全程复习方略2018版高考数学理一轮复习课件 全国版：第八章 平面解析几何 8.7 精品
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全程复习方略2018版高考数学理一轮复习课件 全国版：第八章 平面解析几何 8.3 精品
22 半径r=__1__D__2 __E_2__4_F__
2
2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)点M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
第三节 圆的方程
【知识梳理】 1.圆的定义、方程
定义 平面内到_定__点__的距离等于_定__长__的点的轨迹 叫做圆
标准 (x-a)2+(y-b)2 方程 =r2(r>0)
圆心______ (a,b)
半径为__ r
一般 方程
x2+y2+Dx+ Ey+F=0
条件:_D_2_+_E_2-_4_F_>_0_ 圆心:__( __D_，__E__)_
当x≠3时可得 y y 1， x3 x
整理得 (x 3 )2 y2 9 , 又当直线l与2x轴重合4时,M点坐标为(3,0),代入上式成
立.
设直线l的方程为y=kx,与x2+y2-6x+5=0联立,
消去y得:(1+k2)x2-6x+5=0.
令其判别式Δ=(-6)2-4(1+k2)×5=0,
所以圆的方程为(x-a)2+y2=r2.
又因为A(5,2),B(-1,4)在圆上.
所以
解得a=1,r2=20.
5 a2 4 r2,
所以圆的1方 a程2 为16(x-r12,)2+y2=20.
答案:(x-1)2+y2=20
2
2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)点M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
第三节 圆的方程
【知识梳理】 1.圆的定义、方程
定义 平面内到_定__点__的距离等于_定__长__的点的轨迹 叫做圆
标准 (x-a)2+(y-b)2 方程 =r2(r>0)
圆心______ (a,b)
半径为__ r
一般 方程
x2+y2+Dx+ Ey+F=0
条件:_D_2_+_E_2-_4_F_>_0_ 圆心:__( __D_，__E__)_
当x≠3时可得 y y 1， x3 x
整理得 (x 3 )2 y2 9 , 又当直线l与2x轴重合4时,M点坐标为(3,0),代入上式成
立.
设直线l的方程为y=kx,与x2+y2-6x+5=0联立,
消去y得:(1+k2)x2-6x+5=0.
令其判别式Δ=(-6)2-4(1+k2)×5=0,
所以圆的方程为(x-a)2+y2=r2.
又因为A(5,2),B(-1,4)在圆上.
所以
解得a=1,r2=20.
5 a2 4 r2,
所以圆的1方 a程2 为16(x-r12,)2+y2=20.
答案:(x-1)2+y2=20
2018版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程课件理
考点2
求曲线方程的基本步骤
[必会结论] 1．两个条件 (1)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P0(x0，y0)在 曲线上的充要条件是f(x0，y0)＝0. (2)“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的 点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件． 2．求轨迹问题常用的数学思想 (1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几 何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．
＋|AB|＝4>|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4 的椭圆(挖去与x轴的交点)． x2 y2 设曲线M：a2＋b2＝1(a>b>0，y≠0)， 则a ＝4，b
2 2 |AB| 2 ＝a － ＝3， 2 2 2 2
x y 所以曲线M： 4 ＋ 3 ＝1(y≠0)为所求．
(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是 “数”与“形”的有机结合． (3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互 结合，在解决问题时又需要相互转化．
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充 要条件．( √ ) 2．方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( × ) 3．到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2＝y2.( × )
4．方程y＝ x与x＝y2表示同一曲线．( × ) x 5．方程 ＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直 y －2 线．( × )
二、小题快练 1．[课本改编]已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4， 则动点P的轨迹是( A．双曲线 C．一条射线
解析 线．
2018版高考一轮总复习数学理课件 第8章 平面解析几何 8-1 板块一 知识梳理 自主学习 精品
三点共线，所以 a－ 3＝ 1，即 a＝4.
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例1
直线的倾斜角与斜率 3 )为端点
直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，
的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 (_______________________ －∞，－ 3]∪[1，＋∞) ．
[解析]
考点 2 名称 式 式 y1)
直线方程的几种形式 条件 方程 适用范围
点斜 斜率 k 与点(x1， 斜截 斜率 k 与直线在 y 轴上的截距 b
y－ y1＝k(x－x1 ) 不含直线 x＝x1 y＝ kx＋b 不含垂直于 x 轴 的直线 不含直线 x＝ x1(x1
两点 两点(x1， y1 )， (x2， y－ y1 x－ x1 ＝x2)和直线 y＝ ＝ y2－ y1 x2－ x1 式 y2) y1(y1＝ y2)
1 斜率的取值范围为 ， 3 3 .
触类旁通 直线的斜率与倾斜角的区别与联系 直线 l 的斜率 别 率不存在 直线 l 的倾斜角 α 倾斜角是 90° 区 直线 l 垂直于 x 轴时 l 的斜 直线 l 垂直于 x 轴时 l 的
①直线的斜率与直线的倾斜角(90° 除外)为一一对应 联 系 关系． ②当 α∈[0° ，90° )时， α 越大， l 的斜率越大；当 α ∈(90° ，180° )时，α 越大，l 的斜率越大． ③所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率 .
2)，即 3x＋4y－ 14＝ 0.
2．[ 课本改编] 直线 x＋ π A. 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6
3y＋1＝0 的倾斜角是(
)
解析
3 由直线的方程得直线的斜率为 k＝－ ，设倾 3
2018高考一轮数学(课件)第8章 平面解析几何
22,7 分(文)
22(2)，9 分(理) 22,14 分(文)
21(2)，8 分(理) 22,15 分(文)
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第三页，编辑于星期六：二十二点 三十四分。
高三一轮总复习
[重点关注] 综合近 5 年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查直线的方程、圆的方 程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、 标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，突出对数形结合思 想、函数与方程思想、转化与化归思想的考查．
21(1)，7 分 (理)
9,5 分(理) 21,15 分(理)
21(1)，7 分 (理)
8,5 分(文)
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高三一轮总复习
双曲线的标 准方程及其 性质
7,5 分(理) 13,4 分 (文)
9,6 分(理)
16,4 分(理) 17,4 分(文)
圆的方程、直线
与圆的位置关 系、圆与圆的位 10,6 分(文)
14,4 分(理) 14,4 分(文)
5,5 分(文)
21(1)，16 分(理) 13,4 分(文)
16,4 分(理) 17,4 分(文)
置关系
椭圆的标准方 程及其性质
7,5 分(理)
19,5 分(理) 7,5 分(文) 15,4 分(文)
9,5 分(理) 9,5 分(文)
8,5 分(理)
抛物线的标
准方程及其 9,4 分(理) 5,5 分(理)
15,4 分(理) 16,4 分(理)
性质
直线与圆锥 曲线的位置 关系及圆锥 曲线的综合 应用
22(2)，9 分(理) 22,14 分(文)
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[重点关注] 综合近 5 年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查直线的方程、圆的方 程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、 标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，突出对数形结合思 想、函数与方程思想、转化与化归思想的考查．
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双曲线的标 准方程及其 性质
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9,6 分(理)
16,4 分(理) 17,4 分(文)
圆的方程、直线
与圆的位置关 系、圆与圆的位 10,6 分(文)
14,4 分(理) 14,4 分(文)
5,5 分(文)
21(1)，16 分(理) 13,4 分(文)
16,4 分(理) 17,4 分(文)
置关系
椭圆的标准方 程及其性质
7,5 分(理)
19,5 分(理) 7,5 分(文) 15,4 分(文)
9,5 分(理) 9,5 分(文)
8,5 分(理)
抛物线的标
准方程及其 9,4 分(理) 5,5 分(理)
15,4 分(理) 16,4 分(理)
性质
直线与圆锥 曲线的位置 关系及圆锥 曲线的综合 应用
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第八章 平面解析几何 8.8 精品
3.(2016·厦门模拟)已知点P在抛物线y2=4x上,且点
P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为 1 ,则点P到x轴
2
的距离为
.
【解析】设点P的坐标为(xP,yP),抛物线y2=4x的准线
方程为x=-1,根据抛物线的定义,点P到焦点的距离等
于点P到准线的距离,故
xP
x
P
1解 得12，xP=1,所以
第八节 抛物线
【知识梳理】 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内. (2)与一个定点F和一条定直线l距离_相__等__. (3)l不经过点F.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程
_y_2=_2_p_x_ (p>0)
_y_2=_-_2_p_x_ (p>0)
因为BD∥FG,所以1 2 ,
p3
求得p=3 ,
2
因此抛物线方程为y2=3x.
(2)y2=16x的准线l:x=-4,因为C与抛物线y2=16x的准 线l:x=-4交于A,B两点,|AB|=4 3 ,所以A(-4,2 )3, B(-4,-2 3),将A点坐标代入双曲线方程得2(-4)2(±2 )32=m,所以m=20. 答案:20
e=1
准线 方程
范围
_x____p2_ _x_y_≥_∈___0_R_,__
焦半 径(其 中P(x0, y0))
|PF|= __x_0___p2_
_x___p2 __ _x_y_≤_∈___0_R_,__
|PF|= __x_0___p2_
y____p2__ _y_x_≥_∈___0_R_,__
|PF|= _y_0__p2___
【加固训练】
1.(2016·昆明模拟)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.4
第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
考向二 圆的切线与弦长问题[互动讲练型] [例 2] (2016·课标全国Ⅲ，16,5 分)已知直线 l：mx＋y＋3m － 3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的 垂线与 x 轴交于 C，D 两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝________.
a＋12＋a－3－22＝ 2a2－8a＋26＝ 2a－22＋18.所以当 a ＝ 2 时 ， d 取 最 小 值 18 ＝ 3 2 ， 此 时 切 线 长 最 小 ， 为
3 22－ 22＝ 16＝4，所以选 C. 答案：C
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
4．(2017·揭阳一模)已知直线 x＋y－k＝0(k＞0)与圆 x2＋y2 ＝4 交于不同的两点 A，B，O 为坐标原点，且|O→A＋O→B|≥ 33|A→B |，则 k 的取值范围是( )
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[悟·技法]—— 圆与圆的位置关系的求解策略
(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两 圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程是公共弦长， 只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直 线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
＋1＝0 垂直，则其斜率为 1，故直线 l 的方程为 y＝x＋3.选 D. 答案：D
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．(2016·课标全国Ⅱ，4,5 分)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的 圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝( )
A．－43 B．－34 C. 3 D．2
考向二 圆的切线与弦长问题[互动讲练型] [例 2] (2016·课标全国Ⅲ，16,5 分)已知直线 l：mx＋y＋3m － 3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的 垂线与 x 轴交于 C，D 两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝________.
a＋12＋a－3－22＝ 2a2－8a＋26＝ 2a－22＋18.所以当 a ＝ 2 时 ， d 取 最 小 值 18 ＝ 3 2 ， 此 时 切 线 长 最 小 ， 为
3 22－ 22＝ 16＝4，所以选 C. 答案：C
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
4．(2017·揭阳一模)已知直线 x＋y－k＝0(k＞0)与圆 x2＋y2 ＝4 交于不同的两点 A，B，O 为坐标原点，且|O→A＋O→B|≥ 33|A→B |，则 k 的取值范围是( )
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[悟·技法]—— 圆与圆的位置关系的求解策略
(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两 圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程是公共弦长， 只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直 线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
＋1＝0 垂直，则其斜率为 1，故直线 l 的方程为 y＝x＋3.选 D. 答案：D
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．(2016·课标全国Ⅱ，4,5 分)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的 圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝( )
A．－43 B．－34 C. 3 D．2
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第八章
则|PF2|等于 A.11 ( B.9 ) C.5 D.3
(2)(2015· 全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-
y2 =1的 8
右焦点,P是C左支上一点, A(0,6 6)， 当△APF周长最小时, 该三角形的面积为 .
【解题导引】(1)由已知条件以及双曲线的定义,即可 得出|PF2|的值. (2)利用双曲线的定义以及两点之间线段最短即可求出 △APF周长的最小值,进而求出三角形的面积.
a x y=______ b
顶点坐标: 质 顶点 (-a,0) (a,0) A1_______,A 2______ 渐近 线
b x y=_______ a
离心率 性
c (1,+∞) e=__,e∈________ a
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2| 2a 线段B B 叫做双曲线的虚轴,它的长 =___; 1 2 2b 叫做双曲线的实半轴长,b叫 |B1B2|=___;a
所以双曲线的顶点为(〒1,0),焦点为(〒2,0).
所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,
2 y 所以双曲线标准方程为x2- =1. 3 2 答案:x2- y =1 3
感悟考题试一试 3.(2015· 安徽高考)下列双曲线中,渐近线方程为
y=±2x的是
2 y A.x 2 1 4 2 y C.x 2 1 2
a,c为常数且a>0,c>0. 2a<|F1F2| 时,M点的轨迹是双曲线; ①当_________ 2a=|F1F2| 时,M点的轨迹是两条射线; ②当_________ 2a>|F1F2| 时,M点不存在. ③当_________
2.双曲线的标准方程与几何性质
图形
标准 方程
(2)(2015· 全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-
y2 =1的 8
右焦点,P是C左支上一点, A(0,6 6)， 当△APF周长最小时, 该三角形的面积为 .
【解题导引】(1)由已知条件以及双曲线的定义,即可 得出|PF2|的值. (2)利用双曲线的定义以及两点之间线段最短即可求出 △APF周长的最小值,进而求出三角形的面积.
a x y=______ b
顶点坐标: 质 顶点 (-a,0) (a,0) A1_______,A 2______ 渐近 线
b x y=_______ a
离心率 性
c (1,+∞) e=__,e∈________ a
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2| 2a 线段B B 叫做双曲线的虚轴,它的长 =___; 1 2 2b 叫做双曲线的实半轴长,b叫 |B1B2|=___;a
所以双曲线的顶点为(〒1,0),焦点为(〒2,0).
所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,
2 y 所以双曲线标准方程为x2- =1. 3 2 答案:x2- y =1 3
感悟考题试一试 3.(2015· 安徽高考)下列双曲线中,渐近线方程为
y=±2x的是
2 y A.x 2 1 4 2 y C.x 2 1 2
a,c为常数且a>0,c>0. 2a<|F1F2| 时,M点的轨迹是双曲线; ①当_________ 2a=|F1F2| 时,M点的轨迹是两条射线; ②当_________ 2a>|F1F2| 时,M点不存在. ③当_________
2.双曲线的标准方程与几何性质
图形
标准 方程
2018版高考一轮总复习数学理课件 第8章 平面解析几何
3．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到 直线的距离．( √ ) 4．两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直 线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距 离．( √ )
二、小题快练 1． [ 课本改编] 过点(1,0)且与直线 x－2y－2＝0 平行的直 线方程是 ( ) B．x－2y＋1＝0 D．x＋2 y－1＝0 A． x－2 y－1＝0 C．2x＋y－2＝0
y′－ y0 · k＝－1， x′－ x0 P′ (x′ ， y′) ， 则 有 x′＋ x0 y′＋ y0 ＝k· ＋b， 2 2
可求出
x′， y′ .
[ 双基夯实] 一、疑难辨析 判断 下列 结论 的正 误． ( 正确 的打 “√” ，错 误的打 “×”) 1 ．若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相 交．( × ) |kx0＋b| 2． 点 P(x0 ， y0 )到直线 y＝ kx＋b 的距离为 2 .( × ) 1＋k
3．[2017· 南宁模拟] 直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称 的直线方程是( ) B．2x＋y－1＝0 D．x＋2y－3＝0 A．x＋2y－1＝0 C．2x＋y－3＝0
解析
设所求直线上任一点 (x， y)，则它关于直线 x＝ 1
的对称点 (2－ x， y)在直线 x－ 2y＋ 1＝ 0 上，即 2－ x－ 2y＋1 ＝ 0，化简得 x＋2y－ 3＝ 0.
4．已知点P(4，a)到直线a的取值范围是________
解析
|4×4－ 3×a－1| 由题意得，点 P 到直线的距离为 5
|15－ 3a| |15－ 3a| ＝ .又 ≤3，即 |15－ 3a|≤15，解得 0≤a≤10， 5 5 所以 a 的取值范围是 [0,10] ．
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第八章 平面解析几何 8.5 精品
【规律方法】定义法求轨迹方程的适用条件及关键 (1)适用条件 动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、 椭圆、双曲线、抛物线的定义.
(2)关键 定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点所适合的 常见曲线的几何特征.
【变式训练】(2016·淄博模拟)设圆(x+1)2+y2=25的
圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线
2.(2016·太原模拟)在△ABC中,| BC|=4,△ABC的内切 圆切BC于点D,且 BD CD 2 2, ,若以BC的中点为原 点,中垂线为y轴建立坐标系,则顶点A的轨迹方程
为
.
【解析】依题意,设点E,F分别为AB,AC边上的切点.则
|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|.所以|AB|-|AC|=2 2， 所以点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(y≠0),
16 12
又因为A,B,C三点不能共线,所以A点的轨迹方程为x2 y2
16 12
=1(y≠0). 答案： x2 y=21(y≠0)
16 12
考向一 定义法求点的轨迹方程
【典例1】(1)(2016·北京模拟)△ABC的顶点A(-5,0),
B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨
a2 ka2
①若k>0,点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A,B
两点).
②若k<0,(*)式可化为
x2 a2
=y21.
ka 2
当-1<k<0时,点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A,
B两点)；
当k=-1时,(*)式即x2+y2=a2,点P的轨迹是以原点为圆 心,|a|为半径的圆(除去A,B两点)； 当k<-1时,点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A,B 两点).
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.9.3
第六页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
——[悟·技法]—— 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示 变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关．
第七页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[通·一类]—— 3．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝x42与
直线 l：y＝kx＋a(a＞0)交于 M，N 两点． (1)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在PM＝∠OPN，所以点 P(0，－a)符合题意．
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－27k，
第五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
由①，得 3＋4k2－m2＞0， 当 m1＝－2k 时，l 的方程为 y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)， 与已知矛盾． 当 m2＝－27k时，l 的方程为 y＝kx－27，直线过定点27，0 ∴直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线 MH 的方程为 y－t＝2ptx，即 x＝2pt(y－t)． 代入 y2＝2px 得 y2－4ty＋4t2＝0，解得 y1＝y2＝2t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有共 他公共点．
从而|AN|＝|2－xN|＝2＋y0x－0 1. 所以|AN|·|BM|＝2＋y0x－0 1·1＋x02－y02 ＝x20＋4yx200＋y04－x0xy00－－24yx00＋－28y0＋4 ＝4xx00yy00－－4x0x－0－28y0y＋0＋28 ＝4. 当 x0＝0 时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4. 综上，|AN|·|BM|为定值．
——[悟·技法]—— 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示 变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关．
第七页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[通·一类]—— 3．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝x42与
直线 l：y＝kx＋a(a＞0)交于 M，N 两点． (1)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在PM＝∠OPN，所以点 P(0，－a)符合题意．
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－27k，
第五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
由①，得 3＋4k2－m2＞0， 当 m1＝－2k 时，l 的方程为 y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)， 与已知矛盾． 当 m2＝－27k时，l 的方程为 y＝kx－27，直线过定点27，0 ∴直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线 MH 的方程为 y－t＝2ptx，即 x＝2pt(y－t)． 代入 y2＝2px 得 y2－4ty＋4t2＝0，解得 y1＝y2＝2t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有共 他公共点．
从而|AN|＝|2－xN|＝2＋y0x－0 1. 所以|AN|·|BM|＝2＋y0x－0 1·1＋x02－y02 ＝x20＋4yx200＋y04－x0xy00－－24yx00＋－28y0＋4 ＝4xx00yy00－－4x0x－0－28y0y＋0＋28 ＝4. 当 x0＝0 时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4. 综上，|AN|·|BM|为定值．
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.3
第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
法二：因为 A(0，－6)，B(1，－5)， 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为12，－121， 直线 AB 的斜率 kAB＝－51－－0－6＝1， 因此线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是 y＋121＝－x－12， 即 x＋y＋5＝0.
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2， 所以 x2＋y2 的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2 的最小值 是(2－ 3)2＝7－4 3.
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
[拓展练]——(着眼于迁移应用) 5．(2017·太原一模)已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，C 为圆 心，若等边三角形 PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦，则|PC|的最 大值为( ) A. 2 B．2 C．2 2 D．4
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的 最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到 定点的距离的平方的最值问题．
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[通·一类]——
[变式练]——(着眼于举一反三) 3．已知点 P(x，y)在圆 x2＋(y－1)2＝1 上运动，则yx－－12的最 大值与最小值分别为________．
解析：设yx－ －12＝k，则 k 表示点 P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当
该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．
由
k|22＋k| 1＝1，解得
k＝±
3 3.
答案：
33，－
3 3
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
法二：因为 A(0，－6)，B(1，－5)， 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为12，－121， 直线 AB 的斜率 kAB＝－51－－0－6＝1， 因此线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是 y＋121＝－x－12， 即 x＋y＋5＝0.
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2， 所以 x2＋y2 的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2 的最小值 是(2－ 3)2＝7－4 3.
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
[拓展练]——(着眼于迁移应用) 5．(2017·太原一模)已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，C 为圆 心，若等边三角形 PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦，则|PC|的最 大值为( ) A. 2 B．2 C．2 2 D．4
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的 最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到 定点的距离的平方的最值问题．
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[通·一类]——
[变式练]——(着眼于举一反三) 3．已知点 P(x，y)在圆 x2＋(y－1)2＝1 上运动，则yx－－12的最 大值与最小值分别为________．
解析：设yx－ －12＝k，则 k 表示点 P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当
该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．
由
k|22＋k| 1＝1，解得
k＝±
3 3.
答案：
33，－
3 3
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.2
[答案] A
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
——[悟·技法]——
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程 l1 与 l2 垂直的充要条件 l1 与 l2 平行的充分条件 ห้องสมุดไป่ตู้1 与 l2 相交的充分条件 l1 与 l2 重合的充分条件
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
[解析] 由直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0 与直线(a－1)x＋(a＋1)y －3＝0 互相垂直得(a＋1)(a－1)＋3a×(a＋1)＝0，解得 a＝14或 a ＝－1.
∴“a＝14”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0 与直线(a－1)x＋ (a＋1)y－3＝0 互相垂直”的充分而不必要条件．故选 A.
解得yx＝＝1－4331. 33，
∴A′－3133，143.
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)， 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上． 设 M 的对称点为 M′(a，b)，
则2ba×－－a02＋×2 223－＝－3×1b. ＋2 0＋1＝0，
答案：B
第四页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
3．(2017·江西南昌模拟，4)直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4
＝0 过定点( )
A．(1，－3) B．(4,3)
C．(3,1)
D．(2,3)
解析：2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y －4)＝0，
由x2＋x＋y＝y＝47， 解得yx＝＝13.， 则直线过定点(3,1)，故选 C. 答案：C
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
——[悟·技法]——
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程 l1 与 l2 垂直的充要条件 l1 与 l2 平行的充分条件 ห้องสมุดไป่ตู้1 与 l2 相交的充分条件 l1 与 l2 重合的充分条件
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
[解析] 由直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0 与直线(a－1)x＋(a＋1)y －3＝0 互相垂直得(a＋1)(a－1)＋3a×(a＋1)＝0，解得 a＝14或 a ＝－1.
∴“a＝14”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0 与直线(a－1)x＋ (a＋1)y－3＝0 互相垂直”的充分而不必要条件．故选 A.
解得yx＝＝1－4331. 33，
∴A′－3133，143.
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)， 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上． 设 M 的对称点为 M′(a，b)，
则2ba×－－a02＋×2 223－＝－3×1b. ＋2 0＋1＝0，
答案：B
第四页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
3．(2017·江西南昌模拟，4)直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4
＝0 过定点( )
A．(1，－3) B．(4,3)
C．(3,1)
D．(2,3)
解析：2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y －4)＝0，
由x2＋x＋y＝y＝47， 解得yx＝＝13.， 则直线过定点(3,1)，故选 C. 答案：C
全程复习方略2018版高考数学理一轮复习课件 全国版：第八章 平面解析几何 8.4 精品
【解析】因为点A(1,2)在圆x2+y2=5上,
故过点A的圆的切线方程为x+2y=5,
令x=0,得y= 令y=0,得x=525.,
故S△= 答案: 1 5 5 25.
22 4 25 4
【加固训练】 1.圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是
() A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交过圆心 D.相离
m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.
所以当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2外切.
(2)如果圆C1与圆C2内含,则有
m 12 2 m2 3 2.
(m+1)2+(-2-m)2<1,m2+3m+2<0, 解得-2<m<-1, 所以当-2<m<-1时,圆C1与圆C2内含.
【母题变式】1.在本例条件下,若两圆内切,求m的值. 【解析】由已知得
减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程.
2.过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点(x0,y0)的切线方程
为:x0x+y0y+D·
x x0 E y y0 F 0.
2
2
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修2P133A组T9改编)圆x2+y2-4=0与圆x2+y24x+4y-12=0的公共弦所在的直线方程为______.
2 )． 2
所以
y (2 2 ) 2 1 ( 1 2 )，
2
2
所以y= 2 1 (1 2 ) 2 2 2，
2
2
所以圆心C(3,2),
因为半径r=
全程复习方略2018版高考数学理一轮复习课件 全国版：第八章 平面解析几何 8.10 精品
又e= 解得a=2, c 1，
所以ba2=2a2-c2=3.
所以所求椭圆C的方程为 =1. x2 y2 43
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
y
kx
m,
消去 xy42得 y(332 + 14, k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,
Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,化为3+4k2>m2.
(2)若l过点 (m ,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB 3
能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率,若不能,说明 理由.
【解题导引】(1)将直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0)联立,结合根与系数的关系及中 点坐标公式证明.(2)由四边形OAPB为平行四边形当且 仅当线段AB与线段OP互相平分求解证明.
【变式训练】(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中, 曲线C:y= x2 与直线y=kx+a(a>0)交于M,N两点, (1)当k=0时4,分别求C在点M和N处的切线方程. (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM= ∠OPN?说明理由.
【解题提示】(1)先求出M,N的坐标,再利用导数求出 在M,N处切线的斜率,进而得到切线方程.(2)先作出判 定,再将y=kx+a代入曲线C的方程整理成关于x的一元 二次方程,设出M,N的坐标和P点坐标,利用设而不求思 想,将直线PM,PN的斜率之和用a表示出来,利用直线 PM,PN的斜率之和为0,即可求出a,b关系,从而找出适 合条件的P点坐标.
1k2 m. k
因为 1 1 3 , PM PN PQ
全程复习方略2018版高考数学理一轮复习课件 全国版：第八章 平面解析几何 8.9 精品
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(选修2-1P69例4改编)直线l经过抛物线y2=4x的焦点
F,与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程
为
.
【解析】当直线l的斜率不存在时,显然不成立.
设直线l的斜率为k,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 因为直线l过焦点F(1,0),
由方程组 y 1 kx 2,
可得ky2-4yy+2 44(x2,k+1)=0. ① 当k=0时,此时y=1.
把y=1代入轨迹C的方程,得x=1 . 4
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点(1 ,1). 当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-14). ②
设直线l与x轴的交点为(x0,0), 则由y-1=k(x+2),
【易错警示】解答本例(2)会出现以下错误: 题目在求直线与轨迹C只有一个交点时,易忽略直线与 轨迹C对称轴平行或重合的情况,从而造成漏解.
【规律方法】直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及 关注点 (1)判定方法:直线与圆锥曲线方程联立,消去x(或y), 判定该方程组解的个数,方程组有几组解,直线与圆锥 曲线就有几个交点;有时也会考虑数形结合思想.
x
0
a e
e
1,*
y0 ea.
因为点M在椭圆上,
所将整以理(*)得式xa02,2代e2入+=yb02e21,得-,1=0e,解e21得2 =e1=eb2,a22
.
5 1
答案:
2
5 1
2
【加固训练】
1.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k
的值为 ( )
2018高考数学(理)一轮复习课件 第八章 平面解析几何 第5讲 课件
2．求椭圆标准方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位 置可写出椭圆方程． (2)待定系数法： 若焦点位置明确， 则可设出椭圆的标准方程， 结合已知条件求出 a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点 在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2 ＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
x2 y2 [答案] ＋ ＝1 45 36
椭圆的定义及应用 [典例引领]
2 y (1)设 F1， F2 分别是椭圆 E： x2＋ 2＝1(0＜b＜1)的左、 b
右焦点， 过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点， 且|AF2|， |AB|， |BF2|成等差数列，则|AB|＝( 2 A． 3 4 C． 3
第八章
平面解析几何
第 5讲
椭
圆
1．椭圆的定义 条件 平面内的动点 M 与平面 内的两个定点 F1，F2 |MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2| 结论 1 M 点的 轨迹为 椭圆 结论 2 ____________为椭圆的 焦点
|F1F2| ____________ 为椭圆的 F1、F2
焦距
B
) 1 B． 2 3 D． 4
[解析] 不妨设直线 l 过椭圆的上顶点(0， b)和左焦点(－c， 0)， b＞0，c＞0，则直线 l 的方程为 bx－cy＋bc＝0，由已知得
2 bc 1 c 1 2 2 2 2 2 ＝ ×2b，解得 b ＝3c ，又 b ＝a －c ，所以 2＝ ， a 4 b2＋c2 4
2．若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则 该椭圆的标准方程为( x2 2 A． ＋y ＝1 5 x2 y2 B． ＋ ＝1 4 5 x2 2 x2 y 2 C． ＋y ＝1 或 ＋ ＝1 5 4 5 D．以上答案都不对
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.8
第十三页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
二、必明 2●个易误点 1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念， 前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)． 2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与 纯粹性”的影响．
第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[解析] 设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)． ∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y. [答案] A
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
解析：因为点 P 的轨迹方程为 x2＝2y－1， 即所求的抛物线方程为 y＝12x2＋12， 抛物线的对称轴为 y 轴，顶点坐标为0，12. 所以该同学的建系方式是 C. 答案：C
第四页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．方程 x－1lg(x2＋y2－1)＝0 所表示的曲线图形是( )
解析：由题知，原方程等价于xx2－＋1y＞2＝02 或xx2－＋1y＝2＞01 ， 结合图形可知选项 D 正确．
N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为
R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|＋|PN|＝(R
＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左，右焦点，长
半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x42＋y32
所以xy－＝x2′y′＝－2x′
x′＝－x， ，解得y′＝2y.
又因为P→M⊥P→F，P→M＝(x′，－y′)，P→F＝(1，－y′)， 所以(x′，－y′)·(1，－y′)＝0，即 x′＋y′2＝0，
二、必明 2●个易误点 1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念， 前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)． 2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与 纯粹性”的影响．
第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[解析] 设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)． ∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y. [答案] A
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
解析：因为点 P 的轨迹方程为 x2＝2y－1， 即所求的抛物线方程为 y＝12x2＋12， 抛物线的对称轴为 y 轴，顶点坐标为0，12. 所以该同学的建系方式是 C. 答案：C
第四页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．方程 x－1lg(x2＋y2－1)＝0 所表示的曲线图形是( )
解析：由题知，原方程等价于xx2－＋1y＞2＝02 或xx2－＋1y＝2＞01 ， 结合图形可知选项 D 正确．
N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为
R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|＋|PN|＝(R
＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左，右焦点，长
半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x42＋y32
所以xy－＝x2′y′＝－2x′
x′＝－x， ，解得y′＝2y.
又因为P→M⊥P→F，P→M＝(x′，－y′)，P→F＝(1，－y′)， 所以(x′，－y′)·(1，－y′)＝0，即 x′＋y′2＝0，
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.7
考向二 抛物线的几何性质 [互动讲练型] [例 2] (1)(2016·四川，3,5 分)抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是 () A．(0,2) B．(0,1) C．(2,0) D．(1,0) [解析] ∵抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，∴抛 物线 y2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故选 D. [答案] D
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
(2)(2017·南昌二模)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点 F(1,0)，其准线与 x 轴的交点为 K，过点 K 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，且F→A·F→B＝89，则直线 l 的方程为____________________．
答案：A
第四页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
3．已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，且顶
点在原点，则抛物线 C 的方程是( )
A．y2＝±2 2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x
D．y2＝±4 2x
解析：因为双曲线的焦点为(－ 2，0)，( 2，0)． 设抛物线方程为 y2＝±2px(p＞0)，
4．(2017·徐州调研)若抛物线 y2＝2px 上一点 P(2，y0)到其准 线的距离为 4，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x 解析：∵抛物线 y2＝2px，∴准线为 x＝－p2. ∵点 P(2，y0)到其准线的距离为 4， ∴－p2＋2＝4， ∴p＝4.∴抛物线的标准方程为 y2＝8x. 答案：C
答案：6
第八页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[知识重温]
一、必记 2●个知识点
1．抛物线定义、标准方程及几何性质
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.6
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[授课提示：对应学生用书第 144 页]
考向一 双曲线的定义及其标准方程
[自主练透型] [例 1] (2016 天津，4,5 分)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞
0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直，
故渐近线方程为 y＝±bax，又一条渐近线为 2x＋y＝0，
即 y＝－2x，∴ba＝2，即 b＝2a. 又∵该双曲线的一个焦点为( 5，0)，∴c＝ 5. 由 a2＋b2＝c2 可得 a2＋(2a)2＝5， 解得 a＝1，b＝2. [答案] 1；2
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[悟·技法]—— 解决渐近线与离心率关系的问题方法
[变式练]——(着眼于举一反三) 4．设双曲线ax22－by22＝1(b＞a＞0)的半焦距为 c 且直线 l 过(a,0)
和(0，b)两点．已知原点到直线 l 的距离为 43c，则双曲线的离心
率为( )
A.2 3 2
B. 2
第十页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围
⑦_x_≥__a__或__x_≤__－_ a
⑧_y_≥__a_或___y_≤__－_ a
性
对称轴：⑨_x_轴__、__y__轴__ 对称轴：⑪_x__轴__，__y_轴__
则双曲线的方程为( A.x42－y2＝1 C.32x02－35y2＝1
) B．x2－y42＝1 D.35x2－32y02＝1
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[授课提示：对应学生用书第 144 页]
考向一 双曲线的定义及其标准方程
[自主练透型] [例 1] (2016 天津，4,5 分)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞
0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直，
故渐近线方程为 y＝±bax，又一条渐近线为 2x＋y＝0，
即 y＝－2x，∴ba＝2，即 b＝2a. 又∵该双曲线的一个焦点为( 5，0)，∴c＝ 5. 由 a2＋b2＝c2 可得 a2＋(2a)2＝5， 解得 a＝1，b＝2. [答案] 1；2
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[悟·技法]—— 解决渐近线与离心率关系的问题方法
[变式练]——(着眼于举一反三) 4．设双曲线ax22－by22＝1(b＞a＞0)的半焦距为 c 且直线 l 过(a,0)
和(0，b)两点．已知原点到直线 l 的距离为 43c，则双曲线的离心
率为( )
A.2 3 2
B. 2
第十页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围
⑦_x_≥__a__或__x_≤__－_ a
⑧_y_≥__a_或___y_≤__－_ a
性
对称轴：⑨_x_轴__、__y__轴__ 对称轴：⑪_x__轴__，__y_轴__
则双曲线的方程为( A.x42－y2＝1 C.32x02－35y2＝1
) B．x2－y42＝1 D.35x2－32y02＝1
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①当_________时,M点的轨迹是双曲线; 2a<|F1F2|
②当_________时,M点的轨迹是两条射线; ③当_2_a_=_|_F_1_F_2|_时,M点不存在.
2a>|F1F2|
2.双曲线的标准方程与几何性质
图形
标准 方程
__x2___y_2__1_(a>0,b>0) a2 b2
__y_2 __x_2____(a>0,b>0) a2 b2 1
1.(2016·阳泉模拟)已知点F1,F2分别为双曲线C:x2-
y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,
则|PF1|·|PF2|等于 ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.由题意知a=1,b=1,c= , 2
所以|F1F2|=2 ,在△PF1F2中, 2
由余弦定理得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°
=|F1F2|2=8,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8, ①
由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2, 两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,② ①-②得|PF1||PF2|=4.
2.如果双曲线 x2 y2 =1上一点P到它的右焦点的距离 是8,那么点P到它4 的1左2 焦点的距离是 ( )
A.4
B.12
C.4或12
D.不确定
【解析】选C.由双曲线方程,得a=2,c=4.根据双曲线的 定义|PF1|-|PF2|=±2a,则|PF1|=|PF2|±2a=8±4, 所以|PF1|=4或12,经检验二者都符合题意.
3.点P是双曲线 x2 y2 =1(a>0,b>0)右支上一点,点F1, a2 b2
4.(2015·四川高考)过双曲线x2- y2 =1的右焦点且与x 3
轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则
|AB|= ( )
A. 4 3
B.2 3
C.6
D.4 3
3
【解析】选D.由双曲线方程知,右焦点为(2,0),直线
x=2与渐近线y=± x的交点A(2,2 ),B(2,-2 ),
45
x2 B.
y2
1(x＞0)
45
y2 D.
x2
1(x＞0)
45
【解析】选B.由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上
的由双题曲设线知的c=右3,支a=,2设,b其2=9方-4程=5为,所xa2以2 点by22P的=1轨(x迹>0方,a程>0为,b>0),
=1(x>0). x2 y2
45
【加固训练】
<0”去掉,试求
MF1 MF2
MF1 MF2
的范围.
【解析】由题意知:F1(-
3 ,0),F2(
3
,0),
x02 2
y02
=1,
所以 MF1 MF2 3 x0,y0 3 x0,y0 x02 y02 3
即x02 1
x02 2
≥ 3-13.x202
又因为x02≥2,所以 4，
【规范解答】(1)选D.设双曲线方程为 x2 =y21(a>0, a2 b2
b>0),如图所示,
|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,
【规范解答】(1)选B.因为||PF1|-|PF2||=2a,所以 |PF1|-|PF2|=±6,所以|PF2|=9或-3(舍去).
(2)由已知a=1,b=2 ,c=3,所以F(3,0), 2
F′(-3,0),又
A(0,6 6)，
所以|AF|=
=15,△APF周长
l=|PA|+|PF|3+2 |A6F|,6 2
质渐
(-a,0) (a,0)
(0,-a) (0,a)
近
线
y=______
bx
a
y=________ ax b
图形
离心率 线段A1A2叫e=做__ac双__曲,e线∈的_(实_1_,轴_+_∞,_它_)_的长
性 质
|A1A2|=___;线段B1B2叫做双曲线的 实虚轴 虚轴,它2的a长|B1B2|=___;a叫做双曲
x2
两个焦点,若2
<0,则y0的取值范围是( )
MF1 MF2
A.( 3 , 3 ) B.( 3 , 3 ) C.( 2 2 , 2 2 ) D.( 2 3 , 2 3 )
33
66
33
33
【解题导引】直接利用向量的数量积列出并解不等式, 即可求出y0的取值范围.
【规范解答】选A.因为F1(-
,30),F2(
2
-4≥-1,
MF1 MF2
命题方向2:与双曲线的离心率、渐近线相关的问题
【典例3】(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B为双曲线E的
左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为
120°,则E的离心率为 ( )
A.
B.2
C.
D.
5
3
2
(2)(2015·天津高考)已知双曲线 x2 y2 =1(a>0,b>0) a2 b2
命题方向
与双曲线有关的范围问 题
与双曲线的离心率、渐 近线相关的问题
命题视角
考查利用双曲线方程或性质 解决参数长度等的范围
考查运用条件求离心率或渐 近线的问题及范围
【考题例析】
命题方向1:与双曲线有关的范围问题
【典例2】(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)
是双曲线C: -y2=1上的一点,F1,F2是C的
=0,
6
6
解得y=-8 (舍)或y=2 6
6,则P(x,2
). 6
因为S△APF=S△AF′F-S△PF′F
= ×6×6 - ×6×2 =12 .
1
1
答2案:12
6 2
6
6
6
【规律方法】“焦点三角形”中常用到的知识点及技 巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦 定理、双曲线的定义经常使用. (2)技巧:经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法, 建立它与|PF1||PF2|的联系.
又|PF|-|PF′|=2,
所以|PF|=|PF′|+2,
所以l=|PA|+|PF′|+2+15≥|AF′|+17=32,当且仅当 A,P,F′三点共线时,△APF周长最小,如图所示.
设P(x,y),
直线AF′的方程为 x =y1, 3 6 6
联立得
x 3
6
y 6
1,
消去x得x
2y2+y82361y, -96
所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又 |AF1|+|AF2|=2c, 所以|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a. 因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以△PF1F2的内切 圆圆心M的横坐标为a.
考向二 双曲线的标准方程及性质 【考情快递】
所以点P在x双 5曲2 线 y右2 支上,
|PF1|=
,
x 52 y2
因为|PF1|-|PF2|=2a=8,
所以
=2a+6=14,
所以(x+x 5)52+2 yy22=196, ②
①②联立得x=8.
代入原式可得y=±3 .
所以点P坐标为(8,±3 3 ).
答案:(8,±3 )
3
3
2.(选修2-1P61练习T3改编)以椭圆 x2 y2 1 的焦点为
线的实半轴长,b叫做2双b曲线的虚半
轴长
图形
a,b,c间 的关系
c2=_____(c>a>0,c>b>0) a2+b2
【特别提醒】 1.渐近线与离心率 2xa.22若 byP22为=双1(曲a>线0,上b>一0)点的,一F为条其渐对近应线焦的点斜,率则为|PbaF|=≥ec2-a1.. 3.区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在 椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(选修2-1P61习题2.3A组T1改编)双曲线
上
x2 的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是16
y2 9
1
.
【解析】根据双曲线方程可知c= 16 =9 5. 所以焦点为F2(5,0),F1(-5,0).
设P(x,y),由两点间距离公式:
|PF2|=
=6, ①
提醒:利用双曲线的定义解决问题,要注意三点: (1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|.(3)焦点所在坐 标轴的位置.
【变式训练】已知点F1(-3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2 的距离之差为4,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 y2 1(y＞0) 45
y2 C.
x2
1(y＞0)
第七节 双曲线
【知识梳理】
1.双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离_____ 之差
_________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲 线的.绝这对两值个定点叫做双曲线的_____,两焦点间的距离叫
做_____.
焦点
焦距
(2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c 为常数且a>0,c>0.
②当_________时,M点的轨迹是两条射线; ③当_2_a_=_|_F_1_F_2|_时,M点不存在.
2a>|F1F2|
2.双曲线的标准方程与几何性质
图形
标准 方程
__x2___y_2__1_(a>0,b>0) a2 b2
__y_2 __x_2____(a>0,b>0) a2 b2 1
1.(2016·阳泉模拟)已知点F1,F2分别为双曲线C:x2-
y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,
则|PF1|·|PF2|等于 ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.由题意知a=1,b=1,c= , 2
所以|F1F2|=2 ,在△PF1F2中, 2
由余弦定理得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°
=|F1F2|2=8,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8, ①
由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2, 两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,② ①-②得|PF1||PF2|=4.
2.如果双曲线 x2 y2 =1上一点P到它的右焦点的距离 是8,那么点P到它4 的1左2 焦点的距离是 ( )
A.4
B.12
C.4或12
D.不确定
【解析】选C.由双曲线方程,得a=2,c=4.根据双曲线的 定义|PF1|-|PF2|=±2a,则|PF1|=|PF2|±2a=8±4, 所以|PF1|=4或12,经检验二者都符合题意.
3.点P是双曲线 x2 y2 =1(a>0,b>0)右支上一点,点F1, a2 b2
4.(2015·四川高考)过双曲线x2- y2 =1的右焦点且与x 3
轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则
|AB|= ( )
A. 4 3
B.2 3
C.6
D.4 3
3
【解析】选D.由双曲线方程知,右焦点为(2,0),直线
x=2与渐近线y=± x的交点A(2,2 ),B(2,-2 ),
45
x2 B.
y2
1(x＞0)
45
y2 D.
x2
1(x＞0)
45
【解析】选B.由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上
的由双题曲设线知的c=右3,支a=,2设,b其2=9方-4程=5为,所xa2以2 点by22P的=1轨(x迹>0方,a程>0为,b>0),
=1(x>0). x2 y2
45
【加固训练】
<0”去掉,试求
MF1 MF2
MF1 MF2
的范围.
【解析】由题意知:F1(-
3 ,0),F2(
3
,0),
x02 2
y02
=1,
所以 MF1 MF2 3 x0,y0 3 x0,y0 x02 y02 3
即x02 1
x02 2
≥ 3-13.x202
又因为x02≥2,所以 4，
【规范解答】(1)选D.设双曲线方程为 x2 =y21(a>0, a2 b2
b>0),如图所示,
|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,
【规范解答】(1)选B.因为||PF1|-|PF2||=2a,所以 |PF1|-|PF2|=±6,所以|PF2|=9或-3(舍去).
(2)由已知a=1,b=2 ,c=3,所以F(3,0), 2
F′(-3,0),又
A(0,6 6)，
所以|AF|=
=15,△APF周长
l=|PA|+|PF|3+2 |A6F|,6 2
质渐
(-a,0) (a,0)
(0,-a) (0,a)
近
线
y=______
bx
a
y=________ ax b
图形
离心率 线段A1A2叫e=做__ac双__曲,e线∈的_(实_1_,轴_+_∞,_它_)_的长
性 质
|A1A2|=___;线段B1B2叫做双曲线的 实虚轴 虚轴,它2的a长|B1B2|=___;a叫做双曲
x2
两个焦点,若2
<0,则y0的取值范围是( )
MF1 MF2
A.( 3 , 3 ) B.( 3 , 3 ) C.( 2 2 , 2 2 ) D.( 2 3 , 2 3 )
33
66
33
33
【解题导引】直接利用向量的数量积列出并解不等式, 即可求出y0的取值范围.
【规范解答】选A.因为F1(-
,30),F2(
2
-4≥-1,
MF1 MF2
命题方向2:与双曲线的离心率、渐近线相关的问题
【典例3】(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B为双曲线E的
左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为
120°,则E的离心率为 ( )
A.
B.2
C.
D.
5
3
2
(2)(2015·天津高考)已知双曲线 x2 y2 =1(a>0,b>0) a2 b2
命题方向
与双曲线有关的范围问 题
与双曲线的离心率、渐 近线相关的问题
命题视角
考查利用双曲线方程或性质 解决参数长度等的范围
考查运用条件求离心率或渐 近线的问题及范围
【考题例析】
命题方向1:与双曲线有关的范围问题
【典例2】(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)
是双曲线C: -y2=1上的一点,F1,F2是C的
=0,
6
6
解得y=-8 (舍)或y=2 6
6,则P(x,2
). 6
因为S△APF=S△AF′F-S△PF′F
= ×6×6 - ×6×2 =12 .
1
1
答2案:12
6 2
6
6
6
【规律方法】“焦点三角形”中常用到的知识点及技 巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦 定理、双曲线的定义经常使用. (2)技巧:经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法, 建立它与|PF1||PF2|的联系.
又|PF|-|PF′|=2,
所以|PF|=|PF′|+2,
所以l=|PA|+|PF′|+2+15≥|AF′|+17=32,当且仅当 A,P,F′三点共线时,△APF周长最小,如图所示.
设P(x,y),
直线AF′的方程为 x =y1, 3 6 6
联立得
x 3
6
y 6
1,
消去x得x
2y2+y82361y, -96
所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又 |AF1|+|AF2|=2c, 所以|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a. 因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以△PF1F2的内切 圆圆心M的横坐标为a.
考向二 双曲线的标准方程及性质 【考情快递】
所以点P在x双 5曲2 线 y右2 支上,
|PF1|=
,
x 52 y2
因为|PF1|-|PF2|=2a=8,
所以
=2a+6=14,
所以(x+x 5)52+2 yy22=196, ②
①②联立得x=8.
代入原式可得y=±3 .
所以点P坐标为(8,±3 3 ).
答案:(8,±3 )
3
3
2.(选修2-1P61练习T3改编)以椭圆 x2 y2 1 的焦点为
线的实半轴长,b叫做2双b曲线的虚半
轴长
图形
a,b,c间 的关系
c2=_____(c>a>0,c>b>0) a2+b2
【特别提醒】 1.渐近线与离心率 2xa.22若 byP22为=双1(曲a>线0,上b>一0)点的,一F为条其渐对近应线焦的点斜,率则为|PbaF|=≥ec2-a1.. 3.区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在 椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(选修2-1P61习题2.3A组T1改编)双曲线
上
x2 的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是16
y2 9
1
.
【解析】根据双曲线方程可知c= 16 =9 5. 所以焦点为F2(5,0),F1(-5,0).
设P(x,y),由两点间距离公式:
|PF2|=
=6, ①
提醒:利用双曲线的定义解决问题,要注意三点: (1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|.(3)焦点所在坐 标轴的位置.
【变式训练】已知点F1(-3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2 的距离之差为4,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 y2 1(y＞0) 45
y2 C.
x2
1(y＞0)
第七节 双曲线
【知识梳理】
1.双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离_____ 之差
_________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲 线的.绝这对两值个定点叫做双曲线的_____,两焦点间的距离叫
做_____.
焦点
焦距
(2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c 为常数且a>0,c>0.