高考二轮复习仿真冲刺试卷：数学理科试卷七答案

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2021-2022年高考二轮复习仿真冲刺试卷：数学理科试卷七答案

2021高考百天仿真冲刺卷数学(理)试卷（七）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 30 10. 5 11.1；7512.)4π（或其它等价写法） 13.2-；6- 14.120；(21,2),k k k -∈*N . 注：11、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，sin()04x π+≠， ………………2分所以()4x k k π+≠π∈Z ， ………………3分所以()4x k k π≠π-∈Z ，………………4分函数()f x 的定义域为{xx ≠,4k k ππ-∈Z }. ………………5分（Ⅱ）cos 2cos 2()sin()sin cos cos sin 444x x f x x x x ==πππ++ ………………7分 2sin cos x x x=+ ………………8分 22sin )sin )sin cos x x x x x x-==-+. ………………10分因为4()3f x =，所以cos sin 3x x -=. ………………11分所以，2sin 21(cos sin )x x x =-- ………………12分81199=-= . ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ………………1分。

仿真冲刺卷参考答案高考教学(理科)二轮复习

参考答案仿真冲刺卷(一)1.A 函数y=ln(1-x)的定义域为M={x|x<1},N={x|x2-x<0}={x|0<x<1},结合选项M∩N=N正确,选A.2.A 由题意可得z==i-2,所以z-1=-3+i,|z-1|==.选A.3.C 因为=2,=4.5,所以=4.5-0.95×2=2.6,故选C.4.C 因为a<0,设a=-1,所以()-1=2,(0.2)-1=5,2a=-2,所以(0.2)a>()a>2a,故选C.5.A 首先函数为奇函数,排除C,D,又当x∈(0,1)时,y<0,排除B,故选A.6.B 设R为弦PQ的中点,如图所示,由|PQ|<6,知|OR|2>52-32=16,所以PQ的中点组成的区域为M是由圆O:x2+y2=25与圆:x2+y2=16组成的圆环,所以在O内部任取一点落在M内的概率为=,故选B.7.D 如图所示,在平行四边形ABCD中,=a,=b,=a+b,∠BAC=,∠DAC=,所以∠BCA=,在△ABC中,由正弦定理得===.故选D.8.A 第一次循环:s=s+8=10,k=k+1=2,此时不满足条件,继续循环; 第二次循环:s=s+8=18,k=k+1=3,此时不满足条件,继续循环;第三次循环:s=s+8=26,k=k+1=4,此时不满足条件,继续循环;第四次循环:s=s+8=34,k=k+1=5,此时应满足条件,结束循环,因此判断框内应填k>4.9.D 由a3,a7,a9成等比数列,则a3a9=(a7)2,即(a1+2d)(a1+8d)=(a1+6d)2,化简可得2a1d+20d2=0,由a1=20,d≠0,解得d=-2.则S10=10a1+×(-2)=110,故选D.10.B 因为y=f(x+2)为偶函数,所以y=f(x+2)的图象关于x=0对称,所以y=f(x)的图象关于x=2对称,所以f(4)=f(0).又f(4)=1,所以f(0)=1.设g(x)=(x∈R),则g′(x)==.又因为f′(x)<f(x),所以f′(x)-f(x)<0,所以g′(x)<0,所以y=g(x)在定义域上单调递减.因为f(x)<e x,所以g(x)<1.又因为g(0)==1,所以g(x)<g(0),所以x>0,故选B.11.A 由f(x+)=f(-x)得函数f(x)的一条对称轴为x=,因此sin(+φ)=±1⇒φ=+kπ(k∈Z),由f()=-1得sin(++kπ)+b=-1⇒b=-1±1⇒b=-2或0,故选A.12.B 当x<0时,f(x)为增函数,当x≥0时,f′(x)=e x-1+ax-a-1,f′(x)为增函数,令f′(x)=0,解得x=1,故函数f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,最小值为 f(1)=0.由此画出函数图象如图所示,令t=-f(x),因为f(x)≥0,所以t≤0,则有⇒-a=t-1,所以t=-a+1,所以 f(x)=a-1,要有三个不同实数根,则需<a-1<+,解得2<a<+2.13.解析:y′=ln x+1,设P(x0,y0),ln x0+1=2, 解得x0=e,则y0=e,所以P点坐标为(e,e).答案:(e,e)14.解析:由8a2-a5=0得公比q=2,所以==1+q2=5.答案:515.解析:作出不等式组对应的平面区域如图,由z=x-2y得y=x-z,平移直线y=x,由图象可知当直线y=x-z经过点A(2,4)时,直线y=x-z的截距最大,此时z最小,z min=2-8=-6;当直线y=x-z经过点O(0,0)时,直线y=x-z的截距最小,此时z最大,z max=0,故-6≤z≤0.答案:[-6,0].16.解析:据题意知,△PMF为等边三角形,PF=PM,所以PM⊥抛物线的准线.设P(,m),则M(-,m),等边三角形边长为+=12,F(,0),所以由PM=FM,得=12,解得p=6,m=±6,所以抛物线方程为y2=12x.答案:y2=12x17.解:(1)因为2a=3c,由正弦定理可得2sin A=3sin C,可得sin A=sin C,由tan B=2tan C,可得sin Bcos C=2sin Ccos B,两边同时加sin Ccos B,可得sin(B+C)=3sin Ccos B, 可得sin(B+C)=sin A=sin C=3sin Ccos B,由C∈(0,π),可得sin C≠0,所以cos B=,由B∈(0,π),可得B=.(2)由tan A=3,可得cos A=,sin A=,S △ABC=3=bc·,解得bc=4,又由2a=3c,a2=b2+c2-2bccos A,可得c2=b2+c2-4,联立bc=4,解得c2=+c2-4,化简整理可得5c4+16c2-448=0,解得c=2,b=,a=3,可得△ABC的周长为a+b+c=5+.18.(1)证明:取AP的中点M,连接DM,BM,因为DA=DP,BA=BP,所以PA⊥DM,PA⊥BM,因为DM∩BM=M,所以PA⊥平面DMB,又因为BD⊂平面DMB,所以PA⊥BD.(2)解:因为DA=DP,BA=BP,DA⊥DP,∠ABP=60°,所以△DAP是等腰直角三角形,△ABP是等边三角形,因为AB=PB=BD=2,所以DM=1,BM=.所以BD2=MB2+MD2,所以MD⊥MB,以MP,MB,MD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(-1,0,0),B(0,,0),P(1,0,0),D(0,0,1),从而得=(1,0,-1),==(1,,0),=(1,-,0) ,==(1,0,1),设平面DPC的法向量n1=(x1,y1,z1),则即所以n 1=(-,1,-),设平面PCB的法向量n2=(x2,y2,z2),由得所以n 2=(,1,-),所以cos <n 1,n2>==,设二面角D PC B为α,所以sin α==.19.解:(1)列联表如下:甲产品乙产品合计合格品80 75 155 次品20 25 45合计100 100 200 K2=≈0.717<3.841,所以没有95%的把握认为两种产品的质量有明显差异.(2)依题意,生产1件甲、乙产品为合格品的概率分别为,,随机变量X可能取值为90,45,30,-15,P(X=90)=×=,P(X=45)=×=,P(X=30)=×=,P(X=-15)=×=.X的分布列为X 90 45 30 -15 P所以E(X)=90×+45×+30×-15×=66.20.解:(1)因为椭圆C的右焦点F(c,0),|PF|=2,所以c=,由题意得Q(2,1),因为Q(2,1)在椭圆C上,所以+=1,由a2-b2=3,得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由S△AQB=tan∠AQB,得QA·QBsin∠AQB=tan∠AQB,即QA·QBcos∠AQB=2,可得·=2,①当l垂直x轴时, ·=(-2,-1)·(-2,--1)=4+1-3=2,此时满足题意,所以此时直线l的方程为x=0;②当l不垂直x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1, 由消去y得(1+2k2)x2+4kx-4=0,所以x1+x2=,x1x2=,代入·=2可得 (x1-2,y1-1)·(x2-2,y2-1)=2,代入y1=kx1+1,y2=kx2+1,得(x1-2)(x2-2)+k2x1x2=2,化简代入得++2=0,解得k=,经检验满足题意,则直线l的方程为x-4y+4=0.综上所述,直线l的方程为x=0或x-4y+4=0.21.(1)解:g(x)=e x-(a+1)x,所以g′(x)=e x-(a+1).当x>0时,e x>1,故有当a+1≤1,即a≤0时,x∈(0,+∞),g′(x)>0;当a+1>1,即a>0时,e x>1,令g′(x)>0,得x>ln(a+1);令g′(x)<0,得0<x<ln(a+1),综上,当a≤0时,g(x)在(0,+∞)上是增函数;当a>0时,g(x)在(0,ln(a+1))上是减函数,在(ln(a+1),+∞)上是增函数.(2)证明:设h(x)=f(x)-(x2+x+1)=e x-x2-x-1,则h′(x)=e x-2x-1,令m(x)=h′(x)=e x-2x-1,则m′(x)=e x-2,因为x∈[,1],所以当x∈[,ln 2)时,m′(x)<0;m(x)在[,ln 2)上是减函数,当x∈(ln 2,1]时,m′(x)>0,m(x)在(ln 2,1]上是增函数,又m()=-2<0,m(1)=e-3<0,所以当x∈[,1]时,恒有m(x)<0,即h′(x)<0,所以h(x)在[,1]上为减函数,所以h(x)≤h()=-<0,即当x∈[,1]时,f(x)<x2+x+1.22.解:(1)由曲线C1的参数方程(t为参数), 消去参数t得x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin θ,由曲线C2的直角坐标方程x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0,得ρ=4sin θ,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin θ.(2)联立得A(2sin α,α),所以|OA|=2sin α,联立得B(4sin α,α),所以|OB|=4sin α.所以|AB|=|OB|-|OA|=2sin α,因为0<α<π,所以当α=时,|AB|有最大值2.23.解:(1)f(x)>4,即|x|+|2x-1|>4,当x≥时,x+2x-1>4,解得x>;当0<x<时,x+1-2x>4,解得x∈⌀;当x≤0时,-x+1-2x>4,解得x<-1.综上可得,f(x)>4的解集为.(2)对任意正数a,b,不等式f(x)<++ab恒成立,可得f(x)小于++ab的最小值,由++ab≥2+ab≥2=3,当且仅当a=b=2时取得等号,即有f(x)<3,即|x|+|2x-1|<3,当x≥时,x+2x-1<3,解得≤x<;当0<x<时,x+1-2x<3,解得0<x<;当x≤0时,-x+1-2x<3,解得-<x≤0.综上可得,M={x|-<x<}.仿真冲刺卷(二)1.C 因为集合U={-1,0,1,2},所以集合A={y|y=,x∈U}={1,,},所以集合A的真子集个数为23-1=7个,故选C.2.A 因为=1-ni,所以m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,所以1+n=m且1-n=0,所以n=1,m=2,所以m+ni=2+i,故选A.3.B 根据题意,得a=-2e1-3e2,b=-4e1+e2,所以a+b=(-2e1-3e2)+(-4e1+e2)=-6e1-2e2,所以|a+b|===2.故选B.4.B 由题意得a<(ln x)min,因为x>e,所以ln x>1,所以a≤1,因为(-∞,1)⊂(-∞,1],(-∞,1)≠(-∞,1],因此一个充分不必要条件是a<1,选B.5.B 取特殊值,令a=,b=,则x=a b=()=,y=b a=()>,z=log b a=lo=2,则<()<2,即x<y<z,可排除A,C,D选项,故选B.6.C 由题意知原几何体为三棱锥,其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形,∠BCA为钝角,其中BC=2,BC边上的高为2,PC⊥底面ABC,且PC=2,由以上条件可知,∠PCA为直角,最长的棱为PA或AB,在直角三角形PAC中,由勾股定理得,PA===2,在钝角三角形ABC中,AB===2.故选C.7.C 设正方形的边长为1,则其面积为1,S 阴影=2(-)=-1,故在该正方形内随机取一点,此点取自两个弧田部分的概率为-1.8.B 当输入的x值为4时,b=2,第一次,不满足b2>x,满足x能被b整数,故输出a=0;当输入的x值为5时,第一次,不满足b2>x,也不满足x能被b整数,故b=3;第二次,满足b2>x,故输出a=1;即第一次输出的a的值为a1=0,第二次输出的a的值为a2=1,则a1-a2=0-1=-1.9.A f′(x)=e3x+2me2x+(2m+1)e x=t(t2+2mt+2m+1),t=e x>0,由题意得t2+2mt+2m+1=0有两个不同的正根,则⇒-<m<1-,故选A.10.A 因为相邻两支图象与坐标轴分别交于点A(,0),B(,0),所以函数的周期T=-==,则ω=2,此时f(x)=tan(2x+φ),又f()=tan(2×+φ)=tan(+φ)=0,得+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z),因为0<|φ|<,所以当k=0时,φ=-,则f(x)=tan(2x-),因为f(x)与y=cos(2x-)的对称中心相同,所以f(x)与y=cos(2x-)的交点关于同一个对称中心对称, 由2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,因为x∈[0,π],所以当k=0时,x=,即两个函数的对称中心都为(,0),由图象知两个函数只有两个交点,则=,所以x1+x2=.11.B 设A,B在l上的射影分别是A1,B1,过B作BM⊥AA1于M.由题意可得在Rt△ABM中,∠BAM=60°,cos 60°=====,解得m=3,故选B.12.A 因为函数y=f(x)关于y轴对称,所以函数y=xf(x)为奇函数.因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),所以当x∈(-∞,0)时,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0,函数y=xf(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,函数y=xf(x)单调递减.因为1<20.2<2,0<logπ3<1,log39=2,所以 0<logπ3<20.2<log39,所以b>a>c,故选A.13.解析:展开式中x2的系数是1×+a×=10+5a,所以10+5a=5,所以a=-1.答案:-114.解析:作出x,y满足约束条件:对应的平面区域如图(阴影部分),由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最大,此时z最大.由解得A(,-),代入目标函数z=2x+y得z=3.即目标函数z=2x+y的最大值为3.答案:315.解析:四棱锥P ABCD的体积为V=PD·S正方形ABCD=×1×22=,如图所示,易证PD⊥AD,PD⊥CD,PA⊥AB,PC⊥BC,所以四棱锥P ABCD的表面积为S=2××2×1+2××2×+22=6+2, 所以四棱锥P ABCD的内切球的半径为R===,因此,此球的最大表面积为4πR2=4π×()2=(14-6)π.答案:(14-6)π16.解析:函数f(x)=ax+sin x,g(x)=f(x)+f′(x)=ax+sin x+cosx+a,g(x)=f(x)+f′(x)在区间[-,]上单调递增,g′(x)=a+cos x-sin x≥0,可得a≥sin(x-),x∈[-.],可得x-∈[-,],sin(x-)∈[-,1].所以a的最小值为1.答案:117.解:(1)由S3=9,得a1+a2+a3=9⇒a2=3.又因为a1,a2,a5成等比数列,所以=a 1a5,即=(a 2-d)(a2+3d)⇒d2-2d=0,解得d=2或d=0(舍去),所以a1=a2-d=1,故a n=2n-1.(2)由题意b n-a n=2n-1,所以b n=2n-1+a n=2n-1+2n-1,所以T n=(1+2+22+…+2n-1)+[1+3+5+…+(2n-1)]=+=2n-1+n2. 18.解:(1)如图(1),在正方体内作出截面EFGHIJ(或画出平面图形),它的形状是一个边长为的正六边形,可以计算出它的面积为.(2)法一如图(2),连接B1D1交A1C1于O点,连接BD1,BO,BD,因为所求平面∥平面A1BC1,所以所求角等于BD1与平面A1BC1所成的角,因为平面A1BC1⊥平面B1D1DB,所以线BD1在平面A1BC1的投影为BO, 所以∠D1BO即为所求的角,在△BOD 1中,BD1=,D1O=,BO=,由余弦定理知cos∠D1BO=,所以cos θ=.法二以DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系, 则A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),可求出平面A1BC1的法向量为n=(1,1,1),又因为=(-1,-1,1),所以cos n, =-,所以cos θ=.19.解:(1)P(S)=××=,P(T)==.(2)ξ的可能值为0,1,2.①考虑ξ=0的情形,首先A盒中必须取一个红球放入B盒,相应概率为,此时B盒中有2红2非红;若从B盒中取一红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有2红2非红,从C盒中只能取一个非红球放入A 盒,相应概率为;若从B盒中取一非红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有1红3非红,从C盒中只能取一个非红球放入A盒,相应概率为.故P(ξ=0)=×[×+×]=.②考虑ξ=2的情形,首先A盒中必须取一个非红球放入B盒,相应概率为,此时B盒中有1红3非红;若从B盒中取一红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有2红2非红,从C盒中只能取一个红球放入A 盒,相应概率为;若从B盒中取一非红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有1红3非红,从C盒中只能取一个红球放入A盒,相应概率为. 故P(ξ=2)=×[×+×]=.③P(ξ=1)=1--=.所以ξ的分布列为ξ0 1 2Pξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.20.(1)解:由椭圆定义可知,2a=|AF1|+|AF2|=+=4,所以a=2,因为c=,所以b=1,椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,Δ=64k2m2-16(4k2+1)(m2-1)>0,即4k2+1>m2,设E(x1,y1),F(x2,y2),又x1+x2=-,x1·x2=,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)+km(-) +m2=0,所以4k2+4=5m2,因为d===,所以坐标原点O到直线l距离为定值.21.解:(1)f′(x)=(x-a)e x-x+a=(x-a)(e x-1),当a<0时,x∈(-∞,a)∪(0,+∞),f′(x)>0;x∈(a,0),f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当a=0时,f′(x)≥0对x∈R恒成立,所以f(x)在R上单调递增.当a>0时,x∈(-∞,0)∪(a,+∞),f′(x)>0;x∈(0,a),f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(2)①当a≤0时,由(1)知f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=-ae-+a=(1-e)a-<0,解得<a≤0.②当a>0时,由(1)知f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.当0<a≤1时,f(x)在[1,2]上单调递增.所以f(x)min=f(1)=-ae-+a=(1-e)a-<0对a∈(0,1]恒成立,则0<a≤1符合题意;当1<a<2时,f(x)在[1,a)上单调递减,在(a,2]上单调递增.所以f(x)min=f(a)=-e a+a2.设函数g(x)=-e x+x2,x∈(1,2),易得知x∈(1,2)时,x2∈(,2),-e x∈(-e2,-e),所以g(x)<0,故f(x)min=f(a)=-e a+a2<0对a∈(1,2)恒成立,即1<a<2符合题意.当a≥2时,f(x)在[1,2]上单调递减.所以f(x)min=f(2)=(1-a)e2-2+2a=(1-a)(e2-2)<0对a∈[2,+∞)恒成立,则a≥2符合题意.综上所述,a的取值范围为(,+∞).22.解:(1)C1:(x-2)2+y2=4,C2:x2+(y-2)2=4.(2)C1:ρ=4cos θ,联立极坐标方程θ=α,得ρA=4cos α.易得ρB=4sin α,所以|ρA-ρB|=4sin(α-)=2,所以sin(α-)=,因为0<α<π,所以α=π或π.23.解:(1)当a=-1时,g(x)=2|x|-1,f(x)≥g(x),即|x+1|≥2|x|-1,当x≥0时,x+1≥2x-1,即x≤2,此时0≤x≤2;当-1<x<0时,不等式等价为x+1≥-2x-1,即x≥-,此时-≤x<0;当x≤-1时,不等式-x-1≥-2x-1,得x≥0,此时无解.综上-≤x≤2,即不等式的解集为[-,2].(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立,即|x+1|≥2|x|+a,则a≤|x+1|-2|x|有解即可,设h(x)=|x+1|-2|x|.则h(x)=由函数h(x)的图象(图略)可知,函数h(x)的最大值为h(0)=1,故要使a≤|x+1|-2|x|有解得a的取值范围为(-∞,1].仿真冲刺卷(三)1.D A={x|-3<x<1},B={x|x≥-1},所以A∪B={x|x>-3},∁U(A∪B)={x|x≤-3}.故选D.2.A 因为+z2=+(1+i)2=+2i=+2i=1-i+2i=1+i,所以选A.3.C 依题意可得q≠1,因为S3==6,S6==54,所以1+q3=9,所以q=2,故选C.4.B 因为a,b,c为正数,所以当a=2,b=2,c=3时,满足a+b>c,但a2+b2>c2不成立,即充分性不成立,若a2+b2>c2,则(a+b)2>c2+2ab>c2,由a,b,c为正数可得a+b>c成立,即必要性成立,则“a+b>c”是“a2+b2>c2”的必要不充分条件.故选B.5.D 向量=(3,-4),=(6,-3),=(3,1),=(2m,m+1),若∥,可得3m+3=2m,解得m=-3.故选D.6.B 由题意可知:这批米内夹谷约为1 534×≈169(石),故选B.7.C 由三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球与以俯视图为底面,以4为高的直三棱柱的外接球相同,且底面为底边长为4,高为2的等腰直角三角形,其外接圆的半径为2.由直三棱柱高为4,可得球心到底面距离为2,外接球半径为R==2,外接球的表面积S=4πR2=32π,故选C.8.C 因为y=是奇函数,向左平移一个单位得y=,所以y=图象关于(-1,0)中心对称,故排除A,D,当x<-2时,y<0恒成立,排除B.故选C.9.C 第1次执行循环体得k=2,S=a2+a3x0;第2次执行循环体得k=1,S=a1+(a2+a3x0)x0;第3次执行循环体得k=0,S=a0+(a1+(a2+a3x0)x0)x0,由于条件不成立,所以输出S.故选C.10.D 曲线x2+(y+2)2=1对应的圆心M(0,-2),半径r=1,作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,直线x-2y+1=0的斜率k=,则当P位于点(-1,0)时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|=-1=-1,当P位于(0,2)时,|PQ|取最大值,最大值为2+3=5.则|PQ|的取值范围是[-1,5].故选D.11.A 由题意可得F(,0),设P(,y 0)(y0>0),则=+=+=+(-)=+=(+,),可得k==≤=.当且仅当=时取得等号,选A.12.D 方程f(x)=kx+1有四个不相等的实根,等价于函数f(x)的图象与直线y=kx+1有四个交点,则x>0时有两个交点,x<0时有两个交点,易得①当直线y=kx+1与函数f(x)=-x2-x的图象相切时,k=或k=-(舍),所以有两个交点时,k>,②当直线y=kx+1与函数f(x)=2x-xln x的图象相切时,利用导数的几何意义可得k=1,有两个交点时,k<1,则函数f(x)的图象与直线y=kx+1有四个交点时,实数k的取值范围是<k<1,故选D.13.解析:由表格可知,==4,=258.将(,)代入方程,得258=3.8×4+a,所以a=242.8.答案:242.814.解析:因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x+1对称, (1,4)点与(3,2)点关于直线y=x+1对称,若g(1)=4,则f(3)=2,因为f(x)为奇函数,所以f(-3)=-2.答案:-215.解析:每行的第二个数构成一个数列{a n},由题意知a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,所以a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,a n-a n-1=2(n-1)-1=2n-3,n≥3. 等式两边同时相加得a n-a2==n2-2n(n≥3),所以a n=n2-2n+a2=n2-2n+3(n≥3).当n=2时,a2=4-4+3=3符合上式,所以a n=n2-2n+3(n≥2).答案:n2-2n+316.解析:因为以(a n,S n)为坐标的点在曲线y=x(x+1)上,所以S n=a n(a n+1),即2S n=+a n,2S n+1=+a n+1,两式相减,得2a n+1=+a n+1-(+a n),即-a n+1=+a n,则-=a n+1+a n,又{a n}为正项数列,则a n+1-a n=1,又a1=1,即数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列, 则数列{a n}的通项公式为a n=n.答案:a n=n17.解:(1)在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,5=1+BC2+BC⇒BC2+BC-4=0,解得BC=,所以S △ABC=AB·BC·sin ∠ABC=×1××=. (2)因为∠BAD=90°,sin∠CAD=,所以cos∠BAC=,sin ∠BAC=,所以sin ∠BCA=sin (-∠BAC)=(cos∠BAC-sin ∠BAC)=×(-)=.在△ABC中,=,所以AC==,所以CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=5+16-2××4×=13,所以CD=.18.(1)证明:在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,所以四边形ABCD是等腰梯形,且∠DCA=∠DAC=30°,∠DCB=120°;所以∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°,所以AC⊥BC,又因为平面ACFE⊥平面ABCD,交线为AC,所以BC⊥平面ACFE.(2)解:由(1)知,以点C为原点,CA,CB,CF所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,a,0),A(a,0,0),D(,-a,0),F(0,0,a),E(a,0,a),则=(-a,0,0),=(0,-a,a),=(-a,,a),设平面BEF的法向量为m=(x1,y1,z1),则令y1=1,则z1=1,得m=(0,1,1),设平面DEF的法向量为n=(x2,y2,z2),则令z2=1,则y2=-2,得n=(0,-2,1),所以cos<m,n>==-,又B EF D的平面角为锐角,即二面角B EF D的平面角的余弦值为.19.解:(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A,则事件A包含该节目可以获2张“获奖”票或该节目可以获3张“获奖”票.因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为,且三人投票相互没有影响,所以某节目的投票结果是最终获一等奖的概率为P(A)=()2×+()3=.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=()3=,P(X=1)=()1()2=,P(X=2)=()2()1=,P(X=3)=()3=,所以X的分布列为X 0 1 2 3PE(X)=0×+1×+2×+3×=2.20.解:(1)由题意,椭圆的长轴长2a=4,得a=2,因为点(1,)在椭圆上,所以+=1得b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由直线l与圆O相切,得=1,即m2=1+k2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. 由题意可知圆O在椭圆内,所以直线必与椭圆相交,所以x1+x2=-,x1·x2=.y1·y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1·x2+km(x1+x2)+m2=k2·+km(-)+m2=,所以x1·x2+y1·y2=+=.因为m2=1+k2,所以x1·x2+y1·y2=.又因为·=-,所以=-,解得k2=,得k的值为±.21.(1)解:当a=0时,f(x)=e x(sin x-e),则f′(x)=e x(sin x-e)+e x cos x=e x(sin x-e+cos x), 因为sin x+cos x=sin(x+)≤<e,所以sin x+cos x-e<0,故f′(x)<0,则f(x)在R上单调递减.(2)证明:当x≥0时,y=e x≥1,要证明对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.则只需要证明对任意的x∈[0,+∞),sin x-ax2+2a-e<0. 设g(a)=sin x-ax2+2a-e=(-x2+2)a+sin x-e,看作以a为变量的一次函数,要使sin x-ax2+2a-e<0,则即因为sin x+1-e<0恒成立,所以①恒成立,对于②,令h(x)=sin x-x2+2-e,则h′(x)=cos x-2x,设x=t时,h′(x)=0,即cos t-2t=0.所以t=<,sin t<sin =,所以在(0,t)上,h′(x)>0,h(x)单调递增,在(t,+∞)上,h′(x)<0,h(x)单调递减,则当x=t时,函数h(x)取得最大值h(t)=sin t-t2+2-e=sin t-()2+2-e=sin t-+2-e=sin2t+sin t+-e=(+1)2+-e<()2+-e=-e<0,故②式成立,综上对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.22.解:(1)因为C1的极坐标方程是ρ=,所以4ρcos θ+3ρsin θ=24,整理得4x+3y-24=0,所以C1的直角坐标方程为4x+3y-24=0.曲线C2:所以x2+y2=1,故C2的普通方程为x2+y2=1.(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3的方程为+=1, 则曲线C3的参数方程为(α为参数).设N(2cos α,2sin α),则点N到曲线C1的距离为d===(tan φ=)当sin (α+φ)=1时,d有最小值,所以|MN|的最小值为.23.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,故f(x)=当x>1时,由2x+1≤5,得x≤2,故1<x≤2;当-2≤x≤1时,由3≤5,得-2≤x≤1,当x<-2时,由-2x-1≤5,得x≥-3,故-3≤x<-2,综上,不等式f(x)≤5的解集为[-3,2].(2)f(x)=|x-a|+x+≥(x-a)-(x+)=a+,所以g(a)=a+,因为a+=|a|+≥2=2,当且仅当|a|=,即a=±时,取“=”,所以g(a)min=g(±)=2.仿真冲刺卷(四)1.B 因为集合A={-3,-1,0,1,2},B={-2,-1,0,1},所以A∩B={-1,0,1},故选B.2.C 因为z=(i+1)i=-1+i,所以复数z=(i+1)i在复平面内所对应的点为(-1,1),显然在直线y=-x上,故选C.3.D 命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0”;命题“若cos x=cos y,则x=y”为假命题,因此其逆否命题为假命题;命题“∃x∈R,使得2x2-1<0”的否定是“∀x∈R,均有2x2-1≥0”;“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,为真命题.综上选D.4.D 因为抛物线x=上一点P到焦点F的距离为3,即P到准线x=-1的距离为3,所以点P到直线x=-2的距离为4,故选D.5.B 因为-=·,所以c2-a2=bccos A,所以c2-a2=bc·,化简可得:c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.故选B.6.C 圆柱的底面直径为2,高h1为2,圆锥的底面直径为2,高h2为1, 该几何体的体积V=V圆柱-2V圆锥=πr2h1-πr2h2=,故选C.7.A 因为f(x)=ln x-2x+3,所以f′(x)=-2,所以切线斜率k=f′(1)=-1,且f(1)=1,所以曲线f(x)=ln x-2x+3在点(1,1)处的切线方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选A.8.A 作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,0),B(2,1),C(0,1).设z=F(x,y)=x-y,将直线l:z=x-y进行平移,可得当l经过点C时,z取到最小值;l经过点A时,z取到最大值,所以z最小值=F(0,1)=-1,z最大值=F(2,0)=2.所以z=x-y的取值范围是[-1,2].故选A.9.C 初始值k=9,S=1,是,第一次循环:S=,k=8,是,第二次循环:S=,k=7,是,第三次循环:S=,k=6,是,第四次循环:S=,k=5,否,输出k=5.故选C.10.D =π⇒ω==1,f(x+)=f(-x),则x=为对称轴,所以Asin(+φ)取最值,所以+φ=+kπ,φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=.因此f(-x)=Acos x为偶函数且在x=0处取得最大值.故选D.11.A 连接AC,并取其中点为O,连接OM,ON,则OM∥BC,ON∥PA,所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角.由MN=BC=4,PA=4,得OM=2,ON=2,MN=4,cos∠ONM===,所以∠ONM=30°,即异面直线PA与MN成30°的角.故选A.12.B 因为函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,所以y=f(x)的图象关于y轴对称,所以函数y=xf(x)为奇函数.因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),所以当x∈(-∞,0)时,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0,函数y=xf(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,函数y=xf(x)单调递减.因为1<20.2<2,0<ln 2<1,=2,所以0<ln 2<20.2<,所以b>a>c,故选B.13.解析:因为a=(3,3),b=(-2,m),所以a-b=(5,3-m),所以a·(a-b)=15+3(3-m)=21,解得m=1.答案:114.解析:完成给图中A、B、C、D四个区域进行染色,最少需要2种颜色,若使用两种颜色,则B,C,D三个区域同色,共有=12种不同染色方法;若使用三种颜色,则B,C,D有两个区域同色,共有=72种不同染色方法;若使用四种颜色,共有=24种不同染色方法;共有12+72+24=108(种)不同的染色方法.答案:10815.解析:a=sin xdx=-cos x=2,所以二项式的展开式的通项公式为T k+1==(-1)k·26-k·x3-k,由3-k=0时,k=3,所以常数项为T4=(-1)3·23=-160.答案:-16016.解析:对于①,因为f(-x)=-x·sin (-x)=xsin x=f(x),所以函数为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称,故①正确;对于②,因为当x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)=x,随着x的增大函数值也在增大,所以不会是周期函数,故②错;对于③,取M=1,当x 0=时,f()=≥1;故③正确;对于④,因为f′(x)=sin x+xcos x,当x=2kπ+(k∈Z)时,f′(2kπ+)=1(k∈Z),f(2kπ+)=2kπ+(k∈Z),所以切线方程为y-2kπ-=x-2kπ-(k∈Z),即切线方程为y=x,所以函数f(x)的图象上至少存在三个点,使得该函数在这些点处的切线重合,故④正确.答案:①③④17.解:(1)由a3+a9=22,且a5,a8,a13成等比数列,得解得所以a n=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.(2)b n====1+=1+(-),所以S n=1+(1-)+1+(-)+…+1+(-)=n+(1-)=n+.18.(1)证明:由题意知在等腰梯形ABCD中,AB∥CD, 因为E,F分别为AB,CD的中点,所以EF⊥AB,EF⊥CD,所以折叠后,EF⊥DF,EF⊥CF,因为DF∩CF=F,所以EF⊥平面DCF,又MC⊂平面DCF,所以EF⊥MC.(2)解:因为平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,且EF⊥DF,所以DF⊥平面BEFC,所以DF⊥CF,所以DF,CF,EF两两垂直,以F为坐标原点,分别以FD,FC,FE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,因为DM=1,所以FM=1,所以M(1,0,0),D(2,0,0),A(1,0,2),B(0,1,2),所以=(0,0,2),=(-1,1,0),=(-1,0,2),设平面MAB的法向量m=(x1,y1,z1),则取x1=1,得m=(1,1,0),设平面ABD的法向量n=(x2,y2,z2),则取z2=1,得n=(2,2,1),所以cos<m,n>===.所以二面角M AB D的余弦值为.19.解:(1)根据列联表可以求得K2的观测值:k==≈11.43>6.635,故有99%的把握认为满意程度与年龄有关.(2)据题意,该8名员工的贡献积分及按甲、乙两种方案所获补贴情况为:积分 2 3 6 7 7 11 12 12 方案甲 2 400 3 100 5 200 5 900 5 900 8 700 9 400 9 400方案乙 3 000 3 000 5 600 5 600 5 600 9 000 9 000 9 000 由表可知,“A类员工”有5名,设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,恰好抽到3名“A类员工”的概率为P,则P==.20.解:(1)因为椭圆长轴长为2,所以2a=2.所以a=.又因为椭圆过点(-,1),代入椭圆方程,得+=1.所以b2=.所以椭圆方程为+=1,即x2+3y2=5.(2)因为直线l过点C(-1,0)且斜率为k,所以直线方程为y=k(x+1).由得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.因为直线与椭圆相交,所以Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0,即12k2+5>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).因为线段AB中点的横坐标是-,则x1+x2=2×(-)=-1.即x1+x2==-1,解得k=±.21.解:(1)f′(x)=x-=,其中x∈[1,e],①当a≤1时,f′(x)≥0恒成立,f(x)单调递增,又因为f(1)=0,所以函数f(x)在区间[1,e]上有唯一的零点,符合题意.②当a≥e2时,f′(x)≤0恒成立,f(x)单调递减,又因为f(1)=0,所以函数f(x)在区间[1,e]上有唯一的零点,符合题意.③当1<a<e2时,f(x)在[1,]上单调递减,在[,e]上单调递增, 又f(1)=0,所以使f(x)在[1,e]有唯一零点,则f(e)<0,所以a>,所以<a<e2.综上所述,a的取值范围是{a a≤1或a>}.(2)在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<--x0-成立,等价于x0+-aln x 0+<0在[1,e]上有解,即函数g(x)=x+-aln x+在[1,e]上的最小值小于零.g′(x)=1---==,①当a+1≥e时,即a≥e-1时,g(x)在[1,e]上单调递减,所以g(x)的最小值为g(e),由g(e)=e+-a<0可得a>,因为>e-1,所以a>;②当a+1≤1时,即a≤0时,g(x)在[1,e]上单调递增,所以g(x)的最小值为g(1),由g(1)=1+1+a<0可得a<-2;③当1<a+1<e时,即0<a<e-1时,g(x)在[1,a+1]上单调递减,在[a+1,e]上单调递增,可得g(x)的最小值为g(a+1),因为0<ln(a+1)<1,所以0<aln(a+1)<a,g(a+1)=a+1+-aln(a+1)+=a+2-aln(a+1)>2, 所以g(1+a)<0不成立.综上所述:可得所求a的取值范围是(-∞,-2)∪(,+∞).22.解:(1)由题意得点M的直角坐标为(2,2),曲线C的一般方程为(x-1)2+y2=4,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,因为直线l过M且与曲线C相切,所以=2,即3k2+4k=0,解得k=0或k=-,所以直线l的极坐标方程为ρsin θ=2或4ρcos θ+3ρsin θ-14=0.(2)因为点N与点M关于y轴对称,所以点N的直角坐标为(-2,2),则点N到圆心C的距离为=,所以曲线C上的点P到点N的距离的最小值为-2,最大值为+2, 曲线C上的点P到点N的距离的取值范围为[-2,+2].23.解:(1)f(x)=|x+2|-|2x-1|=故f(x)>-5的解集为(-2,8).(2)由|b+2a|-|2b-a|≥|a|(|x+1|+|x-m|)(a≠0)能成立,即≥|x+1|+|x-m|能成立,令=t,则|t+2|-|2t-1|≥|x+1|+|x-m|能成立,由(1)知,|t+2|-|2t-1|≤,又因为|x+1|+|x-m|≥|1+m|,所以|1+m|≤,解得-≤m≤,即实数m的取值范围是[-,].仿真冲刺卷(五)1.C 图中的阴影部分是M∩P的子集,不包含集合S,包含集合S的补集,即是∁U S的子集,则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁U S.故选C.2.B z====-i,则|z|=1.故选B.3.C 1>-2不能推出1>|-2|,反过来,若x>|y|,则x>y成立,故为必要不充分条件.故选C.4.B 法一依题意知,点P在双曲线的左支上,根据双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=2×3=6,所以|PF2|=6+3=9,故选B.法二根据双曲线的定义,得||PF2|-|PF1||=2×3=6,所以||PF2|-3|=6,所以|PF2|=9或|PF2|=-3(舍去),故选B.5.B y=sin(4x-)=sin[4(x-)],故要将函数y=sin 4x的图象向右平移个单位长度.故选B.6.C a-b=(1-m,3),又(a-b)⊥c,所以(a-b)·c=4(1-m)+3m=0,m=4.故选C.7.C由题意,几何体的直观图如图,是正方体的一部分四棱锥P ABCD,几何体的表面积为1×1+2××1×1+2××1×=2+.故选C.8.A 令F(x)=,因为f(x)为奇函数,所以F(x)为偶函数,由于F′(x)=,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,所以F(x)=在(0,+∞)上单调递减,根据对称性,F(x)=在(-∞,0)上单调递增,又f(-1)=0, f(1)=0,数形结合可知,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).故选A.9.A 因为f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+)且函数的最小正周期为π,所以T==π,所以ω=2,即函数f(x)=sin(2x+φ+),又f(-x)=f(x),所以函数为偶函数,所以φ+=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,。

高三高考冲刺第二次考试数学(理)试题Word版含答案

理科数学答案B CCDA BADBC BA10.C 【解析】相当于将砝码分成了十一个小组，第i组有i个i克砝码。

若从i组中不取砝码相当于1，若从i组中取一个砝码有i种取法，相当于i ix。

所以选C11．B 12．A【解析】由题意可知32)]()([+='+xexfxf x，即32])([+='xexf x，所以Cxxexf x++=3)(2，xexxxff-++=∴=)13()(,1)0(2，由)(xf的图像可以知道13. 1±14. 33112016201711220162017201720182018=⋅⋅=⋅⋅=abbbaaaaaaaa15. 2416.734；因为)(xf是奇函数，所以四边形的对角线交于坐标原点，ABCD的面积为三角形OAB的四倍，17.（【解析】（1）当111,13;2,215n n nn S n n Z a S S n-==-≥∈=-=-且…………4分所以=215na n-……………………….6分（2）7817,7,,n nn a a n a a+=≠当时，异号；同号201267782021122021781211111=112111()22682351Ta a a a a a a aa a a a a a a a++-++=++-=-+=18.【解析】（Ⅰ）证明：，，，.，为中点底面平面⊥PAB 面ABCD ……………6分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系xyz O -，则)3,0,0(P ，)0,3,1(-D ，)0,2,1(C ∴(0,0,3),(1,3,0),(1,2,3),(2,1,0)OP OD CP CD ==-=--=-设平面OPD 的一个法向量为),,(111z y x m =，平面PCD 的法向量为),,(222z y x =则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0m OD m OP 可得⎩⎨⎧=+-=0303111y x z ，取11=y ，得31=x ，，即，由可得，取，得，，即故二面角的余弦值为.……………12分19. 【解析】：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=---------1分 31==73070⨯频率组距， ----2分设在区间[0，30）上，a =频率组距，则130)21011051701(=⨯+++a ，解得2101=a ，-----3分补充频率分布直方图如右图；分（Ⅱ）记水电站日利润为Y 元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为71，恰好运行一台发电机的概率为73，恰好运行二台发电机的概率为72，恰好运行三台发电机的概率为71， ①若安装1台发电机，则Y 的值为-500，4000，其分布列为E (Y )＝72350076400071500=⨯+⨯-；----------8分②若安装2台发电机，则Y 的值为-1000，3500，8000，其分布列为E (Y )＝3335001000350080007777-⨯+⨯+⨯=；---------10分 ③若安装3台发电机，则Y 的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为E (Y )＝7345007112000775007300071500=⨯+⨯+⨯+⨯-；∵345003350023500777>> ∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．--------------12分 20. 【解析】：（1）由12BF F ∆为等腰直角三角形可得b c =，直线1:BF y xb =+被圆222x y b +=所截得的弦长为2，所以2,a b c ===，所以椭圆的方程为22142x y +=……………4分（2）若直线l 的斜率不存在，则132S == 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212122242(2),1212km m x x x x k k -+=-⋅=++，121222()212my y k x x m k +=++=+由题意点O 为PAC ∆重心，设00(,)P x y ，则1201200,033x x x y y y ++++==，所以0120122242(),()1212km mx x x y y y k k =-+==-+=-++，代入椭圆22142x y +=得 22222222242121(12)(12)2k m m k m k k ++=⇒=++， …………………………………8分设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC ∆的面积1212133222S AC d x x x mm m =⋅=-⋅=-⋅====综上可得PAC ∆面积S……………………………………………12分 21. 【解析】（Ⅰ）解：易知ln (ln )|e ||ln ln |0a f a a a a a =---=，即ln a 为函数()f x 的一个零点；………………………（2分）当ln x a ≥时，有e 0x a -≥，则()e (ln )x f x a a x a =---，从而()e 0x f x a '=-≥，在[ln )a +∞，上恒成立，当ln x a <时，有e 0x a -<，则()e (ln )x f x a a x a =-+-，从而()e 0x f x a '=->在(ln )a -∞，上恒成立．综上，函数()f x 在R 上单调递增，有唯一零点ln a ． ………………………（5分）（Ⅱ）证明：记12()()()h x f x f x =-，则12()()()h x f x f x '''=-，当21ln ln x a a >≥时，1221()(e )(e )0x x h x a a a a '=---=->恒成立；当12ln ln a x a <<时，12()(e )(e )x x h x a a '=-+-，令()0h x '≥得12ln2a a x +≥；当12ln ln x a a <≤时，1212()(e )(e )0x x h x a a a a '=---=-<恒成立；可知函数()h x 在区间12ln 2a a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间12ln 2a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，则函数()h x 的最小值为121212121211112222ln ln ln ln ln 22222a a a a a a a a a a h a a a a a a a a +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12112212ln ln ()ln2a a a a a a a a +=+-+，………（8分）从而只需证：1211221221ln ln ()ln()ln 22a a a a a a a a a a ++-+<-112212121ln ln ()ln()2ln 20a a a a a a a a a ⇔+-+++<，记2112212121()ln ln ()ln()2ln 2g a a a a a a a a a a =+-+++，则21a a >2212212()1ln (1ln())ln ln()0g a a a a a a a '=+-++=-+<恒成立，从而函数2()g a 在区间1()a +∞，上单调递减，则21()()g a g a <111111111ln ln ()ln()2ln 2a a a a a a a a a =+-+++111112ln 2ln 22ln 20a a a a a =-+=．综上：存在x ∈R ，使得1221()()()ln 2f x f x a a -<-． ………………………（12分） 22.解：（1）1C 的普通方程为4)2(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 4=，2C 的极坐标方程为2sin ρθ=…………………………………………………………………………4分（2）联立(0)θαρ=≥与1C 的极坐标方程得α22cos 16||=OAα222cos 124||||+=+OB OA ，∴)16,4(||||22∈+OB OA ………………………………………………………………………………….10分23.解析：（1）不等式()1f x x ≤+可化为2110x x x -+---≤设函数211y x x x =-+---，则23,1,124, 2.x x y x x x x -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤.令0y ≤，解得243x ≤≤……………………….5分（2）()121(2)1f x x x x x =-+----=≥ 当且仅当(1)(2)0x x --≤即12x ≤≤时取等，故1k =. 假设存在符合条件的整数,a b ，则21a b +=12(2)(2)a b a b a b +=++44b aa b=++48+=≥ 当且仅当4b a a b =即11,42a b ==时取等号，所以12a b +的最小值为8. 所以，不存在正数,a b ,同时满足：122,4a b k a b+=+=……………10分第11页共11页。

高考数学(理科)二轮复习模拟试卷及答案

(1)当 a＝ 1， b＝－ 1 时，求使 f(x)≥ 2 2的 x 的取值范围； (2)若 f (x)≥ 312恒成立，求 a－ b 的取值范围．
答案及解析
1．解析：选 B.由题意得 A
＝
y
log
1 22
≤
y≤
log
24
＝ { y|－ 1≤ y≤ 2} ＝ [－ 1， 2]，又
B＝ { x|
x≤2} ＝ [0，4] ，
所以 cos α＝
2 22 ＋（
＝ 2 ＝ 6， 2） 2 6 3
所以 cos 2α＝ 2cos2 α－1
2
＝ 2×
6 3
－
1＝
1 3.
故选 D.
4．解析：选 A. 满足题意时，椭圆上的点 P(acos θ，bsin θ)到圆心 O(0， 0)的距离：
d2＝ (acos θ－0) 2＋ (bsin θ － 0)2＞ r 2＝ a2－ b2，
D.
13 π＋ 4
22
1
8．函数 f(x)＝ x＋ x ln |x|图象的大致形状为 (
)
9．已知一次函数 f(x)＝kx＋ b 的图象经过点 P(1，2)和 Q(－ 2，－ 4)，令 an＝ f(n)f(n＋ 1)，
n∈ N *，记数列
1 an 的前
n 项和为
Sn，当 Sn＝ 265时， n 的值等于 (
故 B 正确； C 显然错误；
对于
D ，周期
T＝2π＝ π，g
3π ＝－
2，
2
8
2
故图象不关于点 38π， 0 对称．
7．解析：选 A. 由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：

2020届高考冲刺高考仿真模拟卷(七) 数学(理)(解析版)

2020高考仿真模拟卷(七)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·湖北荆门四校六月考前模拟)已知集合M ＝{x |x 2<1|，N ＝{y |y ＝log 2x ，x >2}，则下列结论正确的是( )A ．M ∩N ＝NB ．M ∩(∁R N )＝∅C ．M ∩N ＝UD ．M ⊆(∁R N )答案 D解析由题意得M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{y |y >1}，因为M ∩N ＝∅≠N ，所以A 错误；因为∁R N ＝{y |y ≤1}，M ∩(∁R N )＝{x |－1<x <1}≠∅，所以B 错误；因为M ∩N ＝∅≠U ，所以C 错误；因为M ＝{x |－1<x <1}，∁R N ＝{y |y ≤1}，M ⊆(∁R N )，所以D 正确．故选D.2．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝( )A ．8－6iB ．8＋6iC ．－8＋6iD ．－8－6i答案 B解析 z 1z 2＝6－8i －i＝(6－8i)i ＝8＋6i.3．(2019·四川宜宾第三次诊断)设a ，b 是空间两条直线，则“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由a ，b 是异面直线⇒a ，b 不平行．反之，若直线a ，b 不平行，也可能相交，所以“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件．故选B.4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则下列不等式恒成立的是( )A ．x ≥1B ．y ≤1C ．x －y ＋2≥0D ．x －3y －6≤0答案 C解析作出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知A (3，－1)，B (0,2)，C (0，－3)．这样易判断x ≥1，y ≤1都不恒成立，可排除A ，B ；又直线x －3y －6＝0过点(0，－2)，这样x －3y －6≤0不恒成立，可排除D.故选C.5．在△ABC 中，CA ⊥CB ，CA ＝CB ＝1，D 为AB 的中点，将向量CD →绕点C 按逆时针方向旋转90°得向量CM→，则向量CM →在向量CA →方向上的投影为( )A ．－1B ．1C ．－12 D ．12答案 C解析如图，以CA ，CB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则CA→＝(1,0)，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，且CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，所以向量CM →在向量CA →方向上的投影为CA →·CM →|CA →|＝－12＋01＝－12.6．(2019·湖南长郡中学考前冲刺)从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标值，其频率分布表如下：A ．140B ．142C ．143D ．144答案 D解析 x －＝20×0.1＋40×0.6＋60×0.3＝44，所以方差为110×[(20－44)2×1＋(40－44)2×6＋(60－44)2×3]＝144.7．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( ) A ．32 B ．24 C ．12 D ．6答案 B解析因为(2x －1)4＝[1＋2(x －1)]4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，所以a 2＝C 24·22＝24. 8．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出，则最后输出的结果等于( )A ．a N ＋1B ．a N ＋2C ．a N ＋1－1D ．a N ＋2－1答案 D解析第一次循环：i ＝1，a 3＝2，s ＝s 3＝4；第二次循环：i ＝2，a 4＝3，s ＝s 4＝7；第三次循环：i ＝3，a 5＝5，s ＝s 5＝12；第四次循环：i ＝4，a 6＝8，s ＝s 6＝20；第五次循环：i ＝5，a 7＝13，s ＝s 7＝33；…；第N －1次循环：此时i ＋2＝N ＋1>N ，退出循环，故输出s ＝s N ，归纳可得s N ＝a N ＋2－1.故选D.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的周期为πB ．函数y ＝f (x －π)为奇函数C ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6上单调递增D ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称答案 C解析观察图象可得，函数的最小值为－2，所以A ＝2，又由图象可知函数过点(0，3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2，即⎩⎨⎧3＝2sin φ，－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω×5π4＋φ，结合12×2πω<5π4<34×2πω和0<φ<π.可得ω＝1415，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415x ＋π3，显然A 错误；对于B ，f (x －π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1415(x －π)＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415x －3π5，不是奇函数；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415×3π4＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＋π3≠0，故D 错误，由此可知选C.10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．53C ．4D ．83答案 D解析如图，该几何体可由棱长为2的正方体截得，其直观图如图所示，则该几何体的体积V ＝V ABE －DCF －V F －ADC ＝12×2×2×2－13×12×2×2×2＝83.11. 如图，已知直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若|AM |＝2|BN |，则k 的值是( )A ．13B ．23C ．223D ．2 2答案 C解析设抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l 1：x ＝－1. 直线y ＝k (x ＋1)(k >0)恒过点P (－1，0)，过点A ，B 分别作AM ⊥l 1于点M ，BN ⊥l 1于点N ，由|AM |＝2|BN |，所以点B 为|AP |的中点．连接OB ，则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为12，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)，解得k ＝223.12．已知函数f (x )＝－8cos π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，则函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和为( )A ．6B ．7C ．9D ．12答案 A解析设函数h (x )＝，则h (x )＝＝的图象关于x ＝32对称，设函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，由π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝k π，k ∈Z ，可得x ＝12－k ，k ∈Z ，令k ＝－1 可得x＝32，所以函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，也关于x ＝32对称，由图可知函数h (x )＝＝的图象与函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 的图象有4个交点，所以函数f (x )＝－8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 在x ∈(0，＋∞)上的所有零点个数为4，所以函数f (x )＝－8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和为4×32＝6.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC 中，若4cos 2A 2－cos2(B ＋C )＝72，则角A ＝________. 答案 π3解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，即B ＋C ＝π－A ， ∴4cos 2A2－cos2(B ＋C )＝2(1＋cos A )－cos2A ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72， ∴2cos 2A －2cos A ＋12＝0，∴cos A ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3.14．欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为b ＝⎠⎛0π2sin x d x cm 的圆面，中间有边长为a ＝4π⎠⎛011－x 2d x cm 的正方形孔，油滴是直径0.2 cm 的球，随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体正好落入孔中的概率是________．答案 425π解析因为直径为b ＝⎠⎛0π2sin x d x ＝(－2cos x )| π0＝4 cm 的圆中有边长为a ＝4π⎠⎛011－x 2d x ＝4π×π4＝1 cm 的正方形，由几何概型的概率公式，得“正好落入孔中”的概率为P ＝S 正方形S 圆＝(1－0.2)2π×22＝425π. 15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝16，则双曲线C 的离心率为________．答案 52解析因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为16，所以2a ＝16，a ＝8，设F (－c,0)，双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝ba x ，可得|MF |＝bc a 2＋b2＝b ，即有|OM |＝c 2－b 2＝a ，由S △OMF ＝16，可得12ab ＝16，所以b ＝4. 又c ＝a 2＋b 2＝64＋16＝45，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的离心率为c a ＝52.16．(2019·贵州凯里一中模拟)已知函数f (x )＝e x 在点P (x 1，f (x 1))处的切线为l 1，g (x )＝ln x 在点Q (x 2，g (x 2))处的切线为l 2，且l 1与l 2的斜率之积为1，则|PQ |的最小值为________．答案2解析对f (x )，g (x )分别求导，得到f ′(x )＝e x，g ′(x )＝1x ，所以kl 1＝e x 1，kl 2＝1x 2，则e x 1 ·1x2＝1，即e x 1 ＝x 2，x 1＝ln x 2，又因为P (x 1，e x 1 )，Q (x 2，ln x 2)，所以由两点间距离公式可得|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(e x 1 －ln x 2)2＝2(x 2－ln x 2)2，设h (x )＝x －ln x (x >0)，则h ′(x )＝1－1x ，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以x ＝1时，h (x )取极小值，也是最小值，最小值为h (1)＝1，所以|PQ |2的最小值为2，即|PQ |的最小值为 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若3S 3＝2S 2＋S 4，且a 5＝32. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由3S 3＝2S 2＋S 4，可得2S 3－2S 2＝S 4－S 3. 所以公比q ＝2，又a 5＝32，故a n ＝2n .4分(2)因为b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，6分所以T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋29分＝12⎝⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12n ＋2－12n ＋4.12分18．(2019·安徽马鞍山一模)(本小题满分12分)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，A 1B ⊥AC 1，AC ＝AA 1＝4，BC ＝2.(1)求证：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；(2)若∠A 1AC ＝60°，在线段AC 上是否存在一点P ，使二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34？若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．解 (1)证明：∵AC ＝AA 1，∴四边形AA 1C 1C 为菱形，连接A 1C ，则A 1C ⊥AC 1，又A 1B ⊥AC 1，且A 1C ∩A 1B ＝A 1，∴AC 1⊥平面A 1CB ，2分则AC 1⊥BC ，又∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面A 1ACC 1，而BC ⊂平面ABC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC .4分(2)以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AC ＝AA 1＝4，BC ＝2，∠A 1AC ＝60°，∴C (0,0,0)，B (0,2,0)，A (4，0,0)，A 1(2,0,23)．设线段AC 上存在一点P ，满足AP →＝λAC →(0≤λ≤1)，使得二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34，则AP →＝(－4λ，0,0)，BP →＝BA →＋AP →＝(4，－2,0)＋(－4λ，0,0)＝(4－4λ，－2,0)，A 1P →＝A 1A →＋AP →＝(2,0，－23)＋(－4λ，0,0)＝(2－4λ，0，－23)，CA 1→＝(2,0,23)，6分设平面BA 1P 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎨⎧m ·BP →＝(4－4λ)x 1－2y 1＝0，m ·A 1P →＝(2－4λ)x 1－23z 1＝0，取x 1＝1，得m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，2－2λ，1－2λ3，8分又平面A 1PC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，由|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n | ＝|2－2λ|1＋(2－2λ)2＋(1－2λ)23×1＝34，解得λ＝43或λ＝34，因为0≤λ≤1，所以λ＝34. 故在线段AC 上存在一点P ，满足AP→＝34AC →，使二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34.12分19．(2019·山东威海二模)(本小题满分12分)某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表：甲市场n 吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X (单位：吨)表示下个销售周期两市场的需求量，T (单位：元)表示下个销售周期两市场的销售总利润．(1)当n ＝19时，求T 与X 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (2)以销售利润的期望为决策依据，判断n ＝17与n ＝18应选用哪—个．解 (1)由题意可知，当X ≥19时，T ＝500×19＝9500；当X <19时，T ＝500×X －(19－X )×100＝600X －1900，所以T 与X 的函数解析式为T ＝⎩⎪⎨⎪⎧9500，X ≥19，600X －1900，X <19.3分由题意可知，一个销售周期内甲市场的需求量为8,9,10的概率分别为0.3,0.4,0.3；乙市场的需求量为8,9,10的概率分别为0.2,0.5,0.3.设销售的利润不少于8900元的事件记为A ，当X ≥19时，T ＝500×19＝9500>8900，当X <19时，600X －1900≥8900，解得X ≥18，所以P (A )＝P (X ≥18)．由题意可知，P (X ＝16)＝0.3×0.2＝0.06； P (X ＝17)＝0.3×0.5＋0.4×0.2＝0.23；所以P (A )＝P (X ≥18)＝1－0.06－0.23＝0.71. 所以销售利润不少于8900元的概率为0.71.6分 (2)由题意得P (X ＝16)＝0.06， P (X ＝17)＝0.23，P (X ＝18)＝0.4×0.5＋0.3×0.3＋0.3×0.2＝0.35， P (X ＝19)＝0.4×0.3＋0.3×0.5＝0.27， P (X ＝20)＝0.3×0.3＝0.09.8分①当n ＝17时，E (T )＝(500×16－1×100)×0.06＋500×17×0.94＝8464；10分 ②当n ＝18时，E (T )＝(500×16－2×100)×0.06＋(500×17－1×100)×0.23＋18×500×0.71＝8790.因为8464<8790，所以应选n ＝18.12分20．(2019·山东聊城二模)(本小题满分12分)已知以椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (km ≠0)与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，试判断k 1＋2k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a 2＝4，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，B (x 2，y 2)(x 2y 2≠0)，则C (－x 1，－y 1)，k AO ＝y 1x 1，因为k AO ·k ＝1，所以k ＝x 1y 1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋2k2，6分所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12k ＝－y 12x 1，因为直线BC 的方程为y ＋y 1＝－y 12x 1(x ＋x 1)，令y ＝0，由y 1≠0，得x ＝－3x 1，9分所以M (－3x 1,0)，k 2＝y 1x 1＋3x 1＝y 14x 1，所以k 1＋2k 2＝－y 12x 1＋2×y 14x 1＝0.所以k 1＋2k 2为定值0.12分21．(2019·辽宁沈阳一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －1)2＋m ln x ，m ∈R . (1)当m ＝2时，求函数f (x )的图象在点(1,0)处的切线方程； (2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求f (x 2)x 1的取值范围．解 (1)当m ＝2时，f (x )＝(x －1)2＋2ln x ，其导数f ′(x )＝2(x －1)＋2x ，所以f ′(1)＝2，即切线斜率为2，又切点为(1,0)，所以切线的方程为2x －y －2＝0.4分 (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x －1)＋m x ＝2x 2－2x ＋mx，因为x 1，x 2为函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程2x 2－2x ＋m ＝0的两个不等实根，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝m2，(*)又已知x 1<x 2，所以0<x 1<12<x 2<1，f (x 2)x 1＝(x 2－1)2＋m ln x 2x 1，将(*)式代入得f (x 2)x 1＝(x 2－1)2＋2x 2(1－x 2)ln x 21－x 2＝1－x 2＋2x 2ln x 2，8分令g (t )＝1－t ＋2t ln t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g ′(t )＝2ln t ＋1，令g ′(t )＝0，解得t ＝1e，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1e 时，g ′(t )<0，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1e 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，g ′(t )>0，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递增；所以g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－2e＝1－2e e ，因为g (t )<max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，g (1)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－ln 2<0＝g (1)，所以g (t )<0. 所以f (x 2)x 1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－2e e ，0.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点M (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |. 解 (1)对于曲线C ：ρ＝4cos θsin 2θ，可化为ρsin θ＝4ρcos θρsin θ.把互化公式代入，得y ＝4xy ，即y 2＝4x ，为抛物线．(可验证原点也在曲线上)5分(2)根据已知条件可知直线l 经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为x ＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＋y ＝1，消去x 并整理得y 2＋4y －4＝0，7分令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4. 所以|AB |＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋1×(－4)2－4×(－4)＝8.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围．解 (1)由f (x )－f (x ＋1)≤1可得 |2x －1|－|2x ＋1|≤1.所以⎩⎨⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎨⎧－12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎨⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，2分于是x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14.4分所以原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.5分(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋2x ＋1|＝2，8分当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m的取值范围是(2，＋∞).10分。

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。

2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题七及答案解析.docx

高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0} D．M∪N=N2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．1 C． D．23．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A．B．C．﹣D．﹣4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.165．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O 的表面积为（）A．πB．πC．πD．π9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6π B．8+6π C．4+12πD．8+12π11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A． B． C．λD．无法确定12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为______．14．已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=______．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F 关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为______．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序1 2 3 4 5 6 7号i数学成60 65 70 75 85 87 90绩x i物理成70 77 80 85 90 86 93绩y i（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 52619．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF ⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0} D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．1 C． D．2【考点】复数求模．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．【解答】解：z====，∴|z|=1，故选：B．3．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos（﹣θ）=sin[﹣（﹣θ）]=sin（）=，故选：A．4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，∴P（x＞4）=1﹣0.84=0.16∴P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，∴P（2＜x＜4）=P（x≤4）﹣P（x＜2）=0.84﹣0.16=0.68故选B．5．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而可得当a=﹣2，b=0时有最小值，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a=﹣2，b=0，即过点A时，z=2a﹣3b有最小值为﹣4，故选：A．6．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系值，即可求得n的最小值．【解答】解：（x2+）n（n∈N）展开式的通项公式为T r+1=••x2n﹣5r，令2n﹣5r=0，求得2n=5r，可得含有常数项的n的最小值是5，故选：C．7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O 的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用余弦定理求出BC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π，故选：D．9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是P∧（￢q），故选：C．10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6π B．8+6π C．4+12πD．8+12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V==6π+8，故选：B．11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A． B． C．λD．无法确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，双曲线的渐近线为y=±x，可得|MN|=，由勾股定理可得|ON|===，可得|ON|•|MN|=•==．故选：B．12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．∴g（x）在[﹣，]上共有6个零点，设这6个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，则x1，x2关于x=0对称，x3，x4关于x=1对称，x5，x6关于x=2对称．∴x1+x2=0，x+x4=2，x5+x6=4，∴x1+x2+x+x4+x5+x6=6．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+4 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣+3，则f′（1）=﹣2+3=1，即切线斜率k=1，∵f（1）=2+3=5，∴切点坐标为（1，5），则切线方程为y﹣5=x﹣1，即y=x+4，故答案为：y=x+414．已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．【解答】解：||=2，=||||cos=||，∵|﹣2|=2，∴（）2=，即4||2﹣4||+4=12，解得||=2．故答案为：2．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F 关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为+=1 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），可得=﹣2，且n=•，解得m=，n=，即对称点为（，）．代入椭圆方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c 的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵（2﹣cosA）tan=sinA，∴（2﹣cosA）=sinA，即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC，∴2b=a+c=4，∴b=2．∵a+c=4，∴a=4﹣c．∴S==∵（3﹣c）（c﹣1）≤=1，∴S≤．故答案为：．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵a n+1=2S n+3，∴当n≥2时，a n=2S n﹣1+3，∴a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，化为a n+1=3a n．∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．∴a n=3n．（II）b n=（2n﹣1）a n=（2n﹣1）•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2T n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴T n=（n﹣1）•3n+1+3．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序1 2 3 4 5 6 7号i数学成60 65 70 75 85 87 90绩x i物理成70 77 80 85 90 86 93绩y i（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 526【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（Ⅱ）（i）ξ的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得ξ的分布列和数学期望．（ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可．【解答】（Ⅰ）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，18名男同学中应抽取的人数为18=3名，故不同的样本的个数为．（Ⅱ）（ⅰ）解：∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，∴ξ的取值为0，1，2，3．∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3PEξ=0×+1×+2×+3×=．（ⅱ）解：∵b=0.65，a==83﹣0.65×75=33.60．∴线性回归方程为=0.65x+33.60当x=96时，=0.65×96+33.60=96．可预测该同学的物理成绩为96分．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．∵△BCD是等边三角形，∴OB⊥CD．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面CMD，∴OM⊥平面BCD．又∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB．∴O，M，A，B四点共面．∵OB∩OM=O，OB⊂平面OMAB，OM⊂平面OMAB，∴CD⊥平面OMAB．∵AM⊂平面OMAB，∴CD⊥AM．（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．∵△BCD是等边三角形，BC=2，∴，CD=2．在Rt△ANM中，．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴．∴AB=AN+NB=AN+OM=2．以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则M（0，0，1），，D（﹣1，0，0），．∴，，．设平面BDM的法向量为=（x，y，z），由n•，n•，∴，令y=1，得=．设直线AM与平面BDM所成角为θ，则==．∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，∴=，由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m﹣n|==，∵，|y0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（Ⅱ）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln （x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；（Ⅲ）令a=2，得到，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则．…1分令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．…2分∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1．…3分（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，则．①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x．∴．…4分∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0．∴（*）式成立．…5分②若a＜﹣2，令，则．∴函数φ（x）在区间[0，+∞）上单调递增．由于φ（0）=2+a＜0，．…6分故∃x0∈（0，﹣a），使得φ（x0）=0．…7分则当0＜x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减．∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．…8分综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．…9分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，g（x）=e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则，即．…10分∴．…11分∴，即．…12分．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF ⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接OC，AC，证明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可证明CF是圆O的切线；（Ⅱ）由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9，得，利用勾股定理求CF的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，AC，∵BC=CD，∴∠CAB=∠CAD．…1分∵AB是圆O的直径，∴OC=OA．∴∠CAB=∠ACO．…2分∴∠CAD=∠ACO．∴AE∥OC．…3分∵CF⊥AE，∴CF⊥OC．…4分∴CF是圆O的切线．…5分（Ⅱ）解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．∵∠CAB=∠CAD，∴点C为BE的中点．∴BC=CE=CD=4．…6分由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9．…7分得．…8分在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，则F为DE的中点．∴．…9分在Rt△CFD中，．…10分∴CF的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数）利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的直角坐标方程．由ρsin（θ+=，得，（II）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=0，解得m即可得出．【解答】解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，由，消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=（6m）2﹣4×4×（3m2﹣3）=0，解得m=±2．∴直线l'的方程为x+y=﹣2，即x+y+2=0．∴两条平行直线l与l'之间的距离为．∴点Q到直线l的距离的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．【考点】对数函数的图象与性质；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7；①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4；②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3；∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8；∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3；又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R；∴a+8≤3，即a≤﹣5；∴a的最大值为﹣5．2016年10月6日。

高优二轮仿真试卷数学理答案m

2 n. 综上所述b 2 n. n= 1 1 . n n+ 1
a 2 n1 , 因为a 即a = 1 2 . 1= n= q 2 因为S 故当n= n+ n, 1时 , b S1= 2 . n= 1= 2 2 ) 当nȡ 2 时, b S S n + n- ( n1 -( n-1) = n= nn1=
2 x2 y 故椭圆 C 的方程为 + = 1 . 4 3 ( ) 由题意, 直线 A 可设直线 A 2 B 的斜率存在, B 的方程为
{
8 k m 4 m21 2 ,1 ʑ x1+ x2= x2= 2x 2 . 3 + 4 k 3 + 4 k ȵ直线 MA 与 MB 斜率之积为
(
)
)
y y 1 1 ㊃ 2 = . ʑ x12 x22 4 ( ( ) ( ) ʑ 4 k x1+m ) k x2+m ) =( x12 x22 .
] ( ) 1 1 = 2(x - - (x + )l nx ) , x x 1 1 令 F( x) = 2(x- - (x+ )l nx ) , x x ( ( 2 1 + x) 1 x) l nx 1 , 则有 F '( x) = 2( ( nx ) = 1)l x x 1 1 , 当xɪ (0 在 (0 , ] 时, , ] 上单调递减, F '( x) < 0 F( x) e e 4 1 1 1 的最小值为 F ( F( x) = 2( e + + e) = , e e) e e
2 , a- a 0 1< , , 所以f 在( 单调递增; '( x) > 0 x) 0 +ɕ) f( ( ) , ( , 在( 单调递增; ②当1 ɤ aɤ 1时 , ' x ȡ 0 x 0 +ɕ) f f ) 2 , , 令 m( 得x1=①当a> 1时 , x) = 0 a+ a 0 x2= 1<

普通高等学校高三招生全国统一考试仿真卷(七)数学(理)含答案【精品】

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（七）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

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2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U UA B I 痧等于（）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,42．已知复数z 满足()34i 34i z +=-，z 为z 的共轭复数，则z =（） A ．1B ．2C ．3D ．43．如果数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（） A ．2,8xB ．252,8x +C ．252,258x +⨯D ．2,258x ⨯4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（） A ．9B ．10C ．11D ．125．已知0.41.9a =，0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（）姓名准考证号考场号座位号卷只装订不密封A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>6．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 区域中，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，在M ，N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA ，OB 为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（）A ．21-πB ．112-πC ．42-πD ．1π7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．23B ．1C ．43D ．838．已知函数()20172017log x f x =+)2120173x x x -++-+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,49．在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（）开始输入x结束是否输出s 2s s =1i =1i i =+A ．9i >B ．10i ≤C ．10i ≥D ．11i ≥10．已知关于x在区间[)0,2π上有两个根12,x x ，m 的取值范围是（） A ．()B ．(⎤⎦C ．⎡⎣D ．[)0,111．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()e 23x f x x f x '=++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f xk -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（）ABC D 12．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO+的最小值为（） A．B ．C ．D ．第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。

高考理科数学模拟试卷(含答案)

高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，请只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。

2023年高考仿真预测理科数学试卷及答案

2023年高考仿真预测理科数学试卷及答案面对高考数学题目，必须运算要快，力戒小题大做。

变形要稳，防止操之过急。

答案要全，避免对而不全。

解题要活，不要生搬硬套审题要细，不能粗心大意。

下面是小编为大家整理的2023年高考仿真理科数学试卷，希望对您有所帮助!2023年高考仿真理科数学试卷2023年高考仿真理科数学试卷答案2023高考数学解题技巧有哪些1、首先是精选题目，做到少而精。

只有解决质量高的、有代表性的题目才能达到事半功倍的效果。

然而绝大多数的同学还没有辨别、分析题目好坏的能力，这就需要在老师的指导下来选择复习的练习题，以了解高考题的形式、难度。

2、其次是分析题目。

解答任何一个数学题目之前，都要先进行分析。

相对于比较难的题目，分析更显得尤为重要。

我们知道，解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的桥梁，也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上，化归和消除这些差异。

当然在这个过程中也反映出对数学基础知识掌握的熟练程度、理解程度和数学方法的灵活应用能力。

例如，许多三角方面的题目都是把角、函数名、结构形式统一后就可以解决问题了，而选择怎样的三角公式也是成败的关键。

3、最后，题目总结。

解题不是目的，我们是通过解题来检验我们的学习效果，发现学习中的不足的，以便改进和提高。

因此，解题后的总结至关重要，这正是我们学习的大好机会。

2023高考数学答题窍门有哪些跳步答题高考数学解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。

这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。

如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向;如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。

由于高考数学考试时间的限制，“卡壳处”的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底，这就是跳步解答。

也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面，“事实上，某步可证明或演算如下”，以保持卷面的工整。

成才之路2025届高考冲刺数学模拟试题含解析

成才之路2025届高考冲刺数学模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（）A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 2．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．2y x =±D ．y =3．将函数f (x )=sin 3x 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论： ①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称；④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④4．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（）A ．37B ．13C D5．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（） A ．2 B ．0C ．2-D ．2±7．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．109．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<10．已知直线l 320x y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB 与OMN 的面积相等，给出下列直线1l ：①3230x y +-=，②320x y +-=，③320x y -+=，④3230x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（） A ．①②B ．①④C ．②③D ．①②④11．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（）.A ．B ．C ．D ．12．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种 A ．240B ．320C ．180D ．120二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考理科数学二轮复习仿真冲刺卷(七)

输入分数查询排名本卷你是第名一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若z=,则|z|等于( )(A)(B)1 (C)5 (D)252.已知集合A={0,1},B={0,1,2},则满足A∪C=B的集合C的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.已知x,y的取值如下表所示:x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7从散点图分析y与x呈线性关系,且=0.95x+a,则a等于( )(A)2.2 (B)3.36 (C)2.6 (D)1.954.若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )(A)11 (B)9 (C)5 (D)35.已知平面向量a=(1,2),b=(m,-1),c=(4,m),且(a-b)⊥c,则m等于( )(A)3 (B)-3 (C)4 (D)-46.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则等于( )(A)2 (B)(C)(D)37.函数y=(x≠0)的部分图象大致是( )8.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 524石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )(A)1 365石(B)338石(C)168石(D)134石9.如图为某一函数的求值程序框图,根据框图,如果输出的y的值为3,那么应输入x等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)610.直三棱柱ABC A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )(A)(B)(C) (D)11.设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2| 为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为( )(A)-1 (B)(C)(D)+112.已知实数a>0,函数f(x)=若关于x的方程f[-f(x)]=e-a+有三个不等的实根,则实数a的取值范围是( )(A)(1,2+) (B)(2,2+) (C)(1,1+) (D)(2,2+)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标为.14.已知变量x,y满足约束条件则z=x-2y的取值范围是.15.已知三棱锥P ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O的表面积为.16.在各项均为正数的等比数列{a n}中,a3-a1=8,当a4取最小值时,则数列{n}的前n项和S n为.三、解答题(共70分.第17～21题为必考题,第22,23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题17.(本小题满分12分)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2a=3c.(1)若tan B=2tan C,求B;(2)若△ABC的面积为3,tan A=3,求△ABC的周长.18.(本小题满分12分)2018年8月8日是我国第十个全民健身日,其主题是:新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;(2)①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2 000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过 80岁的成年人人数.19.(本小题满分12分)如图所示的多面体中,四边形ABCD是菱形,BDEF是矩形,ED⊥平面ABCD,∠BAD=.(1)求证:平面BCF∥平面ADE;(2)若BF=BD=a,求四棱锥A BDEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上.若右焦点到直线x-y+2=0的距离为3.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N.当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-ln x的图象在点(,f())处的切线斜率为0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若g(x)=f(x)+mx在区间(1,+∞)上没有零点,求实数m的取值范围.(二)选考题(共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分)22.坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为C1:以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C2:ρ=2acos θ(a>0)关于C1对称.(1)求C1的极坐标方程,C2的直角坐标方程;(2)将C2向左平移4个单位长度,按照变换得到C3;C3与两坐标轴交于A,B两点,P为C3上任一点,求△ABP的面积的最大值.23.不等式选讲已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);(2)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.。

高考数学二轮复习仿真冲刺卷七理

仿真冲刺卷 (七)一、选择题 (本大题共切合题目要求的)(时间 :120 分钟满分:150分)第Ⅰ卷12 小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 .在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项1.(2018山·东、湖北要点中学 3 模 )已知复数 z=(i 为虚数单位 ),则复数 z 的共轭复数的虚部为 ()(A)i (B)-i(C)1 (D)-12.(2018湖·北省要点高中联考)已知会合 A={1,2,3},B={1,3,4,5}, 则 A ∩ B 的子集个数为 ()(A)2 (B)3 (C)4 (D)163.(2018宁·波期末 )已知 a>b,则条件“ c≥ 0”是条件“ ac>bc”的 ()(A) 充足不用要条件(B) 必需不充足条件(C)充足必需条件(D) 既不充足又不用要条件4.(2017 山·东省日照市三模) 已知 a=21.2,c=2log 52,则 a,b,c 的大小关系是 () ,b=(A)b<a<c(B)c<a<b(C)c<b<a(D)b<c<a5.(2018 湖·北武汉调研 )某外商计划在 4 个候选城市中投资3 个不一样的项目 ,且在同一个城市投资的项目不超出 2 个,则该外商不一样的投资方案有()(A)16 种(B)36 种(C)42 种(D)60 种6.(2018海·南中学月考)在△ ABC 中 ,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边 ,若 A=,b= ,△ ABC 的面积为,则 a 等于 ()(A)(B)(C)2(D)7.(2018江·西赣州一模 )已知函数 f(x)=|2 x-2|+b 的两个零点分别为x1,x2(x1>x 2),则以下结论正确的是 ()(A)1<x 1<2,x 1+x 2<2 (B)1<x 1<2,x1+x 2<1(C)x 1>1,x1+x2 <2(D)x 1>1,x 1+x 2<18.(2018赣·州期末 )元代有名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒 ,携着游春走 ,遇店添一倍 ,逢友饮一斗 ,店友经四周 ,没了壶中酒 ,借问此壶中 ,当原多少酒 ?”用程序框图表达如下图 ,若最后输出的x=0, 则一开始输入的x 的值为 ()(A) (B) (C)(D)9.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.比如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图 ,在堑堵ABC A 1B 1C1中 ,AC ⊥ BC, 若 A 1A=AB=2, 当阳马B A 1ACC 1的体积最大时 ,堑堵 ABC A1 B1C1的体积为 ()(A)(B)(C)2(D)210.(2018 安·徽淮北一模) 已知函数f(x)=asin x-2cos x 的一条对称轴为直线x=-, 且f(x 1) ·f(x 2)=-16, 则 |x1+x 2|的最小值为 ()(A)(B) (C)(D)11.(2018 太· 原模拟 ) 抛物线y2=8x的焦点为F, 设 A,B是抛物线上的两个动点,|AF|+|BF|=|AB|, 则∠ AFB 的最大值为 ()(A)(B)(C)(D)12.对于 x 的方程 xln x-kx+1=0 在区间 [ ,e]上有两个不等实根,则实数 k 的取值范围是()(A)(1,1+ ](B)(1,e-1](C)[1+ ,e-1](D)(1,+ ∞ )第Ⅱ卷本卷包含必考题和选考题两部分.第 13～ 21 题为必考题 ,每个试题考生一定作答.第 22,23题为选考题 ,考生依据要求作答 .二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每题 5 分 ,共 20 分 .把答案填在题中的横线上 )25睁开式中的常数项是.13.多项式 (4x -2)(1+)14.(2018 沈·阳一模 )已知△ ABC 是直角边为 2的等腰直角三角形,且 A 为直角极点 ,P 为平面ABC 内一点 ,则·(+)的最小值是.15.(2018 开·封模拟)设x,y 知足拘束条件且x,y ∈ Z, 则 z=3x+5y的最大值为.16.双曲线 C1: -=1(a>0,b>0) 的焦点为 F1,F2 ,此中 F2为抛物线2的焦点 ,设 C1 C2:y = 2px(p>0)与 C2的一个交点为P,若 |PF2|=|F1F2|,则 C1的离心率为.三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 70 分 .解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12分 )设正项等比数列{a n} 中 ,a4=81,且 a2,a3的等差中项为(a1+a2).(1)求数列 {a n} 的通项公式 ;(2) 若 b n=log 3a2n-1,数列 {b n} 的前 n 项和为 S n,数列 {c n} 知足 c n=,T n为数列 {c n} 的前 n 项和,求 T n.18.(本小题满分12 分 )(2018 ·沙模拟长 )如图 ,已知四棱锥S ABCD, 底面梯形ABCD中,BC∥ AD,平面SAB ⊥平面ABCD, △ SAB 是等边三角形 ,已知 AC=2AB=4,BC=2AD=2DC=2.(1)求 :平面 SAB ⊥平面 SAC;(2)求二面角 B SC A 的余弦 .19.(本小分12 分 )(2018 ·建八校考福)某教了认识高三一模所教两个班的数学成状况,将两个班的数学成 (位 :分 )制成如所示的茎叶.(1)分求出甲、乙两个班数学成的中位数、众数;(2)若定成大于等于 115分秀 ,分求出两个班数学成的秀率;(3)从甲班中 130 分以上的 5名同学中随机抽取 3 人 ,求至多有 1 人的数学成在140 分以上的概率 .20.(本小分12 分 )(2017 ·州阳二模 )已知 C: +=1(a>0)的焦点在x 上 ,且 C 的焦距 2.(1)求 C 的准方程 ;(2)点 R(4,0) 的直 l 与 C 交于两点 P,Q, P 作 PN⊥ x 且与 C 交于另一点 N,FC 的右焦点 ,求 :三点 N,F,Q 在同一条直上.21.(本小分12 分 )若? x∈ D,有 f(x)<F(x)<g(x), 称 F(x) f(x) 与 g(x) 在 D 上的一个“ 格分界函数” .(1) 求 :y=e x是 y=1+x 和 y=1+x+在(-1,0)上的一个“ 格分界函数” ;(2) 函数h(x)=2e x+-2,若存在最大整数M使得h(x)>在x∈ (-1,0)恒成立,求M的.(e=2.718 ⋯是自然数的底数,≈1.414,≈ 1.260)请考生在第22,23 题中任选一题作答,假如多做 ,则按所做的第一题计分 .22.(本小题满分10 分 )选修 4 4:坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程是(θ为参数 ),以坐标原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴 ,成立极坐标系 ,曲线 C2的极坐标方程是ρ=4sin θ .(1) 求曲线 C1与 C2交点的平面直角坐标;(2)A,B 两点分别在曲线C1与 C2上 ,当 |AB| 最大时 ,求△ OAB 的面积 (O 为坐标原点 ).23.(本小题满分10 分 )选修 4 5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|,g(x)=a-|x-2|.(1)若对于 x 的不等式 f(x)<g(x) 有解 ,务实数 a 的取值范围 ;(2)若对于 x 的不等式 f(x)<g(x) 的解集为 (b, ),求 a+b 的值 .1.C z===2-i, 所以 =2+i, 的虚部为 1,应选 C.2.C A ∩ B={1,3}, 所以 A ∩ B 的子集个数为4,应选 C.3.B当时,ac>bc 不可立 ,所以充足性不可立 ,当时 c>0 成立 ,c≥ 0 也成立,所以必需性成立 ,所以“ c≥ 0”是条件“ ac>bc”的必需不充足条件 ,选 B.4.C因为 b==20.2<21.2554<1,所以 c<b<a,应选 C.=a,所以 a>b>1.又因为 c=2log 2=log5.D法一(直接法 ) 若 3 个不一样的项目被投资到 4 个城市中的 3 个,每个城市 1 个 ,共种投资方案 ;若 3个不一样的项目被投资到 4 个城市中的 2 个,一个城市 1 个、一个城市 2 个 ,共种投资方案 .由分类加法计数原理知共+=60 种投资方案 .法二(间接法 )先随意安排 3个项目 ,每个项目各有 4 种安排方法 ,共 43=64 种投资方案 ,此中3 个项目落入同一个城市的投资方案不切合要求,共 4 种 ,所以总投资方案共43-4=64-4=60( 种 ).6.D由 A=,b=,△ ABC的面积为,得= b·c·sin ,进而有 c=2, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=2+8+4, 即 a=,应选 D.7.Ax x函数 f(x)=|2 -2|+b 有两个零点 ,即 y=|2-2|与 y=-b 的图象有两个交点 ,交点的横坐标就是x1,x2(x2<x 1),在同一坐标系中画出y=|2x-2|与 y=-b 的图象 (如图 ),可知 1<x1<2.当 y=-b=2 时 ,x1 =2,两个函数图象只有一个交点,当 y=-b<2 时,由图可知x1+x 2<2.8.C i=1,(1)x=2x-1,i=2,(2)x=2(2x-1)-1=4x-3,i=3,(3)x=2(4x-3)-1=8x-7,i=4,(4)x=2(8x-7)-1=16x-15,i=5,所以输出16x-15=0, 得 x= ,应选 C.9.C设底面直角三角形的两直角边长分别为a,b,则a2+b2=4, 阳马 B A 1ACC 1的体积为= ab≤ (a2+b2)= ,当且仅当a=b=时,取等号,此时堑堵ABC A 1B 1C1的体积为= ab×2=2, 应选 C.10.C f(x)=asin x-2cos x=sin(x+ θ ),因为函数f(x) 的对称轴为直线x=-,所以 f(- )=- a-3,则|- a-3|=,解得 a=2;所以 f(x)=4sin(x-),因为 f(x 1) ·f(x 2)=-16,所以函数f(x) 一定获得最大值和最小值,所以 x1=2k 1π + ,x2 =2k2π - ,k1,k2∈ Z,所以 x1+x 2=2(k 1+k 2)π+,所以 |x1+x 2|的最小值为.应选 C.11.D设|AF|=m,|BF|=n,则m+n=|AB|,在△ ABF 中,由余弦定理cos ∠ AFB===.因为 m+n=|AB| ≥ 2,所以≥ mn,所以 cos∠ AFB ≥ - ,所以∠ AFB ≤π ,所以∠ AFB 的最大值为,应选 D.12.A对于x的方程xln x-kx+1=0,即 ln x+ =k, 令函数 f(x)=ln x+ ,若方程 xln x-kx+1=0 在区间 [ ,e]上有两个不等实根,即函数f(x)=ln x+与y=k在区间[,e]上有两个不同样的交点,f ′ (x)= - ,令- =0 可得 x=1,当 x∈ [ ,1)时 f′ (x)<0, 函数是减函数 ,当 x∈ (1,e)时 ,f′ (x)>0, 函数是增函数 ,函数的最小值为f(1)=1.f( )=-1+e,f(e)=1+ .函数的最大值为-1+e.对于 x 的方程 xln x-kx+1=0在区间[,e]上有两个不等实根,则实数 k 的取值范围是 (1,1+]. 故选 A.13.分析 :多项式 (4x 2-2)(1+)5睁开式中的常数项是 4 -2=18.答案 :1814.分析 :以 BC 的中点为原点O,以 BC 为 x 轴 ,以 BC 边上的高为 y 轴成立坐标系 ,△ ABC 是直角边为 2 的等腰直角三角形,且 A 为直角极点 ,斜边 BC=2,则 A(0, ),B(- ,0),C( ,0),设 P(x,y), 则+ =2 =(-2x,-2y),=(-x,-y), 所以·(+ )=2x 2+2y2-2 y=2x 2+2(y-)2-1,所以当 x=0,y=时,·(+ )获得最小值 -1.答案 :-115.分析 :由拘束条件作出可行域如图,作出直线3x+5y=0,因为 x,y ∈Z,所以平移直线3x+5y=0 至 (1,2)时 ,目标函数z=3x+5y 的值最大 ,最大值为13.答案 :1316.分析 :设 P(m,n)位于第一象限,可得 m>0,n>0,由题意可得 F2( ,0),且双曲线的 c= ,抛物线的准线方程为 x=-, 由抛物线的定义可得 m+=|PF2|=|F1F2|=2c, 即有m=c,n===2c,即 P(c,2c),代入双曲线的方程可得- =1,242即为 e -=1, 化为 e -6e +1=0,22解得 e =3+2(e =3-2舍去),答案 :1+17.解 :(1) 设正项等比数列{a n} 的公比为q(q>0),由意 ,得解得所以 a n=a1q n-1=3n.(2) 由 (1)得 b n=log 332n-1=2n-1,S n===n 2,所以 c n== (-),所以 T n=[(1- )+(- )+⋯ +(-)]=.18.(1) 明 : 在△ BCA 中 ,因为 AB=2,CA=4,BC=2,222所以 AB+AC =BC,故 AB ⊥ AC.又平面 SAB ⊥平面ABCD, 平面 SAB ∩平面 ABCD=AB,AC? 平面 ABCD, 所以 AC⊥平面SAB,又 AC ? 平面 SAC, 故平面 SAC ⊥平面 SAB.(2) 解: 如, 建立空直角坐系A xyz,A(0,0,0),B(2,0,0),S(1,0,),C(0,4,0),=(1,-4,),=(-2,4,0),=(0,4,0).平面 SBC 的法向量n=(x 1,y1,z1),?令 y1=1,x1=2,z1=,所以 n=(2,1,).平面 SCA 的法向量m=(x 2,y2,z2),?令 x2=- ,所以 m=(-,0,1).所以 |cos<n,m>|==,易知二面角 B SC A 的平面角角 ,所以二面角 B SC A 的余弦.19.解 :(1) 由所给的茎叶图知,甲班 50 名同学的成绩由小到大排序,排在第 25,26 位的是 108,109,数目最多的是103, 故甲班数学成绩的中位数是108.5,众数是 103;乙班 48 名同学的成绩由小到大排序,排在第 24,25 位的是106,107,数目最多的是92 和 101,故乙班数学成绩的中位数是106.5,众数为 92 和 101.(2) 由茎叶图中的数据可知,甲班中数学成绩为优异的人数为20,优异率为= ;乙班中数学成绩为优异的人数为18,优异率为=.(3)将分数为 131,132,136 的 3 人分别记为 a,b,c,分数为 141,146 的 2 人分别记为 m,n,则从 5 人中抽取 3 人的不一样状况有 abc,abm, abn,acm,acn,amn,bcm,bcn,bmn,cmn,共 10 种状况 .记“至多有 1 人的数学成绩在140 分以上”为事件M,则事件M 包含的状况有abc,abm,abn,acm,acn,bcm,bcn,共 7 种状况 ,所以从这 5 名同学中随机抽取 3 人,至多有 1 人的数学成绩在140 分以上的概率为P(M)=.20.(1) 解 :因为椭圆 C: +=1(a>0) 的焦点在x 轴上 ,所以 a2>7-a2>0, 即<a2<7,222因为椭圆 C 的焦距为2,且 a -b =c ,222所以 a -(7-a )=1, 解得 a =4,所以椭圆 C 的标准方程为+=1.(2)证明 :由题知直线 l 的斜率存在 ,设 l 的方程为 y=k(x-4), 点 P(x1,y1),Q(x 2,y2),N(x 1,-y 1),则得 3x2+4k2 (x-4) 2=12,即(3+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2 -12=0, >0,x 1+x 2=,x1x2=,由题可得直线 QN 的方程为 y+y 1=(x-x 1),又因为 y1=k(x 1-4),y 2=k(x 2 -4),所以直线 QN 的方程为y+k(x 1-4)=(x-x 1 ),令 y=0, 整理得x=+x 1====1,即直线 QN 过点 (1,0),又因为椭圆 C 的右焦点坐标为F(1,0),所以三点 N,F,Q 在同一条直线上 .21.(1) 证明 : 令 (x)=e x-1-x, 则′ (x)=e x-1.当 x<0时 ,′ (x)<0, 故 (x) 在(-1,0) 上为减函数 ,所以(x)>(0)=0,故对 ? x∈ (-1,0) 都有 e x>1+x.再令 t(x)=e x-1-x-,当 x<0 时 ,t′ (x)=e x-1-x>0,故 t(x) 在 (-1,0)上为增函数 .所以 t(x)<t(0)=0,所以对 ? x∈ (-1,0) 都有 e x<1+x+,故 y=e x是 y=1+x 和 y=1+x+ 在 (-1,0) 上的一个“严格分界函数” .(2) 由 (1)知当 x∈ (-1,0) 时,h(x)=2e x+-2>2(1+x)+-2≥ 2 -2≈ 0.828.又 h(x)=2e x+-2<2(1+x+ )+-22,=x +2x+令 m(x)=x 22-1, +2x+=(x+1) +m′(x)=2(x+1)-,令 m′ (x)=0, 解得 x=-1+( ),易得m(x) 在 (-1,-1+()) 上单调递减 , 在 (-1+(),0) 上单调递增 , 则m(x) min=m(-1+( ) )=( ) + -1=-1≈ 0.890.又 h′ (x)=2e x-在x∈ (-1,0)存在x0使得h′(x0)=0,故h(x)在x∈ (-1,0)上先减后增,则有 h(x) min≤ h(-1+( ) )<m(-1+( ) )≈0.890,则 0.828<h(x) min< 0.890, 所以 h(x) min> ,则 M=8.22.解 :(1) 因为曲线 C1的参数方程是( θ为参数 ),所以曲线 C1的平面直角坐标方程为(x+2) 2+y2 =4.①又由曲线 C2的极坐标方程是ρ =4sin θ ,得ρ2=4ρ sin θ ,所以 x2+y 2=4y,②把①②两式作差,得 y=-x,代入 x2+y 2=4y,得 2x2+4x=0,解得或所以曲线 C1与 C2交点的平面直角坐标为(0,0),(-2,2).(2) 如图 ,由平面几何知识可知,当 A,C 1,C2,B 挨次摆列且共线时,|AB| 最大 ,此时 |AB|=2+4,O到 AB 的距离为,所以△ OAB 的面积为S= (2 +4) ·=2+2 .23.解 :(1)f(x)<g(x) 有解即 |x+1|+|x-2|+|x-3|<a 有解 ,令 H(x)=|x+1|+|x-2|+|x-3|.则 H(x)=由 H(x) 图象知 ,H(x) min=H(2)=4,所以 a>4,即 a 的取值范围为(4,+ ∞ ).(2) 由 (1)f(x)<g(x) 解集即 H(x)<a 的解集为 (b, ),则则 a=H( )=,若 b>3,由 3b-4=得b== (不合题 ),若 2<b ≤ 3,则 b+2=,b= (不合题 ),若-1<b ≤ 2,则 -b+6= ,b=-(合题 ).则 a+b= -=6.。

2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(7)

2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（7）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．（5分）已知i 是虚数单位，则复数z =3+5ii的虛部是（） A ．﹣3B ．﹣3iC ．3D ．3i3．（5分）若椭圆E 的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E 的离心率等于（） A ．√22B ．√5−12C ．12或√22D ．√22或√5−124．（5分）记等比数列{a n }满足2a 2﹣5a 3＝3a 4，则公比q ＝（） A ．13B ．13或﹣2C ．2D ．195．（5分）某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为（） A ．9100B ．8800C ．8700D ．85006．（5分）函数f （x ）=√x +3+1x+1，的定义域为（） A ．{x |x ≥﹣3且x ≠﹣1} B ．{x |x ＞﹣3且x ≠﹣1} C ．{x |x ≥﹣1}D ．{x |x ≥﹣3}7．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．28．（5分）已知向量a →，b →是两个夹角为π3的单位向量，且OA →=3a →+5b →，OB →=4a →+7b →，OC →=a →+m b →，若A ，B ，C 三点共线，则OA →•OC →=（） A ．12B ．14C ．16D ．189．（5分）已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为（） A ．12B ．14C ．√34D ．√2210．（5分）已知两个正方形ABCD 和CDEF 有一条公共边CD ，且△BCF 是等边三角形，则异面直线AC 和DF 所成角的余弦值为（）A ．15B ．14C ．13D ．1211．（5分）已知双曲线E ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）与抛物线C ：y 2＝﹣16x 有相同的焦点F ，抛物线C ′：x 2＝12y 的焦点为F ′，点P 是双曲线E 右支上的动点，且△PFF ′的周长的最小值为14，则双曲线E 的离心率为（）A ．√3B ．√2C ．3D ．212．（5分）若函数f （x ）＝lnx +ax 2﹣2在区间（14，2）内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（−18，+∞）C ．（﹣8，+∞）D ．（﹣2，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）在（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝． 14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝．15．（5分）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，设圆锥、球体的表面积分别为S 1，S 2，则S 1﹣S 2＝．16．（5分）已知等差数列{a n }满足：a 2＝5，且数列{a n }前4项和S 4＝28．若b n ＝（﹣1）n a n ，则数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在多而体ABCDE 中，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的等边三角形，BD ＝CD =√5，AE ＝2．（1）证明：平面EBD ⊥平面BCD ；（2）求平面BED 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．18．（12分）已知函数f(x)=sin(x +π6)−cosx ．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f(B)=12，且a ＝5，c ＝8，求b 的值．19．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门]制定了下列两种可供选择的方案．方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次．方案二：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k 次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这时该组k 个人的血总共需要化验k +1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案二中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列（2）设p ＝0.1，试比较方案二中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）20．（12分）已知抛物线E ：y 2＝ax （a ＞0），过焦点F 的斜率存在的直线与抛物线交于C ，D ，且1|CF →|+1|DF →|=4．（1）求抛物线的方程；（2）已知y ＝x 与抛物线交于点P （异于原点），过点Q （0，12），作斜率小于0的直线l交抛物线于M ，N 两点（点M 在Q ，N 之间），过点M 作y 轴的平行线，交OP 于A ，交ON 于B ，△PMA 与△OAB 的面积分别为S 1，S 2，求S 2S 1的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝（log a x ）2+x ﹣lnx （a ＞1）．（1）求证：f （x ）在（1，+∞）上单调递增；（2）若关于x 的方程|f （x ）﹣t |＝1在区间（0，+∞）上有三个零点，求实数t 的值；（3）若对任意的x 1，x 2∈[a ﹣1，a ]，|f （x 1）﹣f （x 2）|≤e ﹣1恒成立（e 为自然对数的底数），求实数a 的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．五．解答题（共1小题） 23．（1）解不等式：x +|2x ﹣1|＜3 （2）求函数y ＝xlnx 的导数．2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（7）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x ∈N |1＜x ＜5}＝{2，3，4}．故选：C ．2．（5分）已知i 是虚数单位，则复数z =3+5ii的虛部是（） A ．﹣3B ．﹣3iC ．3D ．3i【解答】解：复数z =3+5i i =−i(3+5i)−ii=5﹣3i 的虛部是﹣3．故选：A ．3．（5分）若椭圆E 的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E 的离心率等于（） A ．√22B ．√5−12C ．12或√22D ．√22或√5−12【解答】解：由菱形的对称性垂直可知，在椭圆的顶点与焦点中，可以找出不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，有3种情况，如图：①图1中，顶点D 焦点B ，为菱形的顶点，C 为中心，则DC ⊥BC ，由勾股定理可得（a 2+b 2）+a 2＝（a +c ）2，又a 2＝b 2+c 2，化简可c 2+ac ﹣a 2＝0，解e 2+e ﹣1＝0，得e =√5−12．②在图2中，以焦点AB 菱形的顶点，C 为中心，则AC ⊥BC ，所以∠OCB ＝45°，可得e =c a =√22； ③如图3，以B 为菱形的中心，C ，E 为菱形的顶点，则CD ⊥EB ，可得 e =ca =√22．故选：D ．4．（5分）记等比数列{a n }满足2a 2﹣5a 3＝3a 4，则公比q ＝（） A ．13B ．13或﹣2C ．2D ．19【解答】解：∵等比数列{a n }满足2a 2﹣5a 3＝3a 4，依题意，2a 2−5a 2q =3a 2q 2，即3q 2+5q ﹣2＝0，故（3q ﹣1）（q +2）＝0，解得q =13或q ＝﹣2，故选：B ．5．（5分）某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为（） A ．9100B ．8800C ．8700D ．8500【解答】解：另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，若不考虑这2人，中位数为8500+9100＝17600，17600÷2＝8800，若这两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，则中位数不变，若这两个人的工作位于8500与9100之间，且这两个数关于8800对称， 8500与9100也是关于8800对称，所以中位数也是8800，此时这8位员工月工资的中位数取最大值为：8800，故选：B ．6．（5分）函数f （x ）=√x +3+1x+1，的定义域为（） A ．{x |x ≥﹣3且x ≠﹣1} B ．{x |x ＞﹣3且x ≠﹣1} C ．{x |x ≥﹣1}D ．{x |x ≥﹣3}【解答】解：要使f （x ）有意义，则：{x +3≥0x +1≠0；解得x ≥﹣3，且x ≠﹣1；∴f （x ）的定义域为：{x |x ≥﹣3，且x ≠﹣1}．故选：A ．7．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：模拟程序的运行，可得 a ＝3，b ＝1 n ＝1 a =92，b ＝2不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝2，a =274，b ＝4 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝3，a =818，b ＝8 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝4，a =24316，b ＝16 此时，满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为4．故选：B ．8．（5分）已知向量a →，b →是两个夹角为π3的单位向量，且OA →=3a →+5b →，OB →=4a →+7b →，OC →=a →+m b →，若A ，B ，C 三点共线，则OA →•OC →=（）A ．12B ．14C ．16D ．18【解答】解：由A ，B ，C 三点共线，得OC →=xOA →+(1−x)OB →=(4−x)a →+(7−2x)b →，故{4−x =17−2x =m，解得m ＝1， ∴OA →⋅OC →=(3a →+5b →)⋅(a →+b →)=3a →2+8a →⋅b →+5b →2=12．故选：A ．9．（5分）已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为（） A ．12B ．14C ．√34D ．√22【解答】解：函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3）=sin 2x +(12sinx +√32cosx)2=54sin 2x +34cos 2x +√34sin2x =12sin(2x −π6)+1，当sin （2x −π6）＝﹣1时，函数f(x)min =1−12=12．故选：A ．10．（5分）已知两个正方形ABCD 和CDEF 有一条公共边CD ，且△BCF 是等边三角形，则异面直线AC 和DF 所成角的余弦值为（）A ．15B ．14C ．13D ．12【解答】解：取CD 的中点M ，CF 的中点N ，连接MN ，则MN ∥DF ．延长BC 到P ，使CP =12BC ，连接MP ，NP ，则MP ∥AC ．令AB ＝2，则MP ＝MN =√2，又△BCF 是等边三角形，NC ＝PC ＝1，由余弦定理可得：NP =√3，异面直线AC 和DF 所成角为∠NMP ，∴cos ∠NMP =2×2×2=14．故选：B ．11．（5分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与抛物线C ：y 2＝﹣16x 有相同的焦点F ，抛物线C ′：x 2＝12y 的焦点为F ′，点P 是双曲线E 右支上的动点，且△PFF ′的周长的最小值为14，则双曲线E 的离心率为（） A ．√3B ．√2C ．3D ．2【解答】解：由题意得抛物线C 的焦点为F （﹣4，0），抛物线C ′的焦点F ′（0，3），设双曲线的右焦点为F 0，则三角形PFF ′的周长L ＝|PF ′|+|PF |+|FF ′| ＝|PF ′|+|PF 0|+2a +5≥|F ′F 0|+2a +5＝10+2a ＝14，故a ＝2，所以e =ca=2．故选：D ．12．（5分）若函数f （x ）＝lnx +ax 2﹣2在区间（14，2）内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（−18，+∞）C ．（﹣8，+∞）D ．（﹣2，+∞）【解答】解：f ′（x ）=1x +2ax ，若f （x ）在区间（14，2）内存在单调递增区间，则f ′（x ）＞0在x ∈（14，2）有解，故a ＞(−12x 2)min，而g （x ）=−12x 2在（14，2）递增， g （x ）＞g （14）＝﹣8，故a ＞﹣8，故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）在（ax +1x ）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝ 5 ．【解答】解：∵（x 2﹣1）5的展开式的通项公式为T r +1＝C5r（x 2）5﹣r •（﹣1）r ＝（﹣1）r•C5r x10﹣2r，r ＝0，1，…，5， ∴（ax +1x ）（x 2﹣1）5的展开式中含x 3的系数为a ×（﹣1）4×C 54+C53•（﹣1）3＝5a ﹣10．又∵5a ﹣10＝15，∴a ＝5．故答案为：5．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ 4 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝x +ty 得y =−1t x +zt ，平移直线y =−1tx +z t ，由图象知当直线y =−1tx +z t经过点A 时，直线的截距最大此时z 最大为11，由{y =2y =2(x −2)得A （3，2），则3+2t ＝11，得2t ＝8，t ＝4，故答案为：4．15．（5分）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，设圆锥、球体的表面积分别为S 1，S 2，则S 1﹣S 2＝ 8√5π ．【解答】解：由于圆锥体的底面半径为4，高为2，则：V =13×π×42×2=32π3，由于该锥体转换为球，设球的半径为r ，则32π3=43×π×r 3，解得r ＝2．则：锥体的表面积为S 1=π×4×√42+22+π×42=8√5π+16π，球的表面积为S 2=4×π×22=16π．则：S 1−S 2=8√5π，故答案为：8√5π．16．（5分）已知等差数列{a n }满足：a 2＝5，且数列{a n }前4项和S 4＝28．若b n ＝（﹣1）na n ，则数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝ 4n ．【解答】解：根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，又由{a n }满足：a 2＝5，且数列{a n }前4项和S 4＝28，则有{a 2=a 1+d =5s 4=2(5+5+d)=28，解可得a 1＝1，d ＝4，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝4n ﹣3； b n ＝（﹣1）n a n ＝（﹣1）n （4n ﹣3），T 2n ＝﹣1+5﹣9+13﹣17+…+（8n ﹣3）＝4×n ＝4n ；故答案为：4n ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在多而体ABCDE 中，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的等边三角形，BD ＝CD =√5，AE ＝2．（1）证明：平面EBD ⊥平面BCD ；（2）求平面BED 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取BC 中点O ，连结AO ，DO ， ∵BD ＝CD =√5，∴DO ⊥BC ，DO =√CD 2−OC 2=2， ∵DO ⊂平面BCD ，平面DBC ∩平面ABC ＝BC ，平面BCD ⊥平面ABC ， ∴DO ⊥平面ABC ，∵AE ⊥平面ABC ，∴AE ∥DO ，又DO ＝2＝AE ，∴四边形AODE 是平行四边形，∴ED ∥AO ，∵△ABC 是等边三角形，∴AO ⊥BC ，∵AO ⊂平面ABC ，平面BCD ∩平面ABC ＝BC ，平面BCD ⊥平面ABC ， ∴AO ⊥平面BCD ，∴ED ⊥平面BCD ， ∵ED ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面BCD ．解：（2）由（1）得AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥DO ，又DO ⊥BC ，AO ⊥BC ，分别以OB ，AO ，OD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，−√3，0），B （1，0，0），D （0，0，2），E （0，−√3，2），平面ABC 的一个法向量为m →=（0，0，1），设平面BED 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， BD →=（﹣1，0，2），BE →=（﹣1，−√3，2），则{n →⋅BD →=−x +2z =0n →⋅BE →=−x −√3y +2z =0，取x ＝2，得n →=（2，0，1），设平面BED 与平面ABC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√5=√55．∴平面BED 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为√55．18．（12分）已知函数f(x)=sin(x+π6)−cosx．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)=12，且a＝5，c＝8，求b的值．【解答】解：（1）由于f(x)=sin(x+π6)−cosx=√32sin x+12cos x﹣cos x=√32sin x−12cos x=sin(x−π6)，令2kπ−π2≤x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，可得：−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间为[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z．（2）∵f(B)=1 2，∴可得sin（B−π6）=12，∵B∈（0，π），B−π6∈（−π6，5π6），∴B−π6=π6，可得B=π3，∵a＝5，c＝8，∴由余弦定理可得b=2+c2−2accosB=√25+64−2×5×8×12=7．19．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门]制定了下列两种可供选择的方案．方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次．方案二：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这时该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案二中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列（2）设p＝0.1，试比较方案二中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）【解答】解：（1）根据题意，每个人的血样化验呈阳性的概率为p，则呈阴性的概率q＝1﹣p，所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为（1﹣p）k，呈阳性反应的概率为1﹣（1﹣p）k，故X=1k，1+1k，P（X=1k）＝（1﹣p）k，P（X=1+1k）＝1﹣（1﹣p）k，故X的分布列为：X1k1+1kP（1﹣p）k1﹣（1﹣p）k（2）根据（1）可得方案二的数学期望E（X）=1k⋅(1−p)k+(1+1k)[1−(1−p)k]=1+1k−(1−p)k，p＝0.1，当k ＝2时，E （X ）=1+12−0．92=0.69，此时669人需要化验总次数为462次；当k ＝3时，E （X ）=1+13−0．93≈0.6043，此时669人需要化验总次数为404次；当k ＝4时，E （X ）=1+14−0．94=0.5939，此时669人需要化验总次数为397次；故k ＝4时，化验次数最少，根据方案一，化验次数为669次，故当k ＝4时，化验次数最多可以平均减少669﹣397＝272次．20．（12分）已知抛物线E ：y 2＝ax （a ＞0），过焦点F 的斜率存在的直线与抛物线交于C ，D ，且1|CF →|+1|DF →|=4．（1）求抛物线的方程；（2）已知y ＝x 与抛物线交于点P （异于原点），过点Q （0，12），作斜率小于0的直线l交抛物线于M ，N 两点（点M 在Q ，N 之间），过点M 作y 轴的平行线，交OP 于A ，交ON 于B ，△PMA 与△OAB 的面积分别为S 1，S 2，求S 2S 1的取值范围．【解答】解：（1）由抛物线方程得：焦点F （a4，0），由题意直线CD 的斜率不为0，设直线CD 的方程为：x ＝my +a4，设C （x ，y ），D （x '，y '），联立直线CD 与抛物线的方程整理得： y 2﹣4max −a 24=0，y +y '＝4ma ，yy '=−a 24，∴x +x '＝m （y +y '）+a 2=4m 2a +a 2，xx '=(yy′)2a 2=a 216，所以1|CF →|+1|DF →|=1x+a 4+1x′+a 4=x+x′+a 2xx′+a 4(x+x′)+a 216=4m 2a+aa 216+m 2a 2+a 28+a 216 =4m 2a+a a 4(4m 2a+a)=4a ，所以4a=4，解得a ﹣＝1，所以抛物线方程为：y 2＝x ；（2）由（1）得，y ＝x 代入抛物线中得y 2＝x ，解得：y ＝1，所以可得P 的坐标为（1，1），设MN 的方程为：y ＝kx +12，设M （x ，y ），B （x '，y '），联立直线MN 与抛物线的方程整理得：ky 2﹣y +12=0，则y +y '=1k，yy '=12k，因为S △PMA =12•|MA |•（x P ﹣x M ）=12（y ﹣x ）（1﹣x ），S △OAB =12|AB |•（x A ﹣0）=12（x −x y′）x ，所以S △OABS △PMA =(x−xy′)x (y−x)(1−x)=(y 2−y 2y′2)y 2(y−y 2)(1−y 2)，因为y+y′yy′=2，y '=y2y−1，y 2y′=y 2y2y−1=y （2y ﹣1），所以S △OABS △PMA=y 21−y 2=11y 2−1，因为y ∈（0，12），所以1y ∈（4，+∞），所以S △OABS △PMA∈（0，13）．21．（12分）已知函数f（x）＝（log a x）2+x﹣lnx（a＞1）．（1）求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）若关于x的方程|f（x）﹣t|＝1在区间（0，+∞）上有三个零点，求实数t的值；（3）若对任意的x1，x2∈[a﹣1，a]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′(x)=1−1x+2log a x⋅1xlna，∵a＞1，x＞1，∴f′(x)=1−1x+2log a x⋅1xlna＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）∵0＜x＜1，分别有1−1x＜0，2log ax⋅1xlna＜0，∴f′（x）＜0，结合（1）知，f（x）min＝f（1），∴t﹣1＝f（1）＝1，∴t＝2；（3）由（2）可知，f（x）在[a﹣1，1]单调递减，在[1，a]上单调递增，∴f(x)max=max{f(a−1)，f(a)}，且f（a）﹣f（a﹣1）＝a﹣a﹣1﹣2lna，令g（x）＝x﹣x﹣1﹣2lnx，则g′(x)=1+x−2−2x=(1x−1)2≥0，∴g（a）＞g（1）＝0，∴g（x）max＝f（a），∴任意的x1，x2∈[a﹣1，a]，|f（x1）﹣f（x2）|＝f（a）﹣f（1）＝a﹣lna，以下只需a﹣lna≤e﹣1，由h（x）＝x﹣lnx的单调性解得1＜a≤e．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①．直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m 3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②．所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0．设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =2=4√2．五．解答题（共1小题） 23．（1）解不等式：x +|2x ﹣1|＜3 （2）求函数y ＝xlnx 的导数．【解答】（1）∵x +|2x ﹣1|＜3， ∴|2x ﹣1|＜3﹣x ，∴{3−x ＞02x −1＜3−x 2x −1＞x −3解得，﹣2＜x ＜43故不等式解集为（﹣2，43），（2）y ′＝1+lnx ．。

高考二轮复习仿真冲刺试卷：数学理科试卷七

2021高考百天仿真冲刺卷数学(理) 试卷〔七〕第一卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，那么a 等于〔A 〕1 〔B 〕0 〔C 〕2- 〔D 〕3- 2.i 是虚数单位，那么复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限ABC ∆中，“0AB BC ⋅>〞是“ABC ∆为钝角三角形〞的〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分又不必要条件P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .那么以下结论不正确的选项是．．．．．．．〔A 〕//CD 平面PAF 〔B 〕DF ⊥平面PAF 〔C 〕//CF 平面PAB 〔D 〕CF ⊥平面PAD 5.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，那么双曲线离心率为〔A 〕2 〔B 〕3 〔C 〕2 〔D 〕3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的局部图象如下图，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，那么tan APB ∠=〔A 〕10 〔B 〕8 〔C 〕87 〔D 〕47第4题图第6题图 7．数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k〔A 〕有3个〔B 〕有2个〔C 〕有1个〔D 〕不存在 8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b + 〔A 〕最小值为15 〔B 〕最小值为55 〔C 〕最大值为15 〔D 〕最大值为55第二卷〔非选择题共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．在ABC ∆中，假设2B A =，:1:3a b =，那么A =_____.OAB PD C•xA BPyO10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____. 11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .圆O2OP =，那么 PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.那么(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______.{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n =，，．①当0λ=时，20a =_____；②假设存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，那么λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.〔本小题总分值13分〕函数cos 2()sin()4xf x x π=+.〔Ⅰ〕求函数()f x 的定义域；〔Ⅱ〕假设4()3f x =，求sin 2x 的值.16.〔本小题总分值13分〕如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使32BD =，得到三棱锥B ACD -.〔Ⅰ〕假设点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ；〔Ⅱ〕求二面角A BD O --的余弦值；〔Ⅲ〕设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N 点的位置，使得42CN =，并证明你的结论.17.〔本小题总分值13分〕甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校方案从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.〔Ⅰ〕求选出的4名选手均为男选手的概率.〔Ⅱ〕记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.18.〔本小题总分值14分〕M函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.〔本小题总分值14分〕椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．〔Ⅰ〕求椭圆M 的方程；〔Ⅱ〕设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值．20.〔本小题总分值13分〕假设m A A A ,,,21 为集合2}(,,2,1{≥=n n A 且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件： ①12m A A A A =；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个},,3,2,1{m i ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y .那么称集合组m A A A ,,,21 具有性质P . 如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l lkl A k A k a .〔Ⅰ〕当4n =时，判断以下两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===；集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===. 〔Ⅱ〕当7n =时，假设集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；〔Ⅲ〕当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及12||||||t A A A ++的最小值.〔其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数〕。

2024年高考数学(理科)第二次模拟考试卷及答案解析(全国卷)

2024年高考数学（理科）第二次模拟考试卷及答案解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}5log 1A xy x ==-∣，集合{}Z03B y y =∈≤≤∣，则()R A B ⋂=ð（）A ．()0,1B ．[]0,1C ．∅D ．{}0,1【答案】D【分析】先表示出集合,A B ，再由交集和补集的运算得出结果即可.【详解】集合(){}{}5log 11A xy x x x ==-=>∣∣，集合{}{}Z030,1,2,3B y y =∈≤≤=∣，集合{}R |1A x x =≤ð，所以()R A B ⋂=ð{}0,1.故选：D2．设i 为虚数单位，且()1i 2z +=，则z =（）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i+【答案】D【分析】根据复数的除法运算求z ，进而可得共轭复数.【详解】由题意可得：()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以z =1i +.故选：D.3．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b上的投影向量为（）A ．12b- B ．13b - C ．23bD ．23b - 【答案】D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=-，由a 在b 上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为12,12n S a a +=且123,6,a a a +成等差数列，则105S S 为（）A ．244B ．243C ．242D ．241【答案】A【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前n 项和公式，即可求解.【详解】由题意可知，1212a a +=且()13226a a a +=+，设等比数列的公比为q ，则2111112a a q a q a a q +=++，得3q =，()()10110510555113131313244131313a S S a ---===+=---.故选：A5．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（）A ．35B ．2150C ．611D ．34【答案】B【分析】首先得甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆A ，所有志愿者分配方案总数为2233535322C C C A 150A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，甲去场馆,,A B C 的概率相等，所以甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，甲不去场馆A ，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B ，场馆B 有两名志愿者共有11243224C C A =种；情形二，甲去场馆C ，场馆B 场馆C 均有两人共有1243C C 12=种，场馆B 场馆A 均有两人共有24C 6=种，所以甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为24126422110010050++==.故选：B ．6．已知函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--，则()f x 是（）A ．奇函数，且在(0,e)上是增函数B ．奇函数，且在(0,e)上是减函数C ．偶函数，且在(0,e)上是增函数D ．偶函数，且在(0,e)上是减函数【答案】A【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.【详解】若函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--有意义，则e 0e 0x x ->⎧⎨+>⎩，解得e e x -<<，即函数()f x 的定义域为(e,e)-，因为()()()()()ln e ln e ln e ln e ()f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，函数e 2e ()ln(e )ln(e )ln ln 1e e x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+--==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，因为函数2e1e u x=-+-在(0,e)上递增，函数ln y u =在定义域上递增，所以函数()f x 在(0,e)上是增函数.故选：A 7．“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，易得:sin 0,cos 0θθ≠≠，故：1sin 121cos 1θθ-=≠，则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=，故不是充分条件；反之，当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立，故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，是必要条件；故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：B ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．3【答案】C【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ==.故选：C9．4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【分析】将21x x+看成一个整体，得到41421()(1)rr r r T C x x -+=+-，再展开421()r x x -+得到430r m --=，分别取值得到答案.【详解】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421((1)rrr r T C x x-+=+-421()rx x -+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x-----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r =系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-=当1m =时，1r =系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=-故答案选B【点睛】本题考查了二项式定理，将21x x +看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算较为复杂.10．若函数()()π3cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒有()()2πf x f ≤，且()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，则ω的值为（）A ．16-B ．56C ．116D ．56或116【答案】D【分析】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，可求出16k ω=-，再由ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求出ω的范围，即可得出答案.【详解】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，16k ω=-，k ∈Z ．由()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，得ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，所以02ω<≤．所以56ω=或116．经检验，56ω=或116均满足条件．故选：D ．11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则下列说法不正确的是（）A ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π2B ．异面直线1DD 与1B FC ．点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP D ．过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+【答案】D【分析】对于A ：转化为长方体的外接球分析运算；对于B ：根据异面直线夹角分析运算；对于C ：根据面面平行分析判断；对于D ：根据平行关系求截面，进而可得周长.【详解】对于A ：三棱锥1B BEF -的外接球即为以1BB 、BE 、BF 为邻边的长方体的外接球，因为11BB =，12BE BF ==，可得外接球的半径4R =，所以外接球的表面积23π4π2S R ==，故A 正确；对于B ：因为11//DD BB ，则异面直线1DD 与1B F 所成角为1∠BB F ，且11BB =，12BF =，可得12B F =，所以111cos BB BB F B F ∠==所以，异面直线1DD 与1B FB正确；对于C ：取11A B 、11A D 、11C D 的中点M 、Q 、N ，连接AM 、MN 、QN 、DN ，，由题意可得：1//AE B M ，1AE B M =，则1AEB M 为平行四边形，所以1//B E AM ，因为四边形1111D C B A 为正方形，M 、N 分别为11A B 、11C D 的中点，则11//A M D N ，11A M D N =，所以，四边形11A D NM 为平行四边形，所以，11//MN A D ，11MN A D =，又因为11//AD A D ，11AD A D =，可得//MN AD ，MN AD =，则AMND 为平行四边形，所以//AM DN ，可得1//B E DN ，因为1B E ⊂平面1B EF ，DN ⊄平面1B EF ，则//DN 平面1B EF ，因为11//AA CC ，11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC AC ，因为E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，同理可得11//QN A C ，则11//EF AC ，可得//QN EF ，因为EF ⊂平面1B EF ，QN ⊄平面1B EF ，则//QN 平面1B EF ，因为DN QN N =I ，DN 、QN ⊂平面DNQ ，所以平面//DNQ 平面1B EF ，则点P 在线段QN 上，可得11122QN A C ==，2DQ QN ==，所以当点P 为线段QN 的中点时，DP QN ⊥，DP 4=，故C 正确；对于D ：连接AC 、11A C ，因为E 、F 为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，又因为11//AA CC ，11AA CC =，则11AAC C 为平行四边形，可得11//AC A C ，则11//EF AC ，过1D 作11//KL AC ，设11KL AB K = ，11KL BC L = ，则//KL EF ，可得111KA AB =，111LCBC =，连接KE 、LF ，设1KE AA G = ，1LF CC H = ，连接1D G 、1D H ，可得过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形1EFHDG ，因为12KA AE =，12LC CF =则1223GA AG ==，1223HC CH ==，可得113D G D H ==，6GE HF ==，EF所以截面周长为22+D 错误；故选：D.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.12．若点P 既在直线20l x y -+=:上，又在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，C 的左、右焦点分别为12,F F ，122F F =，且12F PF ∠的平分线与l 垂直，则C 的长轴长为（）AB C D 【答案】B【分析】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，由12F PF ∠的平分线与l 垂直可得12F PN F PM ∠=∠，即可得1F N P 与2F PM 相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出1PF 、2PF ，结合椭圆定义即可得长轴长.【详解】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，作12F PF ∠的平分线PH 与x 轴交于H ，由122F F =，故()11,0F -、()21,0F ，则1F N =，2F M =，由PH l ⊥且PH 为12F PF ∠的平分线，故12F PH F PH ∠=∠，故12F PN F PM ∠=∠，又1F N l ⊥、2F M l ⊥，故1F N P 与2F PM 相似，故1122132F N NP PF F M MP PF ===，由20l x y -+=:，令0y =，则2x =-，故直线l 与x 轴交于点()2,0G -，故NG ==2MG ==，故22MN =-=由112213F N NP PF F MMPPF ===，故144NP MN ==，344MP MN ==，故14PF ==，24PF ==，由椭圆定义可知，122PF PF a +=，故2a =即C故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于作出1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，再将12F PF ∠的平分线与l 垂直这个条件转化为12F PN F PM ∠=∠，从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及122F F =得到1PF 、2PF 的值.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知()()5cos 2,tan tan 46αβαββ+=+=-，写出符合条件的一个角α的值为.【答案】2π3（答案不唯一）【分析】根据题目条件得到()1cos cos 6αββ+=和()2sin sin 3αββ+=-，从而求出()121cos cos 632ααββ⎡⎤=+-=-=-⎣⎦，进而求出角α的值.【详解】()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβαββαββαββ⎡⎤+=++=+-+⎣⎦，故()()5cos cos sin sin 6αββαββ+-+=，()tan tan 4αββ+=-，即()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()55cos cos 6αββ+=，即()1cos cos 6αββ+=，则()()2sin sin 4cos cos 3αββαββ+=-+=-，则()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+++⎣⎦121632=-=-，可取2π3α=.故答案为：2π314．在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC 若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP的几何特点列方程组求出半径即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为12tan A AO ∠=2r ，所以111AA BB CC ===，2113323O P AP ==⨯=，同理16O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以)212PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C 中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()222236PQ r ⎫=+⎪⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以棱台的体积为143V =+=⎝⎭．故答案为：12.15．已知函数()32f x x ax b =++满足对任意的实数m ，n 都有()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为．【答案】30x y -=【分析】构造函数()()2g x f x =+，将已知等式转化为()()()g mn g m g n =，再利用赋值法求得()0g 与()1g ，进而求得,a b ，再利用利用导数的几何意义即可得解．【详解】因为()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，所以()()()()()222+=++f mn f m f n ，设()()3222g x f x x b x a +++=+=，则()()()g mn g m g n =，令0m n ==，则()()200g g =，则()00g =，或()01g =，若()01g =，则由()()()00g g m g =，得()1g m =，显然不成立，所以()00g =，即20b +=，则2b =-令1m =，则()()()1g n g g n =，由于()g n 不恒为0，故()11g =，即121a b +++=，则0a =，此时()32f x x =-，经检验，满足要求，则()13f -=-，()23f x x '=，所以()13f '-=，所以曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为()331+=+y x ，即30x y -=．故答案为：30x y -=16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22b c bc+的取值范围为.【答案】342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得sin 2cos 2A A +=，再根据同角关系式可得sin A ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，结合条件可得tan C 取值范围，进而求得bc 的取值范围，令b t c =，则221b c t bc t +=+，然后由对勾函数的单调性即可求出．【详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由()222S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C bB AC A C c C C C C ++====+，因为ABC 为锐角三角形，所以02C π<<，2B A C ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-== ⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221b c b c t bc c b t+=+=+，由对勾函数单调性知1y t t =+在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1t =时，2y =；当35t =时，3415y =；当53t =时，3415y =，所以342,15y ∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，即22b c bc+的取值范围是342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，进而可以求解.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且125,,a a a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若114(1)n n n n n b a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】(1)21n a n =-(2)101220242025T =【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-....................................................6分（2）由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.....................................................12分18．（12分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BN BC的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，14=BN BC 【分析】（1）利用勾股定理证明CD BD ⊥，再根据面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；....................................................6分（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =-- ．....................................................7分设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =- ，....................................................9分假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，设BN BC λ=uuu r uu u r ，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 602n AN n AN ⋅︒== ，整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．....................................................12分19．（12分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X ，定义其累积分布函数为()()F x P X x =≤．已知某系统由一个电源和并联的A ，B ，C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压X （单位：V ）服从正态分布(40,4)N ，且X 的累积分布函数为()F x ，求(44)(38)F F -；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T （单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为()0,011,04tt G t t <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.（ⅰ）设120t t >>，证明：1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-；（ⅱ）若第n 天元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行的概率．附：若随机变量Y 服从正态分布2(,)N μσ，则(||)0.6827P Y μσ-<=，(||2)0.9545P Y μσ-<=，(||3)0.9973P Y μσ-<=．【答案】(1)0.8186(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）716．【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解，（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()F x P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）由题设得(3842)0.6827P X <<=，(3644)0.9545P X <<=，所以(44)(38)(44)((4044)(3840)F F P X P X P X P X -=-=+≤≤≤≤≤≤1(0.68270.9545)0.81862=⨯+=...................................................3分（2）（ⅰ）由题设得：[]12111122222()()()1()1()(|)()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >⋂>>-≤->>===>>-≤-=1121221111444111144t t t t t t -⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21121212()1()1()4t t P T t t P T t t G t t ->--≤-=--==,所以1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-．...................................................8分（ⅱ）由（ⅰ）得1(1|)(1)1(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=-=-=≤，所以第1n +天元件B ，C 正常工作的概率均为14．为使第1n +天系统仍正常工作，元件B ，C 必须至少有一个正常工作，因此所求概率为2171(1)416--=．....................................................12分20．（12分）已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，若ABC 的三个顶点都在抛物线E 上，且满足0FA FB FC ++= ，则称该三角形为“核心三角形”．(1)设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率为2，求直线AB 的方程；(2)已知ABC 是“核心三角形”，证明：ABC 三个顶点的横坐标都小于2．【答案】(1)210x y --=(2)证明见解析【分析】（1）设AB 的方程为2y x t =+，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据(1,0)F 及0FA FB FC ++= 得到点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线方程，求出1t =-，得到直线方程；（2）设直线BC 的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A 的坐标为()2342,4m n m ---，代入抛物线方程，得到2342n m =-，由根的判别式得到2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标242m <，同理可证另两个顶点横坐标也小于2.【详解】（1）设直线AB 的方程为2y x t =+，与24y x =联立得2220y y t -+=，由480t ∆=->得12t <，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则12122,2+==y y y y t ，所以()12121212x x y y t t +=+-=-，由题意知(1,0)F ，因为()()()1122330,1,,1,,1,FA FB FC FA x y FB x y FC x y ++==-=-=- ，所以()1231233,(0,0)x x x y y y ++-++=，所以12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，故()333122x t t y ⎧=--=+⎨=-⎩即点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线E 的方程得：44(2)t =+，解得1t =-，满足条件12t <，所以直线AB 的方程为210x y --=．....................................................6分（2）证明：设直线BC 的方程为x my n =+，与24y x =联立得2440y my n --=，()2Δ160m n =+>，所以22323,4,4n m y y m y y n >-+==-，所以()22323242x x m y y n m n +=++=+．由（1）知12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，所以2113424x m n y m ⎧=--⎨=-⎩，即点A 的坐标为()2342,4m n m ---．又点A 在抛物线24y x =上，所以()22164342m m n =--，所以2342n m =-，又2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标2234242m n m --=<，同理可证，B ，C 两点的横坐标也小于2．所以ABC 三个顶点的横坐标均小于2．....................................................12分【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21．（12分）已知函数1()ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0a >．(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值集合；(2)证明：()111sin sin sin ln 2122n n n n++++<∈++N ．【答案】(1){}1(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求函数()f x 的最小值，转化恒成立条件列不等式可求a 的取值集合；（2）利用小问（1）构造不等式，赋值结合累加法证明1111ln 21232n n n n>+++++++ ，再结合正弦函数性质和不等式性质即可证明结论.【详解】（1）由题可知函数()f x 的定义域为{}0x x >，221()a x a f x x x x -'=-= ，令()0f x '=，得x a =，由x ，()f x ，()f x '列表如下()()min ln 1f x f a a a ==-+，因为()0f x ≥恒成立，所以ln 10a a -+³，(0,)a ∈+∞．令()ln 1g x x x =-+，则11()1x g x x x -'=-=，由x ，()g x ，()g x '列表如下x ()0,11()1,∞+()g x +0-()g x '递增极大值递减()()max 10g x g ∴==．又()0,1a ∈ ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，(1,)∈+∞a ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，1a ∴=，故a 的取值集合为{}1．....................................................5分（2）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥，即1ln 10x x+-≥，11ln 1x x x x -≥-=，ln(1)1x x x ∴+≥+（当0x =时，“=”成立），令1()x n n+=∈N ，111ln 1111n n n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，则11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭，()1ln 1ln 1n n n +->+，由累加法可知()()()()()()()1ln 1ln 11ln 2ln 121ln 3ln 231ln 2ln 212n n n n n n n n n n n n ⎫+->⎪+⎪⎪+-+>⎪+⎪⎬+-+>⎪+⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-->⎪⎭累加可得1111ln(2)ln 1232n n n n n n ->+++⋅⋅⋅++++，即1111ln 21232n n n n>+++++++ ，令()sin h x x x =-，,()0x ∈+∞，()cos 10h x x '=-≤ 恒成立，()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递减，()(0)0h x h <=∴，sin x x ∴<，11111111sin sin sin sin 12321232n n n n n n n n∴++++>++++++++++ ，1111ln 2sinsin sin sin ()1232n n n n n +∴>++++∈+++N ....................................................12分【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)22143x y +=.(2)π4或3π4.【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线l 的参数方程，参数方程代入22143x y +=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，利用韦达定理代入1132PA PB +=中，化简即可求解.【详解】（1）由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22sin cos 1θθ+=，2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=（为焦点在x 轴上的椭圆）....................................................4分（2）设直线l 的倾斜角为θ，直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入22143x y +=，可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+，()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++，曲线C 与y轴交于((0,，两点，()0,1P ∴在曲线C 的内部，12,t t ∴一正一负，1212t t t t ∴+=-，而1132PA PB +=，121232t t t t +∴=⋅，121232t t t t -∴=⋅，2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅，()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅，22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=，θ为直线l 的倾斜角，[)0πθ∈，，[]1sin 0,θ∈∴，sin θ∴π4θ∴=或3π4θ=，直线l 的倾斜角为π4或3π4.....................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][()4,∞∞-⋃+．....................................................4分（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．..................................................10分。

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