2017年高中自主招生统一考试数学试题卷
(完整)自主招生数学试题及答案,推荐文档
2017年自主招生数学试题(分值: 100分 时间:90分钟)一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1、若对于任意实数，关于的方程都有实数根，则实数的a x 0222=+--b a ax x b 取值范围是（ ）A ≤0B ≤C ≤D ≤-1b b 21-b 81-b 2、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE∥AC，已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为（ ）A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶9D ．1∶163、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。
已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300，在C 处测得电线杆顶端A 得仰角为450，斜坡与地面成600角，CD=4m ，则电线杆的高(AB)是（ ）A ．mB ．mC ．mD ．12m )344(+)434(-)326(+4、如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=3．点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点。
A ．53 B ．12 C ．43 D ．23(第2题图) (第3题图) (第4题图)5、如图，在反比例函数的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于xy 2-=点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数的图xky =象上运动，若tan∠CAB=2，则k 的值为( )A. 2B. 4C. 6D. 86、如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB 绕点B 逆时针旋转600得到线段O′B，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转600得到；②∠AOB=1500；③6AOBO'S =+四边形6AOB AOCS S +=△△是（ ）A.②③④B.①②④C.①④D.①②③O'OCB A(第5题图) (第6题图)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7、已知方程组，且，则的取值范围是 。
成都外国语学校2017年高中自主招生数学真卷(一)
成都外国语学校2017年高中自主招生数学真卷（一）(考试时间:120分钟 满分:150分)A 卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、如图，是一个单心圆曲隧道的截面，如果路面AB 宽为10米，净高CD 为7米，那么所在半径OA 为 （ ） A 、5米 B 、377 C 、375D 、7米第1题图 第2题图 第3题图2、在正方形网络中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 （ ） A 、55 B 、255 C 、12D 、2 3、如图是一个立方体的表面展开图，已知立方体的每一个面上都有一个实数，且相对两数互为倒数，那么代数式b ca-的值等于 （ ） A 、34- B 、14- C 、1 D 、344、把多项式2212xy x y -+-分解因式的结果是 （ ） A 、(1)(1)x y x y +--+ B 、(1)(1)x y x y --+- C 、(1)(1)x y x y ---+ D 、(1)(1)x y x y +-++5、在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将地球仪的半径增大1米，需增加m 米的铁丝，假设地球赤道上也有一个铁箍，同样地球半径增大1米，则需要增加n 米的铁丝，则m 与n 的大小关系是 （ ） A 、m>n B 、m<n C 、m=n D 、不能确定6、已知一组数据7，6，x ，9，11的平均数是9，那么x 等于 （ ） A 、3 B 、10 C 、12 D 、97、如图，在矩形ABCD 中， AB=2，BC=1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 做匀速运动，那么△APB 的面积S 与点P 运动的路程之间的函数图像大致是 （ ）第7题图A B C D8、点P 在第一象限内，P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，点P 的坐标是 （ ） A 、（—4，3） B 、（—3，—4） C 、（—3，4） D 、（3，4）9、若α、β是方程2220070x x +-=的两实数根，则23ααβ++的值是 （ ）A 、2007B 、2005C 、—2007D 、401010、如图，在ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆CA 、CB 分别相交于P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是 （ ） A 、4.75 B 、4.8 C 、5 D 、42第10题图二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
芜湖一中 2017年高一自主招生考试数学试卷及答案
C． 2
D． 13
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 8 分，共 48 分，请把正确答案写在答题卡上）
7．若 x 为实数，且满足 (x2 x 1)(x2 x 3) 5 ，则 x2 x =
.
8．已知实数 a 、 b 满足 (a 1)2 (a 6)2 10 | b 3 | | b 2 | ，则 a b 的取值范围
2
芜湖一中 2017 年高一自主招生考试
数学答题卷
一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
二、填空题（每小题 8 分，共 48 分）
7．
8．
9．
0
10．
11．
12．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
三、.解答题（本大题共 5 小题，满分 66 分，写出必要的解答过程。）
13． (本小题满分 12 分)设 m 是不小于 1的实数，使得关于 x 的方程 x2 2(m 2)x m2
（Ⅰ）．求这条抛物线的表达式； （Ⅱ）．连结 OM，求∠AOM 的大小； （Ⅲ）．如果点 C 在 x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点 C 的坐标．
第 14 题图
4
15．(本小题满分 12 分)从 1，2，…，9 中任取 n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个， 也可以是全部），它们的和能被 10 整除，求 n 的最小值．（写出详细过程才给分）
为
.
9．当 n 1, 2, 3,, 2017 时，二次函数 y (n2 n)x2 (2n 1)x 1 的图象与 x 轴所截得的线
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(含答案)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )A.A∩B={x|x<32}B.A∩B=⌀C.A∪B={x|x<32}D.A∪B=R2.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π45.已知F是双曲线C:x2-y 23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )A.13B.12C.23D.326.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )7.设x,y满足约束条件{x+3y≤3,x-y≥1,y≥0,则z=x+y的最大值为( )A.0B.1C.2D.38.函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为( )9.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称10.下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+211.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( )A.π12B.π6C.π4D.π312.设A,B是椭圆C:x 23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .14.曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为.15.已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos(α-π4)= .16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;,求该四棱锥的侧面积.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为8319.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x =116∑i=116x i =9.97,s=√116∑i=116(x i -x )2=√116(∑i=116x i 2-16x 2)≈0.212,√∑i=116(i -8.5)2≈18.439,∑i=116(x i -x )(i-8.5)=-2.78,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x -3s,x +3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ii)在(x -3s,x +3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01) 附:样本(x i ,y i )(i=1,2,…,n)的相关系数r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1n (x i -x )√∑i=1n(y i -y ).√0.008≈0.09.20.(12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM⊥BM,求直线AB 的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =a +4t ,y =1-t(t 为参数). (1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17,求a.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A 本题考查集合的运算.由3-2x>0得x<32,则B={x |x <32},所以A∩B={x |x <32},故选A.2.B 本题考查样本的数字特征.统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.3.C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i×2i=-2; B.i 2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C. 4.B 本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8,故选B.5.D 本题考查双曲线的几何性质. 易知F(2,0),不妨取P 点在x 轴上方,如图.∵PF⊥x 轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3), ∴|AP|=1,AP⊥PF, ∴S △APF =12×3×1=32.故选D.6.A 本题考查线面平行的判定.B 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;C 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;D 选项中,AB ∥NQ,且AB ⊄平面MNQ,NQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ.故选A.7.D 本题考查简单的线性规划问题. 作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y 在A(3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.8.C 本题考查函数图象的识辨.易知y=sin2x1-cosx 为奇函数,图象关于原点对称,故排除B 选项;sin 2≈sin 120°=√32,cos 1≈cos 60°=12,则f(1)=sin21-cos1=√3,故排除A 选项; f(π)=sin2π1-cos π=0,故排除D 选项,故选C.9.C 本题考查函数的图象与性质.函数f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中0<x<2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x ∈(0,1)时, f(x)单调递增,x ∈(1,2)时, f(x)单调递减,则A 、B 选项错误;t(x)的图象关于直线x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C 选项正确,D 选项错误.故选C. 10.D 本题考查程序框图问题.本题求解的是满足3n-2n>1 000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件应输出结果,所以判断语句应为A≤1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为n=n+2,故选D.11.B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC 中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0,∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34π. 由a sinA =c sinC 得√22=√2sinC ,∴sin C=12,又0<C<π4,∴C=π6,故选B.12.A 本题考查圆锥曲线的几何性质.当0<m<3时,椭圆C 的长轴在x 轴上,如图(1),A(-√3,0),B(√3,0),M(0,1).图(1)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0<m≤1; 当m>3时,椭圆C 的长轴在y 轴上,如图(2),A(0,√m ),B(0,-√m ),M(√3,0)图(2)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即√m ≥3,即m≥9.综上,m ∈(0,1]∪[9,+∞),故选A.二、填空题 13.答案 7解析 本题考查向量数量积的坐标运算. ∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m -1,3),又(a+b)⊥a, ∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 14.答案 x-y+1=0解析 本题考查导数的几何意义.∵y=x 2+1x,∴y'=2x -1x2,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.15.答案3√1010解析 因为α∈(0,π2),且tan α=sinαcosα=2,所以sin α=2cos α,又sin 2α+cos 2α=1,所以sin α=2√55,cos α=√55,则cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010.16.答案 36π解析 由题意作出图形,如图.设球O 的半径为R,由题意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=√2R.连接OA,OB,则OA⊥SC,OB⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以OA⊥平面SCB,所以OA⊥OB,则AB=√2R,所以△ABC 是边长为√2R 的等边三角形,设△ABC 的中心为O 1,连接OO 1,CO 1. 则OO 1⊥平面ABC,CO 1=23×√32×√2R=√63R,则OO 1=√R 2-(√63R)2=√33R,则V S-ABC =2V O-ABC =2×13×√34(√2R)2×√33R=13R 3=9, 所以R=3.所以球O 的表面积S=4πR 2=36π.三、解答题17.解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q )=2,a 1(1+q +q 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n . (2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q=-23+(-1)n·2n+13.由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2n+3-2n+23=2[-23+(-1)n·2n+13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.18.解析 本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算. (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°, 得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD, 从而AB⊥平面PAD. 又AB ⊂平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD 内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD, 故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD. 设AB=x,则由已知可得AD=√2x,PE=√22x. 故四棱锥P-ABCD 的体积V P-ABCD =13AB·AD·PE=13x 3.由题设得13x 3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2√2,PB=PC=2√2.可得四棱锥P-ABCD 的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC 2sin 60°=6+2√3.19.解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差. (1)由样本数据得(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=∑i=116(x i -x )(i -8.5)√∑i=1(x i -x )2√∑i=1(i -8.5)2=0.212×√16×18.439≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于x =9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x -3s,x +3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02, 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为√0.008≈0.09.20.解析 本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1-y2x 1-x 2=x 1+x 24=1.(2)由y=x 24,得y'=x2,设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x 24得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2√m+1.从而|AB|=√2|x1-x2|=4√2(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.21.解析本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值.(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-ae x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln(-a2).当x∈(-∞,ln(-a2))时,f '(x)<0;当x∈(ln(-a2),+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln(-a2))单调递减,在(ln(-a2),+∞)单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a 2ln a≥0,即a≤1时, f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln (-a 2)时, f(x)取得最小值,最小值为f (ln (-a2))=a 2[34-ln (-a2)].从而当且仅当a 2[34-ln (-a2)]≥0, 即a≥-2e 34时, f(x)≥0. 综上,a 的取值范围是[-2e 34,1].22.解析 本题考查极坐标与参数方程的应用. (1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0. 由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),(-2125,2425).(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d=√17.当a≥-4时,d 的最大值为√17,由题设得√17=√17,所以a=8;当a<-4时,d 的最大值为√17,由题设得17=√17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.23.解析 本题考查含绝对值不等式的求解问题.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√17.2所以f(x)≥g(x)的解集为}.{x|-1≤x≤-1+√172(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].。
2017年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案
2017年浙江省重点高中自主招生考试数 学 试 题 卷本次考试不能利用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.一、选择题（此题有10小题，每题4分，共40分。
每题只有一个选项是正确的，不选，多项选择，错选，均不给分）1．“红灯停，绿灯行”是咱们必需遵守的交通规那么．小刚天天从家骑自行车上学都通过两个路口，且每一个路口只安装了红灯和绿灯，假设每一个路口红灯和绿灯亮的时刻相同，那么小刚从家随时动身去学校，他碰到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．232．假设关于x 的一元一次不等式组 ⎩⎨⎧>≤<m x x 21 有解，那么m 的取值范围为（ ▲ ）A ．2<mB ．2m ≤C ．1<mD ．21<≤m3．点M （2-，a ），N （4-，b ）是所给函数图像上的点，那么能使b a >成立的函数是 （ ▲ ） A ．32+-=x yB ．4)3(22++-=x yC ．1)2(32--=x y D ．xy 2-= 4．据报导，日本福岛核电站发生在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”，含量为每立方米0.4毫贝克(这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫贝克)，那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下，以下天数中，能达到目标的最少的天数是（ ▲ ） A ．64 B ．71 C ．82 D ．1045．十进制数2378，记作)10(2378，其实)10(2378=0123108107103102⨯+⨯+⨯+⨯，二进制数1001)2(=012321202021⨯+⨯+⨯+⨯．有一个（010k <≤为整数）进制数()165k ，把它的三个数字顺序倒置取得的k 进制数()561k 是原数的3倍，那么k =（ ▲ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 6．正方形ABCD 、正方形BEPKRF 的位置如下图，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，那么△DEK 的面积为（ ▲ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．2 7．如图，在Rt △ABC 中，AC =3，BC =4，D 为斜边AB 上一动点，DE ⊥cos EFD ∠=BC ，DF ⊥AC ，垂足别离为E 、F 。
2017年山东省青岛十七中自主招生数学试卷(解析版)
2017年山东省青岛十七中自主招生数学试卷一.填空题（每小题6分，共60分）1．（6分）如果说“舌尖上的中国”展现了中华饮食博大精深、美不胜收，那么“舌尖上的浪费”，则呈现了一种丑陋的饮食观．日前，央视报道，中国人每年在餐桌上浪费的粮食价值约高达1949亿元，共中数据“1949亿”用科学记数法可表示．2．（6分）计算2sin45°﹣（1+）0+＝．3．（6分）随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是．4．（6分）如图所示，两个半圆中，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积是．5．（6分）反比例函数y＝的图象与直线y＝﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是．6．（6分）如图，要在宽为22米的滨湖大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为．7．（6分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B n的坐标是．8．（6分）用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律，逐个排成若干个无缝隙的几何体，图①几何体表面积为6，图②几何体表面积为18，则图⑩中所示几何体的表面积为．9．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为．10．（6分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）二.解答题（每小题15分，共60分）：11．（15分）九（3）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲、乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图统计图．根据统计图，解答下列问题：（1）第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整；（2）已求得甲组成绩优秀人数的平均数＝7，方差＝1.5，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？12．（15分）如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．13．（15分）如图1，△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：＝；（2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即T（A）＝＝，如T（60°）＝1．①理解巩固：T（90°）＝，T（120°）＝，若α是等腰三角形的顶角，则T（α）的取值范围是；②学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）14．（15分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；（2）当点D在线段AB上时，连结AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t＝4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；若不发生变化，求出此定值．2017年山东省青岛十七中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（每小题6分，共60分）1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将1949亿用科学记数法表示为：1.949×1011．故答案为：1.949×1011．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】先根据特殊角的三角函数值和零指数幂的意义计算，然后根据二次根式的除法法则运算，最后合并即可．【解答】解：原式＝2×﹣1++1＝﹣1+2+1＝3．故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3．【分析】依据题意先用分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：由树状图可知共有2×2＝4种可能，至少有一次正面朝上的有3种，所以概率是．【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．4．【分析】阴影部分的面积＝大半圆的面积﹣小半圆的面积．过O向AB作垂线OE，连接OB；再根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：过O向AB作垂线，则小圆的半径为OE＝r，BE＝AE＝AB＝×4＝2．连接OB，则OB为大圆的半径R，在Rt△OEB中：由勾股定理得：R2﹣r2＝BE2，图中阴影部分的面积是π（R2﹣r2）＝πBE2＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查了垂径定理的应用，两圆的半径，利用勾股定理计算出两半圆的面积之差．5．【分析】联立方程，整理得出关于x的一元二次方程，由两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，结合根的判别式以及根与系数的关系即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：由得：﹣x+2＝，整理，得：x2﹣2x+1﹣6t＝0．∵反比例函数y＝的图象与直线y＝﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴，解得：t＞．故答案为t＞．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．6．【分析】延长OD，BC交于点P．解直角三角形得到DP＝DC•cot30°＝m，PC＝CD÷（sin30°）＝4米，通过△PDC∽△PBO，得到代入数据即可得到结论．【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝11米，CD＝2米，∴在直角△CPD中，DP＝DC•cos30°＝2m，PC＝CD÷（sin30°）＝4米，∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，∴△PDC∽△PBO，∴，∴PB＝米，∴BC＝PB﹣PC＝（11﹣4）米．故答案为：（11﹣4）米，【点评】本题考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．7．【分析】由图和条件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），由此可以求出直线为y＝x+1，Bn的横坐标为A n+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又A n的横坐标数列为An＝2n﹣1﹣1，所以纵坐标为（2n ﹣1），然后就可以求出Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]．【解答】解：∵点B1（1，1），B2（3，2），∴A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），∴直线y＝kx+b（k＞0）为y＝x+1，∴Bn的横坐标为A n+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标又A n的横坐标数列为An＝2n﹣1﹣1，所以纵坐标为2n﹣1，∴Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]＝（2n﹣1，2n﹣1）．故答案为：（2n﹣1，2n﹣1）．【点评】本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．8．【分析】根据已知图形的面积得出变化规律，第n个几何体的表面积为：3n（n+1），进而求出答案．【解答】解：（1）第①个几何体的表面积为：6＝3×1×（1+1），第②个几何体的表面积为18＝3×2×（2+1），故第③个几何体的表面积为3×3×（3+1）＝36，第④个几何体的表面积为3×4（4+1）＝60，…，按照这样的规律，第n个几何体的表面积为：3n（n+1），∴第10个几何体的表面积为3×10×11＝330．故答案为：330【点评】此题主要考查了几何体的表面积以及图形的变化规律，根据图形面积得出数字之间的变化规律是解题关键．9．【分析】作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，根据轴对称确定最短路线问题可得MN′与AB的交点即为PM+PN最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠MOB＝40°，然后求出∠BON＝20°，再根据对称性可得∠BON′＝∠BON＝20°，然后求出∠MON′＝60°，从而判断出△MON′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出MN″，即为PM+PN的最小值，从而求得△PMN周长的最小值．【解答】解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°，由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB+∠N′OB＝40°+20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝AB＝＝4，∴△PMN周长的最小值＝1+4＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△MON′是等边三角形是解题的关键．10．【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE＝∠DCF，∠A＝∠ADC，AB＝CD，证得△ABE≌△DCF，故①正确；由于∠FDP＝∠PBD，∠DFP＝∠BPC＝60°，推出△DFP∽△BPH，得到＝＝＝故②错误；由于∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到＝，PB＝CD，等量代换得到PD2＝PH•PB，故③正确；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积＝△BCP的面积+△CDP面积﹣△BCD的面积，得到＝故④正确．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△DCF，故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，∴＝＝＝，故②错误；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∵∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴＝，∴PD2＝PH•CD，∵PB＝CD，∴PD2＝PH•PB，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，∴∠PCD＝30°∴PN＝PB•sin60°＝4×＝2，PM＝PC•sin30°＝2，S△BPD＝S四边形PBCD﹣S△BCD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD＝×4×2+×2×4﹣×4×4＝4+4﹣8＝4﹣4，∴＝．故答案为：①③④．【点评】本题考查的正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论．二.解答题（每小题15分，共60分）：11．【分析】（1）利用优秀率求得总人数，根据优秀率＝优秀人数除以总人数计算；（2）先根据方差的定义求得乙班的方差，再根据方差越小成绩越稳定，进行判断．【解答】解：（1）总人数：（5+6）÷55%＝20（人），第三次的优秀率：（8+5）÷20×100%＝65%，第四次乙组的优秀人数为：20×85%﹣8＝17﹣8＝9（人）．补全条形统计图，如图所示：（2）＝（6+8+5+9）÷4＝7，S2乙组＝×[（6﹣7）2+（8﹣7）2+（5﹣7）2+（9﹣7）2]＝2.5，S2甲组＜S2乙组，所以甲组成绩优秀的人数较稳定．【点评】本题考查了优秀率、平均数和方差等概念以及运用．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．12．【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x＝3时，y的值，进而得出MN的长；（3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．【解答】解：（1）∵a＝＞0，∴抛物线顶点为最低点，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为：米；（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BD＝8，令x＝0得y＝3，∴A（0，3），C（8，3），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，将（0，3）代入得：4a+1.8＝3，解得：a＝0.3，∴抛物线F1为：y＝0.3（x﹣2）2+1.8，当x＝3时，y＝0.3×1+1.8＝2.1，∴MN的长度为：2.1米；（3）∵MN＝DC＝3，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，∴F2的横坐标为：（8﹣m）+m＝m+4，∴抛物线F2的顶点坐标为：（m+4，k），∴抛物线F2的解析式为：y＝（x﹣m﹣4）2+k，把C（8，3）代入得：（8﹣m﹣4）2+k＝3，解得：k＝﹣（4﹣m）2+3，∴k＝﹣（m﹣8）2+3，∴k是关于m的二次函数，又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，∴k随m的增大而增大，∴当k＝2时，﹣（m﹣8）2+3＝2，解得：m1＝4，m2＝12（不符合题意，舍去），当k＝2.5时，﹣（m﹣8）2+3＝2.5，解得：m1＝8﹣2，m2＝8+2（不符合题意，舍去），∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识，正确表示出函数解析式是解题关键．13．【分析】（1）证明△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质解答即可；（2）①根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；②根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，得到扇形的圆心角，根据T（A）的定义解答即可．【解答】解：（1）∵AB＝AC，DE＝DF，∴＝，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，∴＝；（2）①如图1，∠A＝90°，AB＝AC，则＝，∴T（90°）＝，如图2，∠A＝120°，AB＝AC，作AD⊥BC于D，则∠B＝30°，∴BD＝AB，∴BC＝AB，∴T（120°）＝；∵AB﹣AC＜BC＜AB+AC，∴0＜T（α）＜2，故答案为：；；0＜T（α）＜2；②∵圆锥的底面直径PQ＝8，∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，设扇形的圆心角为n°，则＝8π，解得，n＝160，∵T（80°）≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.6．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及T（A）的定义，正确理解T （A）的定义、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．【分析】（1）当PQ过A时求出t＝4，当E在AB上时求出t＝，当P到C点时t＝8，即分为三种情况：根据三角形面积公式求出当0＜t≤4时，S＝t2，当4＜t≤时，S＝﹣t2+8t﹣16，当＜t＜8时，S＝t2﹣12t+48；（2）存在，当点D在线段AB上时，求出QD＝PD＝t，PD＝2t，过点A作AH⊥BC于点H，PH＝BH ﹣BP＝4﹣t，在Rt△APH中求出AP的长，分AP＝PQ、AQ＝PQ、AQ＝PQ、AP＝AQ四种情况列出方程，求出方程的解即可；（3）四边形PMAN的面积不发生变化，连接AP，此时t＝4秒，求出S四边形PMAN＝S△APM+S△APN＝S△CPN+S△APN＝S△ACP＝×CP×AP＝8．【解答】解：（1）当0＜t≤4时，S＝t2．当4＜t≤时，S＝﹣t2+8t﹣16．当＜t＜8时，S＝t2﹣12t+48．（2）存在，理由如下：当点D在线段AB上时，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝45°．∵PD⊥BC，∴∠BPD＝90°，∴∠BDP＝45°．∴PD＝BP＝t，∴QD＝PD＝t，∴PQ＝QD+PD＝2t．如图1，过点A作AH⊥BC于点H．∵AB＝AC，∴BH＝CH＝BC＝4，AH＝BH＝4，∴PH＝BH﹣BP＝4﹣t．在Rt△APH中，AP＝．（ⅰ）若AP＝PQ，则有＝2t．解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）．（ⅱ）若AQ＝PQ，如图1，过点Q作QG⊥AP于点G．∵∠BPQ＝∠BHA＝90°，∴PQ∥AH．∴∠APQ＝∠P AH．∵QG⊥AP，∴∠PGQ＝90°，∴∠PGQ＝∠AHP＝90°，∴△PGQ∽△AHP．∴，即，∴PG＝．若AQ＝PQ，由于QG⊥AP，则有AG＝PG，即PG＝AP，即＝．解得：t1＝12﹣，t2＝12+（不合题意，舍去）．（ⅲ）若AP＝AQ，过点A作AT⊥PQ于点T．易知四边形AHPT是矩形，故PT＝AH＝4．若AP＝AQ，由于AT⊥PQ，则有QT＝PT，即PT＝PQ，即4＝×2t．解得t＝4．当t＝4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t＝4舍去．综上所述，存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即t1＝秒或t2＝（12﹣）秒．（3）四边形PMAN的面积不发生变化．理由如下：∵等腰直角三角形PQE已知，∴∠EPQ＝45°．∵等腰直角三角形PQF已知，∴∠FPQ＝45°．∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝45°+45°＝90°．连结AP，如图2．∵此时t＝4秒，∴BP＝4×1＝4＝BC，∴点P为BC的中点．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AP⊥BC，AP＝BC＝CP＝BP＝4，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝45°．∴∠APC＝90°，∠C＝45°．∴∠C＝∠BAP＝45°．∵∠APC＝∠CPN+∠APN＝90°，∠EPF＝∠APM+∠APN＝90°，∴∠CPN＝∠APM．∴△CPN≌△APM．∴S△CPN＝S△APM．∴S四边形PMAN＝S△APM+S△APN＝S△CPN+S△APN＝S△ACP＝×CP×AP＝×4×4＝8．∴四边形PMAN的面积不发生变化，此定值为8．【点评】本题考查了三角形面积，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形等知识点的综合运用，用了分类讨论思想和方程思想，难度偏大．。
2017年枣庄市高中自主招生考试数学试题(Word)
2017年枣庄市高中自主招生数学试题一、选择题（3分×10）1．4的平方根是 （ ）A ．±2B ．﹣2C ．2D ．2．分式方程122x x =-的解为 （ ） A ．x =2 B ．x =-2 C ．x =72- D ．x =163． 下列图形都是有同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A ．M(-2，-3)，N(4，-6)B ．(2，-3) ，(4，6)C ．(2，-3)，(-4，6)D ．(2，3)，(-4，6) 6A ． 矩形ABFEB ． 矩形EFCDC ． 矩形EFGHD ． 矩形DCGH7．某次中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：甲：8、7、9、8、8 乙：7、9、6、9、9则下列说法中错误的是（ ）A ． 甲、乙得分的平均数都是8B ． 甲得分的众数是8，乙得分的众数是9C ． 甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6D ． 甲得分的方差比乙得分的方差小8．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，以直角边AC 为直径作⊙O 交AC 于D ， 则图中阴影部分的面积是（ ）A 32π-B ． 32πC ． 6πD ．6π9．如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是 （ ）10． 如图，在平面直角坐标系中，将△A B O 绕点B 顺时针旋转到△A 1B O 1的位置，使点A 的对应点A 1落在直线y =上，再将△A 1B O 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y =上，依次进行下去…．若点A 的坐标是(0，1)，点B 的坐标是(1)，则点A 8的横坐标是（ ）A ．31)2B ． 1)C ． 91)2D ． 1)二、填空题（5分×5）11．一元一次方程3x -3=0的解是 。
2017数学试题自主招生题
自 主 招 生 模 拟 考 试数学试题1、已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，求a 的取值范围．2、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4. CD ⊥AB 。
点M 、N 分别为Rt △ADC 和Rt △BDC 的内心。
求线段MN 的长度。
3、一天下午小明在4:00------5：00之间出门一趟，出门之际看了眼家中的圆形挂钟钟表，发现时针分针恰好重合在一起，大约下午5:00----6:00之间回到家时，恰巧发现时针分针又重合在一起。
你知道小明他这次出门一共多少时间吗?(结果保留准确值)4、如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．5、一条直线截△ABC 的边BC 、CA 、AB （或它们的延长线）于点D 、E 、F 。
求证：1=⋅⋅FBAFEA CE DC BDABCDEF图9-156、证明三角形三条角平分线乘积小于三边乘积7、如图1，抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （2，-4），交y 轴于E （0，-3），连接AD BD BC AC 、、、，且四边形ADBC 为梯形，点C 在抛物线上.如图2，点P 为线段AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作垂线交AC 于Q 点，过点P 作PM ⊥于AC 于点M ，连接PA 、PC ，设P 点的横坐标为m ，且互不与端点重合. ①求出点C 的坐标；②求线段MQ 的长度的最大值；③当APC △面积最大时，求以P 为圆心与AC 相切的圆的面积（结果保留π）以及此时切点N 的坐标；④在x 轴上是否存在点R ，使得以A R N 、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，请说明理由.xyEBA OxyMQPEBAO。
2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷
2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．B．C．x2•x3＝x6D．﹣|﹣2|＝﹣2 2．（3分）估计68的立方根的大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间3．（3分）分式值为零的条件是（）A．x≠﹣1B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝±14．（3分）甲、乙两人各射靶10次，他们命中环数的平均成绩为7环，但方差不同，S2甲＝2.5，S2乙＝1.8，那么（）A．甲的波动比乙的波动大B．乙的波动比甲的波动大C．甲、乙的波动大小一样D．甲、乙的波动大小无法确定5．（3分）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）A．对角相等B．对角线相等C．邻角互补D．内角和是360°6．（3分）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象，根据图象下列结论错误的是（）A．轮船的速度为20千米/小时B．快艇的速度为40千米/小时C．轮船比快艇先出发2小时D．快艇不能赶上轮船7．（3分）下面说法错误的是（）A．直线y＝x就是一、三象限的角平分线B．函数y＝3x﹣10的图象经过点（3，﹣1）C．函数中y随x的增大而减小D．抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线x＝18．（3分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为20cm，sin∠BAD＝，DE⊥AB于点E，下列结论中：①S ABCD＝15cm2；②BE＝1cm；③AC＝3BD．正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．D．11．（3分）《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是（）A．3步B．4步C．5步D．6步12．（3分）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）分解因式：a2﹣a＝．14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围为．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为．16．（3分）两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是．17．（3分）标有1，1，2，3，3，5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y，得到平面直角坐标系中的一个点（x，y）．已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为．18．（3分）如图，有任意四边形ABCD，A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D的对称点，设S表示四边形ABCD的面积，S′表示四边形A′B′C′D′的面积，则的值为．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．20．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD＝3，AC＝，求AB的长．21．（8分）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率；（2）搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？22．（8分）如图，线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．（1）请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点C的坐标为；（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域记为图形T，若将图形T 围成一个几何体的侧面，求该几何体底面圆的半径长．23．（8分）在刚刚结束的市中学生篮球比赛中，小明共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y，前5场比赛的平均得分x，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．（1）用含x的代数式表示y；（2）当y＞x时，小明在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？（3）小明在第10场比赛中，得分可达到的最小值为多少？24．（10分）已知：如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y＝x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）请判断△OP A的形状并说明理由；（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OP A重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值．25．（10分）矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；（2）如图2，，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；（3）如图3，，点D的对应点F在PQ上．①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；②当n越来越大时，AE的长越来越接近于．26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．B．C．x2•x3＝x6D．﹣|﹣2|＝﹣2【分析】根据二次根式的定义，二次根式的加法法则，同底数幂的乘法法则以及绝对值的性质，可求得的答案．【解答】解：A、＝2，故本选项错误；B、+≠，故本答案错误；C、x2•x3＝x5，故本选项错误；D、﹣|﹣2|＝﹣2，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，同底数幂的乘法，绝对值的性质等知识．题目比较简单，解题要注意细心．2．（3分）估计68的立方根的大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间【分析】由于43＝64，53＝125，所以68的立方根在4和5之间，由此即可判定选择项．【解答】解：∵43＝64，53＝125，而64＜68＜125，∴4＜＜5．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的估算，需掌握三次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3．（3分）分式值为零的条件是（）A．x≠﹣1B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝±1【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．故x2﹣1＝0且x+1≠0，解得x的值即可．【解答】解：由题意可得x2﹣1＝0且x+1≠0，解得x＝1．故选：B．【点评】本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．4．（3分）甲、乙两人各射靶10次，他们命中环数的平均成绩为7环，但方差不同，S2甲＝2.5，S2乙＝1.8，那么（）A．甲的波动比乙的波动大B．乙的波动比甲的波动大C．甲、乙的波动大小一样D．甲、乙的波动大小无法确定【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：由于S甲2＜S乙2，则成绩较稳定的同学是甲．故选：A．【点评】此题主要考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．（3分）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）A．对角相等B．对角线相等C．邻角互补D．内角和是360°【分析】此题可根据平行四边形的性质结合每个选项进行分析判断是否．【解答】解：平行四边形的性质有：①对角相等，②内角和是360°，③对边相等且平行，④邻角互补，⑤对角线互相平分，那么B、对角线相等是平行四边形不具有的．故选：B．【点评】此题考查了学生对平行四边形的性质的理解与掌握，解题的关键是根据平行四边形性质分析判断．6．（3分）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象，根据图象下列结论错误的是（）A．轮船的速度为20千米/小时B．快艇的速度为40千米/小时C．轮船比快艇先出发2小时D．快艇不能赶上轮船【分析】观察图象，该函数图象表示的是路程与之间的函数关系，可知轮船出发4小时后被快艇追上，在4小时时快艇和轮船行驶的路程相等．【解答】解：观察图象，可知轮船出发4小时后被快艇追上，所以错误的是第四个结论．故选D．【点评】本题考查学生观察图象的能力，需仔细分析，从中找寻信息．7．（3分）下面说法错误的是（）A．直线y＝x就是一、三象限的角平分线B．函数y＝3x﹣10的图象经过点（3，﹣1）C．函数中y随x的增大而减小D．抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线x＝1【分析】根据二次函数、一次函数和反比例函数的性质进行解答，对于反比例函数，首先系数k的正负，然后判断图象所在象限和单调性，判断二次函数的对称轴，要把二次函数化成顶点式的形式进行判断．【解答】解：A、直线y＝x就是一、三象限的角平分线，正确，B、把点（3，﹣1）代入y＝3x﹣10中，式子成立，正确，C、反比例函数系数k＝2，函数图象经过一三象限，在各个象限内，y随x增大而减小，在整个定义域内y不是随x增大而减小，故本选项错误，D、抛物线y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故可得对称轴为x＝1，正确．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数、反比例函数和一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握这些函数的性质，本题是道基础性比较强的习题，同学们做题时需要细心．8．（3分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）A．B．C．D．【分析】该几何体的俯视图为一个圆，正视图以及左视图都是三角形，故可判断该几何体为圆锥．由已知三角形的边长为1，易得底面半径以及母线长，可求出侧面积．【解答】解：由图片中的三视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且其底面圆半径为，母线长为1，因此它的侧面积＝π××1＝．故选D．【点评】本题要先判断出几何体的形状，然后根据该几何体侧面积的计算方法进行计算．本题要注意圆锥侧面积的计算方式是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长．9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为20cm，sin∠BAD＝，DE⊥AB于点E，下列结论中：①S ABCD＝15cm2；②BE＝1cm；③AC＝3BD．正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由菱形的性质和三角函数，可求出AE的长，即可求解．【解答】解：由题意可得，菱形的边长为5cm，又∵sin∠BAD＝＝，∴DE＝3，所以AE＝4，∴S菱形ABCD＝5×3＝15cm2，BE＝AB﹣AE＝1cm，∴BD＝＝，∴AC＝15×2÷＝3，∴AC＝3BD．故可得①②③正确，共三个．故选：D．【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相平分且相等；菱形的面积等于对角线积的一半．此题还要注意结合三角函数求解．10．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．D．【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O 相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；Rt△ACD中，CD＝1，AC＝OC+OA＝3；由勾股定理，得：AD＝2；∴S△ACD＝AD•CD＝；易证得△AOE∽△ADC，∴＝（）2＝（）2＝，即S△AOE＝S△ADC＝；∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C．【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．11．（3分）《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是（）A．3步B．4步C．5步D．6步【分析】首先根据题意画出图，观察发现直角三角形的内切圆半径，恰好是直角三角形内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，这一面积相等，求得内切圆的半径．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝15步，BC＝8步，内切圆半径为r．AC＝（勾股定理），，S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝＝，∴＝，∴r＝＝＝3．∴直径为6．故选：D．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理，解决本题的关键是将求内切圆半径转化为从不同角度求Rt△ABC的面积．12．（3分）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2【分析】若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC ＝CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE＝AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．【解答】解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）分解因式：a2﹣a＝a（a﹣1）．【分析】这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式．【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项．14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围为x≤3．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：3﹣x≥0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．【分析】根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，6）、（1，6）两点，∴对称轴x＝＝；点（﹣2，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．【点评】本题考查了二次函数的对称性．16．（3分）两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是3或7．【分析】分5为较大圆、较小圆两种情况求解．【解答】解：分两种情况：当5为较大的圆时，另一个圆的半径＝5﹣2＝3；当5为较小的圆时，另一个圆的半径＝5+2＝7．∴另一个圆的半径是3或7．【点评】本题用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差．注意其中一圆的半径可能在较大圆，也有可能在较小圆．17．（3分）标有1，1，2，3，3，5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y，得到平面直角坐标系中的一个点（x，y）．已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为．【分析】根据概率的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：每掷一次可能得到6个点的坐标分别是（其中有两个点是重合的）：（1，1），（1，1），（2，3），（3，2），（3，5），（5，3），通过描点和计算可以发现，经过（1，1），（2，3），（3，5），三点中的任意两点所确定的直线都经过点P（4，7），所以小明第三次掷得的点也在直线l上的概率是＝．故答案为：【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．18．（3分）如图，有任意四边形ABCD，A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D的对称点，设S表示四边形ABCD的面积，S′表示四边形A′B′C′D′的面积，则的值为5．【分析】根据C是BB′的中点，则根据三角形的面积公式可得△A′BC的面积＝△A′B′C的面积，则△AA′D′的面积、△C′D′D的面积、△B′C′C的面积即可求得．【解答】解：连接A'C、BD，∵C是BB′的中点．∴△A′BC的面积＝△A′B′C的面积．同理：△A′BC的面积＝△ABC的面积．∴△A′BB′的面积＝2△ABC的面积．同理：△AA′D′的面积＝2△ABD的面积，△C′D′D的面积＝2△ACD的面积，△B′C′C的面积＝2△BCD的面积．∵△ABC的面积+△ABD的面积+△ACD面积+△BCD的面积＝2S，∴△A′BB′的面积+△AA′D′的面积+△C′D′D的面积+△B′C′C的面积＝4S，∴S′＝5S，∴的值为5．【点评】本题考查轴对称的性质与三角形的面积的计算，正确理解三角形的面积公式是解题的关键．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．【分析】根据△＝0时，方程有两个相等的两个实数根列出方程，解方程求出m，利用因式分解法解方程求出方程的根．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，∴△＝42﹣4×1×（m﹣1）＝20﹣4m＝0，解得，m＝5，x2﹣4x+4＝0（x﹣2）2＝0，x1＝x2＝2．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．20．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD＝3，AC＝，求AB的长．【分析】（1）连接OC；根据切线的性质知：OC⊥CD；因此只需证OC∥AD即可．已知AC平分∠BAD，即∠DAC＝∠BAC，等腰△OAC中，∠OAC＝∠OCA，等量代换后可得出OC、AD的内错角相等，由此得证．（2）连接BC，证△ADC∽△ACB，根据相似三角形得出的对应边成比例线段，可将AB 的长求出．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC．∴∠DAC＝∠OCA．∴OC∥AD．∴AD⊥CD．（2）解：连接BC，则∠ACB＝90°．∵∠DAC＝∠OAC．∴△ADC∽△ACB．∴＝．∴AB＝＝＝5．【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．21．（8分）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率；（2）搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；（2）首先设应添加x个红球，根据概率公式即可列得方程，解方程即可求得答案．【解答】解：（1）树状图如图：∵一共有6种情况，两个球都是白球有2种，∴P（两个球都是白球）＝；（2）设应添加x个红球，由题意得：，解得x＝3，经检验是原方程的解，答：应添加3个红球．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，以及古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（8分）如图，线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．（1）请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点C的坐标为（5，0）；（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域记为图形T，若将图形T 围成一个几何体的侧面，求该几何体底面圆的半径长．【分析】（1）由旋转的性质可画出线段AC，点B经过的路径是以点A为圆心，AB长为半径的弧；（2）根据点AB的坐标建立直角坐标系，从而得出点C的坐标；（3）线段AB扫过的图形为扇形，它所围成的几何体为圆锥，可计算出圆锥的底面周长，从而求得底面半径．【解答】解：（1）如图；（2）C的坐标为（5，0）；（3）l＝＝，设该几何体底面圆的半径r，则2πr＝，解得r＝，该几何体底面圆的半径长为．【点评】本题考查了扇形面积的计算、坐标与图形的性质，以及圆锥的计算，解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．23．（8分）在刚刚结束的市中学生篮球比赛中，小明共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y，前5场比赛的平均得分x，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．（1）用含x的代数式表示y；（2）当y＞x时，小明在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？（3）小明在第10场比赛中，得分可达到的最小值为多少？【分析】（1）根据前5场比赛的平均得分x，以及第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，以及前9场比赛的平均得分y，可以得出等式求出即可；（2）根据x的最值，可以求出总分的最大值；（3）根据10场比赛的得分最小值可以求出第10场比赛的最小值．【解答】解：（1）根据题意得：y＝（5x+22+15+12+19），即y＝x+；（2）由题意有y＞x，即5x+68＞9x解得：x＜17，小明在前5场比赛中总分的最大值应为17×5﹣1＝84；（3）由题意，小明在这10场比赛中得分至少为18×10+1＝181，设他在第10场比赛中的得分为S，则有：84+（22+15+12+19）+S≥181，解得：S≥29，所以小明在第10场比赛中得分的最小值应为29．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一次函数与一次不等式的综合应用，根据不等式确定最值是初中阶段的难点问题，同学们应认真思考．24．（10分）已知：如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y＝x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）请判断△OP A的形状并说明理由；（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OP A重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值．【分析】（1）由两直线相交可列出方程组，求出P点坐标；（2）将y＝0代入y＝﹣x+4，可求出OA＝4，作PD⊥OA于D，则OD＝2，PD ＝2，利用tan∠POA＝，可知∠POA＝60°，由OP＝4．可知△POA是等边三角形；（3）①当0＜t≤4时，在Rt△EOF中，∠EOF＝60°，OE＝t，则EF＝，OF＝，则S＝•OF•EF＝t2；②当4＜t＜8时，如图，设EB与OP相交于点C，易知：CE＝PE＝t﹣4，AE＝8﹣t，可得AF＝4﹣，EF＝（8﹣t），有OF＝OA﹣AF＝4﹣（4﹣）＝，S＝（CE+OF）•EF＝﹣t2+4t﹣8．【解答】解：（1）由题意可得：，解得，所以点P的坐标为（2，2）；（2）将y＝0代入y＝﹣x+4，﹣x+4＝0，∴x＝4，即OA＝4，作PD⊥OA于D，则OD＝2，PD＝2，∵tan∠POA＝＝，∴∠POA＝60°，∵OP＝＝4，∴△POA是等边三角形；（3）①当0＜t≤4时，如图1，在Rt△EOF中，∵∠EOF＝60°，OE＝t，∴EF＝，OF＝，∴S＝•OF•EF＝t2．当4＜t＜8时，如图2，设EB与OP相交于点C，∵CE＝PE＝t﹣4，AE＝8﹣t，∴AF＝4﹣，EF＝（8﹣t），∴OF＝OA﹣AF＝4﹣（4﹣）＝，∴S＝（CE+OF）•EF＝（t﹣4+t）×（8﹣t），＝﹣t2+4t﹣8；②当0＜t≤4时，S＝，t＝4时，S最大＝2；当4＜t＜8时，S＝﹣t2+4t﹣8＝﹣（t﹣）2+，t＝时，S最大＝．∵＞2，∴当t＝时，S最大，最大值为．【点评】把动点问题与三角形的性质相结合，增加了难度，在解答时要注意t在三个取值范围内的情况，不要漏解．25．（10分）矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；（2）如图2，，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；（3）如图3，，点D的对应点F在PQ上．①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；②当n越来越大时，AE的长越来越接近于12．【分析】（1）根据P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中点，可得，从而可得∠AFP＝30°，∠F AD＝60°然后利用三角函数值即可求解．（2）根据，求得FP，利用DE＝EF，∠AED＝∠AEF，∠AED＝∠FGE，求证EF＝GF，设DE＝x，则GF＝x利用△APG∽△ADE的对应边成比例可求的AE．（3）①可得，②当n越来越大时，根据可判定AE的长．【解答】解：（1）∵P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中点，∴，∴∠AFP＝30°，∴，∴∠F AD＝60°，∴，∴，（2）∵，∴∴，∵DE＝EF，∠AED＝∠AEF，∠AED＝∠FGE，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，设DE＝x，则GF＝x∵△APG∽△ADE，∴，∴∴，∴，∴；（3）①可得，②∵，∴当n越来越大时，AE越来越接近于12．故答案为：12．【点评】此题涉及到相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）等知识点，综合性较强，特别是翻折变换（折叠问题）要求学生应具备一定的空间想象能力，因此此题有一定的拔高难度，属于难题．26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意与图象可得点C的坐标，根据圆的性质可得点B的坐标，根据对称轴方程与点B的坐标即可求得函数的解析式；（2）由抛物线的解析式可求得点A，E，B，C，D的坐标，判断Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin（α﹣β）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC＝；（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0），过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2（0，），过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0），故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点。
2017年温州中学自主招生数学试卷
2017年温州中学⾃主招⽣数学试卷2017年温州中学⾃主招⽣数学试卷⼀、选择题（本⼤题共8题，每⼩题5分，共40分）：1. A2. B3.B.4. B5.B6. C7. B 8. D⼆、填空题（本⼤题共6题，每题6分，共36分） 9.2 10.173611. 1012. 直线y 1=kx+b 经过点P （3，4）且与直线y 2=3x 和y 3=x 分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当三⾓形AOB 的⾯积取得最⼩值时，k+b=______．13.14.2(0)y x =+> 三、解答题：学校_____________ 班级_____________ 姓名___________ 座位号____________ ………………………………装………………………………订…………………………………线………………………………15、当a 取什么整数时，⽅程0)2(222=-++-+-x x a x x x x x 只有⼀个实根，并求此实根解原⽅程化为0)2(4222=-++-x x ax x（1）若0422,202=++-≠≠a x x x x 则且∵原分式⽅程恰有⼀个实根，∴△=0，即△=,0828)4(24)2(2=--=+??--a a 则27-=a 于是2121==x x 但a 取整数，则舍去（2）若⽅程04222=++-a x x ，有⼀个根为x=0，则a=-4 这时原⽅程为0)2(4222=--+-+-x x x x x x x ，去分母得0222=-x x ，解得x=0，x=1 显然x=0是增根，x=1是原分式⽅程的根（3）若⽅程04222=++-a x x ，有⼀个根为x=2，则a=-8 这时，原⽅程为0)2(8222=--+-+-x x x x x x x ，去分母，得04222=--x x 解得x=2，x=-1 显然x=2是增根，x=-1是原分式⽅程的根经检验当a=-4时，原⽅程恰有⼀个实根x=1；当a=-8时，原⽅程恰有⼀个实根x=-116、若满⾜不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 的x 值也满⾜不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，求a 的取值范围解：2)1(2)1(22-≤+-a a x 等价于2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ，解得122+≤≤a x a0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，可化为0)]13()[2(≤+--a x x观察132)13(-=-+a a （1）当31<a 时3a+1<2；则3a+1《x 《2则由题意，可得+≥≤+122132a a a 解得a=-1（2）当31=a 时，3a+1=2，解得x=2 则由题意，可得2212==+a a ，这与31=a ⽭盾（3）当31>a 时，3a+1>2解得2《x 《3a+1 则由题意可得+≥+≤113222a a a解得1《a 《3 综上所述a 的取值范围是131-=≤≤a a 或已知：O 是坐标原点，()P m,n （m ＞0）是函数ky x=(k ＞0)上的点，过点P 作直线PA OP ⊥于P ，直线PA 与x 轴的正半轴交于点()0A a, (a ＞m ). 设△OPA 的⾯积为s ，且414n s =+.（1）当1n =时，求点A 的坐标（4分）；（2）若OP AP =，求k 的值（5分）；(3) 设n 是⼩于20的整数，且42n k ≠，求2OP 的最⼩值（5分）.DC在等腰Rt△ABC 中，AC=BC ，点D 在BC 上，过点D 作DE⊥AD，过点B 作BE⊥AB 交DE 于点E ，DE 交AB 于F.（1）求证：AD=DE ；（2）若BD=2CD ，求证：AF=5BF 。
2017年省示范高中预录数学试题1
省级示范高中2017年自主招生考试数学试题时间：120分 分值：120分一、选择题：（本大题共有8小题，每题4分，共32分） 1．已知非零实数,a b 满足53353,a b a a b -+++=+=则（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．5-2．已知11=-x x ，则x x+1的值为（ ）． A ．5±B ．5C ．3±D ．5或13．若关于x 的方程12221ax -=-的解为正数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．32a < B ．32a > C.322a a >≠且 D ．3122a a <≠且4．如果一直线l 经过不同三点()()(),,,,,A a b B b a C a b b a --，那么直线l 经过（ ） A ．第二、四象限 B ．第一、二象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 5． 已知平面四边形ABCD ，下列条件：①AB ∥CD ；②BC ∥AD ；③AB=④BC=AD ⑤∠A=∠C ；⑥∠B=∠D. 任取其中两个，可以得出“平面四边形ABCD 是平行四边形”的概率是（ ） A ．32B ．815C ．53 D ．157 6．直角△ABC 的三个顶点,,A B C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上h 7．设正整数a ，b ，c 满足c 2－1＝a 2(b 2－1)，且a ＞1，则 ab的最小值是 （ ）A ．13B ．12 C ．2 D ．38．如图所示，在直角坐标系中，A 点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A 的半径为1，P 为x 轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，则当PQ 最小时，P 点的坐标为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣2，0）C ．（﹣4，0）或（﹣2，0）D ．（﹣3，0） 二、填空题：（本大题共有7小题，每题4分，共28分）9．如果函数y=b 的图像与函数y=x 2﹣3|x ﹣1|﹣4x ﹣3的图像恰有三个交点，则b 的可能值是 ． 10．如图，已知直线交x 轴、y 轴于点A 、B ，⊙P 的圆心从原点出发以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动，移动时间 为t （s ），半径为，则t= s 时⊙P 与直线AB 相切．11．已知关于x 的方程：x m x m 22240---=()有两个实根x 1、x 2满足x x 212=+，则m 的值为10．若关于x 的不等式组5030x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅有1、2、3，则满足这个不等式组的有序整数对(),a b 的个数为 对11．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，()11,A x y 是反比例函数()10y x x=>的图像上的一点，()22,B x y 是反比例函数()40y x x=-<的图像上的一点，则△AOB 的面积的最小值为14．如右图所示，△ABC 的面积为3，,,,D E F G 分别 是,BC AC 边上的三等分点，,AE BF 相交于点H ， 则四边形CEHF 的面积是15. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数. 小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球. 假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度. 第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= . 三、解答题：省级示范高中2017年自主招生模拟考试三校联考数学试题（二）第II 卷 （答题卷）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案二、填空题：（本大题共有7小题，每题4分，共28分）9、 10、 11、 12、13、 14、 15、 16、 三、解答题：（合计60分）16、（8分）二元二次方程组⎩⎨⎧=++=t 4y 4x )2y (n x 22有两个实数解⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x ，其中2y 1=，且n4x y 2x y 2211=+，求常数t ,n 的值。
2017年湖北省武汉一中自主招生数学试卷及详细试卷解析
2017年湖北省武汉一中自主招生数学试卷一、选择题1．如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（）A．7个B．8个C．9个D．10个2．已知关于x的方程有正根，则实数a的取值范围是（）A．a＜0且a≠﹣3B．a＞0C．a＜﹣3D．a＜3且a≠﹣3 3．⊙O内有一定点G，OG=5cm，⊙O的半径为13cm，则过G点的所有弦中，长度为整数的弦共有（）条．A．2B．3C．4D．无数4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9cm C．cm D．cm 5．若，则的值等于（）A．B．C．D．或6．如图，正方形OPQR内接于△ABC．已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3和S3=1，那么，正方形OPQR的边长是（）A．B．C．2D．37．如图，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（）A．0B．1C．2D．38．一项“过关游戏”规定：在第n关要掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关；否则，不算过关，现有下列说法：①过第一关是必然事件；②过第二关的概率是；③可以过第四关；④过第五关的概率大于零．其中，正确说法的个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题9．如图，有一个圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是40°．为了监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）（4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为．11．如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m ＞0的解集是．12．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），则△AOB的内心与外心之间的距离是．13．在直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A恰好落在双曲线（x＞0）上，且OA与x轴正方向的夹角为30°．则正方形OABC的面积是．14．如果函数y=（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x+a的图象在x轴的上方，则实数a的取值范围是．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10，则CE的长为．16．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为．三、解答题17．（1）点（0，2）绕坐标原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是；（2）已知直线l1：y=2x﹣4分别与x轴、y轴相交于A、B两点，直线l1绕点B 顺时针旋转90°得到直线l2，则直线l2的解析式为；（3）若（2）中直线l1绕点M（﹣1，0）顺时针旋转90°得到直线l3，求直线l3的解析式．18．设关于x的一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2，则称函数y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）为此两个函数的生成函数．（1）当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；（2）若函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．19．如图1，在直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，且点C坐标为（4，3），将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求k的值；（2）如图2，在直角坐标系中，P点坐标为（2，﹣3），请在双曲线上找两点M、N，使四边形OPMN是平行四边形，求M、N的坐标．20．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，O为BC的中点，动点E、F分别在边AB、AC上，且∠EOF=45°．（1）猜想线段AE、EF、CF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，若以O为圆心的圆与AB相切，试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．21．如图1，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2），将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移．在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P．（1）当△AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x 的函数关系式，并求出函数y的最值．22．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点，0）、，0），它与y轴相交于点C，且∠ACB≥90°，设该抛物线的顶点为D，△BCD的边CD上的高为h．（1）求实数a的取值范围；（2）求高h的取值范围；（3）当（1）的实数a取得最大值时，求此时△BCD外接圆的半径．2017年湖北省武汉一中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（）A．7个B．8个C．9个D．10个【分析】根据画三视图的方法，得到各行构成几何体的小正方体的个数，相加即可．【解答】解：综合三视图，第一行第1列有3个，第一行第2列有1个，第一行第3列有2个；第二行第1列有1个，第二行第2列没有，第二行第3列有1个；第三行第1列没有，第三行第2列没有，第三行第3列有1个；一共有：3+1+2+1+1+1=9个，故选C．【点评】本题灵活考查了三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系，同时还考查了对图形的想象力，有一定难度．2．已知关于x的方程有正根，则实数a的取值范围是（）A．a＜0且a≠﹣3B．a＞0C．a＜﹣3D．a＜3且a≠﹣3【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于a 的不等式，从而求得a的范围．【解答】解：去分母得：x+a=﹣x+3即2x=3﹣a解得x=根据题意得：＞0解得：a＜3∵x﹣3≠0，∴x≠3，即≠3，解得a≠﹣3，∴a＜3且a≠﹣3．故选：D．【点评】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．3．⊙O内有一定点G，OG=5cm，⊙O的半径为13cm，则过G点的所有弦中，长度为整数的弦共有（）条．A．2B．3C．4D．无数【分析】过点G最长的弦是26，根据已知条件，可以求出过点P的最短的弦是24，故过点G的弦的长度在24和26之间（含24和26），所以过点G的弦中长度为整数的弦的条数为4．【解答】解：如图示，作AB⊥OG于G，AG=BG，在Rt△AOP中，OG=5，OA=13，AG=，∴AB=24，故过点G的弦的长度在24和26之间，弦为25的有2条，还有直径1条，所以过点G的弦中长度为整数的弦的条数为4．故选：C．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．注意在最短和最长的弦中的弦长为某一整数时有两条．4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9cm C．cm D．cm【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角△ACE中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，根据对称性可知AE=BC=x，CE=2x；∵小正方形的面积为16cm2，∴小正方形的边长EF=DF=4，由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，即x2+4x2=（x+4）2+42，解得，x=4或﹣2（舍去），∴R=cm．故选：C．【点评】本题利用了勾股定理，正方形的性质求解．5．若，则的值等于（）A．B．C．D．或【分析】本题需先根据题意求出x2﹣x的值，再把求得的结果代入要求的式子，即可求出答案．【解答】解：∵，∴x2﹣x=x（x﹣1），=×，=1，∴，=，=，故选：A．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解题时要能够对要求的式子进行灵活化简，然后代入要求的式子是本题的关键．6．如图，正方形OPQR内接于△ABC．已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3和S3=1，那么，正方形OPQR的边长是（）A．B．C．2D．3【分析】先设正方形OPQR的边长为x，求得△ABC的高，然后分别求出BP、QC，利用三角形的面积即可求得正方形OPQR的边长．【解答】解：设正方形OPQR的边长为x，则△ABC的面积为：x2+3+1+1=x2+5，三角形高为正方形OPQR的边长x加上△AOR的高，即+x，底为：BP+x+QC，由S2=3和S3=1得，BP=，QC=，则底为：+x+，所以x2+5=（+x+）（+x）×，解得x=2．故选：C．【点评】此题主要考查学生对正方形的性质的理解与应用，主要利用三角形的面积求得高和边长，这是解答此题的关键．7．如图，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】要判断直角顶点的个数，只要判定以AE为直径的圆与线段BD的位置关系即可，相交时有2个点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点．【解答】解：设两个矩形的长是a，宽是b．连接AE，如图在△AEQ中，根据勾股定理可得：AE==；过AE的中点M作MN⊥BD于点N．则MN是梯形ABDE的中位线，则MN=（a+b）；以AE为直径的圆，半径是，（a+b）=a+b≤，而只有a=b是等号才成立，因而（a+b）＜，即圆与直线BD相交，则直角顶点P的位置有两个．故选：C．【点评】本题主要是根据直径所对的圆周角是直角，把判定顶点的个数的问题，转化为直线与圆的位置关系的问题来解决．8．一项“过关游戏”规定：在第n关要掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关；否则，不算过关，现有下列说法：①过第一关是必然事件；②过第二关的概率是；③可以过第四关；④过第五关的概率大于零．其中，正确说法的个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】利用列举法列举出每一关所有情况，根据概率公式，对四种情况逐一进行分析即可．【解答】解：①过第一关时，即掷一次骰子，得到一个数，这个数一定大于或等于1，因而一定大于，则过第一关是必然事件，正确；②过第二关即掷二次骰子，就得到6×6=36个结果，每个结果出现的机会相同，这36个结果中和大于的有35个，则过第二关的概率是；③过第四关结果中和为，因而，可以过第四关；④过第五关结果中和为，因而，一定不能过第五关，即过第五关的概率等于0；正确说法的个数有3个．故选：B．【点评】本题考查的是概率公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．二、填空题9．如图，有一个圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是40°．为了监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器5台．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是80°，则共需安装360°÷80°≈5．【解答】解：∵∠A=40°，∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是80°，∴共需安装360°÷80°≈5．故答案为5．【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）（4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（14，8）．【分析】横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数．【解答】解：因为1+2+3+…+13=91，所以第91个点的坐标为（13，12）．因为在第14行点的走向为向上，故第100个点在此行上，横坐标就为14，纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8；故第100个点的坐标为（14，8）．故填（14，8）．【点评】本题考查了学生阅读理解及总结规律的能力，找到横坐标和纵坐标的变化特点是解题要点．11．如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m ＞0的解集是x＜﹣2或x＞8．【分析】先把不等式转化为两个函数解析式的表示形式，然后结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值就是不等式的解集．【解答】解：ax2+（b﹣k）x+c﹣m＞0，可整理为ax2+bx+c＞kx+m，∵两函数图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），∴不等式的解集是x＜﹣2或x＞8．故答案为：x＜﹣2或x＞8．【点评】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力．12．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），则△AOB的内心与外心之间的距离是．【分析】根据勾股定理求出AB，过中点M作MH⊥X轴于H，根据三角形的中位线求出M的坐标，连接QF、QE、QM，证正方形QEOF，推出QE=QF=OE=OF，根据切线长定理得到3﹣OE+4﹣OE=5，求出Q的坐标，根据勾股定理求出即可．【解答】解：OB=4，OA=3，由勾股定理得：BA=5，过中点M作MH⊥X轴于H，根据三角形的中位线定理得：MH=OB=2，即M的纵坐标是2，同理M的横坐标是1.5，∴M（1.5，2），连接QF、QE、QM，∵圆Q是△AOB的内切圆，∴BE=BD，AF=AD，QE⊥OB，QF⊥OA，∴∠QEO=∠QFO=∠EOF=90°，∵QE=QF∴四边形EQFO是正方形，∴QE=QF=OE=OF，∵OB=4，OA=3，∴3﹣OE+4﹣OE=5，OE=OF=1，Q（1，1），由勾股定理得：QM==，故答案为：．【点评】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线，正方形的性质和判定，切线长定理，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．13．在直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A恰好落在双曲线（x＞0）上，且OA与x轴正方向的夹角为30°．则正方形OABC的面积是4．【分析】如图，过A作AE⊥OE于E，设A的坐标为（x，y），那么AE=y，OE=x，而A恰好落在双曲线（x＞0）上，由此可以得到xy=，又OA与x轴正方向的夹角为30°，由此得到x=y，利用这些关系即可求出x的值，也就可以求出正方形的面积．【解答】解：如图，过A作AE⊥OE于E，设A的坐标为（x，y），（x＞0，y＞0）∴AE=y，OE=x，而A恰好落在双曲线（x＞0）上，∴xy=，又OA与x轴正方向的夹角为30°，∴x=y，∴y2=，∴y=1，x=，∴OA=2，∴正方形OABC的面积为4．故答案为4．【点评】此题分别考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质及特殊直角三角形的性质，综合性比较强，一起学生熟练掌握相关基础知识才能很好解决这类问题．14．如果函数y=（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x+a的图象在x轴的上方，则实数a的取值范围是a≥2．【分析】①由题意二次函数y=（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x+a的图象全部在x轴的上方，可知y=（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x+a=0，方程二次项系数（a﹣2）＞0，方程根的判别式△＜0；②当a=2时，函数y=（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x+a=2，根据以上条件从而求出a的取值范围．【解答】解：①∵二次函数y=（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x+a的图象全部在x轴的上方，∴（a﹣2）＞0，△＜0，∴a＞2，4（a﹣2）2﹣4（a﹣2）×a＜0，解得a＞2．②当a=2时，函数y=（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x+a=2＞0，综上可知实数a的取值范围是a≥2．故答案为a≥2．【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10，则CE的长为4或6．【分析】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BMG，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，可以求CE的长度．【解答】解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，所以BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BMG（SAS），∴∠MBG=∠CBE，∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10，设CE=x，则AM=10﹣x，AD=12﹣（10﹣x）=2+x，DE=12﹣x，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴100=（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24=0；解得：x1=4，x2=6．故CE的长为4或6．【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，本题中求△ABE≌△ABG即AG=AE=10是解题的关键．16．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为cm．【分析】如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，可得∠APO=180°﹣135°=45°，得∠AOO=90°，O′O=OA=×2=，然后利用弧长公式计算弧OA的长．【解答】解：如图，连OI，PI，AI，∵△OPH的内心为I，∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OA，即∠PHO=90°，∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，又∵OP=OA，OI公共，而∠IOP=∠IOA，∴△OPI≌△OAI，∴∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，∵∠AIO=135°，∴∠APO=180°﹣135°=45°，∴∠AO′O=90°，而OA=2cm，∴O′O=OA=×2=，∴弧OA的长==（cm），所以内心I所经过的路径长为cm．故答案为：cm．【点评】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．三、解答题17．（1）点（0，2）绕坐标原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是（2，0）；（2）已知直线l1：y=2x﹣4分别与x轴、y轴相交于A、B两点，直线l1绕点B 顺时针旋转90°得到直线l2，则直线l2的解析式为y=﹣x﹣4；（3）若（2）中直线l1绕点M（﹣1，0）顺时针旋转90°得到直线l3，求直线l3的解析式．【分析】（1）根据旋转变换的定义进行求解；（2）先根据旋转变换的性质找出点A旋转后的对应点的坐标是（4，﹣6），再利用待定系数法即可求解；（3）先确定点A绕点M旋转后的对应点的坐标是（﹣1，﹣3），点B绕点顺时针旋转90°得到的对应点是（﹣5，﹣1），再利用待定系数法求解．【解答】解：（1）（2，0）；（2）当x=0时，y=2×0﹣4=﹣4，当y=0时，2x﹣4=0，解得x=2，∴点A、B的坐标分别是A（2，0），B（0，﹣4），直线l1绕点B顺时针旋转90°，点A的对应点是（4，﹣6），设直线l2的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线l2的解析式为y=﹣x﹣4；（3）点A（2，0）绕点M（﹣1，0）顺时针旋转90°得到的对应点是（﹣1，﹣3），点B（0，﹣4）绕点M（﹣1，0）顺时针旋转90°得到的对应点是（﹣5，﹣1），设直线l3的解析式的解析式是y=mx+n，则，解得，∴直线l3的解析式是y=﹣x﹣．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，找出找出关键点旋转变换后的对应点的坐标是解题的关键，难度中等．18．设关于x的一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2，则称函数y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）为此两个函数的生成函数．（1）当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；（2）若函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．【分析】（1）根据题目提供信息，直接将函数解析式代入即可求得函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；（2）只要证出点P的坐标符和生成函数的解析式即可．【解答】解：（1）当x=1时，y=m（x+1）+n（2x）=m（1+1）+n（2×1）=2m+2n=2（m+n），∵m+n=1，∴y=2；（2）点P在此两个函数的生成函数的图象上，设点P的坐标为（a，b），∵a1×a+b1=b，a2×a+b2=b，∴当x=a时，y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2），=m（a1×a+b1）+n（a2×a+b2）=mb+nb=b（m+n）=b，即点P在此两个函数的生成图象上．【点评】此题是一道新定义信息题，难度不大，考查了同学们的阅读理解和对新知识的接受能力，只要仔细阅读，就可根据相关函数知识作出解答．19．如图1，在直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，且点C坐标为（4，3），将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求k的值；（2）如图2，在直角坐标系中，P点坐标为（2，﹣3），请在双曲线上找两点M、N，使四边形OPMN是平行四边形，求M、N的坐标．【分析】（1）作出折叠后的草图，根据反比例函数解析式表示出点EF的坐标，过点E作EH⊥OB，可得△EGH∽△GFB，根据相似三角形的对应边成比例列式整理，然后在△GFB中利用勾股定理计算即可求出k值；（2）利用反比例函数解析式设出点M的坐标，然后把平行四边形OPMN看作是边PM沿PO方向平移得到的，根据点P与点O对应关系，由点M的坐标表示出点N的坐标，然后再代入函数解析式，计算即可求解．【解答】解：（1）设E（，3），F（4，），将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，∴∠HEG=∠FGB，又∵∠EHG=∠GBF=90°，∴△EGH∽△GFB（AA），∴=，代入解得：GB==，在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2，代入得，解得；（2）平行四边形OPMN，可以看成线段PM沿PO的方向平移至ON处所得．设M（a，），∵P（2，﹣3）的对应点O（0，0），∴N（a﹣2，+3），代入反比例解析式得：（a﹣2）（+3）=，整理得4a2﹣8a﹣7=0，解得：a=，a=（舍去），==，﹣2=，+3=，所以M（，），N（，）．【点评】本题主要考查了反比例函数图形与性质，折叠对称的性质，以及平行四边形的性质，利用平移得到平行四边形从而把平行四边形的问题转化为点的平移进行求解是解答（2）的巧妙之处，希望同学们在解题时要开动脑筋，从多方位全面的考虑问题，此题难度较大，要仔细计算．20．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，O为BC的中点，动点E、F分别在边AB、AC上，且∠EOF=45°．（1）猜想线段AE、EF、CF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，若以O为圆心的圆与AB相切，试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）可得出结论AE+EF=CF．连接OA，在CF上取点G，使CG=AE，可证△AOE≌△COG，△FOE≌△FOG，就可证出．（2）由题意可证明△OEB∽△FOC，△OEB∽△FOC，则得出点O到AB和EF的距离相等，即可得出结论．【解答】解：（1）AE+EF=CF．连接OA，在CF上取点G，使CG=AE，∵AB=AC，∠A=90°，O为BC的中点，∴OA=OB=OC，∴∠OAE=∠OCG=45°，∴△AOE≌△COG（SAS），∴OE=OG，∠A0E=∠COG，∵∠AEO=∠OGC，∴∠AEO+∠AGO=180°，∴四边形内角和为360°，∴∠A+∠EOG=180°，∴∠EOG=90°，∴∠FOG=45°．又∵∠EOF=45°，∴∠EOF=∠FOG，∴△FOE≌△FOG（SAS），∴EF=FG，∴AE+EF=CF．（2）EF与⊙O相切．在△OEB和△FOC中，∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，∴∠FOC=∠OEB．又∵∠B=∠C，∴△OEB∽△FOC．∴．∵△OEB∽△FOC，∴．∴．又∵∠B=∠EOF=45°，∴△BEO∽△OEF．∴∠BEO=∠OEF．∴点O到AB和EF的距离相等．∵AB与⊙O相切，∴点O到EF的距离等于⊙O的半径．∴EF与⊙O相切．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及切线的性质，是一道综合题，难度偏大．21．如图1，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2），将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移．在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P．（1）当△AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x 的函数关系式，并求出函数y的最值．【分析】（1）由题意可得C1D1=C2D2=BD2=AD1，根据两直线平行，同位角相等，及等腰三角形的性质，可得到AD2=D2F；同理：BD1=D1E，即可得出D1E=D2F．（2）由题意，D2D1=x，则D1E=BD1=D2F=AD2=5﹣x，在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，根据△ABC的面积可得高为，设△BED1的BD1边上的高为h，可证△BC2D2∽△BED1，所以；分别表示出△BED1和△FC2P的面积，根据重叠部分面积为y=S△BC2D2﹣S△BED1﹣S△FC2P，可求出y与x 的函数关系式，求出最大值即可；【解答】解：（1）D1E=D2F．∵C1D1∥C2D2，∴∠C1=∠AFD2，又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，∴∠C1=∠A，∴∠AFD2=∠A，∴AD2=D2F；同理：BD1=D1E，又∵AD1=BD2，∴AD1﹣D1D2=BD2﹣D1D2，∴AD2=BD1，∴D1E=D2F；（2）由题意得AB=10，AD1=BD2=C1D1=C2D2=5，又∵D2D1=x，∴D 1E=BD 1=D 2F=AD 2=5﹣x ， ∴C 2F=C 1E=x ，在△BC 2D 2中，C 2到BD 2的距离就是△ABC 的AB 边上的高， ∴根据△ABC 的面积可得高为，设△BED 1的BD 1边上的高为h ，可证△BC 2D 2∽△BED 1， ∴；∴，S △BED1==，又∵∠C 1+∠C 2=90°， ∴∠FPC 2=90°，又∵∠C 2=∠B ，sinB=，cosB=， ∴，，S △FC2P =PC 2×PF=， ∴y=S △BC2D2﹣S △BED1﹣S △FC2P =S △ABC ﹣﹣，∴y==；∴函数y 的最大值是8．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质和二次函数的最值等知识，本题涉及的知识点较多，考查了学生的综合运用能力． 22．抛物线y=ax 2+bx +c （a ＞0）经过点，0）、，0），它与y 轴相交于点C ，且∠ACB ≥90°，设该抛物线的顶点为D ，△BCD 的边CD 上的高为h ． （1）求实数a 的取值范围； （2）求高h 的取值范围；（3）当（1）的实数a 取得最大值时，求此时△BCD 外接圆的半径．【分析】（1）利用直角三角形各边的关系，求得OC 2=OA•OB ，利用边角关系，代入a 值解得．（2）过D 作DE ⊥OC ，延长DC 交x 轴于点H ，过点B 作BF ⊥CH 于点F ．利用顶点公式求得点D ，由OC ≤3，则tan ∠OHC=≤，从而解得．（3）求得a 的最大值，求得h 值，可得BD ，BC ，连接DG ，由△DGB ∽△BCF求得DG．【解答】解：（1）当∠ACB=90°时，OC2=OA•OB，得OC=3又∠ACB≥90°，故OC≤3，所以9a≤3，∴0＜a≤．（2）过D作DE⊥OC，延长DC交x轴于点H，过点B作BF⊥CH于点F．因为D为抛物线的顶点，所以D（，﹣12a），OE=12a，又∵OC=9a，CE=3a，DE=，易证△HCO∽△DCE，有=3，故OH=3DE=3，BH=OH﹣OB=2，又OC≤3，则tan∠OHC=≤，于是0＜∠OHC＜30°，则h=BF=BHsin∠BHF≤BHsin30°=，从而0＜h≤．（3）当a取最大值时，a=，此时h=，B（，0），C（0，﹣3），D（，﹣4），可求BD=2，BC=2，作直径DG，易证△DGB∽△BCF，，所以．故DG=4，即△BCD外接圆的半径为2．【点评】本题考查了二次函数的综合运用，并涉及到了抛物线的顶点公式，利用三角形来求a的取值范围，并考查了a的取值确定三角形外接圆半径，利用三角形与抛物线之间的关系确定三角形某边上高的取值范围．。
2017年自主招生考试数学试卷
2017年自主招生考试数学试卷一、选择题1．一组样本容量为5的数据中，其中，，，与的和为5，当、依次取（）时，这组样本方差有最小值。
A．1.5 , 3.5 B.1 , 4 C. 2.5 , 2.5 D.2 , 3（第3题图）（第4题图）2．如图，在正方体的表面展开图中，要将、、填入剩下的三个空白处，（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字和均为零的概率为（）。
A． B. C. D.3．如图，反比例函数＞0图象经过矩形边的中点，交边于点，连结、、，则的面积是（）。
A． B. C. D.4.设[x]表示不超过实数x的最大整数．若实数a满足则[a]=（）A．0或2 B．或2C．0或3 D ．或25．如图，平面内有四条线段、、、首尾顺次相接，点E在的延长线上，∠的角平分线与∠的角平分线交于点F．若∠26°，∠62°，则∠ =（）A．131°B．132°第6题C．133°D．134°6．已知第一象限内的点A 在反比例函数的图像上，第二象限内的点B 在反比例函数的图像上.若⊥ , ∠，则=（）A ．B ．C ．D ．7．如图，以△的直角边为直径作半圆⊙O与边交于点D，过D 作半圆的切线与边交于点E，过E作∥，与交于点F．若20，7.5，则＝（）A．7B．8 C．9 D．108.已知二次函数的图象与轴交于点，，且，与轴的正半轴的交点在的下方，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数有（）A 1个B 2个C 3个D 4个二．填空题9.设，则.10.已知满足，且，则函数的最小值是.11.如图，在菱形中，已知∠ = 60°，直线过点D，且与、的延长线分别交于点E、F, M是与的交点. 若4 , 5，则.12．计算：.13.化简：的值为.14.如图，⊙O 是△的外接圆，， = b，且∠A - ∠ 90° . 则⊙O 的半径为.15.已知实数满足：则的值为.第1616.已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式x3－30x2＋ ( a是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数．则此梯形的面积为.2016年江苏省海门中学自主招生考试数学试卷一、选择题(每小题6分,共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案三．填空题（每小题7分，共42分）11. 12. 13.14. 15. 16.三．解答下列各题（共48分）17．(本题满分10分)对任何实数,都有成立.求实数的最大值.18.（本题满分10分）已知，求的整数部分.19.（本题满分14分）如图，已知内接于⊙Ｏ，点E在弧上，交于点D，经过B、C两点的圆弧交于I⑴求证：∽；⑵如果平分，求证：⑶设O的半径为5，8，，求的长。
2017年安徽省合肥168中自主招生数学试卷
2017年安徽省合肥168中自主招生数学试卷一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．92．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或205．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c37．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．28．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为．10．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a2017，这2017个数的积为．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是（写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．2017年安徽省合肥168中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵a＝＝（﹣）2＝4﹣，b＝＝＝4+，∴ab＝（4+）（4﹣）＝1，∴＝＝＝＝＝＝9．故选：D．2．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：把A（1，3）代入y＝kx+b中，得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴一次函数的解析式为：y＝kx+3﹣k，∴一次函数图象与坐标轴的交点为（0，3﹣k），（，0），∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与坐标轴围成三角形的面积为6，∴，解得，k＝﹣3，或k＝9，∴k的值有3个，∴满足条件的函数有3个．故选：B．4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c3【解答】解：A、由三角形三边关系可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，可得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，故选项正确；B、由三角形三边关系不一定得出a+b＞c，＜，可得＜，＞，选项错误；C、由三角形三边关系不一定得出a＞b＞c，由，可得：a＞b＞c，选项错误；D、由三角形三边关系不一定得出a3+b3＜c3，选项错误；故选：A．7．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．2【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．8．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为1或﹣1．【解答】解：去分母得：x﹣a＝ax+a，即（a﹣1）x＝﹣2a，显然a＝1时，方程无解；由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，把x＝﹣1代入整式方程得：﹣a+1＝﹣2a，解得：a＝﹣1，综上，a的值为1或﹣1，故答案为：1或﹣110．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a2017，这2017个数的积为．【解答】解：a1＝，a2＝，＝2，a3＝＝﹣1，a4＝＝，…，依此类推，发现每3个数为一组一个循环，前3个数的乘积为：2×（﹣1）＝﹣1，所以2017÷3＝672…1，则a1，a2，…，a2017，这2017个数的积为（﹣1）672×＝．故答案为：．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为7．【解答】解：设原计划每天加工x个零件．由题意得：+2+1＝，整理得：x2+27x﹣2268＝0．解得：x1＝36，x2＝﹣63（不合题意舍去）．经检验：x＝36是原方程的解．当x＝36时，＝7，即原计划7天完成，故答案为：7．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是2＜m＜．【解答】解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×4＞0，解得：m＞2或m＜﹣2①，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝m，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，1＜（x1+x2）＜，而x＝﹣＝﹣＝m＝（x1+x2），即1＜m＜②，联立①②并解得：2＜m＜，故答案为：2＜m＜．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于﹣6．【解答】解：过点C作CE⊥y轴，垂足为E，∵A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），∴OA＝OB＝1，∠OAB＝∠OBA＝45°，∵ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠BCE，∴△AOB∽△BEC，∴＝＝，又∵BC＝2AB，∴BE＝CE＝2，OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴点C（﹣2，3），代入反比例函数关系式得，k＝﹣2×3＝﹣6，故答案为：﹣6．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．【解答】解：如图：过点P作PD⊥BC与点D，作PE⊥AC于点E，可得矩形PDCE，有PD＝EC，PE＝CD，∵PC＝PB，PD⊥BC，∴DC＝DB＝BC＝AC＝a，∴PE＝CD＝a，Rt△AEP中，AP＝AC＝a，PE＝a，∴AE＝a，∴EC＝AC﹣AE＝a﹣a＝a．∴PD＝EC＝a，Rt△CDP中，PD2+CD2＝CP2，∴（a）2+（）2＝b2，∴a2+a2＝b2，∴a2＝b2，∴（2﹣）a2＝b2．∴＝2﹣，∴＝＝＝．故答案是：．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是①②④（写出所有正确的序号）【解答】解：①作△ABC的外接圆圆O，过C作圆O的切线，由圆的切线性质可得，当△ABC等腰三角形的时候，∠ACB最大，所以正确；②当△DBC∽△DAC时，∠ACB最大，此时，CD2＝BD•AD＝b（2a+b）＝2ab+b2，CD＝，所以正确；③④过点C作l的垂线，交AB垂直平分线于M，当M恰好是△ABC的外心时，∠ACB最大，所以③错误，④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．【解答】解：∵＝﹣，∴x＝a+﹣2，∵x≥0，∴≥，∴a≥1，≤1，原式＝，＝，＝，＝，当a≥时，原式＝＝a2；当a＜时与a≥1，≤1相矛盾．综上所述，原二次根式的值为：a2．故答案为：a2．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．【解答】解：（1）设购进x条长跳绳，则购进2x条中跳绳，（200﹣x﹣2x）条短跳绳，依题意，得：，解得：22≤x≤26．∵x为正整数，∴x＝23，24，25，26，∴学校共有4种购买方案可供选择．（2）设可以购买a条长跳绳，则购进2a条中跳绳，（n﹣a﹣2a）条短跳绳，依题意，得：，化简，得：，∴13a＝4（375﹣n），∴a为4的倍数，设a＝4k，则n＝375﹣13k，∴375﹣13k≤36k，∴k≥7，∴k的最小值为8，n的最大值为271．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠P AD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y＝x2﹣x﹣．如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，×（）2﹣﹣＝﹣，P（，﹣）；（3）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，顶点M坐标（1，﹣4m），当x＝0时，y＝﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2＝MB2或DM2+MB2＝BD2．①DM2+BD2＝MB2时有：m2+1+9m2+9＝16m2+4，解得m＝﹣1（∵m＜0，∴m＝1舍去）；②DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，解得m＝﹣（m＝舍去）．综上，m＝﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（，6）．（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ．又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴．∴m＝（0＜t＜11）．（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴，∵PC′＝PC＝11﹣t，PE＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6﹣m，∴AC′＝＝，∴，∴，∴3（6﹣m）2＝（3﹣m）（11﹣t）2，∵m＝，∴3（﹣t2+t）2＝（3﹣t2+t﹣6）（11﹣t）2，∴t2（11﹣t）2＝（﹣t2+t﹣3）（11﹣t）2，∴t2＝﹣t2+t﹣3，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝，点P 的坐标为（，6）或（，6）．法二：∵∠BPO＝∠OPC′＝∠POC′，∴OC′＝PC′＝PC＝11﹣t，过点P作PE⊥OA于点E，则PE＝BO＝6，OE＝BP＝t，∴EC′＝11﹣2t，在Rt△PEC′中，PE2+EC′2＝PC′2，即（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，解得：t1＝，t2＝．点P 的坐标为（，6）或（，6）．第21页（共21页）。
2017年___数学自招真题
2017年___数学自招真题1. 已知三角形的三边为a、b、c，求a+b+c-2ab-2bc-2ca的值。
解：根据三角形的三边关系，有a+b>c，b+c>a，c+a>b。
将a+b+c-2ab-2bc-2ca进行化简，得到(a-b-c)^2>0，即a-b-c不等于0。
2. 设m、n是正整数，且m+n>mn，判断以下四个结论中正确的一个。
解：将m+n-mn>0进行化简，得到(m-1)(n-1)<1。
若m、n均大于1，则m-1≥1，n-1≥1，因此(m-1)(n-1)≥1，与(m-1)(n-1)<1矛盾。
3. 已知方程2x+a=x+a有一个根为1，求实数a的值。
解：将x=1代入方程2x+a=x+a，得到a+2=a+1，化简得a=-1±√5。
当a=-1-√5时，方程2x+a=x+a的根不包括1，因此舍去。
4. 已知a、b、c是不完全相等的任意实数，求x=a-2b+c，y=a+b-2c，z=-2a+b+c的大小关系。
解：将x、y、z相加，得到x+y+z=-2a-2b-2c。
若x、y、z均小于0，则x+y+z<0，与上式矛盾。
5. 已知a、b、c不全为无理数，判断关于a+b、b+c、c+a的说法是否正确。
解：若a、b、c均为有理数，则a+b、b+c、c+a均为有理数，选项A正确。
若a=2，b=3，c=√2，则a+b、b+c、c+a均为无理数，选项B正确。
若a=2，b=-2，c=√2，则a+b、b+c、c+a中有且仅有一个为有理数，选项D错误。
6. 求方程组(x-y)(x-2y)=1，(x+y-2)^2+(2x-y-1)^2的实数解。
解：将(x-y)(x-2y)=1化简，得到x^2-3xy+2y^2=1。
将x+y-2=a，2x-y-1=b，化简得到a^2+b^2=10。
将x=ay+b代入x^2-3xy+2y^2=1，得到a^2-3ab+2b^2=1。
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郎溪县2017年高中自主招生统一考试数学试卷
座位号 姓 名 _ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示67500是（ ） A ．6.75×103
B ．67.5×10
3
C ．6.75×10
4
D ．6.75×105
2．某市“四季花海”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为20万人次，2017年约为28万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A. 20（1+2x ）=28 B. 20（1+x ）2
=28
C. 28（1+x ）2
=20 D. 20+20（1+x ）+20（1+x ）2
=28 3．若
20 10a b b c ==，，则a b
b c ++的值为（ ）． A.1121 B.2111 C.11021 D.21011
4．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．
5．若实数a ，b 满足
21
202
a a
b b -++=，则a 的取值范围是 （ ）． （A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4
6．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD 的面积为9，那么△ACD 的面积为（ ） A ．
2
9 B ．6 C ．
4
9
D ．3
（第6题图） （第7题图）
7．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是（ ）
A.AF= EF B ．△ABE≌△AGF C．EF=2
D ．AF= AE
8．已知非零实数a ，b 满足
24242a b a -+++=，则a b +等于（ ）．
A.－1
B.0
C.1
D.2
9．二次函数y=ax 2
+bx+c （a 、b 、c 为常数，且a≠0）的x 与y 的部分对应值如下表：
有下列结论：①a＞0；②4a﹣2b+1＞0；③x=﹣3是关于x 的一元二次方程ax 2
+（b ﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣3≤ x ≤ n 时，ax 2
+（b ﹣1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10． 如图，在❒ABC 中，M 是边AB 的中点，N 是边AC 上的点，
NC
AN
=2，CM 与BN 相交于点K 。
若❒BCK 的面积等于1， 则❒ABC 的面积等于( ) A. 3 B.
3
10
C. 313
D. 4 。
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．一列数x 1，x 2，x 3，…，其中x 1= ，x n =
1
11
--n x （n 为大于1的整数），则x 2017= ．
12.如图，四边形ABCD 中AB=BC=CD ，∠ABC=78°，∠BCD=162°。
设AD,BC 延长线交于E ，则∠AEB= 。
13.如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10，点M 在BC 上，使得ΔADM 是正三角形，则ΔABM 与ΔDCM 的面积和是 。
14．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°．AB=BC ．点D 是线AB 上的一点，连结CD ．过点B 作BG⊥CD，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF ，给出以下四个结论：
B
C E A
B
C
M
N K 第10题
M C A
B
①= ；
②若点D是AB的中点，则AF = AB；
③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；
④若= ，则S△ABC=9S△BDF，
其中正确的结论序号是．（写出所有正确结论的序号）（第14题图）
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．
16. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣1．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．平面直角坐标系中，△ABC三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣4，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
18．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量南淝河的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
（第18题图）
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF. 求证： tan EF
PAD BC
∠=
．
20．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路 （第19题图） 上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车。
问再过多少分钟，货车能追上了客车？
六、（本题满分12分）
21．某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；补全频数分布直方图； （2）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段；
（3）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
七、（本题满分12分）
22．某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计
50万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
八、（本题满分14分）
23．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=8，AB=6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：
①当α=0°时，= ；
②当α=180°时，= ．
（2）拓展探究：
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决：
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．。