解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案)
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解三角形、数列2018年全国高考分类真题(含答案)
一.选择题(共4小题)
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()
A.B.C.D.
2.在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()
A.4 B. C. D.2
3.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则()
A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4 4.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12
二.填空题(共4小题)
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=,c=.
7.设{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.8.记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=.
三.解答题(共9小题)
9.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣.
(Ⅰ)求∠A;
(Ⅱ)求AC边上的高.
10.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过
点P(﹣,﹣).
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B ﹣).
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.
12.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
13.设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列.
(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n﹣b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;
(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|a n﹣b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).14.已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1﹣b n)a n}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{b n}的通项公式.
15.设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.
(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*),
(i)求T n;
(ii)证明=﹣2(n∈N*).
16.等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)记S n为{a n}的前n项和.若S m=63,求m.
17.记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.(1)求{a n}的通项公式;
(2)求S n,并求S n的最小值.
解三角形、数列2018年全国高考分类真题(含答案)
参考答案与试题解析
一.选择题(共4小题)
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()
A.B.C.D.
【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
△ABC的面积为,
==,
∴S
△ABC
∴sinC==cosC,
∵0<C<π,∴C=.
故选:C.
2.在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()
A.4 B. C. D.2
【解答】解:在△ABC中,cos=,cosC=2×=﹣,
BC=1,AC=5,则AB====4.
故选:A.
3.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则()
A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4【解答】解:a1,a2,a3,a4成等比数列,由等比数列的性质可知,奇数项符号相同,偶数项符号相同,
a1>1,设公比为q,
当q>0时,a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),不成立,
即:a1>a3,a2>a4,a1<a3,a2<a4,不成立,排除A、D.
当q=﹣1时,a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)>0,等式不成立,所以q≠﹣1;当q<﹣1时,a1+a2+a3+a4<0,ln(a1+a2+a3)>0,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立,
当q∈(﹣1,0)时,a1>a3>0,a2<a4<0,并且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),能够成立,
故选:B.
4.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12
【解答】解:∵S n为等差数列{a n}的前n项和,3S3=S2+S4,a1=2,
∴=a1+a1+d+4a1+d,
把a1=2,代入得d=﹣3
∴a5=2+4×(﹣3)=﹣10.
故选:B.
二.填空题(共4小题)
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为9.
【解答】解:由题意得acsin120°=asin60°+csin60°,
即ac=a+c,
得+=1,
得4a+c=(4a+c)(+)=++5≥2+5=4+5=9,
当且仅当=,即c=2a时,取等号,
故答案为:9.