21.3二次根式的加减
21.3.3二次根式的加减
21.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）×解：（）÷÷-例2．计算32（1））（（2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1））（2（2））=）2-2=10-7=3三、巩固练习课本P 20练习1、2．四、应用拓展例3．已知=2-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，））=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=+x b a-x a b -=+ =（x+1）=4x+2∵=2- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2∴（a+b ）x=（a+b ）2∵a+b ≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 1、8、9．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》作业设计2(1)x x +-2(1)x x+-x b a-x a b -一、选择题1．的值是（ ）． A ．．C ．．2）．A ．2B ．3 C．4 D ．1二、填空题1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 2．（）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，a 2b-ab 2=_________．三、综合提高题1．化简 2．当时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识20323232031221．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．ACD2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如与也是互为有理化因式．________；_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1；（2）； （3（44．其它材料：如果n=________=_______．答案:一、1．A 2．D二、1．．-24 3．2 4．三、1．原式＝==-）2=== 2（2x+1）∵+1 原式＝2（+3）+6.=22222(1)()21x x xx+++⨯+2(1)(1)1x x xx++++。
华师大版初中数学九年级上册 21.3 二次根式的加减课件 (共24张PPT)
1 3a 2 3, a
45 3 5,
12
4 2 12 3 8 3 3 3
（2）将被开方数相同的二次根式相加. 解： 3 48 1 3a 2 12 4 2 a 3
6 3 3 8 3
(6 1 8) 3
3
经典例题
例3. 已知：最简根式2x-y-2 3x-y+2与3y-x-1 2x-5y+13
2 2 54(a 3 +2a 2 +a) 3 6a(a 1) 观察 5 5 6a =3 (a +1) 5 6a 5 =3 (a +1) 55 3 (a +1) = 30a. 5
新识导入
同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方 数相同，这几个二次根式叫同类二次根式.
②要求被开方数中各因式的指数应该小于根指数2.
如 27x，
知识回顾
最简二次根式
化简二次根式的一般步骤： ①将被开方数分解质因数或因式分解，写成幂的积的形式. ②根据被开方数每个因式的指数小于2的要求，把开得尽方的因式用算术根 代替移到根号外面. ③根据根号内不含分母的要求，利用分式的性质，化去根号内的分母.
知识回顾
1. 最简二次根式 (1)什么叫做最简二次根式？ 满足下列两个条件： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. (2)如何理解这两个条件？ ①要求被开方数中不含分母或分母中不含根号.
y 如 , x a 都不符合这个条件. 5
1 2a 3 都不符合这个条件，而 m 2 9是最简二次根式. 3
3
4x 2x 35x
2
3x 2x 2x 2
21.3 二次根式的加减 达标训练(含答案)
21.3二次根式的加减 达标训练一、基础·巩固·达标1．下列根式，不能与48合并的是（ ）A.12.0B.18C.311 D.75-2．计算：2145051183-+.3.计算：(5+62)(62－5).4．计算：(1)628-⨯； (2)2510⨯；(3)(6－1)2； (4)(3+1)(3－1).5．计算：1435-⨯（精确到0.001）.6．化简：（1）|23||32||21|-+-+-; （2）｜a －b ｜+｜b －c ｜+｜c －a ｜（c >b >a ）.7．如果一个长方形的长是27 m,宽是12 m ，长方形的周长是多少？ (3≈1.732，结果精确到0.1)8．设a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身. 化简式子mcd+（a +b ）m －|m |.9．已知实数x ,y ,z 满足｜4x －4y +1｜+z y +231+z 2－z +41=0,求(y +z )·x 2的值.二、综合·应用·创新 10．已知x +x 1=2+10，求x 2+21x的值.11.已知一个直角三角形的两直角边的长是（3+5） cm 和（5－3） cm ，求这个直角三角形的周长和面积.12．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若a +b =2，则ab ≤1；（2）若a +b =3，则ab ≤23；（3）若a +b =6，则ab ≤3. 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a +b =9，则ab ≤ .13．如图21－3－2所示，已知正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形EFGH 的面积是25平方厘米，且AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE ，求AD 的长，EF 的长，△AEH 的面积.图21－3－2三、回顾·热身·展望14．江苏宿迁模拟 下列运算中错误的是（ ）A.632＝⨯B.2221＝C.252322＝+D.32322--＝）（15．化简253-时，甲的解法是：252525253253++-+-＝））（（）（＝，乙的解法是：25252525253+--+-＝））（（＝，以下判断正确的是（ ）A.甲的解法正确,乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确 16．已知a －b =23－1,ab =3，则(a +1)(b －1)的值为( )A.－3B.33C.22D.－22 17．已知x =3－2,那么x +x1的值等于( ) A.23 B.－23 C.22 D.－22 18．下列各式正确的是（ ）A.323222++＝B.32533523）＝（++C.12151215121522-⋅+-＝D.212214＝ 19．计算:（2+1）（2－1）= . 20．计算：12315520⋅-÷+）（.参考答案一、基础·巩固·达标1．下列根式，不能与48合并的是（ ）A.12.0B.18C.311 D.75- 提示：将二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同才能合并.3575,3511001212.0,3448-=-===，故选B. 答案： B 2．计算：2145051183-+. 提示：二次根式加减运算时,可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 解:()282219222292145051183=-+=-+=-+. 3.计算：(5+62)(62－5).提示：利用乘法公式进行计算.解:()()()1252456256262522-=-=-=-+. 4．计算：(1)628-⨯； (2)2510⨯；(3)(6－1)2； (4)(3+1)(3－1). 提示：根据ab b a =⋅(a≥0,b≥0)与bab a =(a≥0,b>0)可求. 解：（1）264616628628-=-=-=-⨯=-⨯.（2）52525025021052510====⨯=⨯. （3）()()62716261622-=+-=-.（4）()()()2131313132=-=-=-+.5．计算：1435-⨯（精确到0.001）.提示：可借助计算器，但精确要求应严格执行，不应忽略. 解：5×3－14=15－14=3.873－3.742=0.131. 6．化简：（1）|23||32||21|-+-+-;（2）｜a －b ｜+｜b －c ｜+｜c －a ｜（c >b >a ）. 提示：先去绝对值符号，再化简. 解：（1）∵2>3>2>1，∴｜1－2｜+｜-23｜+｜3－2｜=2－1+23-+2－3=1. （2）∵c>b>a ，∴|a －b|+|b －c|+|c －a|=（b －a ）+（c －b ）+（c －a ）=2c －2a.7．如果一个长方形的长是27 m,宽是12 m ，长方形的周长是多少？ (3≈1.732，结果精确到0.1)提示： 长方形的周长=2(长+宽).解：长方形的周长为2(27+12)=2(33+23)=103≈10×1.732≈17.3（m ）. 8．设a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简式子mcd+（a +b ）m －|m |.提示：∵a 与b 互为相反数，∴a+b=0.又∵c 与d 互为倒数，∴cd=1. 又∵m 的倒数等于它本身，∴m=±1. 解：当m=1时，m cd +(a+b)m －｜m ｜=11+0×1－1=0;当m=－1时，mcd+(a+b)m －｜m ｜=－1+0×－1－1=－2.9．已知实数x ,y ,z 满足｜4x －4y +1｜+z y +231+z 2－z +41=0,求(y +z )·x 2的值. 提示：从｜4x －4y+1｜≥0,z 2y +≥0,z 2－z+41=(z －21)2≥0出发，可利用非负性求解.有限个非负数之和为零，则每一个数都为零. 解：把已知等式化为｜4x －4y+1｜+31z 2y ++(z －21)2=0, ∵|4x －4y+1|≥0，z 2y +≥0,(z －12)2≥0,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=+-.021,02,0144z z y y x ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=214121z y x∴(y+z)·x 2=1612121412=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-.二、综合·应用·创新 10．已知x +x 1=2+10，求x 2+21x的值. 提示：由x 2+21x 与x+x1的关系求值. 解：221x x +=(xx 1+)2－2=(102+)2－2=14+410－2=12+410. 答案：12+41011.已知一个直角三角形的两直角边的长是（3+5） cm 和（5－3） cm ，求这个直角三角形的周长和面积.提示：由勾股定理求出斜边的长,再求三角形的周长;两直角边乘积的一半就是三角形的面积. 解：斜边的长是()()142563102831028355322==-++=-++,直角三角形的周长是 (3+5)+(5－3)+214=10+214 (cm)； 面积是21(3+5)(5－3)=21(25－3)=11(cm 2). 12．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若a +b =2，则ab ≤1；（2）若a +b =3，则ab ≤23；（3）若a +b =6，则ab ≤3. 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a +b =9，则ab ≤ . 提示：根据规律可以看出ab ≤2ba +，所以若a+b=9，则ab ≤29.答案：9213．如图21－3－2所示，已知正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形EFGH 的面积是25平方厘米，且AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE ，求AD 的长，EF 的长，△AEH 的面积.图21－3－2提示： 由正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形EFGH 的面积是25平方厘米，容易得到AD ＝7 cm,EF ＝5 cm ，然后得到△AEH ≌△DHG ≌△CGF ≌△BFE ，即可求出△AEH 的面积. 解：∵ 正方形ABCD 面积为49 cm 2，∴AD ＝7 cm.∵ 正方形EFGH 的面积是25 cm 2, ∴ EF ＝5 cm.又∵ 四边形ABCD 是正方形， AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE , ∴ △AEH ≌△DHG ≌△CGF ≌△BFE . ∴ S △AEH ＝41（49－25）=6 cm 2. ∴ AD ＝7 cm,EF ＝5 cm , S △AEH =6 cm 2. 三、回顾·热身·展望14．江苏宿迁模拟 下列运算中错误的是（ ）A.632＝⨯B.2221＝C.252322＝+D.32322--＝）（提示：可通过运算找出错误答案.()2332322-=-=-.故选D.答案： D 15．化简253-时，甲的解法是：252525253253++-+-＝））（（）（＝，乙的解法是：25252525253+--+-＝））（（＝，以下判断正确的是 （ ） A.甲的解法正确,乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C.甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 提示：可通过计算进行判断.答案： C16．已知a －b =23－1,ab =3，则(a +1)(b －1)的值为( )A.－3B.33C.22D.－22提示：可通过计算进行判断，(a+1)(b －1)=ab －a+b －1=ab －(a －b)－1=()31132311323-=-+-=---. 答案： A17．已知x =3－2,那么x +x1的值等于( ) A.23 B.－23 C.22 D.－22 提示：可直接代入求值. ()()3223232323231231=++++-=-+-=+x x .故选 A.答案：A18．下列各式正确的是（ ）A.323222++＝B.32533523）＝（++C.12151215121522-⋅+-＝D.212214＝ 提示：判断是否正确,要看化简的过程,22329214,3523,13943222===+=+不能合并与.故选 C . 答案： C19．计算:（2+1）（2－1）= .提示：运用乘法公式进行计算.解:（2+1）（2－1）=（2）2－12=2－1=1. 20．计算：12315520⋅-÷+）（. 提示：把整式乘除的方法运用到二次根式的计算中,使计算更方便. 解：()12315520⋅-÷+()123151520⨯-⨯+==2+1－2 =1.。
21.3 二次根式的加减(课件)华东师大版数学九年级上册
第一课时 二次根式的加减
返回目录
归纳总结
考
点
判断几个二次根式是否可以合并，只与化为最简二次根
清
单 式之后的被开方数和根指数有关，而与根号外的因式无关.
解
读
第一课时 二次根式的加减
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例2
（1）
计算：
+
；
（2） - + ；
（3） +
被开方数相同的最简二次根式时，常采用作差法比较大小
）
第一课时 二次根式的加减
返回目录
方
例 比较大小：7- ______3- （选填“＞”“=”
法
技 或“＜”）.
巧
点
［解析］∵（7- ）-（3- ）=7-2 -3+ =4拨
＞0，∴7- ＞3- .
［答案］ >
第二课时 二次根式的混合运算
的方法
几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开
方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式
第一课时 二次根式的加减
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考
点
清 合并同 将同类二次根式的系数相加作为结果的系数，
单
解 类二次 被开方数和根指数不变
读 根式 如m +n =（m+n） ，
的法则 m -n =（m-n）
第一课时 二次根式的加减
易
错
易
混
分
析
返回目录
［答案］ D
［易错］ B 或 C
［错因］ 忽略 和 不能合并，直接把根号下
的数按有理数相加减.
21.3 二次根式的加减 课件(人教版九年级上)
4． 已知a， b是正整数， 且 a＋ b＝
1998 ，求a＋b的值．
则 m 222 ＋ n 222 ＝ 3 222 ，即 （m＋n） 222 ＝ 3 222 ， ∴ m＋n＝3． ∵ m，n是正整数， ∴ m＝1，n＝2或m＝2，n＝1． ∴ a＝222，b＝888 或a＝888，b ＝222． ∴ a＋b＝1110．
m 222 ，b＝ n 222 ，
3
5 xy ＝ x x ＋ 6 xy ＝
＝
1 1 1 3 6x - 1 ∴ 当x≥ 且x≠1时， 在实数 ＋6 2 2 2 6 1- x
范围内有意义．
1 2 ＋3 6 ． 4
3． 计算： （7＋ 2 5 ） （7－ 2 5 ） － 2．已知x＝ 3 － 2 ，y＝ 3 ＋ 2 ， （ 3 2 －1）2． 3 3 求x y＋xy 的值． 如果直接将x， y的值代入计算， 显 （7＋ 2 5 ） （7－ 2 5 ）可考虑使
2010 答案： 原式＝ （ 2 3 － 13 ） （2 3
得结果． 答案：因为a＝－ 3 ＜1，所以a－1＜0．
（a - 1 ） （a - 1） 原式＝ － ＝a－1－ a（a - 1） a -1
2
2
＋ 13 ）
2010
（ 2 3 ＋ 13 ）
2010
＝[（ 2 3 － 13 ） （ 2 3 ＋ 13 ）]2010 （ 2 3 ＋ 13 ） ＝ （－1） （ 2 3 ＋
一样， 需要注意运算的先后顺序； （ 3） 运用完全平方公式进行运算．
例3．计算：（ 2 3 － 13 ） ＋ 13 ）2011．
2010
（2 3
1 - 2a＋a 例4．先化简，再求值： － a -1
21.3 二次根式的加减 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
A.
B. 12
C. 15
D. 30
典例导思
6. 计算：
（1）（ － ）×
解：原式＝（4 －5
＝－
＝－2.
×
；
）×
典例导思
（2） ×
− ＋ +
；
解：原式＝ －2 ＋1＋2 ＋5
＝ ＋6.
（3）（ － ）÷ －（ ＋1）（ －1）.
及乘法公式可以简化运算.
知识导航
注意：（1）判断同类二次根式前一定要先化简成最简
二次根式；
（2）计算的结果如果有二次根式一定要化简成最简二
次根式.
典例导思
题型一 同类二次根式
下列各组二次根式，是同类二次根式的是
（ D ）
A. 与
B. . 与
C. 与－2
D. 与
典例导思
题型三 二次根式的混合运算
计算：
（1） （ ＋ ）；
解：原式＝ × ＋ ×
＝3 ＋2 .
典例导思
（2）
＋
−
解：原式＝
＋
＝ ×2 ＋ × −
＝
＋1.
；
−
＋ ×2
＋
×
−
典例导思
（3）
＋ ÷ －6
21.3 二次根式的加减++第2课时+课件++++2024-2025学年华东师大版九年级数学上册
4+
1.计算:(1) 16+ 2× 3=__________;
4-
(2)( 48- 6)÷ 3=__________;
7
(3)( 3+2)2- 48=_______.
新知要点
2.乘法公式应用:
a2-b2
(1)(a+b)(a-b)=__________;
a2±2ab+b2
(2)(a±b)2=_______________;
21.3 二次根式的加减
第2课时
课时学习目标
1.了解二次根式的加、减、乘、除四则运算法则
2.掌握二次根式的加、减、乘、除四则运算
素养目标达成
模型观念
推理能力、运算能力
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
1.运算顺序:
乘方
乘除
先算__________,再算__________,最后算加减.
(2)( 48+ 12-
(3)( 2-
3)2+2
1
)÷
3
3;
1
×3
3
2.
【解析】(1)原式=( )2-22=3-4=-1;
(2)原式=(4 +2
(3)原式=(Biblioteka )2-2×
)÷
× +(
=
)2+6
÷
= ;
× 2=2-2 +3+2 =5.
【技法点拨】
二次根式混合运算的四点注意
【举一反三】
1.已知x= 3+1,y= 3-1,求x2+y2的值.
21.3 二次根式的加减(课件)华师大版数学九年级上册
感悟新知
知3－练
解：(1) 原式＝( 2＋ 3－ 6＋ 2－ 3－ 6)×( 2＋ 3－
6－ 2＋ 3＋ 6)＝(2 2－2 6)×2 3＝4 6－12 2.
(2)原式＝[1＋( 2－ 3)]×[1－( 2－ 3)]＝12－( 2－ 3)2
＝1－(5－2 6)＝2 6－4.
(3)原式＝(3＋2 2)100(3－2 2)100(3－2 2)＝[(3＋2 2)·
原式＝6－3 6＋2 6－6＝－ 6；
知3－练
感悟新知
(4)(5＋ 7)×(5－ 7) ； 解：原式＝52－( 7)2＝25－7＝18；
(5)( 5＋2)2； 原式＝5＋4 5＋4＝9＋4 5；
(6)(2 3－ 2)2 . 原式＝12－4 6＋2＝14－4 6.
知3－练
课堂小结
二次根式的加减
同类二次 根式
知2－练
感悟新知
知识点 3 二次根式的混合运算
知3－讲
1. 二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算 .
2. 二次根式的混合运算顺序 与整式的混合运算顺序相同， 先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号就先算括 号里面的 .
感悟新知
知3－讲
3. 二次根式混合运算中的运算律 运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的
(3)(4 8－8 18＋ 32÷2 2. 解题秘方：紧扣二次根式的混合运算顺序计算即可.
感悟新知
知3－练
解：(1)原式＝
8 27
×
6－5
3×
6＝
8 27
×6－5
3×6＝
43－15 2. (2)原式＝25 2－10 3＋5 12－2 18＝25 2－10 3＋10 3 －6 2＝19 2. (3)原式＝(8 2－2 2＋4 2)÷2 2＝10 2÷2 2＝5.
21.3 二次根式的加减
21.3 二次根式的加减第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3（4）老师点评：（1x，不就转化为上面的问题吗？（2+3（2y；（2-3+5（3z；（1+2+3（4x y．=（3-2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如但它们可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：（1（2+3（2（4+8例2．计算（1）（2+解：（1）（12-3+6（2+三、巩固练习教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y 2-（x ）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x 2+y 2-4x-6y+10=0 ∵4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=12，y=3原式=23+y当x=12，y=3时，原式=124五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．2．选作课时作业设计．第一课时作业设计 一、选择题1 ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2．下列各式：①17有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、、-2是同类二次根式的有________．2．计算二次根式________．三、综合提高题12.236-0.01）2．先化简，再求值．（-（x=32，y=27．第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题．教学目标运用二次根式、化简解应用题．通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．二、探索新知例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）ACQ P分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得：12x·2x=35x2PBQ的面积为35平方厘米．===PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BC2m1m4mD解：由勾股定理，得===所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材． 三、巩固练习 教材P19 练习3 四、应用拓展例3．若最简根式3aa 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式|b|根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩∴a=1，b=1 五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 7．2．选用课时作业设计．作业设计 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式）A ．．．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示） A ．．．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1n m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：）2=2-2·112反之，）2∴）2求：（1（2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．21.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1+（2）（分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1解：（32例2．计算（1）（（2分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1）（2+（2=2- 2=10-7=3三、巩固练习课本P20练习1、2．四、应用拓展例3．已知x ba-=2-x ab-，其中a、b是实数，且a+b≠0，分析=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．解：原式=2(1)x x+-+2(1)x x+-=（x+1）=4x+2∵x ba-=2-x ab-∴b（x-b）=2ab-a（x-a）∴bx-b2=2ab-ax+a2∴（a+b）x=a2+2ab+b2∴（a+b）x=（a+b）2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b）+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业1．教材P21习题21．3 1、8、9．2．选用课时作业设计．作业设计 一、选择题1 ）．A ．203．23C ．23．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1 二、填空题1．（-122的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若，则x 2+2x+1=________．4．已知a 2b-ab 2=_________． 三、综合提高题12．当的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式． 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．AC 2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如就是互为有理化因练习________；_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2； （3 （4．4．其它材料：如果n=．。
《21_3 二次根式的加减》重难点精讲精练
21.3 二次根式的加减【知识梳理】知识点01：同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.知识点02：二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.知识点03：二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【精讲精练】考点1 二次根式的加减法【典例分析01】（2022秋•九龙坡区校级期末）下列计算正确的是（）A．a4+a6＝a10B．C．D．【思路引导】根据合并同类项法则、二次根式的性质、二次根式的加法运算即可求出答案．【规范解答】解：A、a4与a6不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、原式＝4，故C符合题意．D、与不是同类二次根式，故不能合并，故D不符合题意．故选：C．【考察注意点】本题考查合并同类项法则、二次根式的性质、二次根式的加法运算，本题属于基础题型．熟练掌握这些知识点是解题的关键．【典例分析02】（2022春•沂水县期中）下列计算正确的是（）A．B．C．2D．2＝2 【思路引导】根据二次根式的加减运算法则计算判断即可．【规范解答】解：﹣＝2﹣＝，A选项正确；+≠，B选项错误；2﹣2≠，C选项错误；2﹣＝，D选项错误．故选：A．【考察注意点】本题考查二次根式的加减运算，做题关键要掌握二次根式的加减运算法则．【随堂演练01】（2022•南岗区校级开学）计算：（1）（2a+b）（b﹣5a）；（2）2．【随堂演练02】（2022春•武隆区校级期中）计算：（1）+（）﹣2﹣|﹣2|；（2）+2﹣（﹣）．考点2：二次根式的混合运算【典例分析03】（2022春•东莞市校级期中）下列计算不正确的是（）A．•＝B．+＝C．÷＝3 D．＝2【思路引导】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则、二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．【规范解答】解：A．•＝，故此选项不合题意；B．+无法计算，故此选项符合题意；C．÷＝3，故此选项不合题意；D．＝2，故此选项不合题意．故选：B．【考察注意点】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【典例分析04】（2022秋•渠县校级期末）计算：（）（）（）＝．【随堂演练03】（2022秋•惠济区校级期末）（1）解方程组：；（2）计算：．【随堂演练04】（2022秋•碑林区校级期末）计算：（1）3﹣﹣；（2）（3+）（3﹣）．考点3：二次根式的化简求值【典例分析05】（2022春•藁城区校级月考）已知a＝+1，b＝﹣1，则的值为（）A．B．C．D．【思路引导】由题意可得ab＝2，a﹣b＝2，a+b＝2，再整理所求的式子，代入运算即可．【规范解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，∴ab＝（+1）×（﹣1）＝2，a﹣b＝+1﹣（﹣1）＝2，a+b＝+1+﹣1＝2，∴＝＝＝＝．故选：A．【考察注意点】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【典例分析06】（2022秋•海淀区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则+的值为．【思路引导】先将所求根式化简，再整体代入求值即可．【规范解答】解：当a+b＝3，ab＝2时，+＝+＝＝＝＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是将所求二次根式化简，再整体代入求值．【随堂演练05】（2022秋•丰城市校级期末）先化简，再求值：a+，其中a＝2020．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（2）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2．（2022秋•城关区校级期末）先化简，后求值：，【随堂演练06】其中．考点4：二次根式的应用【典例分析07】（2022春•许昌期末）已知矩形的面积为4，一条边长a为，则相邻的另一边长b为（）A．B．C．D．4【思路引导】根据矩形的面积公式计算即可．【规范解答】解：由题意可得：S＝ab，即，∴b＝＝．故选：B．【考察注意点】本题考查二次根式的应用，解题关键是掌握矩形面积公式．【典例分析08】（2022春•潮安区校级月考）设长方形的面积为S，相邻两边分别为a，b，已知a＝，b＝，则S＝（）A．B．C．D．【思路引导】运用矩形的面积公式直接计算，即可解决问题．【规范解答】解：（1）∵a＝，b＝，∴S＝ab＝×＝3，故选：C．【考察注意点】该题主要考查了二次根式的化简、求值问题；解题的关键是正确运用二次根式运算法则及运算公式来化简、计算．【随堂演练07】（2022秋•宁德期末）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；（2）求阴影部分的面积．【随堂演练08】（2022春•周至县期末）在一个长为4，宽为3的矩形内部挖去一个边长为（2﹣）的正方形，求剩余部分的面积．。
21.3二次根式的加减教案
§21.3 二次根式的加减教学目标【知识与技能】1. 掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2. 掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度与价值观】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，能运用所学的知识解决问题.【教学重点】能正确地合并同类二次根式，进行二次根式加减法.【教学难点】能根据同类二次根式的定义，判断几个二次根式是否是同类二次根式.【教学过程】一、导入计算下列各式：．1.当x_______时，2-x 有意义．二、探究新知（一）同类二次根式观察第4题猜想：二次根式的被开方数相同是可以合并的． 思考：3233与是同类二次根式，那么218与是同类二次根式吗？是同类二次根式与218232918∴=⨯=归纳：同类二次根式：（1）被开方数相同；（2）二次根式不能再化简；（3）与二次根式的系数无关.练习：判断下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？27631与）（ （二）二次根式的加减.____423)2(___;3233)1(:.4_____;423)2(____;23)1(:.3_____;24____;31:.2=+-=-=+-=-==a a a y y y x x 猜想计算化简272322与）（二次根式的加减,与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并.思考：这里的三个“加数”中有同类二次根式吗？将它们化简后再看一看分析：（先化简，再合并同类二次根式，请同学们自己完成）归纳：二次根式加减计算步骤：（1）化成最简二次根式；（2）合并同类二次根式．例2：1832225)2(;451227)1(-++-计算： 例3：2)12)(2();12)(12)(1(--+计算：三、运用课本第12页 练习1、2四、课堂总结1、什么是同类二次根式？2、二次根式加减运算的步骤？3、怎么合并同类二次根式？五、应用拓展五、作业布置1、课本 第12页 第1题（1）（3）)333()2223(-+-=原式3322323--+计算：322-=12188++计算：第2题（1）（4）2、练习册必做：第9-10页A、B组选做：C组。
21.3二次根式的加减(第一课时)
思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？ （2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？ （3） 什么样的二次根式能够合并？ （4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？ 活动 2、给出二次根式的加减法法则 分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分 配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被开方数不同的最简二次根式不能合并，作 为最后结果中的部分.
分析：利用勾股定理解决实际问题，运用二次根式的加减进行计算，计算的最后一步 取近似值，使结果更精确. 三、课堂训练 完成课本练习 .补充： 1.下列各组二次根式中，化简后 ab2
mn 与 1 1 m n
B. D.
m2 n 2 与 m2 n 2
8 3 4 9a 3b 4 a b 与 9 2
18 9 2
；（4） 4x 2 2 2x ；
（5） 2x 2a2 x3 ；（6） 18 32 2 ； （7） 75 54 96 108； （8） 1 ( 2 3 ) 3 ( 2 27 )
2 4
附：板书设计 一．复习引入 二． 探究新知 (一) 二次根式加减法法则 (二) 二次根式加减的应用
（供教师个性 化设计）
教学过程设计 一、复习引入 导语设计：上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根式的加减法运算. 二、探究新知 (一)二次根式加减法法则 活动 1、类比计算，说明理由 ① 2 a +3 a ； 2 2 3 2 . ② 2 a -3 a ； 2 2 3 2 . ③ 3 12 ； 12 18 4 ○ 5
1 练习：○课本例 1，之后补充 （3）
2 18
21.3二次根式的加减法-华东师大版九年级数学上册课件(共22张PPT)
4、二次根式混合运算顺序是怎样的？
5、乘法分配律是怎样的？在二次根式运算中是否 适用？
6、多项式的乘法公式有哪些？在二次根式乘法中 是否适用？
课本P12: 1、计算： （1）( 3+ 2)( 3 2);(2)( 2a 3)( 2a 3)
【解】 （1）原式= ( 3)2 ( 2)2
32
1
（2）原式= ( 2a )2 ( 3)2
2a 3
课堂小结
1、什么是同类二次根式？如何识别？ 2、叙述合并同类二次根式的法则。
谈谈你 的收获
3、你知道二次根式加减的步骤吗？
课堂练习3 计算：
48 3- 1 12+ 24 2
【解】原式= 16- 6 + 24 =4- 6+2 6 =4+ 6
知识点4 运算律在二次根式运算中的应用
பைடு நூலகம்
例6 计算：(1)( 8 5 3) 6;(2)(5 15 3 ) 15.
27
5
【解】
（1）原式= 8 6 5 3 6
27
16 5 18 9
§21.3二次根式的加减法 ——加减法则
1、什么叫同类项？ 所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项。
2、合并同类项法则的内容： 把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和
字母的指数不变。
3、整式加减法的法则内容： 几个整式相加减，，如果有括号就先去括号，然后 再合并同类项。
试一试
仿照同类项的 合并你会做吗？
原式= 3 2-2 2 + 3-3 3
你能正确找出同 类二次根式吗？
=3-2 2+1-3 3
= 2-2 3
例3 计算：(1) 8+ 18 12
21.3二次根式的加减(共5课时)
21.3二次根式的加减(共5课时)第一课时：二次根式的加减教学过程 一、课堂引入（1）现有一块长7.5dm 、宽5 dm 的木板，能否采用如教科书图21．3-1所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm 2和18 dm 2的正方形木板？（2（3）下列计算是否正确？为什么？采用分组讨论，自主探究的方式来解决问题，提高学生自主学习的能力．==；=④=例1 计算 ； 练习13（1（2（例2 计算练习2四、小结本节课你学到了什么知识？你有什么认识？ 五、课后作业：教科书第16页第1、2题． 学22+例计算：223-练习计算：（1（（）第二课时：利用二次根式化简的数学思想解应用题．二、探索新知例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）ACQ P例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．三、巩固练习教材P17 3四、应用拓展例3．若最简根式3a是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．作业设计一、选择题一、1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式）A．．．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．． D．二、填空题二、1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式2n是同类二次根式，求m、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=2-2·1·+12反之，（-1）2∴=）2求：（1（2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．第三课时：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2二、探索新知例1．计算:（1）+（2）（）÷例2．计算（1））（（2）））三、巩固练习课本P练习1、217四、归纳小结：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．21.3 二次根式的加减(第四课时能力提高)一、知识梳理，基础练习1．的值是（ ）．A ．203．323C ．23．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1 二、填空题1．（-122）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（1+2-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知a 2b-ab 2=_________．三、能力提高例1．已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，练习12．当的值．（结果用最简二次根式表示）四课外延伸1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．A． B．与．与 D与2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如为有理化因式．________；的有理化因式是_________．的有理化因式是_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（2；（3（4（14．其它材料：如果n==________．。
21.3 二次根式的加减
考点名称：同类二次根式∙化成最简二次根式后的被开方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式。
一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。
要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
∙同类二次根式与同类项的异同：同类二次根式与同类项无论在表现形式上还是运算法则上都有极类似之处，因此我们把二者的区别和联系列出，学习时注意辨析、对比来应用。
相同点1. 两者都是两个代数式间的一种关系。
同类项是两个单项间的关系，字母及相同字母的指数都相同的项；同类二次根式是两个二次根式间的关系，指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
2. 两者都能合并，而且合并法则相同。
我们如果把最简二次根式的根号部分看做是同类项的指数部分，把根号外的因式看做是同类项的系数部分，那么同类二次根式的合并法则与同类项的合并法则相同，即“同类二次根式（或同类项）相加减，根式（字母）不变，系数相加减”。
不同点1. 判断准则不同。
判断两个最简二次根式是否为同类二次根式，其依据是“被开方数是否相同”，与根号外的因式无关；而同类项的判断依据是“字母因式及其指数是否对应相同”，与系数无关。
2. 合并形式不同。
考点名称：二次根式的定义∙二次根式:我们把形如叫做二次根式。
二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
确定二次根式中被开方数的取值范围：要是二次根式有意义，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围。
∙二次根式性质：（1）a≥0 ；≥0 （双重非负性)；（2）；（3）0(a=0);（4）；（5）。
∙二次根式判定：①二次根式必须有二次根号，如，等；②二次根式中，被开方数a可以是具体的一个数，也可以是代数式；③二次根式定义中a≥0 是定义组成的一部分,不能省略;④二次根式是一个非负数;⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,(a≥0 )就表示a的算术平方根。
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下列3组根式各有什么特征?
2 (2) 3, 5 3, 6 3, 17 3, 3 13 1 (3) 2, 8, 5 18, 32, 2 2 (3) 2, 2 2, 15 2, 4 2, 2 几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做 同类二次根式.
二次根式加减法的步骤：
一、将每个二次根式化为最简二次根式；
二、找出其中的同类二次根式；
三、合并同类二次根式。
一化 二找 三合并
问题： 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，
能否采用如图的方式，在这块木板上截出两 个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
8 18 2 2 3 2 （化成最简二次根式）
例5 计算：
1
2 3
2 5
2
5 3
5 3
为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次
45
根式前面的因式及符号无关．
二次根式的加减： 例1 计算： 1 9a 25a
2
80 45
解： 1 9a 25a = 3 a 5 a = 3 5 a =8 a
2
80 45= 4 5 3 5 = 4 3 5 = 5
(2 3) 2 （合并）
5 2
5dm 7.5dm
8dm
18 dm
8 18 5 2 < 7.5
8 18 dm
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
例2 计算：
1 1 2 12 6 3 48 3
2
12 20
3 5
比较二次根式的加 减与整式的加减，你能 得出什么结论？
例3 要焊接一个如图所示的钢架，大约需要多少 米钢材（结果保留小数点后两位）? B
解：根据图中尺寸可得 2m A D 4m 1m C
AB AD BD
2
2
2 22 20
所需钢材的长度为：
AB BC AC BD 2 5 5 52
2 5
BC BD 2 CD2 22 12 5
3 5 7
3 2.236 7 13.7（m） 1
答：大约需要13.71m的钢材.
－ －
＝ ＝
－
＝
－ － －
－
－
例4 计算：
1
3
8 3 6
5 5 2） （
2
4
2 3 6 2 2
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母； 分母不含根号； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
1、把下列各根式化简
(1) 24
2 6
(2) 45a b (5) 4a
15 5
4
2
(4)- xy
5
3
3a
y xy
3 (4) 5
1 (6) 1 3
ab 2a 2 3 3
2 (1) 2， 3 2， 2 2， 15 2， 2 3
判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式，
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
下列各式中,哪些是同类二次根式?
12
2 3
1 2
18
3 2
50
5 2
1 1 3
2 3 2 3 5 3 2 注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化