06-07静力学一般力系

A
XA YA l /2
C
B
l /2 RA
XA = P cos mA(Fi) = 0 1 m P l sin RA l 0 2 Yi = 0
YA - P sin + RA = 0
m 1 RA P sin l 2
m 1 YA P sin l 2
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[例1 ] 已知：P，a ， 求：A、B两点的支座反力。 解：① 选AB梁研究；
[例4] 已知：P=20kN, m=16kN· q=20kN/m， a=0.8m， m，
求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
由 X 0, X A 0
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
• 灵活选择研究对象； • 正确画出受力图； • 列适当的平衡方程求解。
∑X=0 ∑Y=0
∑MO(F)=0
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例5-2 直角刚架ABC承受插入端约束。在刚架的 A端作用集中力F与集中力偶M，其尺寸a、b、 均已知。与试求固定端约束的全部约束力。
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9
[例2] 悬臂吊车如图 a) 所示。A、B、C处均为铰接。AB梁自 重W1＝4 kN，载荷重W＝l0 kN，BC杆自重不计，有关尺寸如
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(2)
XB
B
19.5kN
[例8] 已知：OA=R， AB= l ， 当OA水平时，冲压力为P时， 求：① M=？② O点的约束反力？③ AB杆内力？ ④ 冲头给导轨的侧压力？ 解：研究B
由 X 0
N S B sin 0
Y 0
P S B cos 0
S B P , N P tg cos
使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即Wmin<W<Wmax。
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物体系的平衡
1．物体系平衡 • （1）整体系统平衡，每个物体也平衡。可取 整体或部分系统或单个物体为研究对象。 • （2）分清内力和外力。在受力图上不考虑内 力。 • （3）灵活选取平衡对象和列写平衡方程。尽 量减少方程中的未知量，简捷求解。 • （4）如系统由n个物体组成，而每个物体在 平面力系作用下平衡，则有3n个独立的平衡 方程，可解3n个未知量。
2

X 0Βιβλιοθήκη X 0 m A ( Fi ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
L＝l m。求固定端A处的约束反力。
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解 (1) 取T形刚架为研究对象，其上作用有主动力W、F、 M和线性分布载荷。将线性分布载荷化为一合力，其大小等于 线性分布载荷的面积，即F1＝q×3L÷2＝30 kN，其作用线作 用于三角形分布载荷的几何中心，即距点A为L处。约束反力 有FAx，FAy和MA。其受力与坐标如图 b)所示。
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
3
习题 . 在水平梁AB上作用一力偶矩为m 的
力偶,在梁长的中点C处作用一集中力P它与
水平的夹角为, 如图所示.梁长为 l 且自重
不计.求支座A和 B的反力.
P m A
l /2
C

B
l /2
4
解:取水平梁AB为研究对象画受力图. Xi = 0
m
P

XA - P cos = 0
一平面平行力系。其平衡方程为 Σ Fy=0， Σ MB(F)=0， 解得 情况。 (1) 当满载时，为了使起重机不绕B点翻倒，考虑平衡的临
FA FB W2 W1 W 0
W (a b) FAb W1e W2 L 0 FA 62.5 kN，FB 987.5 kN
这样的问题称为静不定问题.
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物体系统是指由若干个物体通过适当的约
束相互连接而组成的系统. 解静定物体系统平衡问题的一般步骤: (a)分析系统由几个物体组成. (b)按照便于求解的原则,适当选取整体或个 体为研究对象进行受力分析并画受力图. (c)列平衡方程并解出未知量
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[例]
静定（未知数三个）
P
A B
Q
C
2m
2m
2m
2m
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解:取整体为研究对象画受力图.
P
A B
Q
C
XA
mA YA RC
2m 2m 2m 2m
Xi = 0 XA - 20 cos45o = 0
Yi = 0 mA(Fi) = 0
XA = 14.14 kN
(1)
YA - 30 - 20 sin45o + RC = 0
(2) 列平衡方程：
Σ Fx=0， Σ Fy=0，
FAx F1 F sin 60o 0
FAy W F cos 60o 0
Σ MA(F)=0， M A M F1L FL cos 60o 3FL sin 60o 0
解得： FAx 316.4 kN，FAy 100 kN，M A 789.2 kN
1
一般力系的平衡条件和平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件和平衡方程 由于 R =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡
所以 平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
R' ( X ) 2 ( Y ) 2 0 M O mO ( Fi ) 0
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再研究轮
mO ( F ) 0 S A cos R M 0
物系平衡的特点： ① 物系静止
② 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程， 整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体） 解物系问题的一般方法：
由局部
整体（常用），由整体
局部（用较少）
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例7：图示三铰拱。已知P=6kN，M=5kNm，A=1m。 求支座A、B的反力。
P C M
(1)研究对象：整体 (2)研究对象：BC
如图所示，已知l=3m,不计梁的自重。试求A端的约束反力。
解：(1)取AB为研究对象。 (2)画受力图。 (3)选取投影轴和矩心。 (4)列平衡方程求解：
X 0, X 0 Y 0, Y Q P 0
A A
l m A ( F ) 0, m A Q 3P 0 2 X A 0, YA 190KN , m A 435KN m
mA - 2×30 - 6×20sin45o +8RC = 0
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(2)
Q
取BC杆为研究对象画受力图.
B XB YB

C RC
mB(Fi) = 0
- 2×20sin45 +4RC = 0 RC = 7.07 kN
(3)
o
2m
2m
把(3)式分别代入(1)和(2)式得:
YA = 37.07 kN mA = 31.72 kN.m
mB (F ) mA 3YA 1.5Q 435 3190 1.5 90 0 校核： 可见YA , mA 的计算正确。
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[例3]
自重W＝100 kN的T形刚架ABD，置于铅垂面内，载
荷如图 a)所示。已知M＝20 kN· m，F＝400 kN，q＝20 kN/m，
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[例5]
塔式起重机如图所示。机架自重W1＝500 kN，其作
用线至右轨的距离e＝0.5 m，最大起重量W2＝250 kN，其作用 线至右轨的距离L＝10 m，轨道AB的间距b＝4 m，平衡重W到
左轨的距离a＝6 m。若W=300 kN，W2＝250 kN，求轨道A、B
对两轮的反力。
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解
取起重机为研究对象。画出受力图如图所示，该力系为
讨论：为了保证起重机安全工作，设计时需要考虑两种翻倒
界状况FA＝0，这时列Σ MB(F)＝0的平衡方程，可求出平衡重
的最小值Wmin＝275 kN ，
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(2) 当空载时，为了使起重机不绕A点翻倒，考虑平衡的临 界状况FB＝0，这时列Σ MA(F)＝0的平衡方程，可求出平衡重
的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于极限状态，需
FAx FBC cos 45o 0
FAy FBC sin 45o W1 W 0
Σ Fy=0，
Σ MA(F)=0，
6FBC sin 45o 3W1 4W 0
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解得： FAx 8.67 kN，FAy 5.33 kN，FBC 12.3 kN
例5-2b：悬臂梁AB受集度大小为q=30KN/m的均布荷载和集中力P=100KN的作用。
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平面平行力系： 各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系，叫平面平 行力系。 设有F , F … F 各平行力系，
1 2 n
向O点简化得：
主矢RO R 'F
主矩M O mO ( Fi ) Fi xi
合力作用线的位置为： M O Fi xi xR R' F 平衡的充要条件为 主矢 R =0 主矩MO =0
图 a) 所示。求BC杆所受的力和铰A处的约束反力。
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解 (1) 选AB梁为研究对象，画出分离体图。在AB梁上主动力
有W1，和W；约束反力有支座A处的反力FAx和FAy；由于BC为 二力杆，故B处反力为FBC，该力系为平面一般力系，受力图如 图 b)所示。 (2) 列平衡方程并求解。选取坐标轴如图 b)所示。为避免 解联立方程，在列平衡方程时尽可能做到一个方程中只包含一 个未知量，并且先列出能解出未知量的方程，于是有 Σ Fx=0，