四省名校2020届高三数学(理)12月二模试卷附答案解析
2020届高三数学(理)12月联考试题(含解析)
高三数学12月联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，则A. B.C. 2，4，D. 2，3，4，2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则的最小值为A. 12B.C. 15D.4.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.已知a，，则“”是“函数是奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种8.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项9.在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为A. B. 1 C. D.10.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则A. B. C. 1 D.11.如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，的面积为，若，则抛物线的标准方程为A.B.C.D.12.已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．14.已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则______15.已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点包括边界，，则的取值范围为______．16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为______．三、解答题（本大题共7小题）17.数列的前n项和为，已知，2，3，Ⅰ证明：数列是等比数列；Ⅱ求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为等边三角形．当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过焦点F斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．20.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：组别频数 5 30 40 50 45 20 10若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；21.已知函数e为自然对数的底数，是的导函数．Ⅰ当时，求证；Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出曲线C的普通方程；若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围．23.已知函数，．若，求a的取值范围；若，对，，都有不等式恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．先求出，再得出，由集合运算的定义直接求解．【解答】解：由全集2，3，4，5，，集合3，，得4，，又2，，则4，，2，，2，4，．故选C．2.【答案】D【解析】解：所对应的点为，该点位于第四象限故选：D．根据将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量平行和“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．根据已知条件，，，得出，继而可得等式，再求解等式即可．【解答】解：，，，，即，，当且仅当，即，，时取等号，的最小值为：．故选B．4.【答案】A【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．5.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：，，，该几何体的各个面中，面积小于的个数是3个．故选：C．6.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，若函数为奇函数，则，当时，，若为奇函数，则，即，，即函数为奇函数的充要条件是，，或，“”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数”“”；则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．故选：B．根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“”或；由充分必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法种数，先在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有种，则小李和小王不在一起排法有种；故选：B．本题考查排列，组合的应用，涉及分步计数原理的应用，是中档题．根据题意，用间接法分析，先求小李和小王不受限制的排法种数，再减去其中小李和小王在一起的排法种数即可．8.【答案】C【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，，分子，分母之和为16的有15项，分子，分母之和为17的有16项，排列顺序为，，，，，，其中为分子，分母之和为17的第8项，故共有项．故选：C．观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求出的位次．本题考查数列的应用，涉及数列求和公式和分数知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：如图，补全截面EFG为截面EFGHQR，易知平面平面EFGHQR，设于点R，直线平面EFG，，且当P与R重合时，最短，此时的面积最小，由等积法：得，又平面ABCD，，为直角三角形，故，故选：A．找出平面EFG与长方体的截面，然后再找出过与平面EFG平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD上的位置．本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用．10.【答案】B【解析】解：由函数的图象过点，，解得，又，，；又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，，；又，，；，其图象的对称轴为，；当，，其对称轴为，，．故选：B．由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值．本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，过x轴上一定点作斜率为2的直线l的方程为，联立抛物线方程可得，设，，可得，，设F到AB的距离为d，可得，即，联立可得，，．则抛物线的标准方程为．故选：C．求得直线l的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，结合两个三角形同高可得面积之比为底边之比，联立方程组，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程．本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：令，则，函数．由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当时，，此时，对应的x值只有一个，不满足条件，故a的取值范围是，故选C．令，则，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系，属于中档题．由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设，，，则，，可得，，，该双曲线的离心率．故答案为：．14.【答案】216【解析】【分析】本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础题．由，可知周期，结合已知函数代入即可求解．【解答】解：，，即周期，则，当时，，．，故答案为：216．15.【答案】【解析】解：，分别以边AB，AD所在的直线为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：，，，，，设，则，由得，，，，设，则表示斜率为的一族平行直线，在y轴上的截距为a，当截距最大时最大，当截距最小时最小，由图可看出，当直线经过点时截距最小为1，当直线经过点时截距最大为，的取值范围为．故答案为：．根据题意可分别以边AB，AD所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，从而得出，，，，设，从而根据可得出，从而得出，并设，从而根据线性规划的知识求出直线截距的最小值和最大值，即得出的最小值和最大值，从而得出的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规划的知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，又因为，，由余弦定理可得：，取BC的中点O，则，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，设，因为，所以，所以，从而，故所求概率为：，故答案为：．由三角函数的余弦定理得：，由两直线垂直得：，所以，从而，由几何概型中的面积型得：，得解．本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题．17.【答案】解：Ⅰ证明：，2，3，，可得，可得，可得，则数列是首项为1，公比为2的等比数列；Ⅱ，即，可得前n项和，，相减可得，，化简可得．【解析】Ⅰ运用数列的递推式，化简变形，结合等比数列的定义，即可得证；Ⅱ，即，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：当时，平面平面ABCD，证明如下：在中，因为，所以，又，，AD，平面PAD，所以平面PAD，又平面ABCD，所以平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为为等边三角形，O为AD的中点，所以，O，E为AD，BC的中点，所以，又，所以，故为二面角的平面角，所以，如图，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，，所以，0，，2，，1，．可得，，设y，为平面PBC的一个法向量，则有，即，令，可得，设AB与平面PBC所成角为，则有所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】当时，推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，推导出，，由，得，从而为二面角的平面角，进而，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．本题考查满足面面垂直的线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ依题设，，则，．由，得：，解得，又，所以．所以椭圆C的方程为；Ⅱ椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．依题直线l的方程为．联立，得：．在椭圆内，则恒成立，设，，弦AB的中点为，则，，所以，，所以．则直线MD的方程为，令，得，则．若四边形ADBE为菱形，则，所以．，所以．所以．若点E在椭圆C上，则．即整理得，解得．所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．此时点E到y轴的距离为．【解析】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目．Ⅰ题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出的值，结合隐含条件求出的值，则椭圆方程可求；Ⅱ由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出的值，则E点到y轴的距离可求．20.【答案】解：由已知频数表得：，，由，则，而，所以，则，；显然，所以有Y的取值为15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列为：Y15 30 45 60P所以，需要的总金额为．【解析】根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而，根据原则，计算即可；列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．21.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则，令，则，令，得，故在时取得最小值，0'/>，在上为增函数，；Ⅱ，由，得对一切恒成立，当时，可得，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2．下面证明当时，不等式恒成立，设，则，由Ⅰ，，当时，；当时， 0'/>，即在上是减函数，在上是增函数，，当时，不等式恒成立，所以a的最大值是2．【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值；Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：由得，将，代入上式中，得曲线C的普通方程为：；将l的参数方程为参数代入C的方程中，整理得，因为直线l与曲线C有两个不同的交点，所以，化简得．又，所以，且，．设方程的两根为，，则，，所以，，所以．由，得，所以，从而，即的取值范围是．【解析】本题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，是中档题．由得由此能求出曲线C的普通方程将l的参数方程为参数代入C的方程，得由直线l与曲线C有两个不同的交点，得设方程的两根为，，则，，从而，，由此能求出的取值范围．23.【答案】解：，若，则，得，即时恒成立，若，则，得，即，若，则，得，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，因为，所以当时，，即，解得，结合，所以a的取值范围是．【解析】利用，通过，，，分别求解即可．要使得不等式恒成立，只需，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|0≤x<4}，，则A∩B=()A. {x|1≤x≤3}B. {x|0≤x<4}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}2.若复数z=(2−ai)(1+i)的实部为1，则其虚部为()A. 3B. 3iC. 1D. i3.双曲线x24−y212=1的焦点到渐近线的距离为()A. 2B. √3C. 3D. 2√34.我国是一个多民族国家，每个民族都有着丰富多彩的文化遗产．风雨桥就是侗族最具特色的建筑之一，由桥、塔、亭组成，其中亭、塔的平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图所示是风雨桥亭、塔正六边形的正投影，正六边形的边长计算如下：A1B1=A0B0−B0B1，A2B2=A1B1−B1B2，A3B3=A2B2−B2B3，…，A n B n=A n−1B n−1−B n−1B n，其中B n−1B n=⋯=B2B3=B1B2=B0B1，n∈N ∗.根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0=8m，B0B1=0.5m，则这五层正六边形的周长总和为A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m5.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A. l⊂α，m⊂β，且l⊥mB. l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC. m⊂α，n⊂β，m//n，且l⊥mD. l⊂α，l//m，且m⊥β6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为()A. √22B. √34C. √26D. √367. 函数f(x)=cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f(x)的图象( )A. 向左平移π3个单位 B. 向左平移2π3个单位 C. 向右平移π3个单位D. 向右平移2π3个单位8. 某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数(如下表)，下右图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是A. 除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图象几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B. 所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4%．C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多．D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长．9. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f(x)=x −x 2，则当x >0时，f(x)=( )A. x −x 2B. −x −x 2C. −x +x 2D. x +x 210. 如图，RT △ABC 中，AB =AC ，BC =4，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 2+√5B. √5C. 2D. 2−√511. 在数列{a n }中，a 1=1，a n −a n−1=n(n ≥2)，则a n 等于( )A. nB. (n +1)nC. n 22D.n(n+1)212. 已知F 1、F 2椭圆x 216+4y 215=1左右焦点，P 是椭圆是一点，|PF 1|=5，则∠F 2PF 1的大小为( )A. 2π3B. 5π6 C. 3π4D. π3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x ≤2，则z =−2x +y 的最大值为______．14. 已知甲运动员的投篮命中率为34，乙运动员的投篮命中率为23，则甲乙各投篮一次，恰有一人命中的概率为________．15. 已知{a n }是递增的等差数列，a 1=2，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 6成等比数列，则S 5= ______ ． 16. 四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥面ABCD ，PA =PD =AD =3，AB =4，则四棱锥ABCD 的外接球的表面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ．(1)求A ；(2)若√2a +b =2c ，求sin C ．18. 随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．(Ⅰ)根据2×2列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；(Ⅱ)如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望(将频率当作概率计算)．参考附表：P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)，其中n=a+b+c+d．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值．20.已知点P是抛物线C:y=14x2−3的顶点，A，B是C上的两个动点，且PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =−4．(1)判断点D(0,−1)是否在直线AB上？说明理由；(2)设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．21.已知函数f(x)=mln(x+1)，g(x)=xx+1(x>−1)．(1)讨论函数F(x)=f(x)−g(x)的单调性；(2)若y=f(x)与y=g(x)的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．22.曲线C的参数方程为{x=cosθy=1+sinθ(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√2，(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)判断直线l与曲线C的位置关系．23.已知函数f(x)=|2x+1|(x∈R)．(1)解不等式f(x)≤1；(2)设函数g(x)=f(x)+f(x−1)的最小值为m，且a+b=m(a,b>0)，求4a +1b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．由A与B，求出两集合的交集即可．解：∵A={x|0≤x<4}，2，3}，∴A∩B={1,2，3}，故选：C．2.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，结合已知条件求出a的值，则答案可求．解：∵z=(2−ai)(1+i)=2+a+(2−a)i的实部为1，∴2+a=1，即a=−1．∴其虚部为3．故选：A．3.答案：D解析：解：由题得：其焦点坐标为(±4,0).渐近线方程为y=±√3x=2√3．所以焦点到其渐近线的距离d=√3√3+1故选：D．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．4.答案：C解析：【试题解析】本题考查了对题中信息的理解，根据题意依次得出A1B1，A2B2，A3B3，A4B4的长度，再求周长总和即可．解：因为A0B0=8m，B0B1=0.5m，易知B1B2=B2B3=B3B4=B0B1=0.5，所以A1B1=A0B0−B0B1=8−0.5=7.5，A2B2=A1B1−B1B2=7.5−0.5=7，A3B3=A2B2−B2B3=7−0.5=6.5，A4B4=A3B3−B3B4=6.5−0.5=6，所以这五层正六边形的周长总和为(8+7.5+7+6.5+6)×6=210m，故选C．5.答案：D解析：本题考查面面垂直的判定定理，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论．解：对于A，l⊂α，m⊂β，且l⊥m，α，β可以平行、相交、垂直，故A不正确；对于B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，则l不一定与β垂直，故B不正确；对于C，m⊂α，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，α，β可以平行、相交、垂直，故C不正确；对于D，l⊂α，l//m，且m⊥β，可得l⊥β，根据面面垂直的判定，可知α⊥β，故D正确．故选D．6.答案：C解析：解：正方体ABCD−A1B1C1D1，M为A1B1的中点，设正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．﹣i C ．1 D ．i3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．124．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A n B n ＝A n ﹣1B n ﹣1﹣B n ﹣1B n ，其中B n ﹣1B n ═…＝B 2B 3＝B 1B 2＝B 0B 1，n ∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A 0B 0＝8m ，B 0B 1＝0.5m ，则这五层正六边形的周长总和为（ ）A ．35mB ．45mC ．210mD ．270m5．已知直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题： ①若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ②若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β； ③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α．其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√5157．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C ．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D ．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长9．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有[f （x 2）﹣f （x 1）]（x 2﹣x 1）＜0，则（ ） A ．f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3）＜f （log 20.2） B ．f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）＜f （0.3﹣1） C ．f （log 20.2）＜f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3） D ．f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．211．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ） A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．34C ．57D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x +1≥0y −2≤02x −y −2≤0，则z ＝x +3y 的最大值是 ．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 ．15．数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，a 1＝1，S 5＝15，且a 3+λa 9+a 15＝15，则实数λ＝ ．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为．三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．（Ⅰ）求tan A的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）．参考附表：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．19．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA∥平面BEF．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）若PC与底面ABCD所成的角为60°．求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝mlnx ，g （x ）=x−1x（x ＞0）． （Ⅰ）讨论函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m ＝e 时．y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象公切线的条数，并说明理由． （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|． （Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】先求出集合A ，再利用集合交集的运算即可算出结果． 解：集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0，1}， 故选：D ．2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出． 解：因为复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）＝（a +2）+（1﹣2a ）i ； ∴a +2＝3⇒a ＝1；∴z 的虚部为：1﹣2a ＝﹣1． 故选：A ． 3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．12【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0， 所以焦点到其渐近线的距离d =2=√2． 故选：B ．4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A nB n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0＝8m，B0B1＝0.5m，则这五层正六边形的周长总和为（）A．35m B．45m C．210m D．270m【分析】根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列，所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和，问题可解．解：根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列．、所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和的6倍．所以S=6S5=6[5×8+5×42×(−12)]=210（m）故选：C．5．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果．解：已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m ⊥α，m ∥β，则在β内，作n ∥m ，所以n ⊥α，由于n ⊂α，则α⊥β，故正确； ②若m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α，由于n ⊂β，则α⊥β；故正确． ③若n ⊥α，n ⊥β，所以α∥β，由于m ⊥α，则m ⊥β；故正确． ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α也可能n ⊂α内，故错误． 故选：C ．6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√515【分析】建立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可．解：据题意，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：D （0，0，0），O （1，1，0），B 1（2，2，2），M （1，0，2），N （0，2，1）， ∴B 1M →=(−1，−2，0)，ON →=(−1，1，1)， 设异面直线B 1M 与ON 所成角为θ，则cosθ=|B 1M →⋅ON →|B 1M →||ON →||=5×3=√1515． 故选：C ．7．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位【分析】利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的平移性质求出平移后的解析式，利用三角函数是奇函数建立条件关系进行求解即可． 解：f （x ）＝2（12cos x2−√32sin x2）＝2cos （x2+π3），将函数f （x ）向左平移φ的单位，得到y ＝2cos[12（x +φ）+π3]＝2cos （12x +12φ+π3），若f （x ）是奇函数，则12φ+π3=k π+π2，即φ＝2k π+π3，k ∈Z ，当k ＝0时，φ=π3，即可以将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位，即可，故选：A ．8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长【分析】从等高条形图看比例大体变化趋势，利用表格计算条目数的相关数据，逐项进行判断即可．解：（1）对于A，结合表格可知，除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的8725≈3.5倍，故A对．（2）对于B，由表格可知：“图形与几何”内容最多，占130260=50%，“综合与实践”内容最少，占10260≈4%，故B对．（3）对于C，分析表格可知，第一、二学段“数与代数”内容分别是21，28，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，最多．故C对．（4）对于D，图形与几何的第一学段到第二学段百分比是减少的，故D错．故选：D．9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则（）A．f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）＜f（log20.2）B．f（log20.2）＜f（2﹣0.3）＜f（0.3﹣1）C．f（log20.2）＜f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）D．f（0.3﹣1）＜f（log20.2）＜f（2﹣0.3）【分析】根据题意，由单调性的定义分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合偶函数的性质可得f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），由指数的性质可得2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，据此分析可得答案．解：根据题意，对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），又由2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，则有f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）；故选：D ．10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．2【分析】根据题意，建立坐标系，求出A ，B 点的坐标，并设∠AOC ＝α，则向量OC →=（2cos α，2sin α），求出向量的数量积，结合角的范围即可求解． 解：建立如图所示的坐标系，则A （2，0），B （2cos120°，2sin120°）即B （﹣1，√3）， 设∠AOC ＝α，α∈[0°，120°]； 则OC →=（2cos α，2sin α）．∴CB →•CA →=（﹣1﹣2cos α，√3−2sin α）•（2﹣2cos α，﹣2sin α） ＝（﹣1﹣2cos α）×（2﹣2cos α）+（√3−2sin α）•（﹣2sin α） ＝2﹣2cos α﹣2√3sin α＝2﹣4sin （α+30°）； ∵α∈[0°，120°]；∴α+30°∈[30°，150°]⇒sin （α+30°）∈[12，1]；∴当sin （α+30°）＝1即α＝60°时，CB →•CA →取最小值为2﹣4×1＝﹣2； 故选：B ．11．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ）A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用不等式的应用求出参数的取值范围．解：数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2）， 所以：a n −a n−1=(−2)n−1， …，a 2−a 1=(−2)2，所以将上面（n ﹣1）个式子相加得到：a n −a 1=4[1−(−2)n−1]1−(−2)，整理得：a n =1−(−2)n+13．所以a 1=|1−43|=13，a 2=|1+83|=113，a 3=|1−163|=133，a 4=|1+323|=353，易知：|a n |＜|a n +1|，若不等式|a n |≤λ成立的a n 有且只有三项， 则：λ的取值范围为[133，353)．故选：A ．12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．34C ．57D ．23【分析】由题意画出图形，由|PF 2|＝2c ，|PF 1|=43|QF 1|，利用椭圆的定义可得：|PF 1|＝2a ﹣2c ，进一步求出|QF 1|，|QF 2|，在等腰△PF 1F 2中，求得得cos ∠PF 1F 2．在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2，利用cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，化简求得5a ＝7c ，则答案可求．解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， ∵|PF 2|＝2c ，则|PF 1|＝2a ﹣2c ． ∵|PF 1|=43|QF 1|，∴|QF 1|=34（2a ﹣2c ）=32（a ﹣c ）， 则|QF 2|＝2a −32（a ﹣c ）=a 2+32c ，在等腰△PF 1F 2中，可得cos ∠PF 1F 2=12|PF 1||F 1F 2|=a−c 2c． 在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2=94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)，由cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，得a−c 2c+94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)=0，整理得：5a−7c 6c=0，∴5a ＝7c ，∴e =c a =57． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x +1≥0y −2≤02x −y −2≤0，则z ＝x +3y 的最大值是 8 ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z 的最大值即可．解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由{y =22x −y −2=0，解得A （2，2）， 由z ＝x +3y 得：y =−12x +，显然直线过A 时，z 最大，z 的最大值是z ＝2+3×2＝8， 故答案为：8．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为0.976．【分析】由题意利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求得结果．解：∵甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则他们都没有投中的概率为（1﹣0.8）（1﹣0.7）（1﹣0.6）＝0.024，则至少一人命中的概率为1﹣0.024＝0976，故答案为：0.976．15．数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，a1＝1，S5＝15，且a3+λa9+a15＝15，则实数λ＝−13．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝1，S5＝15，∴5+10d＝15，解得d＝1．∴a n＝1+n﹣1＝n，代入a3+λa9+a15＝15，∴3+9λ+15＝15，解得实数λ=−1 3．故答案为：−1 3．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为28π3．【分析】取AD的中点F，连接EF，PF，由题意可得三角形PEF为直角三角形，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P在底面的投影的距离，设正方形ABCD的中心为M ，过M 做MO 垂直于底面，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，△PAD 为等边三角形，所以PF =√3，EF ＝2，又PE ＝1，所以PF ⊥PE ，设正方形ABCD 的对角线的交点M ，过P 做底面的投影N ，则由题意可得N 在EF 上，由射影定理可得NE =PE 2EF =12，而ME ＝1，所以MN =12，PN =√PE 2−HE 2=√32，MB =12BD =2√22=√2， 过M 做底面的垂线MO ，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上， 设O 为外接球的球心，设球的半径为R ，则OP ＝OB ＝R ，过O 做OH ⊥PN 于H ，则四边形OMNH 为矩形，所以OH ＝MN =12，HN ＝OM ， （i ）若球心在四棱锥的内部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN ﹣HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32−OM ）2，①在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，②由①②可得OM =−√33，不符合，故舍去．（ii ）若球心在四棱锥的外部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN +HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32+OM ）2，③在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，④ 由③④可得R 2=73，所以四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 综上所述四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 故答案为：28π3．三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．（Ⅰ）求tan A的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．【分析】（I）5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．由正弦定理可得：5（b2+c2）＝8bc+5a2，可得：b2+c2﹣a2=85bc，再利用余弦定理即可得出．（II）由tan（B+C）=tanB+tanC1−tanAtanC=−tan A=−34，可得4tan B+4tan C﹣3tan B tan C+3＝0，利用基本不等式的性质即可得出．解：（I）5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．由正弦定理可得：5（b2+c2）＝8bc+5a2，可得：b2+c2﹣a2=85bc，∴cos A=b 2+c2−a22bc=45，A∈(0，π2 )，∴sin A=√1−cos2A=35，则tan A=34．（II）由tan（B+C）=tanB+tanC1−tanAtanC=−tan A=−34，∴4tan B+4tan C﹣3tan B tan C+3＝0，∵tan B＞0，tan C＞0，由均值不等式可得：4tan B+4tan C＝3tan B tan C﹣3≥2√4tanB⋅4tanC，当且仅当tan B ＝tan C＝3时取等号．解得tan B tan C≥9．∴tan B tan C的最小值为9．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀 成绩不够优秀总计 选修生涯规划课 15 10 25 不选修生涯规划课6 19 25 总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）． 参考附表： P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 【分析】（Ⅰ）根据K 2的公式计算出观测值，并与附表中的参考值进行对比即可作出判断；（Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为35，成绩够不优秀的概率为25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，最后根据二项分布的性质求数学期望即可．解：（Ⅰ）由题意知，K 2=50×(15×19−6×10)221×29×25×25≈6.650＞6.635，∴有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“． （Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为1525=35，成绩够不优秀的概率为1−35=25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ＝0）=C 30⋅(25)0⋅(35)3=27125，P（ξ＝1）=C31⋅(25)1⋅(35)2=54125，P（ξ＝2）=C32⋅(25)2⋅(35)1=36125，P（ξ＝3）=C33⋅(25)3⋅(35)0=8125．∴ξ的分布列为ξ0123P2712554125361258125∵ξ～B（3，25），∴E（ξ）＝3×25=65．19．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA∥平面BEF．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）若PC与底面ABCD所成的角为60°．求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接AC交BE与G，连接EG，由已知结合线面平行的性质可得PA∥EG，再由E为PC的中点，得G为AC的中点，则△AFG≌△BCG，得到AF＝BC=12AD＝1，即F为AD的中点，可得四边形DCBF为平行四边形，再由AD⊥DC，得BF⊥AD，可得BF⊥平面PAD，进一步得到平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）连接PF，证明PF⊥底面ABCD，又BF⊥AD，以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P（0，0，t），由PC与底面ABCD所成的角为60°求解t，然后分别求出平面ABF与EBF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BF﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC交BE与G，连接EG，∵PA∥平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝EG，∴PA∥EG，又E 为PC 的中点，∴G 为AC 的中点，则△AFG ≌△BCG ， 得AF ＝BC =12AD ＝1． ∴F 为AD 的中点，∵BC ∥FD ，且BC ＝FD ，∴四边形DCBF 为平行四边形， ∵AD ⊥DC ，∴BF ⊥AD ，又BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）解：连接PF ，∵PA ＝PD ，F 为AD 的中点，∴PF ⊥AD ，又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设P （0，0，t ），C （﹣1，1，0），取平面ABCD 的法向量n 1→=(0，0，1)，PC →=(−1，1，−t)，B （0，1，0）， ∴sin60°＝|n 1→⋅PC→|n 1→|⋅|PC →|，即√t 2+2=√32，解得t =√6． 设平面EBF 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)，由{n 2→⋅FE →=−12x +12y +√62z =0n 2→⋅FB →=y =0，令z ＝1，得n 2→=(√6，0，1)． 设二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角为θ，则|cos θ|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√77， 又θ为钝角，∴cos θ=−√77．即二面角E ﹣BF ﹣A 的余弦值为−√77．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设C 的坐标，可得AC 的中点B 的坐标，由B 在抛物线x 2＝2y ﹣2上可得E 的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得MN 的中点P 的坐标，由△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形可得PD ⊥l ，所以可得k DP •k l ＝﹣1，求出直线l 的方程，及弦长|MN |及|DP |的值，代入面积公式求出面积解：（Ⅰ）设C （x ，y ），B （m ，n ），B 是AC 的中点，则{m =x 2n =y+22， 因为B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上，所以m 2＝2n ﹣2，即x 24=2⋅2+y 2−2， 所以x 2＝4y ，故曲线E 的方程为：x 2＝4y ；（Ⅱ）由题意得D （2，0），设直线l ：y =12x +t ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），将l 的方程代入x 2＝4y 得x 2﹣2x ﹣4t ＝0（*），所以x 1+x 2＝2，x 1x 2＝﹣4t ，△＝4+16t ＞0，所以M，N的中点P（1，12+t），因为k DP•k l＝﹣1，所以12+t1−2⋅12=−1，所以t=32符合△＞0，所以直线l存在，所以（*）化为x2﹣2x﹣6＝0，x1+x2＝2，x1x2＝﹣6，所以：|MN|=√1+14√4+24=√35|DP|=√5，所以S△MND=12×√35×√5=52√7．21．已知函数f（x）＝mlnx，g（x）=x−1x（x＞0）．（Ⅰ）讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m＝e时．y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）求出导函数F'（x），对m的值分情况讨论，分别利用导函数F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调性；（Ⅱ）先利用导数的几何意义分别求出函数f（x）＝elnx在点（a，elna）处的切线方程和函数g（x）=x−1x在点（b，1−1b）处的切线方程，判断y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，只须判断关于b的方程2elnb+2b−1=0在（0，+∞）上解的个数，令h（x）＝2elnx+2x−1 （x＞0），利用导数得到方程h（x）＝0在（0，1e）及（1e，+∞）上各有一个根，即y＝f（x）与y＝g（x）的图象有两条公切线．解：（Ⅰ）由题意可知：F（x）＝f（x）﹣g（x）＝mlnx−x−1x，x∈（0，+∞），则F'（x）=mx−1x2=mx−1x2，1°当m≤0时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；2°当m＞0时，由F'（x）＜0得：0＜x＜1m，由F'（x）＞0得：x＞1m，∴函数F（x）在（0，1m）上单调递减，在（1m，+∞）上单调递增，综上所求：当m≤0时，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；当m＞0时，函数F（x）在（0，1m）上单调递减，在（1m，+∞）上单调递增；（Ⅱ）函数f （x ）＝elnx 在点（a ，elna ）处的切线方程为y ﹣elna =e a (x −a)，即y =e a x +elna −e ，函数g （x ）=x−1x =1−1x 在点（b ，1−1b ）处的切线方程为y ﹣（1−1b ）=1b 2（x ﹣b ），即y =1b 2x −2b +1，若y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有公切线，则{e a =1b 2①elna −e =1−2b ②， 由①得a ＝eb 2代入②整理得：2elnb +2b−1=0③， 由题意只须判断关于b 的方程在（0，+∞）上解的个数，令h （x ）＝2elnx +2x −1 （x ＞0），∴h '（x ）=2e x −2x 2=2ex−2x 2， 令h '（x ）＝0，解得x =1e ，∴当x ∈(0，1e )时，h '（x ）＜0，函数h （x ）单调递减；当x ∈(1e，+∞)时，h '（x ）＞0，函数h （x ）单调递增，∴h （x ）≥h （1e ）＝﹣1， ∵h （1e 2）＝﹣4e +2e 2﹣1＞0，h （1）＝1＞0， ∴h （1e ）h （1e ）＜0，h （1）h （1e ）＜0，且h （x ）图象在（0，+∞）上连续不断， ∴方程h （x ）＝0在（0，1e ）及（1e ，+∞）上各有一个根，即y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有两条公切线．一、选择题22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的普通方程，结合平方关系可得曲线C 的参数方程；直接把直线l 的参数方程中的参数t 消去，可得直线l 的普通方程；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，写出三角形面积公式，再由点到直线的距离公式求得d ，利用三角函数求最值可得△PMN 面积的取值范围．解：（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12， ∴3（x 2+y 2）+y 2＝12，即x 24+y 23=1，∴曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ（θ为参数）． 由{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数），消去参数t ，可得x +2y ﹣8＝0． ∴直线l 的普通方程为x +2y ﹣8＝0；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，S △PMN =12×2×d =d ，而d =|2cosθ+2√3sinθ−8|5=|4sin(θ+π6)−8|5． ∴4√55≤d ≤12√55． ∴△PMN 面积的取值范围为[4√55，12√55]． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|．（Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m ，带入得到a ，b 等式，转化为只含有a 的式子后利用基本不等式可以求解．解：（1）由题意得：∵f （x ）≤g （x ）在x ∈R 上恒成立，∴m ≤|x +3|+|x ﹣2|恒成立，即m ≤（|x +3|+|x ﹣2|）min又∵|x +3|+|x ﹣2|≥|（x +3）﹣（x ﹣2）|＝5 ∴m ≤5，即m ∈（﹣∞，5]（2）令f （x ）≥0，∴m ≥|| 若m ≤0，则解集为∅，不合题意； 若m ＞0，则有﹣m ≤x ﹣2≤m ，即x ∈[2﹣m ，2+m ] 又∵解集为x ∈[1，3]，∴m ＝1 ∴ab ﹣2a ﹣b ＝2∴b =2a+2a−1∵{a ＞0b ＞0，解得a ＞1 ∴a +b ＝a +2a+2a−1=a −1+4a−1+3 ∴a +b ≥2√(a −1)(4a−1)+3＝7 当且仅当a ﹣1=4a−1，即a ＝3时，等号成立，此时b ＝4 ∴a ＝3，b ＝4时a +b 的最小值为7。
2020届高三数学二模考试试题理(含解析)_2
2020届高三数学二模考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，.则集合等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先算出集合，再与集合B求交集即可.【详解】因为或.所以，又因为.所以.故选：A.【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.2.设复数满足为虚数单位)，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知，，所以.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选：C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.4.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）A. 该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元【答案】D【解析】【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.故D项不正确.故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.5.已知为锐角，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，再利用计算即可.【详解】因为，，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.6.已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7.设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由定义在R上的奇函数的性质，可得，求出，于是可得在时的解析式，由解析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数在上单调递增，再由为定义在上的奇函数，可知在上单调递增，注意到，利用函数单调性即可解决．【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，所以，当时，．当时，函数和在上都是增函数，所以在上单调递增，由奇函数的性质可知，在上单调递增，因为，故，即有，解得．故选：D．【点睛】本题主要考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，意在考查学生的转化能力，属于中档题．8.如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，将,代入化简即可.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.9.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.，又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..，注意到故的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.10.半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，在中，，化为，，，当且仅当时取等号，此时.故选：B.【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.11.已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A. 或B. 或C. 或D.【答案】A【解析】【分析】过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过作与准线垂直，垂足为，，则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，易知此时直线的斜率存在，设切线方程为，则.则，则直线的方程为.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.【答案】20【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.【详解】由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆柱组合而成，其体积为.故答案为：20.【点睛】本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.14.展开式中的系数为________.【答案】80.【解析】【分析】只需找到展开式中的项的系数即可.【详解】展开式的通项为，令，则，故的展开式中的系数为80.故答案为：80.【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.15.已知，则________(填“>”或“=”或“<”).【答案】【解析】【分析】注意到，故只需比较与1的大小即可.【详解】由已知，，故有.又由，故有.故答案为：.【点睛】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16.已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可.【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故.在中，由双曲线的定义可得，.故答案为：【点睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答，(一)必考题：共60分.17.如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证明平面，只需证明，即可：（2）取中点，连，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，再利用计算即可.【详解】（1）∵底面为菱形，∵直棱柱平面.∵平面..平面；（2）如图，取中点，连，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：，点，设平面的法向量为，，有，令，得又，设直线与平面所成的角为，所以故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.18.2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1），乙公司影响度高；（2）见解析，【解析】【分析】（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a，由导游人数为40人可得b，再由总收人不低于40可计算出优秀率；（2）易得总收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.【详解】（1）由直方图知，，解得，由频数分布表中知：，解得所以，甲公司的导游优秀率为：，乙公司的导游优秀率为：，由于，所以乙公司影响度高.（2）甲公司旅游总收入在中的有人，乙公司旅游总收入在中的有2人，故的可能取值为1，2，3，易知：，;.所以的分布列为：1.【点睛】本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题. 19.已知数列，满足.（1）求数列，的通项公式；（2）分别求数列，的前项和，.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1），，可得为公比为2的等比数列，可得为公差为1的等差数列，再算出，的通项公式，解方程组即可；（2）利用分组求和法解决.【详解】（1）依题意有又.可得数列为公比为2的等比数列，为公差为1的等差数列，由，得解得故数列，的通项公式分别为.（2），.【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.20.已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.（1）求证：.（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.附：多项式因式分解公式：【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由得令可得，进而得到，同理，利用数量积坐标计算即可；（2），分，两种情况讨论即可.【详解】（1）证明：点的坐标为.联立方程，消去后整理为有，可得，，.可得点的坐标为.当时，可求得点的坐标为，，.有,故有.（2）若点在轴上方，因为，所以有，由（1）知①因为时.由（1）知，由函数单调递增，可得此时.②当时，由（1）知令由，故当时，，此时函数单调递增：当时，，此时函数单调递减，又由，故函数的最小值，函数取最小值时，可求得.由①②知，若点在轴上方，当的面积最小时，直线的斜率为.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.21.已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证明，只需证明即可；（2）有3个根，可转化为有3个根，即与有3个不同交点，利用导数作出图象即可.【详解】（1）令，则，当时，，故在上单调递增，所以，即，所以.（2）由已知，，依题意，有3个零点，即有3个根，显然0不是其根，所以有3个根，令，则，当时，，当时，，当时，，故在单调递减，在，上单调递增，作出的图象，易得.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线与直线其中的一个交点为，且点极径.极角（1）求曲线的极坐标方程与点的极坐标；（2）已知直线的直角坐标方程为，直线与曲线相交于点(异于原点)，求的面积.【答案】（1）极坐标方程为，点的极坐标为（2）【解析】【分析】（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；（2）只需算出A、B两点的极坐标，利用计算即可.【详解】（1）曲线C：(为参数，)，将代入，解得，即曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.（2)由（1），得点的极坐标为，由直线过原点且倾斜角为，知点的极坐标为，.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.23.已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）零点分段法分，，三种情况讨论即可；（2）只需找到的最小值即可.【详解】（1）由.若时，，解得；若时，，解得；若时，，解得；故不等式的解集为.（2）由，有，得，故实数的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.2020届高三数学二模考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，.则集合等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先算出集合，再与集合B求交集即可.【详解】因为或.所以，又因为.所以.故选：A.【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.2.设复数满足为虚数单位)，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知，，所以.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选：C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.4.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）A. 该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元【答案】D【解析】【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.故D项不正确.故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.5.已知为锐角，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，再利用计算即可.【详解】因为，，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.6.已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7.设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由定义在R上的奇函数的性质，可得，求出，于是可得在时的解析式，由解析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数在上单调递增，再由为定义在上的奇函数，可知在上单调递增，注意到，利用函数单调性即可解决．【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，所以，当时，．当时，函数和在上都是增函数，所以在上单调递增，由奇函数的性质可知，在上单调递增，因为，故，即有，解得．故选：D．【点睛】本题主要考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，意在考查学生的转化能力，属于中档题．8.如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，将,代入化简即可.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.9.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.，又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..，注意到故的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.10.半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，在中，，化为，，，当且仅当时取等号，此时.故选：B.【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.11.已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A. 或B. 或C. 或D.【分析】过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过作与准线垂直，垂足为，，则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，易知此时直线的斜率存在，设切线方程为，则.则，则直线的方程为.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.【答案】20【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.【详解】由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆柱组合而成，其体积为.故答案为：20.【点睛】本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.14.展开式中的系数为________.【答案】80.【解析】【分析】只需找到展开式中的项的系数即可.【详解】展开式的通项为，令，则，故的展开式中的系数为80.故答案为：80.【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.15.已知，则________(填“>”或“=”或“<”).【答案】【解析】【分析】注意到，故只需比较与1的大小即可.【详解】由已知，，故有.又由，故有.故答案为：.【点睛】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16.已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可.【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故.在中，由双曲线的定义可得，.故答案为：【点睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答，(一)必考题：共60分.17.如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证明平面，只需证明，即可：（2）取中点，连，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，再利用计算即可.【详解】（1）∵底面为菱形，∵直棱柱平面.∵平面..平面；（2）如图，取中点，连，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：，点，设平面的法向量为，，有，令，得又，设直线与平面所成的角为，所以故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.18.2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.。
2020届高三12月月考数学(理)试题+参考答案
2020届高三12月月考数学试卷(理科)说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。
2、本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。
答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。
答在试卷上无效。
3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的 （ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ）A ．35B ．45C 32D 225．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是 （ ）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 （ ） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为 （ ） A ．22B ．4C ．52D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B ．13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．30,2π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________； 14．已知数列{}n a的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L ；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2B f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角． （l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率2e=．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m=+：与椭圆G交于A B，两点，直线2212l y kx m m m=+≠：（）与椭圆G交于C D，两点，且AB CD=，如图所示．①证明：120m m+=；②求四边形ABCD的面积S的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0xx xf x xax ax xe⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数．()1求实数a的值；()2若函数()()g x f x kx=-有三个零点，求实数k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点()1,0P-，直线l和曲线C交于,A B两点，求||||PA PB+的值．23．已知函数()()210f x x a x a=++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.（数学理）1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4 317【解析】（1）233()cos2cos2sin2cos23sin23223f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，令222,232k x k k Zπππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Zππππ-+∈剟∴故函数()f x的递增区间为5,()1212k k kππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z.（2）313sin,sin2332Bf B Bππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，20,,,333366B B B Bπππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q即，由正弦定理得：13sin sinsin6aA Cπ==，3sin2C∴=，0Cπ<<Q，3Cπ∴=或23π.当3cπ=时，2Aπ=：当23Cπ=时，6Aπ=（不合题意，舍）所以,63B Cππ==.18．如图，在PBE△中，AB PE⊥，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且5AC=，122AB AP AE===，将PBAV沿AB折起使得二面角P AB E--是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析.（2）13.【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥， 所以22222425BE AB AE =+=+=，又因为152AC BE ==， 所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ， 设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin 10PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ． 故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13．19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．【答案】(1) 2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =．（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+， 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532． （2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦． 令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+： 与椭圆G 交于 A B ， 两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ， 两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值． （1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0 ，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x xx e xe x f x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立，当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立，当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e ≤恒成立， 则12a e =，即12a e=． ()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件． 故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点， 故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x xkx e e e+-=，(0)x >， 则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根， 即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增，由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点， 则ln22k e =或11k e≥-， 即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||t t -==. 23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.。
2020届四省名校高三二模(12月)数学(理)试题(解析版)
【解析】由对数函数的定义域和指数函数的性质分别求出集合A 和B,再由交集的定义求出结果.【详解】,得,即得集合A=;ln(2)x =+ 20x +>2x >-{}|2x x >-,得, 即得集合B=;13<=0x <{}|0x x <.{}A B |20x x ⋂=-<<:A.【点睛】本题考查了集合运算中交集运算,本题关键是能够准确的利用对数函数的定义域以及指数函数的性质求出集合A 和B,属于基础题.．已知， 均为非零向量，条件： ，条件： 与的夹角为锐角，则是a b p 0a b ⋅> q a bp q ）．充要条件B ．充分不必要条件条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试p q .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可,p q q p ⇒⇒利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.3．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入的值分别为，,n x 4,2则输出的值为（）vA ．B ．2425C ．D ．4950【答案】D【解析】根据循环结构框图中的相关条件依次运算即可.【详解】由题意;4,2,1,13n x v i n ====-=由,则变成,变成3-1=2;30i =≥v 1235⨯+=i 由,则变成,变成2-1=1;20i =≥v 52212⨯+=i 由,则变成,变成1-1=0;10i =≥v 122125⨯+=iD ．34【答案】B【解析】本题可直接利用等差数列通项公式和前和公式联立方程组求解即可得出答案.n 【详解】设等差数列的首项和公差分别为和,则由题意可得,联立解{}n a 1a d 2312512310553022a a a d d d S a +=+=⎧⎪⎨⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩.2=:B.【点睛】本题着重考查了等差数列通项公式和前和公式的运算应用,属于基础题.n 展开式中含的项的系数为（ ）242)x x -5xB ．64D ．3π2π【答案】D【解析】建立空间直角坐标系,将异面直线和所成的角转化为向量和所成的角或其1C A BM 1C A BM 补角来求解.【详解】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系1A ,() 0,1,1B 31C ,,122⎛ ⎝3C BM A ⋅=⨯参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（）B ．11218D ．1614【答案】C【解析】将甲乙看成一个整体利用排列组合公式求出满足要求的基本事件的个数,再求出总的基本事m 件的个数,然后由古典概型概率公式求解答案即可.n 【详解】由题意将甲乙看成一个整体,满足要求的安排方式种类有,总的安排方式的种类有336m A ==,所以甲乙被安排到同一个场馆的概率为.234336A ⨯=ð1P 6m n ==:C.【点睛】本题考查了利用辅助角公式对三角函数的化简,考查了利用余弦函数偶函数的性质求参数,属于一般难度.．在中，点在边上，且，点在边上，，若ABC ∆D BC 3CD DB = M AD 3AD AM =，则（ ）AB AC λμ=+λμ+=B ．23-23D ．7676-【答案】A【解析】利用平面向量加减法法则直接化简,进而求出的值.CMλμ+【详解】如图所示:在△ABC 中,由3CD DB =B ．4323+432+D ．16316【答案】D【解析】由抛物线的焦点是双曲线的一个焦点可求出参数,由题意写出直线的方程然后和抛物线方a l 程联立,再由直线与圆锥曲线的交点弦弦长公式即可求出答案.()22121214AB k x x x x =++-【详解】由抛物线C:()可知焦点F(0,),由双曲线的上焦点坐标为(0,1),且抛物线2y ax =0a >14a 22221y x -=的焦点F(0,)是双曲线的一个焦点,可得,得,得抛物线方程为14a 22221y x -=114a =14a =14y x =．．．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性得出函数图像的对称性,再令,判断函数值,2x π=x π=02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭,进而判断函数图像大致走向,进行排除选择,得出答案.)0π<【详解】由题知函数定义域为,且,得函数为奇函数,由奇R ()()()()()222sin 2sin 11x x x xf x f x x x -----==-=-+-+函数的图像关于原点成中心对称,故排除和D;分别令,,则B 2x π=x π=2sin2222ππππ--⎫B ．423D ．23【答案】C【解析】由题意先求动点P 的轨迹的方程,联立和求出的坐标,如图由平面几何知识和向1C 1C 2C M,N 量数量积的运算规则可求得.MN MQ ⋅【详解】设点P(),由可得,x y ()()A 1,0,B 4,0,2PA PB=二、填空题．设复数，则_______.134iz i i +=-+z =【答案】4i-+【解析】利用复数的乘除及模的运算直接对复数进行化简,然后再求其共轭复数.z 【详解】,所以.()()()221134344i i ii ii i i +⨯-+=-+=-+=--⨯-4z i =-+故答案为:. 4i -+【点睛】本题考查了复数的乘除运算,模的运算以及共轭复数的求法,属于基础题.1a =．如图，三棱锥中，平面平面，，，P ABC -PAC ⊥ABC AB BC ⊥2AB BC ==，则三棱锥的外接球的表面积为_______.3PC ==P ABC -【答案】817π【解析】取AC 中点M,连接PM,BM,由已知条件判断PM 面ABC,且AC 为小圆的直径,判断球心⊥的位置在PM 上且PO=OB=R,构造出直角三角形OMB,利用题中数据条件结合求出球半径,然后再利用球的表面积公式及可得出答案.222MB OM=+【详解】如图所示,取AC 中点M,连接,PM BM故答案为:.817π【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积,关键利用进行计算求解R,难点在于构造三要素的直角222R r d =+三角形进行求解,属于中档题.．已知函数若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实272,12()1ln ,12x x x f x x x ⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩x ()f x kx =的取值范围是_______.【答案】1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭,,可得,设切点M(),由联立求得1>()1ln 2f x x =+()1f x x '=001,ln 2x x +()101001k x k f x x '=⎪⎨⎪==⎪⎩,则;e 1e k e =由函数,令得,得N(1,),则,()272,121ln ,12x x x f x x x ⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩1x =()112f =12212k =所以由图像可得满足条件的实数的范围为,即.k 21k k k <<12ek e <<故答案为:.1,2e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】由正弦定理以及,得化简整理得cos 2c b C a =-()sin sin sin cos sin sin 22C CB C A B C =-=+-,所以;12B =B 3π=如图所示,由余弦定理,即得,2222cos b a c ac B =+-()22243a c ac a c ac=+-=+-由基本不等式可得:2a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝()()()()2222343a c a c a c ac a c ++=+-≥+-=4a c +≤【答案】（1），74；（2）分布列见解析，0.03a =()25E X =【解析】(1)由频率分布直方图的性质可以直接求;由平均数等于每组中间值乘以该组频率,再求和即a 可求得;先求出铁杆球迷的人数,然后再分析书随机变量X 的可能取值,计算出每一个随机变量对应的概率分布列,最后由数学期望公式求出数学期望值.【详解】由频率分布直方图可知:,解得;()0.0050.0120.020.025101a +⨯+++⨯=0.03a =由频率分布直方图平均数的概念可得,平均得分为:,即平均0.00510550.01100.0265100.0375100.025*******.011074⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=得分为74分.由题意可知90分以上的概率为0.010.1,所以铁杆球迷的人数为1000.1=10,10⨯=⨯,属于中档题.．四边形中，，且，为中点，连接ABCD //AB CD 2222AB CD AD BC ====E AB ，如图（1），将其沿折起使得平面平面，平面平面CE ,DE CE ADE ⊥DEC BCE ⊥DEC ，如图（2）.,AB AC ）证明：图（2）中的四点共面；,,,A B C D ）求图（2）中平面与平面所成锐二面角的余弦值.BCE ACE则MN CD,在△ADE 和△BCE 由平面平面, 平面平面=DE,ADE ⊥DEC ADE ⋂DEC AM 平面,同理BN 平面,AM BN,由题意等量关系易得AM BN,可得四边形⊥DEC ⊥DEC ∴ =ABNM 为平行四边形,所以AB NM,由MN CD 得AB CD,所以翻折后A,B,C,D 四点共面.翻折后,以N 为原点,NB 所在的直线为轴,ND 所在的直线为轴,NE 所在的直线为轴建立如图所z x y 示的空间直角坐标系,则有如下坐标:A ,C 313,,442⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎛ ⎝333,,AC ⎛⎫=--- ⎪ EA ⎛=可以采用空间几何方法作出所求角的二面角进行求解,此种方法必须体现作,证,算三步骤,也可以利用空间向量法,建系寻求两个平面的法向量,转化为两个法向量夹角的问题进行求解,属于中档题.．已知椭圆的左、右焦点分别为，弦过点，的周长2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F AB 1F 2ABF ∆，椭圆的离心率为C 1.2）求椭圆的方程；C ）若，求的面积.2245F A F B ⋅=2ABF ∆【答案】（1）；（2）22143x y +=835【解析】(1)由椭圆的定义以及△ABF 2的周长可以得出,再结合离心率即可求出和,即可得椭圆方a a b由题意设直线的方程，A(),B(),联立,AB l 1x my =-111,my y -221,my y -221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得:,()2234690my my +--=,由,12122269,3434m y y y m m -+==++()2112,F A my y =- ()2222,F B my y =- ()()()()222121212124221245F A F B my my y y m y y m y y ⋅=--+=+-++=1（其中）.23,x 123x x x <<）求实数的取值范围；m ）求证：2132.x x x <【答案】(1);(2)见解析.12em <<【解析】(1)对函数求导,由于函数在上有三个极值点()()()121x e mx x f x x ---'=()f x ()0,2x ∈在上三个实数根,令在有两个不()()()121x e mx x f x x---'=()0,2x ∈()()1x g x e mx-=-()0,2x ∈的且不相等的实数根,然后利用数形结合转化成函数的交点问题来解决即可.1,x y e y mx -==313x x x e x -=313,1x x x e k k x -==>x x当,,图像相切时设切点为11x y e -=2 y mx=,解得即得坐标M (1,1),即得,010x e ex -==01x =1OM k =由图像可知:N ,所以,()2,e 2ON e k =在有两个实数根时,,的图像在上有两个交()()1x x e mx-=-()0,2x ∈11x ye -=2 y mx=()0,2x ∈所以得，此时，，OM ON k m k <<21x =1231x x x =<<的取值范围为:.m 1<2e m <由(1)得在有两个实数根即得,()()1x g x e mx-=-()0,2x ∈111x emx -=313x e mx -=,即得,1=311113 x x e e x x --=,即2132x x x <131x x <成立,所以,即得以证明.()21ln 0t t t t =-+<131x x <2132x x x <【点睛】本题考查了导数在函数中的综合应用,利用导函数判断函数的单调性利用极值点进行求参数,利用导函数的性质求证不等式,综合应用较强属于难题.．据说，年过半百的笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：国王不懂，将这封信交给了公主，公(1sin )a ρθ=-(0)a >主用笛卡尔教她的坐标知识，画出了这个图形“心形线”.明白了笛卡尔的心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣（仅是一个传说）.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系中，Ox 表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在直线为轴，极(1sin )a ρθ=-(0)a >1COx x由,(为参数),消参数化简得普通方程:,3⎩t t 30x y -=,,即化简得,即cos ρθ= sin y ρθ=cos 3sin 0ρθρθ-=3tan 3θ=6πθ=即得曲线的极坐标方程为().2C 6πθ=R ρ∈由曲线极坐标方程,得其普通方程为:1C ()1sin a ρθ=-()2222x y ax y y +=+-解得()222230x y a x y yx y ⎧+=+-⎪⎨⎪-=⎩()3333A ,,B ,,O 0,04444a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以由两点间距离公式得22333324444a a a a AB a ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】时, 由恒成立,即;12x ≤<()()1235f x x x =+--=<[)1,2-时, 由,解得,即;1<-()()()12215f x x x x =-+--=-+<2x >-()2,1--综上可得当时,不等式的解集为=.1a =[)[)()2,31,22,1⋃-⋃--()2,3-由题意得0y z >>0y z ->由不等式的性质可得()()()()()311133y y z z y z z y z z y z z y z z+=-++≥-⨯⨯=---,()13min y y z z ⎫+=⎪⎪-⎭由绝对值不等式的性质可得,()23f x x a x a a=++-≥由题意要求需解得,即满足要求的实数的取值范围为.33a≥11a -≤≤a []1,1-【点睛】。
2020届高三12月联考理科数学参考答案
数学参考答案（理科）2.【解析】集合(2,1)B =-，所以{2,1,2}U A B =- （） ，有3个元素。
3.【解析】开区间上最小值一定是极小值，导数等于0，反过来不成立。
4.【解析】3927=3.14161250，355=3.141592113 ，22=3.1428577，故选B。
5.【解析】(1)1((1)1)f f +=--+，所以(1)3f -=-。
6.【解析】11=1n n k a n kn k++=+--，由k 是正数及反比例函数的单调性知50k -<且60k ->，故选D。
7.【解析】1211109895040sum =⨯⨯⨯⨯=，判断框在12,11,10,9,8i =都满足条件，7i =不满足，故选B8.【解析】(1()322f f ππ=-=-，，故选A。
9.【解析】球心是AC 的中点，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C10.【解析】设1910a b x x a b+=⇒+=-，于是199(10)()(101016a bx x a b a b b a -=++=++≥+=所以210+16028x x x -≤⇒≤≤，所以a b +的最小值是2（当13,22a b ==时取得）11.【解析】设点001(,)P x x ，切线l 方程为20012y x x x =-+，所以002(2,0),(0,)A x B x ，点001(,)P x x 是AB 中点，S 2AOB = ,命题（1）（2）都正确。
过原点作倾斜角等于15 和75 的2条射线与曲线的交点为,M N ,由对称性知OMN 是等边三角形,命题（3）正确。
过原点作2条夹角等于45 的射线与曲线的交点为,M N ,当直线OM 的倾斜角从90 减少到45 的过程中，OM ON 的值从+∞变化到0,在这个过程中必然存在OM ON 的时刻,此时OMN 是等腰直角三角形,命题（4）正确.12.【解析】解1：222||2132a b a b a b a b -=+-=-，由题设=()1||||1=||1a b a b c a b c a b +-≤+-+- ，所以22221||2132a b a b a b a b a b +≤+=++=+（），得212a b ≤ （），所以a b -≤≤ ，因此，||1a b -≤ ，易见等号可以取得，故选D。
2020高三二轮数学模拟卷理(12)答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(十二)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝{x |x ≤－1或x ≥0}，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2>1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x >0或x <－1}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2}2．设i 是虚数单位，若复数a ＋5i1－2i (a ∈R )是纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．23．命题“∀x ∈[a ，b ]，f (x )g (x )＝0”的否定是( ) A ．∀x ∈[a ，b ]，f (x )≠0且g (x )≠0 B ．∀x ∈[a ，b ]，f (x )≠0或g (x )≠0 C ．∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)≠0且g (x 0)≠0 D ．∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)≠0或g (x 0)≠04．对任意的非零实数a ，b ，若a ⊗b ＝⎩⎨⎧b －1a ，a <b ，a ＋1b ，a ≥b ，则lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝( )A.14B.54C.25D.455.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1δ21)，N (μ2δ22)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( )A ．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kgB ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数δ2＝1.996．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是( )A ．n ≤2 015?B ．n ≤2 016?C ．n >2 016?D ．n <2 016?第6题图 第7题图7．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，则此三棱柱的表面积为( )A ．20B ．48 3C ．48＋8 3D ．8＋ 38．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n为整数的n 叫作“优数”，则在(0，2 017]内的所有“优数”的和为( )A ．1 024B ．2 012C ．2 026D ．2 03610．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.3211．若函数y ＝f (x )的图象上的任意一点P 的坐标为(x ，y )，且满足条件|x |≥|y |，则称函数f (x )具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是( )A ．f (x )＝e x －1B ．f (x )＝ln(x ＋1)C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝|x 2－1|12.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，点M 是线段AB 上的点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于点P ，若|PF |＝|PM |，则|AM ||MB |＝( )A ．1 B.23 C.p 2 D.2p题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．曲线f (x )＝2x＋3x 在点(1，f (1))处的切线方程为________．14．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B ＋12sin B －12＝0，b＝1，c ＝3，则sin 2A －sin 2Csin 2B的值是________．15．设直线(k ＋1)x ＋(k ＋2)y －2＝0与两坐标轴围成的三角形面积为S k ，k ∈N *，则S 1＋S 2＋…＋S 10等于________．16．已知函数f (x )＝13ax 3＋ax 2－3ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2sin x cos x ．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)先将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤π3，2π上的值域．18．(本小题满分12分)某电子商务公司随机抽取1 000 名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2015年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4)，[0.4，0.5)，[0.5，0.6)，[0.6，0.7)，[0.7，0.8)，[0.8，0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券，购物金额在[0.3，0.6)内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6，0.9]内的购物者发放200元的优惠券．现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X (单位：元)的分布列和均值．19．(本小题满分12分)在平面四边形ACBD (图①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C ′ABD ，且使C ′D ＝ 2.(1)求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)求二面角A -C ′D -B 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ln(x ＋1)，g (x )＝e x －x －1.曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处的切线相同．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ≥0时，g (x )≥kf (x )，求k 的取值范围．21.(本小题满分12分)已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到其中一条渐近线的距离为255. (1)求双曲线C 的方程；(2)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限．若AP →＝λPB →，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2，求△AOB 的面积的最值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋22ty ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．(1)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的值； (2)求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )<0;(2)若a >0，且对于任意的实数x 都有f (x )≤3，试求a 的取值范围．高考仿真模拟卷(十二)1．解析：选C.法一：依题意B ＝{x |x >1或x <－1}，图中阴影部分表示集合A ∩(∁U B )，因为U ＝{x |x ≤－1或x ≥0}，所以∁U B ＝{x |x ＝－1或0≤x ≤1}，又集合A ＝{x |0≤x ≤2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |0≤x ≤1}．法二：依题意A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x >1或x <－1}，图中阴影部分表示集合A ∩(∁U B )，因为0∈A ，0∉B ，故0∈A ∩(∁U B )，故排除A 、B ，而2∈A ，2∈B ，故2∉A ∩(∁U B )，故排除D.2．解析：选D.因为a ＋5i1－2i ＝a ＋5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a －2＋i 为纯虚数，所以a －2＝0，得a ＝2.3．解析：选C.全称命题：∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，綈p (x 0)，原命题中f (x )g (x )＝0⇔f (x )＝0或g (x )＝0，故其否定为∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)≠0且g (x 0)≠0.4．解析：选B.因为lg 10 000＝lg 104＝4，⎝⎛⎭⎫12－2＝4，所以lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝4＋14＝54. 5．解析：选D.由图象可知甲图象关于直线x ＝0.4对称，乙图象关于直线x ＝0.8对称， 所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A 正确，C 正确； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确； 因为乙图象的最大值为1.99， 即12πδ2＝1.99， 所以δ2≠1.99，故D 错误． 故选D.6．解析：选B.通过分析，本程序框图是当型循环结构．第1次循环，s ＝1＋1＝2，n ＝1＋1＝2，第2次循环，s ＝2＋2＝4，n ＝2＋1＝3，…，第2 016次循环，n ＝2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为n ≤2 016？.7．解析：选C.因为侧(左)视图中等边三角形的高为23，所以等边三角形的边长为4，所以三棱柱的所有棱长均为4，故三棱柱的表面积为(4＋4＋4)×4＋2×12×4×23＝48＋8 3.8．解析：选C.“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．故选C.9．解析：选C.a 1·a 2·a 3·…·a n ＝log 23·log 34·log 45·…·log (n ＋1)(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，k ∈Z ，令0＜n ＝2k －2≤2 017，则2＜2k ≤2 019，1＜k ≤10，所以“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝22（1－29）1－2－18＝211－22＝2026.故选C.10．解析：选A.由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象，因为平移后的函数是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z .又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，23π，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 11．解析：选C.作出不等式|x |≥|y |所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数f (x )具有性质S ，则函数f (x )的图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，易知f (x )＝e x －1的图象分布在区域①和③部分，f (x )＝ln(x ＋1)的图象分布在区域②和④部分，f (x )＝sin x 的图象分布在区域①和②部分，f (x )＝|x 2－1|的图象分布在区域①、②和③部分，故选C.12．解析：选A.法一：如图，设A ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2，P ⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0， 过P 作抛物线的准线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，根据抛物线的定义，有|PF |＝|PN |＝x P＋p2，又|PF |＝|PM |，所以P 为MN 的中点，于是点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 20p ＋p 2，y 0，又A ，B ，M ，F 在同一条直线上，所以k AB ＝k MF ，即y 1－y 2y 212p －y 222p ＝y 0－0⎝⎛⎭⎫y 20p ＋p 2－p 2， 所以2p y 1＋y 2＝py 0，所以y 0＝y 1＋y 22，因此M 是AB 的中点，故AMMB＝1.法二(特殊位置法)：事实上，当AB ⊥x 轴时，P 取O ，M 与F 为同一点，此时也符合题目的条件，且F 是AB 的中点，故|AM ||MB |＝1.13．解析： 由题知f (1)＝5，因为f ′(x )＝－2x 2＋3，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝1，所以切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.答案：x －y ＋4＝014．解析：法一：由sin 2B ＋12sin B －12＝0可得sin B ＝12或sin B ＝－1(舍去)，故B ＝30°或B ＝150°，又c ＝3>b ＝1，所以B ＝30°，根据正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1sin 30°＝3sin C ，解得C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，则sin 2A －sin 2C sin 2B ＝sin 290°－sin 260°sin 230°＝1；当C ＝120°时，A ＝30°，则sin 2A －sin 2C sin 2B ＝sin 230°－sin 2120°sin 230°＝14－3414＝－2.法二：由sin 2B ＋12sin B －12＝0可得sin B ＝12或sin B ＝－1(舍去)，故B ＝30°或B ＝150°，又c ＝3>b ＝1，所以B ＝30°，cos 30°＝a 2＋（3）2－123a ，即a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2或1.若a ＝2，c ＝3，b ＝1，则sin 2A －sin 2C sin 2B ＝a 2－c 2b 2＝4－（3）21＝1，若a ＝1，c ＝3，b＝1，则sin 2A －sin 2C sin 2B ＝a 2－c 2b 2＝1－（3）21＝－2.答案：－2或115．解析：令y ＝0得x ＝2k ＋1，令x ＝0得y ＝2k ＋2. 所以S k ＝12·2k ＋1·2k ＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋1－1k ＋2，所以S 1＋S 2＋…＋S 10 ＝2⎣⎡⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫111－112＝2×⎝⎛⎭⎫12－112＝56. 答案：5616．解析：因为f (x )＝13ax 3＋ax 2－3ax ＋1，所以f ′(x )＝ax 2＋2ax －3a ＝a (x 2＋2x －3)＝a (x＋3)(x －1)．当a ＝0时，f (x )＝1，显然不满足题意；当a ≠0时，f (－3)，f (1)分别为函数f (x )的两个极值，因为函数f (x )＝13ax 3＋ax 2－3ax ＋1的图象经过四个象限，所以函数f (x )的两个极值的符号相反，即f (－3)·f (1)<0，所以(－9a ＋9a ＋9a ＋1)·⎝⎛⎭⎫13a ＋a －3a ＋1<0，即(9a ＋1)(5a －3)>0，解得a >35或a <－19，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－19∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－19∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 17．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2sin x cos x＝sin 2x cosπ3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＋sin 2x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，先将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象．令t ＝12x ＋π6，则函数g (x )可转化为y ＝2sin t . 因为π3≤x ≤2π，所以π3≤t ≤7π6，所以当t ＝π2，即x ＝2π3时，y max ＝g ⎝⎛⎭⎫2π3＝2；当t ＝7π6，即x ＝2π时，y min ＝g (2π)＝－1.所以函数y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤π3，2π上的值域为[－1，2]． 18．解：利用分层抽样从1 000人中抽取10人，获得100元优惠券的购物者有：10×(1.5＋2.5＋3)×0.1＝7(人)，获得200元优惠券的购物者有：10×(2＋0.8＋0.2)×0.1＝3(人)．则此3人所获优惠券的总金额X 的可能取值有：300，400，500，600，且P (X ＝300)＝C 37C 03C 310＝35120＝724，P (X ＝400)＝C 27C 13C 310＝63120＝2140，P (X ＝500)＝C 17C 23C 310＝21120＝740，P (X ＝600)＝C 07C 33C 310＝1120.于是，X 的分布列为：X 300 400 500 600 P72421407401120均值为E (X )＝300×35120＋400×63120＋500×21120＋600×1120＝390.19．解：(1)证明：取AB 的中点O ，连接C ′O ，DO ， 在Rt △AC ′B ，Rt △ADB 中，AB ＝2，则C ′O ＝DO ＝1， 因为C ′D ＝2，所以C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD ， 又C ′O ⊥AB ，AB ∩OD ＝O ，AB ，OD ⊂平面ABD ， 所以C ′O ⊥平面ABD ，因为C ′O ⊂平面ABC ′，所以平面C ′AB ⊥平面DAB .(2)以O 为原点，AB ，OC ′所在的直线分别为y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (0，1，0)，C ′(0，0，1)，D ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以AC ′→＝(0，1，1)，BC ′→＝(0，－1，1)，C ′D →＝⎝⎛⎭⎫32，12，－1.设平面AC ′D 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥AC ′→，n 1⊥C ′D →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC ′→＝0，n 1·C ′D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋z 1＝0，32x 1＋12y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝－1，x 1＝3， 所以n 1＝(3，－1，1)．设平面BC ′D 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2⊥BC ′→，n 2⊥C ′D →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ′→＝0，n 2·C ′D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＋z 2＝0，32x 2＋12y 2－z 2＝0，令z 2＝1， 则y 2＝1，x 2＝33， 所以n 2＝⎝⎛⎭⎫33，1，1. 所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×33＋（－1）×1＋1×13＋1＋1× 13＋1＋1＝15×73＝10535，结合图形知，二面角A -C ′D -B 的余弦值为－10535. 20．解：(1)因为f ′(x )＝a －1x ＋1(x >－1)，g ′(x )＝e x －1，依题意，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝1， 所以f ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1， 当－1<x <0时，f ′(x )<0； 当x >0时，f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(－1，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)由(1)知，当x ＝0时，f (x )取得最小值0，所以f (x )≥0，即x ≥ln(x ＋1)，从而e x ≥x ＋1.设F (x )＝g (x )－kf (x )＝e x ＋k ln(x ＋1)－(k ＋1)x －1， 则F ′(x )＝e x ＋k x ＋1－(k ＋1)≥x ＋1＋kx ＋1－(k ＋1)，①当k ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋1x ＋1－2≥0(当且仅当x ＝0时等号成立)，此时F (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而F (x )≥F (0)＝0，即g (x )≥kf (x )． ②当k <1时，因为f (x )≥0， 所以f (x )≥kf (x )．由①知g (x )－f (x )≥0， 所以g (x )≥f (x )≥kf (x )， 故g (x )≥kf (x )．③当k >1时，令h (x )＝e x ＋k x ＋1－(k ＋1)，则h ′(x )＝e x －k （x ＋1）2，显然h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝1－k <0，h ′(k －1)＝ek －1－1>0，所以h ′(x )在(0，k －1)上存在唯一零点x 0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，所以h (x )在[0，x 0)上单调递减，从而h (x )<h (0)＝0，即F ′(x )<0，所以F (x )在[0，x 0)上单调递减，从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )<F (0)＝0，即g (x )<kf (x )，不合题意．综上，实数k 的取值范围为(－∞，1]．21．解：(1)由题意知，双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255，所以ab a 2＋b 2＝255，即ab c ＝255.由⎩⎨⎧ab c ＝255，c a ＝52，c 2＝a 2＋b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝5， 所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x ， 设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，m >0，n >0. 由AP →＝λPB →得 P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m －λn 1＋λ，2（m ＋λn ）1＋λ，将P 点坐标代入y 24－x 2＝1，化简得mn ＝（1＋λ）24λ.设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝2，所以tan θ＝12，sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin 2θ＝2mn ＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1. 记S (λ)＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2， 则S ′(λ)＝12⎝⎛⎭⎫1－1λ2. 令S ′(λ)＝0，得λ＝1.又S (1)＝2，S ⎝⎛⎭⎫13＝83，S (2)＝94， 所以当λ＝1时，△AOB 的面积取得最小值2； 当λ＝13时，△AOB 的面积取得最大值83.22．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，将左焦点F (－22，0)代入直线AB的参数方程，得m ＝－22.直线AB 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－22＋22t y ＝22t(t 为参数)，代入椭圆方程得t 2－2t －2＝0，所以|F A |·|FB |＝2.(2)设椭圆C 的内接矩形的顶点分别为(23cos α，2sin α)，(－23cos α，2sin α)，(23cos α，－2sin α)，(－23cos α，－2sin α)⎝⎛⎭⎫0<α<π2， 所以椭圆C 的内接矩形的周长为83cos α＋8sin α＝16sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3， 当α＋π3＝π2，即α＝π6时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值16.23．解：(1)当a ＝2时，原不等式为：|x ＋1|－|2x －2|<0， 即|x ＋1|<|2x －2|，化简得(3x －1)(x －3)>0， 解得x <13或x >3.故f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >3. (2)因为a >0，所以a2>0.所以原函数可以化为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x ＋1）＋（2x －a ），x ≤－1，（x ＋1）＋（2x －a ），－1<x ≤a 2，（x ＋1）－（2x －a ），x >a 2， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－a ，x ≤－1，3x ＋1－a ，－1<x ≤a 2，－x ＋1＋a ，x >a 2，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a2＋1. 所以a2＋1≤3，所以a ≤4.综上可得a 的取值范围为{a |0<a ≤4}．。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. 0，1，D. 0，2.已知复数的实部为3，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为A. B. C. 1 D. i3.已知双曲线C：，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为A. 2B.C. 1D.4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：，，，，，其中，根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若，，则这五层正六边形的周长总和为A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m5.已知直线m，n和平面，，，有如下四个命题：若，，则；若，，，则；若，，，则；若，，则．其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.已知正方体，O为底面ABCD的中心，M，N分别为棱，的中点，则异面直线与ON所成角的余弦值为A. B. C. D.7.函数，若要得到奇函数的图象，可以将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位8.某一项针对我国义务教育数学课程标准的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是学段内容主题第一学段年级第二阶段年级第三学段年级合计数与代数21284998图形与几何182587130统计与概率381122综合与实践34310合计4565150260A. 除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍B. 在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占，“综合与实践”内容最少，约占C. 第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D. “数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长9.定义在R上的偶函数满足：对任意的，，有，则A. B.C. D.10.给定两个长度为2的平面向量和，它们的夹角为如图所示，点C在以O为圆心2为半径的圆弧AB上运动，则的最小值为A. B. C. 0 D. 211.若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为A. B. C. D.12.设椭圆的左右焦点为，，焦距为2c，过点的直线与椭圆C交于点P，Q，若，且，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值是______．14.甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为______．15.数列是等差数列，前n项和为，，，且，则实数______．16.在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，为等边三角形，线段BC的中点为E，若，则此四棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A.Ⅰ求tan A的值；Ⅱ若为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950Ⅰ根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；Ⅱ如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望将频率当作慨率计算．参考附表：k参考公式：，其中．19.四棱锥中，ABCD为直角梯形，，，，，，E为PC中点，平面平面ABCD，F为AD上一点，平面BEF．Ⅰ求证：平面平面PAD；Ⅱ若PC与底面ABCD所成的角为求二面角的余弦值．20.已知点，B为抛物线上任意一点，且B为AC的中点，设动点C的轨迹为曲线E．Ⅰ求曲线E的方程；Ⅱ关于的对称点为D，是否存在斜率为的直线1交曲线E于M，N两点，使得为以MN为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由．21.已知函数，．Ⅰ讨论函数在上的单调性；Ⅱ判断当时．与的图象公切线的条数，并说明理由．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数．Ⅰ求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；Ⅱ设点P为曲线C上的动点点M和点N为直线1上的点，且，求面积的取值范围．23.已知函数，，．Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合0，1，，0，，故选：D．先求出集合A，再利用集合交集的运算即可算出结果．本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：A解析：解：因为复数；；的虚部为：．故选：A．利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：由题得：其焦点坐标为，渐近线方程为，即，所以焦点到其渐近线的距离．故选：B．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．4.答案：C解析：解：根据，其中，可知是首项为8，公差为的等差数列．、所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和的6倍．所以故选：C．根据，其中，可知是首项为8，公差为的等差数列，所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和，问题可解．本题考查合情推理的有关知识与方法，同时考查学生的逻辑推理能力，以及数学建模、数学计算等核心素养．属于中档题．5.答案：C解析：解：已知直线m，n和平面，，，有如下四个命题：若，，则在内，作，所以，由于，则，故正确；若，，所以，由于，则；故正确．若，，所以，由于，则；故正确．若，，则也可能内，故错误．故选：C．直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果．本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及空间思维能力，属于基础题型．6.答案：C解析：解：据题意，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：0，，1，，2，，0，，2，，，设异面直线与ON所成角为，则．故选：C．建立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可．本题考查空间角的求法，一般的，如果给的条件便于建系，求角的问题利用坐标法比较简单．同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能，属于中档题．7.答案：A解析：解：，将函数向左平移的单位，得到，若是奇函数，则，即，，当时，，即可以将函数的图象向左平移个单位，即可，故选：A．利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的平移性质求出平移后的解析式，利用三角函数是奇函数建立条件关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的奇偶性是解决本题的关键，难度不大．8.答案：D解析：解：对于A，结合表格可知，除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍，故A对．对于B，由表格可知：“图形与几何”内容最多，占，“综合与实践”内容最少，占，故B对．对于C，分析表格可知，第一、二学段“数与代数”内容分别是21，28，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，最多．故C对．对于D，图形与几何的第一学段到第二学段百分比是减少的，故D错．故选：D．从等高条形图看比例大体变化趋势，利用表格计算条目数的相关数据，逐项进行判断即可．本题考查利用图表的识图问题，同时根据图表数据进行合理的分析和推理，属于中档题．9.答案：D解析：解：根据题意，对任意的，，有，则在上为减函数，又由为偶函数，则，又由，则有；故选：D．根据题意，由单调性的定义分析可得在上为减函数，结合偶函数的性质可得，由指数的性质可得，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及指数、对数的大小比较，属于基础题．10.答案：B解析：解：建立如图所示的坐标系，则，即，设，；则．；；；当即时，取最小值为；故选：B．根据题意，建立坐标系，求出A，B点的坐标，并设，则向量，求出向量的数量积，结合角的范围即可求解．本题是向量的坐标表示以及数量积的应用，结合图形，利用三角函数的性质，容易求出结果．11.答案：A解析：解：数列满足，且，所以：，，，所以将上面个式子相加得到：，整理得：．所以，，，，易知：，若不等式成立的有且只有三项，则：的取值范围为．故选：A．首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用不等式的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，参数的求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.答案：C解析：解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，如图所示，，则．，，则，在等腰中，可得．在中，由余弦定理可得，由，得，整理得：，，．故选：C．由题意画出图形，由，，利用椭圆的定义可得：，进一步求出，，在等腰中，求得得在中，由余弦定理可得，利用，化简求得，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查三角形中余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：8解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得，由得：，显然直线过A时，z最大，z的最大值是，故答案为：8．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14.答案：解析：解：甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则他们都没有投中的概率为，则至少一人命中的概率为，故答案为：．由题意利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求得结果．本题主要考查相互独立事件的概率，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．15.答案：解析：解：设等差数列的公差为d，，，，解得．，代入，，解得实数．故答案为：．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：取AD的中点F，连接EF，PF，因为底面ABCD为正方形，，为等边三角形，所以，，又，所以，设正方形ABCD的对角线的交点M，过P做底面的投影N，则由题意可得N在EF上，由射影定理可得，而，所以，，，过M做底面的垂线MO，则四棱锥的外接球的球心在直线MO上，设O为外接球的球心，设球的半径为R，则，过O做于H，则四边形OMNH为矩形，所以，，若球心在四棱锥的内部则可得：在中，，即，在中，，即，由可得，不符合，故舍去．若球心在四棱锥的外部则可得：在中，，即，在中，，即，由可得，所以四棱锥的外接球的表面积．综上所述四棱锥的外接球的表面积．故答案为：．取AD的中点F，连接EF，PF，由题意可得三角形PEF为直角三角形，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P在底面的投影的距离，设正方形ABCD的中心为M，过M做MO垂直于底面，则四棱锥的外接球的球心在直线MO上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查四棱锥的外接球的半径与四棱锥的棱长之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．17.答案：解：A.由正弦定理可得：，可得：，，，，则．由，，，，由均值不等式可得：，当且仅当时取等号．解得．的最小值为9．解析：A.由正弦定理可得：，可得：，再利用余弦定理即可得出．由，可得，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了三角函数的性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意知，，有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“．Ⅱ在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为，成绩够不优秀的概率为，而随机变量的可能取值为0，1，2，3，，，，．的分布列为0 1 2 3P，．解析：Ⅰ根据的公式计算出观测值，并与附表中的参考值进行对比即可作出判断；Ⅱ在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为，成绩够不优秀的概率为，而随机变量的可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，最后根据二项分布的性质求数学期望即可．本题考查独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分别列和数学期望，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．19.答案：Ⅰ证明：连接AC交BE与G，连接EG，平面BEF，平面PAC，平面平面，，又E为PC的中点，为AC的中点，则≌，得．为AD的中点，，且，四边形DCBF为平行四边形，，，又平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，又平面BEF，平面平面PAD；Ⅱ解：连接PF，，F为AD的中点，，又平面PAD，平面平面ABCD，平面平面，底面ABCD，又，以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设0，，1，，取平面ABCD的法向量，，1，，，即，解得．设平面EBF的法向量为，由，令，得．设二面角的平面角为，则，又为钝角，．即二面角的余弦值为．解析：Ⅰ连接AC交BE与G，连接EG，由已知结合线面平行的性质可得，再由E为PC 的中点，得G为AC的中点，则≌，得到，即F为AD的中点，可得四边形DCBF为平行四边形，再由，得，可得平面PAD，进一步得到平面平面PAD；Ⅱ连接PF，证明底面ABCD，又，以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设0，，由PC与底面ABCD所成的角为求解t，然后分别求出平面ABF与EBF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.答案：解：Ⅰ设，，B是AC的中点，则，因为B为抛物线上，所以，即，所以，故曲线E的方程为：；Ⅱ由题意得，设直线l：，设，，将l的方程代入得，所以，，，所以M，N的中点，因为，所以，所以符合，所以直线l存在，所以化为，，，所以：，所以．解析：Ⅰ设C的坐标，可得AC的中点B的坐标，由B在抛物线上可得E的方程；Ⅱ设直线l的方程，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得MN的中点P的坐标，由为以MN为底边的等腰三角形可得，所以可得，求出直线l的方程，及弦长及的值，代入面积公式求出面积本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合，及面积公式，属于中难题．21.答案：解：Ⅰ由题意可知：，，则，当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；当时，由得：，由得：，函数在上单调递减，在上单调递增，综上所求：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；Ⅱ函数在点处的切线方程为，即，函数在点处的切线方程为，即，若与的图象有公切线，则，由得代入整理得：，由题意只须判断关于b的方程在上解的个数，令，，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，，，，，，且图象在上连续不断，方程在及上各有一个根，即与的图象有两条公切线．解析：Ⅰ求出导函数，对m的值分情况讨论，分别利用导函数的正负，即可得到函数的单调性；Ⅱ先利用导数的几何意义分别求出函数在点处的切线方程和函数在点处的切线方程，判断与的图象公切线的条数，只须判断关于b的方程在上解的个数，令，利用导数得到方程在及上各有一个根，即与的图象有两条公切线．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，是中档题．22.答案：解：Ⅰ由，得，，即，曲线C的参数方程为为参数．由为参数，消去参数t，可得．直线l的普通方程为；Ⅱ设到直线l的距离为d，，而．．面积的取值范围为解析：Ⅰ由，得，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的普通方程，结合平方关系可得曲线C的参数方程；直接把直线l的参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程；Ⅱ设到直线l的距离为d，写出三角形面积公式，再由点到直线的距离公式求得d，利用三角函数求最值可得面积的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程、利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即又，即令，若，则解集为，不合题意；若，则有，即又解集为，，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。
2020届四省名校高三第二次大联考数学(理)试题(PDF版,含答案解析)
2020届四省名校高三第二次大联考理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{})2ln(+==x y x A ，{}13<=x x B ，则=B A A.{}02<<-x x B.{}02<≤-x x C.{}12<<-x x D.{}12<≤-x x 2.对于平面内两个非零向量a 和b ，0:>⋅b a p ，a q :和b 的夹角为锐角，则p 是q 的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入x n ,的值分别为2,4，则输出v 的值为A.24B.25C.49D.504.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1032=+a a ，305=S ，则数列{}n a 的公差为A.1B.2C.3D.45.42)2(xx -展开式中含5x 的项的系数为A.8B.8-C.4D.4-6.正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）111C B A ABC -中，AB AA =1，M 为棱1CC 的中点，则异面直线C A 1与BM 所成的角为A.6π B.4πC.3π D.2π7.2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去CB A ,,三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为A.121 B.81C.61D.418.已知函数)sin(31)cos(33)(θθ+-+=x x x f )2|(|πθ<是偶函数，则θ的值为A.3π B.3π-C.6π D.6π-9.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 3=，点M 在AD 边上，AM AD 3=，若AC AB CM μλ+=，则=+μλA.32- B.32C.67 D.67-10.抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点F 是双曲线12222=-x y 的一个焦点，过F 且倾斜角为︒60的直线l 交C 于B A ,，则=||AB A.2334+ B.234+C.316D.1611.下列选项中，函数1sin 2)(2+-=x x x x f 的部分图象可能是A. B.C. D.12.设点)0,1(A ，)0,4(B ，动点P 满足||||2PB PA =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：4)3(3(22=-++y x ，1C 与2C 交于点N M ,，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则=⋅MQ MN A.4 B.32C.2 D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数|43|1i ii z +-+=，则=z _______.14.在正项等比数列{}n a 中，1011010=a ，则=++++2019321lg lg lg lg a a a a _______.15.如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，BC SB ⊥，2==BC AB ，3==PC PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为_______.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+--=1,21ln 1,272)(2x x x x x x f 若关于x 的方程kx x f =)(恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。
吉林省2020届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
理 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B 等于（ ）A. {}15x x -<< B. {}15x x -≤< C. {}26x x -<< D. {}25x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得AB .【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目. 2.复数21iz i=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A. 3 B. 22C. 2 2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解. 【详解】()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+， 所以1z i =--，2z =， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.3.已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】先求出(1,4)a c n -=-，再由()a c b -⊥，利用向量数量积等于0，从而求得n . 【详解】由题可知(1,4)a c n -=-，因为()a c b -⊥，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 4.设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A. 724-B. 524-C. 524D. 724【答案】D 【解析】 【分析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈，4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯，故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目. 5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A.193B. 4C.254D.132【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M 的值，当3x =，1943M =>，退出循环，输出结果.【详解】程序运行过程如下：3x =，0M =；23x =，23M =；12x =-，16M =；3x =，196M =；23x =，236M =； 12x =-，103M =；3x =，1943M =>，退出循环，输出结果为193， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.6.连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ）B.2【答案】D 【解析】 【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得12S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率. 【详解】双曲线22221x y a b-=与22221y x b a -=互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±，四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=，所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，c =，离心率ce a== 故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目. 7.在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【解析】 【分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033n na =-+，解不等式求得结果. 【详解】由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6，使得301xx -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2， 故使得301x x -≥-成立的概率为2163d ==， 又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333n na n ∴=-+-⨯=-+， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目. 8.已知函数()()614,7,7x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1(,0)2-B. 1(2,)2- C. (1,1)- D. 1(,1)2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.【详解】由于()f x 为R 上的减函数，则有()1001714a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<，所以当a最小时，12a=，函数()4y f x kx=--恰有两个零点等价于方程()4f x kx=+有两个实根，等价于函数()y f x=与4y kx=+的图像有两个交点．画出函数()f x的简图如下，而函数4y kx=+恒过定点()0,4，数形结合可得k的取值范围为102k-<<．故选：A. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.53πB.43πC.223π+ D.243π+【答案】A【解析】【分析】观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积．【详解】设半圆柱体体积为1V ，半球体体积为2V ，由题得几何体体积为231214*********V V V πππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选A ．【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题．10.函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A.12B. 1C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值.【详解】由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T =，所以263T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数，所以m 的最小值为1， 故选：B.【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.11.等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A.33B.22C.32D.33【答案】A 【解析】 【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ， 过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角， 所以2sin 2AOADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，sinCE CAE AE ∠===， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目. 12.已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ）A. 2(,5)3B. 2(,3)(3,5)3⋃C. 18(,6)7D.18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.【详解】()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a=-． 其单调性及极值情况如下：若存在0111,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()21221112aaf f⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a-<-<-（如图2）．（图1）（图2）于是可得()18,44,67a⎛⎫∈⋃⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.(1)nx展开式中的系数的和大于8而小于32，则n=______．【答案】4【解析】【分析】由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果.详解】观察式子可知018232n nn n nC C C<++⋅⋅⋅=<，4n∴=，故答案为：4.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目.14.已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=．(,1,2,i k k ≤=3,,1)n -，若{}n a 是等比数列，数列{}n a 的通项公式n a =_______． 【答案】12n - 【解析】 【分析】利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果. 【详解】因为211a a a -=，所以212a a =， 因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2．又1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（，所以当i k =时，有12k k a a +=．这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以12n n a ，故答案为：12n -.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.15.实数x ，y 满足121y y x x y m≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则yx 的最小值为_______． 【答案】17【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z x y =-的最小值为2-，确定出m 的值，进而确定出C 点坐标，结合目标函数yx几何意义，从而求得结果. 【详解】先做121y y x ≥⎧⎨≤-⎩的区域如图可知在三角形ABC 区域内，由z x y =-得y x z =-可知，直线的截距最大时，z 取得最小值， 此时直线为()22y x x =--=+， 作出直线2y x =+，交21y x =-于A 点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x y m +=也过A 点， 由212y x y x =-⎧⎨=+⎩，得35x y =⎧⎨=⎩，代入x y m +=，得358m =+=，所以点C 的坐标为()7,1．yx等价于点(,)x y 与原点连线的斜率， 所以当点为点C 时，y x 取得最小值，最小值为17，故答案为：17.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目. 16.已知M 是抛物线22y x =上一点，N 是圆22(2)1x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线C 上任意一点，则MN 的最小值为________．31 【解析】 【分析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到MN 的最小值.【详解】假设圆心()0,2关于直线0x y -=对称的点为()00,x y ，则有0000212022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，解方程组可得0020x y =⎧⎨=⎩，所以曲线C 的方程为()2221x y -+=，圆心为()2,0C ，设(),(0)M x y x >，则()2222MC x y =-+，又22y x =，所以()()222222=2413MC x y x x x =-+-+=-+，2min3MC∴=，即min MC =，所以min 1MN ，1.【点睛】该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目.三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且sin sin sin sin a A c Cb B C-=-．（1）求角A 的值； （2）若a =B θ=，ABC 周长为y ，求()y f θ=的最大值．【答案】（1）3π；（2）max y = 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合题中条件，可以得到222b c a bc +=+，之后应用余弦定理即可求得3A π=；（2）利用正弦定理求得2sin b θ=，求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可. 【详解】（1）由已知sin sin sin sin a A c Cb B C-=-可得sin sin sin sin b B b c a A c C -=-，结合正弦定理可得222b c a bc +=+，∴2221cos 22b c a A bc +-==，又()0,A π∈，∴3A π=．（2）由a =3A π=及正弦定理得2sin sin sin b c a B C A===，∴2sin 2sin b B θ==，222sin 2sin 2sin 33c C B ππθ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故232sin 2sin 3y a b c πθθ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，即23sin 36y πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由203πθ<<，得5666πππθ<+<，∴当62ππθ+=，即3πθ=时，max 33y =．【点睛】该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理，属于简单题目.18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC 与1B BC 是全等的等边三角形.（1）求证：1BC AB ⊥； （2）若11cos 4B BA ∠=，求二面角1B B C A --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（25． 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点O ，则1B O BC ⊥，由ABC 是等边三角形，得AO BC ⊥，从而得到BC ⊥平面1B AO ，由此能证明1BC AB ⊥（2）以OA ，OB ，1OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.【详解】（1）取BC 的中点O ，连接AO ，1B O ，由于ABC 与1B BC 是等边三角形，所以有AO BC ⊥，1B O BC ⊥， 且1AOB O O =，所以BC ⊥平面1B AO ，1AB ⊂平面1BAO ，所以1BC AB ⊥． （2）设AB a ，1ABC B BC 与是全等的等边三角形， 所以11BB AB BC AC B C a =====， 又11cos 4B BA ∠=，由余弦定理可得2222113242AB a a a a a =+-⋅⨯=，在1O AB 中，有22211AB AO B O =+，所以以OA ，OB ，1OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,02A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02aB ⎛⎫⎪⎝⎭，130,0,2B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面1ABB 的一个法向量为(),,n x y z =，则1310020330ax ay n AB n AB ax az ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎪⎩，令1x =，则()1,3,1n =，又平面1BCB 的一个法向量为()1,0,0m =， 所以二面角1B B C A --的余弦值为1130105cos 51n n mm θ⋅⨯+⨯+⨯===⨯⋅, 即二面角1B B C A --的余弦值为5．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.19.移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：（1）将上22⨯列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望.（参考公式：()()()()()22n ad bcka b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++）【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望为125.【解析】【分析】（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）首先确定X的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望.【详解】（1）根据题意及22⨯列联表可得完整的22⨯列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付40 10 50不使用移动支付10 40 50合计50 50 100根据公式可得()221004040101036 6.63550505050k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人， 所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为X ， 则X 的可能为1，2，3，且()128231081120C C P X C ===，()218231056210C C P X C ===，()38310563120C P X C ===， 其分布列为85656121231201201205EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】独立性检验依据2K 的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目.20.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线20x y +-=相切． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，已知Q 点坐标为5(,0)4，求QA QB⋅的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）716-．【解析】 【分析】（1c a =，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到a =1b =，进而求得椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果.【详解】（1）由离心率为2，可得2c e a ==，2c a ∴=，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆的方程为222x y a +=，因与直线20x y +-=a =，即a =1c =，1b ∴=， 故而椭圆方程2212x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，1,2A ⎛ ⎝⎭，1,2B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，由于55711,4416⎛⎛-⋅-=- ⎝⎭⎝⎭；②当直线l 的斜率为0时，)A ，()B ，则557,0,04416⎫⎛⎫⋅=-⎪ ⎪⎭⎝⎭； ③当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由1x ty =+及2212x y +=，得()222210t y ty ++-=，有>0∆，∴12222ty y t +=-+，12212y y t =-+， 111x ty =+，221x ty =+，∴()()2112212121212551111,,14444416x y x y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-=--+=+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22222211212217124216161622t t t t t t t t --+=-++⋅+=+=-+++，综上所述：716QA QB ⋅=-． 【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目. 21.已知函数2()22ln f x bx ax x =-+．（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线为24y x =+，试求实数a ，b 的值； （2）当1b =时，若()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，52a ≥，若不等式12()f x mx ≥恒成立，试求实数m 的取值范围． 【答案】（1）6ab ==-；（2）9ln 28m ≤--． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得(1),'(1)f f 的值，根据切点在切线上以及斜率等于'(1)f ，构造方程组求得,a b 的值；（2）函数()f x 有两个极值点，等价于方程210x ax -+=的两个正根1x ，2x ，不等式()12f x mx ≥恒成立，等价于()12f x m x ≤恒成立，12()f x x 3111122ln x x x x =--+，令()3122ln ,(0)2h x x x x x x =--+<≤，求出导数，判断单调性，即可得到()h x 的范围，即m的范围.【详解】（1）由题可知()121462f b a =⨯+==-，()222f x bx a x-'=+，()12222f b a ∴=-+='，联立可得6a b ==-．（2）当1b =时，()222ln f x x ax x =-+，()()221222x ax f x x a x x-+∴=-+='，()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，1x ∴，2x 是方程210x ax -+=的两个正根，1252x x a ∴+=≥，121x x ⋅=， 不等式()12f x mx ≥恒成立，即()12f x m x ≤恒成立，()232321111111111211122()22ln 22ln 22ln f x x ax x x ax x x x x x x x x x x -+∴==-+=-++3111122ln x x x x =--+，由1252x x a ∴+=≥，121x x ⋅=，得11152x x +≥，1102x ∴<≤， 令()3122ln ,(0)2h x x x x x x =--+<≤，()232ln 0h x x x =-+<'， ()h x ∴在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，()19ln228h x h ⎛⎫∴≥=-- ⎪⎝⎭，故9ln28m ≤--．【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数的极值点的个数，构造新函数，应用导数研究函数的值域得到参数的取值范围，属于较难题目. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.过点()1,0P -作倾斜角为α的直线与曲线:x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于M 、N 两点．（1）写出曲线C 的一般方程； （2）求PM PN ⋅的最小值．【答案】（1）22132x y +=；（2）43． 【解析】 【分析】（1）将曲线的参数方程消参得到普通方程；（2）写出直线MN 的参数方程，将参数方程代入曲线方程22132x y +=，并将其化为一个关于t的一元二次方程，根据12PM PN t t ⋅=⋅，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出PM PN ⋅的最小值.【详解】（1）由曲线C的参数方程x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ是参数）， 可得2222cos sin 132x y θθ+=+=，即曲线C 的一般方程为22132x y +=． （2）直线MN 的参数方程为1x t cos y t sin αα=-+⋅⎧⎨=⋅⎩（t 为参数）， 将直线MN 的参数方程代入曲线22132x y +=， 得()()2221cos 3sin 6t t αα-++=，整理得()223cos 4cos 40t t αα-⋅-⋅-=， 设M ，N 对应的对数分别为1t ，2t ，则12243cos PM PN t t α⋅=⋅=-， 当cos 0α=时，PM PN ⋅取得最小值为43． 【点睛】该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目.23.已知函数()1621f x x =--．（1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若函数()y f x a =-存在零点，求a 的求值范围．【答案】（1）17{|3x x ≤-或5}x ；（2）16a ≤． 【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果.【详解】（1）有题不等式可化为22116x x ++-≥， 当2x -≤时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173x ≤-；当122x -<≤时，原不等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥， 所以不等式的解集为17|53x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． （2）因为()1172,21152,2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩， 所以若函数()y f x a =-存在零点则可转化为函数()y f x =与y a =的图像存在交点，函数()f x 在1(,]2-∞上单调增，在1[,)2+∞上单调递减，且1()162f =.数形结合可知16a ≤．【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目.。
四省八校2020届高三上学期第二次教学质量检测考试试题 数学(理)【含答案】
四省八校2020届高三上学期第二次教学质量检测考试试题数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为A.{x|－2≤x<4}B.{x|x≤2或x≥4}C.{x|－2≤x≤－1}D.{x|－1≤x≤2}2.已知(1＋i)(1－ai)>0(i为虚数单位)，则实数a等于A.－1B.0C.1D.23.平面内到两定点A，B的距离之比等于常数λ(λ>0且λ≠1)的动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。
已知A(0，0)，B(3，0)，|PA|＝12|PB|，则点P的轨迹围成的平面图形的面积为A.2πB.4πC.94πD.32π4.a，b是单位向量，“(a＋b)2<2”是“a，b的夹角为钝角”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S11＝55，则a6＝A.6B.5C.4D.36.已知131311log,5,644ba c===，则A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a7.已知4sin()45πα+=，则sin2α＝A.－725B.－15C.15D.7258.已知a＝(1，x)，b＝(y，1)(x>0，y>0)。
若a//b，则xyx y+的最大值为A.12 B.1 C.2 D.2 9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为A.50π2π C.100π210.某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于2019年11月20日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》、《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有A.120种B.156种C.188种D.240种1l.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为52，A ，B 是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于A ，B 的动点，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1∈[1，2]，则k 2的取值范围为A.[18，14]B.[14，12]C.[－14，－18]D.[－12，－14] 12.已知11ln x x e x e a x-->+对任意x ∈(0，1)恒成立，则实数a 的取值范围为 A.(0，e ＋1) B.(0，e ＋1] C.(－∞，e ＋1) D.(－∞，e ＋1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高三数学第二次阶段性质量检测(12月)试题(含解析)
2020届高三数学第二次阶段性质量检测（12月）试题（含解析）一、填空题1.设集合，，若，则______ .【答案】4【解析】【分析】由，所以，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，，因为，所以，故.故答案为.【点睛】本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合交集的概念，得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于容易题.2.已知复数，则复数的虚部为________.【答案】【解析】分析】先由复数的除法运算，化简，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以其共轭复数为，因此其虚部为：故答案为：【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，熟记共轭复数的概念，以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型.3.函数的定义域是________.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】由题意，可得：，即，解得：.即函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.4.设，则“”是“直线与直线垂直”的______条件.【答案】充分不必要条件【解析】【分析】先由两直线垂直求出，再根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】若直线与直线垂直，则，解得：；所以由“”能推出“直线与直线垂直”，由“直线与直线垂直”不能推出“”；即“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.5.在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为__________．【答案】4【解析】试题分析：因为，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，即1+=3，所以，=2，焦点到准线的距离为p=4.考点：抛物线的定义，抛物线的几何性质．点评：简单题，对于抛物线上的点（x，y），其到焦点的距离为x+.6.设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为_______．【答案】3【解析】【分析】首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果.【详解】函数，可得，所以切线的斜率为，解得，故答案是3.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，根据题意，得到参数所满足的等量关系，求得结果，属于简单题目.7.已知实数x,y满足条件，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数为，则目标函数表示直线在轴截距，结合图像，即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下，目标函数可化为，因此目标函数表示直线在轴截距，由图像可得：当直线过点时，在轴截距最大，即取得最大值.由得，即，因此.故答案为：【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.8.在平面直角坐标系中，已知焦距为的双曲线的右准线与它的两条渐近线分别相交于点，其焦点为，则四边形的面积的最大值为____________.【答案】【解析】【分析】先由焦距为，得，由双曲线方程，得到渐近线方程为，右准线方程为，不妨设为右准线与渐近线的交点，根据方程求出点坐标，同理，得到点坐标，再由题意得到四边形的面积为，根据三角形面积公式，以及基本不等式，即可求出结果.【详解】因为双曲线焦距为，即，，又双曲线的渐近线方程为，右准线方程为：，不妨设为右准线与渐近线的交点，由解得：，同理因此四边形的面积为，当且仅当时，等号成立.故答案为：【点睛】本题主要考查求双曲线中四边形面积的最值问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.9.在直角三角形中，，，若，则．【答案】．【解析】试题分析：因为，所以应填．考点：1、平面向量的数量积的应用；10.若点在直线上，则的值为________.【答案】【解析】【分析】先由题意，得到，即，再由，根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，通过弦化切，即可求出结果.【详解】因为点在直线上，所以，因此，所以故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换求值的问题，熟记同角三角函数基本关系，以及二倍角公式，两角和的余弦公式等即可，属于常考题型.11.已知均为等比数列，其前n项和分别为，若对任意的，总有，则________.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比分别为，根据题意，得到，求解，得，进而可得出结果.【详解】设等比数列的公比分别为，则，，因为分别为的前n项和，且，所以，即，即，解得：，所以故答案为：【点睛】本题主考查等比数列的基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.12.已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是________.【答案】或.【解析】【分析】先用导数的方法，判断出函数在的单调性，求出极值，在根据指数单调性判断时，函数的单调性；作出函数大致图像；将函数的零点个数问题，转化为与或的交点个数来处理，结合函数图像，即可得出结果.【详解】因为，当时，，则，由得；由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；此时有极大值；当时，显然单调递减；作出函数的大致图像如下：由得或，因为函数有5个零点，所以与或共有5个交点，由图像可得：只需或，即或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数，熟记导数的方法判断函数单调性，利用转化与化归思想，以及数形结合的方法判断函数零点个数即可，属于常考题型.13.在平面直角坐标系中，已知点，、为圆上的两动点，且，若圆上存在点，使得，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】取中点为，连接，得到，由得到，再由、为圆上的两动点，且，得到，设，求出点的轨迹，再由点与圆位置关系，求出的取值范围，即可求出结果.【详解】取中点为，连接，则，又圆上存在点，使得，所以，因此，即；因为、为圆上的两动点，且，所以，设，则，即即为动点的轨迹；所以表示圆上的点与定点之间的距离，因此，即.即.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量与圆的方程的综合，熟记平面向量基本定理，点与圆位置关系，会求圆上的点到定点的距离即可，属于常考题型.14.已知的面积为,且满足，则边的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】将正切化成正余弦，化简得出b，c和sinA之间的关系，结合面积公式即可得出b2关于A的函数式，再根据A的范围计算b的最小值，即可得AC的最小值．详解】∵，∴，∴4cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB，∴3cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB﹣cosAsinB，即3sin（A+B）＝sinB（sinA﹣cosA），即3sinC＝sinB（sinA﹣cosA），∴3c＝b（sinA﹣cosA），即c，∵△ABC的面积S＝bcsinA＝＝（sin2A﹣cosAsinA）＝（1﹣sin2A﹣cos2A）＝，∴b2＝，∵3c＝b（sinA﹣cosA）＞0，且0＜A＜π，∴，∴当即A＝时，b2取得最小值＝12，∴b的最小值为，即AC最小值为．故答案为．【点睛】本题考查了同角三角函数关系、正弦定理、面积公式、两角和的正弦公式、以及正弦型三角函数的性质，属于中档题.二、解答题15.已知函数f（x）=sin2x-.（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值，（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象.当x时，求g（x）的值域.【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）.【解析】【详解】（1）,因此的最小正周期为，最小值为.（2）由条件可知：.当时，有，从而的值域为，那么的值域为.故在区间上的值域是.考点：1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换.16.已知△中，，，. 求：（1）角的大小；（2）△ABC中最小边的边长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由内角和定理，以及诱导公式化简tanC，将tanA与tanB代入值代入求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）由tanA与tanB的大小判断出BC为最小边，由tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，利用正弦定理求出BC的长．【详解】解：(1)= –= –，所以，(2)因为，所以最小角为又因为，所以，，又，所以．【点睛】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17.从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度(单位：米)与生长年限（单位：年，tN*）满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中e为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0.（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）（2）在第几年内，该树长高最快？【答案】（1）8年（2）第四年内或第五年内【解析】【分析】（1）解不等式f（t）>5，即可（2）利用作差法求出f（t）﹣f（t﹣1）的表达式，判断函数的单调性和最值即可．【详解】解：(1) 令5，解得，即需要经过8年，该树的高度才能超过5米；(2) 当N*时，设，则，.令，则.上式当且仅当时，取得最大值此时，，即，解得.由于要求为正整数，故树木长高最快的可能值为4或5，又，，所以，该树在第四年内或第五年内长高最快．【点睛】本题主要考查函数的应用问题，利用作差法判断函数的最值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．18.已知椭圆：，过点的直线：与椭圆交于M、N两点（M点在N点的上方），与轴交于点E. （1）当且时，求点M、N的坐标；（2）当时，设，，求证：为定值，并求出该值；（3）当时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切圆面积等于，求直线的方程.【答案】（1）M(0，1)，N (，)；（2）为定值3（3）【解析】【分析】（1）代值联立方程组．解得即可求出，（2）联立方程，利用韦达定理，以及向量的知识可得从而，化简整理即可证明，（3）假设存在直线l：y＝k（x+1）满足题意，则△MNF的内切圆的半径为，根据韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，即可求出k的值【详解】解：(1) 当m=k=1时，联立，解之得：或，即M(0，1)，N (，)；(2) 当m=2时联立，消去y得：，设M(x1，y1)，N (x2，y2)，则，由，，且点横坐标为0，得、. 从而==，为定值3；(3) 当m=3时，椭圆：，假设存在直线满足题意，则△的内切圆的半径为，又、为椭圆的焦点，故△MNF的周长为8，从而，消去，得，设、，则.故，即.由(2)，得，化简，得，解得，故存在直线满足题意．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计算公式、考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.设函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在正数，使得当时，，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：函数求导得，讨论，由导数的正负求单调区间即可；（2）若，分析函数可知，即，设，，讨论和两种情况，知成立，时不成立，时，存在，使得当时，，可化为，即，设，分析和求解即可.详解：（1）．当时，，上单调递增．当时，若，则，若，则；所以在单调递增，在上单调递减．（2）若，内单调递增，当时，，所以，即.设，.若，时，，在单调递增.所以当时，，故存在正数，使得当时，.若，当时，，在单调递减，因为，所以.故不存在正数，使得当时，.若，在单调递减，因为，所以存在，使得当时，，可化为，即.设，.若，则时，，在单调递增，又，所以时，.故不存在正数，使得当时，.当时，当时，，在单调递减，又，所以.故存在，使得当时，.综上，实数的取值范围为．点睛：点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .20.数列满足对任意的恒成立，为其前n 项的和，且，.（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中.①证明：数列为等比数列；②求集合【答案】（1）；（2）①过程见详解；②.【解析】【分析】（1）先由题意，得到数列是等差数列，设公差为，根据题中条件，求出首项与公差，进而可求出通项公式；（2）①根据（1）的结果，将化为，得到（），两式作差整理，得到，进而可求出，判断出结果；②先由得到，即，判断出，得到，设，得到，分别研究对应情况，再由导数的方法证明当，时，，即可得出结果.【详解】（1）因为数列满足对任意的恒成立，所以数列是等差数列，设公差为，因为，，所以，解得：，因此；（2）①因为数列满足，，所以（），两式作差可得：（），又也满足上式，所以，记数列的前项和为，则，当时，，两式作差可得：，所以，即，所以，因此，即数列为等比数列；②由得，即，记，由①得，所以，因此（当且仅当时等号成立）.由得，所以.设，由得，即；当时，，不符合题意；当时，，此时符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意，下面证明当，时，，不妨设，则在上恒成立，所以在单调递增；所以，所以，当，时，恒成立，不符合题意；综上，集合.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式，以及求和公式，会判断数列的增减性等即可，属于常考题型.2020届高三数学第二次阶段性质量检测（12月）试题（含解析）一、填空题1.设集合，，若，则______ .【答案】4【解析】【分析】由，所以，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，，因为，所以，故.故答案为.【点睛】本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合交集的概念，得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于容易题.2.已知复数，则复数的虚部为________.【答案】【解析】分析】先由复数的除法运算，化简，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以其共轭复数为，因此其虚部为：故答案为：【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，熟记共轭复数的概念，以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型.3.函数的定义域是________.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】由题意，可得：，即，解得：.即函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.4.设，则“”是“直线与直线垂直”的______条件.【答案】充分不必要条件【解析】【分析】先由两直线垂直求出，再根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】若直线与直线垂直，则，解得：；所以由“”能推出“直线与直线垂直”，由“直线与直线垂直”不能推出“”；即“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.5.在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为__________．【答案】4【解析】试题分析：因为，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，即1+=3，所以，=2，焦点到准线的距离为p=4.考点：抛物线的定义，抛物线的几何性质．点评：简单题，对于抛物线上的点（x，y），其到焦点的距离为x+.6.设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为_______．【答案】3【解析】【分析】首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果.【详解】函数，可得，所以切线的斜率为，解得，故答案是3.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，根据题意，得到参数所满足的等量关系，求得结果，属于简单题目.7.已知实数x,y满足条件，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数为，则目标函数表示直线在轴截距，结合图像，即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下，目标函数可化为，因此目标函数表示直线在轴截距，由图像可得：当直线过点时，在轴截距最大，即取得最大值.由得，即，因此.故答案为：【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.8.在平面直角坐标系中，已知焦距为的双曲线的右准线与它的两条渐近线分别相交于点，其焦点为，则四边形的面积的最大值为____________.【答案】【解析】【分析】先由焦距为，得，由双曲线方程，得到渐近线方程为，右准线方程为，不妨设为右准线与渐近线的交点，根据方程求出点坐标，同理，得到点坐标，再由题意得到四边形的面积为，根据三角形面积公式，以及基本不等式，即可求出结果.【详解】因为双曲线焦距为，即，，又双曲线的渐近线方程为，右准线方程为：，不妨设为右准线与渐近线的交点，由解得：，同理因此四边形的面积为，当且仅当时，等号成立.故答案为：【点睛】本题主要考查求双曲线中四边形面积的最值问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.9.在直角三角形中，，，若，则．【答案】．【解析】试题分析：因为，所以应填．考点：1、平面向量的数量积的应用；10.若点在直线上，则的值为________.【答案】【解析】【分析】先由题意，得到，即，再由，根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，通过弦化切，即可求出结果.【详解】因为点在直线上，所以，因此，所以故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换求值的问题，熟记同角三角函数基本关系，以及二倍角公式，两角和的余弦公式等即可，属于常考题型.11.已知均为等比数列，其前n项和分别为，若对任意的，总有，则________.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比分别为，根据题意，得到，求解，得，进而可得出结果.【详解】设等比数列的公比分别为，则，，因为分别为的前n项和，且，所以，即，即，解得：，所以故答案为：【点睛】本题主考查等比数列的基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.12.已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是________.【答案】或.【解析】【分析】先用导数的方法，判断出函数在的单调性，求出极值，在根据指数单调性判断时，函数的单调性；作出函数大致图像；将函数的零点个数问题，转化为与或的交点个数来处理，结合函数图像，即可得出结果.【详解】因为，当时，，则，由得；由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；此时有极大值；当时，显然单调递减；作出函数的大致图像如下：由得或，因为函数有5个零点，所以与或共有5个交点，由图像可得：只需或，即或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数，熟记导数的方法判断函数单调性，利用转化与化归思想，以及数形结合的方法判断函数零点个数即可，属于常考题型.13.在平面直角坐标系中，已知点，、为圆上的两动点，且，若圆上存在点，使得，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】取中点为，连接，得到，由得到，再由、为圆上的两动点，且，得到，设，求出点的轨迹，再由点与圆位置关系，求出的取值范围，即可【详解】取中点为，连接，则，又圆上存在点，使得，所以，因此，即；因为、为圆上的两动点，且，所以，设，则，即即为动点的轨迹；所以表示圆上的点与定点之间的距离，因此，即.即.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量与圆的方程的综合，熟记平面向量基本定理，点与圆位置关系，会求圆上的点到定点的距离即可，属于常考题型.14.已知的面积为,且满足，则边的最小值为_______.【答案】【分析】将正切化成正余弦，化简得出b，c和sinA之间的关系，结合面积公式即可得出b2关于A的函数式，再根据A的范围计算b的最小值，即可得AC的最小值．详解】∵，∴，∴4cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB，∴3cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB﹣cosAsinB，即3sin（A+B）＝sinB（sinA﹣cosA），即3sinC＝sinB（sinA﹣cosA），∴3c＝b（sinA﹣cosA），即c，∵△ABC的面积S＝bcsinA＝＝（sin2A﹣cosAsinA）＝（1﹣sin2A﹣cos2A）＝，∴b2＝，∵3c＝b（sinA﹣cosA）＞0，且0＜A＜π，∴，∴当即A＝时，b2取得最小值＝12，∴b的最小值为，即AC最小值为．故答案为．【点睛】本题考查了同角三角函数关系、正弦定理、面积公式、两角和的正弦公式、以及正弦型三角函数的性质，属于中档题.二、解答题15.已知函数f（x）=sin2x-.（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值，（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象.当x时，求g（x）的值域.【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）.【解析】【详解】（1）,因此的最小正周期为，最小值为.（2）由条件可知：.当时，有，从而的值域为，那么的值域为.故在区间上的值域是.考点：1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换.16.已知△中，，，. 求：（1）角的大小；（2）△ABC中最小边的边长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由内角和定理，以及诱导公式化简tanC，将tanA与tanB代入值代入求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）由tanA与tanB的大小判断出BC为最小边，由tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，利用正弦定理求出BC的长．【详解】解：(1)= –= –，所以，(2)因为，所以最小角为又因为，所以，，又，所以．【点睛】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17.从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度(单位：米)与生长年限（单位：年，tN*）满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中e为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0.（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）（2）在第几年内，该树长高最快？【答案】（1）8年（2）第四年内或第五年内【解析】【分析】（1）解不等式f（t）>5，即可（2）利用作差法求出f（t）﹣f（t﹣1）的表达式，判断函数的单调性和最值即可．【详解】解：(1) 令5，解得，即需要经过8年，该树的高度才能超过5米；(2) 当N*时，设，则，.令，则.上式当且仅当时，取得最大值此时，，即，解得.由于要求为正整数，故树木长高最快的可能值为4或5，又，，所以，该树在第四年内或第五年内长高最快．【点睛】本题主要考查函数的应用问题，利用作差法判断函数的最值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．18.已知椭圆：，过点的直线：与椭圆交于M、N两点（M点在N点的上方），与轴交于点E.（1）当且时，求点M、N的坐标；（2）当时，设，，求证：为定值，并求出该值；（3）当时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切圆面积等于，求直线的方程.【答案】（1）M(0，1)，N (，)；（2）为定值3（3）【解析】【分析】（1）代值联立方程组．解得即可求出，（2）联立方程，利用韦达定理，以及向量的知识可得从而，化简整理即可证明，（3）假设存在直线l：y＝k（x+1）满足题意，则△MNF的内切圆的半径为，根据韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，即可求出k的值【详解】解：(1) 当m=k=1时，联立，解之得：或，即M(0，1)，N (，)；(2) 当m=2时联立，消去y得：，设M(x1，y1)，N (x2，y2)，则，由，，且点横坐标为0，得、. 从而==，为定值3；(3) 当m=3时，椭圆：，假设存在直线满足题意，则△的内切圆的半径为，又、为椭圆的焦点，故△MNF的周长为8，从而，消去，得，设、，则.故，即.由(2)，得，化简，得，解得，故存在直线满足题意．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计算公式、考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.设函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在正数，使得当时，，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：函数求导得，讨论，由导数的正负求单调区间即可；（2）若，分析函数可知，即，设，，讨论和两种情况，知成立，时不成立，时，存在，使得当时，，可化为，即，设，分析和求解即可.详解：（1）．当时，，上单调递增．当时，若，则，若，则；所以在单。
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（1）证明：图（2）中的 A, B, C, D 四点共面； （2）求图（2）中平面 BCE 与平面 ACE 所成锐二面角的余弦值.
20．已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，弦 AB
过点 F1 ，ABF2 的周长为 8 ，
椭圆
C
的离心率为
6
v 的值为（ ）
A． 24
B． 25
C． 49
D． 50
【答案】D
【解析】根据循环结构框图中的相关条件依次运算即可.
【详解】
由题意 n 4, x 2, v 1,i n 1 3 ;
由 i 3 0 ,则 v 变成1 2 3 5 , i 变成 3-1=2; 由 i 2 0 ,则 v 变成 5 2 2 12 , i 变成 2-1=1; 由 i 1 0 ,则 v 变成12 2 1 25 , i 变成 1-1=0; 由 i 0 0 ,则 v 变成 25 2 0 5 , i 变成 0-1=-1; 由 i 1 0 ,则输出 v 50 .
四省名校 2020 届高三数学（理）12 月二模试卷
一、单选题
1．若集合 A x y ln(x 2) ， B x 3x 1 ，则 A B （ ）
A．x 2 x 0 B．x 2 x 0 C．x 2 x 1 D．x 2 x 1
【详解】
7
设等差数列 an 的首项和公差分别为 a1 和
d
,则由题意可得
S5
a2 a3 d 52
2
2a1
a1
3d 10
d 2
5
30
,联立解得
d 2.
故选:B.
【点睛】
本题着重考查了等差数列通项公式和前 n 和公式的运算应用,属于基础题.
（1）求 B ；
（2）若 b 2 ，求 ABC 的周长的取值范围．
18．2019 女排世界杯于 2019 年 9 月 14 日到 9 月 29 日举行，中国女排以十一胜卫冕女排世界杯冠军，四人 进入最佳阵容，女排精神，已经是一种文化.为了了解某市居民对排球知识的了解情况，某机构随机抽取了 100 人参加排球知识问卷调查，将得分情况整理后作出的直方图如下：
22．据说，年过半百的笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父 国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前
最后一封信只有一个公式： a(1 sin ) (a 0) 国王不懂，将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的
2．已知 a ，
b
均为非零向量，条件
p：
a
b
0 ，条件 q ：
a
与
b
的夹角为锐角，则
p 是 q 成立的（
）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n, x 的值分别为 4, 2 ，则输出
令8
3k
5
即
k
1
,∴
x2
2 x
4
展开式中含
x5
的项的系数为 ð41
2 1
8
.
故选:B. 【点睛】 本题考查了利用二项展开式的通项公式来解决二项展开式中指定项的系数,属于基础题.
6．正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱） ABC A1B1C1 中， AA1 AB ， M 为棱 CC1 的中点，则异面直
坐标知识，画出了这个图形“心形线”.明白了笛卡尔的心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣 （仅是一个传说）.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动
时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系 Ox 中，方程 a(1 sin ) (a 0) 表示的曲
务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（ ）
A． 1 12
C． 1 6
B． 1 8
D． 1 4
8．已知函数 f (x)
3 cos(x ) 1 sin(x ) (
3
3
) 是偶函数，则 的值为（ 2
）
A．
3
B． 3
C．
6
D．
6
一、单选题
1．若集合 A x y ln(x 2) ， B x 3x 1 ，则 A B （ ）
A．x 2 x 0 B．x 2 x 0 C．x 2 x 1 D．x 2 x 1
【答案】A 【解析】由对数函数的定义域和指数函数的性质分别求出集合 A 和 B,再由交集的定义求出结果. 【详解】
的夹角为锐角或
a
与
b
同向；故条件
p
条件
q
，为假命题，
即
p
是
q
成立的不充分条件；而当
a
与
b
的夹角为锐角时，
a·b 0 一定成立，即条件 p 条件 q ，为真
命题，即 p 是 q 成立的必要条件； p 是 q 成立的必要不充分条件，故选 C.
【考点】1、向量的夹角及平面向量夹角余弦公式；2、充分条件与必要条件. 【方法点睛】本题向量的数量积与其夹角的关系主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应
v 的值为（ ）
A． 24 B． 25 C． 49 D． 50
4．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a2 a3 10 ， S5 30 ，则数列an 的公差为（ ）
A．1
C． 3
5．
(x2
2)4 x
展开式中含
x5
的项的系数为（
A． 8
C． 4
B． 2 D． 4
）
B． 8 D． 4
16．已知函数
f
(x)
x2 2x ln x 1 ,
2
7 2
x
,x 1
1
若关于
x 的方程
f
(x)
kx
恰有
4
个不相等的实数根，则实数
k
的取值范围是_______.
三、解答题
17．已知
ABC
内角
A,
B, C
的对边分别为 a, b, c
，且 b cos C
a
c. 2
线 A1C 与 BM 所成的角为（ ）
A．
6
B． 4
1 2
.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若
F2 A
F2 B
4 5
，求
ABF2
的面积.
4
21．已知函数
f
(x)
e x 1 x
m(x
ln
x)
，m
为常数，若当
x (0, 2)
时，
f
(x)
有三个极值点
x1,
x2 ,
x3 （其
中 x1 x2 x3 ）. （1）求实数 m 的取值范围； （2）求证： x1x3 x22.
9．在 ABC 中，点 D 在
BC
边上，且
CD
3DB
，点 M
在
AD
边上，AD
3AM
，若 CM
AB
AC
，
则 （ ）
A． 2 3
C． 7 6
B． 2 3
D．
7 6
10．抛物线 C : y ax2(a 0) 的焦点 F 是双曲线 2 y2 2x2 1 的一个焦点，过 F 且倾斜角为 60 的直线 l
3
（1）求图中实数 a 的值，并估算平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）得分在 90 分以上的称为“铁杆球迷”，以样本频率估计总体概率，从该市居民中随机抽取 4 人，记这四
人中“铁杆球迷”的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
19．四边形 ABCD 中， AB / /CD ，且 AB 2CD 2AD 2BC 2 ， E 为 AB 中点，连接 DE, CE ， 如图（1），将其沿 DE, CE 折起使得平面 ADE 平面 DEC ，平面 BCE 平面 DEC ，连接 AB, AC ，如
5．
(x2
2)4 x
展开式中含
x5
的项的系数为（
）
A． 8
B． 8
C． 4
D． 4
【答案】B
【解析】由二项展开式的通项公式直接求解即可.
【详解】
由
x2
2 x
4
展开式的通项公式 Tk 1
ð4kx2源自4k 2 x
k
=
ð4k
2 k x83k , k 0,1, 2,3, 4 ,
注意：首先弄清条件 p 和结论 q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 p q, q p .对于带有
否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题
和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.
3．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n, x 的值分别为 4, 2 ，则输出