中职数学 指数函数与对数函数 (2)

指数函数与对数函数

一、实数指数幂

１、实数指数幂:如果x n =a （n ∈N +且n>1),则称x 为ａ 的n 次方根。当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数,负数的ｎ次方根是一个负数。这时,a 的n 次方根只有一个，记作n a .当n 为偶数时,正数a 的n 次方根有两个,它们互为相反数,分别记作n a ,－n a 。它们可以写成±n a 的形式。负数没有 （填“奇”或“偶")次方根。

例：填空：

（1）、(38)3= ;（38-)３

= .

(2）33

8= ;33)8(-＝ 。 （3)、44

5＝ ；44)5(-= 。 巩固练习:

１、将下列各分数指数幂写成根式的形式: （1）3

2

a (2)5

3-

b

（b ≠0)

2、将下列各根式写成分数指数幂的形式： (1)52

a （2）3

5

1

a

(a ≠0）

3、求下列幂的值:

(1)、（—5)0; (２）、(ａ-b ）0； (3)、2-１

; (4)、(47)4。

2、实数指数幂的运算法则 ①、β

α

a a •=β

α+a

②、βαa

a =β

α-a

③、β

α)(a =αβ

a

④、α

)(ab =α

α

b a • ⑤、α)(b

a ＝αα

b a

例１：求下列各式的值：

⑴、2

1100 ⑵、3

2

8-

⑶3

23

188•

例２：化简下列各式：

⑴、3a a ⑵、633333••

巩固练习:１、求下列各式的值:

⑴、4

33

162

⋅-

⑵、4482⋅ ⑶553

25.042

⋅⋅-

２、化简下列各式：

⑴2

)3(-x

⑵232)(-y

x

⑶203

53

2a a a a •••-(a ≠０）

二、幂函数

1、幂函数：形如α

x y =（α∈R ，α≠0)的函数叫做幂函数,其中x 为自变量,α为常数。 例1、判断下列函数是否是幂函数：

⑴、y=4

x ⑵、y=3

-x ⑶、y ＝

2

1

x ⑷、y=x 2 ⑸、s ＝4t ⑹、y ＝x

x ++2)

1( ⑺、y ＝

2x +2x+1

巩固练习：观察下列幂函数在同一坐标系中的图象,指出它们的定义域:

⑴、ｙ＝x;⑵、y ＝2

1x ;⑶y=1

-x ; ⑷y=2

x ;⑸y ＝4

1-x

。

三、指数函数

1、指数函数:形如y ＝x

a (ａ＞０,且a ≠1)的函数叫做指数函数,其中x 为自变量,a 为常数,指数函数的定义域为R 。

例１：判断下列函数是不是指数函数?

（1)x

y )3(-= (2)4

3x y = (３）21x

y =

(4)x y -⎪⎭

⎫ ⎝⎛=52 （５) ｙ＝x

2 （6) y=x )21(

2、指数函数性质归纳

例1：已知指数函数y=a x 的图像过点（２,16)。

①求函数的解析式及函数的值域。 ②分别求当x=１，３时的函数值。

例2:判断下列函数在（﹣∞,﹢∞)上的单调性

①ｙ＝0。5x

②ｙ=x

-⎪⎭

⎫ ⎝⎛31

四、对数

１、对数:如果b a =N(a>0，a ≠1）,那么b 叫做以a 为底N 对数,记作㏒a

N=b ，其中,a 叫

做对数的底数,简称底；Ｎ叫做真数.㏒a

N 读作:“以a 为底Ｎ的对数”。

我们把b a =N 叫做指数式，把㏒a

Ｎ＝b 叫做对数式。

２、对数式与指数式关系：

例1：将下列对数式改写成指数式：

(1)㏒38１＝4； （2)㏒５125=3; 例2:将下列指数式改写成对数式: （1）、3

5=125, （2）、4116=2

3、常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数。N(N ＞0)的常用对数㏒10N 可简记为lg Ｎ。 例如:㏒107可简记为 ｌg7

4、自然对数:以e 为底的对数,这里ｅ=2。718281…是一个无理数。N （N ＞0)的自然对数㏒e Ｎ可简记为㏑N 。

例如:㏒e5可简记为㏑5 ５、零和负数没有对数.

对数

底数

指数 b a ＝N ㏒

a

N ＝ b

真数 幂

6、根据对数定义,可以证明:㏒ａ1=0；㏒ａa=１（ａ＞0,且a ≠１）

7、对数的运算性质:

(1)积的对数:两个正数的积的对数,等于同一底数的这两个数的对数的和，即

㏒a （MN ）=㏒a Ｍ+㏒ａN

（２）商的对数:两个正数的商的对数,等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即

㏒a

N

M

=㏒a M —㏒ａN (３）幂的对数:一个正数的幂的对数，等于幂指数乘以这个数的对数,即 ㏒ａb M ＝b ㏒a Ｍ 其中，a>０,a ≠1,M>0，N>０ 例：求出下列各式的值：

1、㏒2(４×8)

2、㏒3（９×２7) ３、㏒2

1664 4、㏒５75

25 5、3㏒24 6、㏒32

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五、对数函数

1、对数函数：函数log a y x =（0,a >且1a ≠)就是对数函数。是指数函数x

y a =（0,

a >且1a ≠)的反函数.

２、对数函数的图象和性质

性质

对数函数log a y x =()1a > ()01a <<

性质1.对数函数log a y x =的图像都在Ｙ轴的右方. 性质２。对数函数log a y x =的图像都经过点(１，0)

性质3.当1x >时,0y >; 当1x >时，0y <; 当01x <<时,0y <. 当01x <<时，0y >。 性质4.对数函数在()0,+∞上是增函数． 对数函数在()0,+∞上是减函数.