……一直到第64格，那么第64格应放多少粒米？第1格放的米粒数是1；第2格放的米粒数是2；第3格放的米粒数是2×2；第4格放的米粒数是2×2×2；第5格放的米粒数是2×2×2×2；……第64格放的米粒数是2×2×2× (2)学生在教师的引导下观察图片，明确教师提出的问题，通过观察课件，归纳、探究答案．师：通过上面的解题过程，你能发现什么规律？那么第64格放多少米粒，怎么表示？学生回答，教师针对学生的回答给予点评．并归纳出第64格应放的米粒数为263．师：请用计算器求263的值．学生解答．通过问题的引入激发学生学习的兴趣．在问题的分析过程中，培养学生归纳推理的能力．为引出a n设下伏笔．用计算器使问题得到解决．2个23个24个263个2新课新课一、正整指数幂1．定义一般地，a n (n∈N+) 叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数．并且规定：a1＝a．当n是正整数时，a n叫正整指数幂．练习1 填空(1) 23×24＝；a m⋅a n＝；(2) (23)4＝；(a m)n＝；(3)2423＝；a ma n＝(m＞n，a≠0)；(4) (xy)3＝；(ab)m＝．练习2 计算2323．二、零指数幂规定：a0＝1 (a≠0)练习3 填空(1) 80＝；(2) (－0.8)0＝；练习 4 式子(a－b)0＝1是否恒成立？为什么？练习5 计算(1)2324；(2)2325．教师板书课题．学生理解概念．教师强调n是正整数．学生回顾正整指数幂的运算法则，并尝试解决练习1、2．练习1，学生分小组抢答；练习2，学生通过约分解得2323＝1．师：如果取消a ma n＝am－n(m＞n，a ≠ 0) 中m＞n的限制，如何通过指数的运算来表示？2323＝23－3＝20教师板书：零指数幂a0＝1 (a≠0)．师：请同学们结合零指数幂的定义完成练习3．学生解答．教师强调练习4中，等式成立的条件，即a ≠b．练习5，学生可通过约分解学生在初中已学过此概念，用投影的形式展现，学生容易联想起以前的内容．明确各部分的名称．通过强调n是正整数，为零指数和负整指数的引入作铺垫．通过练习，让学生回顾正整指数幂的运算律．由特殊到一般，由具体的例子入手，引出零指数幂的定义．突破思维困境，引入零指数幂．第2题的目的是要让学生记住a0＝1 (a≠0)a n幂指数(n∈N＋)底数新课三、负整指数幂我们规定：a－1＝1a(a≠0)a－n＝1a n(a≠0, n∈N+)练习6 填空(1) 8–2＝；(2) (0.2)－3＝．练习7 式子(a－b)－4＝1(a－b)4是否恒成立？为什么？四、实数系五、整数指数幂的运算法则a m⋅a n＝a m+n；(a m)n＝a mn ；(ab)m＝a m b m．练习8(1) (2x)–2＝；(2) 0.001–3＝；(3) (x3r2)–2＝；(4)x2b2c＝．答．师：实数m与n的大小关系除了m＞n，m＝n还有m＜n．当m＜n时，运算法则a ma n＝am－n一定成立吗？学生尝试解决教师提出的问题．教师板书：负整指数幂a－n＝1a n(a≠0, n∈N+)，并强调a的取值．练习6由学生解答，练习7要求小组合作探究解决．教师针对学生的解答进行点评，并强调练习7中的等式成立的条件，即a ≠b．师：从数的分类可知，在定义了零指数幂和负整指数幂以后，我们就把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围．师：正整指数幂的运算法则，对整数指数幂的运算仍然成立．板书运算法则．通过演示将a ma n的运算归结到a m⋅a n 中去，即a ma n＝am⋅a－n＝a m +(–n)＝a m–n．学生解答，练习8要求小组合作解决．教师在讲解上述题目时，应再现每题运算过程中用到的运算律．中的a≠0这一条件．类比零指数的引入，负整指数的引入就顺理成章了．练习7是为了让学生注意，在负整指数幂中底数a的取值范围．重新回顾实数的分类，展示幂指数的推广过程，帮助学生理解“把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围”这句话．使学生对幂的运算法则给予重新认识．突出本节知识，突出运算法则．实数有理数无理数整数分数正整数零负整数小结1．指数幂的推广2．正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立：(1) a m a n＝a m+n；(2) (a m)n＝a mn；(3) (ab)m＝a m b m．回顾本节主要内容，加深理解零指数和负整指数幂的概念、牢记运算律．简洁明了地概括本节课的重要知识，使学生易于理解记忆．作业必做题：P98，练习A 第1题，选做题：P103，习题第1题(9)．标记作业．针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排必做习题和选做习题两层．正整指数幂零指数幂负整指数幂整数指数幂4.1.1有理指数(二)【教学目标】1. 了解根式的概念和性质；理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．2. 会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3. 培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．【教学重点】分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．【教学难点】对分数指数幂概念的理解．【教学方法】这节课主要采用问题解决教学法．在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．整数指数幂的概念．a n＝a×a×a×…×a (n个a连乘)；a0＝1 (a≠0)；a－n＝1a n(a≠0，n∈N+)．2．运算性质：a m⋅a n＝a m+n；(a m)n＝a mn；(ab)m＝a m b m．师：上节课我们把正整指数幂推广到了整数指数幂，那么我们能不能把整数指数幂推广到分数指数幂，进而推广到有理指数幂和实数指数幂呢？这节课我们就来探讨这个问题．师：首先来复习一下上节课所学的内容．学生回答教师提出的问题，教师及时给予评价．以旧引新提出问题，引入本节课题．复习上节所学内容．新课一、根式有关概念定义：一般地，若x n＝a (n＞1，n∈N)，则x 叫做a 的n 次方根．例如：(1) 由32＝9知，3是9的二次方根(平方根)；由(－3)2＝9知，－3也是9的二次方根(平方根)；(2) 由(－5)3＝－125知，－5是－125的三次方根(立方根)；教师板书课题．学生理解方根概念．教师通过举例让学生进一步理解方根的概念．引入方根的概念为下一步引入分数指数做基础．使学生加深对方根概念的理解，为总新课(3) 由64＝1 296知，6是1 296 的4次方根．有关结论：(1) 当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数．记作：x＝n a．(2) 当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为相反数)．记作：x＝±n a．(3) 负数没有偶次方根．(4) 0的任何次方根都为0．当n a有意义时，n a叫做根式，n叫根指数．正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．例如：32叫做2的3次算术根；4－2不叫根式，因为它是没有意义的．二、根式的性质(1) (n a)n＝a．例如，(327)3＝27，(5－3)5＝－3．(2) 当n为奇数时，n a n＝a；当n为偶数时，n a n＝|a| ＝⎩⎨⎧a（a≥0）－a（a＜0）.例如：3(－5)3＝－5，332＝2；52＝5，4(－3)4＝|－3|＝3．观察下面的运算：(a13)3＝a13⨯3＝a①(a23)3＝a23⨯3＝a2②上面两式的运算，用到了法则(a m)n＝a mn，但无法用整数指数幂来解释，但是①式的含义是a13连乘3次得到a，所以a13可以看作是a的3次方根；②式的含义是a23连乘3次得到a2，所以a23可以看作是a2的3次方根．因此我们规定学生在教师的引导下进一步理解根式的概念．学生重新构建根式、根指数的概念，教师强调当n a有意义时，n a叫做根式．学生理解根式的性质，通过实例演示，将性质应用到运算之中．教师用语言叙述根式性质：(1) 实数a的n次方根的n次幂是它本身；(2) n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值．学生认真观察．在教师的引导下，学生寻找解惑途径．结出结论作铺垫．由方根的概念引入其数学记法，为引入根式的概念作准备．引入根式、根指数的概念．将数学语言(符号)转化为文字语言，使学生加深对性质的理解．设置障碍，使学生积极寻找解决途径，从而调动学生思维的积极性．通过教师引导，学生找到使运算合理的途径．新课a13＝3a，a23＝3a2，以使运算合理．三、分数指数幂一般地，我们规定：a1n＝n a(a＞0)；amn＝n a m＝(n a)m (a＞0，m，n∈N+，且mn为既约分数)．a－mn＝1amn(a＞0，m，n∈N+，且mn为既约分数) ．四、实数指数幂的运算法则(1) aα⋅aβ＝aα+β；(2) (aα)β＝aαβ；(3) (a b)α＝aα bα．以上aα，aβ中，a＞0，b＞0，且α，β为任意实数．练习1835×825＝83＋25＝81＝8；823＝(813)2＝22＝4；33×33×63＝3×312×313×316＝31＋12＋13＋16＝32＝9；(a23b14)3＝(a23)3·(b14)3＝a2b34．例1利用函数型计算器计算(精确到0.001)：(1) 0.21.52；(2) 3.14－2；(3) 3.123．例2利用函数型计算器计算函数值．已知 f (x)＝2.71x，求f (－3)，f (－2)，f(－1)，f (1)，f (2)，f (3) (精确到0.001)．请同学们结合教材在小组内合作完成．学生在教师的引导下，由特殊到一般，积极构建分数指数幂的概念．师：负整数指数幂是怎么定义的？如何来定义负分数指数幂呢？学生在教师的引导下，类比负整指数幂的定义，形成负分数指数幂的概念．师：至此，我们把整数指数幂推广到了有理指数幂．有理指数幂还可以推广到实数指数幂．使学生形成实数指数幂的概念．学生做练习．教师讲解例1第(1)题的操作方法．学生结合教材，完成例1第(2)、(3)题，学习用计算工具来求指数幂a b 的值．引入正分数指数幂的概念．类比负整数指数幂的定义，引入负分数指数幂的概念．将有理指数幂推广到实数指数幂，并给出实数指数幂的运算法则．加深对有理指数幂的理解，并使学生进一步掌握指数幂的运算法则．使学生掌握函数型计算器的使用．使学生进练习2教材P 98，练习A组第3题，练习B组第3题．一步巩固函数计算器的使用方法．小结1．2．3．利用函数型计算器求a b 的值．学生在教师的引导下回顾本节课的主要内容，加深理解根式和分数指数幂的概念；理顺实数指数幂的推广过程；回顾计算器的使用方法．简洁明了地概括本节课的重要知识，便于学生理解记忆．理顺本节指数幂的推广思路，使学生思维清晰．作业必做题：教材P 98，练习B 组第1题；选做题：教材P 98，练习B 组第2题．针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和选做题两层．根式分数指数幂正整指数幂零指数幂负整指数幂整数指数幂分数指数幂有理指数幂实数指数幂4.1.2 幂函数举例【教学目标】1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质． 【教学重点】 幂函数的定义． 【教学难点】会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象． 【教学方法】这节课主要采用启发式和讲练结合的教学方法．从函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 等导入，通过观察这类函数的解析式，归纳其共性，引入幂函数的概念．在例1求函数的定义域中，对于分数指数及负整指数的幂函数要转化为分式或根式的形式，讲解时，注意引导，让学生在解答问题的过程中自己归纳总结规律．函数图象是研究函数性质的有利工具，教师在讲授例2时，可以采用分组的方式，让学生一起合作完成函数的图象，并从本例中找出幂函数的某些性质．【教学过程】 环节 教学内容师生互动设计意图 导 入1．指数幂a n ＝a ×a ×a ×…×a (n 个a 连乘) a 0＝1；a -n ＝1a n (a ≠0, n N +)；a 1n＝n a (a >0)； a mn＝n a m (a >0，m ，n ∈N +，且m n为既约分数)； a －m n＝1 a m n (a >0，m ，n ∈N +，且m n为既约分数)． 2．观察函数 y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 及 y ＝x －1．学生在教师的引导下，回顾指数幂的有关定义及运算法则．师：以上函数表达式的共同特征是什么？你还能举出类似的函数吗？ 学生观察函数的表达式，回答教师提出的问题． 复习上节内容，为本节学习做准备．通过实例引入本节课题，确定本节的学习目标．一、幂函数的概念一般地，形如学生在教师的引导下归纳幂函数的概由学生自己归纳幂新课新课y＝xα的函数我们称为幂函数．练习1 判断下列函数是不是幂函数(1) y＝2 x；(2) y＝2 x35；(3) y＝x78；(4) y＝x2＋3．例1写出下列函数的定义域：(1) y＝x3；(2) y＝x12；(3) y＝x－2；(4) y＝x－32．解：(1) 函数y＝x3的定义域为R；(2) 函数y＝x12，即y＝x，定义域为[0，＋∞)；(3) 函数y＝x－2，即y＝1x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；(4) 函数y＝x－32，即y＝1x3，其定义域为(0，＋∞)．练习2 求下列函数的定义域：(1) y＝x－3；(2) y＝x－43；(3) y＝x－12．二、幂函数的性质例2作出下列函数的图象：(1) y＝x；(2) y＝x12；(3) y＝x2；(4) y＝x－1．(1)列表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x…－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x12…/ / / / 1 1.41 1.73 …y＝x2…9 4 1 0 1 4 9 …念．学生回答练习1，进一步理解幂函数的概念．针对学生的回答，教师结合定义点评．在教师的引导下利用指数幂的有关定义，师生共同完成例题．学生寻找规律，形成解题规律．师：由上例我们可以看出，当幂函数的指数α为负整数时，一般是先将函数表达式转化为分式形式；当幂函数的指数α为分数时，一般是先将函数表达式转化为根式，然后再来求函数的定义域．教师根据学生的解答进行点评，并给予相应评价．师：函数图象可以直观反映函数性质，是研究函数性质的有利工具，请同学们回顾一下，作函数图象分为哪三步？学生回答．学生分组完成列表．函数的概念，有利于他们把握和理解新概念．使学生加强对幂函数概念的理解．通过例题演示，使学生进一步掌握求幂函数定义域的方法．总结规律．使学生应用刚学过的新知识．回顾作图过程，进一新课(2)描点；(3)连线．幂函数的性质幂函数随幂指数α的取值不同，它们的性质和图象也不尽相同，但也有一些共性，例如，所有的幂函数都通过点(1，1)，都经过第一象限等．练习3 画出函数y＝x34的图象，并指出其奇偶性、单调性．y＝x-1…－13－12－1 / 11213…师生共同完成描点和连线，有条件的学校可利用计算机进行作图．教师结合函数图象说明幂函数的性质．学生在教师的引导下完成练习．步明确函数图象是研究函数性质的有利工具．在画图过程中，学会与人合作．使学生对幂函数的性质有简单的了解．复习作图过程，并强化学生读图能力培养．小结1．幂函数的定义2．求幂函数的定义域3．通过幂函数的图象分析幂函数的性质师生共同回顾幂函数的概念，定义域的求法以及幂函数的图象和性质．简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．作业1．教材P 100，练习A 第1题．2．计算机上的练习在同一坐标系中画出函数y＝x3与y＝3x的图象，并指数这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系(操作步骤参照教材172页)．基于学生实际，对课后书面作业实施分层设置的同时设置了计算机上的练习，让学生自己在操作过程中寻找学习的乐趣．4.1.3指数函数【教学目标】1. 掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质．【教学重点】指数函数的图象与性质．【教学难点】指数函数的图象性质与底数a的关系．【教学方法】这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．本节课由生活中的真实例子导入新课，引入指数函数的定义，并通过一组练习深化指数函数的定义．先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，充分利用函数的图象来研究函数的性质．为了加强学生对函数性质的应用，增加了一道求函数定义域的例题，然后安排一定数量的练习，体现练为主线，讲练结合的教学方法．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩留量随时间变化的函数解析式．教师分析解题的过程，得到y＝0.84x．通过实例引入，让学生得到指数函数的一些特征，从而有了感性认识，对理解和掌握指数函数的定义、性质会起到很好的帮助作用．新课一、指数函数的定义一般地，函数y＝a x (a＞0且a≠1，x∈R)叫做指数函数．其中x是自变量，定义域为R．探究1y＝2×3x是指数函数吗？探究2为什么要规定a＞0，且a≠1呢？(1) 若a＝0，教师板书课题．通过探究问题，教师强调指数函数的解析式y＝a x中，a x的系数是1．学生分组合作探究教师提出的问题．教由实例的引入，进而归纳出这种自变量在指数位置上的函数——指数函数．对于a＞0，且a≠1这一点，新课则当x＞0时，a x＝0；当x≤0时，a x无意义．(2) 若a＜0，则对于x的某些数值，可使a x无意义．如(－2)x，这时对于x＝14，x＝12，…等等，在实数范围内函数值不存在．(3) 若a＝1，则对于任何x∈R，a x＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．在规定以后，对于任何x∈R，a x都有意义，且a x＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0，＋∞)．练习1 指出下列函数哪些是指数函数：(1) y＝4⋅3x；(2) y＝πx；(3) y＝0.3x；(4) y＝x3．二、指数函数的图象和性质在同一坐标系中分别作出函数y＝2x和y＝(12)x的图象．(1)列表：略．(2)描点：略．(3)连线：略．练习2 作函数y＝3x与y＝(13)x的图象．师在学生分组探究的过程中要注意巡视指导．师：函数的图象是研究函数性质的有力工具，那么指数函数的图象是怎样的？如何作指数函数的图象呢？教师引导学生一起把描出的点用光滑的曲线连接起来，得到指数函数y＝2x的图象．重复描点、连线的步骤，在同一坐标系中完成指数函数y＝(12)x的图象．请同学分组完成练习2，教师巡查指导．学生完成题目后，利用实物投影将学生的解答投影到屏幕．学生容易忽略，通过讨论研究，可以加深学生的印象，从而把新旧知识衔接得更好．同时又可以强化学生对指数函数的定义的理解记忆．让学生完成画图过程，从画图过程中加深对指数函数的感性认识．有条件的学校可以让学生通过计算机画图软件上机操作．xy1 2 3－1－2－3123456789Oy＝2xy＝(12)x新课探究3观察y＝2x，y＝(12)x，y＝3x与y＝(13)x的图象，找出图象特征．(1) 图象向左右无限延伸；(2) 图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴；(3) 图象都经过点(0，1)；(4) a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；a＝12或a＝13时，从左向右看图象逐渐下降．探究4(1)“图象向左右无限延伸”揭示了“函数的定义域为R”；(2)“图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴”揭示了“函数的值域为(0，＋∞)；(3)“图象都经过点(0，1)”揭示了“当x＝0时，a x＝1”；(4) “a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；a＝12或a＝13时，从左向右看图象逐渐下降”揭示了“当a＞1时，指数函数是增函数；当0＜a＜1时，指数函数是减函数”．表4-1 指数函数的图象与性质a＞1 0＜a＜1图象定义域R值域(0，＋ )定点(0，1)单调增函数减函数师：指数函数：y＝2x，y＝(12)x，y＝3x与y＝(13)x的图象有什么共同的特征？又有哪些不同？师：你能用学过的数学语言来表示这些函数的性质吗？教师引导学生用数学语言来表示这些函数的性质．学生分组，采用小组合作形式完成．师生共同完成该表．为了学习指数函数的性质，先引导学生观察四个函数的图象特征，从而顺理成章地总结出指数函数的性质，这符合人认识问题的一般规律：由特殊到一般，学生很容易接受．锻炼学生的口头表达能力以及文字语言与数学语言的转化能力．y＝1xy(0,1)Oy＝1xy(0,1)O新课性x≥0时，y≥1；x＜0时，0＜y＜1X≥0时，0＜y≤1；x＜0时，y＞1练习3(1) 指数函数y＝a x，当时，函数是增函数；当时，函数是减函数．(2)若函数f(x)＝(a＋1)x是减函数，则a的取值范围是．例1用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：(1) 1.72.5和1.73；(2) 0.8－0.1和0.8－0.2．解(1) 考察函数y＝1.7x，它在实数集上是增函数．因为 2.5＜3，所以 1.72.5＜1.73．请同学们用函数的图象来验证一下答案是否正确？(2) 考察函数y＝0.8x，它在实数集上是减函数．因为－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2．请同学们用计算器验证一下答案是否正确？练习4 比较下列各题中两个值的大小：(1) 0.70.80.70.7；(2) 1.1－2.1 1.1－2；(3) 如果2n＜2m，则n m．例2求函数y＝3x－3 的定义域．解：要使函数有意义，则有3x－3≥0，所以3x≥3，所以x≥1．所以函数的定义域为[1，＋∞)．练习5 求函数y＝2x－4 的定义域．全体学生一起回答．教师强调：对于比较大小的问题，若是底数相同，通过构造一个指数函数，用指数函数单调性来解决．学生画图验证．学生用计算器验证．学生练习并解答．学生体会求定义域的方法．设置本练习其目的为了进一步强化学生对指数函数性质的掌握．通过构造指数函数来比较两值的大小，并让学生采用不同的途径来进行检验．增加本例为学生顺利解答课后相关练习及习题做基础．加深训练．小结1．指数函数的定义；2．指数函数的图象与性质；3．应用：(1) 比较大小；(2) 求函数的定义域．师生共同回顾本节主要内容，加深理解指数函数的概念、图象与性质．简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．作业1．必做题：教材P102，练习A组第2题；选做题：教材P102，练习B 组第2题．2．计算机上的练习标记作业．针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练在同一坐标系中画出函数y＝10x与y＝(110)x的图象，并指出这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系(操作步骤参照教材167页)．习题和计算机上的练习两层．4.2.1对数【教学目标】1. 理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化．2. 培养学生的类比、分析、转化能力，提高理解和运用数学符号的能力．3. 通过对数概念的建立，明确事物的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生科学严谨的治学态度．【教学重点】对数的概念，对数式与指数式的相互转化．【教学难点】对数概念及性质的理解掌握．【教学方法】这节课主要采用启发式和分组合作教学法．在教学过程中遵循学生是教学的主体的精神，要给学生提供各种可能的参与机会，调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动．利用多媒体辅助教学，引导学生从实例出发，认识对数的模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生积极思维，通过课堂练习、学生讨论的方式来加深理解重点，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭．(1)取5次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？2．细胞分裂问题，经过几次分裂后细胞的个数为4 096个？2x＝4 096．学生通过课件的演示，在教师的带领下明确问题内涵．师：这两个问题都是已知底数和幂的值求指数的问题．通过生活实例引入，体现数学的应用性，引发学生的好奇心．展示分析问题的过程，化解问题的难度，使学生通过寻找规律，归纳问题的答案．新课一、对数的概念一般地，如果a (a＞0且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么幂指数b叫做以a为底N的对数．“以a为底N的对数b”记作b＝log a N (a＞0且a≠1)，教师给出对数的定义，并举例说明：因为42＝16，所以2是以4为底16的对数；因为43＝64，所以3是以4为底64的对数．准确理解对数定义。
《5.5指数函数与对数函数的应用》作业设计方案-中职数学高教版21基础模块下册
《指数函数与对数函数的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业旨在加深学生对指数函数与对数函数概念的理解，能够通过实例应用，熟练掌握两种函数的应用方式及相互转化关系，同时提高分析和解决实际问题的能力。
二、作业内容1. 理论巩固要求学生回顾并巩固指数函数与对数函数的基本性质，如定义域、值域、增减性等，并通过例题熟悉两者的互化过程。
2. 基础知识应用完成以下基础练习题：- 设计简单的指数型增长或衰减问题，如细胞分裂、药物代谢等实例，并利用指数函数进行建模。
- 针对实际问题，如银行复利计算、人口增长等，使用对数函数进行计算和解析。
3. 拓展应用设计实际问题情境，要求学生运用指数函数与对数函数的知识解决实际问题，如：- 探究自然界中放射性物质衰变的规律，并绘制相应的指数曲线图。
- 分析社会现象中如人口增长、网络用户增长等数据，利用对数函数进行数据拟合和预测。
4. 作业报告编写学生需撰写一份简短的作业报告，内容包括：问题描述、问题分析（使用数学模型的必要性）、数学模型的建立、计算过程及结果分析。
三、作业要求1. 独立完成学生需独立完成作业内容，不得抄袭他人作业或利用网络直接搜索答案。
2. 认真细致学生在完成作业过程中应保持认真细致的态度，确保计算过程和结果的准确性。
3. 准时提交学生需在规定时间内提交作业，并保证作业的整洁和清晰度。
四、作业评价1. 知识点的掌握程度评价学生对指数函数与对数函数基本知识的理解和掌握情况。
2. 解决问题的能力评估学生运用所学知识解决实际问题的能力。
3. 报告撰写能力评价学生作业报告的逻辑性、条理性和表达能力。
五、作业反馈教师将对每位学生的作业进行批改，并给出详细的评价和建议。
同时，将选取部分优秀作业进行展示和交流，促进学生之间的互相学习和进步。
对于存在问题的地方，教师将给出指导和建议，帮助学生改进和提高。
通过此作业设计，旨在通过多种形式和层次的练习，使学生能够全面、深入地理解和掌握指数函数与对数函数的应用。
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指数函数与对数函数一、实数指数幂１、实数指数幂:如果x n =a （n ∈N +且n>1),则称x 为ａ 的n 次方根。
当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数,负数的ｎ次方根是一个负数。
这时,a 的n 次方根只有一个，记作n a .当n 为偶数时,正数a 的n 次方根有两个,它们互为相反数,分别记作n a ,－n a 。
它们可以写成±n a 的形式。
负数没有 （填“奇”或“偶")次方根。
例：填空：（1）、(38)3= ;（38-)３= .(2）338= ;33)8(-＝ 。
（3)、445＝ ；44)5(-= 。
巩固练习:１、将下列各分数指数幂写成根式的形式: （1）32a (2)53-b（b ≠0)2、将下列各根式写成分数指数幂的形式： (1)52a （2）351a(a ≠0）3、求下列幂的值:(1)、（—5)0; (２）、(ａ-b ）0； (3)、2-１; (4)、(47)4。
2、实数指数幂的运算法则 ①、βαa a •=βα+a②、βαaa =βα-a③、βα)(a =αβa④、α)(ab =ααb a • ⑤、α)(ba ＝ααb a例１：求下列各式的值：⑴、21100 ⑵、328-⑶323188•例２：化简下列各式：⑴、3a a ⑵、633333••巩固练习:１、求下列各式的值:⑴、433162⋅-⑵、4482⋅ ⑶55325.042⋅⋅-２、化简下列各式：⑴2)3(-x⑵232)(-yx⑶203532a a a a •••-(a ≠０）二、幂函数1、幂函数：形如αx y =（α∈R ，α≠0)的函数叫做幂函数,其中x 为自变量,α为常数。
例1、判断下列函数是否是幂函数：⑴、y=4x ⑵、y=3-x ⑶、y ＝21x ⑷、y=x 2 ⑸、s ＝4t ⑹、y ＝xx ++2)1( ⑺、y ＝2x +2x+1巩固练习：观察下列幂函数在同一坐标系中的图象,指出它们的定义域:⑴、ｙ＝x;⑵、y ＝21x ;⑶y=1-x ; ⑷y=2x ;⑸y ＝41-x。
三、指数函数1、指数函数:形如y ＝xa (ａ＞０,且a ≠1)的函数叫做指数函数,其中x 为自变量,a 为常数,指数函数的定义域为R 。
例１：判断下列函数是不是指数函数?（1)xy )3(-= (2)43x y = (３）21xy =(4)x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=52 （５) ｙ＝x2 （6) y=x )21(2、指数函数性质归纳例1：已知指数函数y=a x 的图像过点（２,16)。
①求函数的解析式及函数的值域。
②分别求当x=１，３时的函数值。
例2:判断下列函数在（﹣∞,﹢∞)上的单调性①ｙ＝0。
5x②ｙ=x-⎪⎭⎫ ⎝⎛31四、对数１、对数:如果b a =N(a>0，a ≠1）,那么b 叫做以a 为底N 对数,记作㏒aN=b ，其中,a 叫做对数的底数,简称底；Ｎ叫做真数.㏒aN 读作:“以a 为底Ｎ的对数”。
我们把b a =N 叫做指数式，把㏒aＮ＝b 叫做对数式。
２、对数式与指数式关系：例1：将下列对数式改写成指数式：(1)㏒38１＝4； （2)㏒５125=3; 例2:将下列指数式改写成对数式: （1）、35=125, （2）、4116=23、常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数。
N(N ＞0)的常用对数㏒10N 可简记为lg Ｎ。
例如:㏒107可简记为 ｌg74、自然对数:以e 为底的对数,这里ｅ=2。
718281…是一个无理数。
N （N ＞0)的自然对数㏒e Ｎ可简记为㏑N 。
例如:㏒e5可简记为㏑5 ５、零和负数没有对数.对数底数指数 b a ＝N ㏒aN ＝ b真数 幂6、根据对数定义,可以证明:㏒ａ1=0；㏒ａa=１（ａ＞0,且a ≠１）7、对数的运算性质:(1)积的对数:两个正数的积的对数,等于同一底数的这两个数的对数的和，即㏒a （MN ）=㏒a Ｍ+㏒ａN（２）商的对数:两个正数的商的对数,等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即㏒aNM=㏒a M —㏒ａN (３）幂的对数:一个正数的幂的对数，等于幂指数乘以这个数的对数,即 ㏒ａb M ＝b ㏒a Ｍ 其中，a>０,a ≠1,M>0，N>０ 例：求出下列各式的值：1、㏒2(４×8)2、㏒3（９×２7) ３、㏒21664 4、㏒５7525 5、3㏒24 6、㏒3219五、对数函数1、对数函数：函数log a y x =（0,a >且1a ≠)就是对数函数。
是指数函数xy a =（0,a >且1a ≠)的反函数.２、对数函数的图象和性质性质对数函数log a y x =()1a > ()01a <<性质1.对数函数log a y x =的图像都在Ｙ轴的右方. 性质２。
对数函数log a y x =的图像都经过点(１，0)性质3.当1x >时,0y >; 当1x >时，0y <; 当01x <<时,0y <. 当01x <<时，0y >。
性质4.对数函数在()0,+∞上是增函数． 对数函数在()0,+∞上是减函数.例1:求下列函数的定义域:()21log a y x =;（2)2log (4)a y x =-；(３)log 4ax y x=-例２:利用对数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小: (1)3log 5和3log 7; (2) 0.5log 3和0.5log π; （3）1log 2a 和1log 3a ,其中0,1a a >≠综合练习1、下列各式中正确的是( ) A ． 100= B 。
74471a a=-C 。
11-1-=）（ D 。
5511aa =-２、下列等式中能够成立的是( ） A 。
3339= B 。
5515)(b a ba⋅=Ｃ.32322)(y x y x +=+ D 。
3623)3(-=-3、设0≠b ,化简式子61531222133)()()(ab b a b a ⋅⋅--的结果是（ ）A 。
1-ab Ｂ. a C 。
1-a D 。
1)(-ab 4、在式子23)32(-+x 中,x 的取值范围是( ）A 。
R x ∈B 。
32-≠xC ． 32->x D. 32-≥x 5、幂函数31x y =必经过点( )A 。
)2,2( B. )1,1(和)0,0( C 。
)21,21( D 。
)3,1( ６、幂函数3x y =的奇偶性为( )Ａ。
奇函数 B. 偶函数 C 。
非奇非偶函数 Ｄ。
减函数７、下列函数中，为指数函数的是( ）A. ()xy 1-= B ． x y 2-= C. x y π= D ． )10(1≠>=+a a a y x 且８、计算[]212)4(--的结果是9、=⋅⋅842422 , =32)833(1０、比较下列各题中两个实数的大小(1)4-55151⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-与 (２)5.3-522与-课后练习一、选择题1、函数y =的定义域是( )A.3{1}2x x x ≤->或 B 。
3{1}2x x x ≤-≠且 C 。
3{1}2x x x ≤-≥或 D.{1}x x ≤-2、定义在Ｒ上的偶函数()f x ,在(0,)+∞上是增函数,则 （ ）A ．(3)(4)()f f f π<-<-B ．()(4)(3)f f f π-<-< Ｃ.(3)()(4)f f f π<-<- D.(4)()(3)f f f π-<-<3、式子1241()162--的值为 ( )A.—2 B ．2 Ｃ．4 D.-４4、式子2(lg5)lg 2lg50+•的值为 ( )A ． 6 B.4 C ．3 D.１5、已知3412)(++=x x x f （x ∈R,x ≠43-)，则)2(1--f的值为（ ) Ａ．107-B 。
53- Ｃ。
53 D ．1076、已知()log a f x x =的图象过点(5,3)，则a = ( ）A ．5B ．3C ．35 D ．357、若14()162x<<，则的取值范围是 ( ）A ．24x <<B ．42x -<<- Ｃ．42x -<< D.24x -<< 8、对于10<<a ，给出下列四个不等式： ①)11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③ aaa a111++< ④aaaa 111++>其中成立的是( ） A 。
①与③ B ．①与④C 。
②与③ﻩD 。
②与④9、已知20.3a =，2log 0.3b =,0.32c =，则下列正确的是 （ )A ．a b c >> B. c a b >> Ｃ．c b a >> D ．b c a >> 10、已知ｌｇ2=a ,ｌg3=b ,则15lg 12lg 等于 ( ) A.ba ba +++12Ｂ．b a b a +++12ﻩC.b a b a +-+12ﻩD.ba ba +-+12１１、当1>a 时,函数11-+=x x a a y 是（ ）.A 奇函数 .B 偶函数 .C 既奇又偶函数 .D 非奇非偶函数 12、3log 9log 28的值是 ( ）A.32ﻩ B.１ Ｃ.23 D ．２13、若a 2322,82ba b +=⨯=则 （ )Ａ。
2 Ｂ．4ﻩ C.８ D ．１6１４、函数12log (21)y x =-的定义域为( ）A ．（21，+∞)ﻩ B.［1,+∞) C.(21，1]ﻩＤ．（-∞，１) 15、34873log 4log 8log 7log log 18m •••=，那么m =( )A.27 B ．18 C ．9 D ．92二、填空题１6、二次函数2()21f x x x =+-,则()f x 的图像的对称轴是直线 1７、函数0.(12>+=-a ay x 且)1≠a 的图像必经过点18、函数13-=x y 的反函数是 19、4102160x x-⨯+=的解集是 2０、[]222log log (log )1x =,则x = 三、解答题 21、计算 (1） 1100.753270.064()160.018---++ （2）22223log (log 32log log 6)4-+22、解不等式与方程(1)解不等式：222121()33x x x -+-> (２）解方程：222log (1)log log 6x x ++=ﻩ２3、已知函数()xf x a b =+的图象过点(1,3),其反函数1()fx -的图象过(2,0)，求函数()f x 的解析式。