高三数学 线性回归 第二课时
高三数学回归方程知识点
高三数学回归方程知识点回归方程是高三数学中的一个重要概念，它在数据分析和预测中起到了至关重要的作用。
了解回归方程的知识点对于高考数学复习和应用都非常重要。
本文将为你介绍高三数学回归方程的知识点，帮助你更好地掌握这一概念。
一、回归方程的定义回归方程是用于描述两个或更多个变量之间关系的数学模型。
它可以通过已知数据点的坐标来找到最佳拟合曲线或直线，进而进行预测和分析。
二、一元线性回归方程1. 简介一元线性回归方程是最简单的回归方程形式，它描述了两个变量之间的线性关系。
方程的一般形式为：y = ax + b，其中y是因变量，x是自变量，a和b是常数。
2. 最小二乘法求解一元线性回归方程的常用方法是最小二乘法。
最小二乘法通过最小化实际观测值与回归方程预测值之间的误差平方和，来确定最佳拟合直线的斜率和截距。
三、多元线性回归方程1. 简介多元线性回归方程是一种描述多个自变量与因变量之间线性关系的模型。
方程的一般形式为：y = a1x1 + a2x2 + ... + anx + b，其中y是因变量，x1、x2、...、xn是自变量，a1、a2、...、an和b是常数。
2. 多元线性回归方程的求解多元线性回归方程的求解可以使用矩阵运算的方法，通过求解正规方程组来得到最佳拟合曲面或超平面的系数。
四、非线性回归方程1. 简介非线性回归方程是描述自变量和因变量之间非线性关系的模型。
在实际问题中，很多现象和数据并不符合线性关系，因此非线性回归方程具有广泛的应用。
2. 非线性回归方程的求解求解非线性回归方程的方法有很多种，常用的包括最小二乘法、曲线拟合法和参数估计法等。
具体选择哪种方法取决于具体问题和数据的特点。
五、回归方程的应用回归方程在实际问题中有广泛的应用。
它可以用于数据分析、预测和模型建立等方面，帮助我们了解变量之间的关系并进行科学的决策和预测。
六、总结回归方程是高三数学中的一个重要概念，掌握回归方程的知识点对于数学复习和问题解决至关重要。
2025高考数学一轮复习-9.1.2-线性回归方程【课件】
(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出). 根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概 率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千 件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料 成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选 择100元还是90元，请说明理由.
因为 y ＝3860＝45，
8
uiyi－8 u y
i＝1
所以b^ ＝
8
u2i －8 u 2
i＝1
＝1831..45－ 3－8×8×0.03.411×545＝06.611＝100，
则a^ ＝ y －b^ u ＝45－100×0.34＝11， 所以y^ ＝11＋100u， 所以 y 关于 x 的回归方程为y^＝11＋10x0.
三、非线性回归问题
知识梳理
解非线性回归分析问题的一般步骤 有些非线性回归分析问题并不给出函数，这时我们可以根据已知数据 画出散点图，与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图 象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量 进行变换，把问题转化为线性回归分析问题，使之得到解决.
n
v2i －n
v
2
i＝1
i＝1
解 ①当产品单价为100元，设订单数为m千件，因为签订9千件订单的 概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2， 所以E(m)＝9×0.8＋10×0.2＝9.2， 所以企业利润为 100×9.2－9.2×190.20＋21＝626.8(千元). ②当产品单价为90元，设订单数为n千件， 因为签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7， 所以E(n)＝10×0.3＋11×0.7＝10.7，
高三数学-7.线性回归 精品
7．线性回归学习指导回归分析方法是处理多个变量之间相关关系的一种数学方法．一元线性回归是其中最常用的一种方法．本节主要内容有。
1．了解相关关系和回归方程的意义；2．了解最小二乘原则，掌握一元线性回归方程的回归系数的最小二乘估计的计算公式；3．会作实验数据的散点图和回归直线，会利用回归直线方程，根据x 变量的取值预测y 变量的取值；4．会计算两变量之间的相关系数，并通过查表对所求得的回归直线方程进行检验． 一、例题1．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，ε为误差项．模型如下： 模型1：y =6＋4x ；模型2：y =6＋4x ＋ε.（1）如果x =3，ε=1，求两个模型中的y 值；（2）如果x =3，ε=0，求两个模型中的y 值；（3）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机性模型． 解（1）模型1：y =6＋4x =6＋4×3=18；模型2：y =6＋4x ＋ε=6＋4×3＋1=19． （2）模型1：y =6＋4x =6＋4×3=18；模型2；y =6＋4x ＋ε=6＋4×3＋0=18. （3）模型1中相同的x 值一定得到相同的y ，所以是确定性模型；模型2中相同的x 值，因ε的不同所得y 不一定相同，所以是随机性模型．（1）画出数据的散点图；（2）用最小二乘估计求回归直线方程，并在散点图上加上回归直线； （3）此回归直线有意义吗？ 解：（1）数据的散占图见右图（2）5115i i x x ==∑=118，521()xx i i l x x ==-∑=1570.23.2y =，51()()xy i i i l x x yy ==--∑=318，∴ b =3080.19621570xyxx l l =≈，a =308ˆ23.2109 1.81661570bx β=-⨯≈， ∴ 回归直线方程为ˆy=1.8166＋0.1962x ． （3） y 与x 的相关系数r 5()()iix x y y --∑=0.9597，查表，n －2=3时，临界值r 0.18=0.878，由 r >r 0.18知，变量 y 与 x 之间具有线性相关关系，回归直线是有意义的． 二、练习题1．设有一个回归方程为ˆy=2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时（C ） （A ）y 平均增加 1.5单位 （B ）y 平均增加2单位 （C ）y 平均减少 1.5单位 （D ）y 平均减少2单位2．回归直线方程ˆy=a ＋bx 必定过点（D ） （A ）（0，0） （B ）（x ，0） （C ）（0，y ） （D ）（x ，y ）3．回归直线方程的系数a ，b 的最小二乘估计ˆˆ,a b ，使函数Q(a ，b )最小，Q 函数指（A ）（A ）21()ni i i y a bx =--∑ （B ）1||ni i i y a bx =--∑（C ）2()i i y a bx -- （D ）||i i y a bx --4．一家保险公司调查其总公司营业部的加班程度，收集了10周中每周加班工作时间y （小时）与签发新保单数目x 的数据如下表，则用最小二乘估计求出的回x xx y xy ∴ b =0.018585，a =0.1181.5．上题中，每周加班时间y 与签发新保单数目x 之间的相关系数 r =0.9489 ，查表得到的相关系数临界值r 0.18= 0.632 ，这说明第5题中求得的两变量之间的回归直线方程是 有 （有／无）意义的．6．上面题中，若该公司预计下周签发新保单1000张，需要的加班时间的估计是 3.7（小时） .提示：x 0=1000，ˆy=0.1181＋0.018585x 0=3.7（小时）． 7．1918年一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间从192吨到3246吨，船员的数目从10人到22人．船员人数关于船的吨位的回归分析得到如下结果：船员人数= 9.5＋0.0182×吨位．（1）假定两艘轮船吨位相差1000吨，船员平均人数相差多少？（2）对于最小的船估计的船员数是多少，对于最大的船估计的船员数是多少？解：（1）船员平均人数相差 0.0182×1000=6.2人． （2）当取最小吨位192时，预计船员数为9.5＋0.0182×192=10.7（人）； 当取最大吨位3246时，预计船员数为9.5＋0.0182×3246=22.6（人）·（1）依据这些数据画出散点图并作直线ˆy=78＋4.2x ，计算 21ˆ()ii y y=-∑；（2）依据这些数据由最小二乘法求线性回归方程，并据此计算1021ˆ()i i y y =-∑；（3）比较（1）和（2）中的残差平方和1021ˆ()i i y y=-∑的大小． 解（1）散点图与直线ˆy=78+4.2x 的图形如下图．对x 一1，3，…，n ，有 ˆy=82.2，90. 6，94. 8，94. 8，118. 2，111. 6，120，120，124. 2，132. 6， ∴1021ˆ()ii y y=-∑=179.28．（2）x =7，l xx =118，l xy =568，b =4，a =80，∴ ˆy=80+4x ， ˆy i ＝84，92，96，96，118，112，120，120，124，132，1021ˆ()i i y y =-∑＝170．（3）比较可知，用最小二乘法求出的1021ˆ()i i y y=-∑较小。
线性回归
ˆ 因此所求的回归直线方程是 y =4.75x＋257.
根据这个回归直线方程，可以求出相应于x 的估计值．例如当x=28（kg）时，y的估计
值是
ˆ y = 4.75×28＋257=390（kg）．
北京大峪中学高三数学组
线性回归
例1．一个工厂在某年里每月产品的总成本y
（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组
分析的方法叫做回归分析． 在现实生活中存在着大量的相关关系．人 的身高与年龄、产品的成本与生产数量、商品
的销售额与广告费、家庭的支出与收入等都是
相关关系．
北京大峪中学高三数学组
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间
的函数关系是 y = x2 确定性关系 问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是 否有一个确定性的关系？ (不确定关系) 例如：在7块并排、形状大小相同的试验田上进行 施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一 组数据：
i 1 n
，即
表示从x1加到xn的和．这样，n个数的平均
1 n 数的公式可以写作 x xi .上面的③ n i 1 n 2 式可以写作Q= ( yi bxi a) .
i 1
北京大峪中学高三数用配方法，可以导出使Q取得最 小值的a，b的求值公式（详细推导过程请 见本小节后的阅读材料．P43页）.
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线性回归
Q=(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋……＋(yn －bxn－a)2 ③
来表示n个点与相应直线在整体上的接近 程度． 于是我们的问题是，如何求得系数a， b，使Q取得最小值．
北京大峪中学高三数学组
线性回归
为了书写方便，我们先引进一个符号 “ ”．这个符号表示若干个数相加. 例如，可将x1+x2+……+xn记作 xi
高三数学线性回归
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平凡，我的家族过于强大，我的一生已经被定死，使我没有任何动力去想象属于我自己的生活，因为我必须活在责任与情义当 中。姐姐深知我将来的路会变成这样一条险路，假如我不做出改变的话。于是就要我学会做人、学会负责，学会走自己的人生 之路；于是我来到了姐姐的单位实习；于是我要每晚做公务员的真题；于是对了，我们家的灯烧坏了。想到这，我猛地惊了一 番，“啊，痛，好强的光。”心想，这屋里的灯有这么强吗？不对，这不是灯光，是带有自然气息的太阳光。“哥哥，你没事 吧？”一陌生的声音在耳边响起。我顿时心头一惊，这是谁的声音，听起来就是个十来岁的小伙的声音，奇怪这声音怎么这么 优美。我正想要睁开眼睛，却发现强光过于刺眼，我没能成功。而且身体也像是在沉睡一样，动不了。这时的我，隐约感受到 背部有一种软软的感觉，也断续闻到有一股带有草原气息的气味，难道我这是躺在内蒙古的广阔的草原上吗？又蓦地，我被自 己的想法惊了一下，我这不是昏过去躺在我姐姐的出租屋里的冷冰冰的地板上的吗？“哥哥，你不打紧吧？要不我去找你来帮 你吧？”又来了，这小正太究竟是谁啊？过了这么一段时间，眼睛稍微适应了强光，于是我就努力试着睁开眼睛，因为不这样 做的话就根本没办法行动，心中就会担心自己继续待下去会遇到什么危险，因为我已经感觉到了，这根本不是出租屋；我这个 人对于一些未知的领域，总会自动有一种想逃跑的危机感，也许是我那胆小怕事的性格衍生出来的吧。对了，从前试过睡觉睡 到脑瓜子醒了但是身子却动不了的情况，是俗话说的鬼压身吧？其实我知道那是大脑醒了身体还在休息的一种生理现象罢了。 好，我试试用尽全身的力去唤醒我的身体吧！“哥哥”那小男孩貌似对我不离不弃；很好，等我醒过来好好表扬你一番这关爱 陌生人的情操吧！我集中了所有精力，用尽全身能感受到的力气去努力“扒开”眼皮，终于我能稍稍地睁开了眼睛；蓦地，映 入眼帘的是一张俊俏的小脸蛋；不行，还是受不了这突如其来的强光，难道我还是个怕光的软蛋，头很痛，我又一次昏了过去。 等我真正醒来的时候，我震惊了。这哪是什么姐姐的破出租屋啊，这是一间破旧的木屋，怎么看都像是我们家族在山区老家那 祖屋啊！托着沉重而稍带晕眩的脑瓜，我仔细打量了一下这木屋。它的格局确实不像我那老祖屋，而且一些房屋建造的关键之 处甚是薄弱，明显不是专业木匠搭建起来的，而且我有一种直觉，那就是这里缺少我们现代所有的气息，难道，我穿越了？正 想着这不可思议的问题，门外蹦进了一个小男孩，他冲着我叫到：“哥哥，你醒啦？”这声音有点熟耶，对了，是那个我做梦 时在与鬼压身战斗时所听到的小正太的声音。我还
高一数学必修三课件第章线性回归方程
01
02
03
变量
在某一过程中可以取不同 数值的量。
自变量
能够影响其它变量，而又 不受其它变量影响的变量 。
因变量
依赖于其它变量，而又不 能影响其它变量的变量。
散点图及其特点
散点图
用点的密度和变化趋势表示两指 标之间的直线和曲线关系的图。
特点
能直观表现出影响因素和预测对 象之间的总体关系趋势。
线性回归方程定义
通过绘制自变量和因变量的散点图，观察数据点 分布形态，若呈现非线性形态，则可能存在非线 性关系。
曲线拟合
根据散点图形态，选择合适的曲线类型进行拟合 ，如二次曲线、指数曲线、对数曲线等。
3
变换自变量或因变量
通过对自变量或因变量进行变换，如取对数、平 方、开方等，将非线性关系转化为线性关系。
可化为线性关系非线性模型
一致性
随着样本量的增加，线性回归方程 的系数估计值会逐渐接近真实值。
预测值与置信区间估计
预测值
根据回归方程和给定的自 变量值，可以计算出因变 量的预测值。
置信区间
通过构造置信区间，可以 对预测值进行区间估计， 表示预测值的可靠程度。
置信水平
置信水平表示了置信区间 包含真实值的概率，常用 的置信水平有95%和99% 。
在数据采集过程中，可能存在某些自变量 被重复测量或高度相关的情况。
变量设计问题
样本量问题
在变量设计时，可能存在某些自变量之间 存在固有的高度相关性。
当样本量较小而自变量较多时，也容易出 现多重共线性问题。
识别和处理多重共线性方法
观察自变量间的相关系数
如果两个自变量间的相关系数很高，则可能存在多重共线性 。
案例二
2019年人教版 高中数学 第三章3.1第2课时线性回归分析
2019年编·人教版高中数学第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用第2课时线性回归分析A级基础巩固一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．答案：D2．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如下，且回归方程是y^＝0.95x＋a，则当x＝6时，y的预测值为()A.8.4 B．解析：由已知可得x＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y＝2.2＋4.3＋4.5＋4.8＋6.75＝4.5，所以4.5＝0.95×2＋a，所以a＝2.6，所以回归方程是y^＝0.95x＋2.6，所以当x＝6时，y的预测值y^＝0.95×6＋2.6＝8.3.答案：B3．若某地财政收入x与支出y满足线性回归模型y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过()A．10亿元B．9亿元C．10.5亿元D．9.5亿元解析：x＝10时，y^＝0.8×10＋2＝10.因为|e|<0.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元．答案：C4．通过残差图我们发现在采集样本点过程中，样本点数据不准确的是()A．第四个B．第五个C ．第六个D ．第八个解析：由题图可知，第六个的数据偏差最大，所以第六个数据不准确．答案：C5．如图所示，5个(x ，y )数据，去掉D (3，10)后，下列说法错误的是( )A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．相关指数R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强解析：由散点图知，去掉D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以r 变大，R 2变大，残差平方和变小．答案：B二、填空题6．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝bx i ＋a ＋e i (i ＝1，2，…，n )，且e i 恒为0，则R 2为________．解析：由e i 恒为0，知y i ＝y ^i ，即y i －y ^i ＝0，答案：17．x ，y 满足如下表的关系：解析：通过数据发现y的值与x的平方值比较接近，所以x，y 之间的函数模型为y＝x2.答案：y＝x28．关于x与y，有如下数据：有如下的两个模型：(1)y＝6.5x＋17.5；(2)y＝7x＋17.通过残差分析发现第(1)个线性回归模型比第(2)个拟合效果好．则R21 ________R22，Q1________Q2(用大于，小于号填空，R，Q分别是相关指数和残差平方和)．解析：根据相关指数和残差平方和的意义知R21＞R22，Q1＜Q2.答案：＞＜三、解答题9．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(单位：元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：(1)(2)画出散点图；(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．解：(1)x＝6，y≈79.86，即样本点的中心为(6，79.86)．(2)散点图如图所示：(3)因为b ^＝∑7i ＝1 （x i －x ）（y i －y ）∑7i ＝1 （x i －x ）2≈4.75， a ^＝y ^－b ^x ≈51.36，所以y ^＝4.75x ＋51.36.10．关于x 与y 有以下数据：已知x 与y 线性相关，由最小二乘法得b ＝6.5.(1)求y 与x 的线性回归方程；(2)现有第二个线性模型：y ^＝7x ＋17，且R 2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．解：(1)依题意设y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋a ^. — x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，— y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50，因为y ^＝6.5x ＋a ^经过(— x ，— y )，所以y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x＋17.5 .所以50＝6.5×5＋a ^.所以a ^＝17.5.(2)由(1)的线性模型得y i －y i 与y i －— y的关系如下表所示：由于R21＝0.845，R2＝0.82知R21＞R2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．B级能力提升1．根据如下样本数据：得到的回归方程为y＝bx＋a，若a＝7.9，则x每增加1个单位，y就()A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位解析：易知x＝15×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，y＝15×(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，所以样本点中心为(5，0.9)，所以0.9＝5b＋7.9，所以b＝－1.4，所以x每增加1个单位，y就减少1.4个单位．故选B.答案：B2．若某函数型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．解析：因为R 2＝1－残差平方和总偏差平方和， 0．95＝1－89总偏差平方和，所以总偏差平方和为1 780；回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1 780－89＝1 691.答案：1 780 1 6913．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：(1)(2)求出回归方程；(3)作出残差图；(4)计算相关指数R 2；(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．解：(1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)— x ＝39.25，— y＝40.875, ＝13 180，a ^＝— y －b ^— x ＝－0.003 88.所以回归方程为y ^＝1.0415x －0.003 88.(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算得相关指数R 2＝0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．(5)由上述分析可知，我们可用回归方程y ^＝1.041 5x －0.003 88作为该运动员成绩的预报值．将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ≈49和y ≈57. 故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.。
高中数学2.4线性回归方程 PPT课件 图文
i＝1
∴回归直线方程为y^＝1.143x＋0.571.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型三 利用回归直线对总体进行估计 【例3】 (14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲 产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几 组对照数据.
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y关于x的线
即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)利用回归直线对总体进行估计 利用回归直线，我们可以进行预测，若回归直线方程为：y^＝ bx＋a，则 x＝x0 处的估计值为：y^＝bx0＋a.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一 相关关系的判断 【例1】 下列两个变量之间的关系中，①角度和它的余弦 值；②正方形的边长和面积；③正n边形的边数和其内角度数之 和；④人的年龄和身高．不是函数关系的是________．(填序号) [思路探索] 函数关系是一种变量之间确定性的关系．而相 关关系是非确定性关系． 解析 选项①②③都是函数关系，可以写出它们的函数表 达式：f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π，④不是函数关系， 对于相同年龄的人群中，仍可以有不同身高的人． 答案 ④
xi2－n x 2
n
xi－ x 2
i＝1
i＝1
a＝ y －b x .
想一想：1.相关关系是不是都为线性关系？ 提示 不是．有些变量间的相关关系是非线性相关的． 2．散点图只描述具有相关关系的两个变量所对应点的图形吗？ 提示 不是．两个变量统计数据所对应的点的图形都是散点图．
高中数学：2.4《线性回归方程课件》课件(苏教版必修三)
Part
02
线性回归方程的建立与求解
线性回归方程的建立方法
STEP 01
散点图观察
STEP 02
确定回归系数
通过绘制散点图，观察自 变量与因变量之间的关系 ，初步判断是否具有线性 关系。
STEP 03
检验残差
通过观察残差图或计算残 差平方和，检验模型的拟 合效果，判断是否需要进 一步调整模型。
根据最小二乘法原理，通 过计算得到回归系数，从 而确定线性回归方程的斜 率和截距。
以是( )
习题
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x + 5
C. ŷ = 1.23x + 4.5 D. ŷ = 1.23x + 3
3、题目：已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方 程可以是( )
习题
01
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x +5
预测性
利用线性回归方程可以对 未知数据进行预测。
线性回归方程的应用场景
经济预测
科学实验
通过对历史数据的分析，利用线性回 归方程预测未来经济指标的变化趋势 。
在科学实验中，通过控制变量法来研 究自变量和因变量之间的线性关系， 并利用线性回归方程进行数据分析。
销售预测
根据历史销售数据和市场调查，利用 线性回归方程预测未来产品的销售情 况。
增加自变量
增加自变量可以更好地解释因变 量的变化，从而优化线性回归方 程。
调整模型形式
根据实际情况调整模型形式，可 以更好地拟合数据，从而优化线 性回归方程。
Part
04
线性回归方程的实例分析
高中数学选修本(文科)线性回归 ppt2名师课件
课时小结：
1、本节课我们学习了线形回归的几个 基本概念：两个变量之间的相关关系， 回归分析，散点图，回归直线方程， 回归直线，线性回归分析；
2、共同探讨了已知各对数据如何求 回归直线方程。其推导方法是利用配 方法；
3、另外通过本节课的学习，我们看到， 由部分观测值得到的回归直线，可以对 两个变量间的线形相关关系进行估计；
8 368 560 9 305 505
求回归直线方程。 10 210 480
县城 编号
xi
yi
11 387 602
12 270 540
13 218 414
14 342 590
15 173 492
16 370 660
17 170 360
18 205 410
19 339 680
20 283 594
解：由已知数据可以算出：
i 1
7
xi yi 87175.
i 1
由上表所可知：
n
b
i1 n
xi yi nxy xi2 nx2
87175 730399.3 7000 7302
4.75,
i1
a y bx 399.34.7530 257.
因此所求回归直线方程是：
,
i1
a y bx.
其中
x
1 n
n i1
xi , y
1 n
n i1
yi .
将所得到的方程 yˆ bx a叫做回归直线方程，
相应的直线叫做回归直线。 对两个变量所进行的
上述统计分析叫做线性回归分析。
例1
解：由题意，列出如下所示表格。
高中数学线性回归教案
高中数学线性回归教案教学目标：
1. 了解线性回归的基本概念和原理；
2. 学会使用最小二乘法进行线性回归分析；
3. 掌握线性回归模型的建立和应用。
教学重点：
1. 理解线性回归的意义；
2. 学会求解线性回归模型中的系数；
3. 掌握线性回归模型的应用。
教学难点：
1. 学会使用最小二乘法求解线性回归系数；
2. 理解线性回归模型的推导过程。
教学准备：
1. 教师准备PPT讲解线性回归的基本概念和原理；
2. 课堂上需要使用电脑进行实例演示；
3. 学生需要准备笔记本记录重要知识点。
教学过程：
1. 引入：通过实例引入线性回归的概念；
2. 讲解线性回归模型的建立和求解过程；
3. 使用最小二乘法进行线性回归模型的求解；
4. 通过实例演示线性回归模型的应用；
5. 总结线性回归的主要知识点。
教学延伸：
1. 学生可以通过实际数据进行线性回归分析；
2. 学生可以进一步了解多元线性回归和非线性回归。
课堂反馈：
1. 学生通过实例演示线性回归的能力；
2. 学生通过习题练习线性回归的应用。
教学资源：
1. 电脑和投影仪；
2. 练习题目和实例数据。
教学评价：
1. 通过课堂表现评价学生对线性回归的掌握情况；
2. 通过作业评价学生对线性回归的应用能力。
高中数学：2.4《线性回归方程(2)》课件(苏教版必修三)
因此，所求线性回归方程为
精选课件ppt
8
y b x a 0 .6 6 8 x 5 4 .9 6
例2．已知10只狗的血球体积及红血球数的 测量值如下：
x 4444435435
5268258090
y 6. 6. 9. 7. 6. 5. 9. 6. 6. 8. 5355994257
y x (3血0球2体0积9 , 0m l9)，0 9（2红血球数，百万）
线性回归方程是
( D)
A .y ˆ5.751.75x
B .y ˆ1.755.75x
C .y ˆ1.755.75x
D .y ˆ5.751.75x
精选课件ppt
4
我们考虑两个表示变量x与y之间的关系
的模型， 为误差项，模型如下：
模型１：y=6+4x;模型２：y=6+4x+e.
（１）如果x=3,e=1,分别求两个模型中 y的值； （２）分别说明以上两个模型是确定性 模型还是随机模型．
（1）画出上表的散点图； （2）求出回归直线度且画出图形．
精选课件ppt
9
解：（1）图略 （2）x 1 ( 4 5 4 2 4 6 4 8 4 2 3 5 5 8 4 0 3 9 5 0 ) 4 4 .5 0
1 0
y 1 ( 6 . 5 3 6 . 3 0 9 . 5 2 7 . 5 0 6 . 9 9 5 . 9 0 9 . 4 9 6 . 2 0 6 . 5 5 8 . 7 2 ) 1 0
时y， 的估计 1_1._6值 9_._为 __
3.用 最 小 二 乘 法 求 数 回 归 系
n
n
i1
xi
yi
n i1
xi
高考线性回归知识点
高考线性回归知识点线性回归是高考数学中的一个重要知识点，它是一种统计学上常用的方法，用于分析两个变量之间的线性关系。
在高考中，线性回归经常被应用于解决实际问题和预测未知数据。
本文将介绍线性回归的基本概念、公式以及应用示例，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
一、线性回归的基本概念线性回归是建立一个自变量X和一个因变量Y之间的线性关系模型，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的误差，来拟合和预测因变量Y的值。
线性回归的模型可以表示为：Y = β0 + β1*X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0是截距，β1是斜率，ε是误差项，代表模型无法准确拟合数据的部分。
二、线性回归的公式1. 简单线性回归如果模型中只有一个自变量X，称为简单线性回归。
简单线性回归的公式为：Y = α + βX + ε其中，α表示截距，β表示斜率，ε为误差项。
我们利用给定的数据集，通过最小二乘法来估计α和β的值，从而得到一条最佳拟合直线。
2. 多元线性回归如果模型中有多个自变量X1、X2、X3...，称为多元线性回归。
多元线性回归的公式为：Y = α + β1*X1 + β2*X2 + β3*X3 + ... + ε同样，我们利用最小二乘法来估计α和每个β的值，从而得到一个最佳拟合的平面或超平面。
三、线性回归的应用示例线性回归在实际问题中有广泛的应用。
下面通过一个简单的例子来说明线性回归的具体应用过程。
例：某城市的房价与面积的关系假设我们要研究某个城市的房价与房屋面积之间的关系。
我们收集了一些房屋的信息，包括房屋的面积和对应的价格。
我们可以使用线性回归来建立一个房价和面积之间的模型，从而预测未知房屋的价格。
1. 数据收集首先，我们收集了一些房屋的面积和价格数据，得到一个数据集。
2. 模型建立根据数据集，我们可以建立一个线性回归模型：价格= α + β*面积+ ε通过最小二乘法，估计出α和β的值。
3. 模型评估为了评估模型的好坏，我们需要计算误差项ε。
高中数学人教A版必修三2.3.2《线性回归方程》课件
2、回归直线方程
定义：一般地，设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应 于n组观测值的n个点（xi,yi）（i＝1，2，…，n）大致分布在 一条直线附近，求在整体上与这n个最接近的一条直线.设此直 线方程为y^=bx+a.
这里在y的上方加记号“^”，是为了区分实际值y，表示当 x取值xi（i＝1，2，…n）时，y相应的观察值为yi，而直线上对 应于xi的纵坐标是yi^=bxi+a. y^=bx+a叫做y对x的回归直线方 程，a、b叫做回归系数.
2.3 变量间的相关关系
2.3.2 线性回归方程
本课主要学习变量间的相关关系的相关内容，具体 包括线性回归方程的求解。
本课开始回顾了上节课所学变量间的相关关系与散 点图的相关内容，紧接着引入回归直线的定义及特征， 回归直线方程的定义及求法（最小二乘法），并且通过 例题和习题进行讲解。最后通过习题进行加深巩固。
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1. 理解线性回归。 2. 了解回归直线方程的求解方法。
（1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来 描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．
（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就 有相关关系。
（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就 有线性相关关系 .
y 水稻产量
500
450
400
350
(施化肥量)
300
10 20
30
40
50
x
3、最小二乘法
假设我们已经得到两个具有线性相关的变量的一组数 据（x1，y1），（x2,y2），…（xn,yn）.
n
n
(xi x)( yi y)
高三数学 线性回归 第二课时
高三数学 线性回归 第二课时一、教学目标：1．了解相关系数的计算公式及其意义．会用相关系数公式进行计算；2．了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验；3．能根据相关数据和相关性检验方法进行检验；4．感受数学在实际生活中的应用．二、教学重点：相关性检验方法和检验步骤；教学难点：相关性检验方法依据的理解．三、教学用具：多媒体四、教学过程：1．提出问题，引导思索先给出如图1－11（教科书）所示的各点不集中在一条直线的散点图，并提问：可否按前面求回归直线方程的步骤，求出回归直线方程？若能求出，求出的回归直线方程是否有实际意义？引导学生解决以上问题后，板书：2．样本相关系数首先，指出衡量数据线性程度的必要性，再引入样本相关系数（即相关系数）的概念．即∑∑∑===----=n i n n ii ni ii y y x x y y x x r 11221)()())(( 或 ∑∑∑===---=n i n n i i n i i iy n y x n x xy n y x r 1122221))(( 叫做变量y 与x 之间的样本相关系数（简称相关系数），用它来衡量它们之间的线性相关程度． 由学生计算本节前面水稻产量与施化肥量的相关系数，即.9733.0)3.39971132725)(3077000(3.39930787175 )7()(7(7227171222271≈⨯-⨯-⨯⨯-=---=∑∑∑===i n i ii ii y y x x xy y x r由上述计算可得到 并向学生指出：1≤r ，且r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小． 根据上述结论，引导学生提出如下问题：当r 与1接近到什么程度时表明y 与x 之间具有线性相关关系？为解决上述问题，一般采取以下方法：3．（板书）线性相关关系检验方法（1）说明线性相关关系检验方法的思想及前提．（2）检验的具体方法．①根据公式计算相关系数r 的值；②在附表中查出与显著性水平0.05和自由度2-n 相应的相关系数临界值05.0r ；③检验所得结果：若05.0r r ≤，则y 与x 之间线性相关关系不显著；若05.0r r >，则y 与x 之间存在线性相关关系．（3）具体例子：计算本节水稻产量与施化肥量中有关数据进行相关性检验，并指出检验方法中的①②可互换．（4）课内练习．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（毫克／升）与消光系数如下表：①对变量y 与x 进行相关性检验；②如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程．参考答案：（1）05.005.0.878.0,9997.05.14781478r r r r >=≈=，故y 与x 之间显著线性相关；（2）.3.1195.36-=∧x y（5）课堂小结．一般情况下，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验．在确认其具有线性相关关系后，再求其回归直线方程．由部分数据得到的回归直线，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性的相关关系问题转化成确定性的函数关系问题进行研究．由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用．六、布置作业：教科书第41页习题1．6第3题．。
高三数学_线性回归分析
从此也可以表明，前面我们求得的这两个变 量之间的回归直线方程是有效、有意义的。
课时小结：
1、本节课我们学习了线形回归的几个 基本概念：两个变量之间的相关关系， 回归分析，散点图，回归直线方程，回 归直线，线性回归分析；
2、共同探讨了已知各对数据如何求回归 直线方程。其推导方法是利用配方法；
3、另外通过本节课的学习，我们看到， 由部分观测值得到的回归直线，可以对 两个变量间的线形相关关系进行估计；
问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是 否有一个确定性的关系？ 例如：在7块并排、形状大小相同的试验田 上进行施肥量对水稻产量影响的试验， 得到如下所示的一组数据：
施化肥量x
水稻产量y
15
20
25
365
30
35
40
45
330 345
405 445
450 455
当施肥量x一定时，水稻产量y的值带有一定的随机性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
25
30
35
40
45
330
345 365 405 445 450 455
解：由题意，列出如下所示表格。
i 1 2 3 4 5 6 7
平均 值
xi yi
15
20
25
30
35
40
45
30
399.3
330 345 365 405 445 450 455
12150 15575 18000 20475
xi yi 4950 6900 9125
i 1 7
y 399.3, yi2 1132725,
i 1 i 7
x y
i 1 i
7
87175.
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高三数学 线性回归 第二课时
一、教学目标：
1．了解相关系数的计算公式及其意义．会用相关系数公式进行计算；
2．了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验；
3．能根据相关数据和相关性检验方法进行检验；
4．感受数学在实际生活中的应用．
二、教学重点：相关性检验方法和检验步骤；
教学难点：相关性检验方法依据的理解．
三、教学用具：多媒体
四、教学过程：
1．提出问题，引导思索
先给出如图1－11（教科书）所示的各点不集中在一条直线的散点图，并提问：可否按前面求回归直线方程的步骤，求出回归直线方程？若能求出，求出的回归直线方程是否有实际意义？
引导学生解决以上问题后，板书：
2．样本相关系数
首先，指出衡量数据线性程度的必要性，再引入样本相关系数（即相关系数）的概念．即
∑∑∑===----=n i n n i
i n
i i
i y y x x y y x x r 11221
)()())((
或 ∑∑∑===---=n i n n i i n i i i
y n y x n x xy n y x r 11
222
21
))(( 叫做变量y 与x 之间的样本相关系数（简称相关系数），用它来衡量它们之间的线性相关程度． 由学生计算本节前面水稻产量与施化肥量的相关系数，即
.
9733.0)3.39971132725)(3077000(3.39930787175 )7()(7(7227171222
2
7
1
≈⨯-⨯-⨯⨯-=
---=∑∑∑===i n i i i i i
y y x x xy y x r
由上述计算可得到 并向学生指出：1≤r ，且r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小． 根据上述结论，引导学生提出如下问题：
当r 与1接近到什么程度时表明y 与x 之间具有线性相关关系？
为解决上述问题，一般采取以下方法：
3．（板书）线性相关关系检验方法
（1）说明线性相关关系检验方法的思想及前提．
（2）检验的具体方法．
①根据公式计算相关系数r 的值；
②在附表中查出与显著性水平0.05和自由度2-n 相应的相关系数临界值05.0r ；
③检验所得结果：若05.0r r ≤，则y 与x 之间线性相关关系不显著；若05.0r r >，则y 与x 之间存在线性相关关系．
（3）具体例子：计算本节水稻产量与施化肥量中有关数据进行相关性检验，并指出检验方法中的①②可互换．
（4）课内练习．
某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（毫克／升）与消光系数如下表：
①对变量y 与x 进行相关性检验；
②如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程．
参考答案：（1）05.005.0.878.0,9997.05
.14781478r r r r >=≈=，故y 与x 之间显著线性相关；（2）.3.1195.36-=∧x y
（5）课堂小结．
一般情况下，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验．在确认其具有线性相关关系后，再求其回归直线方程．
由部分数据得到的回归直线，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性的相关关系问题转化成确定性的函数关系问题进行研究．由于回归直线将部
分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用．
六、布置作业：
教科书第41页习题1．6第3题．。