高考理科数学模拟试卷(附答案)

理科数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上；条形码粘贴在指定位置．
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净再选涂其它答案标号．在试卷纸上作答无效．．．．．．．．．．如需作图先用铅笔定型，再用黑色签字笔描绘．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
41≤≤=x x A {
}
322
≤-∈=*x x N x B ,则=B A ( ) A.{}
31≤≤x x
B.{}
30≤≤x x C.{
}3,2,1 D. {}3,2,1,0 2.已知i 为虚数单位,复数z 满足()i z i 221+=-,则z z ⋅=( ) A.4 B.2
C.4-
D.2-
3.设R x ∈，则“12<-x ”是“022>-+x x ”的( ) A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知菱形ABCD 的边长为a ， 60=∠ABC ,则=⋅CD BD ( ) A.223a -
B.243a -
C.243a
D.22
3
a 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若888,S a ==则公差d 等于( ) A.
4
1
B.
2
1 C.1 D.2
6.函数()cos x
x
y e e x -=-的部分图象大致是( )
7.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对 应的条形图如下： 以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是( )
A ．平均数相同
B ．中位数相同
C ．众数不完全相同
D ．丁的方差最大
8. 已知角θ的终边在直线3y x =-上，则2sin 21cos θ
θ
=+( )
A ．611-
B ．311-
C ．311
D ．
6
11
9. 设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则( )
A.a b c >>
B.a c b >>
C.b c a >>
D.c b a >>
10.双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 右支上一点M ，A 为左顶点，F 为右焦点，若MAF ∆
为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A.3
B.4
C.5
D.6 11.在棱长为6的正方体
中，点E ，F 分别是棱
，
的中点，过A ，
E ，
F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为( )
A. B. C. D.
12. 定义在R 上函数()f x 满足)(2
1
)1(x f x f =
+，且当∈x [)01，
时，()121f x x =--. 则使得1
()16
f x ≤
在[)+m ∞，
上恒成立的m 的最小值是( ) A.
72 B. 92 C. 134 D.
15
4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上） 13. 二项式6
2()x x
-
展开式中的常数项为__________ 14. 甲乙两名运动员各自等可能的从红、白、蓝3种颜色的运动服选择1种，则他们选择 相同颜色运动服的概率为___________ 15. 网上购鞋常常看到下面的表格：
脚长mm a n // 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 鞋号mm b n //
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
请根据表格归纳出n b 和n a 的关系式______________;
如果一个篮球运动员的脚长为mm 282，根据计算公式，他该穿的鞋的鞋号为_____号
16.如图，平面四边形ACBD 中，，
，
，
为等边三角形，现将
沿AB 翻折,使点D 移动至 点P ，且，则三棱锥
的外接球的表面积为_____
三．解答题：（本大题满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)
在△ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin 3cos A B A += 且B 为锐角， （Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）已知2a =，8-=⋅BC AB ，求△ABC 的面积.
18.（本小题满分12分）
如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为长方形,PA ⊥底面ABCD ,3=BC , 4==AB PA ，,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上靠近B 点的三等分点｡
(1)求证:AE ⊥平面PBC
(2)求平面AEF 与平面PCD 所成二面角的正弦值｡
19.(本小题满分12分)
在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，学生线上学习。

某校数学教师为了调查高三学 生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45
名学生进行跟踪
问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中
数学平均成绩不足120分的占
13
8
，统计成绩后得到如下列联表：
分数不少于120分
分数不足120分
合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时
合计
45
(1)请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上 学习时间有关”；
(2)(i)按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两 组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ， 求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ii ）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽 取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考）
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式 2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ ,其中n=a+b+c+d.）
20．设椭圆 2222b y a x +=1()0>>b a 的右顶点为A,上顶点为B ,已知椭圆的离心率为3
5
，
13=AB (1).求椭圆的方程
(2).设直线()0:<=k kx y l 与椭圆交于Q P ,两点，l 与直线AB 交于点M ，且点M P ,均 在第四象限．若BPM ∆的面积是BPQ ∆面积的2倍，求k 的值．
21.已知函数()x f =
1ln +x x a +x
b
，曲线在点处的切线方程为．
Ⅰ求a 、b 的值； Ⅱ证明：当，且
时，()1
ln ->
x x
x f
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为33,
x kt y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为
33,
x m y km =-⎧⎨
=⎩
（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C ． （1）求1C 的普通方程；
（2）设Q 为圆()2
2
2:43C x y +-=上任意一点，求PQ 的最大值．
23.（本小题满分10分）选修4–5不等式选讲
已知函数()1
1
f x x m x m =-++
+（其中实数0m >） （Ⅰ）当1m =，解不等式()3f x ≤； （Ⅱ）求证：()()
1
21f x m m +
≥+.
大庆四中2019～2020学年度高三年级第四次校内检测
理科试题答案
一．选择题 1-5 CAADD 6-10 BDADB 11-12 DD
二．填空题 13. 240 14.3
1
15.47 16.π8
12.解答题
17题答案
解（Ⅰ）由sin 2sin 3cos A B A +=，得31sin cos sin 22
B A A =
- πsin sin 3B A ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭. 所以π3B A =-，或π2ππ33B A B A ⎛⎫
+-=⇒=+ ⎪
⎝⎭
. 因为B 为锐角，所以π3B A =
-，即π3B A +=，故2π
3
C =. …………5分 （Ⅱ）由8-=⋅BC AB ，得cos(π)8cos 8ca B ca B -=-⇒=. 因为2a =，所以cos 4c B =①.
根据正弦定理，
sin sin a c A C =，及π3A B =-，23
C π=，2a =， 得
2
3sin 32
c
B π=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，所以πsin 33c B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 31
cos sin 32
B c B ⇒-=.
①代入②，得1
23sin 32
c B =sin 23c B =所以ABC ∆的面积等于
11
sin 2232322
ac B =⨯⨯=. …………12分
19.
解：
分数不少于120分分数不足120分合计每周线上学习数学时间不少于5小时15419
每周线上学习数学时间不足5小时101626
合计252045
由列联表可知：
，
所以有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”
由分层抽样知，需要从分数不足120分的学生中抽取，
又分数不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数为16人．
设抽取的20人中每周线上学习时间不足5小时的人数的X，
所以X的可能取值为0，1，2，3，1，2，3，，X的分布列为：
X01234
P
从全校数学成绩不少于120分的学生中随机抽取1人
此人每周上线时间不少于5小时的概率为，
设从全校数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y，则，
故E，．
20.解：
设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由，可得．
由，从而．所以，椭圆的方程为．
设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点Q的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，从而，即．易知直线AB的方程为，
由方程组消去y，可得，由方程组消去y，可得．
由，可得，两边平方，整理得，
解得或．
当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意．所以，k的值为．
21.
Ⅰ．由于直线的斜率为，且过点
所以解得，
Ⅱ由知，所以
考虑函数，则
所以当
时，而，
当
时，可得； 当
从而当
且
时，
22.（1）消去参数t 得1l 的普通方程为33x ky +=， ··························································1分
消去参数m 得2l 的普通方程为()33k x y -=-． ·
························································2分 联立()33,33x ky k x y +=⎧⎨-=-⎩
消去k 得()()2
339x x y +-=-，
·················································3分 所以1C 的普通方程为2
219
x y +=（3x ≠）． ·
····························································5分 （2）依题意，圆心2C 的坐标为()0,4，半径3r =． ·
············································6分 由（1）可知，1C 的参数方程为3cos ,
sin x y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数，且2π,k k θ≠∈Z ），
···7分 设()3cos ,sin P θθ（2π,k k θ≠∈Z ），则
()()222
23cos sin 4PC θθ=+-()
2291sin sin 8sin 16θθθ=-+-+
28sin 8sin 25θθ=--+， ·
··················································································8分 当1sin 2θ=-时，2PC 取得最大值2
1188253322⎛⎫⎛⎫
-⨯--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ·
··············9分 又2PQ PC r +≤，当且仅当2,,P Q C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立． 所以max 33343PQ =+=． ·
················································································10分 23.解析：（Ⅰ）由条件知1m =时，()12,12131
1,1222
112,22x x f x x x x x x ⎧
-≥⎪⎪
⎪=-++=-≤<⎨⎪⎪-+<-⎪⎩
于是原不等式可化为①11
232x x ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩；②112332x ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩；③12
1232x x ⎧
<-⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩
解①得714x ≤≤
；解②得112x -≤<；解③得51
42
x -≤<-，
所以不等式()3f x ≤的解集为57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………5分 （Ⅱ）由已知得()()()1
11
111f x x m x m m m m m +=-++++++
()()1111
1111x m x m m m m m m m ⎛⎫≥--++=++ ⎪++++⎝⎭
1
1
11
211m m m m m m =++-=+≥++
当且仅当1m =时，等号成立，于是原不等式得证. ………10分。