大学高数同济大学出版第六版上册第三章课后习题解析

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高等数学第六版(同济大学)上册课后习题与答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2,⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ.9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解不是周期函数. (5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

2020年同济大学线性代数第六版第三章《矩阵的初等变换与线性方程组》同步练习与解析

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311;解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000410003011020201. 2.设A=(12 342 3 455 4 32)，求一个可逆矩阵P ，使PA 为行最简形矩阵。

2019年同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)3.doc

习题11-81. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式): (1))2121(1)(2<≤--=x x x f ;解因为f (x )=1-x 2为偶函数, 所以b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 而611)1(4)1(2/12210221020=-=-=⎰⎰dx x dx x a ,⎰-=21022/1cos )1(2/12dx x n x a n π 2212102)1(2cos )1(4ππn xdx n x n +-=-=⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),由于f (x )在(-∞, +∞)内连续, 所以∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤<≤-=121 1210 101 )(x x x x x f ;解 21)(1212100111-=-+==⎰⎰⎰⎰--dx dx xdx dx x f a n ,⎰⎰⎰⎰-+==--1212100111cos cos cos cos )(xdx n xdx n xdx n x xdx n x f a n ππππ 2sin 2])1(1[122πππn n n n +--= (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ⎰⎰⎰⎰-+==--121210111sin sin sin sin )(πππππππn n n 12cos 2+-= (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 而在(-∞, +∞)上f (x )的间断点为x =2k , 212+k , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅, 故 }s i n 2c o s 21c o s ]2s i n 2)1(1{[41)(122x n n n x n n n n x f n n πππππππ-++--+-=∑∞=(x ≠2k , 212+≠k x , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(3)⎩⎨⎧<≤<≤-+=30 1 03 12)(x x x x f .解 1])12([31)(313003330-=++==⎰⎰⎰--dx dx x dx x f a ,]3cos 3cos )12([313cos )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f a n πππ])1(1[622n n --=π(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ), ]3sin 3sin )12([313sin )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f b n πππn n )1(6-=π(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ),而在(-∞, +∞)上, f (x )的间断点为 x =3(2k +1), k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅,故 }3sin 6)1(3cos])1(1[6{21)(1122∑∞=+-+--+-=n n n x n n x n n x f ππππ,(x ≠3(2k +1), k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:(1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=lx x l l x x x f 2l20 )(; 解正弦级数:对f (x )进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),2sin 4]sin )(sin [22221210ππππn n l dx l x n x l dx l x n x l b l n =-+=⎰⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )故 ∑∞==122sin 2sin14)(n l x n n nl x f πππ, x ∈[0, l ].余弦级数:对f (x )进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为2])([2212100l dx x l xdx l a l =-+=⎰⎰,⎰⎰-+=l n dx l x n x l dx l x n x l a 21210]cos )(cos [2ππ])1(12cos2[222n n n l ---=ππ(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ),故 lx n n n l l x f n n πππcos ])1(12cos2[124)(122∑∞=---+=, x ∈[0, l ].(2)f (x )=x 2(0≤x ≤2).解正弦级数:对f (x )进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),]1)1[()(168)1(2sin2231202--+-==+⎰n n n n n dx x n x b πππ,故 2sin }]1)1[()(168)1{()(131x n n n x f n n n πππ∑∞=+--+-=2sin}]1)1[(2)1({811x n n n n n n ππ∑∞=+--+-=, x ∈[0, 2).余弦级数:对f (x )进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为38222020==⎰dx x a 2202)(16)1(2cos22ππn dx x n x a n n -==⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),故 2cos)(16)1(34)(12x n n x f n n ππ∑∞=-+=2cos)1(1634122x n n n n ππ∑∞=-+=, x ∈[0, 2].总习题十一 1. 填空: (1)对级数∑∞=1n n u , 0lim =∞→n n u 是它收敛的________条件, 不是它收敛的________条件; 解必要; 充分.(2)部分和数列{s n }有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的________条件; 解充分必要. (3)若级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定________; 若级数∑∞=1n n u 条件收敛, 则级数∑∞=1||n n u 必定________. 解收敛; 发散.2. 判定下列级数的收敛性: (1)∑∞=11n n nn ; 解因为11lim 11lim==∞→∞→n n n n nn n n ,而调和级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知, 级数发散. (2)∑∞=1222)!(n nn ;解因为∞==⋅++=∞→∞→+∞→222221lim )!(2)1(2])!1[(lim lim n n n n n u u n n n n n , 故由比值审敛法知, 级数发散.(3) ∑∞=1223cos n n n n π; 解因为n n n n n 223cos 2<π, 12121lim 2lim <==∞→∞→n n n n n n n 所以由根值审敛法, 级数∑∞=12n n 收敛; 由比较审敛法, 级数∑∞=1223cos n nn n π收敛. (4)∑∞=110ln 1n n;解因为∞==∞→∞→nn n u n n n 10ln lim 1lim , 而调和级数∑∞=11n n 发散, 故由比较审敛法知, 原级数发散. 提示: ∞===⋅⋅⋅==⋅=∞→∞→∞→∞→∞→xx x xx x x x x x x x x x 11lim !101ln lim !101 ln lim 1011ln 101lim ln lim 9910 (5)∑∞=1n s n na (a >0, s >0). 解因为 a n a n a sn n ns n n ==∞→∞→)(lim lim , 故由根值审敛法知, 当a <1时级数收敛, 当a >1时级数发散. 当a =1时, 原级数成为∑∞=11n s n, 这是p =s 的p -级数, 当s >1时级数收敛, 当s ≤1时级数发散. 3. 设正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 证明级数∑∞=+12)(n n n v u 与收敛. 证明因为∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 所以0lim =∞→n n u , 0lim =∞→n n v . 又因为0)2(lim 2lim 2=+=+∞→∞→n n n nn n n n v u u v u u , 0lim lim 2==∞→∞→n n n nn v v v ,所以级数∑∞=+12)2(n n n n v u u 和级数∑∞=12n n v 都收敛, 从而级数∑∑∞=∞=+=++12122)(])2[(n n n n n n n n v u v v u u也是收敛的.4. 设级数∑∞=1n n u 收敛, 且1lim =∞→nnn u v , 问级数∑∞=1n n v 是否也收敛？试说明理由. 解级数∑∞=1n n v 不一定收敛. 当∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数时, 级数∑∞=1n n v 收敛, 否则未必. 例如级数∑∞=-11)1(n n 收敛, 但级数∑∞=+-1]11)1[(n n n 发散, 并且有11)1(11)1(lim=-+-∞→nn n n . 5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: (1)∑∞=-11)1(n p n n ; 解 ∑∑∞=∞==-111|1)1(|n p n p nnn 是p 级数. 故当p >1时级数∑∞=11n p n 是收敛的, 当p ≤1时级数∑∞=11n p n 发散. 因此当p >1时级数∑∞=-11)1(n p n n 绝对收敛. 当0<p ≤1时, 级数∑∞=-11)1(n p n n 是交错级数, 且满足莱布尼茨定理的条件, 因而收敛, 这时是条件收敛的.当p ≤0时, 由于01)1(lim ≠-∞→p nn n , 所以级数∑∞=-11)1(n p n n 发散.综上所述, 级数∑∞=-11)1(n p n n 当p >1时绝对收敛, 当0<p ≤1时条件收敛, 当p ≤0时发散.(2)∑∞=+++-1111sin )1(n n n n ππ; 解因为1111|1s i n )1(|+++≤+-n n n n πππ, 而级数∑∞=+111n n π收敛, 故由比较审敛法知级数|1sin )1(|111∑∞=+++-n n n n ππ收敛, 从而原级数绝对收敛.(3)∑∞=+-11ln )1(n n n n ; 解因为1ln )11ln(lim 1ln lim 1|1ln )1(|lim ==+=+=+-∞→∞→∞→e n n n n n n n n n n n n , 而级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知级数|1ln)1(|1∑∞=+-n n n n 发散, 即原级数不是绝对收敛的.另一方面, 级数∑∞=+-11ln )1(n nn n 是交错级数, 且满足莱布尼茨定理的条件, 所以该级数收敛, 从而原级数条件收敛.(4)∑∞=++-11)!1()1(n n n nn . 解令1)!1()1(++-=n n n n n u . 因为11)11(112lim )1(12lim)!1()1()!2(lim ||||lim 121<=+⋅++=+⋅++=+⋅++∞→∞→++∞→+∞→e nn n n n n n n n n n u u n n n n n n n n n n ,故由比值审敛法知级数|)!1()1(|11∑∞=++-n n n n n 收敛, 从而原级数绝对收敛.6. 求下列级限:(1)∑=∞→+nk k k n k n 12)11(311lim ;解显然∑=+=nk k k n k s 12)11(31是级数∑∞=+12)11(31n n n n 的前n 项部分和.因为13)11(31lim )11(31lim 2<=+=+∞→∞→e n n n n nn n n , 所以由根值审敛法, 级数∑∞=+12)11(31n n n n 收敛, 从而部分和数列{s n }收敛.因此01lim )11(311lim 12=⋅=+∞→=∞→∑n n nk k k n s n k n .(2)])2( 842[lim 312719131n n ⋅⋅⋅⋅⋅∞→.解n n nn3 27392313127191312)2( 842+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅.显然n n n s 3 2739231+⋅⋅⋅+++=是级数∑∞=13n n n 的前n 项部分和.设∑∞=-=11)(n n nx x S , 则210)1(1]111[][])([)(x x x dx x S x S n n x-='--='='=∑⎰∞=. 因为43)311(131)31(31)31(3132111=-⋅===∑∑∞=-∞=S n n n n n n , 所以43lim =∞→n n s , 从而4331271913122lim ])2( 842[lim ==⋅⋅⋅⋅⋅∞→∞→n n s n nn .7. 求下列幂级数的收敛域:(1)∑∞=+153n n n n x n ; 解 51)53(5)53(31lim 53153lim ||lim 111=++⋅+=+⋅++=∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n n n a a , 所以收敛半径为51=R . 因为当51=x 时, 幂级数成为]1)53[(11+∑∞=n n n , 是发散的;当51-=x 时, 幂级数成为]1)53[()1(1+-∑∞=n n n n , 是收敛的, 所以幂级数的收敛域为)51 ,51[-. (2)∑∞=+12)11(n n n x n ;解 n n n x n u 2)11(+=, 因为||||)11(lim ||lim x e x nu n n n n n =+=∞→∞→, 由根值审敛法, 当e |x |<1, 即ex e 11<<-时, 幂级数收敛; 当e |x |>1, 时幂级数发散. 当e x 1-=时, 幂级数成为∑∞=+1)1()11(2n n n e n ; 当e x 1=时, 幂级数成为∑∞=+-1)1()11()1(2n n n n e n .因为21)1ln(lim 11)11ln(lim ])11ln([lim 2022-=-+=-+=-++→+∞→+∞→t t t x x x x x x t x x , 所以 0lim )1()11(lim 21)11ln(22≠==+--+∞→∞→e ee n n n n n n n n , 因此级数∑∞=+-1)1()11()1(2n n n n e n 和∑∞=+1)1()11(2n n n e n 均发散, 从而收敛域为)1 ,1(e e -. (3)∑∞=+1)1(n n x n ; 解u n =n (x +1)n . 因为 |1||1|1lim ||lim 1+=++=∞→+∞→x x nn u u n n n n , 根据比值审敛法, 当|x +1|<1, 即-2<x <0时, 幂级数收敛; 当|x +1|>1时, 幂级数发散.又当x =0时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的; 当x =-2时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 也是发散的, 所以幂级数的收敛域为(-2, 0). (4)∑∞=122n n n x n .解 n n n x n u 22=. 因为 221121221lim ||lim x x n n u u n n n n n n =⋅⋅+=+∞→+∞→, 根据比值审敛法, 当1212<x , 即22<<-x 时, 幂级数收敛; 当1212>x 时, 幂级数发散. 又当2±=x 时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的, 所以收敛域为)2 ,2(-.8. 求下列幂级数的和函数: (1)∑∞=--1)1(2212n n n x n ;解设幂级数的和函数为S (x ), 则])2(2[]21[])([)(1121120'='='=∑∑⎰∞=-∞=-n n n n xx x x dx x S x S)12( )2(2]2112[22222<-+='-⋅=x x x x x , 即 )22( )2(2)(222<<--+=x x x x S . (2)∑∞=----112112)1(n n n xn ; 解设幂级数的和函数为S (x ), 则 )1( arctan 11)1()()(20212210<=+=-='=⎰⎰∑⎰∞=--x x dx x xdx x S x S xx n n n x.因为当x =±1时, 幂级数收敛, 所以有 S (x )=arctan x (-1≤x ≤1). (3)∑∞=-1)1(n n x n ; 解设幂级数的和函数为S (x ), 则 ])1()[1()1()1()1()(1111'--=--=-=∑∑∑∞=∞=-∞=n n n n n nx x x n x x n x S)1|1(| )2(1])1(11)[1(])1()1)[(1(211<---='----='---=∑∞=-x x x x x x x x x n n , 即 )20( )2(1)(2<<--=x x x x S .(4)∑∞=+1)1(n n n n x . 解易知幂级数的收敛域为[-1, 1].设幂级数的和函数为S (x ), 则当x ≠0时∑∑∞=+∞=+=+=111)1(11)1(1)(n n n n x n n x x n n x Sdx dx x x dx x n x x x n n x n n ][111001101⎰⎰∑⎰∑∞=-∞===dx x x dx dx x x x x x ⎰⎰⎰--=-=000)1ln(1]11[1 )]1ln()1ln([1x x x x x-----= )1ln(11x xx --+=, x ∈[-1, 0)⋃(0, 1], 又显然S (0)=0, 因此⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--+=0 0]1 ,0()0 ,1[ )1ln(11)(x x x xx x S .9. 求下列数项级数的和: (1)∑∞=12!n n n ; 解 ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=+-=11112!!)1(!)1(!n n n n n n n n n n n n n n n .因为n n xx n e ∑∞==1!1, 两边求导得11!-∞=∑=n n x x n n e , 再求导得22!)1(-∞=∑-=n n x x n n n e , 因此x x n n n n n n n n n n e e x x n n x n n n x x n n x n n n x n n +=+-=+-=∑∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=∞=221221112!!)1(!!)1(!,从而 e S n n n 2)1(!12==∑∞=. (2)∑∞=++-0)!12(1)1(n n n n . 解 ∑∑∑∞=∞=∞=+-+++-=++-000)!12(1)1(21)!12(12)1(21)!12(1)1(n n n n n nn n n n n 1sin 211cos 21)!12(1)1(21)!2(1)1(2100+=+-+-=∑∑∞=∞=n n n n n n . 提示: ∑∞=++-=012)!12(1)1(sin n n nx n x , ∑∞=++-=02)!12(12)1(cos n n n x n n x .10. 将下列函数展开成x 的幂级数: (1))1ln(2++x x ;解 ⎰⎰+='++=++xxdx x dx x x x x 0202211])1[ln()1ln(, 因为 ∑∞=---+=+=+122122!)!2(!)!12()1(1)1(11n n x n n x x , |x |≤1,故 ∑∞=++--+=++1122)12(!)!2(!)!12()1()1ln(n n n x n n n x x x (-1≤x ≤1).(2)2)2(1x -.解 ∑∞='='-='-=-02])2([21)211(21)21()2(1n n x x x x ∑∑∞=-+∞=+='=111012]21[n n n n n n x n x (-2≤x ≤2). 11. 设f (x )是周期为2π的函数, 它在[-π, π)上的表达式为 ⎩⎨⎧∈-∈=) ,0[ )0 ,[ 0)(ππx e x x f x. 将f (x )展开成傅里叶级数. 解 πππππππ11)(10-===⎰⎰-e dx e dx x f a x ,n n xn a n e nxdx e nxdx x f a 201)1(cos 1cos )(1---===⎰⎰-πππππππ, 即 ππ)1(1)1(2+--=n e a n n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ), ⎰⎰==-πππππ0sin 1sin )(1nxdx e nxdx x f b x nn x na nxdx e n -=-=⎰ππ0cos 1)((n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ).因此 ∑∞=-+--+-=12)sin (cos )1(1)1(21)(n n x n nx n e e x f ππππ (-∞<x <+∞且x ≠n π, n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).12. 将函数 ⎩⎨⎧≤<≤≤=πx h h x x f 00 1)( 分别展开成正弦级数和余弦级数.解若将函数进行奇延拓, 则傅里叶系数为 a n =0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), ππππn nh nxdx nxdx x f b h n )cos 1(2sin 2sin )(200-===⎰⎰. 因此, 函数展开成正弦级数为∑∞=-=1sin cos 12)(n nx nnh x f π, x ∈(0, h )⋃(h , π),当x =h 时, 21)(=h f . 若将函数进行偶延拓, 则傅里叶系数为ππππh dx dx x f a h 22)(2000===⎰⎰, ππππn nh nxdx nxdx x f a hn sin 2cos 2cos )(200===⎰⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),.因此, 函数展开成余弦级数为∑∞=+=1cos sin 2)(n nx nnh h x f ππ, x ∈[0, h )⋃(h , π), 当x =h 时, 21)(=h f .总习题十二1. 填空:(1)xy '''+2x 2y '2+x 3y =x 4+1是______阶微分方程;解是3阶微分方程.(2)若M (x , y )dx +N (x , y )dy =0是全微分方程, 则函数M 、N 应满足______;解 xN y M ∂∂=∂∂. (3)与积分方程⎰=xx dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是______; 解方程两边对x 求导得y '=f (x , y ). 显然当x =x 0时, y =0.因此与积分方程等价的微分方程初值问题是y '=f (x , y ), 0|0==x x y .(4)已知y =1、y =x 、y =x 2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解, 则该方程的通解为______.解容易证明非齐次线性微分方程的任意两个解的差是对应齐次线性微分方程的的解. 因此y 1=x -1和y 2=x 2-1都是对应齐次线性微分方程的的解. 显然y 1与y 2是线性无关. 所以非齐次线性微分方程的通解为y =C 1(x -1)+C 2(x 2-1)+1.2. 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程:(1)(x +C )2+y 2=1(其中C 为任意常数);解将等式变形21y C x -±=+,两边对x 求导得211yy y -'±=, 从而1-y 2=y 2y '2, 即所求微分方程为y 2(1+y '2)=1.(2)y =C 1e x +C 2e 2x (其中C 1、C 2为任意常数).解两边对x 求导得y '=C 1e x +2C 2e 2x =y +C 2e 2x ,即 y '=y +C 2e 2x ,⋅ ⋅ ⋅(1)再求导得y ''=y '+2C 2e 2x . ⋅ ⋅ ⋅(2)(2)-(1)⨯2得y ''-2y '=y '-2y ,即所求微分方程为y ''-3y '+2y =0.3. 求下列微分方程的通解:(1)xy y y x 2=+';解将方程变形为xy x y y 1212=+', 即x y x y 121)(=+'. 其通解为)(1)1(2121C x xC dx e x e y dx x dx x +=+⎰⎰=⎰-, 即原方程的通解为xC x y 2)(+=. (2) xy 'ln x +y =ax (ln x +1);解将方程变形为)ln 11(ln 1xa y x x y +=+', 其通解为)ln (ln 1])ln 11([ln 1ln 1C x ax x C dx e x a e y dx x x dx x x +=+⎰+⎰=⎰-, 即原方程的通解为xC ax y ln +=. (3))(ln 2x y y dx dy -=; 解将方程变形为yy x y dy dx ln 22=+, 其通解为)21ln (1)ln 2(22222C y y y y C dy e y y e x dy y dy y +-=+⎰⎰=⎰-, 即原方程的通解为221ln yCy x +-=. (4)033=-+y x xy dxdy ; 解将方程变形为 3231x xy dxdy y =+-, 即32222)(x xy dx y d -=---, 其通解为)())2([22222322C e e x e C dx e x e y x x x xdx xdx ++=+⎰-⎰=----⎰,即原方程的通解为1222++=-x Ce y x .(5)022=+-++yx xdy ydx ydy xdx ; 解因为)2(22y x d y d y x d x +=+, 2222)(11y x d y y d x yx y x x d y y d x -⋅+=+- )(a r c t a n )()(112y x d y x d y x =+=,所以原方程可写成0)a r c t a n 22(22=++yx y x d , 从而原方程的通解为C yx y x =++a r c t a n 222.(6) yy ''-y '2-1=0;解令y '=p , 则dy dp py ='', 原方程化为 012=--p dydp yp , 或 yp y dy p d 22)(22=-, 其通解为1)()2(222222-=+-=+⎰⎰=--⎰Cy C y y C dy e y e p dy y dy y . 于是 12-±='Cy y , 即dx y C dy ±=-1)(21(C =C 12), 积分得 2211)1)(l n (C x y C y C +±=-+, 化简得原方程的通解)(ch 121C x C y +±=. (7) y ''+2y '+5y =sin2x ;解齐次方程y ''+2y '+5y =0的特征方程为r 2+2r +5=0,其根为r 1, 2=-1±2i .因为f (x )=sin2x , λ+ωi =2i 不是特征方程的根,所以非齐次方程的特解应设为y *=A cos2x +B sin2x ,代入原方程得(A +2B )cos2x +(B -4A )sin2x =sin2x , 比较系数得174-=A , 171=B , x x y 2sin 1712cos 174*+-=. 因此原方程的通解为x x x C x C e y x 2s i n 1712cos 174)2sin 2cos (21+-+=-. (8) y '''+y ''-2y '=x (e x +4);解齐次方程y '''+y ''-2y '=0的特征方程为r 3+r 2-2r =0,其根为r 1=0, r 2=1, r 3=2.齐次方程y '''+y ''-2y '=0的通解为y =C 1+C 2e x +C 3e -2x .原方程中f (x )=f 1(x )+f 2(x ), 其中f 1(x )=xe x , f 2(x )=4x .对于方程y '''+y ''-2y '=xe x , 因为λ=1是特征方程的根, 故其特解可设为 y 1*=x (Ax +B )e x ,代入y '''+y ''-2y '=xe x 得(6Ax +8A +3b )e x =xe x , 比较系数得61=A , 94-=B , 故x e x x y )9461(*1-=. 对于方程y '''+y ''-2y '=4x , 因为λ=0是特征方程的根, 故其特解可设为 y 2*=x (Cx +D ),代入y '''+y ''-2y '=4x 得-4Cx +2C -2D =4x ,比较系数得C =-1, D =-1, 故y 2*=x (-x -1).因此原方程的通解为x x e x x e C e C C y x x x ---+++=-222321)9461(.(9) (y 4-3x 2)dy +xydx =0;解将原方程变形为323y x y dy dx x -=-, 或32226)(y x ydy x d -=-, 其通解为)(])2([266362C y y C dy e y e x dy y dy y +=+⎰-⎰=--⎰, 即原方程的通解为x 2=y 4+Cy 6.(10)y x x y +=+'2.解令y x u +=2, 则y =u 2-x 2, x dxdu u dx dy 22-=, 故原方程化为u x dx du u =-2, 即21)(21+=u x dx du . 这是齐次方程, 因此令z xu =, 则u =xz , dx dz x z dx du +=, 则上述齐次方程化为 2121+=+z dx dz x z , 即)112(21---=zz dx dz x , 分离变量得x dx z z zdz 21122-=--, 积分得 123ln 21)132ln(61C x z z +-=+-, 即 2z 3-3z 2+1=Cx -3)(16C e C =. 将xu z =代入上式得 2u 3-3xu 2+x 3=C , 再代入y x u +=2, 得原方程的通解C xy x y x =--+32)(2332.4. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1) y 3dx +2(x 2-xy 2)dy =0, x =1时y =1;解原方程变形为2322x yx y dy dx -=-, 即 31222yx y dy dx x -=---, 或 31122)(yx y dy x d =+--, 其通解为)ln 2(1)2(22321C y y C dy e y e x dy +=+⎰⎰=⎰--, 即原方程的通解为y 2=x (2ln y +C ).由y |x =1=1, 得C =1. 故满足所给初始条件的特解为y 2=x (2ln y +1).(2) y ''-ay '2=0, x =0时y =0, y '=-1;解令y '=p , 则原方程化为02=-ap dxdp .分离变量得a d x p dp =2, 两边积分得11C ax p +=-, 即11C ax y +-='. 代入初始条件y '(0)=-1得C 1=1,故 11+-='ax y . 方程两边积分得2)1l n (1C ax ay ++-=. 代入初始条件y (0)=0得C 2=0.因此满足所给初始条件的特解为)1ln(1+-=ax ay .(3) 2y ''-sin2y =0, x =0时2π=y , y '=1; 解令y '=p , 则原方程化为02s i n 2=-y dydp p . 分离变量得2pdp =sin2ydy ,两边积分得122c o s 21C y p +-=. 代入初始条件y '(0)=1得211=C , 因而 y y y 22s i n 212c o s 21=+-=', 即 y '=sin y .分离变量得dx ydy =sin , 两边积分得2c o s 1c o s 1ln 21C x yy +=+-.代入初始条件2)0(π=y 得C 2=0. 因此满足所给初始条件的特解为yy x cos 1cos 1ln 21+-=. (4) y ''+2y '+y =cos x , x =0时y =0, 23='y . 解齐次方程y ''+2y '+y =0的特征方程为r 2+2r +1=0,其根为r 1, 2=-1.齐次方程y ''+2y '+y =0的通解为y =(C 1+C 2x )e -x .因为f (x )=cos x , λ+ωi =i 不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特解应设为 y *=A cos x +B sin x ,代入原方程得-2A sin x +2B cos x =cos x ,比较系数得A =0, 21=B . 故x y sin 21*=. 从而原方程的通解为 x e x C C y x s i n 21)(21++=- . 将初始条件代入通解得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=23210211C C C , 解之得C 1=0, C 2=1.因此满足所给初始条件的特解为x xe y x sin 21+=-. 5. 已知某曲线经过点(1, 1), 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.解设点(x , y )为曲线上任一点, 则曲线在该点的切线方程为Y -y =y '(X -x ),其在纵轴上的截距为y -xy ', 因此由已知有y -xy '=x , 即11-=-'y xy . 这是一个一阶线性方程, 其通解为)ln (])1([11C x x C dx e e y dx x dx x +-=+⎰-⎰=⎰-, 即方程的通解为y =x (C -ln x ).由于曲线过点(1, 1), 所以C =1.因此所求曲线的方程为y =x (1-ln x ).6. 已知某车间的容积为30⨯30⨯6m 3, 其中的空气含0.12%的CO 2(以容积计算). 现以含CO 20.04%的新鲜空气输入, 问每分钟应输入多少, 才能在30min 后使车间空气中CO 2的含量不超过0.06%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出).解设每分钟应输入的空气为a m 3, t 时刻车间中CO 2的浓度为x (t ), 则车间中CO 2的含量(以体积计算)在t 时刻经过dt min 的改变量为30⨯30⨯6 dx =0.0004adt -axdt ,分离变量得dt a dx x 54000004.01-=-, 由于x >0.0004, 故两边积分得C t a x ln 5400)0004.0ln(+-=-, 即 t a Ce x 54000004.0-+=.由于开始时车间中的空气含0.12%的CO 2, 即当t =0时, x =0.0012, 代入上式得C =0. 0008. 因此t a e x 54000008.00004.0-+=.由上式得0008.0004.0ln 5400--=x t a . 由于要求30min 后车间中CO 2的含量不超过0.06%, 即当t =30时, x ≤0.0006, 将t =30, x =0. 0006代入上式得a =180ln 4≈250.因为054000008.05400<-='-t ae x , 所以x 是a 的减函数, 考试当a ≥250时可保证x ≤0.0006.因此每分钟输入新鲜空气的量不得小于250m 3.7. 设可导函数ϕ(x )满足1s i n )(2c o s )(0+=+⎰x t d t t x x xϕϕ, 求ϕ(x ).解在等式两边对x 求导得ϕ'(x )cos x -ϕ(x )sin x +2ϕ(x )sin x =1,即 ϕ'(x )+tan x ϕ(x )=sec x .这是一个一阶线性方程, 其通解为)s e c ()(t a n t a n C dx xe e x xdx xdx +⎰⎰=⎰-ϕ=cos x (tan x +C )=sin x +C cos x .在已知等式中, 令x =0得ϕ(0)=1, 代入通解得C =1. 故ϕ(x )=sin x +cos x . 8. 设函数u =f (r ), 222z y x r ++=在r >0内满足拉普拉斯(Laplace)方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u , 其中f (r )二阶可导, 且f (1)=f '(1)=1. 试将拉普拉斯方程化为以r 为自变量的常微分方程, 并求f (r ).解因为rx z y x x x r =++=∂∂22222, 所以 )()(r f rx x r r f x u '=∂∂'=∂∂, )()()()(22322222r f r x r f r x r x r r f r x r f r x r x r x u '+'-=∂∂'+'∂∂-=∂∂. 同理可得)()(2232222r f ry r f r y r y u '+'-=∂∂, )()(2232222r f r z r f r z r z u '+'-=∂∂. 于是 )()(3222232222222222r f rz y x r f r z y x r z u y u x u '+++'---=∂∂+∂∂+∂∂ 22322)()(2dr u d dr du r r f r f rr+='+'=. 因此拉普拉斯方程化为0222=+dr u d dr du r , 即0222=+drdu r dr u d . 令)(r p drdu =, 则以上方程进一步变成 02=+dr dp p r , 即02=+p rdr dp , 其通解为2121rC e C p dr r =⎰=-, 即21r C dr du =. 由于f '(1)=1, 即r =1时1=drdu , 所以C 1=1, 21r dr du =. 在方程21r dr du =的两边积分得21C ru +-=. 又由于f (1)=1, 即r =1时u =1, 所以C 2=2, 从而21+-=r u , 即21)(+-=rr f .9. 设y 1(x )、y 2(x )是二阶齐次线性方程y ''+p (x )y '+q (x )y =0的两个解, 令)()()()()()()()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x W '-'=''=, 证明:(1)W (x )满足方程W '+p (x )W =0; 证明因为y 1(x )、y 2(x )都是方程y ''+p (x )y '+q (x )y =0的解, 所以 y 1''+p (x )y 1'+q (x )y 1=0, y 2''+p (x )y 2'+q (x )y 2=0, 从而 W '+p (x )W =(y 1'y 2'+ y 1y 2''- y 1''y 2- y 1'y 2')+p (x )( y 1y 2'- y 1'y 2) =y 1[y 2''+p (x )y 2']- y 2[y 1''+p (x )y 1'] =y 1[-q (x )y 2]- y 2[-q (x )y 1] =0,即W (x )满足方程W '+p (x )W =0.(2)⎰=-x x dt t p e x W x W 0)(0)()(. 证明已知W (x )满足方程 W '+p (x )W =0,分离变量得dx x p WdW )(-=. 将上式两边在[x 0, x ]上积分, 得 ⎰-=-x x dt t p x W x W 0)()(ln )(ln 0, 即 ⎰=-x x dt t p ex W x W 0)(0)()(.。

第六版同济大学高等数学上下课后答案详解

1
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )

同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式

o
x0
x
LL LL
假设
0
Pn( k ) ( x0 ) = f ( k ) ( x0 ) k = 1,2,L, n

a = f ( x ),
1 ⋅ a = f ′( x ),
1 0
2!⋅a = f ′′( x )
2 0
L L , n!⋅a n = f ( n ) ( x 0 ) 1 (k ) 得 ak = f ( x0 ) ( k = 0,1,2,L , n ) k!
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′(ξ )( x − x 0 ) (ξ在x 0与x之间)
2.取 x 0 = 0, ξ 在0 与 x 之间,令ξ = θx
(0 < θ < 1) f ( n + 1) (θx ) n + 1 x 则余项 Rn ( x ) = ( n + 1)!
四、简单的应用
即 Rn ( x ) = o[( x − x0 )n ].
M ≤ ( x − x0 )n+1 (n + 1)!
皮亚诺形式的余项
∴ f ( x) = ∑
k =0
n
f
(k )
( x0 ) ( x − x0 )k + o[( x − x0 )n ] k!
注意:
1. 当 n = 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
(n + 1) !
(1 + θ x)α −n−1 x n+1 (0 < θ < 1)
(5) f ( x) = ln(1 + x) ( x > −1) k −1 ( k − 1) ! (k ) (k = 1, 2 ,L) 已知 f ( x) = (−1) k (1 + x) 类似可得 x 2 x3 xn n −1 ln(1 + x) = x − − L + (−1) + + Rn (x) 2 3 n

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高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

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同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A\B 及A\(A\B)的表达式.2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B)C =AC ⋃BC . .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f(A ⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A ⋂B)⊂f(A)⋂f(B).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f(A))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);(10)x e y 1=.7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ;(2) f(x)=x , g(x)=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x .8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x)的图形.. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)x xy -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x2(1-x2);(2)y =3x2-x3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x(x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+= 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);.(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =xcos x ;(5)y =sin2x .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

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2 (4)f(x)=1, g(x)=sec x- tan2 x . 解 (1)不同 . 因为定义域不同 .
3
(2)不同 . 因为对应法则不同 , x<0 时 , g(x) =- x. (3)相同 . 因为定义域、对应法则均相相同 (4)不同 . 因为定义域不同 . ?|sin x | | x|<π ? π π 3 , 求 ? (π 8. 设 ? ( x) = ? ) , ? ( ) , ? (- ) , ?(- 2), 并作出函数 y=?(x) π 6 4 4 | x|≥ ?0 3 ? 的图形 . 解 ? (π) =|sin π|= 1 , ? (π) =|sin π|= 2 , ? (- π ) =|sin(- π ) |= 2 , ? (- 2) = 0 . 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y = x , (- ∞， 1); 1- x : .
素都是 X 中某元素的像 , 所以 f 为 X 到 Y 的满射 . 又因为对于任意的 x1≠ x2 , 必有 f( x1)≠ f(x2 ), 否则若 f(x1)=f (x2 )? g[ f( x1)] =g[ f(x2)] ? x1 =x2 . 因此 f 既是单射 , 又是满射 , 即 f 是双射 . 对于映射 g: Y→ X, 因为对每个 y∈ Y, 有 g(y) =x∈X, 且满足 f(x) =f[g( y)]=I y y=y, 按逆映射的定义 , g 是 f 的逆映射 . 5. 设映射 f : X→ Y, A? X . 证明 : (1)f - 1(f(A))? A; (2)当 f 是单射时 , 有 f - 1 (f( A)) =A . 证明 (1)因为 x∈ A ? f(x)=y∈ f (A) ? f - 1 (y)=x∈ f - 1(f (A)), 所以 f - 1( f( A)) ? A. (2)由 (1) 知 f - 1(f (A))? A. 另一方面 , 对于任意的 x∈ f - 1(f(A))? 存在 y∈f(A), 使 f - 1( y)=x? f(x)=y . 因为 y∈ f (A)且 f 是单射 , 所以 x∈ A. 这就证明了 f - 1 (f(A))? A. 因此 f - 1(f(A)) =A . 6. 求下列函数的自然定义域 : (1) y = 3x + 2 ; 解由 3x+2≥ 0 得 x >- 2 . 函数的定义域为 [ - 2 , + ∞ ). 3 3 (2) y = 1 2 ; 1- x 解由 1- x2 ≠ 0 得 x≠± 1. 函数的定义域为 (- ∞， - 1)∪(- 1, 1) ∪ (1 , +∞ ). (3) y = 1 - 1- x2 ; x 解由 x≠ 0 且 1- x2≥ 0 得函数的定义域 D =[- 1, 0) ∪(0, 1] . (4) y = 1 ; 2 4- x

同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式

的区间上满足柯西中值定理的条件,得
′ ′ ′ Rn (ξ1 ) Rn (ξ1 ) − Rn ( x0 ) = n ( n + 1)(ξ1 − x0 ) ( n + 1)(ξ1 − x0 )n − 0 ′ Rn′(ξ 2 ) = n( n + 1)(ξ 2 − x0 )n−1 (ξ 2在x0与ξ1之间)
−6
e 1 1 e = 1+1+ +L+ + (0 < θ < 1) n ! (n + 1) ! 2! 由于 0 < eθ < e < 3 , 欲使 3 < < 10−6 Rn (1) (n + 1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
1 1 e ≈ 1 + 1 + + L + = 2.718281 2! 9!
x
代入公式,得
x n+1
x x eθ e = 1+ x + +L+ + x 2! n! ( n + 1)!
2 n
(0 < θ < 1).
例. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 10 . 解: 已知 e x 的麦克劳林公式为 x 2 x3 xn x eθ x x n +1 e =1 + x + + +L + + 2 ! 3! n ! (n + 1) ! (0 < θ < 1) 令x=1,得 θ
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′(ξ )( x − x 0 ) (ξ在x 0与x之间)
2.取 x 0 = 0, ξ 在0 与 x 之间,令ξ = θx

同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式

f (k) (0) = α (α −1)L(α − k +1) (k = 1, 2,L)
∴
(1 +
x)α
=1
+α
x+
α (α −1)
2!
x2
+L
+ α (α −1)L(α − n +1)
n!
xn + Rn (x)
其中
Rn (x)
=
α (α
−1)L(α
(n +1) !
−
n) (1+θ
x)α −n−1 xn+1
n +1 (1+θ x)n+1
(0 < θ < 1)
麦克劳林(Maclaurin)公式
f (x) =
f (0) +
f ′(0)x +
f ′′(0) x2 2!
+L+
f (n) (0) xn n!
+ f (n+1) (θx) xn+1
(n + 1)!
(0 < θ < 1)
f (x) =
f (0) +
注意到
f
θ( x) = e (n+1)
θx
代入公式,得
ex
=
1+
x
+
x2 2!
+L+
xn n!
+
eθ x
x n+1
(n + 1)!
(0 < θ < 1).
例. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 10−6.
解: 已知 ex 的麦克劳林公式为

同济大学第六版高数练习册答案上册word精品文档69页

高等数学习题解答第一章（7-11）第六节极限存在准则两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--e e e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim nx =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2, 2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n nn n Λ11limlim22=+=+∞→∞→n n n n nn n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n Λ第七节无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3.证明：令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→t txx t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。

4.解：（1）0lim→x x x 25tan =0lim →x x x 25=25 （2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim→x 222x x x =∞（3）0lim→x x x )sin 21ln(-=0lim→x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x （5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim →x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x =1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim→x x x sin cos 1-=0lim →x 022=x x （7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n 第八节函数的连续性与间断点1.0 ； 2. 充要；3. 2；4. D 5. B 6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim 0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt tt t x x f1)(lim 0-=-→x f x∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。

《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解

《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解
《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解
第六版同济大学高等数学上册课后答案详解
《高等数学第六版上册》是2007年高等教育出版社出版的图书。

本书是同济大学数学系编《高等数学》的第六版，依据最新的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，为高等院校工科类各专业学生修订而成。

本次修订时对教材的深广度进行了适度的调整,使学习本课程的学生都能达到合格的要求,并设置部分带*号的内容以适应分层次教学的需要;吸收国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了凋整和充实,以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力;对书中内容进一步锤炼和调整,将微分方程作为一元函数微积分的应用移到上册,更有利于学生的学习与掌握。

本书分上、下两册出版,上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容,书末还附有二、三阶行列式简介、几种常用的曲线、积分表、习题答案与提示
高等数学是大学必修数学科目之一，当然这对于非数学专业的同学而言，简直就是难上加难，但是对于数学专业同学而言，这就是基础课，必须踏踏实实的学好，否则对于以后的学习真的就是难上加难，牧边我就是深有体会啊。

同济大学第六版高等数学上册课后答案全集()

高等数学第六版(上册)第三章课后习题答案

高等数学第六版（上册）第三章课后习题答案及解析习题3-11.验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续,在)65 ,6(ππ内可导,且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知,至少存在一点)65 ,6(ππξ∈,使得y '(ξ)=cot ξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=,使y '(ξ)=cot ξ=0.2.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性. 解因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续,在(0, 1)内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点ξ∈(0, 1),使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ,使01)0()1()(--='y y y ξ.3.对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性.解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续,在)2,0(π可导,且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0,所以由柯西中值定理知至少存在一点)2 ,0(πξ∈,使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ,即22sin 1cos -=-πx x . 化简得14)2(8s i n 2-+-=πx .易证114)2(802<-+-<π,所以14)2(8s i n 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解,即确实存在)2 ,0(πξ∈, 使得 )()()0()2()0()2(ξππF f F F f f '=--. 4.试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导,由拉格朗日中值定理,至少存在一点ξ∈(a ,b ),使得y (b )-y (a )=y '(ξ)(b -a ),即 (pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b -a ). 化间上式得p (b -a )(b +a )=2p ξ (b -a ), 故2b a +=ξ.5.不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f '(x )=0有几个实根,并指出它们所在的区间.解由于f (x )在[1, 2]上连续,在(1, 2)内可导,且f (1)=f (2)=0,所以由罗尔定理可知,存在ξ1∈(1, 2),使f '(ξ1)=0.同理存在ξ2∈(2, 3),使f '(ξ2)=0;存在ξ3∈(3, 4),使f '(ξ3)=0.显然ξ1、ξ2、ξ 3都是方程f '(x )=0的根.注意到方程f '(x )=0是三次方程,它至多能有三个实根,现已发现它的三个实根,故它们也就是方程f '(x )=0的全部根.6.证明恒等式:2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明设f (x )= arcsin x +arccos x .因为01111)(22≡---='x x x f , 所以f (x )≡C ,其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f ,即2arccos arcsin π=+x x .7.若方程a 0x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x =0有一个正根x 0,证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 +⋅⋅⋅+a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.证明设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x ,由于F (x )在[0,x 0]上连续,在(0,x 0)内可导,且F (0)=F (x 0)=0,根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(0,x 0),使F '(ξ)=0,即方程 a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 +⋅⋅⋅+a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.8.若函数f (x )在(a ,b )内具有二阶导数,且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),其中a <x 1<x 2<x 3<b ,证明:在(x 1,x 3)内至少有一点ξ,使得f ''(ξ)=0.证明由于f (x )在[x 1,x 2]上连续,在(x 1,x 2)内可导,且f (x 1)=f (x 2),根据罗尔定理,至少存在一点ξ1∈(x 1,x 2),使f '(ξ1)=0.同理存在一点ξ2∈(x 2,x 3),使f '(ξ2)=0. 又由于f '(x )在[ξ1,ξ2]上连续,在(ξ1,ξ2)内可导,且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0,根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(x 1,x 3),使f ''(ξ )=0. 9.设a >b >0,n >1,证明:nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明设f (x )=x n ,则f (x )在[b ,a ]上连续,在(b ,a )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(b ,a ),使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ),即a n -b n =n ξn -1(a -b ). 因为nb n -1(a -b )<n ξn -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) . 10.设a >b >0,证明:bb a b a a b a -<<-ln . 证明设f (x )=ln x ,则f (x )在区间[b ,a ]上连续,在区间(b ,a )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(b ,a ),使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ),即)(1ln ln b a b a -=-ξ.因为b <ξ<a ,所以)(1ln ln )(1b a bb a b a a -<-<-,即b b a b a a b a -<<-ln .11.证明下列不等式:(1)|arctan a -arctan b |≤|a -b |; (2)当x >1时,e x >e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x ,则f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a ,b ),使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ),即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ,所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -≤-+=-ξ,即|arctan a -arctan b |≤|a -b |.(2)设f (x )=e x ,则f (x )在区间[1,x ]上连续,在区间(1,x )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(1,x ),使f (x )-f (1)=f '(ξ)(x -1),即e x -e =e ξ(x -1). 因为ξ>1,所以e x -e =e ξ(x -1)>e (x -1),即e x >e ⋅x .12.证明方程x 5+x -1=0只有一个正根.证明设f (x )=x 5+x -1,则f (x )是[0,+∞)内的连续函数.因为f (0)=-1,f (1)=1,f (0)f (1)<0,所以函数在(0, 1)内至少有一个零点,即x 5+x -1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根,则由罗尔定理,f '(x )存在零点,但f '(x )=5x 4+1≠0,矛盾.这说明方程只能有一个正根.13.设f (x )、g (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,证明在(a ,b )内有一点ξ,使)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.解设)()()()()(x g a g x f a f x =ϕ,则ϕ(x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a ,b ),使ϕ(b )-ϕ(a )=ϕ'(ξ)(b -a ), 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''-=-)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(ξξξξg a g f a f g a g f a f a b a g a g a f a f b g a g b f a f . 因此)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.14.证明:若函数.f (x )在(-∞,+∞)内满足关系式 f '(x )=f (x ),且f (0)=1则f (x )=e x .证明令xe xf x )()(=ϕ,则在(-∞,+∞)内有 0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞,+∞)内ϕ(x )为常数.因此ϕ(x )=ϕ(0)=1,从而f (x )=e x .15.设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数,且f (0)=f '(0)=⋅⋅⋅=f(n -1)(0)=0,试用柯西中值定理证明:!)()()(n x f x x f n nθ= (0<θ<1).证明根据柯西中值定理111)(0)0()()(-'=--=n n n f x f x f x x f ξξ(ξ1介于0与x 之间),2221111111)1()(0)0()()(-----''=⋅-'-'='n n n n n n f n n f f n f ξξξξξξ(ξ2介于0与ξ1之间), 3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(------'''=⋅---''-''=-''n n n n n n n f n n n n f f n n f ξξξξξξ(ξ3介于0与ξ2之间), 依次下去可得!)(02 )1(2 )1()0()(2 )1()()(1)1(1)1(11)1(n f n n n n f f n n f n n n n n n n n n ξξξξξ=⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅--------(ξn 介于0与ξn -1之间), 所以!)()()(n f xx f n n n ξ=.由于ξn 可以表示为ξn =θx (0<θ<1),所以!)()()(n x f xx f n n θ= (0<θ<1).习题3-21.用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→;(2)xee x x x sin lim 0-→-;(3)ax a x a x --→sin sin lim ;(4)x x x 5tan 3sin lim π→;(5)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;(6)n n m m a x ax ax --→lim ;(7)xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→;(8)xx x 3tan tan lim 2π→;(9)x arc x x cot )11ln(lim++∞→; (10)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;(11)x x x 2cot lim 0→;(12)2120lim x x ex →;(13))1112(lim 21---→x x x ;(14)x x x a )1(lim +∞→;(15)x x x sin 0lim +→;(16)x x xtan 0)1(lim +→. 解 (1)111lim 111lim )1ln(lim000=+=+=+→→→x x xx x x x . (2)2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x . (3)a x ax a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→.(4)535sec 53cos3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n m m a x a n m namx nx mx a x a x -----→→===--1111lim lim .(7)22sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 2200⋅⋅⋅⋅=+→+→x xx x x x x x177sec 22sec lim 277tan 2tan lim 272200=⋅⋅==+→+→x x x x x x . (8)x x x x x x x x x 2222222cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim πππ→→→=⋅= )sin (cos 23)3sin (3cos 2lim312x x x x x -⋅-=→πxx x cos 3cos lim π→-=3sin 3sin 3lim 2=---=→xx x π. (9)2221lim 11)1(111lim cot arc )11ln(lim xx x xx x x x x x x ++=+--⋅+=++∞→+∞→+∞→122lim 212lim ==+=+∞→+∞→x x x x . (10)x x x x x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→x x x x x x x .(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) (11)2122sec 1lim 2tan lim2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x . (12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 21012022t t t t x x x x e t e xe e x(注:当x →0时,+∞→=21x t .(13)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (14)因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而221)(11lim 1)1ln(lim )1(ln(lim xx a x ax x a x a x x x x --⋅+=+=+∞→∞→∞→a a a x ax x x ==+=∞→∞→1lim lim ,所以a ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . .(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而xx x x x x x x x x cot csc 1lim csc ln lim ln sin lim 000⋅-==+→+→+→0cos sin lim 20=-=+→xx x x , 所以1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .(16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim -+→=,而xx x x x x x x x 2000csc 1limcot ln lim ln tan lim -==+→+→+→ 0sin lim 20=-=+→xx x , 所以1lim )1(lim 0ln tan 0tan 0===-+→+→e e x x x x x x .2.验证极限xx x x sin lim +∞→存在,但不能用洛必达法则得出.解1)sin 1(lim sin lim =+=+∞→∞→xx x x x x x ,极限x x x x sin lim +∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx x x x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在,不能用洛必达法则. 3.验证极限x x x x sin 1sin lim20→存在,但不能用洛必达法则得出. 解0011sin sin lim sin 1sin lim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x ,极限x x x x sin 1sin lim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在,不能用洛必达法则. 4.讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=-0])1([)(2111x e x e x x f x 在点x =0处的连续性.解21)0(-=e f ,)0(lim)(lim 21210f e e x f x x ===---→-→,因为]1)1ln(1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x x x x x x x x e ex x f ,而200)1ln(lim ]1)1ln(1[1lim xxx x x x x x -+=-++→+→ 21)1(21lim 2111lim 00-=+-=-+=+→+→x x x x x , 所以]1)1ln(1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x x x x x x x x e ex x f)0(21f e ==-.因此f (x )在点x =0处连续.习题3-31.按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4.因为f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f=-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4.2.应用麦克劳林公式,按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1,f '(0)=-9,f ''(0)=60,f '''(0)=-270, f (4)(0)=720,f (5)(0)=-1080,f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+==1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3.求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解因为24)4(==f ,4121)4(421=='=-x x f ,32141)4(423-=-=''=-x x f ,328383)4(425⋅=='''=-x x f ,27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ 4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1).4.求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1,f ''(x )=(-1)x -2,f '''(x )=(-1)(-2)x -3,⋅⋅⋅,nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2,⋅⋅⋅,n +1), 所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n n n x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. 5.求函数xx f 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式.解因为f (x )=x -1,f '(x )=(-1)x -2,f ''(x )=(-1)(-2)x -3,⋅⋅⋅,1)1()(!)1()( )2)(1()(++--=-⋅⋅⋅--=n n n n xn xn x f; !)1(!)1()1(1)(k k fk k k -=--=-+(k =1, 2,⋅⋅⋅,n ), 所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n n n x n f x n f ξ12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1). 6.求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解因为f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x xx x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0,f '(0)=1,f ''(0)=0,f '''(0)=2,所以4523)(cos 3]2)()[sin sin(31tan x x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 7.求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为f '(x )=e x +xe x ,f ''(x )=e x +e x +xe x =2e x +xe x , f '''(x )=2e x +e x +xe x =3e x +xe x ,⋅⋅⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ; f (k )(0)=k (k =1, 2,⋅⋅⋅,n ), 所以)(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+= )()!1(1 !2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.8.验证当210≤≤x 时,按公式62132x x x e x+++≈计算e x 的近似值时,所产生的误差小于0.01,并求e 的近似值,使误差小于0.01.解因为公式62132x x x e x +++≈右端为e x的三阶麦克劳林公式,其余项为43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时，按公式62132x x x e x+++≈计算e x 的误差01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ. 645.1)21(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e .9.应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值,并估计误差: (1)330; (2)sin18︒.解 (1)设3)(x x f =,则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-⋅+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间). 于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅+≈---10724.3)3531311(31063≈+-+≈, 其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR .(2) 已知43!4sin !31sin x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间),所以 sin 18︒3090.0)10(!311010sin 3≈-≈=πππ,其误差为44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR . 10.利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x x x x --++∞→;(2))]1ln([cos lim2202x x x e x xx -+--→;(3)2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→. 解 (1)tt t xx x x x x x t x x 430434343232131lim 12131lim)23(lim --+=--+=--++→+∞→+∞→.因为)(1313t o t t ++=+,)(211214t o t t +-=-,所以23])(23[lim )](211[)](1[lim )23(lim 00434323=+=+--++=--++→+→+∞→t t o t t o t t o t x x x x t t x .(2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim)]1ln([cos lim1344244202202x x xx x xx o x x x o x x x x x e x -++⋅+--++-=-+-→-→ 010)1ln(1)(121lim 11340=+=-++-=-→e x x x o x x x . (3)2442442442202220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2x x o x x x o x x x o x x x x e x x x x x x +++-++-+-+-+=-+-+→→ 12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=⋅+--+=→→x x o x x x o x o x x x x o x x x . 习题3-41.判定函数f (x )=arctan x -x 单调性.解因为011111)(22≤+-=-+='xx x f ,且仅当x =0时等号成立,所以f (x )在(-∞,+∞)内单调减少.2.判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解因为f '(x )=1-sin x ≥0,所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3.确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx y 82+=(x >0);(3)x x x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3; (6))0())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x (n >0,x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0,令y '=0得驻点x 1=-1,x 2=3. 列表得可见函数在(-∞,-1]和[3,+∞)内单调增加,在[-1, 3]内单调减少.(2) 0)2)(2(28222=+-=-='x x x x y ,令y '=0得驻点x 1=2,x 2=-2(舍去).因为当x >2时,y >0;当0<x <2时,y '<0,所以函数在(0, 2]内单调减少,在[2,+∞)内单调增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=',令y '=0得驻点211=x ,x 2=1,不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0),]21 ,0(, [1,+∞)内单调减少,在]1 ,21[上单调增加.(4)因为011)1221(11222>+=++++='x x x x x y ,所以函数在(-∞,+∞)内单调增加.(5) y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x .因为当21<x 时,y '<0;当21>x 时,y '>0,所以函数在]21 ,(-∞内单调减少,在) ,21[∞+内单调增加.(6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=',驻点为321a x =,不可导点为22a x =,x 3=a .列表得可见函数在)2 ,(a -∞,]32 ,2(a a , (a ,+∞)内单调增加,在) ,32[a a 内单调减少.(7)y '=e -x x n -1(n -x ),驻点为x =n .因为当0<x <n 时,y '>0;当x >n 时,y '<0,所以函数在[0,n ]上单调增加,在[n ,+∞)内单调减少.(8)⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+=πππππππk x k x x k x k x x y 2 2sin 2 2sin (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅),⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+='πππππππk x k x k x k x y 2 2cos 212 2cos 21(k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).y '是以π为周期的函数,在[0,π]内令y '=0,得驻点21π=x ,652π=x ,不可导点为23π=x .列表得根据函数在[0,π]上的单调性及y '在(-∞,+∞)的周期性可知函数在]32 ,2[πππ+k k 上单调增加,在]22 ,32[ππππ++k k 上单调减少(k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).4.证明下列不等式: (1)当x >0时,x x +>+1211;(2)当x >0时,221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时,331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(,则f (x )在[0,+∞)内是连续的.因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx ,所以f (x )在(0,+∞)内是单调增加的,从而当x >0时f (x )>f (0)=0,即01211>+-+x x , 也就是x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=,则f (x )在[0,+∞)内是连续的.因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f , 所以f (x )在(0,+∞)内是单调增加的,从而当x >0时f (x )>f (0)=0,即01)1ln(122>+-+++x x x x , 也就是221)1ln(1x x x x +>+++.(3)设f (x )=sin x +tan x -2x ,则f (x )在)2,0[π内连续,f '(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 22cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=. 因为在)2 ,0(π内cos x -1<0, cos 2x -1<0,-cos x <0,所以f '(x )>0,从而f (x )在)2 ,0(π内单调增加,因此当20π<<x 时,f (x )>f (0)=0,即sin x +tan x -2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设331tan )(x x x x f --=,则f (x )在)2 ,0[π内连续,))(tan (tan tan 1sec )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--='.因为当20π<<x 时, tan x >x , tan x +x >0,所以f '(x )在)2 ,0(π内单调增加,因此当20π<<x 时,f (x )>f (0)=0,即031tan 3>--x x x ,也就是231tan x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x ,则f (x )在[4,+∞)内连续,因为0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时,f '(x )>0,即f (x )内单调增加.因此当x >4时,f (x )>f (4)=0,即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.5.讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根？解设f (x )=ln x -ax .则f (x )在(0,+∞)内连续,xax a x x f -=-='11)(,驻点为a x 1=.因为当ax 10<<时,f '(x )>0,所以f (x )在)1 ,0(a 内单调增加;当a x 1>时,f '(x )<0,所以f (x )在) ,1(∞+a内单调减少.又因为当x →0及x →+∞时,f (x )→-∞,所以如果011ln )1(>-=a a f ,即e a 1<,则方程有且仅有两个实根;如果011ln )1(<-=aa f ,即e a 1>,则方程没有实根.如果011ln )1(=-=a a f ,即e a 1=,则方程仅有一个实根.6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子:f (x )=x +sin x .解单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-∞,+∞)内是单调增加的,但其导数不是单调函数.事实上,f '(x )=1+cos x ≥0,这就明f (x )在(-∞,+∞)内是单调增加的.f ''(x )=-sin x 在(-∞,+∞)内不保持确定的符号,故f '(x )在(-∞,+∞)内不是单调的.7.判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2; (2) y =sh x ; (3)x y 11+=(x >0);(4) y =x arctan x ; 解 (1)y '=4-2x ,y ''=-2,因为y ''<0,所以曲线在(-∞,+∞)内是凸的. (2)y '=ch x ,y ''=sh x .令y ''=0,得x =0.因为当x <0时,y ''=sh x <0;当x >0时,y ''=sh x >0,所以曲线在(-∞, 0]内是凸的,在[0,+∞)内是凹的.(3)1xy -=',32x y =''. 因为当x >0时,y ''>0,所以曲线在(0,+∞)内是凹的. (4)21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞,+∞)内,y ''>0,所以曲线y =x arctg x 在(-∞,+∞)内是凹的.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:(1).y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ; (4) y =ln(x 2+1); (5) y =earctan x;(6) y =x 4(12ln x -7),解 (1)y '=3x 2-10x +3,y ''=6x -10.令y ''=0,得35=x .因为当35<x 时,y ''<0;当35>x 时,y ''>0,所以曲线在]35 ,(-∞内是凸的,在) ,35[∞+内是凹的,拐点为)2720 ,35(.(2)y '=e -x -xe -x ,y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2).令y ''=0,得x =2.因为当x <2时,y ''<0;当x >2时,y ''>0,所以曲线在(-∞, 2]内是凸的,在[2,+∞)内是凹的,拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x ,y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞,+∞)内,y ''>0,所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞,+∞)内是凹的,无拐点.(4)122+='x x y ,22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y .令y ''=0,得x 1=-1,x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞,-1]和[1,+∞)内是凸的,在[-1, 1]内是凹的,拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(5)2arctan 11xe y x +⋅=',)21(12arctan x x e y x-+=''.令y ''=0得,21=x .因为当21<x 时,y ''>0;当21>x 时,y ''<0,所以曲线y =e arctg x 在]21 ,(-∞内是凹的,在) ,21[∞+内是凸的,拐点是),21(21arctan e. (6) y '=4x 3(12ln x -7)+12x 3,y ''=144x 2⋅ln x .令y ''=0,得x =1.因为当0<x <1时,y ''<0;当x >1时,y ''>0,所以曲线在(0, 1]内是凸的,在[1,+∞)内是凹的,拐点为(1,-7).9.利用函数图形的凹凸性,证明下列不等式:(1) nn n y x y x )2()(21+>+(x >0,y >0,x ≠y ,n >1); (2))(22y x e e e yx y x ≠>++;(3)2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+ (x >0,y >0,x ≠y ). 证明 (1)设f (t )=t n ,则f '(t )=nt n -1,f ''(t )=n (n -1)t n -2.因为当t >0时,f ''(t )>0,所以曲线f (t )=t n在区间(0,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x >0,y >0,x ≠y 有 )2()]()([21y x f y f x f +>+, 即nn n y x y x )2()(21+>+. (2)设f (t )=e t ,则f '(t )=e t ,f ''(t )=e t .因为f ''(t )>0,所以曲线f (t )=e t 在(-∞,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x ,y ∈(-∞,+∞),x ≠y 有 )2()]()([21y x f y f x f +>+, 即)(22y x e e e yx y x ≠>++.(3)设f (t )=t ln t ,则f '(t )=ln t +1,tt f 1)(=''.因为当t >0时,f ''(t )>0,所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x >0,y >0,x ≠y 有 )2()]()([21y x f y f x f +>+, 即2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+.10.试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明222)1(12+++-='x x x y ,323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=''x x x x x x x x y . 令y ''=0,得x 1=-1,322-=x ,323+=x . 例表得可见拐点为(-1,-1),))32(431 ,32(---,))32(431 ,32(+++.因为41)1(32)1()32(431=-------,41)1(32)1()32(431=--+--++, 所以这三个拐点在一条直线上.11.问a 、b 为何值时,点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解y '=3ax 2+2bx ,y ''=6ax +2b .要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点,必须y (1)=3且y ''(1)=0,即a +b =3且6a +2b =0,解此方程组得23-=a ,29=b .12.试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d ,使得x =-2处曲线有水平切线, (1,-10)为拐点,且点(-2, 44)在曲线上. 解y '=3ax 2+2bx +c ,y ''=6ax +2b .依条件有⎪⎩⎪⎨⎧=''=-'-==-0)1(0)2(10)1(44)2(y y y y ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a . 解之得a =1,b =-3,c =-24,d =16.13.试决定y =k (x 2-3)2中k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y '=4kx 3-12kx ,y ''=12k (x -1)(x +1).令y ''=0,得x 1=-1,x 2=1.因为在x 1=-1的两侧y ''是异号的,又当x =-1时y =4k ,所以点(-1, 4k )是拐点. 因为y '(-1)=8k ,所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814+-=-x k k y .要使法线过原点,则(0, 0)应满足法线方程,即kk 814-=-,82±=k .同理,因为在x 1=1的两侧y ''是异号的,又当x =1时y =4k ,所以点(1, 4k )也是拐点. 因为y '(1)=-8k ,所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814-=-x k k y .要使法线过原点,则(0, 0)应满足法线方程,即kk 814-=-,82±=k .因此当82±=k 时,该曲线的拐点处的法线通过原点.14.设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数,如果f ''(x 0)=0,而f '''(x 0)≠0,试问 (x 0,f (x 0))是否为拐点？为什么？解不妨设f '''(x 0)>0.由f '''(x )的连续性,存在x 0的某一邻域(x 0-δ,x 0+δ),在此邻域内有f '''(x )>0.由拉格朗日中值定理,有f ''(x )-f ''(x 0)=f '''(ξ)(x -x 0) (ξ介于x 0与x 之间), 即f ''(x )=f '''(ξ)(x -x 0).因为当x 0-δ<x <x 0时,f ''(x )<0;当x 0<x <x 0+δ时,f ''(x )>0,所以(x 0,f (x 0))是拐点.习题3-51.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7; (2) y =x -ln(1+x ) ;(3) y =-x 4+2x 2; (4)x x y -+=1; (5)25431xx y ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e xcos x ;(8)xx y 1=;(9)31)1(23+-=x y ;(10) y =x +tan x .解 (1)函数的定义为(-∞,+∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1),驻点为x 1=-1,x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17,在=3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1,+∞),xxx y +=+-='1111,驻点为x =0.因为当-1<x <0时,y '<0;当x >0时,y '>0,所以函数在x =0处取得极小值,极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(-∞,+∞), y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1),y ''=-12x 2+4,令y '=0,得x 1=0,x 2=-1,x 3=1.因为y ''(0)=4>0,y ''(-1)=-8<0,y ''(1)=-8<0,所以y (0)=0是函数的极小值,y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-∞, 1], )112(1243121121211+---=---=--='x x x xx xy ,令y '=0,得驻点43=x .因为当43<x 时,y '>0;当143<<x 时,y '<0,所以45)1(=y 为函数的极大值.(5)函数的定义为(-∞,+∞),32)54()512(5x x y +--=',驻点为512=x . 因为当512<x 时,y '>0;当512>x 时,y '<0,所以函数在512=x 处取得极大值,极大值为10205)512(=y . (6)函数的定义为(-∞,+∞),22)1()2(+++-='x x x x y ,驻点为x 1=0,x 2=-2.列表可见函数在x =-2处取得极小值38,在x =0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-∞,+∞).y '=e x (cos x -sin x ),y ''=-e x sin x .令y '=0,得驻点ππk x 24+=,ππ)1(24++=k x , (k =0,±1,±2,⋅ ⋅ ⋅).因为0)24(<+''ππk y ,所以22)24(24⋅=++ππππk e k y 是函数的极大值. 因为y ''0])1(24[>++ππk ,所以22])1(24[)1(24⋅-=++++ππππk e k y 是函数的极小值. (8)函数xx y 1=的定义域为(0,+∞),)ln 1(121x x x y x-⋅='.令y '=0,得驻点x =e .因为当x <e 时,y '>0;当x >e 时,y '<0,所以ee e y 1)(=为函数f (x )的极大值.(9)函数的定义域为(-∞,+∞),3/2)1(132+-='x y ,因为y '<0,所以函数在(-∞,+∞)是单调减少的,无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为ππk x +≠2(k =0,±1,±2,⋅ ⋅ ⋅). 因为y '=1+sec 2x >0,所以函数f (x )无极值.2.试证明:如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2-3ac <0,那么这函数没有极值.证明y '=3ax 2+2bx +c .由b 2-3ac <0,知a ≠0.于是配方得到 y '=3ax 2+2bx +c ab ac a b x a a c x a b x a 33)3(3)332(32222-++=++=,因3ac -b 2>0,所以当a >0时,y '>0;当a <0时,y '<0.因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数,没有极值.3.试问a 为何值时,函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解f '(x )=a cos x +cos 3x ,f ''(x )=-a sin x -3 sin x . 要使函数f (x )在3π=x 处取得极值,必有0)3(='πf ,即0121=-⋅a ,a =2 . 当a =2时,0232)3(<⋅-=''πf .因此,当a =2时,函数f (x )在3π=x 处取得极值,而且取得极大值,极大值为3)23(=f . 4.求下列函数的最大值、最小值:(1) y =2x 3-3x 2,-1≤x ≤4;(2) y =x 4-8x 2+2 -1≤x ≤3 ; (3)x x y -+=1,-5≤x ≤1.解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1),令y '=0,得x 1=0,x 2=1.计算函数值得 y (-1)=-5,y (0)=0,y (1)=-1,y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5,最大值为y (4)=80.(2)y '=4x 3-16x =4x (x 2-4),令y '=0,得x 1=0,x 2=-2(舍去),x 3=2.计算函数值得 y (-1)=-5,y (0)=2,y (2)=-14,y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=-14,最大值为y (3)=11.(3)xy --='1211,令y '=0,得43=x .计算函数值得65)5(+-=-y ,45)43(=y ,y (1)=经比较得出函数的最小值为65)5(+-=-y ,最大值为45)43(=y .5.问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.解y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1),函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29,f (3)=-61,f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值,最大值为f (1)=-29. 6.问函数xx y 542-=(x <0)在何处取得最小值？解2542x x y +=',在(-∞, 0)的驻点为x =-3.因为31082xy -='',0271082)3(>+=-''y , 所以函数在x =-3处取得极小值.又因为驻点只有一个,所以这个极小值也就是最小值,即函数在x =-3处取得最小值,最小值为27)3(=-y .7.问函数12+=x x y (x ≥0)在何处取得最大值？解222)1(1+-='x x y .函数在(0,+∞)内的驻点为x =1.因为当0<x <1时,y '>0;当x >1时y '<0,所以函数在x =1处取得极大值.又因为函数在(0,+∞)内只有一个驻点,所以此极大值也是函数的最大值,即函数在x =1处取得最大值,最大值为f (1)=21. 8.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20cm 长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解设宽为x 长为y ,则2x +y =20,y =20-2x ,于是面积为 S =xy =x (20-2x )=20x -2x 2. S '=20-4x =4(10-x ),S ''=-4. 令S '=0,得唯一驻点x =10.因为S ''(10)-4<0,所以x =10为极大值点,从而也是最大值点. 当宽为5米,长为10米时这间小屋面积最大.9.要造一圆柱形油罐,体积为V ,问底半径r 和高h 等于多少时,才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解由V = r 2h ,得h =V -1r -2.于是油罐表面积为 S =2 r 2+2 rh rVr 222+=π(0<x <+∞), 224r V r S -='π.令S '=0,得驻点32πV r =. 因为0443>+=''r V S π,所以S 在驻点32πVr =处取得极小值,也就是最小值.这时相应的高为r r Vh 2 20==π.底直径与高的比为2r :h =1 : 1.10.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图),截面的面积为5m 2,问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h ,截面的周长S ,则5)2(212=⋅+πx xh ,x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0,得唯一驻点π+=440x . 因为0203>=''xS ,所以π+=440x 为极小值点,同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 11.设有重量为5kg 的物体,置于水平面上,受力F 的作用而开始移动(如图).设摩擦系数 =0.25,问力F 与水平线的交角为多少时,才可使力F 的大小为最小？解由F cos α=(m -F sin α)μ得αμαμsin cos +=m F (2 0πα≤≤),2)sin (cos )cos (sin αμααμαμ+-='m F ,驻点为α= arctan μ.因为F 的最小值一定在)2 ,0(π内取得,而F 在)2,0(π内只有一个驻点α= arctan μ, 所以α=arctan μ一定也是F 的最小值点.从而当α=arctan0.25=14︒时,力F 最小. 12.有一杠杆,支点在它的一端.在距支点0.1m 处挂一重量为49kg 的物体.加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图).如果杠杆的线密度为5kg/m ,求最省力的杆长? 解设杆长为x (m),加于杠杆一端的力为F ,则有 1.049521⋅+⋅=x x xF ,即)0(9.425>+=x x x F .29.425xF -=',驻点为x =1.4.由问题的实际意义知,F 的最小值一定在(0,+∞)内取得,而F 在(0,+∞)内只有一个驻点x =1.4,所以F 一定在x =1.4m 处取得最小值,即最省力的杆长为1.4m .。

同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)word资料41页

习题3-31. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f =-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f '(0)=-9, f ''(0)=60, f '''(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+==1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解因为24)4(==f , 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f , 328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1). 4. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--; kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1), 所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n n n x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. 5. 求函数x x f 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f (x )=x -1, f '(x )=(-1)x -2, f ''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , 1)1()(!)1()( )2)(1()(++--=-⋅⋅⋅--=n n n n xn xn x f ; !)1(!)1()1(1)(k k fk k k -=--=-+(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n nn x n f x n f ξ 12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1). 6. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解因为 f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x xx x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2,所以 4523)(c o s 3]2)()[s i n s i n (31t a nx x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 7. 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为 f '(x )=e x +xe x ,f ''(x )=e x +e x +xe x =2e x +xe x , f '''(x )=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ; f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1 !2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.8. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.解因为公式62132x x x e x+++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为 43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时，按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的误差 01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ.645.1)21(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e .9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin18︒.解 (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-⋅+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅+≈---10724.3)3531311(31063≈+-+≈, 其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR . (2) 已知43!4s i n !31s i n x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间),所以 sin 18︒3090.0)10(!311010sin 3≈-≈=πππ,其误差为44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR . 10. 利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x x x x --++∞→;(2))]1ln([cos lim222x x x e x x x -+--→;(3)2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→. 解 (1)tt t xx x x x x x t x x 430434343232131lim 12131lim)23(lim --+=--+=--++→+∞→+∞→.因为)(1313t o t t ++=+,)(211214t o t t +-=-, 所以23])(23[lim )](211[)](1[lim)23(lim 00434323=+=+--++=--++→+→+∞→t t o t t o t t o t x x x x t t x . (2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim)]1ln([cos lim1344244202202x x xx x x x o x x x o x x x x x e x -++⋅+--++-=-+-→-→010)1l n (1)(121lim 11340=+=-++-=-→e x x x o x x x . (3)2442442442202220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2xx o x x x o x x x o x x x x e x x x x x x +++-++-+-+-+=-+-+→→ 12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=⋅+--+=→→x x o x x x o x o x x x x o x x x . 习题3-41. 判定函数f (x )=arctan x -x 单调性.解因为011111)(22≤+-=-+='xx x f , 且仅当x =0时等号成立, 所以f (x )在(-∞, +∞)内单调减少.2. 判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解因为f '(x )=1-sin x ≥0, 所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx y 82+=(x >0);(3)x x x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3;(6))0())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x (n >0, x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2)0)2)(2(28222=+-=-='x x x x y ,令y '=0得驻点x 1=2, x 2=-2(舍去).因为当x >2时, y >0; 当0<x <2时, y '<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +∞)内单调增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.(4)因为011)1221(11222>+=++++='x x x x x y , 所以函数在(-∞, +∞)内单调增加. (5) y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x . 因为当21<x 时, y '<0; 当21>x 时, y '>0, 所以函数在]21 ,(-∞内单调减少, 在) ,21[∞+内单调增加.(6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=', 驻点为321a x =, 不可导点为22a x =, x 3=a .列表得可见函数在)2 ,(a -∞, ]32 ,2(a a , (a , +∞)内单调增加, 在) ,32[a a 内单调减少.(7)y '=e -x x n -1(n -x ), 驻点为x =n . 因为当0<x <n 时, y '>0; 当x >n 时, y '<0, 所以函数在[0, n ]上单调增加, 在[n , +∞)内单调减少.(8)⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+=πππππππk x k x x k x k x x y 22sin 2 2sin (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+='πππππππk x k x k x k x y 2 2c o s 212 2c o s 21(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).y '是以π为周期的函数, 在[0, π]内令y '=0, 得驻点21π=x , 652π=x , 不可导点为23π=x .列表得根据函数在[0, π]上的单调性及y '在(-∞, +∞)的周期性可知函数在]32 ,2[πππ+k k 上单调增加, 在]22 ,32[ππππ++k k 上单调减少(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 证明下列不等式: (1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时, 331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x , 也就是 x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为0)1l n (1)11(11)1l n ()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x xx f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1l n (122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++.(3)设f (x )=sin x +tan x -2x , 则f (x )在)2,0[π内连续,f '(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 22cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=.因为在)2 ,0(π内cos x -1<0, cos 2x -1<0, -cos x <0, 所以f '(x )>0, 从而f (x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即sin x +tan x -2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设331tan )(x x x x f --=, 则f (x )在)2 ,0[π内连续,))(t a n (t a n t a n 1s e c )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--='. 因为当20π<<x 时, tan x >x , tan x +x >0, 所以f '(x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即031t a n 3>--x x x ,也就是 231t a n x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0, 也就是2x >x 2. 5. 讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根？解设f (x )=ln x -ax . 则f (x )在(0, +∞)内连续, xax a x x f -=-='11)(, 驻点为a x 1=.因为当ax 10<<时, f '(x )>0, 所以f (x )在)1 ,0(a 内单调增加; 当a x 1>时, f '(x )<0, 所以f (x )在) ,1(∞+a内单调减少. 又因为当x →0及x →+∞时, f (x )→-∞, 所以如果011ln )1(>-=a a f , 即ea 1<, 则方程有且仅有两个实根; 如果011ln )1(<-=a a f , 即e a 1>, 则方程没有实根. 如果011ln )1(=-=a af , 即e a 1=, 则方程仅有一个实根. 6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子: f (x )=x +sin x .解单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-∞,+∞)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上, f '(x )=1+cos x ≥0,这就明f (x )在(-∞, +∞)内是单调增加的. f ''(x )=-sin x 在(-∞, +∞)内不保持确定的符号, 故f '(x )在(-∞, +∞)内不是单调的. 7. 判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2 ; (2) y =sh x ;(3)x y 11+=(x >0);(4) y =x arctan x ; 解 (1)y '=4-2x , y ''=-2,因为y ''<0, 所以曲线在(-∞, +∞)内是凸的. (2)y '=ch x , y ''=sh x . 令y ''=0, 得x =0.因为当x <0时, y ''=sh x <0; 当x >0时, y ''=sh x >0, 所以曲线在(-∞, 0]内是凸的, 在[0, +∞)内是凹的.(3)21x y -=', 32x y =''. 因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在(0, +∞)内是凹的. (4)21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的. 8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ; (4) y =ln(x 2+1); (5) y =e arctan x ; (6) y =x 4(12ln x -7),解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720 ,35(.(2)y '=e -x -xe -x , y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.(4)122+='x x y , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(5)2arctan 11xe y x +⋅=',)21(12arctan x x e y x-+=''. 令y ''=0得, 21=x .因为当21<x 时, y ''>0; 当21>x 时, y ''<0, 所以曲线y =e arctg x 在]21 ,(-∞内是凹的,在) ,21[∞+内是凸的, 拐点是) ,21(21arctane. (6) y '=4x 3(12ln x -7)+12x 3, y ''=144x 2⋅ln x . 令y ''=0, 得x =1.因为当0<x <1时, y ''<0; 当x >1时, y ''>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +∞)内是凹的, 拐点为(1, -7).9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:(1) nn n y x y x )2()(21+>+(x >0, y >0, x ≠y , n >1);(2))(22y x e e e yx y x ≠>++;(3)2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+ (x >0, y >0, x ≠y ). 证明 (1)设f (t )=t n , 则f '(t )=nt n -1, f ''(t )=n (n -1)t n -2. 因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=t n 在区间(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 nn n y x y x )2()(21+>+.(2)设f (t )=e t , 则f '(t )=e t , f ''(t )=e t . 因为f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=e t 在(-∞, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x , y ∈(-∞, +∞), x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即)(22y x e e e yx y x ≠>++.(3)设f (t )=t ln t , 则 f '(t )=ln t +1, tt f 1)(=''.因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+. 10. 试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明 222)1(12+++-='x x x y ,323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=''x x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, 322-=x , 323+=x . 例表得可见拐点为(-1, -1), ))32(431 ,32(---, ))32(431 ,32(+++. 因为41)1(32)1()32(431=-------, 41)1(32)1()32(431=--+--++,所以这三个拐点在一条直线上.11. 问a 、b 为何值时, 点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解 y '=3ax 2+2bx , y ''=6ax +2b . 要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点, 必须y (1)=3且y ''(1)=0, 即a +b =3且6a +2b =0, 解此方程组得23-=a , 29=b .12. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d , 使得x =-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 解 y '=3ax 2+2bx +c , y ''=6ax +2b . 依条件有⎪⎩⎪⎨⎧=''=-'-==-0)1(0)2(10)1(44)2(y y y y , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a .解之得a =1, b =-3, c =-24, d =16.13. 试决定y =k (x 2-3)2中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y '=4kx 3-12kx , y ''=12k (x -1)(x +1). 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.因为在x 1=-1的两侧y ''是异号的, 又当x =-1时y =4k , 所以点(-1, 4k )是拐点. 因为y '(-1)=8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814+-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即kk 814-=-, 82±=k .同理, 因为在x 1=1的两侧y ''是异号的, 又当x =1时y =4k , 所以点(1, 4k )也是拐点.因为y '(1)=-8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即k k 814-=-, 82±=k .因此当82±=k 时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.14. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ''(x 0)=0, 而f '''(x 0)≠0, 试问 (x 0, f (x 0))是否为拐点？为什么？解不妨设f '''(x 0)>0. 由f '''(x )的连续性, 存在x 0的某一邻域(x 0-δ, x 0+δ), 在此邻域内有f '''(x )>0. 由拉格朗日中值定理, 有f ''(x )-f ''(x 0)=f '''(ξ)(x -x 0) (ξ介于x 0与x 之间), 即 f ''(x )=f '''(ξ)(x -x 0).因为当x 0-δ<x <x 0时, f ''(x )<0; 当x 0<x <x 0+δ 时, f ''(x )>0, 所以(x 0, f (x 0))是拐点.习题3-51. 求函数的极值: (1) y =2x 3-6x 2-18x +7;(2) y =x -ln(1+x ) ; (3) y =-x 4+2x 2 ; (4)x x y -+=1;(5)25431x xy ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e x cos x ;(8)xx y 1=;(9)31)1(23+-=x y ; (10) y =x +tan x .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在 (2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-∞, 1], )112(1243121121211+---=---=--='x x x xx xy ,令y '=0, 得驻点43=x .因为当43<x 时, y '>0; 当143<<x 时, y '<0, 所以45)1(=y 为函数的极大值.(5)函数的定义为(-∞, +∞), 32)54()512(5x x y +--=', 驻点为512=x . 因为当512<x 时, y '>0; 当512>x 时, y '<0, 所以函数在512=x 处取得极大值,极大值为10205)512(=y . (6)函数的定义为(-∞, +∞), 22)1()2(+++-='x x x x y , 驻点为x 1=0, x 2=-2.列表可见函数在x =-2处取得极小值3, 在x =0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-∞, +∞). y '=e x (cos x -sin x ), y ''=-e x sin x .令y '=0, 得驻点ππk x 24+=, ππ)1(24++=k x , (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).因为0)24(<+''ππk y , 所以22)24(24⋅=++ππππk e k y 是函数的极大值. 因为y ''0])1(24[>++ππk , 所以22])1(24[)1(24⋅-=++++ππππk e k y 是函数的极小值. (8)函数xx y 1=的定义域为(0, +∞),)ln 1(121x x x y x-⋅='. 令y '=0, 得驻点x =e .因为当x <e 时, y '>0; 当x >e 时, y '<0, 所以ee e y 1)(=为函数f (x )的极大值.(9)函数的定义域为(-∞, +∞), 3/2)1(132+-='x y , 因为y '<0, 所以函数在(-∞, +∞)是单调减少的, 无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为ππk x +≠2(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为y '=1+sec 2x >0, 所以函数f (x )无极值.2. 试证明: 如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2 -3ac <0, 那么这函数没有极值 . 证明y '=3a x 2+2b x +c . 由b 2 -3ac <0, 知a ≠0. 于是配方得到y '=3a x 2+2b x +c ab ac a b x a a c x a b x a 33)3(3)332(32222-++=++=,因3ac -b 2>0, 所以当a >0时, y '>0; 当a <0时, y '<0. 因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数, 没有极值.3. 试问a 为何值时, 函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 f '(x )=a cos x +cos 3x , f ''(x )=-a sin x -3 sin x .要使函数f (x )在3π=x 处取得极值, 必有0)3(='πf , 即0121=-⋅a , a =2 .当a =2时, 0232)3(<⋅-=''πf . 因此, 当a =2时, 函数f (x )在3π=x 处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为3)23(=f .4. 求下列函数的最大值、最小值:(1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4; (2) y =x 4-8x 2+2, -1≤x ≤3 ; (3)x x y -+=1, -5≤x ≤1.解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2)y '=4x 3-16x =4x (x 2-4), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=2, y (2)=-14, y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=-14, 最大值为y (3)=11.(3)xy --='1211, 令y '=0, 得43=x . 计算函数值得65)5(+-=-y , 45)43(=y , y (1)=1,经比较得出函数的最小值为65)5(+-=-y , 最大值为45)43(=y .5. 问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值. 解 y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.6. 问函数x x y 542-=(x <0)在何处取得最小值？解 2542x x y +=', 在(-∞, 0)的驻点为x =-3. 因为31082xy -='', 0271082)3(>+=-''y ,所以函数在x =-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x =-3处取得最小值, 最小值为27)3(=-y .7. 问函数12+=x xy (x ≥0)在何处取得最大值？解 222)1(1+-='x xy . 函数在(0, +∞)内的驻点为x =1.因为当0<x <1时, y '>0; 当x >1时y '<0, 所以函数在x =1处取得极大值. 又因为函数在(0, +∞)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=21.8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm 长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解设宽为x 长为y , 则2x +y =20, y =20-2x , 于是面积为 S = xy =x (20-2x )=20x -2x 2. S '=20-4x =4(10-x ), S ''=-4. 令S '=0, 得唯一驻点x =10.因为S ''(10)-4<0, 所以x =10为极大值点, 从而也是最大值点. 当宽为5米, 长为10米时这间小屋面积最大.9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解由V =π r 2h , 得h =V π-1r -2. 于是油罐表面积为S =2π r 2+2π rh rVr 222+=π(0<x <+∞),224rVr S -='π.令S '=0, 得驻点32πVr =.因为0443>+=''r V S π, 所以S 在驻点32πVr =处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为r r Vh 2 20==π. 底直径与高的比为2r : h =1 : 1.10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 11. 设有重量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数μ=0.25, 问力F 与水平线的交角α为多少时, 才可使力F 的大小为最小？解由F cos α =(m -F sin α)μ 得αμαμsin cos +=m F (2 0πα≤≤),2)sin (cos )cos (sin αμααμαμ+-='m F ,驻点为 α = arctan μ.因为F 的最小值一定在)2 ,0(π内取得, 而F 在)2,0(π内只有一个驻点α = arctan μ,所以α=arctan μ一定也是F 的最小值点. 从而当α=arctan0.25=14︒时, 力F 最小. 12. 有一杠杆, 支点在它的一端. 在距支点0.1m 处挂一重量为49kg 的物体. 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m , 求最省力的杆长?解设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F , 则有1.049521⋅+⋅=x x xF , 即)0(9.425>+=x x x F .29.425xF -=',驻点为x =1.4. 由问题的实际意义知, F 的最小值一定在(0, +∞)内取得, 而F 在(0, +∞)内只有一个驻点x =1.4, 所以F 一定在x =1.4m 处取得最小值, 即最省力的杆长为1.4m . 13. 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图),问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π). 2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.14. 某吊车的车身高为1.5m , 吊臂长15m , 现在要把一个6m 宽、2m 高的屋架, 水平地吊到6m 高的柱子上去(如图), 问能否吊得上去？解设吊臂对地面的倾角为ϕ时, 屋架能够吊到的最大高度为h . 在直角三角形∆EDG 中15sin ϕ=(h -1. 5)+2+3tan ϕ,故 21tan 3sin 15--=ϕϕh ,ϕϕ2cos 3cos 15-='h . 令h '=0得唯一驻点5451arccos 3≈=ϕ︒.因为0cos sin 6sin 153<--=''ϕϕϕh , 所以ϕ=54︒为极大值点, 同时这也是最大值点.当ϕ=54︒时, 5.721tan 3sin 15≈--=ϕϕh m .所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m 高, 现只要求水平地吊到6m 处, 当然能吊上去. 15. 一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R . 令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.习题3-6描绘下列函数的图形: 1. )786(5124++-=x x x y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)23)1)(2(54)8124(51-+=+-='x x x x y ,)1)(1(512)33(542-+=-=''x x x y ,令y '=0, 得x =-2, x =1; 令y ''=0, 得x =-1, x =1. (3)列表(4)作图:2.21x x y +=;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x ≥0时函数的图形.(3)22)1()1)(1(x x x y ++--=', 32)1()3)(3(2x x x x y ++-='',当x ≥0时, 令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得x =0,3=x .(4)列表(5)有水平渐近线y =0; (6)作图: 3.2)1(--=x e y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞); (2))]221()][221([4)1(222)1()1(--+-=''--='----x x e y e x y x x ,令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得221+=x ,221-=x .(3)列表(4)有水平渐近线y =0; (5)作图: 4.xx y 12+=;解 (1)定义域为(-∞, 0)⋃(0, +∞);(2)2321212xx xx y -=-=',333)1(222x x x y +=+='',令y '=0, 得321=x ; 令y ''=0, 得x =-1.(3)列表(4)有铅直渐近线x =0; (5)作图: 5.xxy 2cos cos =.解 (1)定义域为42ππ+≠n x (n =0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅)(2)是偶函数, 周期为2 . 可先作[0, ]上的图形, 再根据对称性作出[-, 0)内的图形, 最后根据周期性作出[-, ]以外的图形; (3)xx x y 2cos )sin 23(sin 22-=',xx x x y 2cos )sin 4sin 123(cos 342-+⋅='',在[0,]上, 令y '=0, 得x =0, x = ; 令y ''=0, 得2π=x .(4)列表(5)有铅直渐近线4π=x 及43π=x ; (6)作图:习题3-71. 求椭圆4x 2+y 2=4在点(0, 2)处的曲率. 解两边对x 求导数得8x +2yy '=0, y x y 4-=', 244y y x y y '--=''. y '|(0, 2)=0, y ''|(0, 2)=-2.所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+-='+''=y y K .2. 求曲线y =lnsec x 在点(x , y )处的曲率及曲率半径.解 x x x xy tan tan sec sec 1=⋅⋅=', x y 2sec =''.所求曲率为|cos |)tan 1(|sec |)1(||2/3222/32x x x y y K =+='+''=, 曲率半径为|sec ||cos |11x x K ===ρ. 3. 求抛物线y =x 2-4x +3在其顶点处的曲率及曲率半径. 解 y '=2x -4, y ''=2.令y '=0, 得顶点的横坐标为x =2. y '|x =2=0, y ''|x =2=2. 所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+='+''=y y K ,曲率半径为211==K ρ.4. 求曲线x =a cos 3t , y =a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解 t x a t a y tan )cos ()sin (33-=''=', tt a x a x y 43cos sin 31)cos ()tan (⋅=''-=''. 所求曲率为|2sin |32|cos sin 31|)tan 1(|cos sin 31|)1(||32/3242/32t a t t a t t t a y y K ==+⋅='+''=, |2sin |3200t a K t t ==. 5. 对数曲线y =ln x 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解 x y 1=', 21xy -=''.2/322/3222/32)1()11(|1|)1(||x x x x y y K +=+-='+''=, xx 232)1(+=ρ,2222232212)12(1)1(2)1(23xx x x x x x x --=+-⋅⋅+='ρ. 令ρ'=0, 得22=x . 因为当220<<x 时, ρ<0; 当22>x 时, ρ>0, 所以22=x 是ρ的极小值点, 同时也最小值点. 当22=x 时, 22ln =y . 因此在曲线上点)22ln ,22(处曲率半径最小, 最小曲率半径为233=ρ. 6. 证明曲线axa y ch =在点(x , y )处的曲率半径为a y 2.解 a x y sh =', axa y ch 1=''.在点(x , y )处的曲率半径为a y a x a a x a a xa x a a x y y 222/322/322/32ch |ch 1|)(ch |ch 1|)sh 1(||)1(===+='''+=ρ.7. 一飞机沿抛物线路径100002x y =(y 轴铅直向上, 单位为m )作俯冲飞行, 在坐标原点O 处飞机的速度为v =200m /s 飞行员体重G =70Kg . 求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员的反力.解 5000100002x x y ==', 50001=''y ; y '|x =0=0, 50001|0=''=x y . 500050001)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ.向心力56050002007022=⨯==ρmV F (牛顿). 飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79⨯9.8+560=1246(牛顿).8. 汽车连同载重共5t , 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6km/h , 桥的跨度为10m , 拱的矢高为0.25m . 求汽车越过桥顶时对桥的压力.解如图取直角坐标系, 设抛物线拱桥方程为y =ax 2, 由于抛物线过点(5, 0.25), 代入方程得01.02525.0==a ,于是抛物线方程为y =0. 01x 2. y '=0.02x , y ''=0.02.5002.0)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ. 向心力为360050)3600106.21(1052332=⨯⨯==ρmV F (牛顿). 因为汽车重为5吨, 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 5⨯103⨯9.8-3600=45400(牛顿).*9. 求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.*10. 求曲线y =tan x 在点)1 ,4(π处的曲率圆方程.*11. 求抛物线y 2=2px 的渐屈线方程. 总习题三1. 填空:设常数k >0, 函数k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________.解应填写2.提示: e x x f 11)(-=', 21)(xx f -=''.在(0, +∞)内, 令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为f ''(x )<0, 所以曲线k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x =e 一定是最大值点,最大值为f (e )=k >0.又因为-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)-f (0)或f (0)-f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)-f (0); (B )f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0); (C )f (1)-f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)-f (1)>f '(0). 解选择B .提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)-f (0)=f '(ξ), ξ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)-f (0)>f '(0).3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a , b ]上连续, 在(a ,b )内除某一点外处处可导, 但在(a , b )内不存在点ξ , 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 解取f (x )=|x |, x ∈[-1, 1].易知f (x )在[-1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=-1; f '(0)不存在, 即f (x )在[-1, 1]上除x =0外处处可导.注意f (1)-f (-1)=0, 所以要使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))成立, 即f '(ξ)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)内不存在点ξ , 使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1)). 4. 设k x f x ='∞→)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞→.解根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '(ξ )⋅a , ξ 介于x +a 与x 之间. 当x →∞ 时, ξ → ∞, 于是ak f a a f x f a x f x x ='=⋅'=-+∞→∞→∞→)(lim )(lim )]()([lim ξξξ.5. 证明多项式f (x )=x 3-3x +a 在[0, 1]上不可能有两个零点.证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2-1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点.6. 设1210++⋅⋅⋅++n a aa n =0, 证明多项式f (x )=a 0+a 1x +⋅ ⋅ ⋅+a n x n 在(0,1)内至少有一个零点.证明设121012)(+++++=n n x n a x ax a x F , 则F (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F (0)=F (1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F '(x )=f (x ), 所以f (x )在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0.8. 设0<a <b , 函数f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a , b )使abf b f a f ln )()()(ξξ'=-.证明对于f (x )和ln x 在[a , b ]上用柯西中值定理, 有ξξ1)(ln ln )()(f ab a f b f '=--, ξ∈(a , b ), 即 abf b f a f ln )()()(ξξ'=-, ξ∈(a , b ).9. 设f (x )、g (x )都是可导函数, 且|f '(x )|<g '(x ), 证明: 当x >a 时, |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).证明由条件|f '(x )|<g '(x )得知,1)()(<''ξξg f , 且有g '(x )>0, g (x )是单调增加的, 当x >a 时, g (x )>g (a ).因为f (x )、g (x )都是可导函数, 所以f (x )、g (x ) 在[a , x ]上连续, 在(a , x )内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , x ), 使)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--. 因此,1)()()()(|)()(|<''=--ξξg f a g x g a f x f , |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).10. 求下列极限:(1)xx x x xx ln 1lim 1+--→;(2)]1)1ln(1[lim 0xx x -+→;(3)x x x )arctan 2(lim π+∞→.(4)nxx n x x x n a a a ]/) [(lim 11211+⋅⋅⋅++∞→(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0).解 (1) (x x )'=(e x l n x )'=e x l n x(ln x +1)=x x (ln x +1).xx x x xx x x x x x x x x x x x x x x x xx -+-=+-+-='+-'-=+--+→→→→1)1(ln lim11)1(ln 1lim )ln 1()(lim ln 1lim 11111。

(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。

解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。

证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。

3. 设映射f : X Y, A X, B X。

证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。

4。

设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。

证明：f 是双射，且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明因为对于任意的yY ，有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。

同济大学第六版高等数学上册课后答案

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2xx a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

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习题3-11. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性. 解因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.3. 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性.解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2 ,0(πξ∈,使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x . 化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2,0(π内有解, 即确实存在)2 ,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξππF f F F f f '=--.4. 试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得y (b )-y (a )=y '(ξ)(b -a ), 即 (pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b -a ). 化间上式得p (b -a )(b +a )=2p ξ (b -a ), 故2b a +=ξ.5. 不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f '(x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在ξ1∈(1, 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f '(ξ2)=0; 存在ξ3∈(3, 4), 使f '(ξ3)=0. 显然ξ1、ξ2、ξ 3都是方程f '(x )=0的根. 注意到方程f '(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f '(x )=0的全部根.6. 证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='xx x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .7. 若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程 a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.证明设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.8. 若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明:在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0. 又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0. 9. 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) . 10. 设a >b >0, 证明: bb a b a a b a -<<-ln .证明设f (x )=ln x , 则f (x )在区间[b , a ]上连续, 在区间(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即)(1ln ln b a b a -=-ξ.因为b <ξ<a , 所以)(1ln ln )(1b a b b a b a a -<-<-, 即b b a b a a b a -<<-ln .11. 证明下列不等式: (1)|arctan a -arctan b |≤|a -b |; (2)当x >1时, e x >e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x , 则f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ), 即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ,所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -≤-+=-ξ, 即|arctan a -arctan b |≤|a -b |.(2)设f (x )=e x , 则f (x )在区间[1, x ]上连续, 在区间(1, x )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(1, x ), 使f (x )-f (1)=f '(ξ)(x -1), 即 e x -e =e ξ (x -1). 因为ξ >1, 所以e x -e =e ξ (x -1)>e (x -1), 即e x >e ⋅x . 12. 证明方程x 5+x -1=0只有一个正根.证明设f (x )=x 5+x -1, 则f (x )是[0, +∞)内的连续函数.因为f (0)=-1, f (1)=1, f (0)f (1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x 5+x -1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f '(x )存在零点, 但f '(x )=5x 4+1≠0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.13. 设f (x )、g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明在(a , b )内有一点ξ, 使)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.解设)()()()()(x g a g x f a f x =ϕ, 则ϕ(x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使 ϕ(b )-ϕ(a )=ϕ'(ξ)(b -a ),即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''-=-)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(ξξξξg a g f a f g a g f a f a b a g a g a f a f b g a g b f a f .因此)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.14. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明令x ex f x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ, 所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x .15. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数, 且f (0)=f '(0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f(n -1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:!)()()(n x f xx f n n θ= (0<θ<1).证明根据柯西中值定理111)(0)0()()(-'=--=n n n f x f x f x x f ξξ(ξ1介于0与x 之间),2221111111)1()(0)0()()(-----''=⋅-'-'='n n n n n n f n n f f n f ξξξξξξ(ξ2介于0与ξ1之间), 3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(------'''=⋅---''-''=-''n n n n n n n f n n n n f f n n f ξξξξξξ(ξ3介于0与ξ2之间),依次下去可得!)(02 )1(2 )1()0()(2 )1()()(1)1(1)1(11)1(n f n n n n f f n n f n n n n n n n n n ξξξξξ=⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅--------(ξn 介于0与ξn -1之间),所以!)()()(n f xx f n n n ξ=.由于ξn 可以表示为ξn =θ x (0<θ<1), 所以!)()()(n x f xx f n n θ= (0<θ<1).习题3-21. 用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→;(2)xe e xx x sin lim 0-→-;(3)ax a x a x --→sin sin lim ;(4)x x x 5tan 3sin lim π→;(5)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;(6)n n m m a x ax a x --→lim ; (7)xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→;(8)xx x 3tan tan lim 2π→;(9)xarc x x cot )11ln(lim++∞→; (10)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;(11)x x x 2cot lim 0→;(12)2120lim x x ex →;(13))1112(lim 21---→x x x ;(14)x x x a )1(lim +∞→;(15)x x x sin 0lim +→;(16)x x xtan 0)1(lim +→.解 (1)111lim 111lim )1ln(lim000=+=+=+→→→x x xx x x x . (2)2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x . (3)a x ax a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→.(4)535sec 53cos3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n m m a x a n m namxnx mx a x a x -----→→===--1111lim lim .(7)22sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 2200⋅⋅⋅⋅=+→+→x xx x x x x x177s e c 22s e c l i m 277t a n 2t a n l i m 272200=⋅⋅==+→+→x x x x x x . (8)xx x x x x x x x 2222222cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim πππ→→→=⋅= )s i n (c o s 23)3s i n (3c o s 2lim312x x x x x -⋅-=→πxx x c o s 3c o s l i m2π→-= 3s i n3s i n 3l i m2=---=→x x x π. (9)2221lim11)1(111lim cot arc )11ln(lim x x x x x x x x x x x ++=+--⋅+=++∞→+∞→+∞→ 122lim 212lim ==+=+∞→+∞→x x x x .(10)x x x x x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→ 1s i n lim )sin (cos 22lim00==--=→→x x x x x x x . (注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) (11)2122sec 1lim 2tan lim2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x .(12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 21012022t t t t x x x x e t e x e ex(注: 当x →0时, +∞→=21x t .(13)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (14)因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221)(11l i m 1)1l n (l i m)1(l n (l i m xx a x ax x a x a x x x x --⋅+=+=+∞→∞→∞→ a a a x ax x x ==+=∞→∞→1lim lim ,所以 a x ax x x x e e xa ==++∞→∞→)1l n (l i m )1(l i m. .(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 x x x x x x x x x x c o tc s c 1lim csc ln lim ln sin lim 000⋅-==+→+→+→c o s s i n l i m 20=-=+→xx x x ,所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .(16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim -+→=, 而 xx x x x x x x x 2000c s c 1l i m c o t ln lim ln tan lim -==+→+→+→s i n l i m 20=-=+→xx x ,所以 1l i m )1(l i m 0ln tan 0tan 0===-+→+→e e x x x x x x .2. 验证极限xx x x sin lim +∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x x x x sin lim +∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx x x x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则. 3. 验证极限xx x x sin 1sin lim20→存在, 但不能用洛必达法则得出. 解 0011sin sin lim sin 1sin lim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sin lim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 4. 讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=-0])1([)(2111x e x e x x f x x 在点x =0处的连续性.解21)0(-=e f ,)0(lim)(lim 21210f e e x f x x ===---→-→,因为]1)1l n (1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x x x x x x x x e ex x f ,而 200)1l n (l i m ]1)1l n (1[1l i m xxx x x x x x -+=-++→+→ 21)1(21lim 2111lim 00-=+-=-+=+→+→x x x x x ,所以]1)1l n (1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x x x x e ex x f)0(21f e ==-.因此f (x )在点x =0处连续.习题3-31. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f =-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f '(0)=-9, f ''(0)=60, f '''(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+= =1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解因为24)4(==f , 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f ,328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1). 4. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ ,nn nn xn x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--; kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1),所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322nn nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. 5. 求函数xx f 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式.解因为f (x )=x -1, f '(x )=(-1)x -2, f ''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , 1)1()(!)1()( )2)(1()(++--=-⋅⋅⋅--=n n n n xn xn x f ; !)1(!)1()1(1)(k k fk k k -=--=-+(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x 1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n nn x n f x n f ξ 12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1).6. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解因为 f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x xx x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2,所以 4523)(c o s 3]2)()[s i n s i n (31t a n x x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 7. 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为 f '(x )=e x +xe x ,f ''(x )=e x +e x +xe x =2e x +xe x , f '''(x )=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n n n x x o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+= )()!1(1 !2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.8. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x+++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.解因为公式62132x x x e x +++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时，按公式62132x x x e x+++≈计算e x 的误差01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ.645.1)21(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e .9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin18︒.解 (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-⋅+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅+≈---10724.3)3531311(31063≈+-+≈, 其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR .(2) 已知43!4s i n !31s i nx x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间), 所以 sin 18︒3090.0)10(!311010sin 3≈-≈=πππ,其误差为44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR . 10. 利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x x x x --++∞→;(2))]1ln([cos lim222x x x e x x x -+--→;(3)2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→. 解 (1)tt t xx x x x x x t x x 430434343232131lim 12131lim)23(lim --+=--+=--++→+∞→+∞→.因为)(1313t o t t ++=+,)(211214t o t t +-=-, 所以23])(23[lim )](211[)](1[lim)23(lim 00434323=+=+--++=--++→+→+∞→t t o t t o t t o t x x x x t t x . (2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim)]1ln([cos lim1344244202202x x xx x xx o x x x o x x x x x e x -++⋅+--++-=-+-→-→010)1l n (1)(121lim 11340=+=-++-=-→ex x x o x xx . (3)2442442442202220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2xx o x x x o x x x o x x x x e x x x x x x +++-++-+-+-+=-+-+→→ 12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=⋅+--+=→→x x o x x x o x o x x x x o x x x . 习题3-41. 判定函数f (x )=arctan x -x 单调性.解因为011111)(22≤+-=-+='xx x f , 且仅当x =0时等号成立, 所以f (x )在(-∞,+∞)内单调减少.2. 判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解因为f '(x )=1-sin x ≥0, 所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx y 82+=(x >0);(3)x x x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3;(6))0())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x (n >0, x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2) 0)2)(2(28222=+-=-='x x x x y ,令y '=0得驻点x 1=2, x 2=-2(舍去). 因为当x >2时, y >0; 当0<x <2时, y '<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +∞)内单调增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.(4)因为011)1221(11222>+=++++='x x x x x y , 所以函数在(-∞, +∞)内单调增加.(5) y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x . 因为当21<x 时, y '<0; 当21>x 时,y '>0, 所以函数在]21 ,(-∞内单调减少, 在) ,21[∞+内单调增加.(6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=', 驻点为321a x =, 不可导点为22a x =, x 3=a .列表得可见函数在)2 ,(a -∞, ]32 ,2(a a , (a , +∞)内单调增加, 在) ,32[a a 内单调减少.(7)y '=e -x x n -1(n -x ), 驻点为x =n . 因为当0<x <n 时, y '>0; 当x >n 时, y '<0, 所以函数在[0, n ]上单调增加, 在[n , +∞)内单调减少.(8)⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+=πππππππk x k x x k x k x x y 2 2sin 2 2sin (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+='πππππππk x k x k x k x y 2 2cos 212 2cos 21(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).y '是以π为周期的函数, 在[0, π]内令y '=0, 得驻点21π=x , 652π=x , 不可导点为23π=x .列表得根据函数在[0, π]上的单调性及y '在(-∞, +∞)的周期性可知函数在]32 ,2[πππ+k k 上单调增加, 在]22 ,32[ππππ++k k 上单调减少(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 证明下列不等式: (1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时, 331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x , 也就是 x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为0)1l n (1)11(11)1l n ()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x xx f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1l n (122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++.(3)设f (x )=sin x +tan x -2x , 则f (x )在)2,0[π内连续,f '(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 2cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=. 因为在)2,0(π内cos x -1<0, cos 2x -1<0, -cos x <0, 所以f '(x )>0, 从而f (x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即 sin x +tan x -2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设331tan )(x x x x f --=, 则f (x )在)2 ,0[π内连续,))(t a n (t a n t a n 1s e c )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--='.因为当20π<<x 时, tan x >x , tan x +x >0, 所以f '(x )在)2,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即031t a n 3>--x x x ,也就是 231t a n x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0, 也就是2x >x 2. 5. 讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根？解设f (x )=ln x -ax . 则f (x )在(0, +∞)内连续, x ax a x x f -=-='11)(, 驻点为ax 1=.因为当a x 10<<时, f '(x )>0, 所以f (x )在)1 ,0(a 内单调增加; 当ax 1>时, f '(x )<0,所以f (x )在) ,1(∞+a内单调减少. 又因为当x →0及x →+∞时, f (x )→-∞, 所以如果011ln )1(>-=a a f , 即e a 1<, 则方程有且仅有两个实根; 如果011ln )1(<-=aa f , 即e a 1>, 则方程没有实根. 如果011ln )1(=-=aa f , 即e a 1=, 则方程仅有一个实根.6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子: f (x )=x +sin x .解单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-∞,+∞)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上,f '(x )=1+cos x ≥0,这就明f (x )在(-∞, +∞)内是单调增加的. f ''(x )=-sin x 在(-∞, +∞)内不保持确定的符号, 故f '(x )在(-∞, +∞)内不是单调的.7. 判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2 ; (2) y =sh x ; (3)x y 11+=(x >0);(4) y =x arctan x ; 解 (1)y '=4-2x , y ''=-2,因为y ''<0, 所以曲线在(-∞, +∞)内是凸的. (2)y '=ch x , y ''=sh x . 令y ''=0, 得x =0.因为当x <0时, y ''=sh x <0; 当x >0时, y ''=sh x >0, 所以曲线在(-∞, 0]内是凸的, 在[0, +∞)内是凹的.(3)21x y -=', 32x y =''. 因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在(0, +∞)内是凹的.(4)21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''. 因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ; (4) y =ln(x 2+1); (5) y =e arctan x ; (6) y =x 4(12ln x -7),解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720 ,35(. (2)y '=e -x -xe -x , y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.(4)122+='x x y , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(5)2arctan 11x e y x+⋅=',)21(12arctan x x e y x -+=''. 令y ''=0得, 21=x . 因为当21<x 时, y ''>0; 当21>x 时, y ''<0, 所以曲线y =e arctg x 在]21 ,(-∞内是凹的,在) ,21[∞+内是凸的, 拐点是) ,21(21arctan e . (6) y '=4x 3(12ln x -7)+12x 3, y ''=144x 2⋅ln x . 令y ''=0, 得x =1.因为当0<x <1时, y ''<0; 当x >1时, y ''>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +∞)内是凹的, 拐点为(1, -7).9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式: (1)nn n y x y x )2()(21+>+(x >0, y >0, x ≠y , n >1);(2))(22y x e e e yx y x ≠>++;(3)2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+ (x >0, y >0, x ≠y ). 证明 (1)设f (t )=t n , 则f '(t )=nt n -1, f ''(t )=n (n -1)t n -2. 因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=t n 在区间(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+, 即 nn n y x y x )2()(21+>+. (2)设f (t )=e t , 则f '(t )=e t , f ''(t )=e t . 因为f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=e t 在(-∞, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x , y ∈(-∞, +∞), x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+, 即 )(22y x ee e yx yx ≠>++.(3)设f (t )=t ln t , 则 f '(t )=ln t +1, tt f 1)(=''.因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+, 即 2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+.10. 试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明 222)1(12+++-='x x x y , 323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=''x x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, 322-=x , 323+=x . 例表得可见拐点为(-1, -1), ))32(431 ,32(---, ))32(431 ,32(+++. 因为41)1(32)1()32(431=-------, 41)1(32)1()32(431=--+--++,所以这三个拐点在一条直线上.11. 问a 、b 为何值时, 点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解 y '=3ax 2+2bx , y ''=6ax +2b . 要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点, 必须y (1)=3且y ''(1)=0, 即a +b =3且6a +2b =0, 解此方程组得23-=a , 29=b .12. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d , 使得x =-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 解 y '=3ax 2+2bx +c , y ''=6ax +2b . 依条件有⎪⎩⎪⎨⎧=''=-'-==-0)1(0)2(10)1(44)2(y y y y , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a .解之得a =1, b =-3, c =-24, d =16.13. 试决定y =k (x 2-3)2中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y '=4kx 3-12kx , y ''=12k (x -1)(x +1). 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.因为在x 1=-1的两侧y ''是异号的, 又当x =-1时y =4k , 所以点(-1, 4k )是拐点. 因为y '(-1)=8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814+-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即kk 814-=-, 82±=k .同理, 因为在x 1=1的两侧y ''是异号的, 又当x =1时y =4k , 所以点(1, 4k )也是拐点.因为y '(1)=-8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即kk 814-=-, 82±=k .因此当82±=k 时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.14. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ''(x 0)=0, 而f '''(x 0)≠0, 试问 (x 0, f (x 0))是否为拐点？为什么？解不妨设f '''(x 0)>0. 由f '''(x )的连续性, 存在x 0的某一邻域(x 0-δ, x 0+δ), 在此邻域内有f '''(x )>0. 由拉格朗日中值定理, 有 f ''(x )-f ''(x 0)=f '''(ξ)(x -x 0) (ξ介于x 0与x 之间), 即 f ''(x )=f '''(ξ)(x -x 0).因为当x 0-δ<x <x 0时, f ''(x )<0; 当x 0<x <x 0+δ 时, f ''(x )>0, 所以(x 0, f (x 0))是拐点.习题3-51. 求函数的极值: (1) y =2x 3-6x 2-18x +7; (2) y =x -ln(1+x ) ; (3) y =-x 4+2x 2 ; (4)x x y -+=1; (5)25431xx y ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e x cos x ;(8)xx y 1=;(9)31)1(23+-=x y ;(10) y =x +tan x .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47. (2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-∞, 1], )112(1243121121211+---=---=--='x x x xx xy ,令y '=0, 得驻点43=x .因为当43<x 时, y '>0; 当143<<x 时, y '<0, 所以45)1(=y 为函数的极大值.(5)函数的定义为(-∞, +∞), 32)54()512(5x x y +--=', 驻点为512=x . 因为当512<x 时, y '>0; 当512>x 时, y '<0, 所以函数在512=x 处取得极大值, 极大值为10205)512(=y . (6)函数的定义为(-∞, +∞), 22)1()2(+++-='x x x x y , 驻点为x 1=0, x 2=-2.列表可见函数在x =-2处取得极小值38, 在x =0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-∞, +∞). y '=e x (cos x -sin x ), y ''=-e x sin x .令y '=0, 得驻点ππk x 24+=, ππ)1(24++=k x , (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).因为0)24(<+''ππk y , 所以22)24(24⋅=++ππππk e k y 是函数的极大值. 因为y ''0])1(24[>++ππk , 所以22])1(24[)1(24⋅-=++++ππππk e k y 是函数的极小值. (8)函数xx y 1=的定义域为(0, +∞),)ln 1(121x x x y x-⋅='.令y '=0, 得驻点x =e .因为当x <e 时, y '>0; 当x >e 时, y '<0, 所以ee e y 1)(=为函数f (x )的极大值.(9)函数的定义域为(-∞, +∞), 3/2)1(132+-='x y , 因为y '<0, 所以函数在(-∞, +∞)是单调减少的, 无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为ππk x +≠2(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为y '=1+sec 2x >0, 所以函数f (x )无极值.2. 试证明: 如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2 -3ac <0, 那么这函数没有极值 . 证明y '=3a x 2+2b x +c . 由b 2 -3ac <0, 知a ≠0. 于是配方得到y '=3a x 2+2b x +c ab ac a b x a a c x a b x a 33)3(3)332(32222-++=++=,因3ac -b 2>0, 所以当a >0时, y '>0; 当a <0时, y '<0. 因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数, 没有极值.3. 试问a 为何值时, 函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 f '(x )=a cos x +cos 3x , f ''(x )=-a sin x -3 sin x .要使函数f (x )在3π=x 处取得极值, 必有0)3(='πf , 即0121=-⋅a , a =2 . 当a =2时, 0232)3(<⋅-=''πf . 因此, 当a =2时, 函数f (x )在3π=x 处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为3)23(=f . 4. 求下列函数的最大值、最小值:(1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4; (2) y =x 4-8x 2+2, -1≤x ≤3 ; (3)x x y -+=1, -5≤x ≤1.解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2)y '=4x 3-16x =4x (x 2-4), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=2, y (2)=-14, y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=-14, 最大值为y (3)=11.(3)x y --='1211, 令y '=0, 得43=x . 计算函数值得65)5(+-=-y , 45)43(=y , y (1)=1,经比较得出函数的最小值为65)5(+-=-y , 最大值为45)43(=y .5. 问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值. 解 y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29. 6. 问函数xx y 542-=(x <0)在何处取得最小值？解 2542x x y +=', 在(-∞, 0)的驻点为x =-3. 因为 31082x y -='', 0271082)3(>+=-''y , 所以函数在x =-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x =-3处取得最小值, 最小值为27)3(=-y .7. 问函数12+=x x y (x ≥0)在何处取得最大值？解 222)1(1+-='x x y . 函数在(0, +∞)内的驻点为x =1.因为当0<x <1时, y '>0; 当x >1时y '<0, 所以函数在x =1处取得极大值. 又因为函数在 (0, +∞)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=21. 8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm 长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解设宽为x 长为y , 则2x +y =20, y =20-2x , 于是面积为 S = xy =x (20-2x )=20x -2x 2. S '=20-4x =4(10-x ), S ''=-4. 令S '=0, 得唯一驻点x =10.因为S ''(10)-4<0, 所以x =10为极大值点, 从而也是最大值点. 当宽为5米, 长为10米时这间小屋面积最大.9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解由V =π r 2h , 得h =V π-1r -2. 于是油罐表面积为 S =2π r 2+2π rh rVr 222+=π(0<x <+∞), 224rV r S -='π.令S '=0, 得驻点32πV r =. 因为0443>+=''r V S π, 所以S 在驻点32πVr =处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为r r Vh 2 20==π. 底直径与高的比为2r : h =1 : 1.10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.。

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