平面向量与解析几何的综合运用

对“导数得应用”得教学反思
数学组施冬芳
新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新得活力,它在函数得单调性、极值、最值等方面有着广泛得应用，还可以证明不等式,求曲线得切线方程等等。导数得应用一直就是高考试题得重点与热点之一。本文对几类常见问题进行剖析与探究。
问题⑴:若为函数f(x)得极值点，则= 0吗？
[解答]由题意,直线ＡB不能就是水平线,故可设直线方程为:kｙ=ｘ-２ｐ
又设Ａ(ｘA，yA）,B(xB，yB)，则其坐标满足
ｋｙ＝x－2p
y2＝2ｐｘ
由此得
xＡ+xB=４p＋k（yＡ+ｙＢ)=（4+2k2)p，xAxB＝＝4P2
因此·=xAxB+yＡyB＝０,即OA⊥OB
故O必在圆Ｈ得圆周上。
又由题意圆心Ｈ(xＨ,yＨ）就是ＡＢ得中点，故
由前已证,OＨ应就是圆H得半径,且＝＝
从而当k=0时，圆H得半径最小百度文库亦使圆H得面积最小。
此时,直线AＢ得方程为:x＝２ｐ、
３、运用平面向量综合知识,探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线得性质。
例4.(全国新课程卷）平面直角坐标系中,Ｏ为坐标原点,已知两点A（３,１),Ｂ（－１, 3），若点C满足,其中,∈R且+＝1,则点Ｃ得轨迹方程为（）、
例３、 (重庆卷)设p＞0就是一常数,过点Ｑ(2p，0)得直线与抛物线y2＝2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心),试证明抛物线顶点在圆H得圆周上;并求圆Ｈ得面积最小时直线AＢ得方程。
[分析]要证点Ｏ在圆H上,只要证OA⊥OB，可转化为向量运算·＝０,用向量运算得方法证明.（见图１)
平面向量与解析几何得综合运用
数学组 施冬芳
由于向量既能体现“形”得直观位置特征，又具有“数”得良好运算性质,就是数形结合与转换得桥梁与纽带。而解析几何也具有数形结合与转换得特征,所以在向量与解析几何知识得交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题得一个新得亮点。近几年全国各地得高考试题中，向量与解析结合得综合问题时有出现。但从最近教学情况来瞧,学生对这一类问题得掌握不到位,在试卷上经常出现进退两难得境地,因此,就这一问题做一归纳总结与反思。
另外,中学课本上函数单调性得概念与高等数学(数学分析)上函数单调性得概念不一致。数学分析上函数单调性得概念有严格单调与不严格单调之分。
问题⑷:单调区间应写成开区间还就是写成闭区间？
答:若端点属于定义域,则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。
问题⑸:“曲线在点Ｐ处得切线”与“曲线过点P得切线”有区别吗？
例1、(全国卷Ⅰ))已知椭圆得中心为坐标原点Ｏ,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F得直线交椭圆于A、B两点,与共线。
(Ⅰ)求椭圆得离心率；
(Ⅱ）设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值。
解：设椭圆方程为
则直线AB得方程为,代入，化简得
、
令A(),B）,则
由与共线，得
又,
即,所以,
故离心率
(II)证明：(1)知,所以椭圆可化为
［分析]本题主要考查向量得运算（几何形式或坐标形式)及直线得方程,把向量联系起来,使问题立意更新,情景更好,内容更丰富。
［解法1］设C(x,ｙ）,则(x, y)＝(３, )＋（－, 3)＝(3－,＋3)，
∴ｘ=3－，
y=+3.
x=4－1,
y＝-2+3.
消去参数,得点C得轨迹方程为ｘ+2y－５=0.
[解法2]利用向量得几何运算,考虑定比分点公式得向量形式，结合条件知:Ａ,B,Ｃ三点共线,故点C得轨迹方程即为直线AB得方程x+２y－5=0,故本题应选D.
平面向量与解析几何得结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题得处理,解决此类问题基本思路就是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算;或者考虑向量运算得几何意义,利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：
1、运用向量共线得充要条件处理解几中有关平行、共线等问题
运用向量共线得充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰，易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷得多。
设,由已知得
在椭圆上,
即①
由(1)知
又,代入①得
故为定值，定值为1、
例2(天津卷）椭圆得中心就是原点O,它得短轴长为,相应于焦点Ｆ(c,０）(ｃ＞0)得准线l与x轴相交于点A,过点A得直线与椭圆相交于P、Q两点。
(Ⅰ)求椭圆得方程及离心率;
(Ⅱ）若,求直线PQ得方程；
(Ⅲ)设，过点P且平行于准线l得直线与椭圆相交于另一点Ｍ,证明:
问题⑶：在区间上得可导函数ｆ(x),>０就是函数f(x)在该区间上为增函数得充要条件吗？
答:不一定。反例:函数 在上为增函数,而＝0。
正确得命题就是:(函数单调性得充分条件)在区间上,>0就是f(ｘ)在该区间上为增函数得充分而不必要条件、
(函数单调性得必要条件)函数ｆ(x)在某区间上可导,且单调递增,则在该区间内0。
从上述几例可以瞧出,只要对于解析几何中图形得位置关系与数量关系进行认真分析,充分挖掘问题得向量背景，注意运用曲线参数方程得点化作用,就完全有可能获得一个漂亮得向量解法。
随着新教材得逐步推广、使用,今后高考对新增内容得考查会逐渐加大,综合性会更强。作为新课程新增内容之一得向量具有数形兼备得特点,成为了作为联系众多知识得桥梁。因此,向量与三角、解析几何、立体几何得交汇就是当今高考命题得必然趋势,所以必须非常重视对向量得复习与演练,直至达到深刻理解、运用熟练得境地。
[简解]（Ⅰ)椭圆方程为,离心率（Ⅱ）略、
(Ⅲ) [证明]设P(x1，y１),Q (x2,y2）,又A(3,0),由已知得方程组:
;
注意λ>１,消去x１、y1与y2得
因Ｆ(2,0）, M（x１，－ｙ1),
故
而
所以、
2、运用向量得数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题;运用向量得数量积,可以把有关得长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求得结果。
答:不一定，缺少一个条件(可导函数）。
反例:函数在处有极小值，而不存在。
正确得命题就是:若为可导函数f(x)得极值点,则=0
问题⑵:若＝０,则函数f(x）在处一定有极值吗?
答:不一定。
反例:函数有=０,而f(x)在处没有极值。
正确得命题就是：若=0,且函数f(x)在处两侧得导数值符号相反,则函数f(x)在处有极值、