建筑力学课件

2.2.4 平面力偶系的合成与平衡
M1 F1d1 F3d
M 2 F2d 2 F4d
F1 F2
d1
F2 F1
F F4 F3 , F F4 F3
d2
M Fd ( F4 F3 )d M1 M 2
任意个力偶的情况
M M1 M 2 M n
x
例题 利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重G = 20 kN，滑 轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。不计铰车 的自重，试求杆AB和BC所受的力。 解： 1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。 2.画出受力图。 3.列出平衡方程：
A 30° 30°
B
C
Fx 0, FBC cos 30 FAB F sin 30 0 F y 0, FBC cos 60 G Fcos 30 0
mA(F) =mA(Fx)+mA(Fy)=0-Fy×AD=-Fsinα×AD=22.5N· m
mB(F)=mB(Fx)+mB(Fy)=0-Fy×BD=-Fsinα×BD=-7.5N· m mC(F)=mC(Fx)+mC(Fy)=-Fx×AC-Fy×AD=-48.5N· m

2.2.3 力偶及其基本性质
（1）选取研究对象； （2）画出研究对象的受力图； （3）合理选取坐标系，列平衡方程求解； （4）对结果进行必要的分析和讨论。 几点说明： （1）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数； （2）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相 反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。
例题 已知：P，a ，求：A、B处约束反力。 解： （1）取刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）建立坐标系，列方程求解
P
a
C
2a
D
F x 0, F y 0,
P FA cos 0 FB FA sin 0
y
A
B
FB
解上述方程，得
5 1 FA P , FB P 2 2

根据力偶的等效性，可以得出两个推论： 推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改 变它对物体的转动效应。即力偶对物体的转动效应与 它在作用面内的位置无关。 推论2 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力 偶中的力和力偶臂的大小，而不改变它对物体的转动 效应。 力偶在其作用面内除可用两个力表示外，通常还 可用一带箭头的弧线来表示，如图所示。
合力的方向为 tanα=｜Ry/Rx｜=9.263， α=83.8°=83°48′ 因Rx为正，Ry为负，所以合力R指向右下方。如图所 示，合力R的作用线通过三个分力的汇交点O。
图2.6
图2.7
2.1.3平面汇交力系平衡方程及其应用
1.平面汇交力系的平衡方程 平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。
F3 A
i
F4
d F4
B
F3
M
结论：平面力偶系合成结果还是一个力偶,其 力偶矩为各力偶矩的代数和。 平衡条件：
F
Mi 0
A F
d
B
例题 一简支梁作用一矩为M 的力偶，不计梁重，求二支座约束
若已知力F的大小及其与x轴所夹的锐角α，则力F在坐 标轴上的投影Fx和Fy可按下式计算 Fx=±Fcosα Fy=±Fsinα 力在坐标轴上的投影有两种特殊情况： (1) 当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零。 (2) 当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值 等于力的大小。
【例2.1】试分别求出图2.5中各力在x轴和y轴上的投影。已 知F1=150N，F2=120N，F3=100N，F4=50N,各力的方向如图 所示。 【解】力F2与x轴平行，与y轴垂直，其投影可直接得出； 其他各力的投影可由式(2.1)计算求得。故各力在x、y轴上 的投影为 F1x=-F1cos30°=-129.9N F1y=-F1sin30°=-75N F2x=F2=120N F2y=0 F3x=-F3cos45°=-70.7N F3y=F3sin45°=70.7N F4x=F4cos30°=43.3N 图2.5 F4y=-F4sin30°=-25N
表2.1 力的方向与其投影的正负号
2.1.2 平面汇交力系的合成

图2.6(a)所示为一平面汇交力系F1、F2、F3，各力的作用线汇交 于A点。为将该力系合成，可首先以A点为坐标原点取直角坐标系 Axy，然后将各力分别沿x轴和y轴方向分解(图2.6(b))，得各分力的大 小为
F11=F1cosα1,F21=F2cosα2,F31=F3cosα3 F12=F1sinα1,F22=F2sinα2,F32=F3sinα3 再将沿同一坐标轴的各个分力合成，分别得合力R1、R2(图 2.6(c))，其大小分别为 R1=F11+F21-F31 R2=F22+F32-F12
联立求解得
a
y
G
FBC
FAB 5.45 kN
FBC 74.5 kN
F
约束力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假 定指向相反。即杆AB实际上受拉力。
B
30°
30°
x
FAB G
2.2 力矩和平面力偶系 2.2.1 力对点之矩
试观察用扳手拧螺母的情形，如图所示，力F使 扳手连同螺母绕螺母中心O转动。 用钉锤拔钉子（图）也具有类似的性质。 用乘积Fd加上正号或负号作为度量力F使物体绕O 点转动效应的物理量，该物理量称为力F对O点之矩， 简称力矩。 O点称为矩心，矩心O到力F作用线的垂直距离d 称为力臂。
引 言
桥梁受有：自身重力、铁轨压力、桥墩作用力、风载等。
机身受有：自身重力、旋翼轴的作用力、空气动力等。
研究内容：刚体在各种力系作用下平衡的一般规律。

系； 法。
所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面内的力系。 在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则称为平面汇交力 若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力系； 若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相互平行，则称为 平面一般力系。 研究力系的合成与平衡问题通常有两种方法，即几何法和解析


EH=（0.45-0.173)sin30°m=0.139m
故mC(F)=-100(0.346+0.139)N· m=-48.5N· m
(2) 根据合力矩定理计算


将力F分解为水平力Fx和铅垂力Fy，如图中所示。且
Fx=Fcosα,Fy=Fsinα 由式（2.8）得



力F对O点之矩通常用符号mO(F)表示，即 mO(F)=±Fd 由力矩的定义可知： （1） 当力的大小等于0，或力的作用线通过矩心 (力臂d=0)时，力矩为0。 （2） 力对某一点之矩不因力沿其作用线任意移 动而改变。
【例2.7】如图所示，P1=200N、P2=100N、P3=300N。试求 各力对O点的力矩。 【解】由式（2.6）得 mO(P1)=P1d1=200×1N· m=200N· m mO(P2) =-P2d2=-100×2sin30°N· m=-100N· m 因为力P3的作用线通过矩心O，即有d3=0，故 mO(P3)=300×0=0
2 R Rx2 Ry ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
tan

Ry Rx

F F
y
x
式(2.3)表明了合力在任一轴上的投影，等于各分 力在同一轴上投影的代数和。我们称之为合力投影定 理。
【例2.2】图2.7所示的吊环上作用有3个共面的拉力，各力 的大小分别是T1=2kN、T2=1kN、T3=1.5kN，方向如图所示， 试求其合力。 【解】建立直角坐标系Oxy如图2.7所示，根据式(2.3)计算 合力R在x轴和y轴上的投影为 Rx=∑Fx=T1x+T2x+T3x=0.403kN Ry=∑Fy=T1y+T2y+T3y=-3.733kN 故合力R的大小为 R=√Rx2+Ry2=3.755kN



合力R在两个坐标轴上的投影分别为
Rx=R1=F1x+F2x+F3x Ry=R2=F1y+F2y+F3y


上式可简写为
Rx=∑Fx Ry=∑Fy

由以上分析可知：平面汇交力系合成的结果是一 个合力R，合力R的作用线通过原力系的汇交点，合力 R的大小和方向可由下式确定
本章内容


2.1 平面汇交力系
2.2 力矩和平面力偶系 2.3 平面一般力系 2.4 平面平行力系的平衡方程 2.5 物体系统的平衡 2.6 考虑摩擦时物体的平衡
2.1 平面汇交力系 2.1.1 力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点，如图2.4所示。



平 面 力 系的合成与平衡
提要
本章主要研究力的投影和力对点之矩的计算、合力 投影定理、合力矩定理、各种平面力系的平衡方程及应
用、考虑摩擦时物体的平衡。
引 言
力系—作用在物体上所有力的总称（力的集合） 根据力的作用线是否共面可分为： 平面力系 空间力系 汇交力系 根据力的作用线是否汇交可分为： 平行力系 任意力系 平衡力系—作用在物体上使物体保持平衡的力系
1.力偶与力偶矩
（1）力偶
（1）力偶
2.2.3 力偶及其基本性质
(1) 力偶和力偶矩 在实践中，我们有时可见到两个大小相等、方向 相反、作用线平行而不重合的力作用于物体的情形。 例如，钳工用丝锥攻螺纹就是这样加力的。

力学中，将这种大小相等、方向相反、作用线平行 而不重合的两个力组成的力系，称为力偶，用符号 （F，F′）表示。力偶中两力作用线间的垂直距离d （图2.19），称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶 作用面。