高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲
高等数学(同济版)第五章复习资料
第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 、x 轴以及两条直线a x =、b x =所围成,求其面积A . ①．大化小(分割)：在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，用直线i x x =将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，用i A ∆表示第i 个曲边梯形的面积; ②．常代变(近似代替)：在第i 个窄曲边梯形的底上任取],[1i i i x x -∈ξ，有i i i x f A ∆ξ∆)(≈. ③．近似和(求和)：∑==ni i A A 1∆∑=≈ni i i x f 1)(∆ξ.④．取极限：令}{max 1i ni x ∆λ≤≤=，则∑=→=n i i A A 1lim ∆λ∑=→=ni i i x f 1)(lim ∆ξλ.2. 变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度)(t v v =在时间间隔],[21T T 上连续，且0)(≥t v ，求在运动时间内物体所经过的路程s .①．大化小(分割)：在区间],[21T T 内任意插入1-n 个分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210 ， 将它分成n 个小段),,2,1(],[1n i t t i i =-，用i s ∆表示物体第i 个小段上经过的路程; ②．常代变(近似代替)：在第i 个小段上经过的路程任取],[1i i i t t -∈ξ，有i i i t v s ∆ξ∆)(≈. ③．近似和(求和)： i ni i t v s ∆ξ∑=≈1)(.④．取极限：令}{max 1i ni t ∆λ≤≤=，则i ni i t v s ∆ξλ∑=→=1)(lim .这两个具体问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念. 二、定积分的相关概念1．定积分 :设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，若在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点b x x x x a n =<<<<= 210，任取],[1-∈i i i x x ξ，记1--=i i i x x x ∆，只要0}{max 1→=≤≤i ni x ∆λ，和式极限i ni i x f ∆ξλ∑=→1)(lim 总存在，则称此极限为)(x f 在],[b a 上的定积分,记作⎰bax d x f )(，即=⎰bax d x f )(i ni i x f ∆ξλ∑=→1)(lim ，此时也称)(x f 在区间],[b a 上黎曼可积. 注：1°.引例中，曲边梯形的面积A ⎰=bax d x f )(；路程⎰=21)(T T t d t v s .2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即⎰b ax d x f )(⎰=b at d t f )(⎰=ba u d u f )(.3°.在定积分定义中，要求积分上限b 大于积分下限a ，为了方便起见，规定： 当b a >时，⎰b ax d x f )(⎰-=abx d x f )(；当b a =时，⎰bax d x f )(0=.4°.定积分定义中0→λ意味着区间的分割越来越细.0→λ时必有小区间的个数∞→n ，但∞→n 并不能保证0→λ(不等分的时候，当等分的时候∞→⇔→n 0λ.)5°.若已知)(x f 在],[b a 上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如n 等分)和特殊的取点i ξ(例如取i i x =ξ或1-=i i x ξ)来计算定积分.2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”. 3. 函数可积的条件 (1). 必要条件：定理1.若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界.反之未必，例如：狄利克雷函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ,0,1)(在]1,0[上有界，但不可积,因为定义中的积分和的极限不总存在. (2). 充分条件：定理2. 若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积.反之未必，例如⎩⎨⎧≤<≤≤=21,110,0)(x x x f 在]2,0[上可积，但)(x f 在]2,0[上有一个间断点1=x .定理3. 若)(x f 在],[b a 上有界，并且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积.定理4. 若)(x f 在],[b a 上单调且有界，则)(x f 在],[b a 上可积. 例1. 利用定义计算定积分x d x ⎰102.解：将区间]1,0[进行n 等分, 分点为n i x i =),,1,0(n i =，取n i i =ξ，nx i 1=∆，),,2,1(n i =.则i ii i x x f ∆ξ∆ξ2)(=32ni =，于是i i ni x f ∆ξ)(1∑=∑==n i i n 1231)12)(1(6113++⋅=n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n 121161，所以 i ni i x x d x ∆ξλ∑⎰=→=120102lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim 31=.例2. 用定积分表示下列极限:1.∑=∞→+n i n n i n 111lim n n i n i n 11lim 1⋅+=∑=∞→x d x ⎰+=101.2. 121lim +∞→+++p p p p n n n n n i n i pn 1lim 1∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛=x d x p⎰=10. 三、定积分的性质(设所列定积分都存在) 1.线性性质1. xd x f k x d x f k baba)()(⎰⎰=( k 为常数).性质2.⎰⎰⎰±=±b a ba b ax d x g x d x f x d x g x f )()()]()([.2.积分区间的可加性性质3. 设b c a <<，则有⎰⎰⎰+=bccabax d x f x d x f x d x f )()()(.3.保序性性质4. 若在],[b a ，0)(≥x f ，则0)(≥⎰x d x f ba .性质5. 若在],[b a ，)()(x g x f ≤，则x d x g x d x f bab a)()(⎰⎰≤.4.绝对不等式性 性质6.x d x f b a)(⎰x d x f ba⎰≤)(.5.介值性性质7.设M 和m 是)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值，则)()()(a b M x d x f a b m ba-≤≤-⎰.性质8.a b x d ba-=⎰1.6.中值性性质9.(积分中值定理) 若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得))(()(a b f x d x f b a-=⎰ξ.证明：设)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值为M 和m ，则由介值性得M x d x f a b m b a≤-≤⎰)(1，再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点],[b a ∈ξ，使x d x f a b f b a)(1)(⎰-=ξ. 注：1°.积分中值定理对b •a <或b a >的情形都成立. 2°.称x d x f ab f b a )(1)(⎰-=ξ为)(x f 在],[b a 上的平均值. 因为 ab x d x f b a-⎰)(n a b f a b ni i n -⋅-=∑=∞→)(lim 11ξ)(1lim 1∑=∞→=n i i n f n ξ，故它是有限个数的平均值概念的推广.3°.积分中值定理的几何意义: 以)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以)(ξf 为的矩形的面积.第二节 微积分基本公式一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系在变速直线运动中, 已知位臵函数)(t s 与速度函数)(t v 之间满足：)()(t v t s ='，即)(t s 是)(t v 的原函数.又物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程为)()()(1221T s T s t d t v s T T -==⎰，即速度函数)(t v 在区间],[21T T 上的定积分t d t v T T ⎰21)(等于)(t v 的原函数在],[21T T 上的增量.这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 二、积分上限函数及其导数1.积分上限函数：若函数)(x f 区间],[b a 上可积，则称函数]),[()()(b a x t d t f x xa ∈=⎰Φ为积分上限函数，或变上限积分.注：积分上限函数t d t f x xa⎰=)()(Φ在],[b a 上连续.推导：],[0b a x ∈∀，有t d t f t d t f x xx x a⎰⎰+=00)()()(Φ，当0x x →时，0)(0→⎰t d t f x x ，于是)()()(lim 000x t d t f x x ax x ΦΦ==⎰→，即t d t f x x a⎰=)()(Φ在],[b a 上连续.2.积分上限函数的导数：定理1.若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数t d t f x xa⎰=)()(Φ在],[b a 上可导，并且 )()()('x f t d t f x d d x d d x xa =⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰ΦΦ )(b x a ≤≤. 证明: ),(,b a x x x ∈+∀∆，则有x x x x ∆Φ∆Φ)()(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰+x a x x a t d t f t d t f x )()(1∆∆⎰+=x x x t d t f x ∆∆)(1)(ξf =)(x x x ∆ξ+<<(积分中值定理)，又)(x f 在],[b a 上连续，故有xx x x x x ∆Φ∆ΦΦ∆)()(lim)('0-+=→)(lim 0ξ∆f x →=)(x f =. 若a x =，取0>x ∆，可证)('a +Φ)(a f =；若b x =，取0<x ∆，可证)('b -Φ)(b f =. 注：其它变限积分求导: 1°.⎰bx t d t f xd d )( ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x b t d t f x d d )( )(x f -=； 2°.⎰)()(x at d t f x d d ϕ )()]([x x f ϕϕ'=；3°.⎰)()()(x x t d t f x d d ϕψ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰)()()()(x a a x t d t f t d t f x d d ϕψ )()]([)()]([x x f x x f ψψϕϕ'-'=. 3.原函数存在定理：定理2.若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数td t f x xa ⎰=)()(Φ)],[(b a x ∈就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.注：这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在性，另一方面初步地揭示了在被积函数连续的前提下，定积分与原函数之间的联系，为使用原函数计算定积分开辟了道路.例1. x x e •x t d e •x t d e •x x x t x x t x 2)(cos lim )'(lim lim 222cos 02'1cos 0021cos 0-→-→-→-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰x•e x •x x 2sin lim 2cos 0-→⋅=e•e •x x ••x x x 21lim sin lim 212cos 00=⋅=-→→.例2.设)(x f 在),0[∞+内连续且0)(>x f ，证明td t f t d t f t x F x x⎰⎰=00)()()(在),0[∞+内单调增加.证明：由于=')(x F ()200)()()()()(t d t f td t f t x f t d t f x f x xxx ⎰⎰⎰-()200)()()()()(t d t f td t f t x f t d t xf x f xxx ⎰⎰⎰-=()200)()()()(t d t f td t f t x x f xx ⎰⎰-=()20)()())((t d t f xf x x f x⎰⋅-=ξξ )0(x <<ξ(积分中值定理)0>，所以)(x F 在),0[∞+内单调增加. 4.函数存在原函数与函数可积的关系： (1).函数存在原函数，但不一定可积.例如：对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1s i n )(22x x x x x f ，由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--≠-=→0,0001s i n l i m 0,1c o s 21s i n 2)('22022x x x x x •x x x x x f x ，令)(')(x f x g =，即函数)(x g 在区间],[a a -上具有原函数，但由于)(x g 在],[a a -无界，所以)(x g 在],[a a -不可积， 事实上，取021→=πn x )(∞→n ，有 )2cos(22)2sin(2221πππππn n n n n g -=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→-=πn 220 )(+∞→n ， 即)(x g 在],[a a -无界.(2).函数可积，但不一定存在原函数.例如：函数⎩⎨⎧≤<≤≤=21,110,0)(x x x f 在]2,0[除了一个间断点1=x 外都连续，所以)(x f 在]2,0[上可积，但)(x f 在]2,0[上不存在原函数.(3).存在既不存在原函数又不可积的函数，例如：狄利克雷函数：⎩⎨⎧∉∈=Q x Qx x f ,0,1)(.三、微积分基本公式——牛顿—莱布尼茨公式定理3. (微积分基本定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，若函数)(x F 是)(x f 在],[b a 上的任一原函数，则)()()(a F b F x d x f b a-=⎰.证明：由于积分上限函数t d t f x a⎰)(是)(x f 的一个原函数，故)(x F C t d t f x a+=⎰)(， 令a x =，得)(a F C =，因此)()()(a F x F x d x f xa-=⎰；再令b x =，得)()()(a F b F x d x f ba-=⎰ba x F )(= .注：微积分基本公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.它表明：连续函数)(x f 在],[b a 上的定积分等于它的任意一个原函数)(x F 在],[b a 上的增量.微积分基本公式是对被积函数连续时给出的计算定积分的公式，若函数)(x f 在],[b a 上不连续，但满足一定的条件，也有相同的公式：定理3’ 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且有有限多个间断点，若存在连续函数)(x F ，在)(x f 的间断点外，有)()('x f x F =，则)()()(a F b F x d x f b a-=⎰.证明：假设)(x f 在b x =不连续，不满足)()('b f b F =，),(b a x ∈∀，有)(t f 在区间],[x a 上连续，且满足)()('t f t F =，从而有)()()(a F x F t d t f xa -=⎰，由)(x F 以及积分上限函数t d t f x a⎰)(的连续，有)]()([lim )(lim )(a F x F t d t f t d t f bx xabx b a-==--→→⎰⎰)()(a F b F -=. 例3.⎰102x d x 123x = 31031=-=.例4.⎰-+31211x •d x 31arctan t =12743)1arctan(3arctan πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=. 例5.⎰--121x d x12||ln --=x 2ln 2ln 1ln -=-=. 例6.计算正弦曲线x y sin =在π],0[与x 轴所围成的平面图形的面积.解：⎰=πsin x d x A π0cos x -=2)11(=---=.例7.用微积分基本定理证明积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存一点),(b a ∈ξ，使得)())(()(b a a b f x d x f ba<<-=⎰ξξ.证明：因为)(x f 连续，故)(x f 具有原函数，设)(x F 为它的一个原函数，即)()('x f x F =，由牛顿—莱布尼茨公式有)()()(a F b F x d x f ba -=⎰.由)(x F 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故至少存一点),(b a ∈ξ，使得)())(())((')()(b a a b f a b F a F b F <<-=-=-ξξξ，故)())(()(b a a b f x d x f ba<<-=⎰ξξ.第三节 定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元法：定理1.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，函数)(t x ϕ=满足：(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ，并且当t 从α变到β时，对应的x 单调地从a 变到b ； (2). 函数)(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数， 则有 t d t t f x d x f ba )(')]([)(ϕϕβα⎰⎰=.证明：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在，且它们的原函数也存在. 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)]([t F ϕ是)(')]([t t f ϕϕ的原函数，于是由牛顿—莱布尼茨公式，有⎰bax d x f )()()(a F b F -=)]([)]([αϕβϕF F -=t d t t f )(')]([ϕϕβα⎰=.注：1°.换元必换限, 原函数中的变量不必代回.2°.换元公式也可以这样使用, 即凑元法)]([)]([)(')]([x d x f x d x x f babaϕϕϕϕ⎰⎰=，积分限不换.这相当于不定积分的第一换元积分法. 例1. 计算)0(022>-⎰a x d x a a .解：令t a x sin =，则t d t a x d cos =，当0=x 时，0=t ；a x =时，2/π=t ，于是x d x a a⎰-022t d t a •⎰=2022cos πt d t a )2cos 1(2202⎰+=π2/022sin 212π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t a 4π2a =.例2.x d x x •⎰25sin cos πx d x x •')cos (cos 205⎰-=π⎰-=205)cos (cos π•x d x 2/066cos πx -=61610=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=.例3.x d x x ⎰-π53sin sin x d x x ⎰-=π023)sin 1(sin x d x x ⎰=π23cos sin x d x x ⎰=π2/3|cos |sinx d x x x d x x ⎰⎰-+=πππ22/3202/3)cos (sincos sin⎰⎰-=πππ22/3202/3sin sin sin sin x d x x d xπππ2/2/52/02/5sin 52sin 52xx -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=525254=. 例4.计算x d x x ⎰++40122. 解：令12+=x t ，则212-=t x ，t d t x d =，且当0=x 时，1=t ；当4=x 时，3=t ，于是x d x x ⎰++40122t d t t t ⎰+-=312221t d t )3(21312⎰+=31333121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 322=. 另解：x d x x ⎰++40122x d x x ⎰++=40124221x d x x ⎰++=40121221x d x ⎰++4012321x d x ⎰+=401221⎰+++4012)12(43x x d )12(124140++=⎰x d x ⎰+++4012)12(43x x d 4023)12(3241+⋅=x +421)12(243+⋅x 3313+=322= 例5. 设•x f )(为],[a a -上的连续函数，(1). 若)()(x f x f =-，则⎰⎰-=aaax d x f x d x f 0)(2)(.(偶倍)(2). 若)()(x f x f -=-，则0)(=⎰-aax d x f .(奇零)证明: 由于=⎰-x d x f aa)(x d x f a⎰-0)(x d x f a ⎰+0)(，对积分x d x f a⎰-0)(作变换，令t x -=，则有x d x f a⎰-0)(t d t f a⎰--=0)(t d t f a⎰-=0)(x d x f a⎰-=0)(，于是=⎰-x d x f aa)(x d x f x f a])()([0⎰+-=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰)()(,0)()(,d )(20x f x f x f x f x x f a 例6.若•x f )(在]1,0[上连续，证明 (1). ⎰⎰=2/02/0)(cos )(sin ππx d x f x d x f ；(2). ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin x d x f x d x xf ，并由此计算⎰+π02cos 1sin x d xxx .证明： (1).令t x -=2π，则t d x d -=，且当0=x 时，2π=t ；当2π=x 时，0=t ，于是 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02/2/02sin )(sin πππt d t -f x d x f ⎰⎰==2/02/0)(cos )(cos ππx d x f t d t f . (2). 令t x -=π，则t d x d -=，且当0=x 时，π=t ；当π=x 时，0=t ，于是⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππt d t f t x d x xf ⎰-=ππ0)(sin )(t d t f t⎰⎰⋅-=πππ0)(sin )(sin t d t f t t d t f ⎰⎰⋅-=πππ0)(sin )(sin x d x f x x d x f ,整理得⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin x d x f x d x xf .由此⎰+π02cos 1sin x d x x x ⎰+=ππ02cos 1sin 2x d x x ⎰+-=ππ02cos 1)(cos 2xx dππ0)arctan(cos 2x -=ππ0)arctan(cos 2x -=⎪⎭⎫⎝⎛---=442πππ22π=.例7. 设)(x f 是连续的周期函数，周期为T ，证明： (1). x d x f x d x f TT a a ⎰⎰=+0)()(;(2). )()()(0N n x d x f n x d x f T nT a a∈=⎰⎰+,并由此计算x d x n ⎰+π02sin 1.证明： (1).记x d x f a T a a⎰+=)()(Φ，则0)()()(=-+='a f T a f a Φ，即)(a Φ与a 无关，因此)0()(ΦΦ=a ，于是x d x f x d x f TT a a⎰⎰=+0)()(.(2).由于x d x f nT a a⎰+)( x d x f T kT a kTa n k ⎰∑+++-==)(1，又由(1)知x d x f x d x f TT kT a kTa ⎰⎰=+++0)()(，因此x d x f nT a a⎰+)(x d x f n T⎰=0)(.由于x 2sin 1+是以π为周期的周期函数，于是x d x n ⎰+π02sin 1x d x n ⎰+=π2sin 1x d x x n ⎰+=π2)sin (cos x d x x n ⎰+=πsin cosx d x n ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ04sin 2 (令4π+=x t )t d t n ⎰+=πππ4/4/sin 2t d t n ⎰=π0sin 2t d t n ⎰=π0sin 2πcos 2x n -=n 22=.例8. 计算x d x x x ⎰+-30222)33(.解：由于x d x x x ⎰+-30222)33(x d x x ⎰+-=30222)]2/3()2/3[(，令t x tan 2323=-，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππt ， 则t td x d 2sec 23=，t t x x 42222sec 169sec 43)33(=⎪⎭⎫⎝⎛=+-.当0=x 时，3π-=t ；3=x 时，3π=t ， 于是x d x x x ⎰+-30222)33(t d t t t t 243/3/2sec 23sec 91649tan 233tan 43⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--⎰ππ t d t t t 23/3/2cos 49tan 233tan 43938⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππ (偶倍奇零) t d t t 23/02cos 49tan 439316⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πt d t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3/022cos 49sin 439316π ()t d t t ⎰+=3/022cos 3sin 334π()t d t ⎰+=3/02cos 21334π()t d t ⎰+=3/02cos 2334ππ2sin 212334⎪⎭⎫⎝⎛+=t t 1338+=π. 例9.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-0,cos 11,0,)(2x xx xe x f x π ，计算x d x f ⎰-41)2(.解：设t x =-2，则t d x d =，且当1=x 时，1-=t ；4=x 时，2=t ，于是x d x f ⎰-41)2( (由于)2/(tan 1)2/(tan 1cos 22t t t +-=)t d t f ⎰-=21)(t d t ⎰-+=01cos 11t d e t t ⎰-+202t d t ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0122tan 121)(212202t d e t t --⎰- 22sec 012t d t ⎰-=)(212202t d e t t --⎰-012tan -⎪⎭⎫⎝⎛=t 2221t e --⎪⎭⎫ ⎝⎛=21tan 21214+--e .二、定积分的分部积分法定理2. 设函数)(x u 、)(x v 在区间],[b a 上连续，则有定积分的分部积分公式：ba bax v x u x d x v x u )()()()(='⎰⎰'-bax d x v x u )()(.证明：由于)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='，两端在],[b a 上积分得，ba x v x u )()( x d x v x u x d x v x u bab a)()()()('+'=⎰⎰，整理得ba bax v x u x d x v x u )()()()(='⎰⎰'-bax d x v x u )()(.例10. 计算⎰2/10arcsin x d x .解：⎰2/10)'(arcsin x d x x 2/10arcsin xx =⎰-2/10)(arcsin x d x 2/10arcsin xx =⎰--2/1021x d xx2/10arcsin xx =⎰--+2/1022)1(11x d x2/10arcsin xx =2/1021x -+12312-+=π. 例11. 计算⎰1x d ex.解：令x t =，则2t x =，t d t x d 2=，于是⎰1x d ex⎰=102t d e t t⎰=10)'(2t d e t t102tte =⎰-102t d e t 102tte =102te -2=.思考题：x t d t x x d d x 1000100sin )(sin =-⎰. 提示: 令t x u -=，则t d t x x⎰-0100)(sin u d u x⎰-=0100sinu d u x⎰=0100sin .第四节 反常积分一、无穷积分 1.引例：曲线21x y =和直线1=x 及x 轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作⎰+∞=12x x d A ，其含义可理解为⎰∞+→=bb x x d A 12lim 11lim bb x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞+→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞+→b b 11lim 1= 将⎰∞+→=bb x xd A 12lim记作⎰∞+12xx d ，因其积分区间时无穷区间，故称其为无穷积分. 2.无穷积分：设函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，取a b >，若x d x f bab )(lim ⎰∞+→存在 ，则称此极限为)(x f 在无穷区间),[∞+a 上无穷积分,记作x d x f x d x f bab a)(lim)(⎰⎰∞+→∞+=，此时也称为无穷积分x d x f a)(⎰∞+收敛；若上述极限不存在,则称无穷积分x d x f a)(⎰∞+发散，可类似定义：)(x f 在无穷区间),(b -∞上的无穷积分：x d x f x d x f baa b)(lim)(⎰⎰∞-→∞-=.)(x f 在无穷区间),(∞+-∞上的无穷积分：=⎰∞+∞-x d x f )(x d x f caa )(lim⎰∞-→x d x f bcb )(lim⎰∞+→+.注：上述定义中若出现∞-∞，并非不定型,它表明该无穷积分发散. 无穷积分也称为第一类反常积分.3.无穷积分的计算：设)(x F 是)(x f 在),[∞+a 上的一个原函数，引入记号:)(lim )(x F F x ∞+→=+∞;)(lim )(x F F x ∞-→=-∞,则有类似牛——莱公式的计算表达式:x d x f a )(⎰∞+∞+=a x F )()()(a F F -+∞=； x d x f b)(⎰∞-b x F ∞-=)()()(-∞-=F b F ； x d x f )(⎰∞+∞-∞+∞-=)(x F )()(-∞-+∞=F F .例1. 计算反常积分⎰+∞∞-+21x xd .解：⎰+∞∞-+21x xd ∞+∞-=xarctan π2π2π=⎪⎭⎫⎝⎛--=. 另解：⎰+∞∞-+21x xd ⎰+∞+=0212x x d ∞+=0arctan 2x π02π2=⎪⎭⎫⎝⎛-=. 注：012=+⎰+∞∞-x xd x 是否正确？因为∞-+∞∞+∞-+=+⎰)1ln(21122x x x d x ，故原积分发散，所以对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质, 否则会出现错误 .例2. 计算反常积分)0(0>⎰+∞-p t d e t t p .解：⎰+∞-0t d e t t p ⎰+∞--=0)(1tp e d t p ∞+--=0pt e pt ⎰+∞-+01t d e ptp ∞+--=0pte p t)(102⎰+∞---t p d e pt p ∞+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0pt e p t ∞+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-021pt e p())10(110lim 12--⋅--=-+∞→p te p pt t 21lim 1p e t p pt t +-=+∞→ 211lim 1p pe p pt t +-=+∞→21p =. 例3. 证明p 积分⎰+∞a px xd )0(>a 当1>p 时收敛; 1≤p 时发散. 证明：当1=p 时，有⎰+∞a px x d ()∞+=a x ||ln +∞=， 当1≠p 时，有⎰+∞ap x x d ∞+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=app x 11⎪⎩⎪⎨⎧>-<∞+=-.1,1,1,1p p a p p因此当1>p 时, 反常积分收敛, 其值为11--p a p；当1≤p 时, 反常积分发散.二、瑕积分 1.引例：曲线xy 1=与x 轴及y 轴和直线1=x 所围成的开口曲边梯形的面积可记作⎰=10xxd A ，其含义可理解为⎰+→=10lim εεx x d A 102lim εεx +→= )1(2lim 0εε-=+→ 2=.将⎰+→=1lim εεx xd A 记作⎰10xx d ，因其被积函数在积分区间内无界，也称为无界函数的反常积分.易知左端点0是被积函数x /1的无界间断点，称其为被积函数的瑕点，因此无界函数的反常积分也称为瑕积分.2.瑕点：若函数)(x f 在点a 的任意邻域内都无界，则称a 为)(x f 的无界间断点，又称为瑕点.3.瑕积分：设函数)(x f 在区间],(b a 上连续，点a 为)(x f 的瑕点，取0>ε，若xd x f ba )(lim 0⎰+→+εε存在 ，则称此极限为)(x f 在区间],(b a 上的瑕积分,记作x d x f ba)(⎰x d x f ba )(lim 0⎰+→+=εε，此时也称瑕积分x d x f b a)(⎰收敛；若上述极限不存在,就称瑕积分x d x f ba)(⎰发散，可类似定义：若)(x f 在区间),[b a 内连续，b 为)(x f 的瑕点，则有：x d x f x d x f b aba )(lim )(0⎰⎰-→+=εε.若)(x f 在区间],[b a 上除了点c 外连续，c 为)(x f 的瑕点，则有：=⎰x d x f ba)(x d x f c a)(⎰x d x f bc)(⎰+x d x f c a)(lim 110⎰-→+=εεx d x f bc )(lim 220⎰+→++εε.注：若出现∞-∞，并非不定型,它表明该反常积分发散. 若也称为第二类反常积分. 注：1°.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分, 而不是反常积分. 例如: x d x x ⎰---11211x d x ⎰-+=11)1(. 2°.有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化. 例如⎰-1021xx d ⎰=2/0πt d (令t x sin =)x d x x ⎰++104211⎰++=10222/1/11x d x x x ⎰+--=1022)/1()/1(x x x x d ⎰∞-+=022t t d (令xx t 1-=) 3°.当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. 3.瑕积分的计算：设)(x F 是)(x f 的一个原函数， 则有类似牛——莱公式的计算表达式:若b 为瑕点, 则x d x f ba)(⎰)()(lim a F x F bx -=-→)()(a F b F -=-;若a 为瑕点, 则x d x f ba)(⎰)(lim )(x F b F ax +→-=)()(+-=a F b F ;若a 和b 都为瑕点, 则x x f bad )(⎰)(lim )(lim x F b F ax bx +-→→-=)()(+--=a F b F . 思考题：若瑕点),(b a c ∈，则=⎰x x f bad )()()(+-c F b F )()(a F c F -+-)()(a F b F -=是否正确？提示：)(+c F 和)(-c F 不一定相等. 例4.)0(022>-⎰a x a x d a-=a axarcsin1arcsin =2π=. 例5. 讨论反常积分⎰-112x xd 的收敛性.解：由于⎰-112x x d ⎰-=012x x d ⎰+102x x d --⎪⎭⎫⎝⎛-=011x 101+⎪⎭⎫⎝⎛-+x ∞=，所以反常积分⎰-112x xd 发散. 例6. 证明反常积分⎰-ba qa x xd )(当1<q 时收敛; 1≥q 时发散.证明：当1=p 时，a 为被积函数的瑕点，有⎰-ba qa x xd )(()b a x +-=|1|ln +∞=，当1≠p 时，有⎰-ba qa x xd )(ba qq a x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1)(1⎪⎩⎪⎨⎧>∞+<<--=-.1,,10,1)(1q q q a b q因此当1<q 时, 反常积分收敛, 其值为q a b q---1)(1；当1≥q 时, 反常积分发散.例7. 计算反常积分⎰∞++03)1(x x x d .解：注意到这是一个无穷限和瑕点都出现的反常积分.令t x =，则2t x =，t d t dx 2=，当+→0x 时，0→t ；当+∞→x 时，+∞→t ，于是⎰∞++03)1(x x x d ⎰∞++=02/32)1(2t t t d t ⎰∞++=02/32)1(2t t d . 再令u t tan =，()2/,0π∈u ，u d u dt 2sec =，t u arctan =，当0=t 时，0=u ；当+∞→t 时，2/π→u ，于是⎰∞++03)1(x x x d ⎰=2/032sec sec 2πuud u ⎰=2/0cos 2πu d u 2=. 三.两类反常积分之间的关系：瑕积分积分可转化为无穷积分，例如：设函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点，由定义有⎰⎰+→+=b a ba x d x f x d x f εε)(lim )(0，令ta x 1+=，有⎰⎰-→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+εε/1)/(12011lim )(a b b at d t t a f x d x f t d t t a f a b ⎰∞+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)/(1211.第五节 反常积分的审敛法 Γ函数一、无穷积分的审敛法由于无穷积分的收敛性问题实质上上是一个极限的存在性问题，于是根据函数极限的理论，不难得出无穷积分的收敛准则： 1.柯西收敛准则：定理1. 无穷积分x d x f a⎰+∞)(收敛的充要条件是：对0>∀ε，0>∃A ，当A A A >'','时，有ε<⎰x d x f A A ''')(成立.下面讨论无穷积分x d x f a⎰+∞)(的另外几种收敛判别法，首先考虑非负函数的无穷积分.2.有界审敛法：定理2. 设非负函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，若函数t d t f x F xa⎰=)()(在),[∞+a 上有界，则反常积分x d x f a⎰+∞)(收敛.证明：由于0)()('≥=x f x F ，则)(x F 在),[∞+a 上单调增加且有上界，根据极限收敛准则知⎰+∞→+∞→=x ax x t d t f x F )(lim)(lim 存在 ,即反常积分x d x f a⎰+∞)(收敛.由此定理，可得下面的比较审敛法： 3．比较审敛法：定理3.设函数)(x f 、)(x g 在区间),[∞+a 上连续，且a x ≥∀，有)()(0x g x f ≤≤， (1). 若x d x g a ⎰+∞)(收敛，则x d x f a ⎰+∞)(收敛； (2). 若x d x f a⎰+∞)(发散，则x d x g a⎰+∞)(发散.证明：设a t >，由于)()(0x g x f ≤≤，有x d x f ta)(⎰x d x g ta)(⎰≤. (1). 若x d x g a⎰+∞)(收敛，则有x d x f t a)(⎰x d x g t a )(⎰≤x d x g a)(⎰∞+≤，即x d x f t F ta)()(⎰=在),[∞+a 单调递增且有上界, 由定理1知x d x f a ⎰+∞)(收敛.(2).用反证法：假设x d x g a⎰+∞)(收敛，则由x d x f ta)(⎰ x d x g ta)(⎰≤x d x g a)(⎰∞+≤知，xd x f a⎰+∞)(收敛，出现矛盾，故x d x g a⎰+∞)(发散.注：大的收敛，保证小的收敛；小的发散，导致大的发散.由于反常积分)0(1>⎰∞+a x d x a p 当1>p 时，收敛；当1≤p 时，发散，故通常取)0()(>=A x Ax g p作为比较函数，即有下面的柯西审敛法： 4．柯西审敛法：定理4.设非负函数)(x f 在区间),[∞+a )0(>a 上连续，对常数p ，记l x f x p x =+∞→)(lim ，(1). 当1>p 时，若0>∃M ，a x ≥∀, 有p xMx f ≤)(，则x d x f a ⎰+∞)(收敛；(2). 当1≤p 时，若0>∃N ，a x ≥∀, 有p xNx f >)(则x d x f a ⎰+∞)(发散.例1. 判别反常积分x d x ⎰+∞+13411的敛散性.解：由于3/4343411110x xx =<+<，而x d x⎰+∞13/41收敛，故x d x ⎰+∞+13411收敛.在比较审敛法的基础上，可以得到应用更方便的极限审敛法： 5．极限审敛法：定理5.设非负函数)(x f 在区间),[∞+a )0(>a 上连续，对常数p ，记l x f x p x =+∞→)(lim ，(1). 当1>p 时，若+∞<≤l 0，则x d x f a ⎰+∞)(收敛； (2). 当1≤p 时，若+∞≤<l 0，则x d x f a⎰+∞)(发散.证明：(1). 当1>p 时，若0)(lim ≥=+∞→l x f x p x ，则由极限定义知：对任意给定的0>ε，当x 充分大时，必有M l x f x p=+≤ε)(，即p xMx f ≤≤)(0，由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(收敛.(2). 当1≤p 时, 若0)(lim >=+∞→l x f x p x , 则由极限定义，可取0>ε，使0>-εl ，当x 充分大时，必有N l x f x p =-≥ε)(，即p xNx f ≥)(，由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(发散.若+∞==+∞→l x f x p x )(lim ，则对任意+∈N N ，当x 充分大时，N x f x p ≥)(，即px Nx f ≥)(，由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(发散.例2. 判别反常积分x d xx ⎰+∞+1211的敛散性.解法(一)：由于221110xxx <+<，而x d x⎰+∞121收敛，故x d xx ⎰+∞+1211收敛.解法(二)：由于2211lim xx x x +⋅+∞→ 11lim21+=+∞→x x 1=，极限审敛法知x d xx ⎰+∞+1211收敛.例3. 判别反常积分x d xx ⎰∞++122/31的敛散性. 解：由于22/31lim x x x x +⋅+∞→ 221lim x xx x +⋅+∞→+∞=，极限审敛法知x d x x ⎰∞++122/31发散. 例4. 判别反常积分x d xx⎰+∞1arctan 的敛散性.解：由于x x x x arctan lim ⋅+∞→ x x arctan lim +∞→2π=，极限审敛法知x d xx ⎰+∞1arctan 发散. 当被积函数不是非负函数时，我们可以考虑被积函数取绝对值的积分，即引入绝对收敛的概念以及绝对收敛定理. 6．绝对审敛法：(1). 无穷积分的绝对收敛与条件收敛：设反常积分x d x f a)(⎰+∞收敛，若⎰∞+a x d x f )(收敛，则称x d x f a )(⎰+∞绝对收敛； 若⎰∞+ax d x f )(发散，则称x d x f a)(⎰+∞条件收敛；(2)．绝对审敛法：定理6.若函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，且⎰∞+ax d x f )(收敛，则x d x f a)(⎰+∞收敛.证明：令])()([21)(x f x f x +=ϕ，则)()(0x f x ≤≤ϕ，由于⎰∞+a x d x f )(，故x d x a )(⎰+∞ϕ收敛，而)()(2)(x f x x f -=ϕ，又x d x f x d x x d x f aaa)()(2)(⎰⎰⎰+∞+∞+∞-=ϕ，故x d x f a)(⎰+∞收敛.例5. 判断反常积分x d bx x a ⎰∞+-0sin e b a ,(为常数，)0>a 的敛散性.解:由于 x a x a x b --≤e sin e ，而x xa d e⎰∞+-收敛，根据比较审敛原理知⎰∞+-ax a x bx d sin e ，再由绝对收敛定理知x d bx x a ⎰∞+-0sin e 收敛.二、瑕积分的审敛法由于瑕积分可转化为无穷积分，故无穷积分的审敛法完全可平移到瑕积分中来. 1.柯西收敛准则： 定理7. 瑕积分x d x f b a⎰)((a 为)(x f 的瑕点)收敛的充要条件是：对0>∀ε，0>∃δ，当δηη<<'','0时，有εηη<⎰-+x d x f b a ''')(成立.2．比较审敛法：定理8.设非负函数)(x f 、)(x g 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 、)(x g 的瑕点，且a x ≥∀，有)()(0x g x f ≤≤， (1). 若x d x g b a ⎰)(收敛，则x d x f b a ⎰)(收敛； (2). 若x d x f b a⎰)(发散，则x d x g b a⎰)(发散.利用反常积分⎰-ba qa x xd )(当10<<q 时收敛; 1≥q 时发散的结论，瑕积分有如下的柯西审敛法和极限审敛法：3．柯西审敛法：定理9.设非负函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点， (1). 若0>∃M ，当1<q 时，],(b a x ∈∀, 有qa x Mx f )()(-≤，则x d x f b a⎰)(收敛；(2).若0>∃N ，当1≥q 时，],(b a x ∈∀, 有qa x Nx f )()(->则x d x f b a⎰)(发散.4．极限审敛法：定理10.设非负函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点，对常数q ，记l x f a x q ax =-+→)()(lim ，(1). 当10<<q 时，若+∞<≤l 0，则x d x f b a⎰)(收敛；(2). 当1≥q 时，若+∞≤<l 0，则x d x f b a⎰)(发散.例6. 判别反常积分⎰31ln xxd 的敛散性. 解：易知1=x 是被积函数的瑕点，由于1/11lim ln 1)1(lim 11==-++→→xx x x x ， 由极限判别法知瑕积分⎰31ln xxd 发散. 例7.判定椭圆积分)1()1)(1(210222<--⎰k x k x x d 的敛散性.解：易知1=x 是被积函数的瑕点，由于)1(21)1)(1(1lim )1)(1(1lim 22212221k x k x x x k x x x x -=-+-=---++→→，故由极限判别法知⎰--10222)1)(1(x k x x d 收敛.5．绝对审敛法：(1). 瑕积分的绝对收敛与条件收敛：设瑕积分x d x f ba)(⎰(a 为)(x f 的瑕点)收敛，若x d x f b a|)(|⎰收敛，则称x d x f ba)(⎰绝对收敛；若x d x f b a|)(|⎰发散，则称x d x f ba)(⎰条件收敛；(2)．绝对审敛法：定理11.若函数)(x f 在区间],(b a 上连续上连续，且x d x f ba|)(|⎰收敛，则x d x f ba)(⎰收敛.例8.判定反常积分⎰101sin 1x d x x的敛散性. 解:易知0=x 是被积函数的瑕点，由于xx x 11sin 1≤，而⎰101x d x 收敛，根据比较审敛法知⎰101sin 1x d x x，再由绝对收敛定理知⎰101sin 1x d x x 收敛. 例9.判定反常积分x d xx⎰10ln 的敛散性 解: 易知0=x 是被积函数的瑕点，由于x x x x ln lim 430+→0ln lim 410==+→x x x ,从而0ln lim 430=+→xx x x ，即x d xx⎰10ln 收敛，从而x d x x ⎰10ln 收敛. 三、Γ 函数1. Γ 函数：称参变量α的反常积分为)0(01>⎰∞+--ααx d e x x 为Γ函数，记作 )0()(01>=⎰∞+--ααΓαx d e x x .2. Γ函数的收敛性：)0()(01>=⎰∞+--ααΓαx d e x x 收敛.证明：由定义式可知，函数可分解为⎰∞+--=01)(x d e xxααΓ⎰--=11x d e xxα⎰∞+--+11x d e x x α.当1>α时，⎰--101x d e x x α为定积分；当10<<α时，⎰--11x d e x x α为瑕积分，0=x 为瑕点，此时，由于x x e x e x 1111⋅=---αα α-<11x ， 又由于11<-α时，瑕积分⎰-1011x d xα收敛，于是⎰--11x d e x x α收敛.对无穷积分⎰∞+--11x d e xxα，由于⋅+∞→2lim x x )(1xa e x --x a x ex 1lim ++∞→=0=，从而⎰∞+--11x d e x x α收敛.综上可得⎰∞+--=01)(x d e x x ααΓ收敛.3. Γ 函数的性质：(1). 递推公式：)()1(αΓααΓ=+. 证明：应用分部积分法，有⎰⎰∞+-∞+--==+0)1(xxed x x de x αααΓ[]⎰+∞---+-=+∞010x d e x ex x xααα)(αΓα=.当•α介于两个整数之间时，则)1()1()()1(--==+αΓαααΓααΓ)2()2)(1(---=αΓααα=)()()2)(1(n n ----=αΓαααα )10(<-<n α.当•α为正整数n 时，则)1()1()()1(--==+n n n n n n ΓΓΓ)2()2)(1(---=n n n n Γ=)]1([)]1([)2)(1(------=n n n n n n n Γ )1(1)2)(1(Γ --=n n n )1(!Γn =，而1)1(0==⎰+∞-x d e x Γ，所以⎰∞+-==+0!)1(x d e x n n x n Γ.(2). 当+→0s 时，+∞→)(s Γ. 证明：由于ααΓαΓ)1()(+=且1)1(=Γ，又)(αΓ当0>α时连续(可证)，于是 +∞=+=++→→ααΓαΓαα)1(lim )(lim 00. (3). 余元公式: )10()sin(ππ)1()(<<=-αααΓαΓ.注：π2102/1==⎪⎭⎫⎝⎛⎰∞+--x d e x x Γ.(4). Γ 函数的其它形式：)0(2)(0122>⋅=⎰∞+--ααΓαt•d e t t .推导：对Γ 函数⎰∞+--=01)(x d e x x ααΓ，令2t x =得，⎰∞+--⋅=01222)(t •d e t t ααΓ.注： 1°.)1(212102->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰∞+-t t x d e x x t Γ.推导：令u x =2，则u x =，u d ux d 21=，于是⎰∞+-02ex d x x t⎰∞+--=021221x d e u u t ⎰∞+--+=0121221x d e u u t )1(2121->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t Γ.2°.概率积分：⎰∞+-02x d ex ⎪⎭⎫⎝⎛=2121Γ 2π=. 例10. 计算反常积分⎰∞+-0198x d e x x .解：令u x =8，则u d x d x =78，u d u x d 8781-=，于是⎰∞+-0198x d ex x ⎰∞+-=02381u d e u u ⎰∞+--=012581u d e u u⎪⎭⎫ ⎝⎛=2581Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=232381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=1212381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=21212381Γ323π=.。
同济高数上知识点总结大一
同济高数上知识点总结大一同济高数上知识点总结高等数学作为大学中的一门重要基础课程，对于大一学生来说是相对困难的一门课程。
其中，同济大学的高等数学上册，作为全国各大高校普遍采用的教材之一，内容丰富、难度适中。
本文将对同济高数上的知识点进行总结与归纳，帮助大家更好地掌握这门课程。
1. 极限与连续1.1 极限的概念与性质极限的定义及计算方法，无穷小与无穷大的概念，确定极限的四则运算法则，夹逼定理。
1.2 函数的连续性函数极限存在的条件，连续函数的定义，连续函数的运算法则，介值定理及其应用。
2. 导数与微分2.1 导数的概念与性质导数的定义与解释，导数的几何意义，可导与连续的关系，四则运算法则，复合函数求导，反函数求导。
2.2 微分的概念与应用微分的定义与计算方法，微分中值定理，泰勒公式及其应用，函数的单调性与极值点。
3. 不定积分与定积分3.1 不定积分不定积分的定义，基本初等函数与不定积分，分部积分法，换元积分法，有理函数积分。
3.2 定积分定积分的概念与性质，定积分的计算方法，变上限积分，换元积分法，定积分的几何应用。
4. 微分方程4.1 一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程，齐次方程，线性方程，伯努利方程，解法与应用。
4.2 高阶线性微分方程高阶线性微分方程的定义、标准形式及其解法，常系数非齐次线性微分方程。
5. 多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续多元函数极限的定义，连续性与可导性的关系，偏导数及其计算方法。
5.2 多元函数的方向导数与梯度方向导数的概念及计算方法，梯度的定义与性质，多元函数极值的判定条件。
总结：同济高数上册内容较为全面，主要包括极限与连续、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及多元函数微分学等知识点。
通过系统的学习和掌握，可以帮助大家打好高等数学的基础，为后续的学习奠定坚实的基础。
以上是对同济高数上知识点的简要总结与归纳，希望能够对大家的学习有所帮助。
相信通过努力和不断的练习，大家一定能够掌握这门课程，取得优异的成绩。
同济大学高等数学知识点总结
同济大学高等数学知识点总结高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。
1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。
数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。
高等数学同济大学第五版
高等数学同济大学第五版引言高等数学是大学理工科专业中的一门重要课程，它是现代科学和工程技术的基础。
同济大学出版社出版的《高等数学同济大学第五版》是一本经典的教材，被广大理工科学生所使用。
本文将介绍《高等数学同济大学第五版》这本教材的特点、内容和学习方法，旨在帮助读者更好地理解和应用高等数学知识。
特点《高等数学同济大学第五版》教材具有以下特点：1.经典而全面：本书继承了同济大学出版社编写的经典高等数学教材的风格，包含了高等数学的各个分支，如极限、导数、微分方程、级数等，能够满足大部分高等数学课程的需要。
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例题和习题设置合理，能够帮助读者逐步深入理解和掌握知识。
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同时，教材还附带了习题的详细解答，读者可以通过对照解析来查漏补缺。
4.前沿应用案例：教材还融入了一些前沿的应用案例，例如在工程学、经济学和自然科学等领域的应用，能够帮助读者理解高等数学知识在实际问题中的应用价值。
内容《高等数学同济大学第五版》主要分为以下几个部分：第一部分：极限与连续本部分介绍了极限概念及其性质、无穷大与无穷小、函数连续性等内容。
主要涉及极限的定义、极限存在准则、函数连续性与间断点等知识点。
第二部分：导数与微分本部分介绍了函数的导数及其应用、高阶导数与高阶微分、隐函数与参数方程、微分中值定理等内容。
主要涉及导数的定义、导数的应用、中值定理及其应用等知识点。
第三部分：定积分本部分介绍了定积分的概念与性质、定积分的计算方法、定积分的应用等内容。
主要涉及定积分的定义、定积分的计算、曲线下面积与定积分的应用等知识点。
第四部分：不定积分与微分方程本部分介绍了不定积分与不定积分的应用、微分方程的概念、一阶微分方程、高阶线性微分方程等内容。
主要涉及不定积分的定义、不定积分的计算、一阶微分方程与高阶线性微分方程等知识点。
同济五版高等数学(下)复习资料
同济五版高等数学（下）复习资料第八章多元函数微分法及其应用一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法在求zz时，应将y看作常量，对某求导，在求时，应将某看作常量，对y 求导，所运用的是一元函某y数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设zfu,v，u某,y，v某,y，则zzuzvzzuzv，某u某v某yuyvy几种特殊情况：1）zfu,v，u某，v某，则dzdzuzdvd某du某vd某fv2）zf某,v，v某,y，则某某v某，zfzfvyuy3）zfu，u某,y则zdzuzdzu，某du某yduy3、隐函数求偏导数的求法1）一个方程的情况设zz某,y是由方程F某,y,z0唯一确定的隐函数，则Fz某某FzFz0，FyzyFzFz0或者视zz某,y，由方程F某,y,z0两边同时对某(或y)求导解出zz(或).某y2）方程组的情况由方程组F某,y,u,v0zz两边同时对某(或y)求导解出(或)即可.某yG某,y,u,v0二、全微分的求法方法1：利用公式duuuud某dydz某yz方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：zzdudvvudzzzd某dyy某三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法某t1）设空间曲线Г的参数方程为yt，则当tt0时，在曲线上对应点P0某0,y0,z0处的切线zt方向向量为T't0,'t0,'t0，切线方程为某某0yy0zz0't0't0't0法平面方程为't0某某0't0yy0't0zz002）若曲面的方程为F某,y,z0，则在点P0某0,y0,z0处的法向量nF 某,Fy,Fz切平面方程为F某某0,y0,z0某某0Fy某0,y0,z0yy0Fz某0,y0,z0zz00P0，法线方程为某某0yy0zz0F某某0,y0,z0Fy某0,y0,z0Fz某0,y0,z0若曲面的方程为zf某,y，则在点P0某0,y0,z0处的法向量nf某某0,y0,fy某0,y0,1，切平面方程为f某某0,y0某某0fy某0,y0yy0zz00法线方程为某某0yy0zz0f某某0,y0fy某0,y01四、多元函数极值（最值）的求法1无条件极值的求法设函数zf某,y在点P0某0,y0的某邻域内具有二阶连续偏导数，由f某某,y0，fy某,y0，解出驻点某0,y0，记Af某某某0,y0，Bf某y某0,y0，Cfyy某0,y0.1）若ACB20，则f某,y在点某0,y0处取得极值，且当A0时有极大值，当A0时有极小值.2）若ACB20，则f某,y在点某0,y0处无极值.23）若ACB0，不能判定f某,y在点某0,y0处是否取得极值.2条件极值的求法函数zf某,y在满足条件某,y0下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件某,y0解出y代入f某,y中，则使函数zz(某,y)成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数F某,yf某,y某,y，其中为参数，解方程组令F某,yf某,y某,y0某某某令F某,yf某,y某,y0yyy某,y0求出驻点坐标某,y，则驻点某,y可能是条件极值点.3最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值.主要:1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法第九章重积分积分类型二重积分Y—型某—型（1）利用直角坐标系计算方法Df(某,y)d某dyd某ab2(某)1(某)f(某,y)dyf(某,y)d某dyDdcdy2(y)1(y)f(某,y)d某If某,ydD（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含(某2平面薄片的质量质量=面密度面积y2),为实数)f(co,in)ddDd2()1()f(co,in)d0202（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于某轴对称时，有类似结论）0I2f(某,y)d某dyD1计算步骤及注意事项1．画出积分区域f(某,y)对于某是奇函数，即f(某,y)f(某,y)f(某,y)对于某是偶函数，即f(某,y)f(某,y)D1是D的右半部分2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数。
同济大学高等数学知识点总结
同济大学高等数学知识点总结高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。
1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。
数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。
线性代数的知识点归纳(同济_第五版)
线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算1. 行列式的计算：① (定义法)1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j jn n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.11221122***0**0*0nnnnb b A b b b b ==④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A O A A OA B O B O B B OA A A BB OB O*==**=-1例 计算2-100-13000011-25解2-100-130000110-25=2-1115735-13-25⋅=⨯= ⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a O a O ---*==-1⑥ 范德蒙德行列式：()1222212111112nijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111例 计算行列式⑦ a b -型公式：1[(1)]()n a b bbb a bban b a b b b ab b b ba-=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1nD -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；3. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵. 记作：()ijm nA a ⨯=或m n A ⨯① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③ 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==， 其中12121122(,,,)j j ij i i is i j i j is sj sj b b c a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BAAB A ==⇒=或B=0不成立.a. 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；1111211111121122122222122222121200000n n n n m m m mn m m m m m mn a b b b a b a b a b a b b b a b a b a b B a b b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.1112111112121212222121222212112200000n m n n m n m m mn m m m m mn b b b a a b a b a b b b b a a b a b a b B b b b a a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：mnm nA A A+=， ()()m n mn A A =⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA .a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵TA A =.A 是反对称矩阵T A A =-.b. 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 伴随矩阵： ()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A-=, 11AA --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B B B A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆0A ≠.①伴随矩阵法 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号 ② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−→初等行变换例 求122212221⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵. 解32322121232313213219221210203312210012210021212010036210012033221001033011009221122100999212010999221001999r r r r r r r r r r r r r r ------+⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→---→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1122999122212,212999221221999-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以③ 分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O CB B CA B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭④ 1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1A B B A E A B -==⇒=）例 设方阵A 满足矩阵方程220E --=A A , 证明A 及2E +A 都可逆, 并求1-A 及()12E -+A . 解 由220E --=A A 得()12E E -=A A , 故A 可逆, 且()112E -=-A A . 由220E --=A A 也可得(2)(3)4E E E +-=-A A 或1(2)(3)4E E E ⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦A A , 故2E +A 可逆, 且()12E -+A 1(3)4E =--A . 3.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：① 对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； ② 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.关于A矩阵秩的描述：①、()=r A r，A中有r阶子式不为0，1+r阶子式(存在的话) 全部为0；②、()<r A r，A的r阶子式全部为0；③、()≥r A r，A中存在r阶子式不为0；☻矩阵的秩的性质：①()A O r A≠⇔≥1; ()0A O r A=⇔=;0≤()m nr A⨯≤min(,)m n②()()()T Tr A r A r A A==③()()r kA r A k=≠其中0④()(),,()m n n sr A r B nA B r ABB Ax⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB≤{}min(),()r A r B⑥若P、Q可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ===；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m nAxr AB r Br A nAB O B OAAB AC B Cο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n sr AB r Br B nB⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()r rE O E Or A r A AO O O O⎛⎫⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.⑨()r A B±≤()()r A r B+, {}max(),()r A r B≤(,)r A B≤()()r A r B+⑩()()A O O Ar r A r BO B B O⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A Cr r A r BO B⎛⎫≠+⎪⎝⎭☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()() A E B X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换(II)的解法：构造T T T TA XB X X(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解） 1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βααα，若存在一组数12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，则称β是12,,,n ααα的线性组合，或称称β可由12,,,n ααα的线性表示.线性表示的判别定理:β可由12,,,n ααα的线性表示由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i i A c β= ，(,,)i s =1,2⇔i β为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇔111122*********22211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩3.线性相关性判别方法：法1法2法3推论♣线性相关性判别法（归纳）♣ 线性相关性的性质① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一.4. 最大无关组相关知识向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B .12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 5. 线性方程组理论Ax β=1122n n x x x αααβ+++=111211*********2,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k kk k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪+++=⇔+++=⎪⎪+++=⇔+++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解(3) 判断12,,,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη都是Ax ο=的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.(4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤12112(1()(2)()()(3)(4)10,,...,(5)A b r A b r A r n n r Ax b Ax Ax b x k k ααααααα==<-====++0n-r 0) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对 应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的{};写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系 通解 212...,,...,n r n rn r k k k k α---++其中为任意常数.例 求下述方程组的解123451234523457,3232,22623x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=-⎨⎪+++=⎩解 19100222111117123(,)3121320113220212623001000A A b ⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪==--−−→ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭, 由于()()25r A r A ==<，知线性方程组有无穷多解.原方程组等价于方程组1354234519222123322x x x x x x x x ⎧=----⎪⎪⎨⎪=---+⎪⎩,令3451000,1,0.001x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得等价方程组对应的奇次方程组的基础解系 12312021213,,.100010001ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求特解: 令3450x x x ===，得12923,.22x x =-=故特解为92232.000η*-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭所以方程组的通解为 1231202921213232100000000010x k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（123,,k k k 为任意常数）.（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξ是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭, 且有结果： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）； 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ②1(,)ni i i a b αβ===∑③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑ ⑤(,1αα==. 即长度为1的向量.2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)k k αβαβ=3. ① 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，则称λ是方阵A 的一个特征值，x为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. ②0E A λ-=（或0A E λ-=）.③()E A λϕλ-=（或()A E λϕλ-=）.④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ= ⑤ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A ⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 23n λλλ====0.○注()12,,,Tn a a a 为A 各行的公比，()12,,,n b b b 为A 各列的公比.⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O =⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0 ②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=.⑩ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量. 设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,in r ξξξ- 其中()i i r r A E λ=-.则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,i n r k k k -为任意不全为零的数.例 求211020413A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值和全部特征向量.解 第一步：写出矩阵A 的特征方程，求出特征值.221121020(2)(2)(1)043413A E λλλλλλλλλ-----=-=-=--+=----解得特征值为1231, 2.λλλ=-==第二步：对每个特征值λ代数齐次线性方程组()0A E x λ-=，求其非零解,即对应于特征值λ的全部特征向量.当1λ=- 时，齐次线性方程组为()0A E x +=,系数矩阵111101030010414000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系:1101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故对应于特征值1λ=-的全部特征向量为11(0)k P k ≠. 当2λ= 时，齐次线性方程组为(2)0A E x -=,系数矩阵4114112000000411000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系:2011P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，3104P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故对应于特征值2λ=的全部特征向量为 2233k P k P +， 其中23,k k 不全为零.5. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵）②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 6. 相似矩阵的性质： ①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注α是A 关于0λ的特征向量,1P α-是B 关于0λ的特征向量. ②A B =tr tr③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数. ③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 8. 实对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；○注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值.9. 正交矩阵 TAA E =正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T TAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.10.例 实对称阵120222023A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求正交阵Q ，使得AQ Q 1-为对角阵.解 120222(1)(2)(5)0023A E λλλλλλλ---=---=-+--=--所以A 的特征值为11λ=-，22λ=，35λ=，当11λ=-时，解()0A E x +=，得基础解系为1(2,2,1)T x = 当22λ=时，解(2)0A E x -=，得基础解系为2(2,1,2)T x =-- 当35λ=时，解(5)0A E x -=，得基础解系为3(1,2,2)Tx =- 令111221(,,)333T x y x ==222212(,,)333T x y x ==--333122(,,)333T x y x ==-令123221333212(,,)333122333Q y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1000500021AQ Q AQ Q T11.123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ= 333βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。
高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点
第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点：(1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。
定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。
对应法则是正确理解函数概念的关键。
函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。
函数关系也不同于因果关系。
例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。
y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。
如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。
(2) 函数与函数表达式不同。
函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。
(3) f(x)与f(a)是有区别的。
f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。
(4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。
二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点：(1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。
(2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。
(3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。
如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。
存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。
f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。
(4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
三、关于复合函数要注意的是，函数的复合是有条件的，并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。
一个函数是否为复合函数与该函数的对应法则的表示方法有关。
例如，和的对应法则相同，但对应法则的表示方法是不同的，前者不是复合函数，后者可以看成是由，，复合而成的复合函数。
2017最新同济版高等数学复习提纲(80课时)
高等数学复习提纲2014第一章 函数与极限复习重点：1. 函数： 函数复合运算， 函数的有界性、单调性、周期性，初等函数（补充反三角函数） 2、求极限1）四则运算法则 注意：四则运算法则适用的函数个数是有限个；四则运算法则的条件是充分条件有理分式函数求极限公式：2）两个重要极限))01(()11(lim )1(lim )sin (1sin lim1100+=+=+=∞→→→e xx x x x x xx x3）两个准则准则一：准则二：单调有界数列必有极限单调递增有上界的数列其极限为最小的上界（上确界） 单调递减有下界的数列其极限为最大的下界（下确界） 4）无穷小量a.无穷小量的定义，注意其是变量，谈及无穷小量时一定要注明自变量的变化趋势。
唯一的例外是0永远是无穷小量；b.掌握何为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小；c.利用无穷小量求极限无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量等价无穷小量替代求极限 注意：下面给出关系式是在0→x 时才成立 等价无穷小量替代求极限只在积、商时成立，加减时不行3、连续性和间断点 1）连续定义)()(lim ,0lim 00x f x f y x x x ==∆→→∆n n n n m m m m x b x b x b x b a x a x a x a ++++++++----∞→11101110lim ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++++=----∞→n m n m m n b a xb x x b x x b x x b x a x x a x x a x x a n n n n n n n n nm n m n m n m x 0lim 0011101110 az y N n z x y n n n n n n n ==∈∀≤≤∞→∞→lim lim )(2 )1(若ax x n n n =∞→lim ,}{且有极限则n x x x x a x a x x x e x x x x x x nx x~11~)1ln(ln ~1~tan ~1~arcsin 21~cos 1~sin 2-++--- 要求会用定义讨论分段函数分段点的连续性2）间断点间断点的疑似点：使函数没有意义的点和分段函数分段点要求：判断函数的间断点，若是第一类的要写出是跳跃还是可去，第二类只需写出是第二类间断点即可。
同济版高数知识点归纳总结
同济版高数知识点归纳总结高等数学作为大学本科教育的重要学科之一，是为了培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力而设置的。
同济版高数教材作为一套广泛使用的教材，内容丰富，逻辑性强，对数学知识点进行了系统的归纳总结。
本文将以同济版高数教材为基础，对其中的知识点进行归纳总结，帮助学生更好地理解和掌握高等数学知识。
一、数集与函数1. 数集数集是高数的基础，包括实数、自然数、整数、有理数等。
实数可表示为有理数和无理数的并集，有一定的大小和次序。
2. 函数函数是一种特殊的数学关系，将自变量的每个取值与因变量的唯一取值相对应。
常见函数的类型包括线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等。
二、极限与连续1. 极限极限是函数研究的重要工具，用来描述函数在某一点附近的趋势。
常用的极限运算法则包括四则运算、复合函数极限、函数的极限性质等。
2. 连续连续性是函数的重要性质，连续函数具有无间断的特点。
函数的连续性可以通过极限的性质进行判断，并可以应用到函数的求导、积分等计算中。
三、导数与微分1. 导数的定义与运算法则导数代表了函数在某一点处的变化率，导数的定义通过极限来描述。
常用的导数运算法则包括四则运算、常数倍、反函数求导等。
2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数描述了函数的变化趋势更深层次的特征，隐函数求导用于描述由含有多个变量的方程所确定的函数的导数。
四、定积分与不定积分1. 定积分的定义与性质定积分描述了曲线与横轴之间的面积或曲线的长度。
定积分的定义基于分割求和的概念，并有一系列的性质可以应用到积分计算中。
2. 不定积分的定义与基本求积公式不定积分是定积分的逆运算，表示函数的原函数。
常用的基本求积公式包括幂函数的积分、三角函数的积分、分部积分等。
五、微分方程与应用1. 一阶微分方程一阶微分方程描述了未知函数与其导数之间的关系，常用的一阶微分方程类型包括可分离变量型、齐次方程型、一阶线性微分方程型等。
2. 应用问题微分方程广泛应用于物理、化学、经济等领域，通过建立微分方程模型来解决实际问题，如人口模型、物体受力模型等。
一元微积分,多元微积分,高等数学复习提纲(同济大学版)
一元微积分，多元微积分，高等数学复习提纲（同济大学版）读书破万卷下笔如有神第一章（1）1，补集的记号2，什么是笛卡尔乘积3，什么就是邻域，记号，中心，半径4，回去心邻域，记号，左邻域，右邻域5，两个闭区间的直积6，映射的概念，原像，满射，单射，一一映射7，泛函，变换，函数8，逆映射，复合映射9，多值函数，单值分支10，绝对值，符号函数，取整函数，最值函数11，上界、下界，存有界，无界的定义12，奇偶性、周期性13，初等函数，基本初等函数（2）1，数列音速的定义，用符号语言2，发散数列的四个性质3(3)1,函数在某点的极限定义，符号语言2，函数在无穷大处的极限，符号语言3，函数极限的性质（4）1，无穷小的定义2，函数极限的充分必要条件，用无穷小表示3，无穷大4，无穷大和无穷小的定义（5）1，有限个无穷小的和2，有界函数与无穷小的乘积3，极限的四则运算4，函数y1始终大于y2，那么音速的关系就是（6）1，极限存在的夹逼准则2，单调有界的数列与否存有音速3，（1+1/x）^x的音速4，柯西欧拉变换准则读书破万卷下笔如有神（7）1，什么是高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，k阶无穷小，等价无穷小2，等价无穷小的充要条件3，两组等价无穷小之间的比例关系（8）1，函数连续性的定义，左已连续，右已连续2，什么就是连续函数3，间断点的三种情况4，第一类间断点，第二类间断点，可去间断点，条约间断点，无穷间断点，振荡间断点（9）1，连续函数的四则运算后的连续性2，反函数和无机函数的连续性3，初等函数的连续性（10）1，有界性与最大最小值定理2，零点定理3，介值定理和推论第二章（1）1，导数的定义2，函数在一点可微的充要条件，用等式则表示3，可微和已连续的关系（2）1，函数的和差积商如何求导2，tanx、secx的导数，cscx和cotx3，反函数的求导法则是什么4，arcsinx的导数，arccos的导数，arctanx,areccotx的导数5，无机函数微分法则（3）1，二阶导数的微分表示法2，莱布尼兹公式3，a^x\\sinkx\\coskx\\x^a\\lnx\\1/x\\的n阶导4，隐函数的微分5，对数微分法的应用领域6，参数所表示的函数怎样求导7，什么是相关变化率读书溃万卷文辞例如有神（5）1，连续函数的充份必要条件2，sy与dy的关系3，什么就是线性主部4，什么是函数的微分，什么是自变量的微分5，函数的和差积商的微分6，复合函数的微分法则是什么、7，如何利用微分进行近似计算8，利用0点处的微分可以求出什么近似计算公式9，误差估算（星号）第三章（1）1，什么是费马引理2，什么是罗尔定理3，什么就是拉格朗日中值定理4，什是非常有限增量公式5，什么就是柯西中值定理（2）1，什么是罗比达法则（3）1，什么泰勒中值定理2，什么是泰勒多项式，什么是拉格朗日余型3，什么是皮亚诺余型4，什么是迈克劳林公式5，e^x\\sinx\\cosx\\ln(1+x)\\(1+x)^a的具有拉格朗日余项的麦克莱林公式（4）1，凹凸性的定义，导数如何判定凹凸性2，什么是拐点以及如何寻找拐点（5）1，极大值的定义2，什么是驻点，怎样利用导数判断极大值极小值3，如何利用二阶导数判断极大值极小值4，怎样判断最大值，最小值（6）函数图形描写的步骤(7)1,弧微分公式2，什么就是弧段的平均值曲率，什么就是曲率读书破万卷下笔如有神3，曲率的公式4，参数方程的曲率公式5，什么是曲率圆，曲率中心，曲率半径（8）1，什么就是二分法2，什么就是切线法第四章（1）1,什么是原函数2，原函数存在定理3，什么事不定积分4，1/x\\1/(1+x^2)\\1/sqr(1-x^2)\\cosx\\sinx\\1/cosx^2\\1/sinx^2\\secxtanx\\cscxcotx\\e^x\\a^x的原函数5，什么就是第一类换元法6，cscx、secx的不定积分7，cos3x*cos2x的不定积分8，什么就是第二类换元法9，tanx\\cotx\\secx\\cscx\\1/(a^2+x^2)\\1/(x^2-a^2)\\1/sqr(a^2-x^2)\\1/sqr(x^2+a^2)\\1/sqr(x^2-a^2)积分10，什么是分部积分法11，分部积分法，分部积分法的优先法则12，有理函数的积分怎样积，带根号的函数怎样积分（根号中x的次数是1）（5）分数表中第五章（1）1，定积分的定义2，测度的2个充分条件就是什么3，怎样利用分数的定义求定分数4，怎样利用的定分数展开近似计算5，积分外面的绝对值和积分里面的绝对值之间的大小关系6，定积分与被积函数最大值最小值之间的关系7，什么是积分中值公式8，分数下限函数可微的充分条件，导数就是9，什么就是牛顿莱布尼兹公式10，定积分的换元法有什么条件，怎样换12，sinx^n从0积分到pi/2的结果13，什么是反常积分14，差值无穷的反常分数就是怎样定义的15，如何利用牛顿莱布尼兹公式判定反常积分是存在还是发散16，瑕积分的定义，存在和发散的一般规则17，反常积分的比较审敛法13，绝对收敛的反常积分读书溃万卷文辞例如有神14，γ函数的定义和重要性质第六章（1）1，什么就是元素法2，怎样用定积分求面积，体积，弧长第七章（1）1，什么事微分方程呢，什么就是微分方程的阶，什么事微分方程的吉龙德，微分方程的直和，什么就是初始条件2，什么就是可以拆分变量的微分方程，怎样解3，什么就是其次方程，怎样解4，什么事可以化为齐次的方程，怎样求解5，什么就是齐次一阶线性微分方程和非齐次一阶线性微分方程，怎样解6，什么就是常数变易法，怎样求非齐次一阶线性微分方程7，什么就是伯努利方程，怎样解8，y^(n)=f(x)、y’’=f(x,y’)、y’’=f(y,y’)的形式怎样求解9，二阶齐次线性方程的性质，通解的结构10，n阶齐次线性方程通解11，二阶非齐次线性方程解的结构12，什么事线性微分方程的解的叠加原理13，怎样利用常数变异法求二阶非齐次线性方程的吉龙德14，二阶线性常系数齐次方程的吉龙德15，n阶常系数齐次线性微分方程的通常形式16，y’’+py’+qy=f(x),如果f(x)=e^(λx)p(x)怎样求解，如果f(x)=e^(λx)(p1(x)coswx+p2(x)sinwx)第八章（1）1,向量b平行于a的充要条件就是2，存有向线段ab的λ分点座标3，怎样谋向量的模4，怎样求方向角和方向余弦5,3个方向余弦之间有什么关系6，向量投影的记号（2）1，什么就是向量的数量内积2，两向量夹角余弦的座标则表示3，什么就是向量内积，怎样确认方向4，向量积的运算规律，向量积的坐标表示5，什么是向量的混合积怎样计算，几何意义是什么6，三向量共面的充分必要条件是7，球面方程8，紧紧围绕z轴的转动曲面方程。
同济大学第五版高数92962精品
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
2
)
(1
2x x2
)2
y
(
(1
y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
注意:
求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例3 设 y ln(1 x), 求y(n) .
y
cos( x
)
sin(
x
)
sin(
x
2
)
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n )
2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
例5 设 y eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解 y aeax sin bx beax cos bx
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
同济五版高等数学(下)复习资料
第八章 多元函数微分法及其应用一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法在求xz∂∂时，应将y 看作常量，对x 求导，在求z y ∂∂时，应将x 看作常量，对y 求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设()v ,u f z =，()y ,x u ϕ=，()y ,x v ψ=，则x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 几种特殊情况：1）()v ,u f z =，()x u ϕ=，()x v ψ=，则dxdv v z x u du dz dx dz ⋅∂∂+∂∂⋅= 2）(),z fx v =，()y ,x v ψ=，则x v v f x f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂，yvu f y z ∂∂⋅∂∂=∂∂ 3）()u f z =，()y ,x u ϕ=则x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂，yudu dz y z ∂∂⋅=∂∂ 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况设()y ,x z z =是由方程()0=z ,y ,x F 唯一确定的隐函数，则()0≠-=∂∂zzx F F F x z，()0≠-=∂∂zzy F F F y z或者视()y ,x z z =，由方程()0=z ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z zx y∂∂∂∂或.2）方程组的情况由方程组()()⎩⎨⎧==00v ,u ,y ,x G v ,u ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z zx y ∂∂∂∂或即可.二、全微分的求法方法1：利用公式dz zudy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=方法2：直接两边同时求微分，解出du 即可.其中要注意应用微分形式的不变性：zz du dv uv dz z z dx dyxy ∂∂⎧+⎪∂∂⎪=⎨∂∂⎪+∂∂⎪⎩三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法1）设空间曲线Г的参数方程为 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x ωψϕ，则当0t t =时，在曲线上对应点()0000z ,y ,x P 处的切线方向向量为()()(){}000t ,t ,t T '''ωψϕ=ϖ，切线方程为()()()000000t z z t y y t x x '''ωψϕ-=-=-法平面方程为 ()()()()()()0000000=-+-+-z z t y y t x x t '''ωψϕ2）若曲面∑的方程为()0=z ,y ,x F ，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量{}P zy x F ,F ,F n =ϖ，切平面方程为()()()()()()0000000000000=-+-+-z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z ,y ,x F z y x法线方程为()()()000000000000z ,y ,x F z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z y x -=-=-若曲面∑的方程为()y ,x f z =，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量()(){}10000-=,y ,x f ,y ,x f n y x ϖ，切平面方程为()()()()()00000000=---+-z z y y y ,x f x x y ,x f y x法线方程为()()1000000--=-=-z z y ,x f y y y ,x f x x y x 四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数()y ,x f z =在点()000y ,x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，由(),0x f x y =，(),0y f x y =，解出驻点()00,x y ，记()00y ,x f A xx =，()00y ,x f B xy =，()00y ,x f C yy =.1）若20AC B ->，则()y ,x f 在点()00,x y 处取得极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值.2） 若20AC B -<，则()y ,x f 在点()00,x y 处无极值.3） 若02=-B AC ，不能判定()y ,x f 在点()00,x y 处是否取得极值. 2 条件极值的求法函数()y ,x f z =在满足条件()0=y ,x ϕ下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件()0=y ,x ϕ解出y 代入()y ,x f 中，则使函数(,)z z x y =成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数()()()y x y x f y x F ,,,λϕ+=，其中λ为参数，解方程组()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=0,0,,,0,,,y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ令令求出驻点坐标()y ,x ，则驻点()y ,x 可能是条件极值点.3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要:1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法第九章 重积分（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α+,α为实数 )21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十章曲线积分与曲面积分所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
高等数学(同济五版)难点总结及课后习题解读
习题解读基础阶段的复习是以课本为主，主要任务两个，一是学习知识点（定义、定理、公式）并理解它们，二是完成一定的课后习题以检验自己对知识点的掌握程度。
很多人在学习中都容易忽视课本，觉得比起那些专门的参考资料，课本上的习题实际上是没什么值得关注的，但其实不然，一套经典的教材，它所配的习题很多都有值得我们去挖掘的地方。
那么接下来我就说说我对我们用的教材上课后习题的解读，希望能给同学们提示。
因为高数的题目比较多，而我感觉每章的总习题有着更好的总结性，所以主要就说说总习题一到十二里我感觉值得注意的一些题目吧。
总习题一：1是填空题，是考察与极限有关的一些概念，这个是很重要的，要掌握好。
而且几乎每章的总习题都设了填空题，均与这些章节的重要概念有关。
所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点，比如谁是谁的什么条件之类，务必要搞清楚。
2是无穷小的阶的比较3、4、5、6是与函数有关的题目，这个是学好高数的基础，但却不是高数侧重的内容，熟悉即可7用定义证明极限，较难，一般来说能理解极限的概念就可以了8典型题，求各种类型极限，重要，6个小题各代表一种类型，其实求极限的题目基本跳不出这六种框架了9典型题，选择合适的参数，使函数连续，用连续的定义即可10典型题，判断函数的间断点类型，按间断点的分类即可11较难的极限题，这里是要用到夹逼原理，此类题目技巧性强，体会一下即可12证明零点存在的问题，要用到连续函数介值定理，重要的证明题型之一，必需掌握13该题目给出了渐近线的定义以及求法，要作为一个知识点来掌握，重要综上，第一章总习题要着重掌握的是1、2、8、9、10、12、13题总习题二：1填空题，不多说了，重点2非常好的一道题目，考察了与导数有关的一些说法，其中的干扰项（B）（C）设置的比较巧妙，因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等，容易忽视另一个重要条件：函数必须要在该点连续，否则何来可导？而（B）（C）项的问题正是在于即使其中的极限存在，也不能保证函数在该点连续，因为根本就没出现f(a)，所以对f(x)在a处的情况是不清楚的。
同济版高数知识点归纳总结
同济版高数知识点归纳总结1. 数列与极限数列是数学中常见的一种序列，它是由一系列的数按照一定的规律排列组成。
在高等数学中，我们常常需要讨论数列的极限。
数列的极限是指当数列中的项趋于某个数时，这个数称为数列的极限。
同济版高等数学中，我们学习了极限的定义、极限存在的充分条件、极限的性质以及常见的数列的极限计算方法等内容。
通过学习数列与极限，我们可以更好地理解数列的变化规律和趋势，为后续微积分等内容打下基础。
2. 函数与极限函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了变量之间的依赖关系。
在高等数学中，我们学习了函数的极限及其应用。
函数的极限描述了当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于某一值的情况。
在同济版高等数学中，我们学习了函数极限的定义、函数极限存在的条件、函数极限的计算方法以及函数极限的性质等内容。
通过学习函数与极限，我们可以更好地理解函数的变化规律和趋势，为后续的微积分等内容打下基础。
3. 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在同济版高等数学中，我们学习了导数的定义、导数存在的条件、导数的计算方法、高阶导数以及导数的性质等内容。
微分是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点处的局部线性逼近。
通过学习导数与微分，我们可以更好地理解函数的变化规律和趋势，为后续的微积分等内容打下基础。
4. 不定积分不定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数的积分性质。
在同济版高等数学中，我们学习了不定积分的定义、不定积分存在的条件、不定积分的基本性质、不定积分的计算方法以及不定积分的应用等内容。
通过学习不定积分，我们可以更好地理解函数的积分性质，为后续的定积分、曲线积分等内容打下基础。
5. 定积分定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的积分性质。
在同济版高等数学中，我们学习了定积分的定义、定积分存在的条件、定积分的计算方法、定积分的性质以及定积分的应用等内容。
通过学习定积分，我们可以更好地理解函数在一定区间上的积分性质，为后续的曲线积分、路径积分等内容打下基础。
线性代数(同济第五版)第一、二章复习提纲PPT课件
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第四节 对 换
一、 对换的定义 二、 对换与排列奇偶性的关系
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8
小结：
1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
D 1 ta p 1 1 a p 2 2 a p n n
D 1 ta 1 p 1 a 2 p 2 a n np
2.k 1akA ik j Dij 0,当 ij;
n
D,当 ij,
k1aik A jkDij 0,当 ij;
其中ij 10,,当 当iijj， .
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13
第七节 克拉默法则
一、克拉默法则 二、相关定理
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14
克拉默法则:
如果线性方程组 ( n 个未知变量、 n 个方程）
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132
a 31 a 32 a 33
a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 23,1
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3
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入 二、全排列及其逆序数
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4
小结：
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
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21
二、矩阵的定义
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , ,m ; j 1 , 2 , ,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
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线性代数(同济第5版)复习要点说明
线性代数(同济第5版)复习要点以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线第一章 行列式基本结论1．行列式的性质（1） 互换行列式的两行，行列式变号.（2） 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.（3） 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变. 2．行列式按行（按列）展开定理3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 ),,2,1(n i =3．克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即0212222111211≠=nnn n n n a a a a a a a a a D那末，线性方程组有唯一的解,,,,2211DD x D Dx D D x n n ===主要计算计算行列式：1．数字行列式化为上三角形； 2．计算有规律的．．．．n 阶行列式. 例1．（例7）计算行列式 3351110243152113------=D2．（例8）计算行列式 3111131111311113=D第二章 矩阵及其运算基本概念注意：1．矩阵可乘条件、乘法规则 2. 矩阵乘法不满足交换律BA AB ≠3．矩阵乘法有零因子出现：O B O A ≠≠,，但却有O AB =4．消去律不成立：AC AB =，推不出C B = 基本结论 1．转置 (i)A A T T =)((ii) T T T B A B A +=+)( (iii) T T kA kA =)( (iv) T T T A B AB =)( 2．方阵的行列式 (i) ||||A A T =（行列式性质1）； (ii)||||A A n λλ=;(iii) ||||||B A AB = 3．A 的伴随矩阵E A A A AA ||==**4．逆矩阵是初等矩阵可逆i sE E E E A E A nA R A A 21~)(0||=⇔⇔=⇔≠⇔推论 若E AB =（或E BA =），则1-=A B 方阵的逆阵满足下述运算规律：（i ）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且A A =--11)(. （ii ）若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111)(--=A A λλ（iii ）若B A ,为同阶方阵且均可逆，则AB 亦可逆，且 111)(---=A B AB （iv ）若A 可逆，则T A 亦可逆，且T T A A )()(11--= 基本计算用上面基本结论进行简单计算 主要计算求1-A ：公式法*-=A A A ||11 基本证明用上面基本结论进行简单证明例1. （例11）求矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A第三章 矩阵的初等变换与线性方程组基本结论线性方程组解的判定：1. n 元非齐次线性方程组b AX =b AX =有解⇔)()(B R A R =. 有解时，（记r B R A R ==)()(）（1）n r =时，b AX =有唯一解 （2）n r <时，b AX =有无穷多解2．齐次线性方程组0=AX （0=AX 是b AX =的特殊情形）由于0=AX 永远满足)()(B R A R =，故0=AX 总有解（至少有零解）从而 （1）n r =时，0=AX 有唯一零解（2）n r <时，0=AX 有（无穷多）非零解 基本计算1．会求矩阵的秩2．会用矩阵的秩判别线性方程组有没有解，有解时，有多少解 3．会用初等变换求矩阵的逆初等变换)|()|(1-→A E E A 行；(包括求矩阵方程B AX =，用)|()|(1B A E B A -→行； 主要计算1． 设非齐次线性方程组b AX =，试问此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？ 2． 会用初等变换求矩阵的逆 例1．（例5）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=41461351021632305023A 求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式2．用初等变换求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=343122321A 的逆矩阵3．（例13）设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++,)1(,3)1(,0)1(321321321λλλλx x x x x x x x x 问λ取何值时，此方程组（1）有唯一解； （2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．第四章 向量组的线性相关性基本概念1．向量组的线性相关性向量的线性组合、线性表示、向量组的线性相关与线性无关 向量组的等价 2．向量组的秩极大线性无关组、向量组的秩 3．向量空间向量空间的基的定义、基的求法、向量空间的维数、维数的求法 向量组m ααα,,,21 所生成的向量空间为},,,|{),,,(21221121R k k k k k k L m m m m ∈+++= αααααα4．线性方程组解的结构齐次线性方程组基础解系、非齐次线性方程组解的结构 基本结论 1．线性表出定理1 向量b 能由向量组A 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21m A ααα =的秩等于矩阵),,,,(21b B m ααα =的秩．定理2 向量组l B βββ,,,:21 能由向量组m A ααα,,,:21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21m A ααα =的秩等于矩阵),,,,,(),(11l m B A ββαα =的秩. 即),()(B A R A R =.推论 向量组l B βββ,,,:21 与向量组m A ααα,,,:21 等价的充分必要条件是),()()(B A R B R A R ==定理3 设向量组l B βββ,,,:21 能由向量组m A ααα,,,:21 线性表示，则),,,(),,,(2121m l R R αααβββ ≤.2． 向量组的线性相关性定理4 向量组m ααα,,,21 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵),,,(21m A ααα =秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充分必要条件是m A R =)(定理5 （1）若向量组m A ααα,,,:21 线性相关，则向量组11,,,:+m m B ααα 也线性相关． （2） m 个n 维向量组成的向量组，当维数n 小于向量个数m 时一定线性相关．（3） 设向量组m A ααα,,,:21 线性无关，而向量组βααα,,,,:21m B 线性相关，则向量β必能由向量组A 线性表示，且表示式是唯一的．3．向量组的秩定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．推论 （最大无关组的等价定义）设向量组B 是向量组A 的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组A 能由向量组B 线性表示，则向量组B 是向量组A 的一个最大无关组．4．解的结构（1）齐次线性方程组性质1 若21,ξξ为0=Ax 的解， 则21ξξ+也是0=Ax 的解． 性质2 若ξ为0=Ax 的解，k 为实数，则ξk 也是0=Ax 的解．0=Ax 的基础解系：r n -ξξ,,1 ，通解是r n r n k k X --++=ξξ 11定理7 设n m ⨯矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组O AX =的解集S 的秩r n R S -=.（2）非齐次线性方程组性质3 设1η及2η都是b Ax =的解，则21ηη-为导出组0=Ax 的解．性质4 设η是方程b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则ηξ+仍是方程b Ax =的解．b Ax =的通解是：*+++=--ηξξr n r n k k X 11 5．向量空间向量组m ααα,,,21 所生成的向量空间为},,,|{),,,(21221121R k k k k k k L m m m m ∈+++= αααααα基本计算1. 一般地，要判别一个向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 21β是否可由向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ns s s s n n a a a a a a a a a 21222122121111,,,ααα线性表出？设s s k k k αααβ+++= 2211按分量形式写出来就是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++ns ns n n s s s s b k a k a k a b k a k a k a b k a k a k a 22112222212*********,, （*）定理 β可由向量组s ααα,,,21 线性表出⇔（*）有解 2. 一般地，要判别一个向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ns s s s n n a a a a a a a a a 21222122121111,,,ααα是否线性相关？设02211=+++s s x x x ααα按分量写出来就是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111s ns n n ss s s k a k a k a k a k a k a k a k a k a （**）定理 向量组s ααα,,,21 线性相关⇔齐次线性方程组（**）有非零解 3. ),,,(21m L ααα 基和维数的求法 4．线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组基础解系r n -ξξ,,1（2）非齐次线性方程组解的结构的求法*+++=--ηξξr n r n k k X 11主要计算1．设矩阵A ，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．2．设非齐次线性方程组b AX =，试问（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（第三章容）（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.（第四章容） 基本证明向量的线性相关与线性无关、向量的组的等价、极大线性无关组、向量组的秩的证明 向量空间的基、维数的证明 基础解系、解的结构的证明 主要证明1．线性无关的证明2．B AB ⇔=0的列是0=AX 的解 例 1．（例11）设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=97963422644121121112A 求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．2．（例16）设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--2143214321432132130x x x x x x x x x x x x ，试问（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.3．（例6） 已知向量组321,,ααα线性无关，211ααβ+=, 322ααβ+=, 133ααβ+=，试证向量组321,,βββ线性无关．（第五章 §1 定理1、§2 定理2）4．（例13）设0=AB ，证明：n B R A R ≤+)()(.第五章 相似矩阵及二次型基本概念 一．积积的定义：n n y x y x y x Y X +++= 2211],[向量的长度：22221],[n x x x X X X +++== 、当1=X 时，称X 为单位向量．向量的夹角：YX Y X ],[arccos=θ向量的正交：0],[=Y X 时，称向量X 与Y 正交正交向量组、正交基、规正交基 正交矩阵A ：)(1T T A A E A A ==-即二．矩阵的特征值、特征向量 特征值、特征向量三．相似矩阵，对称阵的对角化四．二次型及其标准形，正定二次型，正定矩阵 基本结论 一．积（i ）],[],[X Y Y X =； （ii ）],[],[Y X Y X λλ=（iii ）],[],[],[Z Y Z X Z Y X +=+1．非负性：对任意X 都有 0≥X ; 当且仅当O X =时, 0=X 2．齐次性: X X ||λλ=; 3．三角不等式：Y X Y X +≤+ 定理1 若n 维向量r ααα,,,21 是一组两两正交的非零向量，则r ααα,,,21 线性无关．二．特征值、特征向量定理2 设m λλλ,,,21 是方阵A 的m 个特征值，m p p p ,,,21 依次是与之对应的特征向量．如果m λλλ,,,21 各不相同，则m p p p ,,,21 线性无关．三．相似矩阵，对称阵的对角化四．二次型及其标准形，正定二次型，正定矩阵 基本计算1．向量的长度：22221],[n x x x X X X +++==2．向量的夹角的求法：YX Y X ],[arccos =θ3．正交化方法： 设r ααα,,,21 线性无关111122221111222231111333111122211],[],[],[],[],[],[],[],[],[],[],[],[--------=--=-==r r r r r r r r r ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβ4．单位化：r rr e e e ββββββ1,,1,1222111===5．特征值的求法、特征向量的求法6．对称阵的对角化方法7．求正交变换化二次型为标准形 例1．（例2） 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014,131,121321ααα，试用施密特正交化过程把这组向量规正交化。
同济大学第五版高数92962
2x3 x
0
0f (Biblioteka )limx0
4x3 0 x
0
f
(
x)
12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f
(0)
lim
x0
6x2 x
0
f
(0)
lim
x0
12x x
2
0
f
( x)
24 12
x x
, ,
x0 x0
但是 f(0) 12 , f(0) 24 , f (0) 不存在 .
y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
注意:
求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例3 设 y ln(1 x), 求y(n) .
n
y(n) (a 2 b2 ) 2 e ax sin( bx n)
( arctan b) a
例6. 设 f (x) 3x3 x2 x , 求使 f (n) (0)存在的最高
阶数 2
分析:
f
(
x)
4x3 2x3
, ,
x0 x0
f
(0)
lim
x 0
解 y 1
1 x
y
(1
1 x)2
y
(1
2! x)3
y(4)
同济大学高数上册知识点
高等数学上册知识点一、 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在.间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f xx -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量.2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换）4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性；4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→x xx b) e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c)x e x ~1- （a x a x ln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （axx a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+二、 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔ 2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数；5、 高阶导数1） 定义：⎪⎭⎫⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22 2）Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二） 微分1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A与x ∆无关.2） 可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理1、 Rolle 罗尔定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.2、 Lagrange 拉格朗日中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使.3、 Cauchy 柯西 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足：1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二） 洛必达法则 （三） T aylor 公式 （四） 单调性及极值1、 单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、 极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f .b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、 凹凸性及其判断，拐点 1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的；b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点. （五） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值（最值）. （六） 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性. （七） 渐近线1、 铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、 水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线； 3、 斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线. （八）图形描绘四、 不定积分 （一） 概念和性质1、 原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、 不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分. 3、 基本积分表（P188，13个公式）； 4、 性质（线性性）.（二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、 第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三） 分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv（四） 有理函数积分 1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、 定积分（一）概念与性质：1、定义：∑⎰=→∆=niiibaxfdxxf1)(lim)(ξλ2、 性质：（7条）性质7 （积分中值定理） 函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二） 微积分基本公式（N —L 公式） 1、 变上限积分：设⎰=Φxadt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三） 换元法和分部积分 1、 换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)(2、 分部积分法：[]⎰⎰-=bab abavdu uv udv（四） 反常积分 1、 无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat a dx x f dx x f )(lim )( ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、 瑕积分：⎰⎰+→=btat ba dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1 ,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b x a x x qb a q b a q六、 定积分的应用 （一） 平面图形的面积1、 直角坐标：⎰-=badx x f x fA )]()([122、 极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二） 体积1、 旋转体体积：a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=ba x dx x f V )(2π b)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bay dx x xf V )(2π （柱壳法）2、 平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三） 弧长1、 直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(12、 参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()( 3、 极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、 微分方程 （一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二） 变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三） 齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设x y u =，则dx dux u dx dy +=； 或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dydv y v dy dx += （四） 一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dxx P )()()(（五） 可降阶的高阶微分方程1、)()(x f y n =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dy dp p y =''（六） 线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根： 21,r r（八） 常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m xλ=设特解)(*x Q e x y m x k λ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 2102、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=，其中 },max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
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高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲
第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限
第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算
第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式
第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型
第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算
第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用
第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用
高等数学（1）期末复习要求
第一章函数、极限与连续函数概念
理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。
2．函数的性质
知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。
3．初等函数
了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。
4．建立函数关系
会列简单应用问题的函数关系式。
5．极限：数列极限、函数极限
知道数列极限、函数极限的概念。
6．极限四则运算
掌握用极限的四则运算法则求极限.
7．无穷小量与无穷大量
了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。
8．两个重要极限
了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。
9．函数的连续性
了解函数连续性的定义、函数间断点
的概念；
会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；
知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质
（最大值、最小值定理和介值定理）。
第二章导数与微分
1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。
理解导数概念；
了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。
2．导数运算
熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。
掌握隐函数的求一阶导及二阶导。
会求参数表示的函数的一阶导及二阶导
会用对数求导法：解决幂指函数的求
导及连乘连除的显函数的求导。
3．微分
理解微分概念(微分用dy＝y'dx 定义)。
熟记微分的基本公式，熟练掌握微分的四则运算法则。
知道一阶微分形式的不变性。
第三章导数的应用
1.中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
的叙述。
了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日定理证明简单的不等式。
2.洛必塔法则：求“00”、“∞
∞”型未定式极限。
掌握用洛比塔法则求“00”、“∞
∞”型不定式极限。
3.函数的单调性与极值：函数的单调性判别法，函数极值及其求法。
了解驻点、极值点、极值等概念。
了
解可导函数极值存在的必要条件。
知道极值点与驻点的区别与联系。
掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法。
掌握判定极值点的第一充分条件和第二充分条件
4．曲线的凹凸
了解曲线的凹凸、拐点等概念。
会用二阶导数求曲线凹凸区间（包括判别），会求曲线的拐点。
会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。
5.最大值、最小值问题
掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。
第四章不定积分
1．不定积分概念
理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质、不定积分与导数(微分)的关系。
2．不定积分求法
熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。
掌握第二换元积分法（2
2,a
2
2
±类
a-
x
x
型）。
会求较简单的有理分式函数（分母为二次多项式）的积分。
第五章定积分及其求法
1.定积分概念
了解定积分定义、几何意义、定积分的性质。
2．原函数存在定理
了解原函数存在定理，知道变限函数的定义，会求变限函数的导数。
3．定积分的计算
熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。
掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
4．广义积分。
了解广义积分收敛性概念，会计算简单的广义积分。
5.定积分的应用
会用定积分计算简单的平面曲线围
成图形的面积(直角坐标系和极坐标)，绕坐标轴旋转生成的旋转体体积与平行截面面积已知的立体体积，平面曲线的弧长（参数方程与极坐标方程）。