初中数学最新-九年级数学弧长及扇形的面积2 精品

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北师大版数学九年级下册3.9《弧长及扇形的面积》说课稿

北师大版数学九年级下册3.9《弧长及扇形的面积》说课稿一. 教材分析弧长及扇形的面积是北师大版数学九年级下册第3.9节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了圆的性质、扇形的定义以及弧长的计算方法的基础上进行讲解的。

本节课的主要内容是引导学生探究扇形的面积计算公式，并能够运用该公式解决实际问题。

教材通过实例和练习，帮助学生理解和掌握扇形面积的计算方法，提高他们的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的性质和弧长的计算方法有一定的了解。

然而，扇形面积的计算涉及到新的概念和思考方式，对于部分学生来说可能存在一定的难度。

因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，针对不同学生的需求进行引导和帮助，使他们能够顺利地理解和掌握扇形面积的计算方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：引导学生探究并理解扇形的面积计算公式，使学生能够运用该公式计算扇形的面积。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流和思考，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们解决问题的积极性和合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：引导学生探究扇形的面积计算公式，使学生能够理解和运用该公式。

2.教学难点：理解扇形面积计算公式的推导过程，掌握扇形面积的计算方法。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动法和合作学习法。

通过提出问题，引导学生进行观察、思考和交流，激发他们的学习兴趣和解决问题的欲望。

同时，我将运用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生直观地理解扇形面积的计算方法。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与扇形相关的实例，如扇形统计图、扇形切割等，引导学生回顾扇形的定义和弧长的计算方法，为新课的学习做好铺垫。

2.探究扇形面积的计算公式：引导学生观察和分析扇形的特征，让学生通过小组合作的方式，自主探究扇形面积的计算公式。

在学生探究的过程中，给予适当的引导和帮助。

弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略(解析版)-初中数学

弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】【考点二已知弧长，求圆心角的度数】【考点三求某点的弧形运动路径长度】【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】【考点五求图形旋转后扫过的面积】【考点六求弓形的面积】【考点七求其他不规则图形的面积】【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】【考点九求圆锥侧面展开图的圆心角】【考点十圆锥侧面上最短路径问题】【过关检测】22【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】1(2023秋·江苏·九年级专题练习)已知扇形的半径为3cm ，圆心角为150°，则该扇形的弧长为cm ．【答案】52π/2.5π【分析】直接利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：∵L =n πr180，扇形的半径为3cm ，圆心角为150°，∴扇形的弧长L =150π×3180=52π，故答案为：52π．【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：L =n πr180是解题的关键．【变式训练】1(2023·浙江湖州·统考一模)一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为．【答案】2π【分析】利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：弧长为=90180π×4=2π；故答案为：2π【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握弧长公式，是解题的关键．2(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4π【分析】根据弧长公式l =n πr180即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，∴它的弧长为40180×18π=4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．【考点二已知弧长，求圆心角的度数】1(2023·黑龙江哈尔滨·统考三模)一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为．【答案】100°/100度【分析】根据弧长和扇形面积关系可得S =12lR ，求出R ，再根据扇形面积公式求解.【详解】∵一个扇形的弧长是10π3，面积是10π，∴S =12lR ，即10π=12×10π3R ，解得：R =6，∴S =10π=n π×62360，解得：n =100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.【变式训练】1(2023·江苏镇江·统考二模)扇形的弧长为6π，半径是12，该扇形的圆心角为度．【答案】90【分析】设此扇形的圆心角为x °，代入弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此扇形的圆心角为x °，由题意得，12πx180=6π，解得，x =90，故答案为：90．【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l =n πr180是解题的关键．2(2023·浙江温州·校考三模)若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为．【答案】90°/90度【分析】设扇形圆心角的度数为n ，根据弧长公式即可得出结论．【详解】解：设扇形圆心角的度数为n ，∵扇形的弧长为2π，∴n π×4180°=2π，∴n =90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．【考点三求某点的弧形运动路径长度】1(2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为旋转中心，将△AOB 顺时针旋转90°得到△A OB ，其中点A 与点A 对应，点B 与点B 对应．如果A -4,0 ，B -1,2 ．则点A 经过的路径长度为(含π的式子表示)【答案】2π【分析】A 点坐标为已知，求出OA 长度，再利用弧长公式l =n πr180求解即可．【详解】解：∵A -4,0如图，由题意A 点以原点O 旋转中心旋转了90°∴点A 经过的路径AA的长度=90⋅π×4180=2π故答案为：2π．【点睛】本题考查图形的旋转、弧长等知识点，需要熟练掌握弧长计算公式．【变式训练】1(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3cm ，∠B =60°．将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得到△AB C ，若点B 的对应点B 恰好落在线段BC 上，则点C 的运动路径长是cm (结果用含π的式子表示)．【答案】3π【分析】由于AC 旋转到AC ，故C 的运动路径长是CC 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC ，如图所示．在直角△ABC 中，∠B =60°，则∠C =30°，则BC =2AB =2×3=6cm ．∴AC =BC 2-AB 2=62-32=33cm ．由旋转性质可知，AB =AB ，又∠B =60°，∴△ABB 是等边三角形．∴∠BAB =60°．由旋转性质知，∠CAC =60°．故弧CC 的长度为：60360×2×π×AC =π3×33=3πcm ；故答案为：3π【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C 点的运动轨迹．2(2023·广东东莞·校考一模)如图，△ABC 和△A B ′C ′是两个完全重合的直角三角板，∠B =30°，斜边长为12cm ．三角板A ′B ′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A ′落在AB 边上时，则点A ′所转过的路径长为cm ．【答案】2π【分析】根据三角形内角和和含30度的直角三角形三边的关系得到∠A =60°,AC =12AB =6cm ，再根据旋转的性质得CA ′=CA ，于是可判断△CAA ′为等边三角形，所以∠ACA ′=60°，然后根据弧长公式计算弧AA ′的长度即可．【详解】∵∠ACB =90°，∠B =30°，AB =12cm ，∴∠A =60°,AC =12AB =6cm ，∵三角板A ′B ′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A ′落在AB 边上，∴CA ′=CA ，∴△CAA ′为等边三角形，∴∠ACA ′=60°，∴弧AA ′的长度=60°π×6180°=2πcm ，即点A ′所转过的路径长为2πcm ．答案为：2π．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了弧长公式．【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】1(2023·江苏·九年级假期作业)已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm ，则这个扇形的面积是cm 2．【答案】2π【详解】根据扇形的面积公式即可求解．【分析】解：扇形的面积=80π×32360=2πcm 2 ．故答案是：2π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式训练】1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测)一个扇形的弧长是8πcm ，圆心角是144°，则此扇形的面积是．【答案】40π【分析】设该扇形的半径为rcm ，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：设该扇形的半径为rcm ，由题意得：144πr180=8π，解得：r =10，S 扇形=12lr =12×8π×10=40π，故答案为：40π．【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键．2(2023·海南海口·海师附中校考三模)如图，正五边形ABCDE 的边长为4，以顶点A 为圆心，AB 长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是．【答案】245π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵正五边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷5=72°，∴正五边形的每个内角为180°-72°=108°，∵正五边形的边长为4，∴S 阴影=108⋅π×42360=245π，故答案为：245π．【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．【考点五求图形旋转后扫过的面积】1(2023·河南安阳·统考一模)如图，将半径为1，圆心角为60°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转36°，得到扇形OAB，则AB扫过的区域(即图中阴影部分)的面积为．【答案】π10【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得S 阴影=S 扇形BAB，然后利用扇形面积公式计算即可．【详解】∵OA =OB =1，∠AOB =60°，∴△AOB 为等边三角形，∴AB =OA =1，由旋转性质可得，∠OAO =∠BAB =36°，S △AOB =S △AO B，则S 阴影=S 扇形BAB+S △AOB -S 扇形AOB +S 扇形AO B-S △AO B，=S 扇形BAB，=36π×12360，=π10，故答案为：π10．【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键．【变式训练】1(2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习)如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△A B C ，已知AC =3，BC =2，则线段AB 扫过的图形(阴影部分)的面积为．【答案】5π3/53π【分析】由于将△ABC 绕点C 旋转120°得到△A B C ，可见，阴影部分面积为扇形ACA ′减扇形BCB ′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．【详解】解：从图中可以看出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC ，小圆半径是BC ，圆心角是120°，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积=120π×32-22 360=53π【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．2(2022秋·山东烟台·九年级统考期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°，AB =8，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转到△A B C 的位置，使C 、A 、B 三点在同一条直线上，则直角边BC 扫过的图形面积为．【答案】16π【分析】根据题意可得：AC =AC =4，BC =B C =43，∠B AC =∠B AC =∠CAB =60°，因此直角边BC 扫过的图形面积为S =S △ABC+S 扇形BAB -S 扇形CAC -S △ABC ，因为S △ABC=S △ABC ，因此S =S 扇形BAB-S 扇形CAC ，代入数值即可求得答案．【详解】解：根据题意可得：AC =AC =4，BC =B C =43，∠B AC =∠B AC =∠CAB =60°，△ABC ≌△AB C ，所以直角边BC 扫过的图形面积为S =S △ABC+S 扇形BAB -S 扇形CAC -S △ABC ，由于S △ABC=S △ABC ，所以S =S 扇形BAB -S 扇形CAC =120°×π×82360°-120°×π×42360°=64π3-16π3=16π，故答案为：16π．【点睛】本题考查了轨迹问题，关键是根据旋转的性质，找出BC 扫过的面积构成，利用扇形的面积公式计算即可．【考点六求弓形的面积】1(2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，OA =6，则阴影部分的面积是．【答案】9π-18【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解．【详解】∵OA =OB =6，∠AOB =90°，∴S 阴=S 扇形OAB -S △AOB =90π×62360-12×6×6=9π-18．故答案为：9π-18．【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键．【变式训练】1(2023·山东泰安·统考二模)如图C 、D 在直径AB =4的半圆上，D 为半圆弧的中点，∠BAC =15°，则阴影部分的面积是【答案】23π-3【分析】设AB 的中点为O ，连接OD ,OC ，用扇形COD 的面积减去△COD 的面积即可得出结果．【详解】解：设AB 的中点为O ，连接OD ,OC ，∵C 、D 在直径AB =4的半圆上，D 为半圆弧的中点，∠BAC =15°，∴OD =OC =2，∠DOB =90°,∠COB =2∠BAC =30°，∴∠DOC =∠DOB -∠COB =60°，∴△COD 为等边三角形，∴CD =OD =OC =2，过点O 作OE ⊥CD ，则：CE =12CD =1，∴OE =OC 2-CE 2=3，∴阴影部分的面积=S 扇形COD -S △COD =60π×22360-12×2×3=23π-3；故答案为：23π-3．【点睛】本题考查求弓形的面积，同时考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去三角形的面积，是解题的关键．2(2023·河南周口·校联考三模)如图，在△ABC 中，BC =BA =4，∠C =30°，以AB 中点D 为圆心、AD 长为半径作半圆交线段AC 于点E ，则图中阴影部分的面积为．【答案】4π3-3【分析】连接DE ，BE ，然后根据已知条件求出∠ABE =60°，AE =23，从而得到∠ADE =120°，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．【详解】解：如图，连接DE ，BE ．∵AB 为直径，∴∠BEA =90°．∵BC =BA ，∴∠BAC =∠BCA =30°，∴∠ABE =60°，BE =12AB =2，AE =3BE =32AB =23，∵BD =DE ，∴△BDE 是等边三角形，∴∠ADE =120°，∴阴影部分的面积=S 扇形DAE -S △ADE=120π×22360-12S △ABE=120π×22360-12×12×23×2=4π3-3=4π3-3．故答案为：4π3-3．【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．【考点七求其他不规则图形的面积】1(2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习)图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB =8，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 向右平移至扇形O A C ，如图2，其中O 是OB 的中点，O C 交BC于点F ，则图中阴影部分的面积为．【答案】8π3-23【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以求得O F 的长，再根据图形，可知阴影部分的面积=扇形COB 的面积∽△OO F 的面积-扇形OFC 的面积，计算即可．【详解】解：连接OF ，由题意可得，OB =4，OO =2，∠OO F =90°，∴∠OFO =30°，∴∠O OF =60°，∴O F =23，∴阴影部分的面积是：90π×42360-2×232-30×π×42360=8π3-23，故答案为：8π3-23．【点睛】本题考查扇形面积的计算、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练】1(2023·河南信阳·统考一模)如图，正五边形ABCDE 的边长为1，分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F ，图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】32-π15【分析】连接CF ，DF ，由CF =DF =CD =1，得∠FCD =∠FDC =60°，求出∠FCD =∠FDC =60°，根据公式求出S 扇形BCF ，S 正△CFD ，S 扇形CDF ，即可得到阴影面积．【详解】如图，连接CF ，DF ，由题意，得∠BCD =(5-2)×180°5=108°，∵CF =DF =CD =1，∴∠FCD =∠FDC =60°，∴∠BCF =108°-60°=48°，∴S 扇形BCF =48π×12360=2π15，S 正△CFD =34×12=34，S 扇形CDF =60π×12360=π6，∴S 阴影BCF =2π15+34-π6=34-π30，∴S 阴影=34-π30 ×2=32-π15，故答案为：32-π15．【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方法连接辅助线是解题的关键．2(2023·河南南阳·统考模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AD =2，AB =1，以D 为圆心，以AD 长为半径画弧，以C 为圆心，以CD 长为半径画弧，两弧恰好交于BC 上的点E 处，则阴影部分的面积为．【答案】12【分析】如图，连接DE ，根据勾股定理，得DE =2，根据阴影部分的面积S 1为：扇形AED 的面积减去S 2，根据S 2的等于扇形DCE 的面积减去S 3，即可求解．【详解】解：连接DE ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC =∠BCD =90°，AB =DC =1，∵EC =DC =1，∴∠CDE =45°，∴∠ADE =45°，∴扇形DAE 的面积为：45π×2 2360=π4，∵S 2=S 扇形DCE -S 3=90π×12360-12×1×1=π4-12，∴阴影部分的面积为：S 1=S 扇形ADE -S 2=π4-π4-12 =12．故答案为：12．【点睛】本题考查矩形的性质，扇形的面积，三角形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】1(2023·全国·九年级专题练习)若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是．(结果保留π)【答案】10π【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π，故答案为：10π．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级统考期中)若圆雉的侧面积为12π，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是．【答案】4【分析】根据圆锥的侧面积=πrl，列出方程求解即可．【详解】解：∵圆锥的侧面积为12π，底面半径为3，3πl=12π．解得：l=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．2(2023·广东梅州·统考一模)若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为cm2．(结果保留π)【答案】12π【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，∴圆锥的侧面积为12×2×3π×4=12πcm2．故答案为：12π．【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，属于简单题，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．3(2023·江苏·九年级假期作业)已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是．【答案】1【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=120×π×3180，然后解关于r的方程即可．【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr=120×π×3180，解得r=1．故答案为1．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4(2023·浙江衢州·统考二模)某个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为cm．【答案】2【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【详解】解：设此圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=120π×6180，r=2故答案为2．【点睛】此题考查了圆的周长和圆弧长的计算，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键．【考点九求圆锥侧面展开图的圆心角】1(2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知圆锥的底面圆半径是2，母线长是4，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是．【答案】180°/180度【分析】根据圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．【详解】解：∵圆锥底面半径是2，∴圆锥的底面周长为4π，设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，∴nπ×4180=4π，解得：n=180，∴圆锥侧面展开的扇形圆心角是180°．故答案为：180°．【点睛】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角．掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键．【变式训练】1(2023·江苏·九年级假期作业)已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为，圆锥侧面展开图形的圆心角是度．【答案】15π216【分析】根据圆锥的侧面积公式S侧=πrl即可求解该圆锥的侧面积；结合弧长公式求出圆锥侧面展开图形的圆心角即可．【详解】解：圆锥的侧面积S侧=π×3×5=15π，圆锥的底面周长L=2π×3=6π，扇形圆心角=180×6ππ×5=216°．故答案为：15π，216．【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．2(2023·江苏·九年级假期作业)若要制作一个母线长为9cm，底面圆的半径为4cm的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．【答案】160°/160度【分析】利用圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算，即可求解．【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是n，根据题意得：2π×4=n π×9180，解得n =160，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是160°，故答案为：160°．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长是解答本题的关键．【考点十圆锥侧面上最短路径问题】1(2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末)如图，已知圆锥底面半径为20cm ，母线长为60cm ，一只蚂蚁从A 处出发绕圆锥侧面一周(回到原来的位置A )所爬行的最短路径为cm ．(结果保留根号)【答案】603【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为60的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径．【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过S 作SC ⊥AB ,∴AC =BC设∠ASB =n °，即：2π×20=n π×60180，得：n =120，∴∠ASC =60°∴AC =AS ×sin ∠ASC =60×32=303∴AB =2AC =603，故答案为：603．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．【变式训练】1(2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中)如图，AB 是圆锥底面的直径，AB =6cm ，母线PB=9cm ．点C 为PB 的中点，若一只蚂蚁从A 点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C 点处，则蚂蚁爬行的最短路程为．【答案】932/923【分析】先画出圆锥侧面展开图(见解析)，再利用弧长公式求出圆心角∠APA 的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得AC =932，最后根据两点之间线段最短即可得．【详解】画出圆锥侧面展开图如下：如图，连接AB 、AC ，设圆锥侧面展开图的圆心角∠APA 的度数为n °，因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，所以n π×9180=2π×3，解得n =120，则∠APB =12APA =60°，又∵AP =BP =9，∴△ABP 是等边三角形，∵点C 为PB 的中点，∴AC ⊥BP ，CP =12BP =92，在Rt △ACP 中，AC =AP 2-CP 2=932，由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为AC =932，故答案为：932．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．2(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中)如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A ，将圆锥沿母线OA 剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA =120°，OA =3，则蚂蚁爬行的最短距离是．【答案】3【分析】连接AA ′，作OB ⊥AA ′于点B ，根据题意，结合两点之间线段最短，得出AA ′即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出∠OAB =30°，再根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，得出OB =32，再根据勾股定理，得出AB =32，再根据三线合一的性质，得出AB =A ′B ，再根据线段之间的数量关系，得出AA ′=3即可解答．【详解】解：如图，连接AA ′，作OB ⊥AA ′于点B ，∴AA ′即为蚂蚁爬行的最短距离，∵OA =OA ′，∠AOA ′=120°，∴∠OAB =30°，在△OAB 中，OB ⊥AA ′，∠OAB =30°，∴OB =12OA =12×3=32，∴AB =OA 2-OB 2=3 2-32 2=32，在△AOA ′中，OA =OA ′，OB ⊥AA ′，∴AB =A ′B ，∴AA ′=2AB =2×32=3．∴蚂蚁爬行的最短距离为3．故答案为：3【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．【过关检测】一、单选题1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测)一个扇形的半径是4cm ，圆心角是45°，则此扇形的弧长是()A.πcmB.2πcmC.4πcmD.8πcm 【答案】A【分析】根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：由题意得，扇形的半径为4cm，圆心角为45°，故此扇形的弧长为45π×4180=πcm，故选：A．【点睛】此题考查了扇形弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般．2(2023·浙江温州·校联考三模)已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为() A.8π B.10π C.12π D.20π【答案】D【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【详解】解：根据题意可得：圆锥的侧面积为：π×4×5=20π，故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．3(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A B C的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为()A.10πcmB.103πcmC.15πcmD.20πcm【答案】A【分析】顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心，AC为半径的圆弧，旋转的角度是180°-60°=120°，所以根据弧长公式可得．【详解】解：在含有30°角的直角三角板ABC中，∠ACB=60°，BC=7.5cm，∴∠ACA =120°，AC=2BC=15cm，∴120π×15180=10πcm，故选：A．【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．4(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为()A.3π-332B.9π4-33 C.π-34D.3π-34【答案】B【分析】连接OD ，由折叠的性质可得CD =CO ，BD =BO ，∠DBC =∠OBC ，从而得到△OBD 为等边三角形，再求出∠CBO =30°，从而得出OC =3，进行得出S △BOC =332，最后由△BOC 与△BDC 面积相等及S 阴影=S 扇形AOB -S △BOC -S △BDC ，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，连接OD ，，根据折叠的性质，CD =CO ，BD =BO ，∠DBC =∠OBC ，∴OB =BD =OD ，∴△OBD 为等边三角形，∴∠DBO =60°，∴∠CBO =12∠DBO =30°，∵∠AOB =90°，∴OC =OB ⋅tan ∠CBO =3×33=3，∴S △BOC =12OB ⋅OC =332，∵△BOC 与△BDC 面积相等，∴S 阴影=S 扇形AOB -S △BOC -S △BDC =14π×32-332-332=94π-33，故选：B ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、扇形面积的计算-求不规则图形的面积，添加适当的辅助线，得到S 阴影=S 扇形AOB -S △BOC -S △BDC 是解题的关键．5(2023·辽宁抚顺·统考一模)如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宜传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ,OB 长分别为半径，圆心角∠O =120°形成的扇面，若OA =3m ,OB =1.5m ，则阴影部分的面愁为()A.4.25πm 2B.25πm 2C.3πm 2D.2.25πm 2【答案】D【分析】根据S 阴影=S 扇形DOA -S 扇形BOC 计算即可．【详解】S 阴影=S 扇形DOA -S 扇形BOC =120π×9360-120π×94360=2.25πm 2故选：D ．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S =n πR 2360是解题的关键．二、填空题6(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)圆锥母线长l =8，底面圆半径r =2，则圆锥侧面展开图的圆心角θ是．【答案】90°/90度【分析】根据弧长公式，弧长与圆锥底面圆的周长相等，建立等式计算即可．【详解】∵圆锥母线长l =8，底面圆半径r =2，圆锥侧面展开图的圆心角θ，∴2πr =θπl180，∴θ=360×2×π8π=90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，熟练掌握展开的特点，牢记弧长公式是解题的关键．7(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)如图，半圆O 的直径AB =6，弦CD =3，AD的长为34π，则BC的长为．【答案】5π4【分析】由题意可知：△OCD 是等边三角形，从而可求出弧CD 的长度，再求出半圆弧的长度后，即可求出弧BC 的长度．【详解】解：连接OD 、OC ，∵CD =OC =OD =3，∴△CDO 是等边三角形，∴∠COD =60°，∴CD 的长=60⋅π×3180=π，又∵半圆弧的长度为：12×6π=3π，∴BC =3π-π-3π4=5π4．故答案为：5π4【点睛】本题考查圆了弧长的计算，等边三角形的性质等知识，属于中等题型．8(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．【答案】5【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：S =π⋅r ⋅l ，就可以求出圆锥的底面圆的半径．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，l =24，由扇形的面积：S =π⋅r ⋅l =120π，得：r =5故答案为：5【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．9(2023·吉林长春·校联考二模)如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4，点C 在⊙O 上(点C 不与A 、B 重合)，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，连接AC ．若∠D =45°，则BC的长度是(结果保留π)【答案】π2/12π【分析】连接OC ，根据切线的性质，得出∠OCD =90°，再根据三角形的内角和定理，得出∠DOC =45°，即∠BOC =45°，再根据圆的基本概念，得出OB =2，再根据弧长公式，计算即可．【详解】解：如图，连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OC ，。

人教版九年级数学上册2弧长和扇形面积课件

180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
为L，则
l nR
注意：
180
（1）在应用弧长公式L nR，进行计算
时，要注意公式中n的意义1．8n0表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
生活中的数学制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，结果取整数)
B
C (A/)
B/
A
D
C/ L
2.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径
都是2cm，则图中阴影部分的面积是 12cm2 .
C B

D
3.如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是⊙O
的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等
于。
6
如图， AB 是 O 的直径，点 D 是 AB 延长线上的一点，点C 在 O 上，且 AC=CD, ACD＝120 ．（1）求证：CD 是 O 的切线；
4 3
，
3
3.已知扇形的圆心角为120°，弧长为20，则这个扇形
的面积是 300 .
4.弧长为2，面积为4的扇形的半径是 4
是 90 .
，圆心角
例：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01m2）。
0
AD
B
C
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交圆于点C,连接AC. ∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC.
24.4弧长和扇形面积
1.能推导出弧长及扇形面积的计算公式. 2.会利用弧长、扇形面积公式进行有关计算.

人教版数学九年级上册2弧长及扇形面积课件

180
S扇形=
120
× 122
360
≈150.8（cm2）.
︵
因此，AB的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为
150.8cm2.
【课堂练习】
π
1.一个扇形的圆心角为90o，半径为2，则弧长=_____，扇
形面积=_______.
π
2.一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则该扇形
积吗？要解决这个问题，我们需要了解扇形面积的计
算方法，让我们一起来探索吧！
1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是
多少？
C=2πR，S＝πR2.
2.什么叫圆心角？
角的顶点在圆心，角的两边分别与圆还有一个交点,
这样的角叫做圆心角.
我们上体育课掷铅球练习时，
要在指定的圆圈内进行，这个
圆的直径是2.135m.这个圆的
周长与面积是多少呢？（结果
精确到0.01）
周长约是6.71m，
面积约是3.58㎡
探究新知
（1）已知⊙O的半径为R，1°的圆心角所对的弧长是
多少？
1°的圆心角所对的弧长是
A
2

（2）n°的圆心角所对的弧长是多少？
=
360 180
R
O
n°的圆心角所对的弧长是
2
⋅
=
360 180
B
【跟踪训练】
(
B
2)
8
+ 2 3)
3
cm2
cm2
A
O
C
4.（临沂·中考）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆
时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的
面积是(

北师大版九年级下册数学《弧长及扇形的面积》圆说课教学课件复习提高

18
(3)转动轮转no,传送带上的物品A 被传送多少厘米? n cm
18
创设情境出示目标
知识经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公
目标
式的过程；了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题。
能力了解弧长和扇形面积公式后，能运用公目标式解决问题，训练学生的数学运用能力。
情感体验教学活动充满着探索与创造，感受目标数学的严谨性以及数学结论的确定性。
周长约是6.70m，面积约是3.58㎡
创设情境温故知新
（1）已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
C=2πR，S⊙O＝πR2
A
R
（2）什么叫圆心角？
O B
顶点在圆心，两边和圆相交所组成的角叫做圆心角如图中的∠AOB
创设情境出示目标
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm. (1)转动轮转一周,传送带上的物品 A被传送多少厘米? 20πcm (2)转动轮转1o,传送带上的物品A 被传送多少厘米? cm
∴(78π
＋
2 4
）x=12.4，又78π
＋
2 4
≈3.10（米 2）
所以，x=4.00（米）
答：该输水管中水的流速应达到每秒4.00米
B
A
O
课件
巩固旧知出示目标
巩固旧知出示目标
生活中的圆弧与扇形
创设情境出示目标
创设情境出示目标
创设情境出示目标
创设情境出示目标
我们上体育课掷铅球练习时，要在指定的圆圈内进行，这个圆的直径是2.135m。这个圆的周长与面积是多少呢？（结果精确到0.01）
A
B
扇形

九年级上册数学弧长和扇形面积

九年级上册数学弧长和扇形面积一、弧长公式。

1. 公式推导。

- 在圆中，圆心角n^∘所对的弧长l与圆周长C = 2π r（r为圆的半径）存在比例关系。

- 因为整个圆的圆心角是360^∘，所以圆心角为n^∘所对的弧长l=(n)/(360)×2π r=(nπ r)/(180)。

2. 应用示例。

- 例：已知圆的半径r = 5cm，圆心角n = 60^∘，求弧长l。

- 解：根据弧长公式l=(nπ r)/(180)，将r = 5cm，n = 60^∘代入公式，得到l=(60×π×5)/(180)=(5π)/(3)cm。

二、扇形面积公式。

1. 公式推导。

- 方法一：与弧长公式推导类似，因为扇形面积S与圆面积S=π r^2也存在比例关系，对于圆心角为n^∘的扇形，其面积S=(n)/(360)×π r^2。

- 方法二：由S=(1)/(2)lr（l为弧长，r为半径），把l = (nπ r)/(180)代入可得S=(1)/(2)×(nπ r)/(180)× r=frac{nπ r^2}{360}。

2. 应用示例。

- 例：已知扇形的半径r = 4cm，圆心角n = 90^∘，求扇形面积。

- 解：- 方法一：根据S=(n)/(360)×π r^2，将r = 4cm，n = 90^∘代入，得到S=(90)/(360)×π×4^2=4π cm^2。

- 方法二：先求弧长l=(nπ r)/(180)=(90×π×4)/(180)=2π cm，再根据S=(1)/(2)lr，l = 2π cm，r = 4cm，得到S=(1)/(2)×2π×4 = 4π cm^2。

三、弓形面积。

1. 弓形的定义。

- 弓形是由弦及其所对的弧组成的图形。

2. 弓形面积的计算。

- 当弓形所含的弧是劣弧时，弓形面积S_弓=S_扇-S_（S_扇为扇形面积，S_为三角形面积）。

九年级上数学《弧长和扇形的面积2》课件

设PM交半圆M于Q，则直角扇形BMQ的面积为：
S 扇BMQ
1 2 1 r 4 4
S阴 S扇POB－(S扇BMQ SPMO )
1 2 3 4 3 2
5 3 12 2
1、正方形的边长为ａ，求阴影部分的面积
A
D
B
C
2、正方形的边长为ａ，求阴影部分的面积
，
，
解：能（或能求出阴影部分的面积）．
设大圆与小圆的半径分别为R,r,平移小半圆使它的圆心与大半圆的圆心O重合（如图）
连OH , 则OH AB, 则OH r, AH BH 12
R r 12
2 2
2
1 2 2 S阴影 S半圆环 π( R r ) 72π 2
。
连结OP。
S阴 S扇POB－S扇BMQ－SPMO
解：连结OP∵AO⊥OB， MP∥OA，∴MP ⊥ OB 又OM＝BM＝1，OP＝OA＝2 ∴∠1＝60º 。
3 PM , OP 3 2 60 2 2 而S扇POB R 360 3
S PMO 1 3 OM PM 2 2
S阴影 S△ABC 3S
2 2 2 2 3a a 3a a 3 24 8 扇形BDF 4 4
回顾思考
已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为
3 2 πcm,则该扇形的面积是______cm , 2 1 解：S扇形 lR 2 1 3 2 3 2
2、AB、CD是半径为ｒ圆O的两条互相垂直的直径，以B为圆心作弧CED，求阴影部分的面积
A
E C O D
B
C b
a B
A
c

人教版数学九年级2弧长和扇形面积课件_2

则它的面积为 4π ．
2、如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积。
B A
D
C
例题讲解
例：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积。
弓形的面积 = S扇-S△
0
D
A
B
C
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高 0.9cm，求截面上有水部分的面积。
弓形的面积 = S扇+ S△
A
D EB 0
C
变式：如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2， AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等于。
课堂小结
这节课你有什么收获?
一、弧长的计算公式
l nR
180
二、扇形面积计算公式
s n r 2 或s 1 lr
360
2
如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心 O运动路径的长度等于．
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅有别的影响，原因在于阅读并非是对作品的简单再现，而是一个积极主动的再创造过程，人生的经历与生活的经验都会参与进来。
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理解力有所欠缺，所以在读书时往往容易只看其中一点或几点，对书中蕴含的丰富意义难以全面把握。
24.4.1 弧长和扇形面积
知识回顾
圆的周长公式
C=2πr
or
圆的面积公式
S=πr2
探索研究

冀教版九年级数学 28.5 弧长和扇形面积的计算(学习、上课课件)

知2－讲
感悟新知
知2－练
例2 [ 中考·锦州 ] 如图 28-5-2，点 A， B， C 在 ⊙ O 上， ∠ ABC=40°，连接 OA， OC．若⊙ O 的半径为 3，
则扇形 AOC(阴影部分) 的面积为( )
A.
2 3
π
B. π
C.
4 3
π
D.2π
感悟新知
知2－练
解题秘方：利用圆周角定理求出∠ AOC 的度数，再利用扇形面积公式求解即可．
(1)已知半径 r 和 n° 的圆心角，则 S 扇形 = n3π60r2.
(2)已知弧长
l
和半径
r，则
S
扇形
=
1 2
lr
(推导过程：
S 扇形 =n3π60r2 =12·n1π80r·r=12lr ).
扇形面积公式Biblioteka 的 n 与弧长公式中的 n一样，应该理
解为1°的 n 倍，不带单位 .
感悟新知
特别解读扇形面积公式推导过程：
四边形，∠ B=58° ，∠ ACD=40° . 若⊙ O 的半径为 5，则 D⌒C 的长为( C )
A．133π
B．
10 9
π
C．π
D．
1 2
π
感悟新知
知识点 2 扇形的面积公式
知2－讲
1. 扇形一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形 .
感悟新知
2. 扇形面积公式
知2－讲
感悟新知
知1－练
例1 [ 中考·沈阳] 如图 28-5-1，正方形 ABCD 内接于⊙ O， AB=2 2 ，则A⌒B 的长是( )
A. π
B.32 π

苏科版九年级数学上册弧长及扇形的面积(课件)

弧长、扇形面积公式
l n r , s n r2
180 360
比较两个公式，说出它们的相同点和不同点？
比较扇形面积计算公式与弧长计算公式,你能用弧长和半径来表示扇形的面积吗？请与同学交流.
S扇＝
1 2
lR
练习
①已知圆弧的半径为3cm，所对的圆心角为60°，它的弧长为＿π＿＿＿。
②已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径为＿9＿。
课堂反馈
例2、如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、 BO、2、CO为3，圆求心O︵，1O2a2、为 O︵2O半3、径O︵的3O1圆围两成两的相图切形于的点面O积1、S （图中阴影部分）。
A
O1
O3
B
O2 C
课堂反馈例3、如图，半圆的直径AB=40,C、D是这个半圆的三等分点.求AC、AD和C︵D围成的图形的面积.
之间的关系：
l n 2πR nπR
360
180
活学活用一
1．已知⊙O的半径为2，则周长为___4_π_____，1°圆心角所对的
π
π
弧长是____9_0____，30°圆心角所对的弧长是______3_____。
2．已知⊙O的半径为10，则周长为_2_0_π___，1°圆心角所对的弧
长是
π 18
2.7 弧长及扇形的面积
探究活动一
在半径为R的圆中 1.圆周长为___2_π_R___；
2. 1800 的圆心角所对的弧长为__π_R_； 3. 600 的圆心角所对的弧长为 13πR；
4. 10 的圆心角所对的弧长为＿181＿0π；R 5. n0 的圆心角所对的弧长为＿18n0＿π。R

九年级数学弧长及扇形面积

PART 03
扇形面积公式及计算
REPORTING
WENKU DESIGN
扇形面积公式
弧长公式
扇形面积也可以表示为
$l = theta r$，其中$theta$是弧所对应的中心角，r是半径。
$S = frac{npi r^2}{360}$，其中n是扇形的圆心角，r是半径。
扇形面积公式
$S = frac{1}{2} theta r^2$，其中 $theta$是弧所对应的中心角，r是半径。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
扇形面积计算实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆心角为90°，求扇形的弧长和面积。
实例2
一个圆的半径为4cm，弧长为6cm，求扇形的圆心角和面积。
扇形面积计算练习题
练习1
已知圆的半径为3cm，圆心角为120°，求扇形的面积。
练习2
已知圆的半径为5cm，弧长为10cm，求扇形的圆心角和面积。
PART 04
在物理学中，弧长也被用于描述各种运动轨迹，如行星绕太阳的轨道、物体在斜面上的滚动等。
扇形面积在日常生活中的应用
在日常生活和工作中，扇形面积的应用也十分广泛。例如，在计算圆形物体的表面积时，扇形面积是其中的一部分。
在农业领域，扇形面积可用于计算灌溉面积、播种面积等，有助于提高农作物的产量和经济效益。
PART 05
弧长及扇形面积的拓展知识
REPORTING
WENKU DESIGN
弧长的拓展知识
弧长的计算公式
弧长 = 圆心角/360° × 圆的周长。通过这个公式，我们可以计算出给定圆心角的弧长。
弧长的应用

[初中数学++]弧长和扇形面积(第2课时)+九年级数学上册(人教版五四制)

C.36π
D.32π
课堂检测
人教版五四制数学九年级上册
4.圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm.求它的侧面展开图的
圆心角和圆锥的全面积.
解：根据题意得，圆锥的底面周长是80πcm，底面积是
1600πcm2. 因此圆锥的侧面展开图的圆心角为
180 80
160
90
圆锥的侧面积为0.5×80π×90=3600π(cm2)
180º
18πcm2
27πcm2
5.一个扇形,半径为30cm,圆心角为120度,用它做成一个圆锥的
侧面,那么这个圆锥的底面半径为_____．
10cm
6.圆锥的侧面积为8πcm2,其轴截面是一个等边三角形,则该轴截
面的面积_______．
4 3cm 2
课堂检测
人教版五四制数学九年级上册
1.已知圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm，则它的侧面积
2
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡
20×(22.10+14.76)≈738(m2).
人教版五四制数学九年级上册
小试牛刀
人教版五四制数学九年级上册
1.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图
的扇形的圆心角为（ B ）
A．120°
B．180° C．240°
D．300°
2.如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的
180
可得：a=30.
拓展训练
人教版五四制数学九年级上册
2.如图，已知圆锥的底面半径r=10cm，母线长为40cm.
(1)求它的侧面展开图的圆心角和侧面展开图的面积；
(2)若一小虫从A点出发沿着圆锥侧面爬行到母线SA的中点B，

初中九年级数学弧长和扇形面积2

24.4.1 弧长和扇形面积教学任务分板书设课后反问题与情境师生行为设计意图活动一：创设情境，引入课题制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图1中虚线的长度），再下料，这就涉及到计算弧长的问题．活动二：思考：试一试问题1：你还记得圆周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n 的圆心角呢？设：圆的半径为R ，求n 的圆心角所对的弧长.问题2：你还记得圆面积的计算公式吗？圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n 的圆心角呢？设：已知⊙O 半径为R ，求n 的圆教师提出问题后，学生认真思考，说明解题的关键是求中心线“展直长度”，但如何求呢？从而引出今天的课题：弧长和扇形面积．教师根据学生已有的知识结构，强调弧、扇形的有关概念．教师引导学生由圆周长入手，推导弧长公式．教师提出问题后，学生认真思考，由中等学生回答：圆周长为2R π，可看作是360°的圆心角所对的弧长；1°的圆心角所对的弧长为2360180R Rππ=；圆心角为n °的弧长是圆心角为1°的弧长的n 倍；∴n 的圆心角所对的弧长为180n Rπ.∴弧长公式为：180n Rl π=注：不写度，n 和180表示的是倍、分关系.教师关注学生对公式的理解程度.教师引导学生类比弧长公式的推导过程，推导出扇形面积公式：（1）圆面积S=πR 2，可以看作是360°的圆心角所对的扇形面积；由实际问题引出课题，可激发学生的学习兴趣．在教师的引导下，推出弧长公式，使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，更要学会学习新知识的方法．教会学生用类比的方法研究问题．教学过程设DC B AO R=900mm100︒700mm 700mm图1 CB A 1︒n ︒问题与情境师生行为设计意图活动六：理一理学生小结教师归纳布置作业：A组：P122页练习：1，2，P124页习题24.4：1.（1）、（2），2，6，7．B组：P122页练习：1，2，P124页习题24.4：2，3，5，6．经过分析，学生知道了水面高即弧AB的中点到弦AB的距离．因此想到做辅助线的方法：连接OA、AB，过O作O C⊥AB于点D，交AB于点C．教师关注学生对题目的理解，师生共同分析题目条件后，由学生独立写出解题过程，用实物投影展示学生的解题过程，再由学生对解题过程给予评价．由学生谈谈本节课学习的体会和收获，各抒己见．教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确．知识：弧长公式180n Rlπ=；扇形面积公式：2R=360nSπ扇形12lR=．能力：灵活运用公式解决实际问题．数学思想：数形结合思想．学生课下独立完成．教师对学生的作业在批改后及时反馈．B组补充作业：已知：如图，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作14圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积．学生在学习新知识的同时要想到学过的知识，在这里就运用了垂径定理．巩固所学知识，达到复习的目的，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，对教学进度和方法进行适当调整，并对有困难的学生给予指导。

九年级数学弧长及扇形的面积

在相同的半径下，弧长越长，对应的扇形面积越大。
弧长与扇形面积之间存在一定的关联，可以通过公式进行转换。
弧长与半径的关系
弧长与半径之间存在正比关系，即当半径增加时，弧长也相应增加。
弧长的计算公式为：弧长 = 圆周率 * 半径 * 角度（以度为单位）。
在相同的角度下，半径越大，弧长越长。
在经济学中，弧长和扇形面积可以用于描述经济现象的分布情况，例如收入分布的不平等程度。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
扇形面积的计算公式为：$A = frac{1}{2}r^2alpha$，其中$r$是圆的半径，$alpha$是圆心角的弧度数。
弧长及扇形面积在实际问题中的应用
在物理学中，弧长可以用于计算曲线运动的轨迹长度，例如行星绕太阳运动的轨道长度。
在工程学中，扇形面积可以用于计算物体在旋转运动中的受力情况，例如旋转机械的扭矩和功率。
$S = frac{1}{2} theta r^2$，其中 $S$是扇形面积，$theta$是圆心角（以弧度为单位），$r$是半径。
扇形面积计算示例
示例1
一个扇形的圆心角为$frac{2}{3}$弧度，半径为3，求扇形面积。
示例2
一个扇形的弧长为4，半径为2，求扇形面积。
扇形面积在生活中的应用
九年级数学：弧长及扇形的面积
目录
• 弧长公式及计算 • 扇形面积公式及计算 • 弧长与扇形面积的关系 • 弧长及扇形面积的拓展知识
01 弧长公式及计算
弧长公式
01
02
03
弧长公式
弧长 = (圆心角/360°) × 圆的周长
圆心角
弧所对的中心角，单位为度。