推荐学习高考学习复习资料数学总复习(讲+练+测)： 专题6.4 数列求和(测)

第04节 数列求和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（ ）A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100【答案】D2. 【改编题】设数列}{n a 中，若)N (21*++∈+=n a a a n n n ，则称数列}{n a 为“凸数列”.已知数列}{n b 为“凸数列”，且11=b ，22-=b ，则数列}{n b 的前2014项和为（ ） A ．5 B ．5-C ．0D ．2-【答案】5-【解析】由“凸数列”的定义可，11=b ，22-=b ，∴33-=b ，14-=b ，25=b ，36-=b ，17=b ，22-=b ，⋅⋅⋅，∴数列}{n b 是周期为6的周期数列，且0654311=+++++b b b b b b ，于是数列}{n b 的前2014项和为=2014S 513214311-=---=+++b b b b .3. 数列1111111111,,,,,,,,,,223334444的前100项的和等于（ ）A.91314B.111314C.11414D.31414【答案】A【解析】此数列的特点是1个1,2个12，3个13，，分母相同的和均为1，而1231391++++=，故前91项的和为13，从第92项开始是114，连续14个114，所以前100项的和等于19139131414+⨯=，故选择A.4. 数列 ，，，，1617815413211的前n 项和n S 为( )． A.12211--+n n B.n n 2122-+ C.n n 2112-+ D. 12212--+n n【答案】C5. 【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知函数，且，则( )A.B.C.D. 2018【答案】D【解析】当n 为奇数时，n+1为偶数，则，所以，当n 为偶数时，n+1为奇数，则，所以，所以故选择D.6. 【2018届黑龙江省佳木斯市鸡东县第二中学高三上第一次月考】【在等差数列{}n a 中，357116,8a a a a ++==，则数列341·n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A.12n n ++ B. 2n n + C. 1n n + D. 21nn + 【答案】C7. 【2018届辽宁省凌源二中高三联考】已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ， n T ，且0n a >，263n nn S a a =+， *N n ∈， ()()122121nnn a n a a b +=--，若*N n ∀∈， n k T >恒成立，则k 的最小值是（ ）A.17 B. 49 C. 149 D. 8441【答案】C【解析】当1n =时， 211163a a a =+，解得： 13a =或10a = (舍去)， 且： 2211163,63n n n n n n S a a S a a +++=+=+， 两式作差可得： 22111633n n n n n a a a a a +++=-+-，整理可得： ()()1130n n n n a a a a +++--=，结合数列为正项数列可得： 1130,3n n n n a a a a ++--=∴-=,数列{}n a 是首项为3，公比为3的等差数列， ()3133n a n n =+-⨯=， 则： ()()()()111281117818181812121nnn a n n n n n n a a b -++⎛⎫===- ⎪------⎝⎭， 据此裂项求和有：22311111111178181818181811111,778149n n n n T ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭结合恒成立的条件可得： 149k ≥.故选C. 8. 【2018届河北省邢台市高三上第一次月考】设n S 为数列{}n a 的前n 项和， 11a =， 12n n a S +=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为（ ）A.1931223-⨯ B. 1971443-⨯ C. 1831223-⨯ D. 1871443-⨯ 【答案】D011812201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 191911113131111222313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦ =1871443-⨯ 故选D9. 【2018届河南省林州市第一中学高三8月调研】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且15a =，()11622n n a a n -=-+≥，若对任意的*n N ∈， ()143n p S n ≤-≤恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A. (]2,3 B. []2,3 C. (]2,4 D. []2,4 【答案】B【解析】由数列的递推公式可得 ： ()11442n n a a +-=--， 则数列{}4n a -是首项为141a -=，公比为12-的等比数列， 111141,422n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⨯-∴=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，分组求和可得： 211432nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 题中的不等式即2111332np ⎡⎤⎛⎫≤⨯--≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦恒成立， 结合恒成立的条件可得实数p 的取值范围为 []2,3 本题选择B 选项.10. 【2017届福建省泉州市高三3月检测】数列{}n a 满足12sin122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前100项和为（ ）A. 5050B. 5100C. 9800D. 9850 【答案】Ba 9+a 10+a 11+a 12=44； ∵100254=， ∴数列{a n }的前100项满足S 4,S 8−S 4,S 12−S 8，…是以12为首项，16为公差的等差数列， 则数列{a n }的前100项和为S=25×12+25×24×162=5100. 故选：B.11.【2017届广西玉林市、贵港市高三毕业班质量检测】已知数列中，将数列中的整数项按原来的顺序组成数列，则的值为（ ）A. 5035B. 5039C. 5043D. 5047 【答案】C【解析】由题意得，此数列为：，的整数项为：，即整数为：.其规律就是各项之间是这样递增的,,由,解得,,故选C.12.【2017届福建省高三4月检测】已知数列{}{},n n a b 满足11111,2,n n n n n n a b a a b b a b ++===+=+，则下列结论正确的是（ ）A. 只有有限个正整数n使得n n a < B. 只有有限个正整数n使得n n a > C.数列{}n n a -是递增数列 D.数列n n a b ⎧⎪⎨⎪⎩是递减数列【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2017届四川省眉山中学高三5月月考】如图所示的数阵中，用(),A m n 表示第m 行的第n 个数，则以此规律()8,2A 为__________．【答案】112214. 【改编题】已知数列{}n a 满足211222n n a -=++++，则{}n a 的前n 项和n S = .【答案】122n n +--【解析】∵211212222112n n n n a --=++++==--， ∴1212(12)(222)2212n nn n S n n n +⨯-=+++-=-=---.15. 【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】已知数列{}{},n n a b 满足112,1a b ==， ()11*1121133{2,12133n n n n n n a a b n n N b a b ----=++≥∈=++则()()1008100820172017a b a b +-=________. 【答案】20162017316.【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】在等差数列{}n a 中， 2145,12a a a =+=，则n a =__________，设()*211n n b n N a =∈-，则数列{}n b 的前n 项的和n S =__________. 【答案】 21n +44nn +【解析】由题意可得115{2312a d a d +=+=,解得13{2a d ==，故a n =3+(n −1)×2=2n+1. ∵()21111114141n n b a n n n n ⎡⎤===-⎢⎥-++⎣⎦裂项求和可得数列{b n }的前n 项和()11111114223141n n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分10分）【2017湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第二次联考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．（Ⅰ）证明：数列{}1n a +是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）21nn a =-;（Ⅱ）11121n n T +=--．所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=， 21nn a =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()()1111111121121212121n n n n n n n n n n n n a b a a a a a ++++++=+===-----， 则1111111111337212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18.【原创题】已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =913，1a 2a 3a =271.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求证：3n T >. 【答案】（1）n a =131-n （n *N ∈）；（2）见解析.【解析】（1）由1a 2a 3a =271，及等比数列性质得32a =271，即2a =31， 由1a +2a +3a =913得1a +3a =910由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=91031312a a a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=910312111q a a q a 所以31012=+q q ，即231030q q +=－解得q =3，或q =31由1n n a a +<知，{n a }是递减数列，故q =3舍去，q =31，又由2a =31，得1a =1， 故数列{n a }的通项公式为n a =131-n （n *N ∈）（2）由（1）知n a n ⋅-)12(=1312--n n ，所以n T =1+33+235+⋯+1312--n n ①31n T =31+233+335+…+1332--n n +n n 312- ② ①－② 得：32n T =1+32+232+332+⋯+132-n －nn 312- =12+（31+231+331+⋯+131-n ）－n n 312-=12+311)311(311--⋅-n －n n 312-=2－131-n －nn 312- 所以n T =3－131-+n n故3n T >.19．【2017届河南省洛阳市高三期中】已知数列{}n a 满足()1112,21n n n n a a a na n a ++=+=+，设n nnb a =. （I ）求证：数列{}1n b -为等比数列，并求{}n a 的通项公式； （II ）设1n nc b =，数列{}n c 的前n 项和n S ，求证： 2n S n <+. 【答案】（I ）221nn n n a ⋅=-；（II ）证明见解析.试题解析：（I ）由已知易得0n a ≠，由()1121n n n n a a na n a +++=+得()1211n n n n a a +++=即121n n b b +=+； ∴,又1111112b a -=-=-, {}1n b ∴+是以12-为首项，以12为公比的等比数列.从而11111222n nn b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即112nn n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得221n n n n a ⋅=-即数列{}n a 的通项公式为221nn n n a ⋅=-.（II ）112nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12112121112n n n n nc ∴===+--⎛⎫- ⎪⎝⎭ ， 23111121212121n nS n ∴=+++++----， 012111112222n n -≤+++++ ，11222n n n -≤+-<+.20．【2018届江西省宜春中学高三上学期第一次诊断】已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ， 12a a +，()142a a +成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n s ，求证： 6n s <． 【答案】（1）21n a n =-；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结.试题解析：（1）数列{}n a 为等差数列，所以： 2112a a d a =+=+， 41136a a d a =+=+， 1a ，因为12a a +，()142a a +成等比数列，所以： ()()2121142a a a a a +=+，解得： 11a =，所以： 12121n a n n =+-=-（）. （2）已知112122n n n a n ---=， 0111321222n n n S --=++⋯+①12113212222n nn S -=++⋯+②，①-②得： 1111121122222n n n n S --⎛⎫=++⋯+- ⎪⎝⎭ 421322n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ 2332n n +-，所以： 12362n n n S -+=-，由于1n ≥，所以： 12302n n -+>， 12362nn n S -+=-. 21.【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知数列{}n a 中， 114a =，其前n 项的和为n S ，且满足()22221n n n S a n S =≥-.(Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(Ⅱ) 证明： 121111232n SS S n ++++< 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.试题解析：（Ⅰ）当2n ≥时， 21221n n n n S S S S --=-, 112n n n n S S S S ---=，1112n n S S --=， 从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以4为首项，2为公差的等差数列. （Ⅱ）由（1）可知，()1111222n n n S S =+-⨯=+ ()121n S n ∴=+.()111112121n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭12111111111111112322231212n S S S n n n n ⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 22.【2017届天津市滨海新区高三上八校联考】已知数列{}n a ， {}n b ， n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =， 22n n S a =-， ()211n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （3）若数列{}n c 的通项公式为,2{ 4n nn n na b n c a b n -=为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T . 【答案】（1）2nn a =（2）见解析（3）27127•499nn n T -=+试题解析：（1）当1n >时， 111122{22222n n nn n n n n n S a a a a a S a a ----=-⇒=-⇒=- 当1n =时， 111222S a a =-⇒=，综上， {}n a 是公比为2，首项为2的等比数列， 2nn a =（2）∵214a b =，∴11b =，∵ ()211n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上， n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1，首项为1的等差数列， 211n n b n b n n =+-⇒=. （3）令212n n n p c c -=+()()()()2221222121?22?241?241?424n nn n n n n n ----=-+=-=-()()()0122123123474114414{ 43474114454414n n n n n T n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①②①-②，得()0121233?44?44?44?441?4n n n T n --=++++--()2164?43341?414nn n T n --=+---27127•499n n n T -=+。