课标通用2018年高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案理20171014230

§6.2等差数列及其前n项和考纲展示►1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考点1等差数列的基本运算1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为a n－a n－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)．(2)等差中项a＋b 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.2 答案：(1)2同一个常数 d2．等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是________．(2)等差数列的前n项和公式n n－1n a1＋a n 设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和S n＝na1＋d或S n＝.2 2答案：(1)a n＝a1＋(n－1)d(1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________．答案：52(2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数．答案：16知三求二．等差数列中，有五个基本量，a1，d，n，a n，S n，这五个基本量通过________，____________ 联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解．答案：通项公式前n项和公式[典题1](1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．2[答案] A[解析]解法一(常规解法)：设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.S9 S7(2)[2017·河北武邑中学高三期中]等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1＝－9，－＝9 72，则S10＝()A．0B．－9C．10D．－10[答案] AS n S10 a1[解析]因为{n}是等差数列，且公差为d＝1，故＝＋1×(10－1)＝－9＋9＝0，10 1故选A.(3)[2017·河北唐山模拟]设等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.[答案]30[解析]解法一：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，S4＝12，可得Error!解得Error!则S6＝6a1＋15d＝30.解法二：∵等差数列{a n}，故可设S n＝An2＋Bn，由S3＝6，S4＝12，可得Error!解得Error!即S n＝n2－n，则S6＝36－6＝30.[点石成金]等差数列运算的解题思路及答题步骤(1)解题思路由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，a n，S n中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．(2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；步骤二：根据已知条件列方程求出未知量；步骤三：利用前n项和公式求得结果．考点2等差数列的判断与证明等差数列的概念的两个易误点：同一个常数；常数.(1)在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝a n＋2，则该数列的通项公式为a n＝__________.答案：2n－1解析：由a n＋1＝a n＋2，知{a n}为等差数列，其公差为2，故a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n＝n，则数列{a n}的通项公式为a n＝__________.n n－1答案：1＋2解析：由a n＋1－a n＝n，得a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，a n－a n－1＝n－1，各式相加，得a nn－11＋n－1n n－1n n－1－a1＝1＋2＋…＋n－1＝＝，故a n＝1＋.2 2 21 [典题2]若数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋2S n S n－1＝0(n≥2)，a1＝.21(1)求证：{S n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．(1)[证明]当n≥2时，由a n＋2S n S n－1＝0，得1 1 S n－S n－1＝－2S n S n－1，所以－＝2.S n S n－11 11故{S n }是首项为2，公差为2的等差数列．1 1(2)[解]由(1)，可得＝2n，∴S n＝.S n 2n当n≥2时，1 1 n－1－na n＝S n－S n－1＝－＝2n 2n－12n n－11＝－.2n n－11当n＝1时，a1＝不适合上式．2故a n＝Error![题点发散1]若将母题条件变为：数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，2S n－na n＝n.求证：{a n}为等差数列．证明：∵2S n－na n＝n，①∴当n≥2时，2S n－1－(n－1)a n－1＝n－1，②①－②，得(2－n)a n＋(n－1)a n－1＝1，则(1－n)a n＋1＋na n＝1，∴2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)，∴数列{a n}为等差数列．1[题点发散2]若母题变为：已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝2－(n≥2，n∈N*)，设b n＝a n－11(n∈N*)．求证：数列{b n}是等差数列．a n－11 证明：∵a n＝2－，a n－11∴a n＋1＝2－.a n1 1∴b n＋1－b n＝－a n＋1－1 a n－11 1 a n－1＝－＝＝1，1 a n－1 a n－12－－1a n1∴{b n}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．2－1[点石成金]等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型对于n≥2的任意自然数，a n－a n－1(n≥2，n∈N*)为同一- 4 -等差中项法2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{a n}是等差数列通项a n＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{a n}公式法是等差数列前n项和验证S n＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔公式法{a n}是等差数列选择、填空题中的判定问题[2017·陕西西安模拟]已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式；S n(2)若数列{b n}满足b n＝，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出cn＋c的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为a n＝1＋(n－1)×4＝4n－3.n1＋4n－3(2)由(1)知，S n＝＝2n2－n，2S n 2n2－n所以b n＝＝.n＋c n＋c1 6解法一：所以b1＝，b2＝，1＋c 2＋c15b3＝(c≠0)．3＋c1由2b2＝b1＋b3，解得c＝－.21 2n2－n 当c＝－时，b n＝＝2n，2 1n－2当n≥2时，b n－b n－1＝2.1故当c＝－时，数列{b n}为等差数列．2- 5 -12n ( 2 ) n－＝，n＋c1∵c≠0，∴可令c＝－，得到b n＝2n.2∵b n＋1－b n＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{b n}是公差为2的等差数列．1即存在一个非零常数c＝－，使数列{b n}为等差数列．2考点3等差数列的性质及应用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋________(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则____________．(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________．(4)若{a n}，{b n}是等差数列，公差为d，则{pa n＋qb n}也是等差数列．(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．(6)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(7)S2n－1＝(2n－1)a n.nd(8)若n为偶数，则S偶－S奇＝；2若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．答案：(1)(n－m)d(2)a k＋a l＝a m＋a n(3)2d(5)md等差数列的基本公式：通项公式；前n项和公式．(1)等差数列{a n}中，a2＋a3＝1，a5－2a1＝27，则a5＝________.答案：13解析：设等差数列的公差为d，则有2a1＋3d＝1,4d－a1＝27，解得d＝5，a1＝－7，所以(2)等差数列{a n}的首项为1，公差为4，前n项和为120，则n＝________.答案：8n1＋4n－3解析：a n＝1＋(n－1)×4＝4n－3，所以S n＝＝120，215 解得n＝8或n＝－(舍去).2等差数列运算的两个方法：应用性质；巧妙设元．(1)在等差数列{a n}中，已知a4＋a10＝12，则该数列前13项和S13＝__________.答案：7813a1＋a1313a4＋a10解析：由等差数列的性质与前n项和公式，得S13＝＝＝78.2 2(2)已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8，则{a n}的通项公式是__________．答案：a n＝－3n＋5或a n＝3n－7解析：设等差数列{a n}的前三项为a2－d，a2，a2＋d，由题意得Error!解得Error!或Error!所以a n＝2－3(n－1)＝－3n＋5或a n＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故a n＝－3n＋5或a n＝3n－7.[典题3][2017·河南洛阳统考]设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36 D．27[答案] B[解析]由{a n}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.[点石成金]在等差数列{a n}中，数列S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具.1.[2017·宁夏银川模拟]已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32.若a m＝8，则m＝()A．8B．12C．6D．4答案：A解析：由a3＋a6＋a10＋a13＝32，得(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝32，即4a8＝32，∴a8＝8，∴m＝8.故选A.2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案：60解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.考点4等差数列前n项和的最值问题[典题4]在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为() A．S15B．S16C．S15或S16 D．S17[答案] A[解析]∵a1＝29，S10＝S20，10 × 9 20 × 19 ∴10a1＋d＝20a1＋d，2 2解得d＝－2，n n－1∴S n＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n2＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，S n取得最大值．[题点发散1]若将条件“a1＝29，S10＝S20”改为“a1>0，S5＝S12”，如何求解？解：解法一：设等差数列{a n}的公差为d，由S5＝S12，得5a1＋10d＝12a1＋66d，1 解得d＝－a1<0.8n n－1所以S n＝na1＋d2n n－1 1 1＝na1＋·a1)＝－a1(n2－17n)2 (－8 161 17 289 ＝－a1 n－2＋a1.16 ( 2 )64因为a1>0，n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，S n有最大值．解法二：设等差数列{a n}的公差为d，1 同解法一得d＝－a1<0.8设此数列的前n项和最大，则Error!即Error!解得Error!即8≤n≤9，又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，S n有最大值．解法三：设等差数列{a n}的公差为d，1 同解法一得d＝－a1<0.8n n－1d d 由于S n＝na1＋d＝n2＋n，2 (a1－2)2d d设f(x)＝2x2＋( 2)x，则函数y＝f(x)的图象为开口向下的抛物线，a1－17由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x＝(如图所示)，2由图可知，当1≤n≤8时，S n单调递增；当n≥9时，S n单调递减．又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，S n最大．[题点发散2]若将条件“a1＝29，S10＝S20”改为“a3＝12，S12>0，S13<0”，如何求解？解：因为a3＝a1＋2d＝12，所以a1＝12－2d，- 9 -所以Error!即Error!24 解得－<d<－3.724 故公差d的取值范围为(－.，－3)7解法一：由d<0可知，{a n}为递减数列，因此，在1≤n≤12中，必存在一个自然数n，使得a n≥0，a n＋1<0，此时对应的S n就是S1，S2，…，S12中的最大值．由于Error!于是a7<0，从而a6>0，因此S6最大．解法二：由d<0可知{a n}是递减数列，令Error!可得Error!24 由－<d<－3，7可得Error!所以5.5<n<7，故n＝6，即S6最大．[题点发散3]若将“a1＝29，S10＝S20”改为“a5>0，a4＋a7<0”，如何求解？解：∵Error!∴Error!∴S n的最大值为S5.[点石成金]求等差数列前n项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n≥0(a n≤0)成立时最大的n的值即可．一般地，等差数列{a n}中，若a1>0，且S p＝S q(p≠q)，则p＋q①若p＋q为偶数，则当n＝时，S n最大；2p＋q－1 p＋q＋1②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，S n最大.2 21.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当S n取最大值时，n＝()A．5B．6C．7D．8答案：B解析：依题意，得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0.又数列{a n}是等差数列，因- 10 -此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n取最大值时，n＝6，故选B.2．[2017·安徽望江中学模拟]设数列{a n}是公差d＜0的等差数列，S n为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则S n取最大值时，n＝()A．5B．6C．5或6D．11答案：C解析：由题意，得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，S n最大，故选C.[方法技巧] 1.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为：(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．2．数列{a n}为等差数列．S奇a n(1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(a n＋a n＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.S偶a n＋1S奇n(2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)a n；S奇－S偶＝a n；＝.S偶n－1S2m－1 a m 3．若数列{a n}与{b n}均为等差数列，且前n项和分别是S n和T n，则＝.T2m－1 b m 4．若a m＝n，a n＝m(m≠0)，则a m＋n＝0.[易错防范] 1.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．2．求等差数列的前n项和S n的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应在两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．97答案：C9a1＋a99 × 2a5解析：由等差数列性质知，S9＝＝＝9a5＝27，2 2解得a5＝3，而a10＝8，- 11 -a10－a5因此公差d＝＝1，10－5∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.2．[2015·北京卷]设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是()A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0答案：C解析：A，B选项易举反例．C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2 a1a3，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2 a1a3，即a2> a1a3成立．D中，若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故D选项错误．故选C.3．[2016·江苏卷]已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则2a9的值是________．答案：20解析：设等差数列{a n}公差为d，由题意，得Error!解得Error!则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记b n＝[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{b n}的前1 000项和．解：(1)设{a n}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{a n}的通项公式为a n＝n.b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝Error!所以数列{b n}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.课外拓展阅读巧用三点共线解等差数列问题1．等差数列的求解- 12 -由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d(d≠0)的等差数列{a n}，其通项公式为a na n－a m＝dn＋(a1－d)，则点(n，a n)(n∈N*)共线，又d＝(n≠m)，所以d为过(m，a m)，(n，a n)n－m两点的直线的斜率．由此可用三点共线解决等差数列问题．[典例1]若数列{a n}为等差数列，a p＝q，a q＝p(p≠q)，则a p＋q＝________.[思路分析][解析]解法一：设数列{a n}的公差为d，因为a p＝a q＋(p－q)d，所以q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.因为p≠q，所以d＝－1.所以a p＋q＝a p＋(p＋q－p)d＝q＋q(－1)＝0.解法二：因为数列{a n}为等差数列，所以点(n，a n)(n∈N*)在一条直线上．不妨设p<q，记点A(p，q)，B(q，p)，则直线ABp－q的斜率k＝＝－1，如图所示，q－p由图知OC＝p＋q，即点C的坐标为(p＋q,0)，故a p＋q＝0.[答案]0[典例2]已知{a n}为等差数列，且a100＝304，a300＝904，求a1 000.[思路分析]- 13 -[解]因为{a n}为等差数列，则(100,304)，(300,904)，(1 000，a1 000)三点共线，904－304 a1 000－904所以＝，300－100 1 000－300解得a1 000＝3 004.2．等差数列前n项和的求解d d S n d d在等差数列前n项和公式的变形S n＝n2＋n中，两边同除以n得＝n＋.2 ( 2) 2)a1－2 (a1－nS n S m－S n n m 该式说明对任意n∈N*，所有的点( n)都在同一条直线上，从而对m，n∈N*(m≠n)有＝n，n－md S n2 {(常数)，即数列n}是一个等差数列．[典例3]已知在等差数列{a n}中，S n＝33，S2n＝44，求这个数列的前3n项的和S3n.33 44 S3n[解]由题意知，( ，，三点在同一条直线上，n，n) ( 2n) ( 3n)2n，3n，44 33 S3n44－－2n n3n2n从而有＝，解得S3n＝33.2n－n3n－2n所以该数列的前3n项的和为33.- 14 -。