(完整版)【2016年全国高考数学】专题18随机事件的概率、古典概型和几何概型

【母题来源一】2016新课标1卷【母题原题】某公司的班车在7:00,8:00, 8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B考点：几何概型【名师点睛】解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等,若题中只有一个变量,可考虑利用长度模型,若题中由两个变量,可考虑利用面积模型.【母题来源二】 2016年山东卷【母题原题】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .【答案】5.6【解析】先后抛掷2次的基本事件有26=36种,出现向上的点数之和不小于10的基本事件有(4,6)(5,5)(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)共6种,所以所求概率为651.366-= 考点：古典概型【名师点睛】概率客观题问题的考查,侧重于对古典概型和对立事件的概率考查,,注重事件本身的理解,淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义,然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题,而当正面问题比较复杂时,往往采取先求其对立事件的概率.【命题意图】本类问题主要涉及古典概型、几何概型、对立事件概率的计算及概率与统计的综合,要求掌握利用古典概想、几何概型求概率的方法,掌握利用互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率公式求概率的方法.【考试方向】本类问题若单独命题 ,一般以客观题形式出现,难度都不大,解答题常与随机变量的分布列及统计结合在一起进行考查.【得分要点】1.古典概型是概率论中最简单而又直观的模型,在概率论的发展初期曾是主要研究对象,许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”).要判断一个试验是否为古典概型,只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.2.求古典概型的概率(1)对于事件A 的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A 是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝m n求出事件A 的概率,这是一个形象直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.(3)如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,可以用树状图法,树状图法适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意在确定基本事件时(x ,y )可以看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的,如(1,2),(2,1)相同．也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m ,n ,再运用公式P (A )＝m n求概率. (4)较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算,较为复杂的概率问题的处理方法有：①转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解；②采用间接法,先求事件A 的对立事件A 的概率,再由P (A )＝1－P (A )求事件A 的概率.3.几何概型与古典概型的关系几何概型是古典概型的补充和推广,它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素,每个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域G 内随机而取的点的位置来确定；而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求,两种概率模型是高度统一的.4.与长度或面积有关的几何概型是高考命题的热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题．重点关注：与线段长度有关的几何概型；与一元不等式有关的几何概型；与距离有关的几何概型．求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积以求面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解．【易错警示】1. 辨明两个易误点：(1)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时,易忽视他们是否是等可能的．(2)概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中,易忽视只有当A ∩B＝ ,即A ,B 互斥时,P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ),此时P (A ∩B )＝0.2.解决几何概型问题,注意把握好以下几点：(1)能正确区分古典概型与几何概型.例1：在区间[0,10]上任意取一个整数x ,则x 不大于3的概率为________.例2：在区间[0,10]上任意取一个实数x ,则x 不大于3的概率为________.例1的基本事件总数为有限个11,不大于3的基本事件有4个,此为古典概型,故所求概率为411.例2的基本事件总数为无限个,属于几何概型,所求概率为310. (2)准确分清几何概型中的测度.例3：在等腰Rt △ABC 中,∠C ＝90°,在直角边BC 上任取一点M ,求∠CAM ＜30°的概率.例4：在等腰Rt △ABC 中,∠C ＝90°,在∠CAB 内过点A 作射线交线段BC 于点M ,求∠CAM＜30°的概率.例3中的测度定性为线段长度,当∠CAM 0＝30°,CM 0＝33AC ＝33C B.满足条件的点M 等可能的分布在线段CM 0上,故所求概率等于CM 0CB ＝33.例4中的测度定性为角度,过点A 作射线与线段CB 相交,这样的射线有无数条,均匀分布在∠CAB 内,∠CAB ＝45°.所以所求概率等于∠CAM 0∠CAB ＝30°45°＝23. (3)科学设计变量,数形结合解决问题.例5：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待时间不多于10分钟的概率.例6：某人午觉醒来,发现表停了,求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率.例5是《必修3》P 136的例题,此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度,故所求概率为1060＝16.例6 容易犯解例5形成的定势思维的错误,得到错误答案560＝112.原因在于没有认清题中的变量,本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数,都可取[0,60]内的任意时刻,故所求概率需用到面积型几何概型,由|x －y |≤5结合线性规划知识可解,所求概率为602－552602＝23144.通过这两道例题我们也可以看出,单变量多用线型测度,多变量需用面积(或体积)型测度.在画好几何图形后,利用数形结合思【母题1】甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站在甲丙之间的概率为（ ）A ．21B ．31C ．41D ．61 【答案】B考点：古典概型【名师点睛】利用排列组合求基本事件的结果数,要注意区分有序还是无序.【母题2】已知函数()321132f x ax bx x =-+,连续抛掷两颗骰子得到点数分别是,a b ,则函数()f x '在1x =处取得最值的概率是（ ）A ．136B ．118C ．112D ．16 【答案】C【解析】()()21,,,16,16f x ax bx a b a b *'=-+∈≤≤≤≤N 且,其对称轴方程为12b x a ==即2b a =,抛掷两颗骰子得到的点数一共有(){},|,b N,16,16a b a a b ∈≤≤≤≤共36种等可能出现的情况,其中满足2b a =的有()()()1,2,2,4,3,6共3种情况,所以其概率为313612P ==,故选C. 考点：古典概型 【名师点睛】本题先通过求导得到要研究的二次函数,结合二次函数的性质找到1x =处取得最值,a b 满足的条件.因为连续抛掷两颗骰子,研究得到的点数情况满足有限性和等可能性,所以属于古典概型,列举出所有可能的基本事件空间,找出满足条件的基本事件,即得所求的概率.【母题3】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（ ）A ． 21 B ．31 C ．41 D ．51 【答案】A【解析】送卡方法有：（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁、乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况,其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种,所以概率为1142=.故选A. 考点:古典概型【名师点睛】用列举法计数时要注意有无顺序,不要出现重复计数的情况.【母题4】有一长、宽分别为50m,30m 的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员,其声音可传出152m,则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ）A ．43B ．83C ． 3π16D ．12+3π32【答案】B【解析】 这是一个几何概型问题, 所有可能结果用周长160表示,事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示,所以8316060==P .考点：几何概型【名师点睛】本题是与长度有关的几何概型,解题关键是把事件发生的结果转化为长度问题.【母题5】从1,3,5,7这四个数中随机取出两个数组成一个两位数,则组成的两位数是5的倍数的概率是（）A．18B．16C．14D．12【答案】C考点：古典概型【名师点睛】在求基本事件个数时,当结果较少或限制条件较多,一般采用列举法,不过大多情况下采用排列组合比较方便.【母题6】某中学早上8点开始上课,若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．932B．12C．364D．564【答案】A考点：几何概型．【方法点睛】求几何概型,一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积）,再求出事件A构成区域长度（面积或体积）,最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时,一定要分清“试验”和“事件”,这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）．【母题7】如图,长方形的四个顶点为(0,0),(4,0),(4,2),(0,2)O A B C,曲线yx=经过点B,现将一质点随机投入长方形OABC中,则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．512B．12C．34D．23【答案】D【解析】因为阴影部分面积为342216|33xdx x==⎰,故概率为1623423=⨯．考点：1.定积分；2.几何概型．【名师点睛】求曲边多边形的面积一般是转化为求定积分.【母题8】某高中数学老师从—张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析,则在取到选择题时解答题也取到的概率为（）A ．11112620332210C C C C C ⋅⋅- B ．111121264126332210C C C C C C C ⋅⋅+⋅- C ．()11122112646126332210C C C C C C C C ⋅++⋅- D ．333221016332210C C C C C --- 【答案】C考点：古典概型【名师点睛】本题实质是条件概率问题,条件概率也是高考热点,高考中条件概率一般作为客观题出现,多为基础题,对于简单的条件概率问题也可利用古典概型概率公式计算.【母题9】小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是,M I N ，中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）（A ）815 （B ）18 （C ）115 （D ）130【答案】C 【解析】开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I ,(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N ,共15种可能,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115,故 选C ．考点：古典概型．【名师点睛】对古典概型必须明确判断两点：①对于每个随机试验来说,所有可能出现的试验结果数n 必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数m 其可能性大小必须是相同的．只有在同时满足①、②的条件下,运用的古典概型计算公式()m P A n=得出的结果才是正确的【母题10】在区域()02,|04x M x y y ⎧<<⎫⎧⎪⎪=⎨⎨⎬<<⎪⎪⎩⎩⎭内随机撒一把黄豆,落在区域()4,|0x y N x y y x x ⎧+<⎫⎧⎪⎪⎪=>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭的概率是________.【答案】12考点：几何概型.【名师点晴】本题主要考查了面积比的几何概型及其概率的计算,属于中档试题,对于几何概型概率的计算公式中的“几何度量”可以为线段的长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关,解答此类问题的步骤为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”()N A ,再求出总的基本的对应的“几何度量”N ,即可根据公式求解概率.。