发动机振动理论分析a

（10）
式中： ——质量矩阵；
——阻尼矩阵；
——刚度矩阵；
——激振力。
1.2
计算机技术的发展，为复杂结构的振动的分析提供了新的途径，发展了另一种更为使用而先进的方法——有限元法。
有限元法的基本思想是把连续体视为有有限个基本单元在结点处彼此相连接的结合体，把具有无穷多个自由度的连续结构振动问题变成为有限多个自由度的振动问题。有限元法的分析过程为
表1弹性胶垫的弹性主轴方向余弦
坐标轴系
弹性主轴
2
多自由度系统的固有频率和主振型，可通过求解系统的无阻尼自由振动方程（1）得到。设方程（1）的解为
（18）
式中 为系统振动时的振幅向量（列阵），将式（2）及其对时间的二阶导数带入方程（1），消去因子 后得
（19）
求解方程（3）的问题，常称为特征值问题。要得到方程（3）得振动解（非零解），必须 的系数行列式等于零，即
（1）
系统的势能可表示为：
（1）
如果写成矩阵形式，为：
广义坐标阵列（3）
质量矩阵（4）
刚度矩阵（5）
则有：
（6）
（7）
令 表示质点系的动能与势能之差，成为拉格朗日函数，于是有：
（8）
这就是保守系统的拉格朗日方程。
由拉格朗日方程，得：
（9）
上列方程就是无阻尼多自由度系统的运动微分方程一般形式。
对于有阻尼系统利用表征系统阻尼性质的物理量耗散函数 来考虑线性阻尼的影响，在利用拉格朗日方程，可得到有阻尼多自由度系统振动运动微分方程的一般形式：
3
-42.0
-29.0
-17.0
43.0
0.0
0.0
1049.6
1049.6
761.5
表3动力总成惯量矩阵参数
质量M
（kg）
转动惯量及惯性积（kg·cm2）
六缸
1015.3
330700
1340700
1229100
-13200
-12200
-35600
由式13，可得动力总成系统的质量矩阵为：
刚度矩阵为：
由式（20），可以求得固有频率如图（3）所示：
图3动力总成固有频率曲线
由图（3）可以看出，动力总成得固有频率为： ， ， ， ， ， 。
图1橡胶垫及其弹性主轴 ， ，
图2动力总成悬置系统
2.2
从隔振的角度，汽车发动机总成及其悬置所组成的弹性系统，其固有频率通常在6-20Hz，在此频率范围内发动机的振动只存在刚性模态，因此可以把发动机总成简化为空间刚体，其位置可用质心的三个直角坐标系 、 、 以及绕过质心平行于定坐标轴的三个动坐标轴转角 、 、 来表示，因而发动机总成具有6个自由度，其广义坐标列矢量为：
模态（27）
应用由系统各主振型组成的模态矩阵作为变换矩阵，对原方程进行坐标变换，可使质量矩阵和刚度矩阵都同时对角线化，得到一组互不耦合的模态方程。其中每个方程的结构都和一个单自由度系统的运动方程相同，可以应用解单自由度系统的方法分别求解，从而求得多自由度系统对各种形式激振（例如简谐激振、非谐周期性激振、非周期性激振和随机激振）的动力响应。
1.4
2
发动机受其自身或来自地面的干扰，将在其支撑上发生振动。此处拟采用模态分析的方法作为发动机振动的理论分析方法。
2.1
为了减少发动机振动时对车架的影响，汽车发动机都是用弹性支撑安装在车架上的。汽车发动机的弹性支撑采用入图1所示的橡胶垫，安装它时，一端安装在车架上，一端安装在发动机上。橡胶垫在空间三维上都有弹性，但由于发动机的各点位置相距较远，故常略去支撑垫的扭转弹性，而把橡胶垫简化沿空间三个有弹性轴的弹簧，此三轴称为橡胶垫的弹性主轴。当作自由振动分析时，阻尼可略去，常把橡胶垫假设为一种无阻尼的线性弹簧元件，于是发动机悬置系统就可以简化为如图2所示的力学模型，并设定车架为绝对刚体，具有无限质量。
（11）
用拉格朗日方程可导出其6个振动微分方程，写成矩阵形式如下：
（12）
其中：
（13）
式中： ——发动机总质量；
、 、 ——发动机的转动惯量；
、 、 ——发动机的惯性积。
（14）
矩阵 中个元素 ， ……等计算公式见式（14~16），支撑橡胶垫布置后，其弹性主轴的方向余弦见表1：
（15）
（16）
（17）
将系统的6个主振型（主模态），每个作为一列按阶次排列在一个矩阵中，组成6阶方阵 ，称为模态矩阵（振型矩阵），即
（21）
应用式（5）的模态矩阵 作为变换矩阵，对系统以广义坐标 表达的运动方程
（22）
作坐标变换
（23）
并在等式两边前乘 后得到的运动方程为
（24）
或 （25）
式（6）是以新广义坐标 表达的。这个新的广义坐标称为模态坐标（主坐标），方程（6）称为系统的模态方程，对于模态坐标的广义质量矩阵 和广义刚度矩阵 ，分别称为模态质量矩阵和模态刚度矩阵，它们是对角矩阵。
1.3
如果复杂构件难以离散化就要利用模态分析技术来建立振动系统的数学模型。
通过模态分析的方法求解出振动系统的模态参数，即系统的固有频率、振型及阻尼，从而建立起分析模型。模态分析的一般过程如下：
（1）、求解广义坐标下多自由度系统的质量矩阵和刚度矩阵；
（2）、写出系统的无阻尼自由振动方程；
（3）、求解振动方程，得到多自由度系统的固有频率和主振型；
将任何一个特征值 代回方程（3），都可求得一个相应得非零向量 ，称为特征向量，对于振动系统，一个特征向量描绘了系统振动位移的一种形态，称为主振型（主模态），主振型只与系统本身得参数有关，而与其它条件无关，所以又称为固有振型。可见，6个自由度的系统有6个固有频率和6个相应得主振型，与 阶固有频率 相应的主振型 ，称为 阶主振型，它们总是成对的在一起并描述系统的一个单独的特性。
发动机隔振
1
发动机工作时，由于自身和来自地面的干扰，引起多种复杂的振动。发动机作为一般机械，分析其振动可用如下几种方法。
1.1
对于振动，如果能用函数形式写出其势能及动能的表达式，可以用拉格朗日方程。
设由 个质点组成的系统，其 个独立的广义坐标为 ， ，…… 若系统的约束条件式定常的，则系统的动能可表示为：
（4）、由各阶主振型写出系统的模态矩阵；
（5）、应用模态矩阵，使质量矩阵和刚度矩阵对角线化，得到模态质量矩阵和模态刚度矩阵；
（6）、由模态质量矩阵和模态刚度矩阵可写出系统的模态方程；
（7）、求解系统的模态方程可得到系统对各种形式激振（例如简谐激振、非谐周期性激振、非周期性激振和随机激振）的动力响应。
(20)
式（4）称为特征方程或频率方程，将特征方程（4）展开后得到一个 的6阶多项式，求借式（4）可得到6个根： ， ，……， ，称为特征值，将特征值分别开方后得到6个 （ =1，2，……，6）称为系统的6个固有频率，按大小顺序排列： ，分别为1阶（基本）固有频率、2阶固有频率、……、6阶固有频率。
3
4
汽车发动机系统为4点支撑，其中第一与第二支撑和第三与第四支撑均为左右对称布置。初始参数如表1和表2所示。
表2动力总成悬置系统参数
支撑点
/cm
/cm
/cm
(°)
(°)
(°)
/kg·cm-1
/kg·cm-1
/kg·cm-1
1
42.0
-25.0
-13.0
40.0
0.0
0.0
816.3
816.3
704.7