解析几何第四版吕林根许子道编第一章向量与坐标18两向量的向量积
解析几何第四版吕林根课后习题答案一至三章
第一章向量与坐标
§1.1 向量的概念
1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.
[解]：（1）单位球面；（2）单位圆
（3）直线；（4）相距为2的两点
2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，
在向量OA、、OC、、、
OF、、BC、CD、、EF
和FA中，哪些向量是相等的？
[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，
相等的向量对是：图1-1
.
DE
OF
CD
OE
AB
OC
FA
OB
EF
OA和
；
和
；
和
；
和
；
和
3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，
2
1
AC. KL与AC方向相同；在∆DAC
中，
2
1
AC. NM与AC方向相同，从而
KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.
4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，
在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相
反向量的向量：
(1) AB、; (2) AE、; (3) 、
;
(4) AD、; (5) BE
、.
[解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）；
互为反向量的向量对是（1）和（4）。
§1.2 向量的加法
1.要使下列各式成立，向量b
a,应满足什么条件？
（1-
=
+（2+
=
+
（3-
=
+（4+
1-7解析几何吕林根第四版
2
2
2
3
3
4
cos
ax
,
ax2
a
2 y
az2
cos
ay
,
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 a2y az2
uuuur
uuur
例 11 设有向量 P1P2 ，已知 P1P2 2 ，它与 x轴和 y 轴的夹角分别
为
和 3
4
，如果
P1
的坐标为(1,0,3)
，求
P2坐标.
解: , 2 .
推论 设 a X i Y j Z k ，那么
rr rr r r ai X,a j Y,ak Z .
三、数量积的坐标表示（直角坐标下）
1）两点距离
r rr r 定理 1.7.4 设 a X i Y j Zk ，那么
r a
r2 a
X2 Y2 Z2 .
定理 1.7.5 空间两点 P1 x1, y1, z1 , P2 x2, y2, z2 间的距离是
rr rr r r r ac bc， c（ b a） 0，
P C
uuur uuur 所以PC AB.P在ABC的第三条边AB的
高线上，即三角形的三条高交于一点.
例3 试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
解析几何第四版吕林根期末复习课后习题（重点）详解
第一章 矢量与坐标
§1.3 数量乘矢量
4、 设→→→+=b a AB 5，→
→
→+-=b a BC 82，)(3→
→
→
-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线．三点共线．
证明证明
∵→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→
AB 与→
BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．三点共线．
6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,
CN 可 以构成一个三角形.
证明：证明： )(21
AC AB AL +=Θ
)(21
BC BA BM +=
)(2
1
CB CA CN +=
0)(2
1=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL
7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明是任意一点，证明
OB OA ++OC =OL +OM +ON .
[证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB +=
NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明是任意一点，证明
OA +OB +OC +OD ＝4OM .
解析几何课件(吕林根许子道第四版)
§1.5 标架与坐标 §1.7 两向量的数性积 §1.9 三向量的混合积
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程 §2.2 曲面的方程 §2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程 §2.4 空间曲线的方程
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.3 两平面的相关位置
§3.2 平面与点的相关位置 §3.4 空间直线的方程
如图 证 因为 AM AB BM ,AM AC CM
所以 2AM ( AB AC) (BM CM ), A 但 BM CM BM MB 0,
因而 2AM AB AC
即
AM 1 (AB AC) 2
C
B
M
(图1.11)
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例2 用向量方法证明：联结三角形两边中点 的线段平行于第三边且等于第三边的一半.
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设ea
表示与非零向量
a
同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
|
a a
|
ea
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结 果是一个与原向量同方向的单位向量.
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例1设AM是三角形ABC的中线，求证:
AM 1 (AB AC) 2
吕林根解析几何(第四版)(完整课件)1.7
例4 已经三点 A(1,0,0), B(3,1,1),C(2,0,1) ,且 BC a,CA b, AB c ,求(1) a 与 b 的夹角,(2) a 在 c 上的射影.
解: (1)由 a BC {1,1,0},b CA {1,0,1} , 则
Z
2 2
证明: 由
a b | a || b | cos (a,b), a b X1X 2 Y1Y2 Z1Z2 , | a | X12 Y12 Z12 , | b | X 22 Y22 Z22 ,
立得结论. 推论 a X1i Y1 j Z1k 与b X 2i Y2 j Z2 k 互
射影 a a c 3 6 .
c |c| 6 2
例5 利用两向量的数量积证明柯西-施瓦 茨(Cauchy-Schwarz)不等式
3
3
3
( aibi )2 ai2 bi2.
i1
i1
i1
证明: 令 a {a1, a2, a3},b {b1,b2,b3} ,由
a b | a || b | cos (a,b) | a || b |
第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数量乘向量 §1.4 向量的线性 关系与分解 §1.5 标架与坐标
§1.6 向量在轴上的射影 §1.7 两向量的数量积 §1.8 两向量的向量积 §1.9 三向量的混合积 §1.10 三向量的双重向量积
解析几何-吕林根-课后习题解答一到五
第一章矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.以下情形中的矢量终点各构成什么图形？
〔1〕把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
〔2〕把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；
〔3〕把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
〔4〕把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
解：
2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，
在矢量OA、OB、OC、OD、OE、
OF、AB、BC、CD、DE、EF
和FA中，哪些矢量是相等的？
[解]：
图1-1
3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、
ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：
.
4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在以下各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：
(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、
EG;
(4) AD、GF; (5) BE、CH.
解：
§1.2 矢量的加法
1.要使以下各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ 〔1
=+ 〔2
+=+ 〔3
-=+ 〔4
+=- 〔5
= 解：
§1.3 数量乘矢量
1 试解以下各题．
⑴ 化简)()()()(→
→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．
⑵ 已知→
→
→
→
-+=3212e e e a ，→
→
→
→
+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→
→+b a 23．
⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→b
y x a
y x 3243，解出矢量→x ，→y ．
解析几何全册课件
OA1B1, 且 O A a , O A 1 a ,A B b ,A 1 B 1 b ,
由相似三角形对应边成比例的关系，可以得出
而 O B a b ,O B 1a b , 故
OB1 OB.
(ab)ab.
例1设AM是三角形ABC的中线，求证:
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a b b a .
（2）结合律：
a b c ( a b ) c a (b c ).
（3） a ( a )0 .
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有 限 个a矢 1,a2量 ,an相 加 可 由 矢 量求 的和 三 角 法则推广
自任意 O开 点始，依O次 A 1 引 a1,A1A2 a2,,
An1An an,由此得一O折 A 1A2线 An,于是矢 O量 A n
a就是 n个矢a量 1,a2,,an的和，即
OAOA 1A1A2An1An .
A 1
A 4
A
A
3
2
A
n-1
O
A
n
这种求和的方法叫做多边形法则
a
(b)
b
b c
a
b
c
a
(b)
吕林根解析几何(第四版)(完整课件)1.7
两条相交直线都垂直, 那么它和平面内的任
何直线都垂直,即垂直平面.
证明: 设直线 n 与面 内的两相交直线 a,b
垂直, c 为面 内的任一直线,如图.
n
下证 n c .在 n,a,b,c 上分
别取非零向量 n,a,b,c ,则
c
ab
n a, n b n a 0, n b 0.
所以
P1P2 {x2 x1, y2 y1, z2 z1},
d | P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 .
向量的方向余弦
向量的方向角: 向量与坐标轴所成的角.
向量的方向余弦:方向角的余弦.
定理1.7.6 非零向量 a X i Y j Z k 的方
于各边平方和.
B
C
证明: 如图, OACB 中,
设 OA a,OB b,OC m, O
A
BA n ,则有 m a b,n a b ,所以
2
2
2
2
2
2
m a 2a b b , n a 2a b b .
所以
2
m
2
n
2
2a
2b2 ,即|
m
|2
|
n
|2
2
|
a
|2
2
|
b
|2
例2 证明: 如果一条直线与一个平面内的
解析几何第四版吕林根课后习题答案第一章
第一章矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
[解]：（1）单位球面；（2）单位圆
（3）直线；（4）相距为2的两点
2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，
在矢量OA、OB、OC、OD、OE、
OF、AB、BC、CD、DE、EF
和FA中，哪些矢量是相等的？
[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，
相等的矢量对是：图1-1
.
DE
OF
CD
OE
AB
OC
FA
OB
EF
OA和
；
和
；
和
；
和
；
和
3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，
2
1
AC. KL与AC方向相同；在∆DAC
中，
2
1
AC. NM与AC方向相同，从而
KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM.
4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面
体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互
为相反矢量的矢量：
(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、
EG;
(4) AD
、GF; (5) BE、CH.
[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；
互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法
1.要使下列各式成立，矢量b
a,应满足什么条件？
空间解析几何ppt1.8
（1.8－2）
定理 1.8.4 向量积满足关于数因子的结合律，即 a b a b a b . 式中 a, b 为任意向量， 为任意实数.
（1.8－3）
推论 设 , 为任意实数，那么 a b a b .
一、向量积的概念
定理 1.8.1
两不共线向量 a 与 b 的向量积的模，等于以与为边
所构成的平行四边形的面积.
定理 1.8.2
两向量 a 与 b 共线的充要条件是 a b 0 .
二、向量积的运算
定理 1.8.3 向量积是反交换的，即 ab b a .
定义 1.8.1 两向量 a 与 b 的向量积（也称外积）是一个向量 记做 a b 或 ab ，它的模是 a b a b sin a, b （1.8－1）
它的方向与 a 和 b 都垂直，并且按 a, b, a b 顺序构成 右手标架 O; a, b, a b .
3.设 a, b, c 为两两不共线的三个非零向量， 试证
明： a b c 0 b c c a a b
.
作业 :
P52-53
1-8解析几何吕林根第四版
cos C
=
|
a • a ||
b b
|
a •=b
1（a 2
+
b 2
−
c
2
）
2
= 有 S2 1（ | a |2| b |2 −(a • b)2）
4
= 1（ | a |2| b |2 − 1（a 2 + b 2 − c2）2）
4
4
= 1（ab − 1（a2 + b2 − c2）（) ab + 1（a2 + b2 − c2）)
( a−b )⋅( a−b )
= a⋅a
+ b⋅b
= a 2 − 2 a ⋅ b cosθ + b 2
= ( 2)2 − 2 2 ⋅ 3 ⋅ cos 3π + 32
4 = 17
∴ a − b =17
例 已知 a + b + c = 0，求证 a × b = b × c = c × a .
证明 因为 a + b + c = 0 ，
得
75t2 = 3,
即t = ±1. 5
故
γ
=
±
7 5
,
1,
1 5
为所求。
例. 用向量方法证明正弦定理:
= a = b c sin A sin B sin C
解析几何课件(吕林根+许子道第四版)
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§1.5 标架与坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住
z 轴，当右手的四个 手指从正向 x轴以
2
角度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
定点 o
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
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2、坐标面与卦限
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
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有限个矢量a1, a2 ,an相加可由矢量的三角形求和 法则推广
自 任 意 点O开 始 ， 依 次 引OA1 a1 , A1 A2 a2 ,,
An1 An an ,由 此 得 一 折 线OA1 A2 An , 于 是 矢 量OAn
a就 是n个 矢 量a1 , a2 ,, an的 和 ， 即
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
解析几何第四版吕林根课后的习题答案第一章
第一章矢量与坐标
§ 1.1矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
[ 解] ：（1）单位球面；（ 2）单位圆
（ 3）直线；（ 4）相距为 2 的两点
F
A
2.设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，在矢
量 OA、OB、 OC、OD 、OE、
OF、 AB、BC、CD、 DE、 EF B O
和 FA 中，哪些矢量是相等的？E
[ 解] ：如图 1-1，在正六边形 ABCDEF中，
相等的矢量对是：C图 1-1 OA和 EF；OB和 FA；OC和 AB；OE和CD；OF 和 DE .
3.设在平面上给了一个四边形ABCD ，点 K、 L 、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？
[ 证明 ] ：如图 1-2，连结 AC, 则在 BAC 中，KL 1
AC. KL与AC方向相同；在 DAC
12
中， NM NM 与 AC 方向相同，从而
AC.
2
KL ＝NM 且KL与NM方向相同，所以KL ＝
NM .
4.如图 1-3，设 ABCD -EFGH 是一个平行六面体，
在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相
反矢量的矢量：
(1)AB 、CD ; (2)AE 、CG ;(3) AC、
EG ;
(4)AD 、GF;(5)BE、CH .