《二面角的平面角求法》课件
高一数学二面角的求法课件
A
A O
l
O
10
B
B
二面角的平面角的作法：——
1、定义法
D1
A
C1
B1
O
A1 D A
B
C O B
例1.在正方体ABCD A1B1C1D1中, 试找出D1 AC D的平面角 , 求它的正切
二面角的计算步骤：
1、作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
O
B’
A
2.垂线法构造了对应的直 角三角形
作下面二面角的平面角
A D’ A’ B’ O C’
B
E
O
D C
D
C
二面角A--BC--D
A B 二面角B--B’C--A
例4.在正三棱柱 ABC A1B1C1中AC 1, AA A A1B C的正切 1 2, 连接A 1 B, A 1C , 求二面角
一“作”二“证”三“算”
例2.已知ABCD是边长为 2的正方形, PA 面AC且AP 1, 求二面角B C称性
A E D
B
C
二面角的平面角的作法：—— D1 A1 D A O B B1 C
1、定义法
C1
例1.在正方体ABCD A1B1C1D1中, 试找出D1 AC D的平面角 , 求它的正切
二面角的平面角的作法：——2、垂面法
P F P
l
F
l
O
E
O
E
例3.已知二面角 l , P为此二面角内一点 , 若PE垂直于E , PF垂直于F , 且PE 3, PF 4, EF 13, 求此二面角的大小
二面角 课件
在内过O作OC⊥AB交PM 于C，
在 内作OD⊥AB交PN于D，
连结CD，可得：
设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
∴CO=a，DO=a， PC a ， PD a
∵∠MPN=60º
∴CD=PC a
----“垂线法”
3、二面角的平面角的求法:
方法3
l
A
B
O
过A作 交于B,再过 A作 交于O连结OB, 则∠AOB为所求的角。
例1:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出 下列二面角的平面角： (1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D； (2)二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
A
α
B
β
O
C
如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C，连OB、OC，则∠ABC=45°∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面角。
D
二、二面角的平面角:
1、二面角的平面角的定义：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
α
β
B
。
O
A
B1
。
O1
A1
定义一：
二、二面角的平面角:
1、二面角的平面角的定义：
定义二：
一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则∠APB叫做二面角 的 平面角。
如图，点A在二面角α-l-β的半平面α上一点，过点A如何作出二面角α-l-β的平面角？
----“垂面法”
3、二面角的平面角的求法:
方法2
γ
l
二面角(2)精选教学PPT课件
，PB=1，PE
2 2
，PO
1 2二面角P-AB-C
的正切值为
2 2
E
O
二面角
练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二 面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面 β的距离CO。
B’
D
C
α
β
O
C
O
AD
B
A
B
练 习 2 ： 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 ， AB=BC=2 ，
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
ι
二面角
例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分
别 在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠MPN=60º
βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
二面角及其平面角 课件
A.
AO 2 3, AD 4
在Rt△ADO中，
D
O
∵sin∠ADO=
l
AO 2 3 AD 4
∴ ∠ADO=60°.
∴二面角 － l－ 的大小为60 °.
15
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例２ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求二面角B1-AC-B大小的正切值. C1 B1 C B
（1）、以直线 l 为棱，以 , 为半平面的二面角记为： l （2）、以直线AB 为棱，以 , 为半平面的二面角记为： AB
l
β
面
Ｂ
棱
Ａ
l
α
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常用的二面角
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l α β l α
10
β
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面
半 平 面
l
半 平 面
面 棱 l
7
３．二面角的 画法与记法
（１）二面角的画法：
（1）、平卧式
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（2）、直立式
8
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３．二面角的 画法与记法
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（２）二面角的记法： 面1－棱－面2
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引入：
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问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成 的角”、“直线和平面所成的角”又是 怎样定义的？它们有什么共同的特征？
1
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实例１：
二面角课件
讲授新课
一条直线上的一个点把这条直线分成两部分, 其中的每一部分都叫做射线。
平面内的一条直线把平面分成两部分, 其中的 每一部分都叫做半平面。
l
A
l
二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角, 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做 二面角的面。
二面角的大小的范围: 0 180
平面角是直角的二面角叫做直二面角. 相交成直二面角的两个平面, 叫做互相垂 直的平面。
二面角的平面角的作法: 1.定义法
2.三垂线定理法
二面角的计算:
1.找到或作出二面角的平面角 2.证明 1中的角就是所求的角 3.计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
表示法
∠AOB
二面角—a— 或二面角—AB—
二面角的画法
(1) 半卧式
l
F A
D
E B
C
α β l
(2) 直立式
l
α
β
β l
α
二面角的度量
B
B
O
l
A
O内分别作垂直于棱的两条射 线, 这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角。
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上, 2.线在面内, 3.与棱垂直
∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。
C M
A PO
B
D N
例5、如图所示，DB、EC都垂直于正ΔABC所在的平
面，且EC=BC=2BD，求平面ADE与平面ABC所成二 面角的大小。
E
D
B
C
F
G
A
二面角的求法 PPT课件 人教课标版
二面角的求法
α
ι
β
一、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角。
二、二面角的平面角
从棱上一点P分别在两 个半平面内作与棱垂直的 射线PA、PB则∠APB叫做二 面角 α-l-β的平面角。
ι
γ
P A
β
B
α
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
二面角的平面角的求法
二面角的平面角的求法教学目标：掌握二面角及其平面角的概念.能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小. 重点难点：●会作出二面角的平面角①、点P 在棱上---- ②、点P 在一个半平面上--- ③、点P 在二面角内--- ④ 、向量法求二面角的大小----建立空间直角坐标系，分别找出两个半平面的法向量，求出两个法向量的夹角，眼观是锐或钝二面角。
求二面角大小的公式： 练 习1、如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上任一点，则二面角P-BC-A 的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是2、已知P 为二面角α-l-β内一点，且P 到两个半平面的距离都等于P 到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？ 典例分析： 例1. 如图，已知P 是二面角α-AB-β棱上一点，过P 分别在α、β内引射线PM 、PN ，且∠MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。
高考演练1(2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，AF=1，（Ⅱ）二面角F-AD-E 的平面角的正切值．例2．如图P 为二面角α–ι–β内一点，PA ⊥α,PB ⊥β,且PA=5， PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
例3．如图，三棱锥P-ABC 的顶点P 在底面ABC 上的射影是底面Rt △ABC 斜边AC 的中点O ，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C 的正切值。
高考演练2（2009四川卷文）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，,,45ABAE FA FEAEF ︒==∠=（III ）求二面角F BD A --的大小。
练习1：已知Rt △ABC 在平面α内，斜边AB 在30º的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C 到平面β的距离CO 。
二面角及其平面角 课件
二面角
a 或 AB
2. 二面角的平面角的作法
1. 定义法
A
l
O
B
2. 垂线法
想一想:怎样求二面角?
三、二面角的平面角
1.定义 在二面角-l-的棱l上任取一点O，以点O
为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l
的射线OA、OB，则射线OA、OB组成∠AOB叫做
二面角-l- 的平面角．
A
l
O
B
注: （1）在表示二面角的平面角时，要求
O l,OA ,OB ,OA l,OB l
二面角及其平面角
一、半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每
一部分都叫做半平面．
二、二面角
半
半
平
平
面
面
1.定义 从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二面角， l
这条直线叫做二面角的棱，每个
半平面叫做二面角的面．
2. 记法
棱为AB，面分别为，的二面角 记作二面角-AB-. 如果棱为l，那么 这个二面角也可以记作二面角-l- .
D'
C'
A'
BBCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
D'
C'
A'
B'
D A
C B
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角 的平面角：
C' B'
二面角的平面角的求法
二面角的平面角的求法知识点拨1、二面角的定义以一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l —β。
二面角出现的状态形式有：竖立式、横卧式、倒向式2、二面角的平面角的定义以二面角的顶点任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于边的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的定义要注意三个重要的词组:“棱上”、“面上”、“垂直”, 事实上, 二面角的平面角具有三个要素:(1)过棱上任意一点;(2)分别在两个面内引射线;(3)射线垂直于棱。
其中(1)(2)决定了平面角的两边是在同一平面内。
所以才有“平面角”之称, (3)是决定了平面角的数值的唯一性。
由二面角的平面角的定义可知: 二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面。
平面角是直角的二面角叫做直二面角．3、二面角大小求法的要领二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.（ 也可转化为求三角形内角问题）4、求二面角大小的基本方法我们总结一下作二面角平面角的几种基本方法. （1）定义法；（2）垂面法；（3）三垂线法；（4）面积法cos θ=S 射影多边形/S 多边形(射影面积公式)。
(1)如何利用定义作二面角的平面角呢?在二面角的棱a 上任意取一点O 为端点，在面α，β内分别引垂直于棱a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为该二面角的平面角.(2)如何利用三垂线定理（或其逆定理）作二面角的平面角呢?在二面角α-a-β的面α上任取一点A ，过A 分别作棱a 和另一面β的垂线AO 和AB(O ，B 分别是垂足)，连BO ；或者过A 作面β的垂线AB ，又过垂足B 引棱a 的垂线BO ，连AO ；则∠AOB 为该二面角的平面角.(3)如何用作垂面的办法作二面角的平面角呢?过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直(作棱的垂面)，平面γ与α，β分别交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小.（4）射影面积公式用此方法可避免寻找二面角的平面角的繁琐步骤。
二面角平面角的求法2
二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。
二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。
例1、 如图所示，在正三棱柱ABC ABC－－A 1B 1C 1中，已知AA 1＝A 1C 1＝a ，E 为BB 1的中点，若截面A 1EC⊥侧面AC 1．求截面A 1EC 与底面A 1B 1C 1所成锐二面角度数．所成锐二面角度数．【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（11）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。
（于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。
（22）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：三垂线法：是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角；是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角；如图，已知直三棱柱ABC ABC－－A 1B 1C 1，侧棱长为2，底面△，底面△ABC ABC 中，中，∠B=90B=90°，°，°，AB=1AB=1AB=1，，BC=3，D 是侧棱CC 1上一点，且BD 与底面所成角为3030°°.（1） 求点D 到AB 所在直线的距离所在直线的距离. . . （（2）求二面角A 1－BD BD－－B 1的度数的度数..在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错误。
现错误。
例2、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，中，M M ，N ，P 分别为1111,,A B BB CC 的中点。
求异面直线1,D P AM CN AM 与与所成的角。
所成的角。
【知识点归类点拨】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范要牢记各类角的范围，两条异面直线所成的角的范围：00090a <£；直线与平面所成角的范围：00090a ££；二面角的平面角的取值范围：000180a ££。
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复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
A1
E
C
F B
D
P
A
例3、⊿ABC中，AB⊥BC， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分SC， 又SA＝AB＝ａ，SB＝BC, （1）求证：SC ⊥平面BDE, （2）求二面角E－BD－C的大小?
N
B
M
D
C
解：作BM AC于M，作MN AC交AD于N， 则BMN就是二面角B AC D的平面角
由AB AC BC 2, M是AC的中点，且MN//CD
得BM 6 , MN 1 CD 1 , BN 1 AD 3 .
2
2
2
2
2
由余弦定理得
cos BMN BM 2 MN 2 BN 2 6 ,
二面角的平面角求法
高安中学数学组刘金球
一、教学目标 1．理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角
的平面角的常见求法． 2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平
面角问题，进一步培养学生的空间想象能力 和分析、解决问题的能力．
二、教学重点、难点 1．教学重点：二面角的平面角的常见求法． 2．教学难点：如何选取恰当的位置和方法作出
于点C，PD 于点D，且PC=1， D
PD=2，求（1）CD的长；
（2）P到棱l的距离为多少？
M
B N
A
C
l
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂 面，两条交线所成的角即为平面角.
(4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在
一个平面上的射影图形面积是S’，则二面角的
大小为COS ＝ S’÷ S
A
B
D
E
O
C
3
例1. 如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、 ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边， 且AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三 角形，求二面角B－AC－D的大小. A
在RtSAC中，tanSCA= SA = a = 3 AC 3a 3
则SCA=300，则CDE=900－SCA＝600
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求二面角D1—AC—D的大小？
D1
C1
A1
B1
答案：arctan 2
DO
C
A
B
小结
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难 点，求二面角的大小方法多，技巧性 强．但一般先想定义法，再想三垂线法， 要抓住题目中的垂直关系．