几种典型概率问题的解法
典型概率题及其解法
典型概率题例1 同时掷四枚均匀硬币，求：（1）恰有两枚“正面向上”的概率；（2）至少有两枚“正面向上”的概率．分析：同时任意投掷四枚均匀硬币，每个硬币的结果都有两种可能性，四枚硬币的情况决定了一次试验的结果，每种结果的出现是等可能的，本＄月于等可能事件的概率问题．四枚硬币发生的结果总数我们可以分步确定，恰有两枚正面向上，可以先确定哪两枚正面向上，则另两枚反面向上，至少有两枚正面向上可分类为两枚正面向上、三校正面向上、全部正面向上．解：同时投掷四枚硬币，正面、反面向上的不同结果总数为：162222=⨯⨯⨯（种）（1）恰有两枚正面向上的结果总数为6C 24=，所以恰有两枚正面向上的概率为83166=÷． （2）至少有两枚正面向上的结果总数为：11C C C 443424=++种 所以至少两枚正面向上的概率为16111611=÷． 说明：使用等可能事件概率公式时，首先要判定事件是不是等可能事件，本题实际上可推广到投掷几枚硬币，恰好有m 枚正面向上的概率以及至少有m 枚正面向上的概率，设两个事件分别为A 、B ，可以求到：n m n n n n n m n B P A P 2C C C )(,2C )(10-+++== ． 例3 有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人．试求下列事件的概率．（1）事件A ：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B ：恰有4个房间中各有1人；（3）事件C ：指定的某个房间中有两人；（4）事件D ：第1号房间有1人，第2号房间有3人． 分析：由于每个人进哪一个房间是随意的，所以4个人住房的各种结果是等可能的，本题是等可能事件的概率问题．所有可能的不同住房结果总数可以用分步计数原理求得，每人住房的结果都有6种可能，最后4个人住房的不同结果总数为46．事件A 中指定的4个房间中各有1人相当于4个人排到4个房间中去，有44A 种不同结果；事件B 中恰有4个房间，每间1人与事件A 的区别在于哪4间房不空；事件C 中指定的某房间2人，我们可以先从4人中选2人进入此房间，其它2人分步任意住进其它5个房间；事件D 可以先安排1号房间1人，再安排2号房间3人解：4个人住进6个房间，所有可能的住房结果总数为：466666=⨯⨯⨯（种）（1）指定的4个房间每间1人共有44A 种不同住法．∴5416A )(444=÷=A P ． （2）恰有4个房间每间1人共有46A 种不同住法．∴1856A )(446=÷=B P ． （3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为：55C 24⨯⨯（种），∴216256)5C ()(4224=÷⨯=C P ． （4）第一号房间1人，第二号房间3人的不同住法总数为：4C C 3314=（种），∴324164)(4=÷=D P ． 说明：“分房问题”抽象化以后可以与许多问题发生联系，比如，前面例题的小球投入盒子、安排几个人做某几项工作，几列火车停在哪个站道，若干个同学各自在哪一天生日等等．我们可以看例子：某班有50名同学，一年按365天计算，至少有两名同学在同一天生日的概率是多少？50名同学相当于上述例题中的旅游者，每一天相当于“房间”，50名同学所有生日的不同结果总数为：50365，至少有两名同学在同一天生日的结果总数可用间接法计算，总数为5036550A 365-，则至少有两人在同一天生日的概率为5050365505036550365A 1365A 365-=-，利用工具计算后将会发现，这是一个很接近1的结果，即50个人的一个班级中，有两个人在同一天生日的概率很大，高达0.97，几乎是令人惊讶的结果．例4 某人有5把钥匙，其中有一把是打开房门的钥匙，但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙，于是他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（2）三次内打开房门锁的概率是多少？ 分析：某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列，由于他每次拿哪一把是任意的，所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同，本题是等可能事件的概率问题．恰好第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙，或者说在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是开房门钥匙，三次内打开房门相当于5把钥匙的排列中，开房门钥匙出现在前3个．解：本题是等可能事件的概率问题，某人5次拿钥匙的所有不同的结果是55A ．（1）恰好第3次拿出开房门钥匙的结果总数为：44A ．所以恰好第3次打开房门的概率为：2.0A A 5544=÷ （2）前3次内拿出开房门钥匙的结果总数为：344A ．所以前3次打开房门的概率为：6.0A 3A 5544=÷ 说明：如果5把钥匙中有2把可以开房门的钥匙，则在前3次内打开房门的概率是多少？三次内找开房门说明在前三次中至少有1次取出开房门钥匙，我们可以通过分类讨论，恰有一把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为：33121312A C C C ，恰有两把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为3323A A ，这样我们得到前三次内打开房门的结果总数为108A A A C C C 332333121312=+，从而前3次内打开房门的概率为：109A 10855=÷． 例5 抽签口语测试，共有a ＋b 张不同的考签，每个考生抽1张考签，抽过的考签不再放回，某考生只会考其中的a 张，他是第k 个抽签的，求该考生抽到会考考签的概率．分析：因为每个人抽哪一张考签是随意的，所有人抽签后抽出的结果相当于这些考签的一个全排列，而且各种不同的排列结果出现的可能性相同，本题是求等可能事件的概率问题．由于某考生是第是次抽签，他能抽到会考考签相当于全排列中第k 个元素，是某人会考的a 个考签中的一个，我们可以用排列组合知识求出这种排列的所有不同种数，然后用等可能事件的概率公式求解．解：本题是等可能事件的概率问题．a ＋b 个考生的所有不同的抽签结果的总数为b a b a ++A ， 某个考生第k 次抽签，他正好抽到会考的a 张考签的一个，相当于所有抽签的结果中第k 张考签是a 张考签中的1张，我们可以得到所有这种抽签结果的总数为：111A C -+-+b a b a a ． 所以某个考生抽到会考考签的概率为：ba ab a b a b a b a a +=÷++-+-+A A C 111． 说明：从计算结果看，第几次抽签对该考生抽到会考考签的概率并没有影响，也就是说，无论他是第几个抽签，都不会影响他抽到会考考签的可能性．在日常生活中有这样的问题：10张彩票中有1张是中奖彩票，现在10个人去摸彩，先模后摸对中奖的可能性有无影响？现在我们可以来计算这个问题的结果，现在假定你是第m 个去摸奖，为了计算中奖的概率，先算出10个人摸彩的所有可能结果是10！，而中奖彩票正好出现在第m 个的所有可能结果为9！，这样可以得出你中奖的概率为1.0!10!9=÷，结果与m 并无关系，根本无须担心中奖彩票被别人抓去．例6 已知10只晶体管中有8只正品，2只次品，每次任抽取1只测试，测试后放回，求下列事件的概率．（1）抽3次，第3只是正品；（2）直到第6只时，才把2只次品都捡到了．分析：每次从10件晶体管中任取1件，经过若干次，各种结果的可能性是一样的，抽 3次，所有可能抽出的结果总数为10×10×10，抽6次，所有可能抽出的结果总数为610，到第6次时正好第2只次品也抽到了，说明前5次抽检中出现过另一只次品，当然这只次品也可能出现过几次．我们可以用间接法来求出符合这个要求的所有可能结果的总数为)89(C )8888899999(C 551212-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯，这个式子的含义是先走下第6次抽出的次品是哪一个，然后用前5次抽检的所有结果总数（前5次未出现第6次抽检的次品）减去前5次全是正品的所有结果总数．解：本题是等可能事件的概率问题．（1）抽检3次所有可能的抽检结果总数为310，第三只是正品的所有可能的抽检结果总数为10×10×8．所以第三只是正品的概率为：5410)8810(3=÷⨯⨯． （2）抽检6次所有可能的抽检结果总数为610．∵ 第6只时才能把第2只次品抽检到，∴ 前5次抽检未出现第6次抽到的次品，但是至少出现一次另一只次品． ∴ 第6只时才把第2只次品抽检到的所有可能的抽检结果总数为 )8-(9C 5512．此事件发生的概率为：052562.010)8-(9C 65512=÷．说明：如果每次抽检的结果不再放回去，直到第6只时才把2只次品都找出来的概率是多少？这个问题仍然是等可能事件的概率问题，因为抽出的产品不再拿回，所以前6次抽出的不同结果相当于从10件产品中抽出6件的一个排列，所有可能的结果总数为610A ，第6次抽到第2件次品，说明第6件是次品，前面还有一件次品，所有可能的结果总数为4812A 5C ⨯⨯，其含义是先在第6个位置放一个次品，另一个次品在前面5个位置的某一个上，最后在其它四个位置上放上8件正品中的4个．用等可能事件的概率公式可算出此事件发生的概率是454A )A 4(C 5104812=÷⨯⨯． 例7 求100件产品中，有95件合格品，5件次品．从中任取3件，求：(1)3件都是合格品的概率；(2)3件都是次品的概率；(3)2件是合格品、1件是次品的概率．分析：可从集合的角度处理本题．需求出全集I 的元素个数及I 中各子集的元素个数． 解：从100件产品中任取3件可能出现的结果数，就是从100个元素中任取3个元素的组合数3100C ．由于是任意抽取，这些结果出现的可能性都相等．(1)由于在100件产品中有95件合格品，取到3件合格品的结果数，就是从95个元素中任取3个元素的组合数395C ，记“任取3件，它们都是合格品”为事件1A ，那么事件1A 的概率：3234027683)(31003951==C C A P ． 得3件都是合格品的概率为3234027683． (2)由于在100件产品中有5件次品，取到3件次品的结果数，就是从5个元素中任取3个元素的组合数35C ．记“任取3件，它们都是次品”为事件2A ，那么事件2A 的概率：161701)(3100352==C C A P ．得3件都是次品的概率为161701． (3)记“任取3件，其中2件是合格品、1件是次品”为事件3A ．由于在3100C 种结果中，取到2件合格品、1件次品的结果有15295C C ⋅种，故事件3A 的概率：.6468893)(3100352953=⋅=C C C A P 得2件合格品、1件是次品的概率为6468893． 说明：本题是产品抽取问题．抽取时，抽到其中的任何一件产品的可能性都相等，可用等可能事件的概率公式进行计算．例8 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品．(1)如果从中取出一件，然后放回，再任取一件然后放回，再任取一件，求连续3次取出的都是正确的概率．(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．解：(1)为返回抽样问题，每次抽样都有10种可能，根据分步计数原理，所有等可能出现的结果为310种，设A 表示“三次返回抽样，所抽得的3件产品都是正品”，则A 所包含的结果根据分步计数原理有38种．∴512.0108)(33==A P ． (2)为不返回抽样问题，所有等可能出现的结果为310C 种，设B 表示“一次抽3件，所抽得的产品都是正品”，则B 所包含的结果有38C ，所以，467.0)(310038≈=C C B P 说明：求等可能事件的概率，在求n 时应注意n 种结果必须是等可能的，例如抛掷2枚均匀硬币，共出现4种可能结果，如果认为只有“2个正面”、“2个反面”、“1正1反”这3种结果，那么显然这3种结果不是等可能的．例9 箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，每次取1个，取出后不放回，问取出的3个全是正品的概率是多少？分析1：可以看作不放回抽样3次有顺序．解法1：从b a +个产品中不放回抽样有顺序，共有3b a A +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次有顺序，共有3a A 种不同抽法，可以取出3个正品的概率33b a a A A P +=． 分析2：可以看作不放回抽样3次无顺序．解法2：从b a +个产品中不放回抽样3次无顺序，共有3b a C +种方法，从a 个正品中取出3个正品的取法有3a C ，所求概率为：33b a a C C P +=． 说明：关于不放回抽样可以看作有顺序（即排列问题），也可看作无顺序（组合问题），其结果是一样的．不论选用哪种方式，确定之后必须按同一方式去解决，否则会产例11 一副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从一副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率．分析：至少有3张黑桃包括两种情况：“恰有3张黑桃”与“4张全是黑桃”．用这两种情况的取法总数除以52张牌中任取4张牌的取法总数．解：从52张牌中任取4张，有452C 种取法，即452C n =．4张牌中至少有3张黑桃的取法有413139313C C C +⋅．因此，取4张牌中至少有3张黑桃的概率是：452413139313C C C C P +⋅=． 说明：(1)若先取3张黑桃，有313C 种取法，第4张黑桃从剩余49张中任取1张，这样所求概率为452149313C C C P ⋅=．错误原因在于分子计算中有重复现象． (2)“至多”与“至少”的组合数可用分类法或排除法求．本例中可用52张中取4张的全部取法452C 减去没有黑桃的取法439C ，再减去恰有一张黑桃的取法339113C C ⋅，再减去恰有2张黑桃的取法239213C C ⋅，得239213339113439452C C C C C C ⋅-⋅--求得． 例12 某大学招收的15名新生中有3名优秀生，随机将15名新生平均分配到3个班中去．(1)每班各分配到一名优秀生的概率是多少？(2)3名优秀生分配到同一班的概率是多少？分析(1)：每班分配到1名优秀生和4名非优秀生，甲班从3名优秀生中任选1名，从12名非优秀生中任选4名，共有41213C C 种方法；乙班从剩下的2名优秀生中选1人，从剩下的8名非优秀生中选4名，共有4812C C 种方法；最后剩下的1名优秀生和4名非优秀生给丙班．有4411C C 种方法．将15名新生平均分到甲、乙、丙三个班级共有55510515C C C 种不同的分法．解：每个班级分到1名优秀生，共有4448412111213C C C C C C 种不同的方法，将15名学生平均分到3个班级共有55510515C C C 种不同方法，每班分配到1名优秀生的概率．9125555105154448412111213==C C C C C C C C C P ． 分析(2)：3名优秀生都分到甲班，共有21233C C 种分法，乙班从剩下的10名之中选5名510C ，剩下5名给丙班，共有5551021233C C C C 种不同分法．同理，3名优秀生都分到乙班、丙班方法数均为5551021233C C C C ．解：3名优秀生都分到同一班级的概率为9163555105155551021233==C C C C C C C P ． 例13 “齐鲁福利风采”彩票的模奖办法是30选7，即每一注彩票都是从30~1中选7个数构成。
常见概率题类型总结
常见概率题类型总结此类问题主要有期望题，随机数题、以及概率题，观察者掌握的信息多少会影响到最终的概率。
影响样本空间的⼤⼩。
期望题关键：找出概率递推公式随机数题关键: 关键在于保证每个随机数出现的概率相等（洗牌算法）⼀抛硬币问题总结： 问题1 ：两个⼈轮流抛硬币，规定第⼀个抛出正⾯的⼈可以吃到苹果，请问先抛的⼈能吃到苹果的概率多⼤？（伯努利分布）这个题是否某国家⾮常重男轻⼥，若⼀户⼈家⽣了⼀个⼥孩，便再要⼀个，直到⽣下男孩为⽌，假设⽣男⽣⼥概率相等，请问平均每户⼈家有________个⼥孩？，这个问题具有⼀定的类似性呢？⼀个样本空间为反反...正，⼀个样本空间为⼥⼥⼥....男 第⼀种⽅法：p=1/2+1/2^3+1/2^5+........=2/3第⼆种：先抛的⼈吃到苹果的概率为p1，后抛的⼈p2若想吃到，只能在第⼀个⼈抛反⾯下才可能，所以样本空间突然少了⼀半，所以p2=1/2p1，所以p1=2/3。
第三种：先抛为p，为反后继续抛，吃到的概率还是p，所以其实p=1/2(正)+1/2(反)*p，解得p=2/3第四种：我⾸先想到的就是把第⼀次抛到正⾯的概率 + 第⼆次抛到的概率 + …..+⽆穷多次，当然后⾯的概率⼏乎为0了。
结果就是 P = 1/2 + 1/8 + 1/32+ …… 最后的结果就是 P = 2/3 . 这个计算也不难，其实就是等⽐数列，⽐为1/4. 简单的⽆穷级数 (1/2) / (1-1/4) = 2/3. 1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+… (-1<x<1)还有⼀个别⼈的分析：给所有的抛硬币操作从1开始编号，显然先⼿者只可能在奇数（1,3,5,7…）次抛硬币得到苹果，⽽后⼿只可能在偶数次（2,4,6,8…）抛硬币得到苹果。
设先⼿者得到苹果的概率为p，第1次抛硬币得到苹果的概率为1/2，在第3次（3,5,7…）以后得到苹果的概率为p/4（这是因为这种只有在第1次和第2次抛硬币都没有抛到正⾯（概率为1/4=1/2*1/2）的时候才有可能发⽣，⽽且此时先⼿者在此⾯临和开始相同的局⾯）。
有趣的概率问题
有趣的概率问题
概率是数学中的一个分支，它研究的是随机事件发生的可能性。
在日常生活中，我们会遇到很多有趣的概率问题，下面就介绍一些常见的概率问题：
1、掷骰子问题：如果我们掷一个六面骰子，那么每个数字出现的概率是相等的，即1/6。
那么如果我们掷两个骰子，两个骰子点数之和为7的概率是多少呢？答案是1/6，因为掷两个骰子，总共有36种可能的结果，其中只有6种结果是点数之和为7的，所以概率为
6/36=1/6。
2、生日问题：如果一个房间里有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率是多少呢？答案是50.7%。
这个问题的解法比较复杂，需要用到排列组合的知识，有兴趣的读者可以自行搜索。
3、扑克牌问题：如果我们从一副扑克牌中随机抽取5张牌，那么这5张牌中有至少一张红桃的概率是多少呢？答案是52.5%。
这个问题的解法也比较复杂，需要用到加法原理和减法原理，有兴趣的读者可以自行搜索。
以上只是一些常见的概率问题，实际上概率问题的种类非常多，而且很多问题的解法都比较复杂，需要用到高等数学知识。
但是对于日常生活中的一些简单问题，我们可以通过简单的计算和推理来得到答案，这不仅可以锻炼我们的数学能力，还可以让我们更好地理解概率的应用。
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初中数学知识归纳解概率问题
初中数学知识归纳解概率问题概率问题是初中数学中的重要内容，它涉及到随机事件发生的可能性。
了解概率的基本知识和解题方法，对学生的数学水平提升和逻辑思维能力的培养都具有重要意义。
本文将以归纳的方式，介绍几个常见的概率问题及其解法。
一、古典概型古典概型指的是具有等可能性的事件，其概率可以通过公式 P(A) = n(A) / n(S) 计算得出，其中 P(A) 为事件 A 的概率，n(A) 为事件 A 的样本点数，n(S) 为样本空间的样本点数。
例如，某学校运动会上，男生 1 班和女生 2 班各自选出一名代表参加 100 米赛跑。
如果我们想知道男生 1 班的代表获胜的概率，假设男生 1 班有 50 名学生，女生 2 班有 60 名学生，样本空间共有 50 * 60 = 3000 种可能的结果。
而男生 1 班的代表获胜只有 50 种可能的结果，所以男生 1 班的代表获胜的概率为 50 / 3000 = 1 / 60 。
二、排列组合排列和组合是解决一些复杂概率问题的基本工具。
在排列问题中，我们关注的是元素的顺序，而在组合问题中，我们只关注元素的组合方式。
例如，从 1 到 5 这 5 个数字中，选出 3 个数字组成一个三位数，问这个三位数是奇数的概率是多少？为了解决这个问题，我们先需要确定样本空间的大小，即从 1 到 5 这 5 个数字中取 3 个的排列数。
根据排列公式，可以计算得知样本空间的大小为 5P3 = 5! / (5-3)! = 60 。
接下来，我们需要确定事件 A 的可能结果，即将三个数字组成的三位数中的奇数个数为 1 个的排列数，根据排列公式可以计算得知 A 的大小为 4P1 = 4! / (4-1)! = 4 。
因此，奇数占比即概率为 4 / 60 = 1 / 15 。
三、事件的相互关系在实际问题中，有时我们需要计算多个事件同时发生或者某个事件发生的概率。
这时，我们可以利用事件的相互关系进行计算。
几类常见概率问题的解法
学考方略概率问题的类型有很多,如求随机事件的概率、互斥事件的概率、古典概型的概率、几何概型的概率等.虽然概率问题的类型多种多样，但是我们只要明确各种事件的本质和概率的类型，便可快速求得事件的概率.本文主要探讨几类常见的概率问题及其解法，下面举例说明.一、求等可能事件的概率对于等可能事件的概率问题，我们一般视其为古典概型.在求其概率时，要先计算出基本事件的总和，弄清楚某个事件A 发生有多少种可能的情况，即事件A 包含的基本事件的个数，然后根据古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数，计算出事件A 的概率.例1.现在有5根长短不一的筷子，它们的长度分别为25cm ，26cm ，27cm ，28cm ，29m ，若从中随机抽取2根筷子，则两根筷子的长度刚好相差3cm 的概率是多少？解析：这是一个等可能事件的概率问题.从5根筷子中抽取2根筷子有C 25种可能的情况，两根筷子的长度刚好相差3cm 的有2种情况：25和28，26和29，由古典概型的概率公式可得两根筷子的长度刚好相差3cm 的概率是210=0.2.求等可能事件的概率，需首先明确每个基本事件出现的可能性相等，然后分别求出事件A 包含的基本事件的个数和基本事件的总数，便可根据公式求出概率.二、求互斥事件的概率互斥事件是指两个事件不可能同时发生.我们可以利用这个特性来求解互斥事件的概率问题.解题通常有两种思路：①将所求事件的概率转化为彼此互斥事件的概率和；②当所求事件的概率比较难求时，可以先求它的对立事件的概率，再用1减去对立事件的概率即可求出所求事件的概率.这种思路适合求解比较复杂的题目，运用这个思路解题可以简化解题的过程.例2.一位射手射中10环的概率为0.21，射中9环的概率为0.23，射中8环的概率为0.25，射中7环的概率为0.28.（1）射手射中10环或者射中7环的概率为多少？（2）射手射击成绩少于7环的概率为多少？解析：（1）记“射手射中10环”为事件R ，“射手射中7环”为事件Q .我们可以知道在一次射击之中只可能有一种结果，所以在一次射击中，事件R 和事件Q 不可能同时发生，因此它们为互斥事件，射手射中10环或者射中7环的概率为P (Q ⋃R )=P (Q )+P (R )=0.21+0.28=0.49,（2）记“射手射击少于7环”为事件D .那么事件D 表示射手射击的成绩为7环或者8环或者9环或者10环.并且在一次射击中，“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”都是互斥事件，且这几个事件不可能同时发生，因此，P (D )=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而“少于7环”和“射中7环或者射中8环或者射中9环或者射中10环”为对立事件，所以P (D )=1-P (E )=1-0.97=0.03.对于“互斥事件”和“对立事件”，很多同学往往容易将它们混淆.它们的区别就在于两个互斥事件不要求其中一个事件必须发生，但是对立事件就必须要求有一个事件发生.三、求相互独立事件同时发生的概率在求相互独立事件同时发生的概率时，我们要先确定各事件都是独立的，也就是各事件之间不会相互影响，且各事件会同时发生，然后排除互斥事件，即不可能同时发生的情况，最后求每个独立事件发生的概率，根据乘法公式求得整个事件的概率.例3.小明和小红两个人准备进行一场围棋比赛，规则是谁先赢3局，谁就可以获得本次比赛的最终胜利.已知在一局中小明获胜的概率为0.6，小红获胜的概率为0.4，且每局比赛结果相互独立.在前2局中，小明和小红都各自赢了1局.问（1）两人再进行2局就可以结束本次比赛的概率为多少?(2)小明获得本次比赛胜利的概率是多少？解析：设“第e 局小明获胜”为事件A e (e =3,4,5)，“第g 局小红获胜”为事件B g (g =3,4,5).（1）设“再比赛2局结束本次比赛”为事件A ，那么A =A 3∙A 4+B 3∙B 4,由题意可知，各局比赛的结果都是相互独立的，所以P (A )=P (A 3∙A 4+B 3∙B 4)=P (A 3∙A 4)+P (B 3∙B 4)=P (A 3)∙P (A 4)+P (B 3)∙P (B 4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.（2）设“小明获得本次比赛胜利”为事件B .由题意可知，在前面2局中，小明和小红都各自获得了一次胜利，所以小明应当是在后面的比赛之中比小红先获得两次胜利，因此B =A 3∙A 4+B 3∙A 4∙A 5+A 3∙B 4∙A 5,因为各局结果都是独立事件，所以P (B )=P (A 3∙A 4+B 3∙A 4∙A 5+A 3∙B 4∙A 5)=P (A 3∙A 4)+P (B 3∙A 4∙A 5)+P (A 3∙B 4∙A 5)=P (A 3)∙P (A 4)+P (B 3)∙P (A 4)∙P (A 5)+P (A 3)∙P (B 4)∙P (A 5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.我们通过上述对三类概率问题及其解法的分析，不难发现各种概率问题都有与之相应的解法.因此，我们只需要熟练掌握不同概率问题的类型以及其解法，便能使问题顺利获解.(作者单位:河南省中牟县职业高中)段留旺48 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
概率发展中的经典例子
1.分赌本问题A 、B 二人赌博，各出注金a 元，每局个人获胜概率都是2/1，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字上最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况。
由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确。
例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配。
塔泰格利亚则在1556年怀疑找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金。
法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配。
卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=。
把注金按)1(22+r r ：)1(11+r r 之比分给A 和B 。
他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身。
这个问题的症结在于：他关乎各人在当时状况下的期望值。
从以上这些五花八门的解法，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系。
而此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率。
循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负。
为A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局。
因此按二项分布，A 取胜的概率为r r r i A i r p -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧高中数学必修三中的古典概型是概率论中的重要内容之一，也是考试中的常见题型，解题技巧的掌握对于我们正确解题非常重要。
下面将介绍几种解题技巧。
一、排列与组合排列与组合是古典概型中常见的几个基本概念，掌握好它们对于解题非常有帮助。
1. 排列：将若干个不同的元素按照一定的顺序排列成一列，这个过程称为排列。
例如：从字母A、B、C中任取三个字母，按顺序排列，共有3的阶乘种。
2. 组合：从n个不同元素中任取m个，不考虑顺序，这个过程称为组合。
例如：从字母A、B、C中任取两个字母，不考虑顺序，共有3个组合。
二、古典概型的解题步骤古典概型的解题步骤可以分为以下几个步骤：1. 明确问题与假设条件：首先要明确问题的描述和假设条件，理解题意非常重要。
例如：某班有男生10名，女生8名，从中随机选出两名学生，求出两名学生都是男生的概率。
2. 确定事件：根据问题的描述和假设条件，确定所求事件。
例如：确定所求事件为“从10个男生中选出两个男生”，记为A事件。
3. 确定样本空间：确定样本空间，即实验的所有可能结果的集合。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以样本空间为所有可能的组合数，记为S={C(10,2)}。
4. 确定事件A发生的可能数：确定事件A发生的可能数，即满足所求事件的有利组合数。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以有利组合数为C(10,2)。
5. 求解所求事件的概率：根据概率的定义，求解所求事件的概率。
例如：所求事件的概率为P(A)=有利组合数/样本空间。
1. 从n个人中随机选出m个人的概率。
解题思路：根据排列与组合的知识，所求事件的概率为C(n,m)/C(n,m)。
3. 从一扑克牌中随机取出一张牌，结果是红桃的概率。
解题思路：所求事件的概率为红桃的数量/总的牌的数量。
四、注意事项在解题过程中，要注意以下几个问题：1. 明确问题的假设条件，理解题意非常重要。
2. 注意样本空间的确定，样本空间是实验中所有可能结果的集合。
一些经典的概率问题
一些经典的概率问题1.布丰针问题问题：给定间距为2a的平行线，将长度为2c(c<a)的棒随机投向地板〔随机的含义是独立随机的x,y坐标和角度〕，问相交概率。
解答：限定棒的中心和线的间隔不超过a的情况下，考虑棒的一端和某一条特定的直线相交的概率：显见在特定的角度下，相交的概率是心、线间隔的概率，也就是，计算得。
注意到和x的分布是独立的、均匀的，它们的分布函数互相不影响，所以我们在计算概率的时候将这两个变量别离，进展累次积分〔假如互相影响，要先解方程找出至少一个独立的，再积分〕：最后的P就是答案。
2.多边形布丰针问题〔HDU4978〕问题：给定间距为2a的直线和直径不超过2a的凸多边形，随机投掷凸多边形，问相交概率。
解：我们假定不知道上一问的答案〔实际上这道题有现成的结论〕，完好地再推一遍。
当然我们可以认为是对连续多条边的积分，不过这里我们改成对点的积分，考虑一条直线从a间隔处不断向着中心靠拢，最先碰到的是哪个顶点呢？以A顶点为例，显然是。
这里我们把它拆分开，对于凸多边形的每一条边，计算它的两个端点：3.拉普拉斯针问题问题：给定正交的间距为2a和2b的平行线，将长度为2c(c<a<b)的棒随机投向地板，问相交概率。
答案：4.圆上的布丰针问题〔原作者〕问题：给定一个半径为R的圆，将长度为2d的棒随机投向圆中，分d<R和d>R讨论交点个数z=0、1、2的概率。
解答：这里“随机〞是有两种理解的。
一种是点随机〔先x坐标再y坐标〕，一种是矢径角随机〔先取中心到针的间隔 u再取角度〕。
就像我们在一个棒上取两个点，是同时取还是先后取概率会不一样。
当然，交度在这一题中没有意义。
为了计算方便，我们采取第一种理解方法，这样圆内每一块区域取到的概率和它的面积成正比，而u的概率分布函数为：分类讨论如下：A.d>2R显然P(z=2)=1,P(z=1)=P(z=0)=0B.2R>=d>R此时一定有P(z=0)=0B1.0<u<=d-R此时一定有两个交点p1(u)=0,p2(u)=1B2.d-R<u<=R此时如图：有，由余弦定理：因此令，积分得：P(z=1)的结果是1减去上述值。
例析古典概型中的几种经典问题
ʏ查 霖在日常工作和现实生活中,有大量的随机事件的概率并不一定要通过大量的试验来得到,只要掌握了一些基本情况,就可以知道它们相应的概率,这就是最常见的古典概型㊂古典概型中主要有几种经典的实例:骰子(硬币)问题㊁摸球问题㊁抽数问题㊁格子问题等㊂下面就此举例分析,供大家学习与参考㊂一㊁骰子(或硬币)问题抛掷骰子问题和抛掷硬币问题一样,是古典概型中一种重要的模型㊂它的实质就是抛掷骰子(或硬币)n 次,那么对应的基本事件总数为6n (或2n),根据相应事件所对应的基本事件的个数,结合古典概型的计算公式求得对应的概率㊂例1 将一颗质地均匀的骰子(一种六个面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为㊂思路导引:根据抛掷骰子的总数确定古典概型中的基本事件总数,再结合抛掷2次出现向上的点数之和为4的事件的个数,进而利用古典概型的概率公式求解㊂基本事件的总数为6ˑ6=36,点数之和为4的可能结果为(1,3),(2,2),(3,1),共3种情况,所以所求概率P =336=112㊂答案为112㊂解法反思:抛掷骰子或抛掷硬币问题,关键是确定相关事件的个数㊂容易出错的地方是计算遗漏,如本题中的(1,3)和(3,1)是两种不同的结果,不能认为是一种结果㊂二㊁摸球问题摸球问题等同于抽签问题,关键是确定每次所摸的符合题目要求的球的可能结果㊂要注意所摸球的先后顺序和球的颜色与题目条件之间的关系,否则容易出错㊂例2 袋中有4个白球,3个黑球,从中连续任意取出2个球,且每次取出的球不再放回,求第2次取出的球是白球的概率㊂思路导引:本题的基本事件总数是从7个球中有次序地取出2个球的不同取法,即7ˑ6种取法㊂第2次取出的球是白球的可能结果是:若第一次取的是白球,那么第2次是从3个白球中再取出一球,若第一次取的是黑球,那么第2次是从4个白球中再取出一球㊂由题意可得,所求概率P ( 第2次取出的球是白球 )=4ˑ37ˑ6+3ˑ47ˑ6=47㊂解法反思:本题实质上也是抽签问题,按上述规则抽签,每人抽中白球的机会相等,且与抽签次序无关㊂在涉及与抽签及其相关事件时,都可以采用摸球问题的数学模型所对应的古典概型问题来分析与处理㊂三㊁抽数问题抽数问题可以根据条件加以分析,也可以结合排列与组合加以综合分析㊂解答这类问题,关键是确定所有的数的总个数,以及所满足条件的数的个数㊂如果利用排列与组合分析时,一定要注意两者分析时的一致性㊂例3 从1,2, ,9这9个数字中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是( )A.59 B .49C .1121D .1021思路导引:本题基本事件的总数是从9个数中有次序地取出3个数的不同取法,即基本事件总数是9ˑ8ˑ7=504㊂分析3个数的和为偶数的不同情况,确定所包含的基本事件个数,从而得到所求概率㊂基本事件的总数是9ˑ8ˑ7=504㊂这3个数的和为偶数33经典题突破方法高一数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的可能结果有四种情况:偶奇奇,共有4ˑ5ˑ4=80(种);奇偶奇,共有5ˑ4ˑ4=80(种);奇奇偶,共有5ˑ4ˑ4=80(种);偶偶偶,共有4ˑ3ˑ2=24(种)㊂所以所求概率P =80+80+80+24504=1121㊂应选C ㊂解法反思:本题实质上就是数的一种排列问题,抽出来的2个数所组成的两位数有次序关系,通过计算基本事件的总数以及所求事件的个数,从而得到所求的概率㊂四㊁格子问题格子问题也是一种常见的古典概型问题㊂解答这类问题,关键是确定对应的格子与相应的元素之间的填充关系,有时可以结合树状图㊁列举法加以分析与处理㊂例4 把3个不同的球投入3个不同的盒子内(每盒球数可以不限),计算:(1)无空盒的概率㊂(2)恰有一个空盒的概率㊂思路导引:本题的基本事件总数是把3个不同的球投入3个不同的盒子内的不同放法,题设条件是每盒的球数可以不限,即最多可以投入3个,最少可以投入0个,然后按要求计算出所求事件的个数,从而得到所求概率㊂基本事件的总数是把3个不同的球投入3个不同的盒子内的不同放法,第一个球的放法有3种可能,第二个球的放法也有3种可能,第三个球的放法还是有3种可能,则基本事件总数是3ˑ3ˑ3=27㊂设事件A = 无空盒 ,事件B = 恰有一个空盒 ,3个不同的球分别记为a ,b ,c ㊂(1)事件A 包含的可能结果为a b c ,a c b ,b ac ,b c a ,c a b ,c b a ,共有6种情况,所以P (A )=627=29㊂(2)第一个盒子是空盒的可能结果为( )(a )(b c ),( )(b )(a c ),( )(c )(a b ),( )(b c )(a ),( )(a c )(b ),( )(a b )(c ),共有6种情况,其他两个盒子是空盒的情况与第一个盒子一样,所以事件B 包含的基本事件个数是6ˑ3=18,所以P (B )=1827=23㊂解法反思:本题通过分析3个不同的球与3个不同的盒子之间的关系,计算出基本事件的总数,再根据题设条件,正确分析并列举出所求事件的个数,最后结合古典概型的概率公式求得结果㊂编者的话:在解答古典概型问题时,有时会直接涉及骰子(硬币)问题㊁摸球问题㊁抽数问题㊁格子问题等,有时会涉及与之相关的问题,解题的关键是合理构建对应的古典概率模型,借助古典概型的概率公式来分析与处理,从而实现问题的解决㊂1.连掷两次骰子分别得到点数m ,n ,则向量a =(m ,n )与向量b =(-1,1)的夹角θ>90ʎ的概率是( )㊂A.512 B .712 C .13 D .12提示:连掷两次骰子得到的点数(m ,n )的所有基本事件为(1,1),(1,2), ,(6,6),共36个㊂因为(m ,n )㊃(-1,1)=-m +n <0,所以m >n ,可知符合要求的事件为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1), ,(5,4),(6,1), ,(6,5),共15个㊂故所求概率P =1536=512㊂应选A ㊂2.已知集合A ={2,3,4,5,6,7},B ={2,3,6,9},在集合A ɣB 中任取一个元素,则它是集合A ɘB 中的元素的概率为( )㊂A.23 B .35 C .37 D .25提示:依题意得A ɣB ={2,3,4,5,6,7,9},即这个试验的样本空间Ω中有7个元素㊂由A ɘB ={2,3,6},可知这个试验包含3个样本点㊂由古典概型的概率公式得所求概率为37㊂应选C ㊂作者单位:江苏省高邮市临泽中学(责任编辑 郭正华)43 经典题突破方法 高一数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学概率题型总结
高中数学概率题型总结高中数学中，概率是一个重要的章节。
概率论是研究随机现象规律的数学分支，它在现实中有着广泛的应用。
在高中数学中，学生需要学习概率的基本概念、概率公式和概率问题的解法。
下面是高中数学概率题型的总结和拓展。
1. 基本概率问题基本概率问题是指在一定条件下，计算某个事件发生的概率。
例如，从一副扑克牌中任取一张，求取到红桃的概率。
这类问题需要使用概率公式：P(A) = N(A)/N(S)，其中N(A)为事件A发生的可能性数，N(S)为样本空间的可能性数。
2. 条件概率问题条件概率问题是指在已知某一事件发生的情况下，计算其他事件发生的概率。
例如，已知某人有糖尿病，求他/她的胰岛素水平高于正常水平的概率。
这类问题需要使用条件概率公式：P(B|A) = P(A∩B)/P(A)，其中A为已知事件，B为所求事件。
3. 相互独立事件相互独立事件是指两个或多个事件之间没有任何联系，一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
例如，两次抛掷硬币，求两次都出现正面的概率。
这类问题需要使用相互独立事件的概率公式：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
4. 互斥事件互斥事件是指两个或多个事件之间有着排斥关系，一个事件的发生排除了另一个事件的发生。
例如，从一副扑克牌中任取一张，求取到黑桃或红桃的概率。
这类问题需要使用互斥事件的概率公式：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
5. 贝叶斯定理贝叶斯定理是指在已知某一事件发生的前提下，计算其他事件的概率。
例如，已知某人感染了某种疾病，求它是某种疾病的概率。
这类问题需要使用贝叶斯定理：P(B|A) = P(A|B) × P(B)/P(A)，其中B为所求事件，A为已知事件。
以上是高中数学概率题型的总结和拓展。
除了上述题型，还有复合事件、条件概率树、期望值等概率问题。
在学习概率时，需要注重理解概念，熟练掌握概率公式，多做练习题，提高解题能力。
概率求解的两种方法
概率求解的两种方法
方法1
计算单个随机事件的概率
选择一个具有互斥结果的事件。
要计算概率的事件要么发生要么不发生，否则就无法计算出它的概率。
这类事件及其反面不可能同时发生。
掷骰子和赛马都是互斥事件的例子。
骰子要么掷出5点，要么就是别的点数；要么是3号马赢得比赛，要么就是别的马赢得了比赛。
方法2
计算多个随机事件的概率
分别处理，以便计算出单个事件的概率。
一旦你弄清楚这些概率都包含哪些事件，你就能把它们分别计算出来。
假设你想知道用6个面的骰子连续掷出两次5的概率。
掷出一个5的概率是1/6，而用同一个骰子再次掷出5的概率也是1/6。
第一个结果并不会影响第二个结果。
方法3
将发生比转换为概率
将发生比设为一个以积极结果为分子的比率。
继续以上面的彩色弹珠为例，假设你想知道从全部弹珠（总共20颗）中抽到一颗白色弹珠（总共11颗）的概率。
事件的发生比是它发生的概率与不发生的概率之比。
由于总共有11颗白色弹珠和9颗非白色弹珠，因此发生比就是11:9。
数字11代表抽到白色弹珠的可能性，而数字9代表抽到其他颜色弹珠的可能性。
所以，发生比表明你更有可能抽到一颗白色弹珠。
高中数学概率和统计知识点
高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ;设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()mP A n =求值;答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝kn k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)kk n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．[解答过程]0.3提示:1335C 33.54C 102P ===⨯例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．[解答过程]1.20提示:51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.故填0.94.离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且kn k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C kn k k n =- .（2） 几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：例1．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-=（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()2172201360190C P C ξ===， ()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=．所以商家拒收这批产品的概率为2795．例12．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望. （注：本小题结果可用分数表示）[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=， 12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．ξ∴的分布列为11235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =．∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=． （Ⅱ）同解法一．离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+.(4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ;如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则p E 1=ξ，D ξ =2p q 其中q=1-p.例1．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ，891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ；工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 例2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η．[解答过程]（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．抽样方法与总体分布的估计 抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线. 典型例题例1.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .解答过程：A 种型号的总体是210，则样本容量n=1016802⨯=.例2．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第7组中抽取的号码是 ．解答过程：第K 组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+，…，(1)109k -+，当m=6时，第k 组抽取的号的个位数字为m+k 的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63．正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质（1）正态分布的概念如果连续型随机变量ξ 的概率密度函数为 222)(21)(σμπσ--=x ex f ，x R ∈ 其中σ、μ为常数，并且σ＞0，则称ξ服从正态分布，记为~N ξ（μ，2σ）.（2）期望E ξ =μ，方差2σξ=D .（3）正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:①曲线在x 轴上方，并且关于直线x ＝μ对称.②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.三σ原则即为数值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6526 数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544 数值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974 （4）标准正态分布当μ=0，σ=1时ξ服从标准的正态分布，记作~N ξ（0，1） （5）两个重要的公式①()1()x x φφ-=-,② ()()()P a b b a ξφφ<<=-.（6）2(,)N μσ与(0,1)N 二者联系.若2~(,)N ξμσ，则~(0,1)N ξμησ-=;②若2~(,)N ξμσ，则()()()b a P a b μμξφφσσ--<<=-.2.线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来，对n 个样本数据（11,x y ），（22,x y ），…，（,n n x y ），其回归直线方程，或经验公式为：a bx y+=ˆ.其中,,)(1221x b y a x n xyx n yx b ni ini ii⋅-=--=∑∑==，其中y x ,分别为|i x |、|i y |的平均数.例1.如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3，D ξ=1，则P （－1＜ξ≤1＝等于( ) A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2） C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）解答过程：对正态分布，μ=E ξ=3，σ2=D ξ=1，故P （－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）. 答案：B例2. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N （d ，0.52）. （1）若d=90°，则ξ<89的概率为 ； （2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，则d 至少是 ?（其中若η～N （0，1），则Φ（2）=P （η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P （η<－2.327）=0.01）.解答过程：（1）P （ξ<89）=F （89）=Φ（5.09089-）=Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228.（2）由已知d 满足0.99≤P （ξ≥80），即1－P （ξ<80）≥1－0.01，∴P （ξ<80）≤0.01.∴Φ（5.080d-）≤0.01=Φ（－2.327）.∴5.080d -≤－2.327.∴d ≤81.1635.故d 至少为81.1635.小结：（1）若ξ～N （0，1），则η=σμξ-～N （0，1）.（2）标准正态分布的密度函数f （x ）是偶函数，x<0时，f （x ）为增函数，x>0时，f （x ）为减函数.。
高中数学概率与统计中的常见问题与解法
高中数学概率与统计中的常见问题与解法【高中数学概率与统计中的常见问题与解法】在高中数学学科中，概率与统计是一个重要的分支，它涉及到我们日常生活中的许多实际问题。
然而，由于其抽象性和复杂性，许多学生经常遇到困惑和难题。
本文将介绍高中数学概率与统计中的一些常见问题以及相应的解法。
通过对这些问题的理解和解答，希望能够帮助同学们更好地掌握这一知识点。
1. 事件与概率计算在概率与统计中，我们常常需要计算某个事件发生的概率。
首先，我们需要明确事件的定义，确定样本空间和事件的可能性。
然后，可以利用概率的定义和相关公式来计算事件的概率。
在实际应用中，我们常用的有向图、树状图和表格等工具可以帮助我们更好地理解和计算概率。
2. 随机变量与分布随机变量是概率与统计中一个重要的概念。
它代表了一个试验的结果，可以是离散的或连续的。
在处理随机变量时，我们需要了解它的分布特征，包括均值、方差等。
对于离散型随机变量，我们可以通过列举或构建概率分布来求解相关问题；对于连续型随机变量，我们可以利用概率密度函数和累积分布函数来进行计算。
3. 估计与检验在统计学中，我们常常需要根据样本数据对总体参数进行估计，并进行假设检验。
在进行估计时，我们可以利用点估计和区间估计的方法，来获得总体参数的一个近似值或区间范围。
而在进行假设检验时，我们需要明确零假设和备择假设，并通过计算检验统计量和P值来进行判断。
4. 几何概率与条件概率几何概率是概率与统计中的一种常见计算方法，它基于样本空间的几何性质来计算概率。
在处理几何概率问题时，我们需要了解事件的几何特征，并利用几何图形来辅助计算。
而条件概率则是在给定某些条件下，求解事件发生的概率。
我们可以利用条件概率的性质和公式，通过已知信息进行计算。
5. 抽样与数据收集在统计学中，通过抽样和数据收集来获取样本数据是非常重要的。
合理的抽样方法和数据收集过程可以提高数据的可靠性和代表性。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和整群抽样等，而数据收集过程则需要注意调查问卷的设计和实施，以及数据录入和处理的准确性。
三类概率问题的解法剖析
三类概率问题的解法剖析一、求等可能事件的概率若一个事件由n 个基本事件组成，且所有结果出现的可能性都是相等的，那么称每一个基本事件为等可能事件.等可能事件的概率问题主要有古典概型问题和几何概型问题.在求等可能事件的概率时，要先明确问题的类型，然后运用古典概型和几何概型的概率公式来求解.例1.某号码锁有6个拨盘，每个拨盘上有从0到9共10个数字，当6个拨盘上的各个数字组成某1个6位数字号码（开锁号码）时，锁才能打开.如果不知道开锁号码，试开1次就能把锁打开的概率是多少？解析：号码锁每个拨盘上的数字，从0到9共有10个.6个拨盘上的各个数字排在—起，就是1个6位数字号码.根据乘法原理可求得这种号码的个数.由于试开时选取每1个号码的可能性都相等，所以该问题为古典概型，可根据古典概型概率公式进行求解.解：号码锁每个拨盘上的数字共有10个，则每次有10种选法，根据乘法原理可得，6个拨盘上的数字组成的6位数字号共有106个.试开时选取每1个号码的可能性都相等，且开锁号码只有1个，所以根据古典概型概率公式可得试开1次就把锁打开的概率为二、求相互独立事件的概率若两个事件之间相互独立，并不互相影响，则称这两个事件为相互独立事件.若事件A 与 B 为相互独立事件，则P（AB）=P（A）P（B）.在求相互独立事件的概率时，需先明确事件的类型，然后运用公式进行求解.例2.一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口遇到红灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是.求这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率.解：设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件.这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯表示，这位家长送孩子上学时在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，其概率为1-3，在第三个路口遇到红灯.所以事件A 的概率为本题中“遇到红灯”与“没有遇到红灯”是互斥的，并且是对立事件，属于相互独立事件，可以用乘法公式P（AB）=P（A）P （B）求解.三、求条件概率条件概率是事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下发生的概率.设A，B 为两个事件，且P（A）0，则事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率为P（B|A）= P（A）.在遇到条件概率问题时，要借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数n（A），再求事件AB 所包含的基本事件数n（AB），得例3.袋中有10个球，其中6个白球，4个黑球，每次从中摸出1个球，摸到球后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率.解：袋中有10个球，每个球被摸到的可能性相等.两次从袋中不放回地摸出2个球，共有A 0种可能的情况.第1次摸到白球有C 种可能的情况，第2次摸到的可能是白球或黑球，只能从9个球中摸一个球，有C 种可能的情况，因此第1次摸到白球有C C种可能的情况，则第1次摸到白球的概率为第1次摸到白球且第2次摸到黑球有C C种可能的情况，则第1次摸到白球且第2次摸到黑球的概率为由条件概率公式可知，第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率为P（B|A）= = .条件概率问题较为复杂.在解題时要先求P（A）和P（AB），再根据公式P（B|A）= P（A），求P（B|A）.在解答概率问题时，同学们要先仔细审题，判断出问题的类型，是否为等可能事件的概率问题、相互独立事件的概率问题、条件概率问题，然后选择与之相应的概率公式进行求解.。
摸球问题题型及解法
摸球问题题型及解法一、摸球问题的基本题型及解法1. 简单的概率计算题型- 题目：一个不透明的袋子里有3个红球和2个白球，从袋子中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。
- 解析：- 首先明确概率的计算公式P(A)=(m)/(n)，其中P(A)是事件A发生的概率，m是事件A发生的结果数，n是所有可能的结果数。
- 在这个问题中，所有可能的结果数n = 3+2 = 5（即袋子里球的总数），摸到红球这个事件发生的结果数m = 3（红球的个数）。
- 所以摸到红球的概率P=(3)/(5)=0.6。
2. 有放回摸球题型- 题目：一个盒子里有4个黑球和6个白球，每次摸出一个球后放回，连续摸3次，求摸到至少2个白球的概率。
- 解析：- 有放回摸球每次摸球的概率不变。
- 先计算摸到2个白球的概率：从3次摸球中选2次摸到白球的组合数C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=3。
每次摸到白球的概率p_1=(6)/(4 + 6)=(6)/(10)=0.6，摸到黑球的概率p_2 = 1 - 0.6=0.4。
所以摸到2个白球的概率P_1 = C_3^2×0.6^2×0.4^3 -2=3×0.36×0.4 = 0.432。
- 再计算摸到3个白球的概率：P_2=0.6^3=0.216。
- 摸到至少2个白球的概率P = P_1+P_2=0.432 + 0.216 = 0.648。
3. 无放回摸球题型- 题目：口袋里有5个红球和3个蓝球，无放回地连续摸2个球，求摸到一红一蓝的概率。
- 解析：- 无放回摸球时，第一次摸球有8种可能，第二次摸球有7种可能。
- 分两种情况：先红后蓝和先蓝后红。
- 先红后蓝的概率：第一次摸到红球的概率p_1=(5)/(8)，此时剩下7个球，其中蓝球有3个，第二次摸到蓝球的概率p_2=(3)/(7)，这种情况的概率P_1=(5)/(8)×(3)/(7)=(15)/(56)。
初中数学概率题标准格式
初中数学概率题标准格式概率题又称概率统计题，是数学课程中非常重要的一部分。
概率题中，学生们通过概率论，通过数学语言对不同事件可能性的发生程度，做出概率的计算和分析，从而得出结论。
概率题的格式以初中数学概率题标准格式为例，概率题的格式一般有以下几种：1、给定事件A和B，求联合概率P(A∩B)。
2、给定事件A和B，求负事件概率P（AB）。
3、给定事件A，求其条件概率P（A|B）。
4、给定事件A和B，求两个事件的独立概率P（A∩B）。
5、给定事件A和B，求其条件概率P（A∩B|C）。
6、给定事件A，求该事件的得分概率P（A）。
7、给定事件A和B，求事件A的条件概率P（A|B）。
以上只是概率题不同格式的一个示例，实际中可能还有其他的概率题格式，每个概率题的具体内容仍需根据实际情况而定。
概率题的解法解决初中数学概率题的关键是根据概率定义，把问题表达出来。
接下来，需要分析问题，根据不同的概率题格式，用数学语言把问题转换成适当的概率公式，并用规定的解法进行计算，最后得出结论。
概率题的重要性概率题在初中数学教育中具有重要意义。
它可以提高学习者对概率论的理解能力，培养学生的分析和判断能力，以及对概率论的实际应用能力。
概率题的训练解决概率题的基础是良好的数学功底，要想做好概率题，就必须有一定的概率基础知识，而这些知识只有通过长期的系统训练才能掌握。
因此，解决概率题，不能只把练习题当作“题”，而是要把它当作“训练”，需要努力，积累，系统的学习概率论的相关知识，并不断练习，加深理解和使用能力。
以上是关于以《初中数学概率题标准格式》为标题的3000字文章，内容涉及概率题的定义、格式、解法、重要性和训练方法，以此作为初中数学概率论的简介，以便于学生更加深入地了解概率题，为概率题的解答打下良好的基础。
三门问题 算法
三门问题算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三门问题（Monty Hall problem）是一个经典的概率问题，名字来源于20世纪70年代的一个著名电视游戏节目主持人Monty Hall。
在这个问题中，参赛者面前有三个关闭的门，其中一个门后面有一辆汽车，另外两个门后面是羊。
参赛者首先随机选择一个门，然后主持人打开其中一个有羊的门，然后问参赛者是否要更换选择。
这个问题的解法可能会让人感到困惑，但事实上有一个最优的策略，可以让参赛者提高获胜的概率。
下面介绍一下这个问题的算法和解析过程。
我们来考虑如果参赛者坚持最初的选择，即不更换选择的情况。
在这种情况下，参赛者获胜的概率是1/3，因为汽车可能在任意一个门后面。
这很容易理解，因为初始选择的概率就是1/3。
接下来，我们考虑如果参赛者选择更换策略的情况。
在这种情况下，主持人已经为参赛者提供了额外的信息，即其中一个有羊的门已经被打开了。
根据这个信息，我们可以利用概率计算来分析。
假设参赛者选择的是有羊的门，那么如果参赛者坚持选择，那么胜率仍然是1/3；如果参赛者更换选择，那么胜率将变为2/3。
如果参赛者选择的是汽车的门，那么如果参赛者坚持选择，胜率是2/3；如果更换选择，胜率是1/3。
所以，如果参赛者选择更换策略，那么胜率会提升到2/3。
简单说，就是更换的概率会高于不更换的概率。
这个问题在数学上可以通过贝叶斯定理来解释，也可以通过模拟的方法来验证。
如果进行多次实验，记录参赛者的选择和最终结果，然后比较不更换和更换策略的胜率，就可以看到更换策略的优势。
在实际中，这个问题还可以引申出很多有趣的讨论，如何利用这个策略来获得更多的利益，以及如何解释这种概率现象等等。
总结一下，三门问题是一个具有挑战性的概率问题，通过合理的分析和算法，可以找到最优的策略来提高获胜的概率。
希望大家能够喜欢这个问题，并对概率问题有更深入的理解。
第二篇示例：三门问题，又称为蒙提霍尔问题，是一个著名的概率问题。
圆桌概率问题
圆桌概率问题一、问题描述圆桌概率问题是指，在一个圆桌上坐着n个人，其中一个人手里拿着一枚硬币。
他将硬币掷向桌子的中心，问硬币最终停在哪个人面前的概率是多少。
二、解法思路1. 对于n=2的情况，答案显然为1/2。
2. 对于n>2的情况，可以通过归纳法来解决。
（1）当n为偶数时，设第一个人掷出硬币后落在了第k个人面前，则下一次掷出硬币时，只有两种可能：要么落在第k+1个人面前，要么落在第k-1个人面前。
由于每次掷出硬币的结果是独立的，所以对于任意一个人来说，它最终停在他面前的概率都是相等的。
因此答案为1/n。
（2）当n为奇数时，设第一个人掷出硬币后落在了第k个人面前，则下一次掷出硬币时，只有两种可能：要么落在第k+1个人面前，要么落在第k-1个人面前。
但是由于n为奇数，所以这样会导致最后停在某个人面前的概率比停在其他人面前的概率稍微大一些。
具体来说，如果硬币最终停在了第k个人面前，则答案为1/n+1；如果硬币最终停在了其他人面前，则答案为1/n。
因此，综合两种情况，答案为1/n+1。
三、证明过程对于n=2的情况，显然有两种可能：硬币最终停在第一个人面前或者第二个人面前。
由于每次掷出硬币的结果是独立的，并且每个结果出现的概率相等，因此答案为1/2。
对于n>2的情况，可以通过归纳法来证明。
假设对于n=k-1时结论成立，即硬币最终停在某个人面前的概率为1/k-1。
现在考虑n=k时的情况。
（1）当n=k为偶数时设第一个人掷出硬币后落在了第k/2个人面前，则下一次掷出硬币时，只有两种可能：要么落在第k/2+1个人面前，要么落在第k/2-1个人面前。
由于每次掷出硬币的结果是独立的，并且每个结果出现的概率相等，因此硬币最终停在第k/2个人面前的概率为1/2。
同理，对于其他每个人来说，它最终停在他面前的概率也都是1/k。
因此，答案为1/k。
（2）当n=k为奇数时设第一个人掷出硬币后落在了第(k+1)/2个人面前，则下一次掷出硬币时，只有两种可能：要么落在第(k+3)/2个人面前，要么落在第(k-1)/2个人面前。
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ｃｃ 种方法；最后剩下的１ 名女生和４ 名男生给丙班，有Ｃ 种 ｌ Ｊ
方 法 。将 １名 新生 平均 分 到 甲 、乙 、丙 三个 班级 共有 Ｃ ｃ ｃ 种 ５ 『 不 同的 分法 。
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可能，需乘 “ ： ｃ ”，读者可从独立重复试验公式的推导过程去
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１ ６
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“都 品 概 ： ＝。 ２是 ” 率 毒 件 次 的为 ４ ５
所 以 “ 少有 １ 至 件是 次 品’ ’的概 率为 ： １ １：１ ６ ７
。
、
总之 ，处 理 概率 应用 题 时 ，首先 要 区分研 究 对象 属 于哪 一类
教育科 学
２ －５ ０＃ 期 １第 ｏ
学科教 育
几种典型概率问题的解法
祁尧江 （ 山东省平度市第二 中学 ２６４ ） ６７ ２
等可 能 事件 的 概率 、 互斥 事件 发生 的 概 率 以及相 互独 立 事件 件 都是 正 品” ，为 互斥 事件 ，并 且 同时发 生 的概 率是 概率 这 一部 分常 见 的几 种 非常 重要 的题 型 。 下 面 ，笔 者举几 个例 子 示范 一下 ： 题型 一 ：等 可能 事件 的概 率 例 １ １名 新生 中有 ３ 女 生 ，随机 将 １名 新 生平 均 分配 到３ ．５ 名 ５ 个
＝
（ ） “全 少 有 １ 是 次 晶 ” 包 拈 “抽 出 的 ２ 中 有 １ １ 件 件
所所得 （ （＝。 以求概 ７
ｃ］］ （（＋（（ ｃ］ｊ ： ）ｊ ６ｉ （（＋ ］） （： 圭 ＋圭 ２ １
点评：本题常出 错误是：ｎ 现的 次重复试验ｋ 次发生有Ｃ： 种
法。
所 以 ‘ 多有 １ 是次 品 ’的概 率为 ： １ ：４ ‘ 至 件 ’ 一 １ ４
。
点评 ： 容 易把 “ 至少 有 １ 是 次 品 ” 的对 立事 件 理 解 为 “ 件 至 多 有２ 件是 次品 ”而 出错 。 题 型三 ：相互 独 立事件 同 时发生 的概 率 （ ）３ 女 生 都 分 到 甲班 ，共 有 ２ 名 中 分 法 ， 乙班 从 剩 例３ 在 一次考 试 中 出了六 道是 非题 ， 正确 的记 “ ”，不 正 ． Ｔ 下 的 １ 名 中选 ５ 是 Ｃ ｏ 名 『，剩 下 的５ 给 丙 班 ，共 有 名 ｃ 确 的记 “ ”， Ｆ 若某 考 生完全 随便 的记 上六 个符 号 ，试 求
（ ）至少有 １ 是次 品 。 １ 件 思路一 ：直 接法
解法一
（ ）至 多有 １ ２ 件是 次 品 。
（ ） “ 少 正 确 解 答 一 半 ” 即 “ ３ 或 ３ 以 上 题 正 ３ 至 有 道 道 件 次 品和 １ 正 品 ”和 “ 出的 ２ 都是 次 品 ”，它 们互 为 互斥 事 件 抽 件 确 ”，所 以所 求得概 率为 ： 件 ，并且 （件 中有 １ 次 ‘ ２ 件 的概 率 为： １ Ｉ
（ ） “ 多有 １ 是次 品 ” 的对 立 事件 是 “ 件 都 是 次 品 ” ２ 至 件 ２
即：每个班级分到１ 名女生，共有
方法。
ｃｃ２ 种不同的 １ ４ ｃ
而 且 “ 件都 是次 品 ”的概 率为 ： ２
１。
将１名学生平均分配到３ ５ 个班级中共有Ｇ Ｃｏ？ ｔ 种不同的方 Ｃ
班 级 中去 ，
“ 中 是品的率 ： ： 。 ２ １ 次 ”概为 件件 芸
２都 正 ” 概 为 呈： 件 是 品 的 率 ： 望。
４ ５
。
（ ）每 班各 分配 到 １ １ 名女 生的概 率 是 多少 ？ （ ）３ 女生 分配 到 同一班 级 的概率 是 多少 ？ ２ 名 分 析 ： （ ）每 班 分 配 到 １ 女 生和 ４ 男生 ， 甲班 从 ３ 女 １ 名 名 名 生 中任 选 １ ，从 １ 名 男生 中任 选 ４ ，共 有 ｃ 名 ２ 名 种方 法 ； 乙班
事件 ，然 后结 合排 列组合 的运口
＝
每 班分配 孙 名 女生 的概 率 Ａ＝ １ ｜ ４ ４ １ ４
篑 。
种 不 同 的分 法 。 同理 ，３ 女 生 都分 到 乙班 、丙 班 的方 法 数 均 为 名
（ ）全 部 是正确 的概 率 。 １
（ ）正确解 答不 少于 ４ ２ 道题 的概 率 。 （ ）至少 正确解 答一 半 的概 率 。 ３
从 剩 下 的２ 女 生 中 选 １ ，再 从 剩 下 的 ８ 男生 中选 ４ ，共 有 名 名 名 名
所 以 “ 多有 ｌ 是次 品 ’ 至 件 ’的概率 为 ： １ ８：４ ６＋２ ４
思 路二 ：间接 法 解 法 二 ： （ ） “ 少有 １ 是 次 品 ” 的对 立事 件 是 “ 件 都 １ 至 件 ２ 是 正品 ” ，而 “ 件都 是正 品 ”的概率 为 ： ２ ２ ８
Ｃｃ ｃ ｃ 。 ；
所 ３女 分 同 班 的 率 Ａ 以 生 到 一 级 概 为＝ 名
ｃ ３ ｃ ｌ ； ｃ ｃ ；
：。 击
点 评 ： 本 题 将 常 出 现 的 错 误 是 重 复 排 序 ， 如 （ ） 中 常 错 为 １
分析：根据题意每个题解答正确的概率为｛，而且每次解答
是相 互独 立的 。
解析：
题 型 二：互 斥事 件发 生 的概率 例 ２ １件 产 品 中有２ 次品 ，任 取 ２ ．０ 件 件检 验 ，求 下 列事件 的概
率。
（全正的率 ： ］６ １ 部确概是 （ ＝。 ） 圭 。４
（） “ ２ 正确 解答 不少 于４ 道题 ” 即 “ 道或６ 有５ 道题 正确 ” 。