二次函数知识点及练习题

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二次函数知识点总结和相关练习

二次函数知识点总结和相关练习

二次函数知识点总结和相关练习知识点1: 配方:练习:1、将二次函数72412-+-=x x y 配成顶点式,并求对称轴和最值。

2、将二次函数251325012+--=x x y 配成顶点式,并求顶点坐标和最值。

知识点2:平移、对称、旋转变换:抓顶点和开口方向 练习:1、函数342--=x x y 关于X 轴对称的函数的解析式为 ;关于Y轴对称的函数的解析式为2、将二次函数的图像向下平移2个单位,再向右平移3个单位,得到抛物 ,则3、若抛物线 向左又向上各平移4个单位,再绕顶点旋转 180°,得到新的图像的解析式是________.知识点3:二次函数图像与系数c b a 、、之间的关系:①a 决定抛物线的形状和大小,a 的正负决定开口方向。

② b a 、共同决定对称轴:同左异右③ c 决定抛物线与y 轴交点位置④ac b 42-=∆的正负决定抛物线与x 轴的交点个数 ⑤伟达定理:a c a b x x x x =⋅-=+2121,练习:1、二次函数图象如图所示,则下列结论:① 0<++c b a ②1>+-c b a ③0>abc ④024<+-c b a ⑤1>-a c2、二次函数c bx ax y ++=2图象如图,则下例结论不正确的是( )A .0<a B. 0>abc C. 0>++c b a D 042>-ac b3、二次函数322-+=x ax y 图象与轴有一个交点在0、1之间,a 范围是( )A 、a >31B 、0<a <1C 、a >1D 、a >-31 且a 0≠ 4、二次函数c bx ax y ++=2图象如图,则下例结论正确的是( )A 、0<acB 、当1=x 时,0>yC 、方程02=++c bx ax (0≠a )有两个大于1的实根D 、存在一个大于1的实数x 0,使x x 0<时,y 随x 的增大而减少,当x x 0> 时,y 随x 增大而增大。

二次函数知识点及典型例题

二次函数知识点及典型例题

⼆次函数知识点及典型例题⼆次函数⼀、⼆次函数的⼏何变换⼆、⼆次函数的图象和性质(Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质(Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质(Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响三、待定系数法求⼆次函数的解析式1、⼀般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择⼀般式。

2、顶点式:()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。

3、交点式:已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ,通常选⽤交点式:()()21x x x x a y --=。

4、顶点在原点,可设解析式为y=ax 2。

5、对称轴是y 轴(或者顶点在y 轴上),可设解析式为y= ax 2+c 。

6、顶点在x 轴上,可设解析式为()2h x a y -=。

7、抛物线过原点,可设解析式为y=ax2+bx 。

四、抛物线的对称性1、抛物线与x 轴有两个交点(x 1,0)(x 2,0),则对称轴为x=2x x 21+。

2、抛物线上有不同的两个交点(m ,a )(n,a ),则对称轴为x=2nm +。

3、抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0)与y 轴交点关于对称轴的对称点为(ab-, c)。

五、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系对于抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0),令y=0,即为⼀元⼆次⽅程02=++c bx ax ,⼀元⼆次⽅程的解就是⼆次函数与x 轴交点的横坐标。

要分三种情况:1、判别式△=b 2-4ac >0?抛物线与x 轴有两个不同的交点(ab 24acb -2+,0)(a b 24ac b --2,0)。

有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ,x 1·x 2=ac 。

2、判别式△=b 2-4ac=0?抛物线与x 轴有⼀个交点(ab 2-,0)。

3、判别式△=b 2-4ac=0?抛物线与x 轴⽆交点。

二次函数知识点总结及练习题

二次函数知识点总结及练习题

二次函数考点1、二次函数的概念定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 注意: (1)二次函数是关于自变量x 的二次式,二次项系数a 必须为非零实数,即a ≠0, 而b 、c 为任意实数。

(2)当b=c=0时,二次函数2ax y =是最简单的二次函数。

(3)二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a 自变量的取值为全体实数 (c bx ax ++2为整式)例1: 函数y=(m +2)x 22-m +2x -1是二次函数,则m= _______.例2:已知函数y=ax 2+bx +c (其中a ,b ,c 是常数),当a____时,是二次函数;当a______,b_____时,是一次函数;当a_______,b_______,c_________时,是正比例函数.例3:函数y=(m -n )x 2+mx +n 是二次函数的条件是( )A .m 、n 为常数,且m ≠0B .m 、n 为常数,且m ≠nC .m 、n 为常数,且n ≠0D .m 、n 可以为任何常数 例4: 下列函数中是二次函数的有( )①y=x +x 1;②y=3(x -1)2+2;③y=(x +3)2-2x 2;④y=2x1+x . A .1个 B .2个 C .3个 D .4个考点2、三种函数解析式:(1)一般式: y=ax 2+bx+c (a ≠0),对称轴:直线x=ab2- 顶点坐标:( a b ac a b 4422--, ) (2)顶点式:()k h x a y +-=2(a ≠0), 对称轴:直线x=h 顶点坐标为(h ,k )(3)交点式:y=a (x-x1)(x-x2)(a ≠0),对称轴:直线x=22x1x + (其中x1、x2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1:抛物线822--=x x y 的顶点坐标为____________;对称轴是___________。

二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目一.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点.二.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a . y=ax2 (a ≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式,顶点式和双根式,即: y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0).例题精析:1. 二次函数的概念,二次函数y =ax 2 (a ≠0)的图象性质二次函数的一般式为y =ax 2+bx +c(a ≠0)。

强调a ≠0.而常数b 、c 可以为0,当b ,c 同时为0时,抛物线为y =ax 2(a ≠0)。

此时,抛物线顶点为(0,0),对称轴是y 轴,即直线x =0。

例:已知函数4m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数,求:(1)满足条件的m 值;(2)m 为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x 为何值时,y 随x 的增大而增大? (3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时,y 随x 的增大而减小? 解: (1)使4m m 2x)2m (y -++=是关于x 的二次函数,则m 2+m -4=2,且m +2≠0,即:m 2+m -4=2,m +2≠0,解得;m =2或m =-3,m ≠-2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上,即m +2>0, (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下,即m +2<0。

二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)

二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)

二次函数专题一:二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是(-2ba,244ac b a -).例 1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -,.(1)求m 、c 的值;(2)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过( )A .第一、二、三象限B .第一、二、四象限C .第二、三、四象限D .第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0(k<0)时,抛物线y=ax 2+k (a ≠0)的图象可由抛物线y=ax 2向上(或向下)平移|k|个单位得到;当h>0(h<0)时,抛物线y=a (x-h )2(a ≠0)的图象可由抛物线y=ax 2向右(或向左)平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是( ) A.y=3(x+2)2 B.y=3(x-2)2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2图1专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是( ) A.开口向下,顶点坐标为(5,3) B.开口向上,顶点坐标为(5,3) C.开口向下,顶点坐标为(-5,3) D.开口向上,顶点坐标为(-5,3) 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为(0,-3),则下列说法不正确的是( ) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为(-1,0),(3,0)3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息:①0c <;②0abc >;③0a b c -+>;④230a b -=;⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.(填序号)专题复习二:二次函数表达式的确定 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y (单位:米2)与x (单位:米)的函数关系式为 (不要求写出自变量x 的取值范围).考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0);2.若已知抛物线的顶点坐标或最大(小)值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式:y=a (x-h )2+k (a ≠0);3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式:y=a (x-x 1)(x-x 2)(a ≠0). 例2 已知抛物线的图象以A (-1,4)为顶点,且过点B (2,-5),求该抛物线的表达式.图2ABCD图1菜园墙例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A (-2,0)、B (1,0),且经过点C (2,8). (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为( )A.y=2a (x-1)B.y=2a (1-x )C.y=a (1-x 2)D.y=a (1-x )22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C ,且tan ∠ACO=12,CO=BO ,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 .3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点(0,-2),且x=1时,y=3;x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算:二次函数的图象经过点(03)A -,,(23)B -,,(10)C -,. (1)求此二次函数的关系式; (2)求此二次函数图象的顶点坐标;(3)填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少..平移 个单位,使得该图象的顶点在原点. 专题三:二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0(a ≠0,a,b,c,为常数)的一个解x 的范围是( )x6.17 6.18 6.19 6.202y ax bx c =++0.03- 0.01- 0.02 0.04A.6 6.17x <<B.6.17 6.18x << C.6.18 6.19x <<D.6.19 6.20x <<图2考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点、一个交点、没有交点;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是( ) A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 .3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是( )A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程20ax bx c ++=的两个根.(2)写出不等式20ax bx c ++>的解集.(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围.(4)若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.图1。

二次函数知识点、考点、典型试题(附答案详解)

二次函数知识点、考点、典型试题(附答案详解)

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)考点1:二次函数的图象和性质一、考点讲解:1.二次函数的定义:形如c bx ax y ++=2(a ≠0,a ,b ,c 为常数)的函数为二次函数.2.二次函数的图象及性质:⑴ 二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线,其顶点是原点,对称轴是y 轴;当a >0时,抛物线开口向上,顶点是最低点;当a <0时,抛物线开口向下,顶点是最高点;a 越小,抛物线开口越大.y=a(x -h)2+k 的对称轴是x=h ,顶点坐标是(h ,k )。

⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线.顶点为(-2b a ,244ac b a -),对称轴x=-2b a ;当a >0时,抛物线开口向上,图象有最低点,且x >-2b a ,y 随x 的增大而增大,x <-2ba ,y 随x 的增大而减小;当a <0时,抛物线开口向下,图象有最高点,且x >-2b a ,y 随x 的增大而减小,x <-2ba ,y 随x 的增大而增大.⑶ 当a >0时,当x=-2b a 时,函数有最小值244ac b a -;当a <0时,当 x=-2b a 时,函数有最大值244ac b a -。

3.图象的平移:将二次函数y=ax 2 (a ≠0)的图象进行平移,可得到y=ax 2+c ,y=a(x -h)2,y=a(x -h)2+k 的图象.⑴ 将y=ax 2的图象向上(c >0)或向下(c< 0)平移|c|个单位,即可得到y=ax 2+c 的图象.其顶点是(0,c ),形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同.⑵ 将y=ax 2的图象向左(h<0)或向右(h >0)平移|h|个单位,即可得到y=a(x -h)2的图象.其顶点是(h ,0),对称轴是直线x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同.⑶ 将y=ax 2的图象向左(h<0)或向右(h >0)平移|h|个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位,即可得到y=a(x -h)2 +k 的图象,其顶点是(h ,k ),对称轴是直线x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同.注意:二次函数y=ax 2 与y=-ax 2 的图像关于x 轴对称。

二次函数知识点归纳及相关习题(含答案)

二次函数知识点归纳及相关习题(含答案)
2

a 的符号
开口方向 向上
顶点坐标
对称轴
性质
a0
0 ,0 0 ,0
y轴
x 0 时, y 随 x 的增大而增大; x 0 时, y 随 x 的增大而减小;x 0 时,y 有最小值 0 . x 0 时, y 随 x 的增大增大而减小; x 0 时, y 随 x 的增大而增大; x 0 时, y 有最 大值 0 .
2
二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
关于 x 轴对称 y ax 2 bx c 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ax 2 bx c ;
y a x h k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y a x h k ;
2
二次函数由特殊到一般, 可分为以下几种形式: ① y ax ; ② y ax k ; ③ y ax h ;
2 2
2
b 4ac b 2 . ,k 2a 4a
2

顶点式: y a( x h) 2 k ( a , h , k 为常数, a 0 ) ; 两根式: y a( x x1 )( x x2 ) ( a 0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式, 但并非所有的二次函数都可以写成交 2 点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b 4ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次 函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数 y ax 的性质
抛物线与 x 轴的交点:二次函数 y ax bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x 2 ,

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)知识点一:二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意a 不为零,那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征:①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。

3、二次函数图像的画法--------五点作图法:(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点:当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。

【例1】 已知函数y=x 2-2x-3,(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。

然后画出函数图象的草图;(2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积:(3)根据第(1)题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0;② y<0;③ y>0二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,(2) 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应的一元二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

九年级数学 二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)

九年级数学 二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)

二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)一、二次函数知识点一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质:左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质:1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,;⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大;⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结:3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---; 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++; 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)2y a x b x c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-;()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+. 5. 关于点()m n ,对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点;③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;3. 二次函数常用解题方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的二、专题与考点专题一:二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是(-2b a,244ac b a-). 例 1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -,. (1)求m 、c 的值;(2)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过( ) A .第一、二、三象限 B .第一、二、四象限 C .第二、三、四象限 D .第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0(k<0)时,抛物线y=ax 2+k (a ≠0)的图象可由抛物线y=ax 2向上(或向下)平移|k|个单位得到;当h>0(h<0)时,抛物线y=a (x-h )2(a ≠0)的图象可由抛物线y=ax 2向右(或向左)平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是( ) A.y=3(x+2)2 B.y=3(x-2)2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是( ) A.开口向下,顶点坐标为(5,3) B.开口向上,顶点坐标为(5,3) C.开口向下,顶点坐标为(-5,3) D.开口向上,顶点坐标为(-5,3) 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为(0,-3),则下列说法不正确的是( ) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为(-1,0),(3,0)3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息:①0c <;②0abc >;③0a b c -+>;④230a b -=;⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.(填序号)图2图1专题复习二:二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x米,则菜园的面积y(单位:米2)与x(单位:米)的函数关系式为(不要求写出自变量x的取值范围).考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);2.若已知抛物线的顶点坐标或最大(小)值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0);3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).例2 已知抛物线的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5),求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y元,原价为a元,则y与x之间的函数表达式为()A.y=2a(x-1)B.y=2a(1-x)C.y=a(1-x2)D.y=a(1-x)22.如图2,在平而直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,点A在x轴负半轴,点B在x轴正半轴,与y轴交于点C,且AOOC=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是.A BC D图1菜园墙图23.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点(0,-2),且x=1时,y=3;x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算:二次函数的图象经过点(03)A -,,(23)B -,,(10)C -,. (1)求此二次函数的关系式; (2)求此二次函数图象的顶点坐标;(3)填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少..平移 个单位,使得该图象的顶点在原点.专题三:二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0(a ≠0,a,b,c,为常数)的一个解x 的范围是( )A.6 6.17x <<B.6.17 6.18x << C.6.18 6.19x <<D.6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点、一个交点、没有交点;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.图1考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是( ) A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 .3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是( )A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程20ax bx c ++=的两个根. (2)写出不等式20ax bx c ++>的解集.(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围.(4)若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.专题四:利用二次函数解决实际问题:本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例:某商场将进价2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S(单位:平方米)随矩形一边长x(单位:米)的变化而变化.(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)当x是多少时,矩形场地面积S最大?最大面积是多少?2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?3.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),求抛物线的解析式;(2)求支柱EF的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.三、典型例题题型 1 二次函数的概念例1(基础).二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是( ) A .(-1,8) B.(1,8) C (-1,2) D (1,-4) 点拨:本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.(拓展,2008年武汉市中考题,12)下列命题中正确的是( ) ○1若b 2-4ac >0,则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2-4ac=0,则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点,且这个交点就是抛物线顶点。

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析解答)

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析解答)

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)考点1:二次函数的图象和性质一、考点讲解:1.二次函数的定义:形如c bx ax y ++=2(a ≠0,a ,b ,c 为常数)的函数为二次函数.2.二次函数的图象及性质:⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0)的图象是一条抛物线,其顶点是原点,对称轴是y 轴;当a >0时,抛物线开口向上,顶点是最低点;当a <0时,抛物线开口向下,顶点是最高点;a 越小,抛物线开口越大.y=a(x -h)2+k 的对称轴是x=h ,顶点坐标是(h ,k )。

⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线.顶点为(-2b a ,244ac b a -),对称轴x=-2b a ;当a >0时,抛物线开口向上,图象有最低点,且x >-2b a ,y 随x 的增大而增大,x <-2b a ,y 随x 的增大而减小;当a <0时,抛物线开口向下,图象有最高点,且x >-2b a ,y 随x 的增大而减小,x <-2ba ,y 随x 的增大而增大.⑶ 当a >0时,当x=-2b a 时,函数有最小值244ac b a -;当a <0时,当 x=-2b a 时,函数有最大值244ac b a -。

3.图象的平移:将二次函数y=ax 2 (a ≠0)的图象进行平移,可得到y=ax 2+c ,y=a(x -h)2,y=a(x -h)2+k 的图象.⑴ 将y=ax 2的图象向上(c >0)或向下(c< 0)平移|c|个单位,即可得到y=ax 2+c 的图象.其顶点是(0,c ),形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同.⑵ 将y=ax 2的图象向左(h<0)或向右(h >0)平移|h|个单位,即可得到y=a(x -h)2的图象.其顶点是(h ,0),对称轴是直线x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同.⑶ 将y=ax 2的图象向左(h<0)或向右(h >0)平移|h|个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位,即可得到y=a(x -h)2 +k 的图象,其顶点是(h ,k ),对称轴是直线x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同.注意:二次函数y=ax 2 与y =-ax 2 的图像关于x 轴对称。

二次函数知识点总结及典型练习

二次函数知识点总结及典型练习

二次函数知识点总结及典型练习二次函数知识点总结及典型练习二次函数知识点总结一.定义:一般地,如果ya某2b某c(a,b,c是常数,a0),那么y叫做某的二次函数.练习:当m取何值时,函数是y(m2)某m22是二次函数?二、几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方对称轴顶点坐标向某0(0,0)(y轴)ya某2当a0某0(y轴)(0,k)ya某2k时2某m(m,0)ya某m开口向2某m上(m,k)ya某mk当a0ya某某1某某2时某某2某12开口向2b下ya某2b某cb4acb某,()最值2a2a4a二次函数的最值问题(1)一般式:y=a某2+b某+c中,当a>0时,某=___________,y时,某=___________,y 最大=___________.(2)顶点式:ya某mk,若a>0,当某=___________,y2最小最小=___________;当a2.抛物线y=某2+a某+b向左平移2个单位再向上平移3个单位得到抛物线y=某2-2某+1,则()A.a=2,b=-2B.a=-6,b=6C.a=-8,b=14D.a=-8,b=18四、函数的增减性1.已知(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=某2-4某+m上的点,则y1,y2,y3从小到大用“2.已知二次函数y=a某+b某+c的图象如图所示,下面结论:(1)a+b+c0;(3)abc>0;(4)b=2a.其中正确的结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个3.已知二次函数y=a某2+b某+c(a≠0)的图象如右上图所示,给出以下结论:①a+b+c八.求当某为何值时,y>0,y=0,y扩展阅读:二次函数知识点总结及典型练习二次函数知识点总结一.定义:一般地,形如___________________________________,那么y 叫做某的二次函数.练习:当m取何值时,函数是y(m2)某二、几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式ya某2m22是二次函数?开口方向对称轴顶点坐标最值当a0时开ya某2k口_______ya某m2ya某hk2当a0时开口________ya某某1某某2ya某2b某c二次函数的最值问题(1)一般式:y=a某2+b某+c中,当a>0时,某=___________,y时,某=___________,y最大=___________.(2)顶点式:ya某hk,若a>0,当某=___________,y2最小最小=___________;当a1.抛物线y11(某2)21可由抛物线y某2()而得到。

二次函数知识点及重点题练习答案解析

二次函数知识点及重点题练习答案解析
在第一象限内,图象都下凹.
答案
基础训练
1
3
1.函数 y= 的大致图象是( B ).
【解析】取值验证可知,函数
1
y= 3 的大致图象是选项
B 中的图象.
答案
解析
2
2.若二次函数 y=-2x -4x+t 的图象的顶点在 x 轴上,则 t 的值是( C ).
A.-4
B.4
C.-2
D.2
【解析】∵二次函数的图象的顶点在 x 轴上,∴Δ=16+8t=0,可
2.五种常见幂函数的图象
答案
3.幂函数的性质
(1)当 α>0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (0,0) 和 (1,1) ,在(0,+∞)上
是 增函数 .在第一象限内,当 α>1 时,图象下凹,当 0<α<1 时,图象上凸.
(2)当 α<0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (1,1) ,在(0,+∞)上是 减函数 .
4
2
∴h(m)=
-2m +
2
17 3
4
, < m ≤ 1,
4
3
-3 + 4m + 2,0 < m ≤ .
4
点拨:解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
当 a≠0 时,f(x)图象的对称轴为直线
3-
x= ,

二次函数知识点总结及典型练习

二次函数知识点总结及典型练习

二次函数知识点总结及典型试题知识点一:二次函数解析式种类⑴一般式:y=ax 2+bx+c(a≠0,a 、b 、c 为常数) ⑵顶点式:y=a(x-h)2+k (a ≠0) ⑶特殊式:y=ax 2;y=ax 2+c ;y=ax 2+bx (a ≠0) ⑷交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2) (a ≠0)1.函数y=(m +2)x 22 m +2x -1是二次函数,求m 的值.2.函数y=(m -n )x 2+mx +n 是二次函数的条件是( )A .m 、n 为常数,且m ≠0B .m 、n 为常数,且m ≠nC .m 、n 为常数,且n ≠0D .m 、n 可以为任何常数3.用配方法将二次函数y=4x 2-24x+26写成y=a(x-h)2+k 的形式是4. 用配方法将二次函数y=2x 2﹣4x ﹣6化为y=a (x ﹣h )2+k 的形式。

5.利用配方法将二次函数y=x 2+2x +3化为y=a (x ﹣h )2+k (a ≠0)的形式为( )A .y=(x ﹣1)2﹣2B .y=(x ﹣1)2+2C .y=(x +1)2+2D .y=(x +1)2﹣26.将二次函数y=x 2﹣2x +3化为y=(x ﹣h )2+k 的形式,结果为( )A .y=(x +1)2+4B .y=(x ﹣1)2+4C .y=(x +1)2+2D .y=(x ﹣1)2+2 知识点二:二次函数图象的画法⑴描点法(列表、描点、连线)⑵平移法:y=ax 2→y=ax 2+c ; y=ax 2→y=a(x+h)2; y=ax 2→y=a(x+h)2→y=a(x+h)2+k 具体步骤:第一步:将一般式变形为顶点式(配方法)第二步:找出原型函数并用描点法画出其图象第三步:先左右平移,再上下平移。

(移动规律是“上加下减,左加右减”)。

(3)四点法(与x 轴交点坐标,与y 轴交点坐标,顶点坐标)1.函数y=1/2(x+3)2-2的图象可由函数y=1/2x 2的图象向 平移3个单位,再向 平移2个单位得到。

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二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=,.5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2;⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =.(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>ab(即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0<a b(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式.(2)顶点式:()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交;②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点;③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题1.抛物线y =x 2+2x -2的顶点坐标是 ( D )A.(2,-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.(-1,-3) 2.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论正确的是( C )A.ab >0,c >0 B.ab >0,c <0 C.ab <0,c >0 D.ab <0,c <第2,3题图 第4题图3.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论正确的是( D ) A .a >0,b <0,c >0 B .a <0,b <0,c >0 C .a <0,b >0,c <0 D .a <0,b >0,c >04.如图,已知∆ABC 中,BC=8,BC 上的高h =4,D 为BC 上一点,EF BC //,交AB 于点E ,交AC 于点F (EF 不过A 、B ),设E 到BC 的距离为x ,则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为( D )D2482,484EF xEF x y xx -=⇒=-∴=-+ 5.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点,则AB 的长为 4 .6.已知二次函数11)(2k 2--+=x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x (21x x <),则对于下列结论:①当x =-2时,y =1;②当2x x >时,y >0;③方程011)(22=-+-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ;④11-<x ,12>-x ;⑤21x x k-=,其中所有正确的结论是 ①③④ (只需填写序号).7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.(1)若该抛物线过点B ,且它的顶点P 在直线b x y +-=2上,试确定这条抛物线的解析式;(2)过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ,若抛物线的对称轴恰好过C 点,试确定直线b x y +-=2的解析式.解:(1)102-=x y 或642--=x x y将0)b (,代入,得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-,由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-,解得1210,6b b =-=-.(2)22--=x y8.有一个运算装置,当输入值为x 时,其输出值为y ,且y 是x 的二次函数,已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-.(1)求此二次函数的解析式;(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.解:(1)设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b ac ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . (2)函数图象如图所示.由图象可得,当输出值y 为正数时, 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x .9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图.请根据图象回答:⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到 22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解 析式.解:⑴第一天中,从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C .是否存在实数a ,使得 △ABC 为直角三角形.若存在,请求出a 的值;若不 存在,请说明理由.解:依题意,得点C 的坐标为(0,4).设点A 、B 的坐标分别为(1x ,0),(2x ,0), 由04)334(2=+++x a ax ,解得 31-=x ,ax 342-=. ∴ 点A 、B 的坐标分别为(-3,0),(a34-,0). ∴ |334|+-=aAB ,522=+=OC AO AC , =+=22OC BO BC 224|34|+-a. ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB , 252=AC ,1691622+=a BC . 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时,∠ACB =90°. 由222BC AC AB +=,得)16916(259891622++=+-a a a . 解得 41-=a .∴ 当41-=a 时,点B 的坐标为(316,0),96252=AB ,252=AC ,94002=BC . 于是222BC AC AB +=. ∴ 当41-=a 时,△ABC 为直角三角形. 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时,∠ABC =90°. 由222BC AB AC +=,得)16916()98916(2522+++-=aa a . 解得 94=a . 当94=a 时,3943434-=⨯=-a ,点B (-3,0)与点A 重合,不合题意.〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时,∠BAC =90°. 由222AB AC BC +=,得)98916(251691622+-+=+aa a . 解得 94=a .不合题意. 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉,当41-=a 时,△ABC 为直角三角形. 11.已知抛物线y =-x 2+mx -m +2.(1)若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧,并且ABm 的值; (2)设C 为抛物线与y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ,并且 △MNC 的面积等于27,试求m 的值.解: (1)A(x 1,0),B(x 2,0) . 则x 1 ,x 2是方程 x 2-mx +m -2=0的两根. ∵x 1 + x 2 =m , x 1·x 2 =m -2 <0 即m <2 ;又AB =∣x 1 — x 2=∴m 2-4m +3=0 .解得:m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . (2)M(a ,b),则N(-a ,-b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩ ①②①+②得:-2a 2-2m +4=0 . ∴a 2=-m +2 . ∴当m <2时,才存在满足条件中的两点M 、N.∴a = .这时M 、N 到y 又点C 坐标为(0,2-m ),而S △M N C = 27 ,∴2³12³(2-m =27 . ∴解得m=-7 .12.已知:抛物线t ax ax y ++=42与x 轴的一个交点为A (-1,0).(1)求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标;(2)D 是抛物线与y 轴的交点,C 是抛物线上的一点,且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9,求此抛物线的解析式;(3)E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点,如果点E 在(2)中的抛物线上,且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△APE 的周长最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解法一:(1)依题意,抛物线的对称轴为x =-2. ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A (-1,0),∴ 由抛物线的对称性,可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(-3,0).(2)∵ 抛物线t ax ax y ++=42与x 轴的一个交点为A (-1, 0), ∴ 0)1(4)1(2=+-+-t a a .∴ t =3a .∴ a ax ax y 342++=.∴ D (0,3a ).∴ 梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且点C 在抛物线a ax ax y 342++= 上, ∵ C (-4,3a ).∴ AB =2,CD =4. ∵ 梯形ABCD 的面积为9,∴ 9)(21=OD CD AB ⋅+.∴ 93)42(21=+a .∴ a ±1.∴ 所求抛物线的解析式为342++=x x y 或342---ax x y =. (3)设点E 坐标为(0x ,0y ).依题意,00<x ,00<y , 且2500=x y .∴ 0025x y =-.①设点E 在抛物线342++=x x y 上,∴340200++=x x y .解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000++==-x x y x y 得⎩⎨⎧-;=,=15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'.=,=452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x =-2的同侧,∴ 点E 坐标为(21-,45). 设在抛物线的对称轴x =-2上存在一点P ,使△APE 的周长最小. ∵ AE 长为定值,∴ 要使△APE 的周长最小,只须PA +PE 最小. ∴ 点A 关于对称轴x =-2的对称点是B (-3,0), ∴ 由几何知识可知,P 是直线BE 与对称轴x =-2的交点. 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y +=,∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521=+-=+n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21==n m ∴ 直线BE 的解析式为2321+=x y .∴ 把x =-2代入上式,得21=y . ∴ 点P 坐标为(-2,21). ②设点E 在抛物线342---x x y =上,∴ 340200---x x y =.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ==- 消去0y ,得03x 23x 020=++.∴ △<0 . ∴ 此方程无实数根. 综上,在抛物线的对称轴上存在点P (-2,21),使△APE 的周长最小. 解法二:(1)∵ 抛物线t ax ax y ++=42与x 轴的一个交点为A (-1,0), ∴ 0)1(4)1(2=+-+-t a a .∴ t =3a .∴ a ax ax y 342++=.令 y =0,即0342=++a ax ax .解得 11=-x ,32=-x . ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(-3,0).(2)由a ax ax y 342++=,得D (0,3a ). ∵ 梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且点C 在抛物线a ax ax y 342++=上,∴ C (-4,3a ).∴ AB =2,CD =4. ∵ 梯形ABCD 的面积为9,∴ 9)(21=+OD CD AB ⋅.解得OD =3. ∴ 33=a .∴ a ±1.∴ 所求抛物线的解析式为342++=x x y 或342--=-x x y .(3)同解法一得,P 是直线BE 与对称轴x =-2的交点. ∴ 如图,过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q .设对称轴与x 轴的交点为F .由PF ∥EQ ,可得EQPF BQ BF =.∴ 45251PF=.∴ 21=PF .∴ 点P 坐标为(-2,21).以下同解法一.13.已知二次函数的图象如图所示.(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标.(2)若点N 为线段BM 上的一点,过点N 作x 轴的垂线,垂足为点Q .当点N 在线段BM 上运动时(点N 不与点B ,点M 重合),设NQ 的长为l ,四边形NQAC 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围;(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ,使△PAC 为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(4)将△OAC 补成矩形,使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程).解:(1)设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ,∴ )2(12-⨯⨯=-a .∴ 1=a .∴ 22--=x x y .其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921,.(2)设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=,点N 的坐标为N (t ,h ),∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ,.解得23=k ,3-=b . ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y . ∴ 323-=t h ,其中221<<t .∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t . ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ,自变量t 的取值范围是221<<t . (3)存在符合条件的点P ,且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232,P . 设点P 的坐标为P )(n m ,,则22--=m m n . 222)1(n m PA ++=,5)2(2222=++=AC n m PC ,.分以下几种情况讨论:i )若∠PAC =90°,则222AC PA PC +=.∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n , 解得:251=m ,12-=m (舍去). ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251,P . ii )若∠PCA =90°,则222AC PC PA +=.∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n , 解得:02343==m m ,(舍去).∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232,-P . iii )由图象观察得,当点P 在对称轴右侧时,AC PA >,所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角.(4)以点O ,点A (或点O ,点C )为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA (或边OC )的对边上,如图a ,此时未知顶点坐标是点D (-1,-2),以点A ,点C 为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上,如图b ,此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251,,F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854,.图a 图b 14.已知二次函数22-=ax y 的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x 轴的交点的个数.解:根据题意,得a -2=-1.∴ a =1. ∴ 这个二次函数解析式是22-x y =.因为这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是(0,-2),所以该函数图象与x 轴有两个交点.15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB =5 cm ,拱高OC =0.9 cm ,线段DE 表示大桥拱内桥长,DE ∥AB ,如图(1).在比例图上,以直线AB 为x 轴,抛物线的对称轴为y 轴,以1 cm 作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域; (2)如果DE 与AB 的距离OM =0.45 cm ,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:4.12≈,计算结果精确到1米).解:(1)由于顶点C 在y 轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092+=ax y . 因为点A (25-,0)(或B (25,0))在抛物线上, 所以109)25(02+=-⋅a ,得12518=-a . 因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y +=-. (2)因为点D 、E 的纵坐标为209, 所以109125182092+-x =,得245±=x .所以点D 的坐标为(245-,209),点E 的坐标为(245,209). 所以225)245(245=-=-DE . 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯=(米). 16.已知在平面直角坐标系内,O 为坐标原点,A 、B 是x 轴正半轴上的两点,点A 在点B 的左侧,如图.二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象经过点A 、B ,与y 轴相交于点C .(1)a 、c 的符号之间有何关系?(2)如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项,试证a 、c 互为倒数;(3)在(2)的条件下,如果b =-4,34=AB ,求a 、c 的值.解:(1)a 、c 同号. 或当a >0时,c >0;当a <0时,c <0.(2)证明:设点A 的坐标为(1x ,0),点B 的坐标为(2x ,0),则210x x <<. ∴ 1x OA =,2x OB =,c OC =.据题意,1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ++的两个根. ∴ a c x x =⋅21. 由题意,得2OC OB OA =⋅,即22c c a c==. 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时,a 、c 互为倒数.(3)当4-=b 时,由(2)知,0421>==-+aa b x x ,∴ a >0.解法一:AB =OB -OA =21221124)(x x x x x x -+=-, ∴ aa ac a ca AB 32416)(4)4(22=-==-. ∵ 34=AB , ∴ 3432=a .得21=a .∴ c =2. 解法二:由求根公式,aa a ac x 322416424164±-±-±===,∴ ax 321-=,a x 322+=. ∴ a a a x x OA OB AB 32323212=--=-=-=+. ∵ 34=AB ,∴ 3432=a ,得21=a .∴ c =2. 17.如图,直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ,⊙E 经过原点O 及A 、B 两点. (1)C 是⊙E 上一点,连结BC 交OA 于点D ,若∠COD =∠CBO ,求点A 、B 、C 的坐标;(2)求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式:(3)若延长BC 到P ,使DP =2,连结AP ,试判断直线PA 与⊙E 的位置关系,并说明理由.解:(1)连结EC 交x 轴于点N (如图).∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点.∴ A (3,0),B )3,0(. 又∠COD =∠CBO . ∴ ∠CBO =∠ABC .∴ C 是的中点. ∴ EC ⊥OA .∴ 232,2321====OB EN OA ON . 连结OE .∴ 3==OE EC . ∴ 23=-=EN EC NC .∴ C 点的坐标为(23,23-). (2)设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y .∵ C (23,23-). ∴)323(2323-⋅=-a .∴ 392=a . ∴ x x y 8329322-=为所求. (3)∵ 33tan =∠BAO , ∴ ∠BAO =30°,∠ABO =50°. 由(1)知∠OBD =∠ABD .∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD . ∴ OD =OB ²tan30°-1.∴ DA =2.∵ ∠ADC =∠BDO =60°,PD =AD =2.∴ △ADP 是等边三角形.∴ ∠DAP =60°.∴∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即PA⊥AB.即直线PA是⊙E的切线.。

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